3平面问题的三角形单元8

u2
u3
i=2时, i=3时， 联立解得
3
¼ Í 2-6
q 2 u1 + 2 u 2 u 3 = a EA q 2 u2 + u3 = a 2 EA
5 qa 2 u1 = 2 EA
8 qa 2 u2 = 2 EA
9 qa 2 u3 = 2 EA
与材料力学的精确解答在节点处位移完全相同，回代可以得到 各点应变值，继续回代可以得到各点应力值。
（4）集合所有节点的平衡方程，形成整个 结构的平衡方程组，
（5）由于上述总刚度矩阵常常是奇异矩阵，无 法求解。引入边界条件，求解整个结构的所有 单元节点的位移 → 节点应变 → 节点应力。
有限元的单元分析
有限元分析实例求解
通过材料力学，弹性力学和有限元法分别求解对比：
例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)
单元内部位移模式的矩阵表达式：
位移转换矩阵函数或位移形函数矩阵
单元内部位移模式的矩阵表达式可以简记为：
单元内部位移模式的矩阵表达式：
位移形函数Ni物理含义
故, Ni称为位移形函数。
单元内部位移模式必须满足三个条件才能保证收敛：
Fra Baidu bibliotek如 注意：
2 由节点位移求应变— 几何方程
2 由节点位移求应变— 几何方程
列出所有节点的内、外力平 衡方程：准确的说是 12 个方程 可以求解 12 个未知量（可能是 位移也可能是外力）。
注意：边界上的节点，有些位 移是已知的，有些是外力已知 的。如果没有边界条件，方程 会有无穷多个解。
平面问题三角形单元 有限元分析小结
有限元分析的基本步骤：
（1）结构离散化：将结构分割成有限个单元体
1、离散化（节点和单元）
L 1
2、外载荷集中到节点上，即把阴 影部分的重量作用在节点i上
L2
1 2 i-1 i i+1
i-1
Li Li+1
Li
i
Li+1
n-1 n ¼ Í 2-2
q (Li + Li+1 ) 2
i+1 ¼ 2-3 Í
有限元法求解
3、假设线单元上的位移为线性函数
u
x
x i1
i-1
u i u i 1 u = u ( x ) = u i 1+ ( x x i 1) Li
有限元法求解
设取n=3，求解含节点位移的线性方程组，得各点位移如下
0 u
x L
L-x
N
N dx N
L 3 L 3 L 3
5 qa2 2 EA
a=
L 3
8 qa2 2 EA
9 qa2 2 EA
x
X (a)
(b) ¼ Í
(c) 2-1
有限元的单元分析
1 三角形单元位移插值函数
假设已知
如何求单元内(x,y)点位 移？
式中：
3 由应变求应力— 本构方程
将应变矩阵代入上式
4 由应力求节点力— 虚功方程
已知：单元节点力和节点虚位移， 节点力所做的虚功W为：
已知：单元内部应力和虚应变，则 整个弹性体内的变形虚功U为
将虚应变矩阵 代入上式并整理 再将应力矩阵代入得
单元刚度矩阵为
式中：
单元分析小结
位移函数 几何方程 物理方程 虚功方程
所以三个节点处的应变函数如下：
所以三个节点处的应力函数如下：
弹性力学求解方法
+dN
qdx
+dN
弹性力学求解方法
微元几何方程：
ε
材料本构方程：
微元力平衡方程：
给出边界方程：
d A = -q dx
ux = 0 = 0
σ
du = dx = Eε
x=L = 0
有限元法求解
有限单元法求解直杆拉伸：
单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
0
L1 = a
1
u0
u1
L2 = a
2
L3 = a
u2
u3
3
¼ 2-6 Í
材料力学求解方法
材料力学求解方法
根据力平衡条件有：内力 取微元 dx，则其伸长为 x截面上的位移：
u=
x 0
N(x)=q (L-x)
N(x)dx q(L x)dx Δ(dx) = = EA EA
用节点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程 未知数也有n个，解方程组，得出节点位移，进而计算应力
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
0
L1 = a
1
u0
u1
假设线单元数为3个的情况， 平衡方程有3个： q 2 i=1时， 2 u1 u 2 = a
EA
L2 = a
2
L3 = a
u i1
Li
i
u (x ) ui
X Í ¼ 2-4
du ui ui 1 εx = = dx Li u i ui 1 由本构方程： i = E i = E ( ) Li
由几何方程：
ui ui 1 节点内力： Ni = A i = A E ( L ) i ui +1 ui N i +1 = A E ( ) Li +1
（2）选择位移模式：假定内任一点位移可以用单元节 点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。
平面问题三角形单元 有限元分析小结
（3）计算单元刚度矩阵——求单元节点位移与
节点内力的关系
由虚位移原理 可以得到单元的刚度矩阵
求出节点内力：
平面问题三角形单元 有限元分析小结
（4）集合所有节点的平衡方程，形成整个 结构的平衡方程组，
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
从网格节点的 整体 来看，本 问题共计 6 个节点，每个节点有 两个位移分量，共计12个（未知） 位移分量。 每个单元分析都可以用12个节 点位移中的 6 个，描述该单元的 节点内力：
也就是说所有单元的节点内力都 能用12个位移未知量来表达。
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
（5）由于上述总刚度矩阵常常是奇异矩阵，无 法求解。引入边界条件，求解整个结构的所有 单元节点的位移 → 节点应变 → 节点应力。
1 三角形单元位移插值函数
选 择 位 移 插 值 函 数 如 下：
将i，j，m节点坐标（已知） 代入上式得含待定系数的方程组
代入上述位移函数可得：求解6个待定系数
其中A
为三 角形 面积 将待定系数代入单元内部位移模式得到任意点位移：
式中：
进一步简化，令
位移形函数 单元内部位移模式可以简写为：
有限元法求解
有限单元法求解直杆拉伸：
Ni
i
q (Li + Li+1 ) 2
4、以i节点为对象，列力的平衡方程
Fx = 0
q ( Li + Li +1 ) N i N i+1 = 2 Li i = Li +1
令
N i+1
¼ Í 2-5
将位移和内力的关系代入得
(2 - 1)
q 1 2 u i-1 + (1 + i ) u i i u i+1 = (1 + ) Li 2 EA i
x q(L x)dx N(x)dx q x2 = = (Lx ) 0 EA EA EA 2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变 du q εx = = (L X) dX EA
根据本构方程求应力
σ x = Eε x =
q (L X) A
材料力学求解方法
所以三个节点处的位移函数如下：
假设节点 位移已知
单元刚度矩阵[k]
可以表达 节点内力
单元分析小结
也就是说每个单元对节点贡献的力知道了
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
取节点i分析，单元 ①，③和④的共用 节点i，所以节点i 的内力为三个单元 分力在该点之和：
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
由于每个节点有两个未知位移 分量，所以根据下列两个平衡 方程理论上，可以求解。
3
有限元分析的基本步骤
（1）结构离散化：将结构分割成有限个单元体 （2）选择位移模式：假定内任一点位移可以用单元节 点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。
有限元分析的基本步骤
（3）计算单元刚度矩阵——求单元节点位移与 节点内力的关系
由虚位移原理 可以得到单元的刚度矩阵
求出节点内力：
有限元分析的基本步骤