文科高等数学第十讲(2)有重点题

例4 假设只考虑天气的两种情况： 有雨或无雨。若已知今天的天气 情况，明天天气保持不变的概率 为p，变的概率为1-p。设第一天 无雨，试求第n天也无雨的概率
求解分析
解： Ai i天雨” pi P( Ai ), i 1, 2, “第
p1 1 P ( Ai 1 Ai ) p, P ( Ai 1 Ai ) 1 p ，
数学教研室：刘淑环
liushuhuan@163.com

下面再回过头来看一下贝叶斯公式
P ( Ai | B)
P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j 1 i i
n
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的验前概率和验后概率. P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不 知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
1 1 递推公式：pn - (2 p 1)( pn1 ),(n 2) 2 2 1 1 n1 pn - (2 p 1) ( p1 ),(n 2) 2 2
练习
1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各 箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8， 0.1和0.1．一顾客欲买一箱玻璃杯，在购 买时，售货员随机地查看4只，若无残次 品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率 a ； （2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确 实没有残次品的概率 b．
B1 { 检验者患此疾病 } B2 { 检验者不患此疾病 }
且已知 P( B1 ) 0.005 P( B2 ) 0.995 P( A B1 ) 0.95 P( A B2 ) 0.01
B1 B2
B1B2
由贝叶斯公式可得
0.005 0.95 P( B1 A) 0.323 0.005 0.95 0.995 0.01
(1)如果不做检查,随机抽查一人,他患疾病的 概率为0.5%。 (2)如果进行检查，根据阳性反应的检查结果， 此人患疾病的概率为32.3%。 结论：从0. 5%增加到32.3%,将近增加约60倍.
这种检查对于诊断一个人是否患有疾病有很大意义。
2. 检出阳性是否一定患有疾病?
试验结果为阳性,此人确患疾病的概率为 P(C｜A)=32.3% 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你患有疾病，这种可能性只有32.3% ，此时 医生常要通过再复查来确认.
表中数据解释
B A
父母血型 B/A O型子女概率 0.0625
IB IB
IB i
IA IA
IAi
最可能 的血型为 AB型占 9/16= 0.5625
4IBIA
2IBIA 2IBi
2B
2IBIA 2IAi
2AB 2A
IBIA IB i IA i ii
6AB
AB A B O
基本事件共有16个，其中O型占1/16=0.0625
(七)全概公式和贝叶斯公式
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3， 1号箱装有1个红球4个白球，2号箱 装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸 出一球，求取得红球的概率.
1
2
3
1
2
3
解：记Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 即 B= A1B+A2B+A3B，
O型子女的概率表
不同父母血型下所生子女为O型的概率表
父母血型 O/O A/O B/O AB/O A/A O型子女概率 1.0000 0.2500 0.2500 0.0000 0.0625 父母血型 B/A AB/A B/B AB/B AB/AB O型子女概率 0.0625 0.0000 0.0625 0.0000 0.0000
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + Biblioteka Baidu(A3)P(B |A3)=0.1250
求解分析
解:设B={子女血型为O型}
A1={父亲血型为O型}; A2={父亲血型为A型}; A3={父亲血型为B型}; A4={父亲血型为AB型};
P(B)=0.1250 由逆概率公式 P ( A1 ) P ( B | A1 ) 0.36 0.2500 P ( A1 | B ) 0.72 P( B) 0.1250 P( A2 | B) 0.14; P ( A3 | B) 0.14; P( A4 | B) 0 所以,其父亲最可能的血型为O型,绝不可能是AB型
运用加法公式得
且A1B、A2B、A3B两两互斥
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
对求和中的每一项 运用乘法公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
代入数据计算得：P(B)=8/15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
概率公式综合运用
全概率公式 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
贝叶斯公式
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想 发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响 .
例3 根据遗传学的规律，在各种不同父母血型 的配合下，所生子女为O型的概率如表所示。 今有一人，其血型为O型，其母亲血型为B 型，其父亲已去世，不知其父亲血型，要求计 算出其父亲的血型为A、B、O、AB的概率。 已知此人出生地区群体的四种血型比例A 为 28%、B为28%、O为36%、AB为8%。
求解分析
解:设B={子女血型为O型}
A1={父亲血型为O型}; A2={父亲血型为A型}; A3={父亲血型为B型}; A4={父亲血型为AB型};
则P(A1)=0.36，P(A2)=0.28， P(A3)=0.28，P(A4)=0.08
由表可知 P(B/A1)=0.25
(父母血型为B/O)
P(B/A2)=0.0625 (父母血型为B/A) P(B/A3)=0.0625 (父母血型为B/B) P(B/A4)=0. (父母血型为B/AB)
《文科高等数学》
第十讲(2) ----------概率统计初步(2)
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概率统计初步(2)
偶然中蕴含必然的问题
一、概率概述 二、有趣的概率问题 三、随机事件关系及运算规律 四、随机事件概率模型
四、随机事件概率模型
(五)随机事件乘法公式 (六)二项概型 (七)全概公式和贝叶斯公式
全概率公式
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 另有一事件B, 它总 是与A1, A2, … ,An之一同时发生，则
P ( B ) P ( Ai ) P ( B Ai ) ｜
i 1
n
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
n
全概率公式的来由, 由上式不难看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
从另一个角度去理解
0.005 0.95 P( B1 A) 0.323 0.005 0.95 0.995 0.01
1. 这种检查对于诊断一个人是否患有疾病 有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有疾病?
3. 检出阳性后进行复查，仍然为阳性， 问患有疾病的概率有多大?
1. 这种检查对于诊断一个人是否患有疾病 有无意义？
解 记
A { 顾客买下这箱玻璃杯 }
Bi { 箱中恰有 i 件残次品 } （ i 0,1, 2 ）
显然, B0 , B1 , B2为的的一个划分。由题意
， P( B0 ) 0.8，P( B1 ) 0.1 P ( B2 ) 0.1，P ( A B0 ) 1
C 4 P ( A B1 ) C 5
4 19 4 20
4 C18 12 P ( A B2 ) 4 C20 19
解
（1）由全概率公式
4 12 a P ( A) P ( A Bi ) P ( Bi ) 0.8 1 0.1 ＋0.1 0.94 5 19 i 0
2
（2）由贝叶斯公式
P ( A B0 ) P ( B0 ) 0.8 b P ( B0 A) 0.85 P ( A) 0.94
医学检查问题
例2 由医学统计数据分析可知， 人群中患由某种病菌引起的疾病 占总人数的0.5%．一种血液化验 以95%的概率将患有此疾病的人 检查出呈阳性，但也以1% 的概 率误将不患此疾病的人检验出呈 阳性．现设某人检查出呈阳性反 应，问他确患有此疾病的概率是 多少？
解
记 A { 检验呈阳性 }
运用全概率公式 计算P(B)
3
所求为P(A1|B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
将得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式
贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总 是与A1,A2,…,An 之一同时发生，则
A3 A1 A2 B A4 A7
A
5
A6 A8
诸Ai是原因 B是结果
“已知结果求原因”问题
某人从任一箱中任意 摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率.
1红4白
或者问:
1
2
3
该球取自哪号箱的可能性最大?
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
A 根据全概公式：n An An1 An An1
P ( An ) P ( An1 ) P ( An An1 ) P ( An1 ) P ( An An1 )
pn p pn1 (1 p)(1 pn1 ) (2 p 1) pn1 1 p
P ( Ai | B )
P ( Ai ) P ( B | Ai ) ｜ P( A )P(B A )
k 1 k k n
( i 1,2,, n)
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致 B发生的每个原因的概率.
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai 所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
每一原因都可能导致B发生， 故B发生的概率是各原因引起B发 生概率的总和，即全概率公式.
由原因推结果
由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一 定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因 的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间 的关系 .
3. 检出阳性后进行复查，仍然为 阳性，问患有疾病的概率有多大?
0.005 0.95 P ( B1 A) 0.323 0.005 0.95 0.995 0.01
0. 0.95 323 P ( B1 A) 0.9784 0.323 0.95 0.677 0.01