高中数学第一章三角函数 1.4.1 三角函数的图象课件新人教A版必修4

高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

23.∴f53π＝
3 2.
明目标、知重点
反思与感悟解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝f1x，
且 f(1)＝12，则 f(2 014)等于( B )
1 A.2 解析
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .
明目标、知重点
由于 x 至少要增加|2ωπ|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，|2ωπ| 是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期.
同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是|2ωπ|.
明目标、知重点
探究点四正弦、余弦函数的奇偶性导引正弦曲线
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
明目标、知重点
探究点三函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期

高中数学第1部分第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图像课件新人教A版必修4

3．函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝ π |ω |.
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
[思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，，即－1≤tan x<1. 在(－π2 ，π2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－π4 ，π4 )．又 y＝tan x 的周期为π ，所以所求 x 的范围是 [kπ －π4 ，kπ ＋π4 )，k∈Z. 即为此函数的定义域．
[一点通] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．
1．函数 y＝tan(π4 －x)的定义域是
4
[一点通] 求 y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导
π
π
公式把 ω 化为正值，由 kπ－ 2 ＜ωx＋φ＜kπ＋ 2 求得 x 的
范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证两个角在同一
单调区间内．
4．比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小．解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211° ＝tan(180°＋31°)＝tan 31°， tan 2 012°＝tan 32°， ∵y＝tan x在0°＜x＜90°时是单调增函数， ∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°.
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )，又∵π2 ＜2＜π ，∴－π2 ＜2－π ＜0. ∵π2 ＜3＜π ，∴－π2 ＜3－π ＜0，显然－π2 ＜2－π ＜3－π ＜1＜π2 ，且 y＝tan x 在(－π2 ，π2 )内是增函数， ∴tan(2－π )＜tan(3－π )＜tan 1，即 tan 2＜tan 3＜tan 1.

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时课件新人教A版必修4

右边=ttaann��+-11
=
csoins��+1 csoins��-1
=
ssiinn��+-ccooss��,
∴左边=右边.故原等式成立.
探究一
探究二
探究三
思想方法
三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
“×”.
(1)角 α 的正弦值等于其余角的余弦值.
(2)cos
3π 2
-��
=-sin α.
(3)tan
π 2
+
��
=-ta1n��.
(4)当 α 是第二象限角时,cos
π 2
-��
=-sin α.
() () () ()
(5)sin α+32π =cos α. (6)sin 95°+cos 175°=0.
(��为奇数).
方法二原式=((--11))��ssiinn��+·((--11))��csoisn�� = 2c(o-1s��)��.
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式化简三角函数式的步骤利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
探究一
探究二

(优秀经典)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A版必修4

③用___光__滑__的__曲__线___顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向__左____、__右____平行移动(每次 2π 个单位长度)，就可以得到正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象．
3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线． (2)图象：如图所示．
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
『规律总结』用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝ cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于 y轴对称．

山东省高中数学《第一章三角函数》归纳整合课件新人教A版必修4

轴对称图形，对轴对称图形，对称轴方称轴方程是 x＝中心对称图 π kπ，k∈Z；中心形，对称中程是 x＝kπ＋2，k∈Z；对称性 kπ 对称图形，对称心 2 ，0(k 中心对称图形，对称中 π kπ＋，0 中心心(kπ，0)k∈Z 2 ∈Z) k∈Z
π 2x＋的图象( 6
π 2x－的图象， 3
)． π B．向右平移个长度单位 4 π D．向右平移个长度单位 2
π A．向左平移个长度单位 4 π C．向左平移个长度单位 2
解析
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋12，
专题四
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的单调性问题应引起重视．
【例 5】函数 f(x)＝3sin
π 2x－的图象为 3
C.
11 ①图象 C 关于直线 x＝ π 对称； 12 ②函数
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例 1】求函数 y＝ sin x＋解由题意知
1 cos x－2的定义域．
sin x≥0， sin x≥0，即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2，如图，结合三角函数线知：
3π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间是
π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
(3)由
3π y＝sin2x－ 4 ， 8

2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)课件新人教A版必修4

π π 3 ＝cos(π＋6)＝－cos 6＝－ 2 .
方法二
31π 5π －－ 6π ＋ cos ＝cos 6 6
π π ＝cosπ－6＝－cos6＝－
3 . 2
解答
(3)tan(－945°). 解 tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°；解方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
它们的三角函数之间有什么关系？
答案
知识点三
诱导公式四
思考
角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆
的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
它们的三角函之间有什么关系？
答案
梳理
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了 2kπ ＋ α(k∈Z) ， π ＋ α ，－α，π－α的三角函数与 α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同
tan2π－αsin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解
sin2π－α · sin－αcos－α cos2π－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin α－sin αcos α sin α ＝＝－cos α＝－tan α. cos α－cos αsin α

高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)

tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10

'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的定义来推导的.要正确记忆三个三角函数在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基本关系求某个角的三角函数值例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin

y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做的余弦，记作cos，即 cos x y y （3）叫做的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢?

高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件

第一章三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容索引
01 明目标
知重点
填要点记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.

1.4.1正弦函数余弦函数的图像精品课件(人教A版必修4)

问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么？二者有何相互联系？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
t
2.
世
界
上
有
许
多事 p
1 2
5730
物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
知识探究（一）：周期函数的概念思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
O
pπ
2 2π
x
-1
2
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式 cos x ³ 1 的解集.
2y
1
O
π
2π
-1
2
2
[0, p ] U [ 5p , 2p]
3
3
y
=
1 2
x
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.

高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象课件新人教A版必修

其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋
π 2
和直线x＝kπ－
π2 ，其中k∈
Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，
然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平
行移动至各个周期内.
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z)上是增函数解析：由正切函数的图象可知D正确．答案：D
3．函数y＝tan
x2＋π3的单调递增区间是(
定义域值域周期
xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z R π
奇偶性
奇
单调性在区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z) 上都是增函数
温馨提示函数y＝tan x的对称中心的坐标是k2π，0， (k∈Z)，不是(kπ，0)(k∈Z)．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π.( ) (4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x) ＝－tan x. ( )
②由题意，得tan x≠1，且x≠kπ＋π2，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋
π 2
，且x≠kπ＋
π4，k∈Z}，其不关于原点对称．
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
归纳升华 1．一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T ＝|ωπ |，常常利用此公式来求周期． 2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．

高中数学第一章三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象讲义1 新人教A版必修4

【解题探究】1.典例1中，不等式应首先变形为什么形式？如何利用正
弦曲线解此不等式？
提示：先变形为sinx≤ ，2 正弦曲线在直线y= 下2 方的点的横坐标
2
2
的取值范围.
2.典例2中，画函数y=sinx，x∈[ 0 ， 3 ]有哪几个关键点？
2
提示：(0， 0)， ( 2， 1)， (， 0)， (32， 1).
【总结提升】 1.函数y=sinx，x∈[0，2π ]与y=sinx，x∈R的图象的关系 (1)函数y=sinx，x∈[0，2π ]的图象是函数y=sinx，x∈R的图象的一部分. (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx， x∈[2kπ ，2(k+1)π ]，k∈Z且k≠0的图象与函数y=sinx，x∈[0，2π ] 的图象形状完全一致，因此将y=sinx，x∈[0，2π ]的图象向左、右平行移动(每次移动2π 个单位长度)，就可得到函数y=sinx，x∈R的图象.
4
4
C.{x|2k 5 x 2k ， k Z}
4
4
D.{x|2k 5 x 2k 7 ， k Z}
4
4
2.如果直线y=a与函数y=sinx，x∈[ 0 ， 3 ]的图象有且只有一个交点，
则a的取值范围是________.
2
3.根据函数图象解不等式：sinx>cosx，x∈[0，2π ].
(2π ，1)
【即时小测】
1.判断
(1)函数y=cosx，x∈[2kπ ，2(k+1)π )，k∈Z且k≠0的图象与函数
y=cosx，x∈[0，2π )的图象的形状完全一致.( ) (2)函数y=sinx，x∈[ ， 5 ]的图象与函数y=cosx，x∈[0，2π ]的图

高中数学第一章三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件新人教A版必修4

(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ，单调递增区间为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二正切函数的奇偶性例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π