第五章第三节等比数列及其前n项和 Word版含解析

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2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章数列第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案

第3讲等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________．由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题．高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0，所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)．由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n，所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0，由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。

《等比数列的前 n 项和》讲义

《等比数列的前 n 项和》讲义在数学的奇妙世界里，等比数列是一个充满魅力和挑战的概念。

而其中，等比数列的前 n 项和更是具有重要的地位和广泛的应用。

接下来，让我们一起深入探索等比数列的前 n 项和的奥秘。

一、等比数列的定义首先，咱们得清楚啥是等比数列。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数就叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。

比如说，数列 2，4，8，16，32 就是一个公比为 2 的等比数列。

二、等比数列的通项公式有了等比数列的定义，那怎么表示它的每一项呢？这就引出了等比数列的通项公式：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 是首项，n 是项数。

举个例子，对于等比数列 2，4，8，16，32 ，首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 32 。

三、等比数列的前 n 项和公式接下来，就是咱们的重点——等比数列的前 n 项和公式。

当公比 q ＝ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ na1 。

当公比q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。

这个公式是怎么来的呢？咱们来推导一下。

设等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，其前 n 项和为 Sn 。

Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an ①qSn ＝ a2 ＋ a3 ＋ a4 ＋＋ an ＋ an+1 ②②①得：qSn Sn ＝ an+1 a1Sn(q 1) ＝ a1(q^n 1)所以，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) （q ≠ 1）四、公式的应用知道了公式，那得会用啊！咱们来看几个例子。

例 1：求等比数列 2，4，8，16，32 的前 5 项和。

这里首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，项数 n ＝ 5 。

因为q ≠ 1 ，所以使用公式 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q)S5 ＝ 2×（1 2^5) ／（1 2) ＝ 2×（1 32) ／（－1) ＝ 62例 2：一个等比数列的首项为 3 ，公比为 2 ，求它的前 10 项和。

第三节等比数列及其前n项和

考点一
等比数列的基本运算 [典例引领]
1．(2017· 武汉调研)若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3， a2 3＝பைடு நூலகம்a2a6，则 a4＝ 24 3 B． C． 5 16 a1＋2a1q＝3，解析：由题意，得 2 2 5 a q ＝ 4 a q · a q 1 1 1 ， 3 A． 8 ( 9 D． 16 )
课前 ·双基落实课堂 ·考点突破课后· 三维演练
等比数列及其前n项和
结束
G
G2＝ab
2．等比数列的有关公式
a1qn－1
na1
课前 ·双基落实
课堂 ·考点突破
课后· 三维演练
等比数列及其前n项和
结束
3．等比数列的常用性质
qn－m
ap· aq
a2 k
课前 ·双基落实
定义法中项公式法通项公式法前n项和公式法
课前 ·双基落实
课堂 ·考点突破
课后· 三维演练
等比数列及其前n项和
结束
[提醒]
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方
法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
(2)由(1)得
λ n Sn＝1－ λ－1 ．
λ λ 31 1 5 31 5 由 S5＝得 1－λ－1 ＝，即λ－1 ＝． 32 32 32
解得 λ＝－1．
课前 ·双基落实课堂 ·考点突破课后· 三维演练
等比数列及其前n项和

第五章第三节等比数列及其前n项和

第三节
等比数列及其前n项和
抓主干知识回顾
研考向考点研究
思想与方法系列16
课时跟踪检测
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第三节
等比数列及其前n项和
第三节
等比数列及其前n项和
抓主干知识回顾
研考向考点研究
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1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．
解析
2 由 a4 ＝a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)＝(a1
题组训练
＋ 3d)2，整理得 d(5d＋ 3a1)＝ 0，又 5 d≠0，∴a1＝－ d，则 a1d 3 5 2 ＝－ d2＜0，又∵S4＝4a1＋6d＝－ 3 3 2 d，∴dS4＝－ d2＜0，故选 B. 3
前 n 项和是 Sn.若 a3，a4，a8 成等比数列，则( B ) A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0
第三节
等比数列及其前n项和
抓主干知识回顾
研考向考点研究
思想与方法系列16
课时跟踪检测
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知识点一
等比数列的相关概念
1．定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
知识点一知识点二
同一个常数不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作 ___________(
an＋1 等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 a ＝q(n∈ n N*，q 为非零常数)． 2．等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫作 a 与 b 的等比

2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第五章第三节等比数列及其前n项和

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课时提升作业(三十二)一、选择题1.已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于( )(A)8 (B)6 (C)-8 (D)-62.等比数列{a n}中，若log2(a2a98)=4，则a40a60等于( )(A)－16 (B)10 (C)16 (D)2563.在正项等比数列{a n}中，a1,a19分别是方程x2-10x+16=0的两根，则a8·a10·a12等于( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)2564.(2013·威海模拟)在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n,若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于( )(A)2n+1-2 (B)3n(C)2n (D)3n-15.(2013·德州模拟)已知等比数列{a n}中，a n＞0，a10a11=e,则ln a1+ln a2+…+ln a20的值为( )(A)12 (B)10 (C)8 (D)e6.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2 011=3S2 010+2 012，a2 010=3S2 009+2 012，则公比q=( )(A)4 (B)1或4(C)2 (D)1或2 7.(2013·吉安模拟)已知32n 112n 1a a aa ,,,,,a a a -⋯⋯是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a n }的第100项等于( )(A)25 050 (B)24 950 (C)2100 (D)2998.(2013·汉中模拟)在等比数列{a n }中，a 6与a 7的等差中项等于48，a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10=1286.如果设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S n =( ) (A)5n -4 (B)4n -3 (C)3n -2 (D)2n -1 二、填空题9.(2012·广东高考)若等比数列{a n }满足241a a ,2=则2135a a a =________.10.已知等比数列{a n }的首项为2,公比为2,则n 1123na a a a a a a a a a +…=_________.11.数列11111,2,3,4,24816⋯的前n 项和为________. 12.(能力挑战题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n+1=2S n +n+1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =___________. 三、解答题13.已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n 且S n+1=32S n +1,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式. (2)求数列{n1a }的前n 项和T n . 14.(能力挑战题)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且121211a a 2a a +=+（）， 345345111a a a 64(),a a a ++=++(1)求{a n }的通项公式. (2)设2n n n1b (a )a =+，求数列{b n }的前n 项和T n . 15.(能力挑战题)设一元二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3. (1)试用a n 表示a n+1.(2)求证:数列{a n -23}是等比数列. (3)当a 1=76时，求数列{a n }的通项公式.答案解析1.【解析】选A.S 4=60,q=2⇒41a (1q )1q-- =60⇒ a 1=4，∴a 2=a 1q=4×2=8.2.【解析】选C.a 40a 60=a 2a 98，根据log 2(a 2a 98)=4即可求解.根据已知a 2a 98=24=16，所以a 40a 60＝16.3.【解析】选C.根据根与系数的关系得a 1a 19=16，由此得a 10=4，a 8a 12=16，故a 8·a 10·a 12=64.4.【解析】选C.要{a n }是等比数列，{a n +1}也是等比数列，则只有{a n }为常数列，故S n =na 1=2n.5.【解析】选B.ln a 1+ln a 2+…+ln a 20 =ln ［(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)］=ln e 10=10,故选B.6.【解析】选A.由a 2 011=3S 2 010+2 012，a 2 010=3S 2 009+2 012两式相减得 a 2 011-a 2 010=3a 2 010，即q=4.7.【解析】选B.假设a 0=1,数列{n n 1a a -}的通项公式是n 1n n 1a2.a --=所以a 100=32112a a a a a (10099)a a =20+1+…+99=24 950. 8.【解析】选D.设等比数列{a n }的公比为q,由a 6与a 7的等差中项等于48，得a 6+a 7=96,即a 1q 5(1+q)=96. ①由等比数列的性质，得a 4a 10=a 5a 9=a 6a 8=27a .因为a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10=1286,则77a =1286=(26)7,即a 1q 6=26. ② 由①②解得a 1=1,q=2,∴nn n 12S 21,12-==--故选D. 9.【思路点拨】本题考查了等比数列的性质：已知m,n,p ∈N *，若m+n=2p,则2m n pa a a =. 【解析】∵241a a ,2=∴231a 2=， ∴2413531a a a a 4==. 答案:1410.【解析】由题意知a n =2n ，所以n 1n 1n 1n 112n123na 2a a a a 22a a a a a 22a a a a 22+++++++-==……=22=4. 答案:411.【解析】设所求的前n 项和为S n ,则()n n n n n 11111S (12n)()1.24222+=++⋯++++⋯+=+-答案:()n n n 11122++- 12.【解析】∵S n+1=2S n +n+1，当n ≥2时S n =2S n-1+n, 两式相减得：a n+1=2a n +1， ∴a n+1+1=2(a n +1)，即n 1n a 1a 1+++=2. 又S 2=2S 1+1+1,a 1=S 1＝1， ∴a 2=3,∴21a 1a 1++=2， ∴{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n +1=2n 即a n =2n -1(n ∈N *). 答案:2n -1【方法技巧】含S n ，a n 问题的求解策略当已知含有S n+1,S n 之间的等式时，或者含有S n ,a n 的混合关系的等式时，可以采用降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式，两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式. 13.【解析】(1)由n 1n 3S S 12+=+，得当n ≥2时n n 13S S 12-=+, ∴()n 1n n n 13S S S S 2+--=-，即n 1n 1n n a 33a a 2a 2++=∴=，, 又a 1=1，得2112233S a 1a a a 22=+=+∴=，，∴21a 3a 2=, ∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列, ∴n 1n 3a ()2-=.(2)∵数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列， ∴数列{n1a }是首项为1，公比为23的等比数列，∴nn n 21()23T 31()2313-==--［］. 14.【思路点拨】(1)设出公比根据条件列出关于a 1与q 的方程组求得a 1与q ，即可求得数列的通项公式.(2)由(1)中求得数列的通项公式，可求出{b n }的通项公式，由其通项公式可知分开求和即可.【解析】(1)设公比为q ，则a n =a 1q n-1.由已知得111123411123411111a a q 2(),a a q 111a q a q a q 64().a q a q a q ⎧+=+⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩化简得21261a q 2,a q 64.⎧=⎪⎨=⎪⎩又a 1>0，故q=2,a 1=1，所以a n =2n-1. (2)由(1)得22n n n 2n n11b (a )a 2a a =+=++ =n 1n 11424--++. 所以n 1n n 111T (144)(1)2n 44--=++++++++……nnn 1n 11()1442n 114141(44)2n 1.3---=++--=-++ 15.【解析】(1)∵一元二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β, 由根与系数的关系易得n 1n na 1,,a a +α+β=αβ= ∵6α-2αβ+6β=3,∴n 1n n6a 2a a +-=3, 即n 1n 11a a 23+=+.(2)∵n 1n 11a a 23+=+,∴n 1n 212a (a )323+-=-,当n 2a 3-≠0时,n 1n 2a 1322a 3+-=- , 当n 2a 03-=,即n 2a 3=时，此时一元二次方程为222x x 1033-+=,即2x 2-2x+3=0， ∵Δ=4-24＜0，∴不合题意，即数列{n 2a 3-}是等比数列.(3)由(2)知:数列{n 2a 3-}是以12721a 3632-=-=为首项,公比为12的等比数列,∴n 1n n 2111a ()()3222--=⨯=,即n n 12a ()23=+,∴数列{a n }的通项公式是n n 12a ()23=+.【变式备选】定义：若数列{A n }满足A n+1=2n A ，则称数列{A n }为“平方递推数列”.已知数列{a n }中，a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f(x)=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数.(1)证明：数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n +1)}为等比数列. (2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =(2a 1+1)(2a 2+1)…(2a n +1)，求数列{a n }的通项公式及T n 关于n 的表达式. 【解析】(1)由条件得：a n+1=2n 2a +2a n ，∴2a n+1+1=2n4a +4a n +1=(2a n +1)2， ∴{2a n +1}是“平方递推数列”. ∵lg(2a n+1+1)=2lg(2a n +1), ∴()()n 1n lg 2a 12lg 2a 1++=+,∴{lg(2a n +1)}为等比数列. (2)∵lg(2a 1+1)=lg5, ∴lg(2a n +1)=lg5·2n-1, ∴2a n +1=n 125-,∴n 12n 1a (51)2-=-.∵lgT n =lg(2a 1+1)+lg(2a 2+1)+…+lg(2a n +1)=n n lg5(12)(21)lg512-=--, ∴T n =n215-.关闭Word 文档返回原板块。

第三节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n项和课时作业练1.(2018南通高三调研)在各项均为正数的等比数列{an }中,若a2=1,a8=a6+6a4,则a3的值为. 答案√32.(2018江苏苏州高三上学期期中)已知在等比数列{an }中,a3=2,a4a6=16,则a7-a9a3-a5= .答案4解析等比数列中奇数项符号相同,a3>0,则a5>0,a4a6=a52=16,a5=4,则q2=a5a3=2,则a7=8,a9=16,则a7-a9 a3-a5=-8-2=4.3.(2017镇江高三期末)设等比数列{an }的前n项和为Sn,若a1=-2,S6=9S3,则a5的值为. 答案-32解析设等比数列{an }的公比为q,由S6=9S3可知q≠1,则a1(1-q6)1-q=9a1(1-q3)1-q,解得q=2,则a5=a1q4=-2×24=-32.4.(2018江苏南通中学高三考前冲刺)已知等差数列{an }的公差d=3,Sn是其前n项和.若a1,a2,a9成等比数列,则S5的值为.答案652解析由题意可得a1a9=a22,a1(a1+24)=(a1+3)2,解得a1=12,则S5=5×12+5×42×3=652.5.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)若等比数列{an }的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20的值为.答案50解析因为{an }是各项均为正数的等比数列,所以a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,a10a11=e5,则ln a1+lna 2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln (a10a11)10=10ln e5=50.6.(2018江苏启东中学高三月考)已知数列{an }是等比数列,若a3a5a7=-8,则1a1a5+4a5a9的最小值为. 答案1解析由题意得a3a5a7=a53=-8,a5=-2,所有奇数项都是负数,且a1a9=a52=4,则1a1a5+4a5a9=-12a1-2 a9≥2√(-12a1)(-2a9)=1,当且仅当a1=-1,a9=-4时取等号,则1a1a5+4a5a9的最小值为1.7.在递增的等比数列{an }中,已知a1+an=34,a3an-2=64,且前n项和Sn=42,则n= .答案3解析设递增等比数列{an }的公比为q(q>0),a3an-2=a1an=64,a1+an=34,解得a1=2,an=32,由题意知q≠1,则Sn =a1-a n q1-q=42,解得q=4,则q n-1=4n-1=a na1=16,解得n=3.8.已知数列{an }为等差数列,首项a1=1,公差d≠0,若a k1,a k2,a k3,…,a kn成等比数列,且k 1=1,k2=2,k3=5,则数列{kn}的通项为.答案kn =3n-1+12解析由题意得a22=a1·a5,即(1+d)2=1·(1+4d),解得d=2,故an=2n-1,所以a kn=2kn-1.又等比数列a 1,a2,a5的公比为a2a1=31=3,所以a kn=3n-1.根据2kn-1=3n-1可得kn=3n-1+12.9.正项等比数列{an }中,a2=8,16a42=a1a5,则数列{an}的前n项积Tn中的最大值为.答案512解析设正项等比数列{an }的公比为q(q>0),则16a42=a1a5=a2a4=8a4,∴a4=12,∴q2=a4a2=116.又q>0,则q=14,∴an =a2q n-2=8×(14)n-2=27-2n,则Tn=a1a2…an=25+3+…+(7-2n)=2n(6-n),当n=3时,n(6-n)取得最大值9,此时Tn最大,即(Tn )max=T3=29=512.10.(2018江苏无锡高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,3S n =a n -1(n∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等比数列; (3)求a n 和S n .解析 (1)由3S 1=a 1-1,得3a 1=a 1-1,即a 1=-12.由3S 2=a 2-1,即3a 1+3a 2=a 2-1,得a 2=14. (2)证明:当n≥2时,a n =S n -S n-1=13(a n -1)-13(a n-1-1), 得a nan -1=-12,所以{a n }是首项为-12,公比为-12的等比数列.(3)由(2)可得a n =(-12)n,S n =(-12)×[1-(-12)n ]1-(-12)=-13×[1-(-12)n ].11.(2018江苏苏州高三期中)已知数列{a n }的前n 项和是S n ,且满足a 1=1,S n+1=3S n +1(n∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)在数列{b n }中,b 1=3,b n+1-b n =a n+1a n(n∈N *),若不等式λa n +b n ≤n 2对n∈N *有解,求实数λ的取值范围.解析 (1)因为S n+1=3S n +1(n∈N *),所以S n =3S n-1+1(n∈N *,n≥2), 所以a n+1=3a n (n∈N *,n≥2).又当n=1时,由S 2=3S 1+1得a 2=3,符合a 2=3a 1,所以a n+1=3a n (n∈N *),所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列,所以a n =3n-1(n∈N *). (2)因为b n+1-b n =a n+1a n=3(n∈N *),所以{b n }是以3为首项,3为公差的等差数列,所以b n =3+3(n-1)=3n(n∈N *),所以λa n +b n ≤n 2对n∈N *有解,即λ≤n 2-3n 3n -1对n∈N *有解. 设f(n)=n 2-3n 3n -1(n∈N *).因为f(n+1)-f(n)=(n+1)2-3(n+1)3n-n2-3n3n-1=-2(n2-4n+1)3n,所以当n≥4时, f(n+1)< f(n);当n<4时, f(n+1)> f(n),所以f(1)< f(2)< f(3)< f(4)> f(5)> f(6)>…,所以f(n)max = f(4)=427,所以λ≤427.12.(2018江苏南京多校高三段考)已知数列{an }的前n项和为Sn.(1)若对任意的n∈N*,a2n-1,a2n+1,a2n构成公差为4的等差数列,且a1=1,求S2n;(2)若数列{S na n+a}是公比为q(q≠-1)的等比数列,a为常数,求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=1+1a.解析(1)因为a2n-1,a2n+1,a2n构成公差为4的等差数列,所以a2n+1-a2n-1=4,a2n=a2n-1+8(n∈N*),所以a1,a3,a5,…,a2n-1,a2n+1是公差为4的等差数列,且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+a5+…+a2n-1+8n,又因为a1=1,所以S2n=2(a1+a3+a5+…+a2n-1)+8n=2[n+n(n-1)2×4]+8n=4n2+6n=2n(n+3).(2)证明:因为S na n +a=(a+1)q n-1,所以Sn=(a+1)q n-1an-aan,①所以Sn+1=(a+1)q n an+1-aan+1,②②-①,得(a+1)(1-q n)an+1=[a-(a+1)q n-1]an,③(i)充分性:因为q=1+1a ,所以a≠0,q≠1,a+1=aq,代入③式,得q(1-q n)an+1=(1-q n)an,因为q≠-1,q≠1,所以a n+1a n =1q,n∈N*,所以{an}为等比数列.(ii)必要性:设{an }的公比为q,则由③得(a+1)(1-q n)q=a-(a+1)q n-1,④整理得(a+1)q 0-a=(a+1)(q 0-1q)q n , 此式为关于n 的恒等式,若q=1,则④式左边=0,右边=-1,矛盾;若q≠±1,当且仅当{(a +1)q 0=a ,(a +1)q 0=(a +1)1q时成立,所以q=1+1a .由(i)(ii)可知,数列{a n }为等比数列的充要条件为q=1+1a .基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.(2017江苏淮安、连云港、徐州调研)函数f(x)=lg(2x -3x )的定义域为 . 答案 (-∞,0)解析要使函数f(x)=lg(2x-3x)有意义,则2x-3x>0,即(23)x>1,解得x<0,故f(x)的定义域为(-∞,0).2.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 的夹角的大小为 . 答案π63.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,若f (12)=0,三角形的内角A 满足f(cos A)<0,则A 的取值范围是 . 答案 (π3,π2)∪(2π3,π) 解析由题意可得f(x)<0时,x<-12或0<x<12,则由f(cos A)<0得-1<cos A<-12或0<cos A<12,解得2π3<A<π或π3<A<π2.4.若f(x)=-12x 2+bln(2x+4)在(-2,+∞)上是单调减函数,则b 的取值范围是 .答案(-∞,-1]解析由题意可知f '(x)=-x+bx+2≤0在x∈(-2,+∞)上恒成立,即b≤x(x+2)在x∈(-2,+∞)上恒成立,令g(x)=x(x+2),则g(x)=x2+2x=(x+1)2-1,x∈(-2,+∞),所以g(x)≥-1,所以b≤-1. 5.(2018苏州学业阳光指标调研卷)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,已知∠CAD=45°,则这两座建筑物的底部之间的距离BD= m.答案18解析如图,过A作AE⊥CD于E,设BD=x m,则AE=BD=x m,记∠CAE=α,则∠DAE=45°-α,在Rt△CAE中,CE=15-9=6 m,∴tan α=6x,在Rt△DAE中,DE=9 m,∴tan(45°-α)=9x,∴tan 45°=tan[α+(45°-α)]=6x+9x1-6x×9x=15xx2-54=1,解得x=18或x=-3(舍去).故BD=18 m.6.(2018江苏高考信息预测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在R上的部分图象如图所示,则f(2 017)的值为.答案5√32解析易知A=5,T=12,∴ω=π6,f(x)=5sin(π6x+φ)(0≤φ<2π).由题图知f(8)=-5,∴5sin(π6·8+φ)=-5,∴φ=π6,即f(x)=5sin(π6x+π6),∴f(2 017)=5sin(336π+π3)=5sinπ3=5√32.7.已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点,则实数k的值是.答案14解析函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点,即方程f(x2)+f(k-x)=0只有一个解.又f(x)是R上的单调奇函数,所以f(x2)=-f(k-x)=f(x-k),即x2-x+k=0只有一个解,所以Δ=1-4k=0,解得k=14.8.(2017镇江高三期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=-2ccos C.(1)求C的大小;(2)若b=2a,且△ABC的面积为2√3,求c.解析(1)由正弦定理及已知条件得sin Bcos A+sin Acos B=-2sin Ccos C,所以sin(B+A)=-2sin Ccos C.又A,B,C为三角形的内角,所以B+A=π-C,所以sin C=-2sin Ccos C.因为C∈(0,π),所以sin C>0.所以cos C=-12,所以C=23π.(2)因为△ABC的面积为2√3,所以12absin C=2√3,所以ab=4√3sinC.由(1)知C=23π,所以sin C=√32,所以ab=8.)=28,所以c=2√7.又因为b=2a,所以a=2,b=4,所以c2=a2+b2-2abcos C=22+42-2×2×4×(-12。

第五章第三节等比数列及其前n项和

(
)
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解析：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，
3n－1 3 a1＝4，q＝2，∴an＝4· . 2
答案： C
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4．(2012· 广州调研)已知等比数列{an}的公比是2，a3＝ 3，则a5的值是________．解析：a5＝a3q2＝3×4＝12. 答案： 12
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答案： A
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2．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·6等于 a ( A．4 B．8 )
C．16
解析：a2·6＝a2＝16. a 4
D．32
答案： C
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3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝
3n A．4· 2 3n－1 C．4· 2 2n B．4· 3 2n－1 D．4· 3
a1＝3，解得 q＝2，
当a1＝3时，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
4．(2012· 金华联考)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为 33 A.12 31 C. 4 B．31 D．以上都不正确 ( )
2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s， a · ＝ar· s a a 则有 p q . 1 3．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{a }， n
an {a2 }，{an·n}，{b }(λ≠0)仍是等比数列． b n
n
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a q，a，aq 比较 4．三个数成等比数列且积一定，通常设为

等差数列及其前n项和Word版含答案

等差数列及其前n 项和【课前回顾】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．4．与等差数列各项的和有关的性质(1)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (2)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (4)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n＝S 2n －1T 2n －1.【课前快练】1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134解析：选A 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45. 4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8，若a n ＝0，则n ＝________. 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：55．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152考点一等差数列的基本运算1．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[易错提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．2．等差数列前n 项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；若已知通项公式，则使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，同时注意与性质“a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…”的结合使用．【典型例题】1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2＝25，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.3．(2018·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72考点二等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.【典型例题】(2018·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[思维路径](1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n ＝1,2可解得．(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其关键应推出a n ＋1n ＋1－a n n 为常数，对所给条件进行必要的变形即可．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .【针对训练】1．(2018·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及前n 项和的最值1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．理清等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，即为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．【典型例题】1．在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．2．已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{a n}的前100项的和为() A．－200 B．－100C．－50 D．0[学审题]①由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；②结合函数的性质知a50＋a51＝－2.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝100(a1＋a100)2＝50(a50＋a51)＝－100.【针对训练】1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝() A．95B．100C．135 D．80解析：选B由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()A．6 B．7C．12 D．13解析：选C因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *，∴k ＝23.4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7×(－2－14)＝－112，又a 1＝3，所以a 8＝－109.5．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A.34 B ．1 C.43D.32解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 59．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________.解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3. 答案：310．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：1011．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 12．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日解析：选B 设n 日相逢，则依题意得103n ＋n (n －1)2×13＋97n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝1125×2，整理得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9(负值舍去)，故选B.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，则下列命题错误的是( ) A ．若a n >0，则S n >0 B ．若S n >0，则a n >0C ．若a n >0，则{S n }是单调递增数列D ．若{S n }是单调递增数列，则a n >0解析：选D 由等差数列的性质可得：∀n ∈N *，a n >0，则S n >0，反之也成立．a n >0，d >0，则{S n }是单调递增数列．因此A 、B 、C 正确．对于D ，{S n }是单调递增数列，则d >0，而a n >0不一定成立．14．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得m ＝5.答案：516．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， ∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n 4. 17．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式以及S n 的表达式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，S 4＝4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，n ∈N *. (2)由(1)知，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b n －b 1＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1(n ≥2)，∴b n ＝3n －22n －1. 当n ＝1时，b 1＝1也符合上式， ∴b n ＝3n －22n －1(n ∈N *)． 18.已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.。

2020届高考数学二轮教师用书：第五章第3节等比数列及其前n项和 Word版含解析

第3节等比数列及其前n 项和1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝ q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝ ±ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝ a 1q n －1 ；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝ a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .推广：当q ≠0,1时，{a n }是等比数列⇔S n ＝Aq n －A (A 为常数且A ≠0)． 3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝ a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)等比数列{a n }的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；当q ＝1时，数列{a n }是常数列 .(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 q m (k ，m ∈N *)．(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为 q n .等比数列的主要性质设数列{a n }是首项为a 1，公比是q 的等比数列，S n 是其前n 项和．1．若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．2．S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .3．若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n，…成等比数列．4．若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .5．等比数列{a n }的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [小题查验]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且公比a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13D.13解析：D [{a n }是公比为正数的等比数列，设公比为q ，则a 2·a 6＝a 24，∴a 24＝9a 4，∴a 4＝9.∴q 2＝a 4a 2＝9. ∴q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝13.故选D.]2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：B [设顶层灯数为a 1，q ＝2 ，S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.]3．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：C [应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，，∴a 3＝a 1q 2＝4，故选C.]4．(教材改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝ ________ ，S 4＝ ________ .答案：－4 515．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝ ________ .解析：设等比数列{a n }公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4，又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.答案：6考点一等比数列的基本运算(自主练透)[题组集训]1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：B [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.]2．(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ________ .解：设{a n }的公比为q ，则1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，∴S 4＝1－12＋14－18＝58.答案：583．(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝ ________ .解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q )＝－1，a 1(1－q 2)＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝－2，则a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－8解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.提醒：运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．考点二等比数列的判定与证明(师生共研)逻辑推理——等比数列判定与证明中的核心素养根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻辑的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养．[典例] (2018·全国Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．[思维导引] (1)由数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，的递推关系式先求出a 2，a 3，再利用b n ＝a nn 求b 1，b 2，b 3；(2)定义法判定并证明数列{b n }为等比数列；(3)先求出数列{b n }的通项公式．[解] (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． [跟踪训练](2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.考点三等比数列的性质及应用(师生共研)[典例]1．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] A [由等差数列性质得a 2＋a 12＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，又a 7≠0，所以a 7＝4，b 7＝4，由等比数列性质得b 3b 11＝b 27＝16，故选A.]2．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝ ________ .[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14， [答案] 143．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ ________ .[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.[答案] 2等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：[跟踪训练]1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 24，则下列结论中正确的是( )A ．数列{a n }是递增数列B ．数列{a n }是递减数列C ．数列{a n }是常数列D ．数列{a n }有可能是递增数列也有可能是递减数列解析：C [各项均为正数的等比数列{a n }中，因为(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 24成立，即a 1a 5＋a 1a 7＋a 3a 5＋a 3a 7＝4a 24成立．利用等比数列的定义和性质化简可得a 23＋a 24＋a 24＋a 25＝4a 24，进一步化简得a 23＋a 25＝2a 24. 设公比为q ，则得a 21q 4＋a 21q 8＝2a 21q 6，化简可得1＋q 4＝2q 2，即(q 2－1)2＝0，所以q 2＝1，故q ＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q ＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．故选C.]2．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为Sn ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝ ________ .解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－121．(2020·石家庄市模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( ) A ．28 B ．32 C ．64D ．14解析：B [设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝2，a 5＝16， ∴a 1q ＝2，a 1q 4＝16，解得a 1＝1，q ＝2.则a 6＝25＝32.]2．(2020·沈阳市模拟)已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64，则tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．－33D ．±3解析：B [数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64＝a 33，则a 3＝－4，a 7＝±8根据等比数列的性质可得a 7＝8舍去， ∴a 7＝－8，∴a 4a 6＝a 3·a 7＝32，∴tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝tan ⎝⎛⎭⎫323π＝tan ⎝⎛⎭⎫10π＋π－π3 ＝－tan π3＝－ 3.]3．(2020·淮北市一模)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( )A ．3B ．5C ．9D ．25解析：D [根据题意，等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则有a 6＝a 4a 7a 5＝15，则q ＝a 6a 5＝5，则a 7－a 9a 5－a 7＝a 5·q 2－a 7·q 2a 5－a 7＝q 2＝25.] 4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )解析：C [∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.∴a n a n ＋1＝a 21q 2n －1＝24⎝⎛⎭⎫122n －1＝8⎝⎛⎭⎫14n －1， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．] 5．(2020·大庆市一模)数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2＋a 4＝10，a 23＝16，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10等于( )A ．－45B ．45C ．－90D ．90解析：D [因为{a n }为正项递增等比数列，所以a n ＞a n －1＞0，公比q ＞1. 因为a 2＋a 4＝10 ①，且a 23＝16＝a 3·a 3＝a 2·a 4② 由①②解得a 2＝2，a 4＝8.又因为a 4＝a 2·q 2，得q ＝2或q ＝－2(舍)．则得a 5＝16，a 6＝32，因为log2a 1＋log2a 2＋…＋log2a 10＝5log2a 5a 6＝5log 216×32＝5×9log 22＝45×2log 22＝90.]6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ ________ . 解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2， ∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)．答案：67．(2020·漳州市模拟)等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，其前n 项和为S n ，若a 2是－a 3，a 4的等差中项，则S 6的值为 ______ .解析：假设公比为q ，则可列方程2q ＝－q 2＋q 3，解得q ＝0或2或－1，其中满足条件的公比只有2.则S 6＝1－261－2＝63.答案：638．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝ ________ (n ∈N *).解析：观察题中的表格可知a 1，a 2，a 3分别为2,6,18，即{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.答案：2·3n －19．(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)∵a 5＝4a 3，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，a n ＝2n－1当q ＝－2时，a n ＝(－2)n －1∴{a n }的通项公式为a n ＝2n －1或a n ＝(－2)n －1.(2)当q ＝2时，S m ＝1－2m1－2＝63，解得m ＝6.当q ＝－2时，S m ＝1－(－2)m1＋2＝63.无解．∴m ＝6.10．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．。

2022届高考数学(理)大一轮复习顶层设计教师用书：第五章数列第三节等比数列 Word版含答案

第三节等比数列☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解等比数列的概念；2.把握等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等比数列与指数函数的关系。

2022，全国卷Ⅲ，17,12分(等比数列的证明、通项公式)2022，全国卷Ⅰ，15,5分(等比数列有关最值问题)2021，全国卷Ⅱ，4,5分(等比数列的计算)2021，全国卷Ⅱ，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质)主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简洁性质。

解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。

微学问小题练自|主|排|查1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。

②符号语言：a n＋1a n＝q(n∈N*，q为非零常数)。

(2)等比中项：假如a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab。

2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1q n－1。

(2)前n项和公式：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a11－q n1－q＝a1－a n q1－q，q≠1。

3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m·q n－m(m，n∈N*)。

(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q。

特殊地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p。

(3)若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－S m)2＝S m(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。

(4)数列{a n}是等比数列，则数列{pa n}(p≠0，p是常数)也是等比数列。

(5)在等比数列{a n}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k，a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k。

考点：等比数列及其前n项和(完整版)

（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. （3）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列 1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =．3．等比数列的通项公式及其变形首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠．等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．4．等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1x ay q q=⋅的图象上一些孤立的点．①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．二、等比数列的前n 项和公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和的公式为111,1.(1),111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（1）当公比1q =时，因为10a ≠，所以1n S na =是关于n 的正比例函数，则数列123,,,,,n S S S S 的图象是正比例函数1y a x =图象上的一群孤立的点．（2）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是1(1)1n n a q S q -=-，即11nn a S q q =-⋅-11a q +-，设11a m q=-，则上式可写成nn S mq m =-+的形式，则数列123,,,,,n S S S S 的图象是函数x y mq m =-+图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和n S 是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．三、等比数列及其前n 项和的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列．（3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列；数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++成等比数列，公比为mq ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(kq 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn mm S q S q -=-．（7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶．（9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（公比为mq ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零．考向一等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：1n na q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列．（2）等比中项法：212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*N ⇔数列{}n a 是等比数列．（3）通项公式法：(0,)n n a tq tq n =≠∈*N ⇔数列{}n a 是等比数列．（4）前n 项和公式法：若数列的前n 项和nn S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠.典例1 已知数列{}n a 满足()*2n n S a n n =-∈N .（1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()*13521n a a a a n ++++⋅⋅⋅+∈N.【答案】（1）证明见解析；（2）232353n n +--.【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如1n n a a λμ+=+（1λ≠），在构造数列时，可在等式两边同时加上1μλ-构成等比数列.（1）利用递推公式可以得到1n S -的表达式，两个式子相减即可得到n a 与1n a -的表达式；构造数列{1n a +}，即可证明{1n a +}为等比数列. 学@（2）利用{1n a +}为等比数列，可求得{n a }的通项公式；将{n a }分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()1121,1,2,3,n n n a a S n n++===.（1）试写出223,,a S a ；（2）设nn S b n=，求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求出数列{}n a 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式.考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. （1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n nn na q S a a qa q q q q≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q 和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把nq ，11a q-当成整体求解.典例2 已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +等于 A ．2 B ．24 C ．2 D ．48 【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =，所以()22281261061021224a a a q a q qa a +=+=+=⨯=，故选B ．典例3 各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则3445++a a a a 的值为 A ．5+12B ．512- C ．152- D ．5+12或152- 【答案】B【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S a =A ．14n - B ．41n- C ．12n -D ．21n-考向三求解等比数列的通项及前n 项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式11n n a a q -=来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为2()n n N 且各项符号相同，则这个数列可设为21na q ，…，3a q，,aaq q ，3aq ，…，21n aq ；若所给等比数列的项数为21()n nN ，则这个数列可设为1n a q ，…，,,aa aq q，…，1n aq . 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n na a qS q求解较方便. 学#3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =--- ，当101q a p -≠-时，数列{}1n q a p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．典例4 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且42S S =5，则84S S 等于 A ．5 B ．16 C ．17D ．25【答案】C【解析】当公比1q =时，4225S S =≠，故公比不为1，当公比1q ≠时，()()4124221111511a q S q q S a q q--==+=--，∴24q =，∴()()81484411111711a q S q q S a q q--==+=--，故选C.【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n 项和，注意对公比q 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比q 进行分类讨论，利用前n 项和公式及条件，求出24q =，从而得到结果.典例5 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =，3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*n n b a n n =-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）1*23()n n a n -∈=⨯N ；（2）2312nn n+--.3．设等比数列{n a }的各项都为正数，数列{n b }满足2121n n n b a a -+=⋅，且124,64b b ==. （1）求数列{n a }的通项；（2）求数列{n b }的前n 项和T n .考向四等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例6 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A ．22 B ．2 C ．1 D ．2- 【答案】A【解析】由等比数列的性质知211731599822a a a a a a ===⇒=，故117982222a a a ==，故选A . 典例7 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，20=60S ，则30S =_______．【答案】140【解析】方法1：由1020S =，20=60S ，易得公比1q ≠±，根据等比数列前n 项和的性质，可得020101011S q S q 2-=-，即010106011201q q q 2-==+-，解得102q =，又3030101011S q S q -=-，所以33012=72012S -=-，30140S =．方法2：根据等比数列前n 项和的性质，可得10201010S S q S =+，即10602020q =+，解得102q =，所以1030102020260140S S q S =+=+⨯=．方法3：根据等比数列前n 项和的性质，可知10S ，2010S S -，3020S S -成等比数列，则22010103020()()S S S S S -=-，即230(6020)20(60)S -=-，解得30140S =．4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=,则456a a a ⋅⋅等于 A ．4 B ．8 C ．16D ．24考向五数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．典例8 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明：数列{+1}n a 是“平方递推数列”，且数列{lg(+1)}n a 为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，求lg n T ；（3）在（2）的条件下，记lg lg(+1)nn n T b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使4032n S >成立的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）21n -；（3）2017．（2）由（1）知1111lg(1)lg(+1)22n n n a a --++=⋅=，则12121(12)lg lg[(1)(1)(1)]lg(1)lg(1)lg(1)2 1.12n n n n n T a a a a a a ⨯-=+++=++++++==--（3）由（2）知11lg 2112()lg(+1)22nn n n n n T b a ---===-，111122221212n n n S n n --=-=-+-，又4032n S >，所以112240322n n --+>，即120172nn +>，又1012n<<，所以min 2017n =，故使4032n S >成立的n 的最小值为2017．5．在数列{}n a 中，21nn a =-，一个7行8列的数表中，第i 行第j 列的元素为ij i j i j c a a a a =⋅++()1,2,,71,2,,8i j ==；，则该数表中所有不相等元素之和为A ．16210-B ．16210+C ．16218-D ．16213+1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,3339,22a S ==,则公比q = A ．12B ．12-C ．1或12-D ．1或122．已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a += A ．7 B ．5 C ．5-D ．7-3．已知等比数列{}n a 中,1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，则31323a a a 的值为A ．16B ．8C ．64±D ．16±4．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4D ．35．等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则 A ．A B C +=B ．2B AC =C ．3A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+6．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于 A ．9 B ．3 C ．3-D ．6-7．设()()4681021022222n f n n +=+++++∈N ，则()f n 等于A ．()16413n- B ．()116413n +- C ．()316413n +-D ．()416413n +-8．已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅= A ．4 B ．8 C ．16D ．259．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和是n S ，则“0q >”是“2016201820172S S S +>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．《张丘建算经》中有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第7天行走的距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数） A ．10里 B ．8里 C ．6里D ．4里11．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为A ．14B ．12 C ．20D ．5412．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()312n n S a =+()*n ∈N ，则4a 的值为__________.13．已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==，则n a =________________．14．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）设()2log 1n n b a =-n 项和n T .15．已知公比为整数的正项等比数列{}n a 满足：3124a a -=，10193a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．1．（2017新课标全国II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏2．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =________．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________． 4．（2018新课标全国I 理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________．1．【答案】（1）2233,4,8a S a ===；（2）证明见解析；（3）()1*2n n S n n -=⋅∈N ；()212n n a n -=+⋅. 变式拓展【点睛】本题为数列常见考题，属于高考高频考点，常涉及：①利用递推公式，已知数列的前几项利用赋值法求出后面；②对递推关系式变形，证明某数列为等比（差）数列；③根据所证明的数列成等比（差）数列，求出第n项；④已知数列的前n项和，求第n项.这些都是数列常规问题，考查面较大.对于本题，当数列提供n a与n S之间的递推关系时，借助首项的值，利用赋值法，可求出第二项及以后的项，并求出前几项的和，证明某数列是等比数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；利用所证明的等比数列求出通项公式得出n S，进而求出通项n a. 2．【答案】D【名师点睛】该题考查的是有关等比数列的问题，涉及的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.对于本题，设出等比数列的公比为q ，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q 的值，进而求出1a 的值，表示出n S 与n a ，即可求出结果. 学#@3．【答案】（1）12n n a -=；（2）()416115n n T =-. 【解析】（1）因为{n a }为等比数列，所以由2121n n n b a a -+=⋅可得22n n b a =，由124,64b b ==可得22244,64a a ==，因为n a >0,所以242,8a a ==，可得11,2a q ==公比，所以12n n a -=.（2）因为()2212n n b -==214n -，所以数列{n b }为等比数列，且首项为4，公比为16，从而()()4116416111615n n nT -==--. 4．【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 中，1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=，所以由等比数列的性质可知123345567,,a a a a a a a a a 成等比数列，所以()()()234512356764a a a a a a a a a ==，因为等比数列{}n a 中各项均为正数，所以3458a a a =，因为345a a a ，456a a a ，567a a a 成等比数列，所以()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，可得45616a a a =.故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列中连续三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.由等比数列的性质求得3458a a a =，再由等比数列的性质可得()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，从而可得结果.5．【答案】C【解析】该数表中的第i 行第j 列的元素·ij i j i j c a a a a =++=（2i ﹣1）（2j ﹣1）+2i ﹣1+2j ﹣1=2i+j ﹣1 （i =1，2，…，7；j =1，2，…，8），其数据如下表所示：i j 1234 5 6 7 8 1 22﹣1 23﹣1 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 2 23﹣1 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 3 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 29﹣1 4 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 29﹣1 210﹣1 5 26﹣1 27﹣1 28﹣129﹣1210﹣1211﹣16 27﹣1 28﹣1 29﹣1 210﹣1 211﹣1 728﹣1 29﹣1 210﹣1 211﹣1由表可知，该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1++1521-=()1441212--−14=16218-.故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力.（2）解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等．．．元素的和”. 1．【答案】C考点冲关【解析】由已知33312332a a S a a a a q q =++=++，所以23119122q q ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得1q =或12q =-，故选C ． 2．【答案】D【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 3．【答案】B【解析】因为1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，所以1254a a =,且12505a a +=>, 因此130a >，1312531323125132,428a a a a a a a a a ==∴==⨯=，故选B ．【名师点睛】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度． @网 4．【答案】C【解析】由等比数列的性质知()4412384510a a a a a a ==，所以128lg lg lg a a a +++()4128lg lg104a a a ===．故选C.5．【答案】D【解析】由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，则有,,A B A C B --构成等比数列，()()2B A AC B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，()22A B A B C ∴+=+，故选D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.解本题时，由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.8．【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 中2731102a a a -+=，∴()27311724a a a a =+=，又70a ≠，∴74a =，∴74b =．∴在等比数列{}n b 中，2113716b b b ⋅==．故选C ．【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列中项的下标和的性质，即若m n p q +=+ ()*,,,m n p q ∈N ，则等差数列中有m n p q a a a a +=+，等比数列中有m n p q a a a a =．利用数列这个性质解题，可简化运算、提高解题的效率．解本题时，先根据等差数列下标和的性质求出7a ，进而得到7b ，再根据等比数列下标和的性质求113b b ⋅即可． 9．【答案】D【解析】由2016201820172S S S +>得20182017a a >，∴2017201611a qa q >，∴()2016110a q q ->，解得10,1a q >>或10,1a q <<．∴“2016201820172S S S +>”等价于“10,1a q >>或10,1a q <<”．故“0q >”是“2016201820172S S S +>”的既不充分也不必要条件．故选D ．【名师点睛】先求出“2016201820172S S S +>”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了和公比q 有关外，还与数列的首项1a 有关．当10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列为递增数列；当10,01a q ><<或10,1a q <>时，数列为递减数列．10．【答案】C【解析】记该匹马每天行走的距离成等比数列{}n a ，其公比为12，前7项的和为700，此问题可以转化为求数列{}n a 的第7项，1711700,1212a ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭-6171647001700,61272127a a a ⨯⎛⎫∴===≈ ⎪⎝⎭，故选C ． 11．【答案】C【名师点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正；二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.解本题时，利用等比数列的前n 项和公式求出96S S -，由数列的单调性可得1q >，根据基本不等式的性质求解即可. 12．【答案】−81【解析】()312n n S a =+()*n ∈N ，∴当1n =时，13a =-， ∴当2n ≥时，()1132n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=， ∴{}n a 是以首项为−3，公比为3的等比数列，∴3n n a =-.∴481a =-.故答案为−81.【名师点睛】掌握n a 与n S 的关系，利用n a 与n S 的关系式求出n a 的通项公式即可得到答案.13．【答案】()22n n +【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题.解本题时，根据数列{}n a n 是等比数列，将19a =、236a =分别代入，可以得到数列{}n a n 的公比2q =，从而求得通项公式n a .14．【答案】（1）见解析；（2）1n n +. 【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =-，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ---⎡⎤-=+-+-=-+⎣⎦，即121n n a a -=-.()1121n n a a -∴-=-，即1121n n a a --=-， ∴数列{}1n a -是首项为−2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=-，12n n a ∴=-，()22log 1log 2n n n b a n ∴=-==，()1111111n n b b n n n n +∴==-++，则11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项. @网15．【答案】（1）3n n a =；（2）()1121334n n S n +⎡⎤=+-⎣⎦.【名师点睛】该问题属于数列的综合问题，属于常考的题型，第一问考查的是有关等比数列的性质以及数列通项公式的求解问题，根据等比数列的通项公式以及性质，结合题中的条件，转化为关于首项和公比的等量关系式，从而求得结果；第二问是典型的数列求和问题——错位相减法，在求解的过程中，一定要注意最后一项应该是减号，以及最后求和的时候要看清项数. 1．【答案】B【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，直通高考所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．2．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=．【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．3．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： 1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4．【答案】63-【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.。

第五章第三节等比数列及其前n项和

n∈N*)，则{an}是等比数列
项之间的关系
等比中数列{an}中，an≠0，如果根据已知条件能
项法
化简得到 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，或者是证证明三项成等比数列
明此式成立，则数列{an}是等比数列
21
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考点一考点二考点三
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考点一考点二考点三
考点一等比数列的基本运算及性质 ◄考基础——练透角度 1 利用基本量进行计算 [例 1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn＝2an＋1，则 S6 ＝________．解析：∵Sn＝2an＋1，当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即 an＝2an－1，当 n＝1 时，a1＝S1＝2a1＋1，得 a1＝－1.
答案：A
11
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考点一考点二考点三
(2)已知数列 1，a1，a2，9 是等差数列，数列 1，b1，b2，b3，9 是等比数列，则a1＋b2a2 ＝________．
解析：因为数列 1，a1，a2，9 是等差数列，所以 a1＋a2＝1＋9＝10；因为数列 1，b1， b2，b3，9 是等比数列，所以 b22＝1×9＝9，又 b2＝1×q2＞0(q 为等比数列的公比)，所以 b2＝3，则a1＋b2 a2＝130. 答案：130
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考点一考点二考点三
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m. 解析：①设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1. 由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1. ②若 an＝(－2)n－1，则 Sn＝1－（3－2）n. 由 Sm＝63 得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若 an＝2n－1，则 Sn＝2n－1. 由 Sm＝63 得 2m＝64，解得 m＝6. 综上，m＝6.

高中数学人教A版必修5等比数列及其前n项和课件

求首项a1，公比q或项数n
[例 1] (1)(2019·太原模拟)已知等比数列{an}单调递减，若
a3＝1，a2＋a4＝52，则 a1＝
()
A．2
B．4
C. 2
D．2 2
[解析] 设等比数列{an}的公比为 q，q>0，则 a23＝a2a4＝1，
又 a2＋a4＝52，且{an}单调递减，所以 a2＝2，a4＝12，则 q2＝14，
B．2
()
C．3或－2
D．3或－3
解析：由a1·a3＝4，a4＝8，得a
2 1
q2＝4，a1q3＝8，解得q＝±2.
当q＝2时，a1＝1，此时a1＋q＝3；当q＝－2时，a1＝－1，
此时a1＋q＝－3.故选D.
答案：D
3． [考点二、三] (2017·唐山模拟)已知等比数列{an}的前n项和
为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Sann＝
q＝12，所以 a1＝aq2＝4，故选 B.
[答案] B
(2)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比
q 的值为
()
A．1
B．－12
C．1 或－12
D．－1 或12
[解析] 根据已知条件得aa11q＋2＝a17q，＋a1q2＝21，消去 a1 得1＋qq2＋q2＝3，整理得 2q2－q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－12.
(2)前n项和公式：Sn＝
na1 ，q＝1， a11－qn
a1－anq
__1_－__q____＝___1_－__q__，q≠1.
3．运用方程的思想求解等比数列的基本量
(1)若已知n，an，Sn，先验证q＝1是否成立，若q≠1，可

(新教材学案)5.3.2.1等比数列的前n项和Word版含解析

5.3.2 等比数列的前n 项和新版课程标准学业水平要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式,理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系2.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等比数列前n 项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材掌握a 1,a n ,q,n,S n 的关系.(数学运算)3.掌握等比数列的前n 项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等比数列的通项公式、前n 项和公式解决实际问题,能解决数列求和等相关问题.(数学运算、数学建模)第1课时等比数列的前n 项和必备知识·素养奠基等比数列的前n 项和公式q=1 na 1q ≠1a 1,q,n S n =a 1,q,a n S n =对于等比数列的前n 项和S n ==一定成立吗? 提示:不一定,当q=1时不成立.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和S n=. ( )(2)已知等比数列的a1,q,a n,则S n=. ( )(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. ( )提示:(1)×.S n=.(2)×.S n=.(q≠1)(3)×.S n==.2.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )A.2B.C.D.【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.所以=3a1(1+q),化为q2=2,解得q=(负值舍去).3.在等比数列{a n}中,a2=1,a5=8,则数列{a n}的前n项和S n=________. 【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3==8,即q=2,首项a1=,则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-.答案:2n-1-关键能力·素养形成类型一等比数列前n项和的计算【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10= ( )A.1022B.2046C.2048D.40942.设S n是等比数列{a n}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________. 【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5==512,所以a3=8,因为a2+a4=2(a1+a3),所以+8q=2,整理可得,q3+q=2(1+q2),所以q=2,a1=2,S10==2 046.2.因为S3==6,S6==54,所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以=6,解得a1=.答案:【内化·悟】本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,a n,S n共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法. 【习练·破】1.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则= ( )A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:⇒,所以a n=a1q n-1=2n-1,S n===2n-1,因此==2-21-n.2.(2020·吉林高二检测)已知数列{a n}是等比数列,其前n项和为S n,a1=,6=a6,则S5=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=,6=a6,所以6×=q5,解得,q=2,则S5==.答案:【加练·固】(2020·株洲高二检测)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=,=a6,则S4=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=,=a6,所以=q5,解得,q=2,则S4==.答案:类型二等比数列前n项和的实际应用【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里( ) A.3B.4C.5D.6【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,所以a n=192×=384×,因为384×<30,所以2n>12.8,经验证可得n≥4,即从第4天开始,走的路程少于30里.【内化·悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:S n=378,q=,n=6.【类题·通】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型①变化“量”是同一个常数:等差数列;②变化“率”是同一个常数:等比数列.(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,a n,S n,列出方程(组)求解.【习练·破】(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟? ( )A. B. C. D.【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,则{a n}是公比为的等比数列,所以S3==50,解得a1=,所以羊主人应偿还:a3=×=升粟.类型三等比数列前n项和的简单性质角度1 前n项和公式的函数特征【典例】已知等比数列{a n}的前n项和S n=λ·3n-1-1(λ∈R),则= ( )A.B.3C.6D.9【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用S n 的表达式计算;也可由S n表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用S n的表达式计算.【解析】选D.方法一:S n=λ·3n-1-1=·3n-1,所以=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,==9;方法二:等比数列{a n}满足S n=λ·3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,则==9.【素养·探】等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“S n=3×2n+a”,则S5=________.【解析】数列{a n}是等比数列,①若q=1,显然S n=3×2n+a,不成立.②故数列{a n}的公比q≠1,所以S n==-q n+,故q=2,=-3,故a=-3.所以S5=3×25-3=93.答案:93角度2 前n项和的性质【典例】设等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= ( )A.B.-C. D.【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9==.方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3==-,所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×=.【类题·通】1.等比数列前n项和公式的特征数列{a n}是非常数数列的等比数列⇔S n=-Aq n+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A=.2.等比数列前n项和公式的性质等比数列的前n项和为S n,则S n,S2n-S n,S3n-S2n仍成等比数列.【习练·破】(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{a n}的前n 项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则( )A.A+C>2BB.AC<B2C.AC>B2D.A+C<2B【解析】选B.设等比数列{a n}的公比为q,则B=A+Aq n,C=A+Aq n+Aq2n,则AC=A2(1+q n+q2n),B2=A2(1+2q n+q2n),又q>0,故AC<B2.A+C-2B=+-2·=-=,当q>1时A+C>2B,当0<q<1时A+C<2B,故A,C 不正确.【加练·固】一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.所以q===2.又S n=85+170=255,据S n=,得=255,所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,项数n=8.课堂检测·素养达标1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为( )A.1+B.C. D.以上都不对【解析】选D.当a=1时,S n=n.2.在等比数列{a n}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{a n}的前5项和为( )A.29B.C.30D.【解析】选D.设等比数列{a n}的公比为q,则,解得,因此,数列{a n}的前5项和S5===.3.数列{2n-1}的前99项和为( )A.2100-1B.1-2100C.299-1D.1-299【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.4.已知首项为3的等比数列{a n}的前n项和为S n,若2S2=S3+S4,则a2020的值为________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=3,2S2=S3+S4,当q=1时显然不成立,故q≠1,所以=+,整理可得,q2+q-2=0,解得,q=-2或q=1(舍),则a2 020=3×(-2)2 019=-3×22 019.答案:-3×22 019【新情境·新思维】已知等比数列{a n}的各项均为正数,设其前n项和为S n,若a n a n+1=4n(n∈N+),则S5= ( )A.30B.31C.15D.62【解析】选B.因为等比数列{a n}的各项均为正数,且a n a n+1=4n(n∈N+),所以a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1=,所以S5==31.。

等比数列及其前n项和(临界生含解析)

等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. a n ＝a m q n －m . (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k ；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；考点一等比数列的判定与证明[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，c 1＝－12. 又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n . 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．考点二等比数列的基本运算[例2] (2011·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )，解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝32＋34＋ (32)＝9(1－9n )1－9＝98(9n －1)．考点三等比数列的性质[例3] (1)(2012·全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34. [答案] (1)B (2)C 由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －5. 故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．巩固与提高1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2.答案：－23．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( )A ．－12B ．1C ．－12或1 D.14 解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1. 4．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.5．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16 解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知：2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.答案：167．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2. (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3. ∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.。

第三节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n 项和新课程标准考向预测1.通过实例，理解等比数列的概念．2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.体会等比数列与指数函数的关系.命题角度1.等比数列的基本运算2.等比数列的判定与证明3.等比数列的性质及应用核心素养数学运算、逻辑推理[知识梳理]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an ＝a 1q n －1a n ＝a m ·q n－m.(2)前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q，q ≠1.[常用结论]1．若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. 2．若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列．3．在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k .4．{a n }为等比数列，若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n ，…成等比数列．5．当q ≠0，q ≠1时，S n ＝k －k ·q n (k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q. 6．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．[基础自测]一、走进教材1．(必修5P 51例3改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________.解析：由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案：122．(必修5P 54A 组T 8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 答案：27,813．(必修5P 61A 组T 1改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝－⎝⎛⎭⎫－12n －1. 答案：－⎝⎛⎭⎫－12n －1 二、走出误区常见误区：①忽视“G 2＝ab ”是“a ，G ，b ”成等比数列的必要不充分条件致误；②忽视q ＝1的特殊情况致误；③对数的运算性质不熟练致误．4．在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 3与a 7的等比中项为________．解析：设a 3与a 7的等比中项为G ，因为a 3＝4，a 7＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8.答案：±85．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n ＝________.解析：因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝a (1－a n )1－a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，a (1－a n )1－a，a ≠0，a ≠16．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，所以a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5，所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50.答案：50[题组练透]1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴ a 3＝a 1q 2＝4.故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1 B.－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C 当q ＝1时，a 3＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C.3．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.解析：由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3. ∴ S 5＝13(1－35)1－3＝1213.答案：12134．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1. 答案：2n －15．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[解题技法]等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.[例1] (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.[解题技法]等比数列的判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[跟踪训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n ()a n ，a n ＋1在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考向(一) 等比数列项的性质应用[例2] (1)(2019·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B.－2C. 2D ．－2或2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.[答案] (1)B (2)5[解题技法]1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．考向(二) 等比数列前n 项和的性质[例3] (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.[解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 6S 3＝12，所以{a n }的公比q ≠1.由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q＝12，得q 3＝－12，所以S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 6S 3＝12，所以公比q ≠1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)2 (2)34[解题技法]1．等比数列{a n }中，所有奇数项之和S 奇与所有偶数项之和S 偶具有的性质，设公比为q .(1)若共有2n 项，则S 偶S 奇＝q ；(2)若共有2n ＋1项，S 奇－a 1S 偶＝q .2．等比数列{a n }中，S k 表示它的前k 项和．当q ≠－1时，有S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也成等比数列，公比为q k .[跟踪训练]1．已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.答案：1002．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝________.解析：由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60.答案：60微专题核心素养(十二)数学运算——求解数列问题的4大常用技巧方法1 整体利用数列的性质等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．[典例1] (1)等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S k S k ＋1<0的正整数k ＝________. [解析] (1)法一：因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3＝428＝2.同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 5＝a 1q 4，a 7＝a 3q 4，所以q 4＝a 5＋a 7a 1＋a 3＝48＝12.又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×⎝⎛⎭⎫122＝2， a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×⎝⎛⎭⎫123＝1，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. (2)依题意得a 6＝S 6－S 5>0， a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，则S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2>0， S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，所以S 12S 13<0，即满足S k S k ＋1<0的正整数k ＝12. [答案] (1)C (2)12 方法2 奇偶项分类当题中涉及(－1)n 或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时，按照n 为奇数和偶数分别求解，最后再整合求解结果．[典例2] (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 020＝________. (2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝22n ＋1，令b n ＝(－1)n －1·4(n ＋1)log 2a n log 2a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.[解析] (1)由a n ＋1·a n ＝2n ，得a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，则a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2a n ＝2，所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k ＋1，…是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…是以a 2＝2为首项，2为公比的等比数列，则S 2 020＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020)＝1－21 0101－2＋2(1－21 010)1－2＝3×21 010－3.(2)由题意得b n ＝(－1)n －14(n ＋1)log 2a n log 2a n ＋1＝(－1)n－14(n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3)＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3，当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫13＋15－⎝⎛⎭⎫15＋17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3＝13－12n ＋3，当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫13＋15－⎝⎛⎭⎫15＋17＋…－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3＝13＋12n ＋3，所以T n ＝13－(－1)n 12n ＋3.[答案] (1)3×21 010－3 (2)13－(－1)n 12n ＋3方法3 构造新数列当出现a n ＝a n －1＋m (n ≥2)时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y (n ≥2)时，构造等比数列．[典例3] (1)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－4a n ＝3×2n ＋1，求数列{a n }的通项公式． (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由a n ＋1－4a n ＝3×2n＋1得，a n ＋12n ＋1－2a n 2n ＝3，设b n ＝a n2n ，则b n ＋1＝2b n ＋3，设b n ＋1＋t ＝2(b n ＋t )，所以2t －t ＝3，解得t ＝3，所以b n ＋1＋3＝2(b n ＋3)，所以b n ＋1＋3b n ＋3＝2，又b 1＋3＝a 12＋3＝1＋3＝4，所以数列{b n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，所以a n ＝b n ·2n ＝(2n ＋1－3)×2n ＝22n ＋1－3×2n .(2)因为a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n ＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以a n ＝23n －1. 方法4 归纳推理——周期性解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律．[典例4] 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos [(n ＋1)π]，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 020＝________.[解析] 由a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos [(n ＋1)π]，得a 2＝a 1＋cos 2π＝1＋1＝2，a 3＝－a 2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a 4＝a 3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a 5＝－a 4＋cos 5π＝2－1＝1，…由此可知，数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－2，所以S 2 020＝505(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝505×(－2)＝－1 010.[答案] －1 010[课时过关检测]A 级——夯基保分练1．(2019·开封市定位考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选C 因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C.2．若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( ) A.38 B.245 C.316D.916解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2a 1q ＝3，(a 1q 2)2＝4a 1q ·a 1q 5，解得⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12，所以a 4＝a 1q 3＝32×⎝⎛⎭⎫123＝316.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B.13 C ．14D ．15解析：选C 因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.12n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.⎝⎛⎭⎫32n －1解析：选D 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1. 5．(多选)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B.数列{a n }的公比为8 C.S 6S 3＝8 D.S 6S 3＝9 解析：选AD 因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以a 6a 3＝q 3＝8，解得q ＝2，所以S 6S 3＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝9. 6．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{}a n a n ＋1是公比为q 2的等比数列 B ．数列{}a n ＋a n ＋1是公比为q 的等比数列 C ．数列{}a n －a n ＋1是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列解析：选AD 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列；对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，若q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列，故选A 、D.7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2，所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.答案：1278．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝________.解析：设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.答案：5119．(一题两空)已知{a n }是递减的等比数列，且a 2＝2，a 1＋a 3＝5，则{a n }的通项公式为________；a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)＝________.解析：由a 2＝2，a 1＋a 3＝5，{a n }是递减的等比数列，得a 1＝4，a 3＝1，a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1是首项为8、公比为14的等比数列的前n 项和．故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8＋2＋12＋…＋8×⎝⎛⎭⎫14n －1＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n . 答案：a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1 323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q .又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .答案：12n11．设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127. (1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128，则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024，可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .12．在①数列{a n }的前n 项和S n ＝12n 2＋52n ；②函数f (x )＝sin πx －23cos 2π2x ＋3的正零点从小到大构成数列{x n }，a n ＝x n ＋83；③a 2n －a n －a 2n －1－a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a n ＞0，且a 1＝b 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的M 存在，求出M 的最小值；若M 不存在，说明理由．数列{b n }是首项为1的等比数列，b n ＞0，b 2＋b 3＝12，且____________，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n log 3b n ＋1的前n 项和为T n ，是否存在M ∈N *，使得对任意的n ∈N *，T n ＜M?解：设公比为q (q ＞0)，因为数列{b n }是首项为1的等比数列，且b n ＞0，b 2＋b 3＝12，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3(q ＝－4不合题意，舍去)，所以b n ＝3n －1.若选①，由S n ＝12n 2＋52n ，可得S n －1＝12(n －1)2＋52(n －1)(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋2(n ≥2)，又a 1＝S 1＝3也符合上式，所以a n ＝n ＋2，所以1a n log 3b n ＋1＝1(n ＋2)n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，则T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，因为1n ＋1＋1n ＋2＞0，所以T n ＜34，由题意可得M ≥34，又M ∈N *，所以M 的最小值为1.若选②，f (x )＝sin πx －23cos 2π2x ＋3＝sin πx －3cos πx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3，令f (x )＝0，可得πx －π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k ＋13，k ∈Z ，即x n ＝n －1＋13＝n －23，a n＝x n ＋83＝n ＋2，同上①，则M 的最小值为1.若选③，则由a 2n －a n －a 2n －1－a n －1＝0得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0，又a n ＞0，所以a n－a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1，所以数列{a n }是公差为1的等差数列，又a 1＝b 2，则a 1＝3，所以a n ＝n ＋2.同上①，则M 的最小值为1.B 级——提能综合练13．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n .前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B.a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7解析：选AD ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0，∴a 7>1，a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误，又a 7>1，a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．故选A 、D.14．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．解析：设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.因为S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 答案：215．已知数列{a n }的首项a 1＞0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：(1)记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n －1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1，即a n ＝2·3n －11＋2·3n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －11＋2·3n －1.(2)由(1)知，1a n －1＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1，即1a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝⎛⎭⎫1－13n ＋n . C 级——拔高创新练16．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n－1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解：(1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1， ∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32.∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。

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2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第五章 第三节等比数列及其前n项和

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