概率统计分布表(常用)

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z分布统计表 )

表B.1正态分布表*

*A列是正态分布的z分数。

B列是z分数对应分布中本体的概率值。

C列是z分数对应分布中尾端的概率值。

主要：因为正态分布是对称分布，所以负的z分数具有与正的z分数相同的概率。

Body Body

B B

T ail

C C

0?z

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[课件]概率与统计 6.2 常用统计分布

电子科技大学
常用统计分布
总体, 总体,个体简单随机样本正态总体的 2个抽样定理个抽样定理
统计量
样本均值样本方差样本矩(样本相关系数) 样本矩(样本相关系数)
统计量的分布
χ2分布
t 分布 F分布分布
分位数结构定理
电子科技大学
常用统计分布
设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给例6.2.1 设随机变量服从正态分布定的α(0<α<1),数uα满足 , 定的 , P{X > uα} = α
电子科技大学
常用统计分布
定理6.2.1 设 X1,X2,…,Xn 相互独立定理 , 且都服从标准正态分布服从标准正态分布, 且都服从标准正态分布,则标准正态随机变量的独立平方和
χ = ∑Xi ~ χ (n)
2 2 2 i=1
n
服从自由度为的卡方分布. 即随机变量 χ 2 服从自由度为 n 的卡方分布之一) 统计量的分布 (之一)
2
样 , 的本 X, S 分是本值样方 , 别样均和本差则
2
2
(1)X与相独 ; S 互立
(3) n1
X (2) ~ N(0,1); σ n
σ
2
S ~ χ (n1);
2 2
X (4) ~ t(n1) S n

z分布统计表常用

z分布统计表

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表B.1 正态分布表*

*A 列是正态分布的z 分数。

B 列是z 分数对应分布中本体的概率值。

C 列是z 分数对应分布中尾端的概率值。

主要：因为正态分布是对称分布，所以负的z 分数具有与正的z 分数相同的概率。

CC 0+z

GeneratedbytheMinitabstatisticalprogramusingtheCDLcommand.

入学率统计表

表Ⅰ 0—17周岁儿童、少年统计表

（2021至2021学年度）

填表单位：（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日

注：“三残”指视力、听力语言和智力残疾。

表Ⅱ 0—17周岁儿童、少年花名册

填表单位：乡（镇）村（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日

注：填入本表儿童、少年以户籍为准；乡（镇）每周岁一个分册。第张（共张）

表Ⅲ小学正常适龄儿童入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人填表时间：年月日

注：1、填报本学年初人数；2、适龄儿童以户籍和规定入学年龄为准；3、入学适龄人儿童数包括在本校和外校及初中就读的学生。

表Ⅳ初中正常适龄少年入学情况统计表

（至学年度）

填表单位：（盖章）填表责任人填表时间：年月日

注：1、填报本学年初人数，2、入学适龄人口数包括在本校和外校及高中就读的学生。

表Ⅴ残疾儿童、少年入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日

注：1、填报本学年初数据；2、“三残”指：视力、听力语言和智力残疾；3、附“三残”儿童少年花名册

员工加班登记表

2021年月日填表

统计学附录-卡方分布t-分布表

统计学附录-卡方分布 t-分布表

卡方分布

卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

卡方分布的数学定义

若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布)，则随机变量X

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

卡方分布的特征

卡方分布的概率密度函数为:

其中x?0, 当x?0时fk(x) = 0。这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为:

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为:

其中ψ(x) 是 Digamma function。

卡方变数与 Gamma变数的关系

当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)

即:

卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布

参数 k > 0, 自由度

值域 ,

概率密度函数

累积分布函数(cdf)

期望值 k,

中位数大约k ? 2 / 3,

众数 k-2, if,

方差 2,k,

偏态 ,

峰态 12/k,

熵值

概率统计分布表(常用)

标准正态表x

n\p 1 2 3 4 5 6 7 8 9

T分布

n\p

100

120

F分布

n\m 1 2 3 5 6 7 8 10 15 20 30 1

Excel公式

1.正态分布函数

Excel计算正态分布时，使用NORMDIST函数，其格式如下：

NORMDIST（a，μ，σ，累积）

其中，“累积”：若为TRUE，则输出分布函数值，即P{X≤a}；

若为FALSE，则为概率密度函数值．

示例：已知X服从正态分布，μ＝600，σ＝100，求P{X≤500}．

输入公式

NORMDIST(500, 600, 100, TRUE)

得到的结果为，即P{X≤500}=．

2、正态分布函数的反函数

Excel计算正态分布函数的反函数使用NORMINV函数，

格式如下：NORMINV（p，μ ，σ ），此公式计算a，使P{X ≤a}=p

概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布

摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。关键词

1 一维随机变量分布

随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常

用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．

随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X

x x

=∈-∞=-∞

+∞.

这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=

称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。（2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使

概率论常用统计分布

证因为 X i ~ N (0, 1), 所以
E ( X i ) D( X i ) [ E ( X i )]2 1,
2
E( X i )
4

1 x 2
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu2 0
x2 e 2
2 d x 2

x2 3 x de 2 0
2 3 [x e 2
2 x
同理
X 3 X 4 X 5 X 6 ~ N (0,4),
X3 X4 X5 X6 则 Y2 ~ N (0,1) 4
X3 X4 X5 X6 X1 X 2 又 Y1 与 Y2 4 2
相互独立.
X1 X 2 2 X3 X4 X5 X6 2 所以 ( ) ( ) 2 4
X ~ N (0,1) 解从抽样分布知
而 Yi ~ N (0,9), 故Yi / 3 ~ N (0,1)，
从而
Yi 2 2 ( ) ~ (1), i 1,2,,9. 3
由可加性知
Yi 2 2 ( 3 ) ~ ( 9) i 1
X 1 2 Yi 9 i 1
9
9
于是由t 的定义有
例1 设X ~ N (0,4),Y ~ 2 ( 2)，且X ,Y相互独立，
X2 试求解 Y 的概率分布. 4

几种常见的概率分布及应用

常见的概率分布有很多种，在统计学和概率论中，这些分布被广泛应用于各种领域，包括自然科学、工程、经济和社会科学等。下面是几种常见的概率分布及其应用：

1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的概率分布之一，它的概率密度函数在一个给定的区间内是常数。这种分布广泛应用于统计推断、模拟和随机数生成等领域。

2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布适用于具有两个可能结果的离散试验，如抛硬币、打靶等。在二项分布中，每个试验都是独立的，并且具有相同的概率。二项分布在实验研究和贝叶斯统计等领域有广泛的应用。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间或空间内稀有事件发生次数的概率分布。它在复杂事件模型、风险评估和可靠性分析等领域有广泛的应用。

4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。它具有对称的钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学和工程等领域。正态分布在统计推断、回归分析、贝叶斯统计等方面发挥着重要作用。

5. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布适用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布。它在可靠性工程、队列论、生存分析等领域有广泛的应用。

6. γ分布（Gamma Distribution）：γ分布是一类连续概率分布，用于描述正数随机变量的分布，如等待时间、寿命和利润等。它在贝叶斯统计、过程控制和金融分析等领域被广泛使用。

统计学附录-卡方分布t-分布表

统计学附录-卡方分布 t-分布表

卡方分布

卡方分布的数学定义

若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布)，则随机变量X

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

卡方分布的特征

卡方分布的概率密度函数为:

其中x?0, 当x?0时fk(x) = 0。这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为:

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为:

其中ψ(x) 是 Digamma function。

卡方变数与 Gamma变数的关系

当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)

即:

卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布

参数 k > 0, 自由度

值域 ,

概率密度函数

累积分布函数(cdf)

期望值 k,

中位数大约k ? 2 / 3,

众数 k-2, if,

方差 2,k,

偏态 ,

峰态 12/k,

熵值

概率统计分布表格(常用)

标准正态表

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

概率分布与统计图表

的正态分布，
上的概率；（2）
X取值在区间
先做标准化变换:
上的概率；
正态曲线下面积对称，则区间（1.96，∞）的面积也是 0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率为1-2×0.025=0.95，即
X取值在区间
2018/10/26
上的概率为95%。
14
例 2 已知某地1986年120名8岁男童身高均数
，
S=4.79 cm ，估计(1)该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩
总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？
先做标准化变化:
理论上该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。
2018/10/26 15
2018/10/26 19
估计医学参考值范围的方法：
1. 正态近似法：适用于正态分布或近似正态分布的资料。 2. 百分位数法：适用于偏态分布资料。
过低异常过高异常
过低异常过高异常
2018/10/26
20
例3 某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显
示，其分布近似于正态分布，得均数为117.4g/L，标准差为10.2g/L ，试估计该地正常女性血红蛋白的95% 医学参考值范围。
N(0,1)表示标准正态分布。

第3节常用统计分布(三个常用分布)

定理设样本( X1, X2, , Xn) 是来自总体X , 而
X ~ N (, 2),
则 X ~ t(n 1) S/ n
定理
设总体
X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
),
X与Y相互独立. 样本( X1, X2 , , Xn1 )
与 (Y1, Y2, , Yn2 ) 分别来自总体X和Y，则
2 2
X
2 3
2
X
2 4
2
~
2(2)
由t分布的定义
X1 X2
2 2 ~ t(2)
X
2 3
X
2 4
2 2
即 X1 X2 ~ t(2)
X
2 3
X
2 4
4. F分布
定义设 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ), 且X , Y 独立,
则称随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
服从自由度为
由定义有 T 2 X 2 其中X ~ N (0,1),则X 2 ~ 2 (1)
Yn
~ F(1, n)
由F
分布的性质知
1 T2
~
F (n,1)
二、概率分布的分位数
定义对于总体X 和给定的 (0 1),若存在x,使 P{X x}

几种常用的分布_抽样分布

3. 分位点
P{ ( n)} (给定)
2 2
2 分布的上分位点（表三）
2 查表三 ( P . 256 ) 得 0.01, n 14, 例如： 0.01 (14) 29.141
即若 2 ~ 2 (14), 则 P{ 2 29.141} 0.01
解由故
2 2 X ~ N ( 21, ) 25
0 .4 2 X 21 ~ 得 N (0,1) 0.4
X 21 P{| X 21 | 0.24} P 0.6 0.4 2(0.6) 1
0.4514
例（ P.130 定理5.1，定理5.6的应用）
1 1 F0.95 (12,9)＝ 0.357 F0.05 (9,12) 2.8
证明：
P{F F1 (n1, n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1, n2 )
1 F ( n2 , n1 ) F1 ( n1 , n2 )
X 1 , X 2 ,, X n为X的一个样本，则当 n 充分大时，
X ~ N ( 0,1) （近似） / n
证由中心极限定理，当n充分大时
X / n
X
i 1
n
i
n
2

数理统计t分布表

t分布表是一种用于查找t分布概率密度函数下的临界值的表格。在统计学中，t分布（也称为学生t分布）是一种概率分布，常用于小样本情况下对总体均值的推断。t分布表中的数值表示在给定的自由度（样本量减1）和置信水平下，t分布的临界值。

通常，t分布表格以自由度和置信水平为两个参数，用来确定临界值（也称为t值）。在使用t分布表时，首先确定所需的置信水平（通常是95%或99%），然后根据样本量减1的自由度找到对应的t 值。这个t值代表了在给定置信水平下，t分布曲线中位于该t值之外的概率。

标准正态分布表025

标准正态分布表025是统计学中常用的一种表格，用于计算正态分布的概率。

正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，均值为0，标准差为1。标准正态分布表025可以帮助我们在进行正态分布概率计算时节省时间，提高

计算的准确性。

在标准正态分布表025中，横坐标为Z值，纵坐标为Z值对应的累积概率。通

过查表可以得到给定Z值下的累积概率，也可以通过给定累积概率来反查对应的Z 值。这对于统计学中的假设检验、置信区间估计等问题非常有用。

使用标准正态分布表025时，首先需要计算出所关注的变量的Z值，即将原始

数据转化为标准正态分布的变量。然后根据Z值在表格中查找对应的累积概率。

例如，如果我们要计算Z值为1.96时的累积概率，可以在表格中找到Z值为1.9

和0.06的交叉点，对应的累积概率为0.9750。这意味着在标准正态分布下，Z值

小于1.96的概率为0.9750。

另外，标准正态分布表025也可以用于反查。例如，如果我们希望找到累积概

率为0.95对应的Z值，可以在表格中找到累积概率为0.9500的数值，对应的Z值

为1.64。这意味着在标准正态分布下，Z值小于1.64的概率为0.95。

在实际应用中，标准正态分布表025可以帮助我们进行各种与正态分布相关的

统计推断。例如，在制造业中，我们可以利用标准正态分布表025来进行质量控制，判断产品的合格率；在医学研究中，我们可以利用标准正态分布表025来进行药效学研究，评估药物的疗效；在金融领域，我们可以利用标准正态分布表025来进行风险评估，制定投资策略。

概率统计知识点全归纳

高中数学《概率与统计》知识点总结

一、统计 1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为

n 。

2、总体分布的估计： ⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： ⑴平均数：n

x x x x x n

++++=

321；

取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：2

)

∑=-=n

i i

x x

s ；

标准差：2

)

(1∑=-=

i i

x x

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

221n

i i i n

i x y nx y b x nx a y bx

==⎧

-⎪

⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。二、概率

概率统计分布表(常用)

z分布统计表 )

[课件]概率与统计 6.2 常用统计分布

z分布统计表常用

统计学附录-卡方分布t-分布表

概率统计分布表(常用)

概率论中几种常用重要分布

概率论 常用统计分布

几种常见的概率分布及应用

统计学附录-卡方分布t-分布表

概率统计分布表格(常用)

概率分布与统计图表

第3节 常用统计分布(三个常用分布)

几种常用的分布_抽样分布

数理统计t分布表

标准正态分布表025

概率统计知识点全归纳

概率论常用统计分布

第3节常用统计分布(三个常用分布)