课时作业14

课时作业(十四) 导数与函数(一)
A 级
1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
2．(2012·陕西卷)设函数f (x )＝2
x ＋ln x ，则( )
A ．x ＝1
2为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点
D ．x ＝2为f (x )的极小值点
3．(2012·长春名校联考)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A ．f (b )>f (c )>f (d )
B ．f (b )>f (a )>f (e )
C ．f (c )>f (b )>f (a )
D ．f (c )>f (e )>f (d )
4．(2012·长春市调研)若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数f (x )在区间(0，＋∞)
上的图象如图所示，则不等式f (x )f ′(x )>0的解集是( )
A ．(－∞，0)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
6．(2012·枣庄模拟)若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1
在x ＝1处取得极值，则a ＝________.
7．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．
8．(2012·长春模拟)已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.
9．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
10．已知函数f (x )＝1
x ＋ln x (a ≠0，a ∈R )．求函数f (x )的极值和单调区间．
11．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1
2.
(1)求a ，b 的值；
(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．
B 级
1．(2012·重庆卷)设f (x )＝a ln x ＋12x ＋3
2x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的
切线垂直于y 轴．
(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．
2．已知函数f (x )＝3x
a －2x 2＋ln x ，其中a 为常数．
(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 答案：
课时作业(十四)
A 级
1．D f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x . 由f ′(x )>0得x >2.
2．D ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1
x
.
由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x >2时，f (x )>0，当x <2时，f (x )<0.
3．C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.
4．C 依题意得f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝8
3
－4a ＋1<0，因此f (x )在(0,2)内只有一个零点，故选C.
5．B
f (x )图象如图
①当x >0，f ′(x )>0，
若f (x )·f ′(x )>0，则只需f (x )>0， 由图得x ∈(1，＋∞)． ②当x <0，f ′(x )<0，
若f (x )·f ′(x )>0，则只需f (x )<0， 由图得x ∈(－1,0)．
综上，x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．
6．解析： f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，f ′(1)＝3－a 4＝0⇒a ＝3.
答案： 3
7．解析： f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.∴m >6或m <－3.
答案： (－∞，－3)∪(6，＋∞) 8．解析： ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，
∴由已知可得⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝(－1)3＋3m (－1)2＋n (－1)＋m 2
＝0
f ′(－1)＝3×(－1)2
＋6m (－1)＋n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3或⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝2n ＝9， 当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2n ＝9
时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 答案： 11
9．解析： ∵f (x )＝a ln x ＋x ，∴f ′(x )＝a
x ＋1.
又∵f (x )在[2,3]上单调递增， ∴a
x ＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立， ∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)． 答案： [－2，＋∞)
10．解析： 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1
x 2，
令f ′(x )＝0，得x ＝1， 又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
所以x ＝1f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 11．解析： (1)f ′(x )＝2ax ＋b
x .
又f (x )在x ＝1处有极值1
2
.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝12，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，2a ＋
b ＝0.解之得a ＝1
2
且b ＝－1.
(2)由(1)可知f (x )＝1
2x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，
且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)
x
.
由f ′(x )<0，得0<x <1；由f ′(x )>0，得x >1. 所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)． 单调增区间是(1，＋∞)．
B 级
1．解析： (1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋3
2
.
由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋3
2
x ＋1(x ＞0)，
f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2
－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)
2x 2
.
令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1
3
⎝⎛⎭
⎫因为x 2＝－13不在定义域内，舍去.
当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.
2．解析： (1)若a ＝1时，f (x )＝3x －2x 2＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1
x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x (x >0)．
当f ′(x )>0，x ∈(0,1)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．
故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)． (2)f ′(x )＝3a －4x ＋1
x
，
若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，
即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1
x ≤0，
即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1
x ≤0在[1,2]上恒成立． 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x
. 令h (x )＝4x －1
x ，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，
所以3a ≥h (2)或3
a
≤h (1)，
即3a ≥152或3a ≤3，解得a <0或0<a ≤2
5或a ≥1.。