通州市届理科数学高三二模试卷及答案

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北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题真题卷(含答案与解析)

通州区2023年高三年级模拟考试数学试卷本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（）A.B.C. 2D.3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增是（） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（） A. 80B. 10C. 10-D. 80-5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（）的A.73B.163C.203D.2837. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（） A. 310倍B. 410倍C. 510倍D. 610倍8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC ==，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（）A []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7第二部分（非选择题共110分）.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________．13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________．15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=．关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）则所有正确结论的序号为___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-．（1）求sin sin CA的值；（2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．为的（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值．18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2 12 9 分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望；（3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明）19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．20. 已知函数()e xf x =，()()lng x x a =+（a ∈R ）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足： ①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集； ③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-【答案】D 【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，由补集定义可知：{|30U A x x =-<≤ð或23}x ≤<，即(][)3,02,3U A -= ð，是故选：D ．2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.【详解】1i z =-，|2i |13i z -=-=. 故选：A3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A ，函数()1y f x x==在()0,∞+上递减，故A 不符题意；对于B ，函数()3y f x x ==的定义域为R ，关于原点对称，因为()()3f x x f x -=-=-，所以函数为奇函数，又函数在R 单调递增，故B 符合题意；对于C ，函数()e exxy f x -==+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()ee xx f x f x --=+=，所以函数为偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数()tan y f x x ==，因为()5π0014f f ⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭，所以函数不是增函数，故D 不符题意. 故选：B.4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（）A. 80B. 10C. 10-D. 80-【答案】D 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算即可.【详解】52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式()5521552C 2C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=-，解得3r =，可得()3311452C 80T x x --=-⨯⋅=-，即1x -的系数为80-. 故选：D.5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线，得出b ，继而求出焦点坐标.【详解】令22203x y b -=，解得双曲线渐近线为y =21b =⇒=，2c ==，由此可得双曲线焦点坐标为()2,0±.故选：B6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（）A.73B.163C.203D.283【答案】B 【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥P ABCD -的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接,AC BD 交于点O ，连接AP ，则OP 即为正四棱锥P ABCD -的高，12OA AC ==，1OP ==，所以1422133P ABCD V -=⨯⨯⨯=，11112214ABCD A B C D V -=⨯⨯=，所以该几何体的体积为416433+=.故选：B .7. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（） A. 310倍 B. 410倍C. 510倍D. 610倍【答案】A 【解析】【分析】根据题中公式，分别求出一般噪音的声强和正常交谈的声强，从而可得出答案. 【详解】当()80f x =时，即1210lg 8010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得2010x =，即一般噪音的声强约02210W /m ，当()50f x =时，即1210lg 5010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1710x =，即正常交谈的声强约72110W /m ，所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的20317101010=倍.故选：A .8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质求解即可. 【详解】由图知：πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，由2π2sin 033f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π,Z 3k k ϕπ+=∈，所以2ππ3k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，故π3ϕ=，综上，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C .9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“a 与b 异面”，反证：直线b 与l 不相交，由于,b l β⊂，则b //l ， ∵a //l ，则a //b ，这与a 与b 异面相矛盾，故直线b 与l 相交，故“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分条件；若“直线b 与l 相交”，反证：若a 与b 不异面，则a 与b 平行或相交， ①若a 与b 平行，∵a //l ，则b //l ，这与直线b 与l 相交相矛盾； ②若a 与b 相交，设a b A = ，即,A a A b ∈∈， ∵a α⊂，b β⊂，则,A A αβÎÎ，即点A 为α，β的公共点，且l αβ= ， ∴∈A l ，即A 为直线a 、l 的公共点，这与a //l 相交相矛盾；综上所述：a 与b 异面，即“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的必要条件；所以“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”充分必要条件. 故选：C.10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC == ，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（）A. []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7【答案】A 【解析】【分析】根据题意得A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，从而得到AP为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．【详解】由0OB OC ⋅= ，则OB OC ⊥u u u r u u u r，又||||OB OC == A 为线段BC 中点，则||1OA =，所以A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，则5OM =，又|512OM =+，所以圆O 与圆M 相离，所以AP的几何意义为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，所以max 5128AP OM AO MP =++=++=， min5122APOM AO MP =--=--=，所以AP的取值范围为[]28,．的故选：A ．【点睛】关键点点睛：依题意得AP的几何意义为圆221x y +=与圆22(3)(4)4x y -+-=这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．【答案】12##0.5 【解析】【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为向量()1,2a = ，(),1b x = ，//a b ，所以120x -=，解得12x = 故答案为：12.12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________．【答案】0 【解析】【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算. 【详解】由题意可得：3520a a d =-=，所以5350S a ==. 故答案为：0.13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．【答案】2 【解析】.【分析】根据题意结合抛物线的定义分析运算.【详解】由题意可得：抛物线C ：24y x =的焦点为()1,0F ，准线为=1x -，注意到00x ≥，可得01AF x =+，点A 到直线4x =-的距离为04x +，则()00421x x +=+，解得02x =. 故答案为：2.14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】 ①. (1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭②. )a ∈+∞【解析】【分析】第一空，直接解方程，结合图象分类讨论即可；第二空，由图象分析即可.【详解】[]3233301,1y x x y x x '=-⇒=-≥⇒∈-，解得33y x x =-[]1,1-上单调递增，在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，解方程330x x -=可得：其根依次记为1340x x x ===、210x +=的根记为212x =-，可得其草图如下：第一空：若函数()f x有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为1x =或212x =-. （i ）若零点为212x =-只需a <示；在（ii ）若函数零点为1x =由函数解析式及图象可知，只需1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，如图所示，第二空：若函数()f x 存在三个零点，则零点为1340x x x ===、，只需a ≥故答案为：(1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭；)a ∈+∞ 15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=．关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）则所有正确结论的序号为___________．【答案】①③④ 【解析】【分析】根据欧拉函数()n ϕ的函数值的定义，求出()7ϕ，()8ϕ，即可判断①②；若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，可得()m ϕ，同理得()n ϕ，又不超过正整数mn 且与mn 互素的正整数共有1mn m n --+个，可得()mn ϕ，即可判断③；若k n p =，其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，可得()n ϕ，即可判断④．【详解】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则()76ϕ=，故①正确；不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则()84ϕ=，则()()87ϕϕ<，故②错误；若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，则()1m m ϕ=-；同理，若n 是素数，则()1n n ϕ=-，故()()()()111n n m n m n m m ϕϕ----=+=；若m ，n （m n ≠）都是素数，则不超过mn 的正整数中，除去,2,,(1)m m n m ⋯-与,2,,(1)n n m n ⋯-及mn 外，其他的正整数均与mn 互素，共有(1)(1)11mn n m mn m n -----=--+个，则()1mn mn m n ϕ-=-+，所以()()()mn m n ϕϕϕ=，故③正确；若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，则()()11k n p p ϕ-=-，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-．（1）求sin sin CA的值；（2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9．【答案】（1）2 （2 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；（2）由（1）可得2c a =，若选条件①：利用余弦定理可求得,a c ，进而面积公式分析运算；若选条件②：分C 为锐角和C 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求,a c ，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得,a c ，利用余弦定理结合面积公式运算求解. 【小问1详解】∵sin cos 2sin cos sin A B A A B =-，则()2sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=， ∴sin 2sin CA=. 【小问2详解】由（1）可得sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =，若选条件①：由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，即2224911416a a a +-=，注意到0a >，解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定， ∵11cos 016B =>，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 若选条件②：∵c a >，可得C A >，则有：若C 为锐角，则1cos 4C ==，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+-=，整理得：2260a a +-=，且0a >，解得32a =，则3c =；若C 为钝角，则1cos 4C ==-，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+--=，整理得：2260a a --=，且0a >，解得2a =，则4c =；综上所述：此时ABC 存在但不唯一确定，不合题意. 若条件③：由题意可得：9a b c ++=，即329a a ++=，解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定，由余弦定理可得222416911cos 0222416a cb B ac +-+-===>⨯⨯，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据线面平行推出线线平行，由此证明四边形11BD C D 为平行四边形，根据边长关系即可求证；（2）根据勾股定理得到1AD DC ⊥，再根据线线垂直证明出线面垂直，再以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求出正弦值.【小问1详解】⸪1//BD 平面1ADC ，1BD ⊂平面11BB C C ，平面1ADC ⋂平面111C BB C DC =， ⸫11//BD DC ，又因为11//BD D C ，⸫四边形11BD C D 为平行四边形，且因为1D 为11B C 的中点，⸫111=2BD C C D B =， ⸫ D 为BC 中点. 【小问2详解】，1DC =1AC =，再根据勾股定理可得22211D C A D AC +=，故1AD DC ⊥，又因为AD BC ⊥，1BC DC D = ，1,BC DC ⊂平面11BB C C ，所以AD ⊥平面11BB C C ，如图建立以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()2,0,0CB =，()0,0,0D，(00A ,，()11,2,0C -，(DA = ，()11,2,0DC =-，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n DA n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，解得()2,1,0n = ，·sin cos ,n CB n CB n CB α====，故直线BC 与平面1ADC. 18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2129分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望；（3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）47；（2）分布列见解析；()97E X =；（3）21s >22s . 【解析】【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率；（2）根据X 的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望；（3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小. 【小问1详解】分行业1行业收益率：4138100%7.9%38-⨯≈，分行业2行业收益率：129100%33.3%9-⨯≈，分行业3行业收益率：82100%=300%2-⨯，分行业4行业收益率：65100%20%5-⨯=，分行业5行业收益率：32100%50%2-⨯=，分行业6行业收益率：21100%100%1-⨯=，分行业7行业收益率：0.80.4100%100%0.4-⨯=，行业收益率不低于50%的有4个行业，故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为47. 【小问2详解】有（1）可知X 的取值有0、1、2、3，()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===，分布列如下：X 0123P435 1835 1235 135()1812191233535357E X =⨯+⨯+⨯= 【小问3详解】7个分行业营业收入的平均值为：411286320.810.47++++++=，()()()()()()()2222222214110.41210.4810.4610.4310.4210.40.810.41176.65s =-+-+-+-+-+-+-= 7个分行业营业成本的平均值为：38925210.48.27++++++=，()()()()()()()222222221388.298.228.258.228.218.20.48.21088.48s =-+-+-+-+-+-+-=故21s >22s .19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组求解即可；（2）求出直线OA 的斜率为12OA k =，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-．由直线AM 的方程1111(2)2y y x x --=--得P 点的纵坐标为P y ，Q 点的纵坐标为Q y ，结合韦达定理求得2P Q y y +=，进而可得线段AB ，PQ 垂直且平分，从而得证. 【小问1详解】由题意可知22222411a b c caa b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得a b ==．所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．【小问2详解】点(2,1)A 关于y 轴的对称点为点B 的坐标为(2,1)-．直线OA 的斜率为0102A OA A y k x -==-．因为直线l 与OA 平行，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠．由221,248y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222240x tx t ++-=, 由()22244241640t t t ∆=--=->，得22t -<<，且0t ≠, 设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-,直线AM 的方程为1111(2)2y y x x --=--，令0x =，得P 点的纵坐标为11122P x y y x -=-．同理可得Q 点的纵坐标为22222Q x y y x -=-． ()()()()()()112221112212122222222222P Q x y x x y x x y x y y y x x x x --+----+=+=---- ()()21221212244822424t x x t t x x x x t t-+-+===-+++，所以线段PQ 中点坐标为(0,1)．又线段AB 中点坐标也为(0,1)，所以线段AB ，PQ 垂直且平分．所以四边形APBQ 菱形．20. 已知函数()e x f x =，()()ln g x x a =+（a ∈R ）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）e 0y x -=（2）不存在，理由见详解（3）[),e -+∞【解析】【分析】（1）先求得()f x '，从而得到()1f ，()1f '，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；（2）先求()x ϕ'，要判断()x ϕ是否存在极值，即判断()x ϕ在(),a -+∞上单调情况，即判断()x ϕ'在(),a -+∞上的符号情况；（3）将原恒成立条件转化为对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义域上的最值即可求得k 的取值范围．为【小问1详解】由()e x f x =，则()e xf x '=，所以()1e f =，()1e f '=，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()e e 1y x -=-，即e 0y x -=．【小问2详解】由()()()()e ln x x f x g x x a ϕ==⋅+，x a >-，则()()()11e ln e e ln x x x x x a x a x a x a ϕ⎡⎤=⋅++⋅=⋅++⎢⎥++⎣⎦'，x a >-，令()()1ln m x x a x a =+++，x a >-，则()()()22111x a m x x a x a x a +--'==+++，x a >-，当01x a <+<，即1a x a -<<-时，()0m x '<，此时()m x 单调递减；当1x a +>，即1x a >-时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，所以()()min 110m x m a =-=>，所以对任意x a >-，都有()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),a -+∞上单调递增，即()x ϕ不存在极值．【小问3详解】当0a =时，()ln g x x =，对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，等价于对于任意0s t >>，不等式()()()()k k g s g t f s f t ->-恒成立，等价于函数()()()ln e x k k h x g x x f x =-=-在()0,∞+上单调递增，等价于导函数()10ex k h x x =+≥'在()0,∞+上恒成立，等价于对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立，令()e x n x x =-，则()()22e 1e e x x x x x n x x x-⋅-=-='，0x >，当01x <<时，()0n x '>，此时()n x 单调递增；当1x >时，()0n x '<，此时()n x 单调递减，所以()()max 1e n x n ==-，即e k ≥-，故k 的取值范围为[),e -+∞．【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使问题得到解决是解答此类问题的关键．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足：①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集；③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．【答案】（1）{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}；（2）2n ；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答.（2）令P Q >，设出集合1A 及所其元素和，根据定义求出2A 的元素和，求出P Q -结合不等式性质求解作答.（3）设2A 、3A 及A 中元素的和，按i a 为奇数、偶数推理判断作答.【小问1详解】{}1,2,3A =，集合A 的所有2阶分拆是：{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}.【小问2详解】.依题意，不妨设P Q >，11212{,,,},p p A a a a T a a a ==+++ ，则(1)1()(1)12||[](22n n T T n p T n n n T n P Q P Q T p n p n p p n p p +--++-=-=-=-+=----，而(21)(1)(2)2p n p T n p n p n -+≤-++-+++=，所以1211||()(2222n T n n n p n n P Q n p p n p +-++-=-≤-=--，当且仅当(21)2p n p T -+=时取等号，所以P Q -的最大值是2n . 【小问3详解】依题意，23A A =∅ ，231211{,},,,,,i i n A A a a a a a -+= ，2A 与3A 中元素的和相等，设2A 与3A 中元素的和为i m ，集合A 中所有元素之和为S ，于是2(1,2,,)i i S m a i n =+= ，①当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为奇数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是奇数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-，因此此时集合A 中的元素均为奇数，因为S 为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，所以n 为奇数；②当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为偶数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是偶数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-，因此此时集合A 中的元素均为偶数，对于一个偶数(1,2,,)i a i n =L ，均存在正整数i p 和奇数i k ，使得2i p i i a k =，显然集合A 中的元素除以2，仍然满足条件，将集合A 中的元素不断除以2，直至有一个奇数，此时，由①可得n 为奇数，综上得：n 为奇数.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.。

2020届江苏省南通市通州区高三第二次调研抽测数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市通州区高三第二次调研抽测数学试题一、填空题1．己知复数z 满足(12)34z i i +=+ (i 为虚数单位)，则z =__________【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由(12)34z i i +=+，得34(34)(12)11212(12)(12)55i i i z i i i i ++-===-++-，z ∴=【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2．己知集合{1A =，2a ，4}，{2B a =，0}，若A B ⋂≠∅，则实数a 的值为_______.【答案】12【解析】根据题意对2a 的值分情况讨论，分别检验是否符合题意，即可求出a 的值．【详解】解：A B ⋂≠∅Q ，且元素之间互异，0a ∴≠，①当21a =时：12a =，此时集合{1A =，14，4}，集合{1B =，0}，符合题意， ②当24a =时：2a =，此时集合{1A =，4，4}，集合{4B =，0}，不符合元素的互异性，故舍去，③当22a a =时：0a =或2，此时不符合元素的互异性，故舍去，综上所求：12a =，故答案为12．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，做题时注意集合元素的互异性，是基础题．3．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．【答案】85【解析】写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分．【详解】解：所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数，平均分为78828484868893857++++++=，故答案为85．【点睛】本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．【答案】11【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；【考点】1.程序框图；2.循环结构；5．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.【答案】1 36．函数2()lg1f xx=-_____________.【答案】1|05x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭7．已知双曲线221412x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________. 【答案】328．已知高为3 的圆柱内接于一个直径为5的球内，则该圆柱的体积为_______. 【答案】12π【解析】画出图形，求出圆柱的底面半径，然后求解体积．【详解】解：高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内，如图：可得222253()()()2222h r R =-=-=，则该圆柱的体积为：22312ππ⨯⨯=．故答案为12π．【点睛】本题考查球的内接体，圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____. 【答案】210．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=，圆22:(23)6C x y '++=．直线:3l y kx =+与圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________ 15【解析】利用直线与圆相切求出斜率k ，得到直线的方程，几何法求出||AB 【详解】解：直线:3l y kx =+与圆C 相切，C 圆心为(0,1)1=，得k =当3y =+时，C '到直线的距离92d ==，不成立，当3y =+时，l 与圆C '相交于A ，B 两点，C '到直线的距离32d ==，||AB ==【点睛】考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题．11．己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-„对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]4,0-12．在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若a ，b ，c 成等比数列，且22()()3b c b c a ac +-=-，则11tan tan A C+的值为____________【解析】运用等比数列的中项性质和正弦定理、余弦定理，结合同角的商数关系、平方关系，两角和的正弦公式，化简可得所求值．【详解】解：a ，b ，c 成等比数列，可得2b ac =，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =， 22()()3b c b c a ac +-=-，即为22223c a b ac +-=，可得2221cos 23c a b B ac +-==，故B 为锐角，sin 3B ==则211cos cos sin cos cos sin sin()sin 1tan tan sin sin sin sin sin sin sin 4A C C A C A A CB AC A C A C A C sin B B +++=+=====．故答案为4． 13．如图，己知半圆O 的直径8AB =，点P 是弦AC （包含端点A ，C ）上的动点，点Q 在弧»BC上．若OAC ∆是等边三角形，且满足0OQ OP =u u u r u u u r g ，则OP BQ u u u r u u u rg 的最小值为___________.【答案】8【解析】建系，设AP m =，表示出P 点坐标，则()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，根据m 的范围得出答案．【详解】解：以O 为原点建立平面坐标系如图所示：则(4,0)A -，(4,0)B ，(2C -，23)，设(04)AP m m =剟，则1(42P m -，3)m ， ∴1(42OP m =-u u u r ，3)m ，(4,0)OB =u u u r ，Q 0OQ OP =u u u r u u u rg ，∴()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ，显然当m 取得最大值4时，OP BQ u u u r u u u rg 取得最小值8．故答案为8．14．已知函数2()(,f x x ax b a b R =++∈）在区间(]0,1上有零点0x ，则0011()493x ab x +-的最大值是________. 【答案】1144【解析】由00f x =（）得200b x ax =--， 23220000000[]?44x x ab ax a x x a x a x ∴=--=--≤=（）．（当且仅当a =-x 0-a 即x 0=-2a 时取等号）432000001114934439x x x x ab x ∴+-≤-+（）（），令4320000439x x x g x =-+（），则320000000212)(933x g x x x x x x '=-+=--（）（）， ∴g （x 0）在（0，13）上单调递增，在（13，23）上单调递减，在（23，1）上单调递增，又g （13）=1324，g （1）=14-13+19=136，∴g （x 0）的最大值为136．0011493x ab x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭的最大值为14×136=1144．二、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，且AOP α∠=，将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q (a ， b )，其中β∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）若点P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，4πβ=时，求ab 的值；（2）若6πα=，求b 2 -a 2的取值范围.【答案】（1）750ab =-；（2）221,12b a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，可得3cos 5α=，4sin 5α=，且cos()4a πα=+，sin()4b πα=+，再利用二倍角公式求得ab 的值．（2）由题意可得cos()6a πβ=+，sin()6b πβ=+，可得22b a -的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得22b a -的范围．【详解】（1） cos ,sin 44a b ππαα⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11cos sin sin 2cos 244222ab πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5α=，所以()2117cos 22cos 12250ab αα==-=- （2） cos ,sin 66a b ππββ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222sin cos cos 2663b a πππβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为2,63ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以252,333πππβ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦：所以1cos 21,32πβ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以221,12b a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AD ，E ， F 分别是棱AB ， PC 的中点.求证：（1） EF //平面PAD ；（2）平面PCE ⊥平面PCD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取PD 的中点G 构造平行四边形AEFG ，得到//EF AG ，从而证出//EF 平面PAD ；（2）先证EF ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理得到平面PCD ⊥平面PCE ．【详解】证明：（1）如图，取PD 的中点G ，连接AG ，FG ，E Q 是棱AB 的中点，底面ABCD 是矩形， //AE CD ∴，且12AE CD =，又F Q ，G 分别是棱PC ，PD 的中点，//FG CD ∴，且12FG AC =， //AE FG ∴，且AE FG =， ∴四边形AEFG 为平行四边形，//EF AG ∴，又EF ⊂/Q 平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD ；（2）PA AD =Q ，点G 是棱PD 的中点，AG PD ∴⊥，又//EF AG Q ，EF PD ∴⊥，PA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， PA CD ∴⊥，Q 底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，PA ⊂Q 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，且PA AD A =I ，CD \^平面PAD ，又AG ⊂Q 平面PAD ，CD AG ∴⊥， //FE AG Q ，CD EF ∴⊥，又CD ⊂Q 平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，且CD PD D =I ，EF ∴⊥平面PCD ，又EF ⊂Q 平面PCE ，∴平面PCD ⊥平面PCE ．17．中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足*525,t t N ≤≤∈，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t 相关：当2025t ≤≤时高铁为满载状态，载客量为1000人；当520t?时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与()220t -成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t 分钟时，高铁载客量为()P t .()1求()P t 的表达式；()2若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益()()24065020004t Q t P t t t =-+-（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益()Q t t最大？【答案】（1）2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t N P t t t N ⎧--≤<∈=⎨≤≤∈⎩（2）发车时间间隔为10分钟时，()Q t t最大【解析】（1）分520t?和2025t ≤<两段求函数()P t 的解析式，当520t?时，2()1000(20)P t k t =--，当5t =时，()100P t =，求k ；（2）根据（1）的结果，分段求函数()Q t ，利用导数求函数的最大值. 【详解】解：（1）当520t ?时，不妨设2()1000(20)P t k t =--，因为(5)100P =，所以解得4k =.因此2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t N P t t t N ⎧--≤<∈=⎨≤≤∈⎩.（2）①当520t ?时，23()()40650200050020004tQ t P t t t t t =-+-=-+- 因此2()2000()500Q t y t t t t==--+，520t?.因为()y t ¢=32220002(1000)2t t t t---+=，当510t ?时，()0y t ¢>，()y t 单增；当1020t <<时，()0y t ¢<，()y t 单减.所以max ()(10)200y t y ==. ②当2025t ≤≤时，2()409002000Q t t t =-+- 因此()50()90040()Q t y t t t t==-+，2025t ≤≤. 因为()y t ¢=2240(50)0t t--<，此时()y t 单减.所以max ()(20)0y t y ==，综上，发车时间间隔为10分钟时，()Q t t最大. 【点睛】本题考查了分段函数求解析式，以及利用导数解实际问题的最值，本题的关键是正确表达()P t 和()Q t .18．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程;（2）过点F 作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C 交于M ， N 两点，设点5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭. ①若AMN V 的面积为35，求直线l 方程；②过点M 作与)轴垂直的直线l "和直线NA 交于点P ，求证：点P 在一条定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）①1)y x =-，②见解析【解析】（1）由椭圆离心率的定义，右焦点与右准线的距离求得椭圆方程；（2）用设而不求的求直线方程，用三角形面积得直线方程，分类讨论可得．【详解】解：（1）由题意：2222123c a a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22143x y +=（2）①当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，此时331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意;当直线l 斜率存在时，设方程为(1)y k x =-.由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y .由题意，>0∆，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++ 所以()1212||y y k x x k -=-== 因为5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭， AMN ∆所以12151225y y ⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，即212||345k k=+，解得k =，所以直线l 的方程为1)y x =-.②当直线l 的斜率不存在时，直线NA 的方程为：2250x y --=.令32y =，得4x =，所以直线NA 与l '的交点坐标3(4,)2．当直线l 的斜率存在时，由①知，221212228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++ 由直线NA 的方程为：225522y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭- 令1y y =，得()()()121222255511522221y x k x x k x x y k x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=- ()()()121222544121kx x x x k k x k x -+++-=-()()33222241258441342341k k k k k x k k k x --⋅++-++=- ()()()()33222222412584414134234411k k k k k x k x k k k x k x --⋅++--++===--所以直线NA 与l '的交点P 的坐标为1(4,)P y ，综上所述，点P 在一条定直线4x =上，【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，属于难题． 19．已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+-. （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小;（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析【解析】（1）①把1a =-代入函数解析式，求出函数的导函数得到()1f '，再求出()1f ，利用直线方程的点斜式求函数()f x 在点A 处的切线方程；②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m =-=---=-+，利用导数研究函数的单调性，可得当01m <<时，1()()f m f m >；当1m =时，1()()f m f m =；当1m >时，1()()f m f m<．（2）由题意，21240x lnx ax +--…，()g x '在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．利用导数可得当0(1,)x x ∈时，()g x 在0(1,)x 上单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增，得到0()()min g x g x =．由()0g x …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，可得00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，得200000212(2)0x lnx x x x +---=，即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--，再由0()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，得0()h x 在(1,)+∞上单调递减，进一步得到0011()2a x x =-在(1,2)上单调递增，由此可得34a <．【详解】解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，()11f '=-，又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=； ②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<， ()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又()10h =，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x--'=--=，令()0g x '=，解得x a =±0a >Q ，∴1a +>，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．()0g x Q …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=，即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--， 0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立， 0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又()120h =>， ()22210h ln =--<， 012x ∴<<．0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增， 34a ∴<．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题． 20．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足()(1)*23n n n T n N -=∈. 数列{}nb 的首项为2，且满足()*1(1)n nnb n b n N +=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;（2）记集合{}*1|(105),n n n M n a b b n n N λ+=+∈„，若集合M 的元素个数为2，求实数λ的取值范围;（3）是否存在正整数,,p q r 使得12q p q a a a b r a +++=+⋅L 成立?如果存在，请写出,,p q r 满足的条件，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）13-=n n a ，b n =2n ；（2）40056033λ<„；（3）答案不唯一，见解析【解析】（1）当1n =时，111a T ==；当2n ≥时，1nn n T a T -=，即可的{}n a 的通项公式，由1(1)n n nb n b +=+可得11n n b b n n +=+，即数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，即可求出{}n b 的通项公式；（2）参变分离，构造函数列14(1)(105)()3n n n n f n -++=，判断其增减性，即可求出λ的取值范围；（3）假设存在，根据数列{}n a 为等比数列，利用公式求出其前q 项和，对r 分类讨论．【详解】（1）因为(1)23n n nT -=，所以当2n ≥时，(1)21(1)(2)12333n n n n n n n n T a T -----=== 而当1n =时，111a T ==适合上式，所以13-=n n a ，因为1(1)n n nb n b +=+，即11n nb b n n+=+ 所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，所以1121n b b b n ===，所以2n b n =.（2）由(1)知，不等式1(105)n n n a b b n λ++„即为14(1)(105)3n n n n λ-++„设14(1)(105)()3n n n n f n -++= 因为14(1)(2)(1015)4(1)(105)(1)()33n n n n n n n n f n f n -++++++-=-()240(1)2233nn n n +-++=而560400(1)120,(2)200,(3),(4)33f f f f ==== 要使14(1)(105)3n n n n λ-++„只有2解，则有40056033λ<„（3）假设存在正整数,,p q r ，因为21123113332q q q a a a --+++=++++=L L 所以有131423(*)q q p r --=+⋅⋅若2r ≥，则11234331,(*)q q q r --⋅⋅>-…不成立，所以1r =，1314q p --=，若q 为奇数，当1q =时，0p =，不成立，.当1q >时，设21q k =+，*k N ∈，则12313191444q k k p ----===∈Z .若q 为偶数，设2q k =，*k N ∈，则21113139191134442k k k p ----⋅--===⋅+，因为1914k --∈Z ，所以p Z ≠.综上所述，当q 为大于1的奇数时，1r =，1314q p --=；当q 为偶数时，不存在. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的增减性的判定及等比数列前n 项和公式，属于综合题．21．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +．（1）求矩阵M ；（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．【答案】（1）2011⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵M ；（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程．【详解】解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ，所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立；所以2a =，0b =，1c =，1d =；所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）设点(,)x y 在直线l 上，在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上，则2x x '=，y x y '=+，所以12x x ='，12y y x ='-'；代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=；所以直线l '的方程为34100x y --=．【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．22．某校高一年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：电脑随机抽取10首古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的进入正赛，若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为12(1)求甲进入正赛的概率；(2)若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则是：电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分.由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25，求甲在正赛中积分X 的概率分布列及数学期望. 【答案】（1）193512；（2）分布列见解析，期望为45. 【解析】（1）若甲进入正赛，即甲答对的题目数为6，7，8，9或者10道，分别根据二项分布的相关公式计算概率相加即可；（2）列出正赛中X 的所有可能的取值，分别计算概率，列出分布列计算期望即可．【详解】（1）甲进入正赛的概率为1010106710101010111222P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()10671010101011932512C C C ⎛⎫=++⋯+=⎪⎝⎭甲进入正赛的概率为193512. （2）甲的积分X 的可能取值为8分，5分，2分，1-分，4-分，则43143442162396(8),(5)562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 221321442321623216(2),(1)5562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 404381(4)5625P X C ⎛⎫=-==⎪⎝⎭ 所以X 的概率分布列为所以1696216216814()852146256256256256255E X =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯= 甲在正赛中积分X 的数学期望为45.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查分析和解决问题的能力，是中档题．23．已知抛物线C; y 2 =2x 的焦点为F ，准线为l ， P 为抛物线C 上异于顶点的动点. （1）过点P 作准线1的垂线，垂足为H ，若△PHF 与△PO F 的面积之比为2：1，求点P 的坐标；（2）过点M (12-，0)任作一条直线 m 与抛物线C 交于不同的两点A ， B ．若两直线PA ， PB 斜率之和为2，求点P 的坐标.【答案】（1）1,12⎛⎫± ⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线，设2(2t P ，)t ，由三角形的面积公式可得||2||PH OF =，解方程可得t ，进而可得P 的坐标；（2）设直线m 的方程为1()2y k x =+，0k ≠，联立抛物线的方程，消去x ，可得y 的二次方程，设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，化简整理可得t ，k 的方程，由恒成立思想可得t ，进而得到所求P 的坐标，【详解】解：（1）抛物线2:2C y x =的焦点为1(2F ，0)，准线为1:2l x =-，设2(2t P ，)t ，由PH l ⊥，可得21||22t PH =+，由PHF ∆，与∆POF 的面积之比为2:1，可得||2||PH OF =，即为2112222t +=⨯，解得1t =±，则P 的坐标为1(2，1)±；（2）设直线m 的方程为1()2y k x =+，0k ≠，联立抛物线方程可得220ky y k -+=，由△2440k =->，即11k -<<，0k ≠，设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，可得122y y k+=，121y y =，则12222212122222222PA PB t y t y k k y y t y t y t t--+=+=+=++--，化为21212122()t y y t y y t y y ++=++++，即22221()t t t k k+=+++，可得22(1)(1)0t k t -+-=对满足条件的k 恒成立，可得1t =，则P 的坐标为1(2，1)．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．。

通州区2024届高三二模数学试题及答案

通州区2024届高三年级模拟考试数学试卷 2024年4月本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,0,1,2,3U =−，{}1,2A =，{}0,2,3B =，则()U C A B =A.{}3B.{}0,3C.{}1,2,3D.{}0,1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)−，则2i z =A.1i −+B.22i −+C.1i −D.22i − 3. 在262()x x−的展开式中，常数项为A.60B.120C.180D.2404. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是A.1()1f x x =+B.3()f x x =−C.()tan f x x =D.12()log ||f x x =5. 在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC BC ===，4AB =，则AB AC ⋅=A. B.8 C.12 D.6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点43(,)55P −，则cos(π2)α−=A.925−B.725−C.725D.9257. 已知圆心为C 的圆22(2)(4)16x y ++−=与双曲线222:14x y E b −=(0)b >交于,A B 两点，且CA CB ⊥，则双曲线E 的渐近线方程为A.y x =B.12y x =±C.y =D.2y x =±8. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为1t S a +=(0,1)a a >≠且，图象如图所示. 则下列结论正确的个数为①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.A.0B.1C.2D.39. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2220S a −<”是“1(1)n n nS n S +>+”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知函数2||1,1()log 1,1x x x f x x x −≤⎧=⎨+>⎩，()ln g x x x =，若关于x 的方程(()2)(())0f x g x m −−=恰有3个不同的实数根，则实数m 的取值范围是A.1(,0)e −B.1(,1)e −C.(0,)+∞D.(1,)+∞第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高三摸底考试数学(理)试卷及答案

通州区高三年级摸底考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共10页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将I 卷答题卡和Ⅱ卷答题纸一并交回．第I 卷(选择题共40分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的标号填涂在答题卡相应的位置上1．已知命题，则A ．B ．C ．D ． 2．的展开式中的系数是A ．10B ．80C ．10D ．-803．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则的值为A ．6B ．-6C ．D ． 4．给出右面的程序框图，那么输出的数是A ．2450B ．2550C ．5050D ．49005．等差数列中，，，为其前项和，则等于A ．291B ．294C ．297D ．3006．设变量、满足约束条件，则的最大值是 :,cos 1p x R x ∀∈≤:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥:,cos 1p x R x ⌝∀∈≥:,cos 1p x R x ⌝∃∈>:,cos 1p x R x ⌝∀∈>5(21)x -3x 312a i i ++,a R i ∈a 3232-{}n a 11a =5998a a +=n S n 9S x y 110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩x y +A ．7B ．3C ．1D ．07．极坐标方程表示的曲线是 A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆8．将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得图像的函数解析式是A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题共110分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔在答题纸的相应位置上作答，在试卷上作答无效。

江苏南通通州高三数学第二次调研抽测试卷

江苏省南通市通州区2020届高三数学第二次调研抽测试题参考公式：柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．。

1.己知复数z满足z(1＋2i)＝3＋4i(i为虚数单位)，则|z|＝。

2.已知集合A＝{1，a2，4}，B＝{2a，0}，若A∩B≠，则实数a的值为。

3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为。

4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为。

5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为。

6.函数的定义域为。

7.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px上，则实数p的值为。

8.已知高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内，则该圆柱的体积为。

9.已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a3＝2，则a1＋2a5的最小值为。

10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆C'：。

直线l：y＝kx＋3与圆C相切，且与圆C'相交于A，B两点，则弦AB的长为。

11.已知函数f(x)＝(2|x|－1)，若关于x的不等式f(x2－2x－2a)＋f(ax－3)≤0对任意的x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是。

12.在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边。

若a，b，c成等比数列，且(b＋c)(b －c)＝a2－ac，则的值为。

13.如图，己知半圆O的直径AB＝8，点P是弦AC(包含端点A，C)上的动点，点Q在弧上。

若△OAC是等边三角形，且满足，则的最小值为。

14.若函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)在区间(0，1]上有零点x0，则的最大值为。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省南通市通州区2024届高三下学期期初质量监测数学试题及答案

2024届高三第二学期期初质量监测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（）A ．130B ．132C ．134D ．1362．若z ∈C ，且11z z -+是纯虚数，则z =（）A ．22B ．1C 2D ．23．已知a ，b 均为单位向量，若1a b -=，则a 在b 上的投影向量为（）A ．32aB ．12aC ．32bD ．12b4．设l ，m 是不同的直线，α，β是不同的平面，则（）A ．若l α∥，m β∥，αβ∥，则l m ∥B ．若l m ∥，m β⊥，l α⊥，则αβ∥C ．若αβ⊥，l α∥，m β∥，则l m⊥D ．若αβ⊥，l α∥，m β∥，则l m∥5．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种6．设直线10x ky --=被圆222x y +=所截得的弦的中点为00(,)M x y ，则00x y +的最大值为（）A 21+B ．212+C ．212+D ．212-7．已知α为锐角，且π5tan tan 43αα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，则sin 21cos 2αα+=（）A ．3-B ．2-C ．13D ．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过点1F 作D 的切线与C 在第一象限交于点P ．若12PF F △的面积为24a ，则C 的离心率为（）A 2B 51-C ．512+D 5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数2()(sin cos )32f x x x x =+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的一个对称中心π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在区间π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有3个零点10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F ，G 分别是棱BC ，11C D ，1BB 的中点，则（）A ．AE ⊥平面1BB FB ．1C E ，BF ，11B D共面C ．平面1C DG 截正方体所得截面的面积为122D ．三棱锥11A C D G -的体积为16311．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．()11f =B ．()f x 是奇函数C ．若()22f =，则1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．若当1x >时，()0f x <，则()()f x g x x=，在()0,+∞单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2.log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =______．13．已知随机变量()22,X N σ～，且()()1P X a P X ≤=≥，则6x x ⎛ ⎝的展开式中常数项为______．14．在ABC △中，4AB =，π4BAC ∠=，π3ABC ∠=，点D ，E ，F 分别在BC ，CA ，AB 边上，且DE AC ⊥，DF AB ⊥，则EF 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个，标号为3号的球有2个．现从这8个球中任选2个球．（1）求选出的这2个球标号相同的概率；（2）设随机变量X 为选出的2个球标号之差的绝对值，求X 的分布列与数学期望．16．（15分）已知函数()2ln(1)bf x ax x x=++-，曲线()y f x =在()()1,1f --处的切线方程为2ln 23y =-．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间，并证明()f x 在(),0-∞上没有零点．17．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，12AC CC ==，160ACC ︒∠=，D ，E 分别是棱AC ，1CC 的中点．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）若P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围．18．（17分）设抛物线2:2(0)C y px p =>，过焦点F 的直线与C 交于点A ，B ．当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =．（1）求C 的方程；（2）已知点()1,0P ，直线AP ，BP 分别与C 交于点C ，D ．①求证：直线CD 过定点；②求PAB △与PCD △面积之和的最小值．19．（17分）对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*,m n ∈N ，m n ≠，都满足m n a a k m n -≤-，则称数列{}n a符合“()L k条件”．（1）试判断公差为2的等差数列{}n a是否符合“()2L条件”？（2）若首项为1，公比为q的正项等比数列{}n a符合“12L⎛⎫⎪⎝⎭条件”．①求q的取值范围；②记数列{}n a的前n项和为n S，证明：存在正数0k，使得数列{}n S符合“0()L k条件”2024届高三第二学期期初质量监测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】875%6⨯=，1321361342+=，选C ．2．【答案】B【解析】[]222222(1)i [(1)i]1i 1(1)i 12i1i 1(1)i (1)(1)a b a b z a b a b a b b z a b a b a b a b -++--+--++-+====+++++++++为纯虚数，2210a b +-=，即221a b +=，221z a b =+=．3．【答案】D【解析】2222221a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，12a b ∴⋅=a 在b 上的投影向量211212a b b b b b⋅== ，选D ．4．【答案】B【解析】对于A ，如图，设平面ABCD 为平面α，平面1111A B C D 为平面β，AB 为m ，11B C 为l 满足αβ∥，l α∥，m β∥，但l 与m 不平行，A 错．对于C ，设平面ABCD 为平面α，平面11BCC B 为平面β，11B C 为l ，11A D 为m ，满足αβ⊥，l α∥，m β∥，但l 与m 不垂直，C 错．对于D ，设平面ABCD 为平面α，平面11BCC B 为平面β，11B C 为l ，1DD 为m ，满足αβ⊥，l α∥，m β∥，但l 与m 不平行，D 错，选B ．5．【答案】B【解析】甲在第一位有44A 个结果，甲在第二位有1333C A 个结果，413433A C A 42+=，选B ．6．【答案】C【解析】直线10x ky --=过定点()1,0，M 在OP为直径的圆上，以OP 为直径的圆：221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，00x y b +=，即000x y b +-=即00(,)x y 是0x y b +-=与圆221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的交点，11222b-≤，212b ≤，选C 7．【答案】A 【解析】1tan 5tan 1tan 3ααα-+=+，tan 2α∴=或13-，α为锐角，tan 2α=222sin 21(sin cos )sin cos tan 133cos 2cos sin cos sin 1tan 1αααααααααααα++++=====-----，选A ．8．【答案】D【解析】如图，1PF 为圆O 的切线，切点为M ，1224PF F S a =△，14PF a ∴=，22PF a =，OM 为中位线，222124PF PF c +=，22204a c ∴=，25e ∴=，5e =D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC【解析】π()1sin 2322sin 213f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，πT =，A 对，对称中心纵坐标为1，B 错．ππ3π2232x ≤+≤，则π7π1212x ≤≤，即()f x 的一个单调减区间为π7,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦而πππ7,,π621212⎛⎫⎡⎤⊂⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭/C 对．()0f x =，则π72π2π36x k +=+或111π2π6k +5ππ12x k ∴=+或113ππ,,4k k k +∈∈Z Z ．11k =-，π4x =-；0k =，5π12x =；10k =，3π4x =；11k =，17π12x =，4个零点，D 错．选AC ．10．【答案】ABD【解析】1AE BB ⊥，()14,2,0B F =--，()2,4,0AE =- ，10B F AE ⋅= 1AE B F ⊥，AE ∴⊥面1BB F ，A 对．1(2,0,4)C E =- ，11(4,4,0)B D =-- ，(4,2,4)BF =--若1C E ，BF ，11B D 共面，则111C E xBF yB D =+ ，24402444x yx yx =--⎧⎪∴=--⎨⎪-=⎩112x y =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩，11112C E BF B D ∴=-+ ，B 对．如图截面为等腰梯形1MGC D ，12DC =，22MG =125DM C G ==，122DC MG -=2022-=，梯形面积(4222)32182⨯=，C 错．11111111111164243323A C D GBCD G D BC G BC G V V V S DC ---===⋅=⨯⨯⨯=△，D 对，选ABD ．11．【答案】BCD【解析】方法一：1x y ==时，()()()111f f f =+，()10f ∴=，A 错．1x y ==-时，()()()111f f f =----，()10f ∴-=1y =-，()()()()1f x xf f x f x -=--=-，()f x 为奇函数，B 对．2x =，12y =，11(1)2(2)22f f f ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，C 对．0xy ≠时，()()()f xy f y f x xy y x=+，()()()g xy g x g y ∴=+，120x x <<时，2211()()x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x <<时，211xx >210x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，21()()0g x g x ∴-<，即21()()g x g x <，()g x ∴在()0,+∞ ，D 对，选BCD ．方法二：令1(1)(1)(1)(1)0x y f f f f ==⇒=+⇒=，A 错．令1(1)(1)(1)(1)0x y f f f f ==-⇒=----⇒-=原式中令()()1y f x f x =-⇒-=-，()f x ∴是奇函数，B 正确．原式中令2x =，111112(2)022222y f f f ⎛⎫⎛⎫=⇒+=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 正确．对于D ，由()()()()()()()()()f xy f x f y f xy xf y yf x g xy g x g y xy x y=+⇒=+⇒=+任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，则211x x >，210x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭222211111111()()()()()0x x x g x g x g x g x g g x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫∴⎭-=⋅-=+⎛⎫-=<⎪ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭⎝21()()g x g x ∴<，()g x ∴在()0,+∞上，D 正确，选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】143【解析】{}n a 为等比数列，2254a a =，344a ∴=，即1233442a ==，{}n b 为等差数列，742421477log 733S b a ===⨯=．13．【答案】1215【解析】()22,X N σ~，()(1)P X a P X ≤=≥，122a +∴=，3a ∴=．6x x ⎛- ⎝展开式第1r +项13666221666C C (3)C (3)rr r r r r r r r r T x x x xx ----+⎛==-=- ⎝4r =，446C (3)15811215-=⨯=．14．6【解析】A ，F ，D ，E 四点共圆，EF 最小时，AD 最小，AD BC ⊥时，AD 最小，3AD =，2322=6EF ∴=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）22233228C C C 71C 284P ++===．（2）X 的所有可能取值为0，1，2，1(0)4P X ==，1111333228C C C C 15(1)C 28P X +⋅===，113228C C 63(2)C 2814P X ====．X 的分布列如下：X 012P141528314X 的数学期望15327()28728E X =+=．16．【解析】（1）22()1b f x a x x-=-+-'由题意知(1)2ln 22ln 232(1)101f a b a f a b b -=--+=-=⎧⎧⇒⎨⎨-=--==⎩'⎩（2）2222122(1)(1)2()21(1)x x x x f x x x x x '----=--=--322221(1)(221)(1)(1)x x x x x x x x x -+--+-+==--()f x ∴在(),1-∞-上；()1,0-和()0,1上()f x 的单增区间为(),1-∞-，单减区间为()1,0-，()0,1，()f x 在(),1-∞-上；()1,0-上，1()22ln(1)f x x x x=++-，(),0x ∴∈-∞时，()(1)212ln 232ln 20f x f ≤-=--+=-+<()f x ∴在(,0)-∞上没有零点．17．【解析】（1）证明：ABC △为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，BD ∴⊥平面11AA C C ，1BD A C ∴⊥，又四边形11AA C C 为菱形，11A C AC ∴⊥，1A C DE ∴⊥，BD DE D = 1A C ∴⊥平面BDE ．（2）如图建系，(3,0,0)B ∴，()0,0,0D ，130,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1(0,0,3)C 设111(3,1,0)(3,,0)C P C B CB λλλλλ==== ，(0,1)λ∈，11(3,3)DP DC C P λλ∴=+= ，3,0,0)DB = ，130,,22DE ⎛=- ⎝⎭ ，设平面PBD 与平面BDE 的一个法向量分别为1111(,,)n x y z = ，2222(,,)n x y z = ，11111330(0,3,)30x y z n λλλ∴++=⇒== ，2222303,1)13022x n y z =⇒=⎨-+=⎪⎩ ，设平面PBD 与平面BDE 夹角为θ122212231113cos ,1262223226121n n t n n t t t t λθλ⋅⎛⎫-∴==⋅∈ ⎪ ⎪+⋅-+⎝⎭-+ 令．18．【解析】（1）22p =，1p =，C ∴的方程为22y x =．（2）①设直线AB 方程为12x my =+，211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22121022x my y my y x ⎧⎪=⎨-⎩+⎪=⇒-=，121y y ∴=-同理13212y y p =-⋅=-，312y y -∴=，244222y y y y =-⇒=-设CD 与x 轴交于点G ，34124222G G G y y px x x y y ∴⋅=-⇒=-⇒=，∴直线CD 过定点()2,0．②1212111221222PAB PCD S S y y y y +=⋅-+⋅-△△21255544442y y m =-=+，当且仅当0m =时取“=”．19．【解析】（1）2n a n t =+，22m n a a m n m n -=-≤-∴公差为2的等差数列{}n a 符合()2L 条件．（2）①111n n n a qq --=⋅=，12m n a a m n -≤- 对,,m n m n *∀∈≠N 恒成立，1112m n q q m n --∴-≤-若1q =，则102m n ≤-，符合．若1q >，数列{}n a ，不妨设m n <1()2n m a a n m ∴-≤-，11()22n m a n a m ∴-≤-*设12n n b a n =-，由（*）式中的m ，n 任意性得数列{}n b 不递增，11111(1)022n n n n n b b a a q q -++∴-=--=--≤，n ∈N 但当[]41log 2(1)n q >--，11(1)02n q q --->，矛盾．若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，1()2m n a a n m ∴-≤-，即11()22m n a m a n +≤+**设12n n c a n =+，由（**）式中m ，n 的任意性得，数列{}n a 不递减11111()(1)022n n n n n c c a a q q -++∴-=-+=-+≥，*n ∈N 01q << 时，11()(1)2n f n q q -=-+单调递增，min 1()(1)102f n f q ∴==-+≥，01q << ，112q ∴≤<综上，公比q 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）得，11n n q S q-=-，112q ≤<，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0n m S S k n m -≤-，只需01k ≥即可！当112q ≤<时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在0k ，使得01111n mq q k n m q q ---≤---，*n ∈N 不妨设m n <，则只要证：0(1)()m n q q k q n m -≤--只要证：00(1)(1)m m n n q k q q k q +-≤+-设0()(1)n g n q k q n =+-，由m ，n 的任意性，()g n 单调不减只要证0(1)()(1)(1)0n g n g n q q k q +-=-+-≥只要证：0n k q ≥，*n ∈N ，112q ≤< ，∴存在0k q ≥上式对n *∀∈N 成立．∴存在正数0k 使数列{}n S 符合0()L k 条件．。

北京市通州区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析

北京市通州区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C 【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.2．已知,a b r r 为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由数量积的定义可得220a a =>r r ,为实数,则由22a b b a =r r r r 可得22a b b a =r r r r ,根据共线的性质,可判断a b =r r ；再根据a ab b =r r r r 判断a b =r r ,由等价法即可判断两命题的关系. 【详解】若22a b b a =r r r r 成立,则22a b b a =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b b a =r r r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r ；若a a b b =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b =r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r.所以“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件.故选:B 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.3．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B【解析】【分析】分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：222312A A=；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有122322=12C A A，可能都在A、E的右侧，排列方法有2222=4A A；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧11222222=16C C A A；所以不同的执行方案共有121241644+++=种．【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．4．二项式732xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式中，1x项的系数为（）A．94516-B．18932-C．2164-D．28358【答案】D【解析】【分析】写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可. 【详解】二项式732xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r rr r r rrxT C C xx---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r-=-,得4r=,故1x项的系数为7444712835(3)28C-⎛⎫-=⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）.A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B 【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.6．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行和面面平行的性质，可判定A ；由线面平行的判定定理，可判断B ；C 中可判断α，β所成的二面角为090；D 中有可能n ⊂α，即得解. 【详解】选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确；选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确；选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确；选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.8．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C 【解析】【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（）A ．3B ．223C ．22D ．13【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【详解】显然直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭过抛物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭如图，过A,M 作准线的垂直，垂足分别为C ，D ，过M 作AC 的垂线，垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF ，AC=AF ，又AM=MN ，所以M 为AN 的中点，所以MD 为三角形NAC 的中位线，故MD=CE=EA=12AC 设MF=t ，则MD=t ，AF=AC=2t ，所以AM=3t ，在直角三角形AEM 中，2222922AM AE t t t -=-=所以22tan 22ME tk MAE AE t=∠===故选：C 【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.10．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM ⋅u u u v u u u u v等于（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】D 【解析】【分析】利用已知条件，表示出向量AM u u u u r,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v，可得12.33AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r则AB AM ⋅u u u v u u u u v =12()33AB AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r =212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量． 11．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（） A a b b a <B a b b a >C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．【详解】已知0a b >>，赋值法讨论0a b >>的情况：（1）当1a b >≥时，令2a =，1b =b a <，a b e b e a ->-，排除B 、C 选项；（2）当01b a <<≤时，令12a =，13b =b a >，排除A 选项.故选：D. 【点睛】比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．12．设函数()(1x g x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-，因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减，所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，所以()()000112f x f x x +≥-+，所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=--≤⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点，所以()h x 在12x ≤时有一个零点因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2a ≥，所以a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届北京市通州区市级名校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2025届北京市通州区市级名校高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为得到的图象，只需要将的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．493．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,14．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．函数y=2x sin2x的图象可能是A ．B．C．D．7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.58．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（）A ．B ．C ．D ．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．1210．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．11．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b12．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市通州区2025届高三下学期第二次质量考评数学试题试卷

北京市通州区2025届高三下学期第二次质量考评数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭2．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥3．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．4．下列说法正确的是（）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立5．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A ．16B ．15C ．14D ．126．()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（） A ．20-B ．60C ．70D ．807．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+8．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =9．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -10．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A ．56B ．60C ．140D ．12011．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（） A ．23B ．2C ．14D ．1312．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合1|2B x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京巿通州区2025届高三下学期第二次阶段性考试数学试题试卷

北京巿通州区2025届高三下学期第二次阶段性考试数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±2．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．5-12B ．3-12C ．314+ D ．514+ 3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（） A ．-1B ．7C ．1D ．1或75．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 6．函数()cos2xf x x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．7．若2m ＞2n ＞1，则（） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e =的单调递减区间是（）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,210．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（） A ．51- B ．2C ．3D ．511．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（） A ．B ．C ．D ．12．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（） A ．i -B ．iC ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年北京市通州高三二模数学(理科)试卷及答案

通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷2019年4月第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2M =--, {}220N x x x =--<,则M ∩N ＝ A ．{-2，-1 } B ．{-1，0 } C ．{0，1 } D ．{1，2 }2. 已知0c <，则下列不等式中成立的是A ．2c c >B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．122cc⎛⎫> ⎪⎝⎭ D ．122c c ⎛⎫< ⎪⎝⎭3.在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心的极坐标是A ．12⎛⎫ ⎪⎝⎭，π B. 12π⎛⎫⎪⎝⎭， C. ()01， D. ()10，4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中)(mod m n N ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如)3(mod 211≡表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N 等于A ．7 B. 8 C. 9 D. 105.设抛物线24=y x 的焦点为F ，已知点14M ,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12N ,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1P ,c ，()4Q ,d 都在抛物线上，则M ，N ，P ，Q 四点中与焦点F 距离最小的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．6.“0m >”是“方程1222=+-m y m x 表示双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A.32 B. 34 C.38 D. 3168.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…．若数对(),m n 满足()()22132019m n --=，其中,m n N *∈，则数对(),m n 排在A ．第351位B ．第353位C ．第378位D ．第380位第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数2ii- (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第象限． 10.在ABC ∆中，3cos 5A =，42a =5b =，则c = ． 11．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2z x y =+的最大值是．12. 能说明“若函数)(x f 满足0)2()0(>⋅f f ，则)(x f 在)2,0(内不存在零点”为假命题的一个函数是．13. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有个(用数字作答)．14.在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(b a A ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”．以下函数：①x y 21=，②122+=x y ，③x y sin =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是．已知点),(b a A 在函数2x y =的图象上，若函数2x y =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()()22sin cos 2cos 1f x x x x =π-+-．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：职工甲职工乙（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）右图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面A ′ED ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段A ′D 上一点，若EF //平面A ′BC ，求DF FA'的值．DCBEA 'ED C BA图1 图2已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()01，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0u u u r u u u r u u u u r ，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程；（Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．()()2R kxe f x k x=∈定义集合M 与集合N 之差是由所有属于M 且不属于N 的元素组成的集合，记作{|}M N x x M x N -=∈∉且．已知集合{}1,2,3,,100S =L ．（Ⅰ）若集合{|2,*}nT x x n N ==∈，写出集合()S S T --的所有元素；（Ⅱ）从集合S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D 和最小值d 分别是多少？公差为D 和d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A S ⊆，且集合A 中含有10个元素，证明：集合S A -中必有10个元素组成等差数列．通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．三 10．7 11．112．()()21f x x =-(答案不唯一) 13．48 14． ① ③ , (]0-∞，三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．解：（Ⅰ）()()22sin cos 2cos1f x x x x=π-+-2sin cos cos2x x x =+sin 2cos2x x =+………………3分2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭………………4分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………………5分所以最小正周期2019.422T π==π； ………………6分（Ⅱ）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦． (7)分所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最小值-．…………10分所以()f x 有最小值1-． ………………11分因为当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，所以1m ≤-，即m 的取值范围是(]1-∞-，． …………13分16．解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A ． ..........1分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37P A =； ..........3分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2， . (4)分()0P X ==，()1P X ==，()2P X =． (7)分X 的分布列为..........8分()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=；..........10分（Ⅲ）3月3日． ..........13分由直方图知，微信记步数落在[20,25]，[15,20)，[10,15)，[5,10)，[0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人．由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000---20000之间，根据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日. 所以只有3月3日符合要求． 17．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．所以A ′E ⊥DE ． ………………1分因为A ′E ⊥BE ,DE ∩BE =E ， DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，所以A ′E ⊥平面BCDE ． ………………3分因为A ′E ⊂平面A ′ED ，所以平面A ′ED ⊥平面BCDE ． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A ′E ⊥DE ，A ′E ⊥BE ，DE ⊥BE ，如图建立空间直角坐标系E -xyz ，则 ………………5分E (0,0,0)，B (2,0,0)，D(0,2√3,0)，C(4,2√3,0) A ,(0,0,2) ，所以A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−2)， BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0). ………………6分设平面A ′BC 的法向量n =(x,y,z )，由 {n ∙BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ………………7分200.1200=⨯X 0 1 2P717472得 {−2x +2z =0，2x +2√3y =0，所以{x =z ， x =−√3y ．令y =−1，则x =√3，z =√3．所以n =(√3,−1,√3)． ………………8分所以|n |=√(√3)2+(−1)2+(√3)2=√7，又 |A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A ′E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =−2√3，所以cos ,7A E A E A E '⋅'<>===-'⋅u u u u ru u u u r u u u u rn n n． ………………9分所以直线A ′E与平面A ′BC所成角的正弦值为7. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,2)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0)，设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mDA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3m,2m)，则 ………………11分EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3−2√3m,2m)． ………………12分因为EF //平面A ′BC ，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =0，即0×√3+(2√3−2√3m)×(−1)+2m ×√3=0． ………………13分所以m =12，即DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以1DFFA ='. ………………14分 18．解：（Ⅰ）由已知，得，所以c e a ===． ..........3分a =1c =又，所以． (4)分所以椭圆C 的标准方程为，离心率3e =． ..........5分（Ⅱ）设．①当直线l 与x 轴垂直时，点A ,B的坐标分别为(，(0．因为()0,m mMA x y =-u u u r，()0mmMB x y =-u u u r，()0,0m m MO x y =--u u u u r，所以(3,3)m m MA MB MO x y ++=--=0u u u r u u u r u u u u r．所以0m x =，0m y =，即点M 与原点重合． ..........6分②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+． .......... ..........7分由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得()2232630k x kx ++-=， .......... ..........8分()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以，1224032y y k +=>+． .......... ..........9分因为，，，所以1212(03,03)0m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=u u u r u u u r u u u u r．222a b c =+b =22132x y +=11(,)m m MA x x y y =--u u u r 22(,)m m MB x x y y =--u u u r (0,0)m m MO x y =--u u u u r所以12123,3m m x x x y y y +=+=．2232m kx k -=+，243032m y k =>+． .......... . (11)分消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=． .......... ..........12分对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端： 2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． ......... ......... ......14分19．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x -'=-=-. ..........1分所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， (3)分即230x y -+=； (4)分（Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为，..........................5分所以()f x '==． .......... ........ ..............7分令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分（ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分综上k 的取值范围是()(]002,,-∞U ． ..........13分2xe kx{}0|≠x x 422x xe x ke kx kx ⋅-⋅42)2xx kx e kx -⋅（),2(+∞k )2,0(k),2(+∞k )2,0(k）（0,2k ），（k2-∞），（∞+0）（0,2k ⊆)2,0(k 12≥k20≤<k ），（∞+020. 解：（Ⅰ）集合的所有元素是:248163264，，，，，； (2)分（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即11D =．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100； ............................4分当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即1d =．这样的数列首项可以是12391L ，，，，中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列．......... ......... .......6分（Ⅲ）将集合S 中元素列表如下：表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．假设存在含有10个元素的集合A ，使得S -A 中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A 中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A 中的唯一一个元素．记表中第i 行第j 列的数为(),i j ．若第i (1≤i ≤9)行中集合A 的唯一元素为(i ,j )，则第i +1行中(i +1,1),(i +1,2),┈(i +1,j )中必有集合A 中元素．若第i (1≤i ≤9)行的第一个数在集合A 中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A 的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i (1≤i ≤8)行的第二个数在集合A 中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A 的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A ={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立．...........................13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。

高三数学模拟考试试题理通州二模,

卜人入州八九几市潮王学校通州区2021年高三年级模拟考试〔二〕数学〔理〕试卷第I 卷〔选择题一共40分〕一、选择题〔一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．〕1．设集合{0,1}A =，集合{1,0,1}B a =--，假设A B ⊆，那么实数a 的值是〔〕． A ．1B ．2C ．3D ．42．i 是虚数单位，那么复数2i(2i)z =-所对应的点落在〔〕． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设不等式组002x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩表示的平面区域为E ，在区域E 内随机取一个点，那么此点落在圆224x y +=内的概率是〔〕． A ．π2B ．π3C ．3π10D ．π44．执行如下列图的程序框图，假设输出的a 的值是16，图中判断框内？处应填的数为〔〕．A ．2B ．3C ．4D ．55．函数22x y a +=-〔0a >且1a ≠〕的图象恒过定点A ，假设点A 在直线10mx ny ++=〔0m >，0n >〕上，那么12m n+的最小值等于〔〕． A ．16B ．12C ．9D ．86．,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下4① 假设//,m n n α⊂，那么//m α；② 假设m n ⊥，m α⊥，n α⊄，那么//n α； ③ 假设αβ⊥，m α⊥，n β⊥，那么m n ⊥；④ 假设m ，n 是异面直线，m α⊂，n β⊂，//m β，那么//n α．〔〕． A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④7．32k >是直线(2)y k x =+与曲线2194x x y -=有两个公一共点的〔〕条件． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．直线(0)x t t =>与函数2()1f x x =+，()ln g x x =的图象分别交于A 、B 两点，当AB 最小时，t值是〔〕． A ．1B ．12C．2D第II 卷〔非选择题一共110分〕二、填空题〔一共6小题，每一小题5分，一共30分〕9．cos 2sin 1ρθρθ+=的直角坐标方程为____________．10．61()ax x-的二项展开式中的常数项为160，那么实数a =____________．11．设1210,,,a a a 成等比数列，且121032a a a =，记1210x a a a =+++，1210111y a a a =+++，那么xy=____________． 12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos a B b C c B =+，那么B ∠=__________．13．O :224x y +=及点(1,3)A ，BC 为O 的任意一条直径，那么AB AC ⋅=_________．① ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(20)0.4P ξ-=，那么(2)0.2P ξ>= ② p ：00,tan 1x x ∃∈=R 2:,10q x x x ∀∈-+>R p q ∧⌝③ 设回归直线方程为 2.52y x =-，当变量x 增加1个单位时，y 平均增加2个单位 ④πsin xdx ⎰值等于2三、解答题〔一共6小题，一共80分，解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．〕14．〔本小题13分〕假设函数2()2cos 2f x x x a =+〔a ∈R 〕（I ）求函数()f x 的周期及对称轴方程；（II ）假设函数()f x 在区间π[0,]2上的最小值为5，求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值．15．〔本小题13分〕某种工程的射击比赛，开场时在距目的100m 处射击，假设命中记6分，且停顿射击；假设第一次射击未命中，可以进展第二次射击，但目的已经在150m 处，这时命中记3分，且停顿射击；假设第二次仍未命中，还可以进展第三次射击，此时目的已经在200m 处，假设第三次命中那么记1分，并停顿射击；假设三次都未命中，那么记0分，且不再继续射击，射手甲在100m 处击中目的的概率为12，他的命中率与其距目的间隔的平方成反比，且各次射击是否击中目的是互相HY 的．（I ）分别求这名射手在150m 处、200m 处的命中率；（II ）ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 16．〔本小题14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，//AB CD ，222AB BC CD ===，点E 为PA 中点．（I ）求证：//DE 平面PBC ; （II ）求证：平面PBC ⊥平面PAB ;（III ）假设直线PD 与平面ABCD ，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值．17．〔本小题13分〕函数322()233f x x ax x =-++．（I ）当14a =，求函数()f x 在[2,2]-上的最大值、最小值；（II ）令()ln(1)3'()g x x f x =-+-，假设()g x 在定义域上单调递减，务实数a 的取值范围． 18．〔本小题14分〕点Q 为直线4x =-上的动点，过点Q 作直线l 垂直于y 轴，动点P 在l 上，且满足OP OQ ⊥〔O 为坐标原点〕，记动点P 的轨迹为C ．（I ）求曲线C 的方程；（II ）设A ，B 为曲线C 上两点，且直线AB 与x 轴不垂直，假设线段AB 中点的横坐标为2，求证：线段AB 的垂直平分线过定点．19．〔本小题13分〕定义：假设数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，那么称{}n a 为“三角形〞数列．对于“三角形〞数列{}n a ，假设函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形〞数列，那么称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数〞，〔*n ∈N 〕．（I ）数列{}n c 的首项为2010，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足1438040n n S S +-=，证明{}n c 是“三角形〞数列；（II ）{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，假设()x f x k =，〔1k >〕是数列{}n a 的“保三角形函数〞，求k 的取值范围．。

北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（）A．B．C．D．2. 设复数满足，则（）A ．5B．C．D ．13. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A．在区间上单调递减B．的图象关于直线对称C ．是奇函数D．4.已知数列的前项和为，且，则的值为（）A．B．C．D．5.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A．B．C．D．6. 已知直线l 和平面，满足，.在，，这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37. 一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（）A．B．C．D．8. “角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n 次运算的结果为，若，且均不为1，则（）A ．5或16B ．5或32C ．3或8D ．7或329. 已知直线，，则（）A．直线过定点B ．当时，C ．当时，D ．当时，之间的距离为10. 若，则的值可能为（）A．B．C．D．11.已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（）北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题(2)北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题(2)三、填空题四、解答题A．数列为等比数列B ．数列为等差数列C．D．12. 抛物线：，是上的点，直线与交于两点，过的焦点作的垂线，垂足为，则（）A．的最小值为1B ．的最小值为1C ．为钝角D ．若，直线与的斜率之积为13. 2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间的有10位，位于区间的有20位，位于区间的有25位，位于区间的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为____________14. 双曲线的左，右焦点分别为、，过点的直线l 交双曲线的右支于A 、B两点，且，，则双曲线的离心率为______．15. 已知是虚数单位，若复数满足，则__________.16. 如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，．(1)求证：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值；(3)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．17.如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，，，，是的中点，为上一点（不是的中点）．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．18. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．19.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.20. 已知正项数列的前项和为，，当时，．(1)求数列的通项公式．(2)记，求数列的前项和．21. 已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．。

北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题 (2)

一、单选题二、多选题1.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为（）A．B．C．D．2. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3. 已知为虚数单位，复数满足，则A ．2B．C ．-2D．4.已知，且函数与值域相同，则a 的取值范围为（）A．B．C．D．5. 已知集合，，则（）A．B．C．D．6. 已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．47. 某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别，两次观测时镜子间的距离为，人的“眼高”为，则建筑物的高度为（）A．B．C．D．8. 已知函数则（）A ．2B．C ．1D．9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（）A ．的值为0.015，的值为40B ．平均分为72，众数为75C ．中位数为75D ．已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题 (2)北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知函数，，则正确的是（）A．B ．是函数的零点C．函数是非奇非偶函数D ．为图象的一条对称轴11. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A ．若，，则B ．若，m ∥，则C ．若，则D ．若，则12. 已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为.设，，是直线上的动点，直线，分别与E 的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（）A ．双曲线的方程为B．C ．以为直径的圆经过点D ．当时，平行于轴13. 已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为_________.14. 已知函数，若，则实数的取值范围为_________．15. 已知定义域为的奇函数，当x >0时，有，则______．16.已知数列的前项和为，，.（1）求证：是等差数列；（2）求数列中最接近2020的数.17. 已知函数和有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．18. 如图，菱形的边长为6，对角线交于点，，将沿折起得到三棱锥，点在底面的投影为点．（1）求证：；（2）当为的重心时，求到平面的距离．19. 已知数列，的前n 项和分别为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，若恒成立，求k 的最小值．20. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且．(1)求角C 的大小；(2)若，求△ABC 面积的取值范围．21. 某校计划举行高二年级辩论赛，辩论赛的选拔流程如下：A ．初选：学生自愿报名，在三分钟内进行即兴演讲，演讲结束后由四名老师进行打分，得分最高的三十二个人进入二选；B ．二选：通过初选的学生被给予五个演讲题目，学生上台前由老师在五个题目中随机抽取一个并公布，通过二选的学生即成为辩论赛队伍的一员．一向对辩论感兴趣的小明报名参加了辩论赛．(1)由于报名参加初选的学生较多，为节省时间，语文组决定，老师可以在学生的演讲开始一分钟或两分钟时叫停并直接打分，如两次均未叫停，则由学生演讲至结束．已知各位老师是否叫停互相独立，且只要有一名老师叫停学生演讲即结束，小明准备的演讲时长恰为三分钟，且每次被每位老师叫停的概率均为，求小明最终演讲时间为2分钟的概率；(2)二选最终选出二十名学生组成四支辩论队．为保证队伍之间实力的均衡性，语文组根据二选得分将二十名学生进行排序，按如下规则进行分配：第一次将1-4名的学生分别分配到四支队伍，第二次分配5-8名的学生，以此类推进行五次分配．①记分配方法总数为n ，估算的值（精确到小数点后1位，参考数据：，）②已知小明和同班的两名同学都通过了二选，且分属三个不同的名次段，记小明队中来自小明班级的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．。

通州市高三数学第二次综合测试_6

通州市高三数学第二次综合测试一、填空题：本大题共14题，每小题5分共70分，请将正确答案填写在题后横线上．1．复数z=12i +,则|z|= ． 2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ．3．从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的％． 4．若点（1,1）到直线xcosα+ysinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是．5．函数f(x)=2x3－6x2＋7的单调减区间是． 6．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =7．在约束条件：x+2y≤5,2x+y≤4,x≥0,y≥0下，z=3x+4y 的最大值是．8．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为．9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ．10．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y=0，若m 在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是．11．已知函数22(1),00,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框中应该填上．12．在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+ ，2AC i m j =+，则实数m= ．13．已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .14．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥β，n ∥β，m、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ；其中所有正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）某学校拟建一块周长为400m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？16．（本小题满分13分）如图已知在三棱柱ABC ——A1B1C1中，AA1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA1、BB1、AB 、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ ；（2）求证：PC1∥面MNQ ．17．（本小题满分15分）某单位在抗雪救灾中，需要在A 、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m 的C 、D 两地（A 、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？（参考数据：2.6≈≈）18．（本小题满分16分）倾斜角为60°圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．A1 A BC P M N Q B1 C1307515DCB45 A19．（本小题满分16分）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行． 0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008 1，3，5， …， 4011， 4013， 4015 4，8， …， 8024， 8028 ……（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。

北京第二中学通州分校高三数学理测试题含解析

北京第二中学通州分校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A． B．C． D．参考答案：B2. 设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且，当x∈（0，π）时，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，即g（）?sinx＞f（x）；①当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（）＞=g（x）；所以x∈（，π）；②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜=g（x）；所以x∈（﹣，0）；不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π）．故选：B．3. 已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）．A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据渐近线方程，设双曲线的标准方程是，代入点的坐标求出的值，即可得到双曲线的标准方程．【详解】由题意，双曲线一条渐近线方程为，设双曲线的标准方程是，代入点，可得，解得，所以双曲线的标准方程为，即．故选：A．【点睛】本题主要考查了根据双曲线的渐近线方程求解双曲线的方程，其中解答中熟练应用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．5. 如图，在一个上底无盖的圆台形容器上放置一个球体，已知圆台上、下底面半径分别为，，母线长，球的最低点距圆台下底面，则球的表面积为( )A. B. C.D.参考答案：B易求上底面圆心至球最低点距离为，则，得，，故选B．6. 已知双曲线的左右焦点为、，抛物线的顶点在原点，准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．参考答案：答案：B7. 函数f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是A．a> B.<a< C．a> D．a<参考答案：C8. 已知等边的顶点在平面上，在的同侧，为中点，在上的射影是以为直角顶点的直角三角形，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D略9. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20D．46参考答案：B【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．10. 某汽车的使用年数x与所支出的维修费用y的统计数据如表：根据上表可得y关于x的线性回归方程=x﹣0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（）A．8年B．9年C．10年D ．11年参考答案：D【分析】计算、，求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测该汽车最多可使用年限．【解答】解：计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.5+1.2+2.2+3.3+4.5）=2.34；代入回归方程=x ﹣0.69得2.34=×3﹣0.69，解得=1.01；∴回归方程为=1.01x﹣0.69，令=1.01x﹣0.69≥10，解得x≥10.6≈11，据此模型预测该汽车最多可使用11年．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在三棱柱中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面的中心，则AD与平面所成角的大小是__________.参考答案：60°12. 某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派名学生发言，要求甲、乙两人中至少有人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________．参考答案：见解析解：．13. 将正奇数下表其中第行第个数，例，若，则▲ ．参考答案： 6014. 如果函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是___________.参考答案：(0，)略 15. 若,则.参考答案：或16. 设为实数,函数的导函数为,且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为 .参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11解析：∵f（x ）=x 3+ax 2+（a ﹣3）x ，∴f′（x ）=3x 2+2ax+（a ﹣3），∵f′（x ）是偶函数，∴3（﹣x ）2+2a （﹣x ）+（a ﹣3）=3x 2+2ax+（a ﹣3），解得a=0，∴f（x ）=x 3﹣3x ，f′（x ）=3x 2﹣3，则f （2）=2，k=f′（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，∴切线方程为y ﹣2=9（x ﹣2），即9x ﹣y ﹣16=0．故答案为：9x ﹣y ﹣16=0．【思路点拨】先由求导公式求出f′（x ），根据偶函数的性质，可得f′（﹣x ）=f′（x ），从而求出a 的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．17. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .参考答案： 15三、解答题：本大题共5小题，共72分。