固体物理+胡安版+部分习题答案
固体物理基础课后1到10题答案
一．本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三． 证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οοο633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a ρρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ++=写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρρρ的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(ρρρ倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππρ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理习题参考答案
固体物理第一次习题参考答案1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构 x简单立方 0.526x π=≈体心立方 30.688x π=≈ 面心立方 20.746x π=≈ 六角密排 20.746x π=≈ 金刚石 30.3416x π=≈解：设钢球半径为r ，立方晶系晶格常数为a ，六角密排晶格常数为a,c 钢球体积为V 1，总体积为V 2（1）简单立方单胞含一个原子，a r =2 52.06343321≈==ππa r V V（2）体心立方取惯用单胞，含两个原子，r a 43= 68.0833423321≈=⋅=ππar V V （3）面心立方取惯用单胞，含4个原子，r a =2 74.0623443321≈=⋅=ππar V V （4）六角密排与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率 取图示单胞，含两个原子，a r =2 单胞高度a c 38=（见第2题） 74.062233422321≈=⋅⋅=ππc a r V V （5）金刚石取惯用单胞，含8个原子，r a 2341= 34.01633483321≈=⋅=ππar V V2．试证六方密排密堆积结构中128() 1.6333c a =≈解： 六角密排，如图示，4个原子构成正四面体222)2332(2a a c =⋅+⎪⎭⎫⎝⎛ ⇒ a c 38=3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。
证：体心立方基矢取为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=++-=-+=)(2)(2)(2321k j i a a k j i a a k j i a a其中a 为晶格常数其倒格子基矢，按定义)(2)(21111114212)(223321j i b j i a kj ia a a a b+=+=--⋅=⨯Ω=πππ)(2)(2132k j b a a b +=⨯Ω=π)(2)(2213k i b a a b +=⨯Ω=π可见，体心立方的倒格子是晶格常数为a b π4=的面心立方。
《固体物理学》概念和习题答案
《固体物理学》概念和习题答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。
（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
固体物理+胡安版+部分习题答案
[
]
p 是 (k + l ), (l + h ), (h + k ) 的最大公约数。 的最大公约数。
可得到元胞坐标系下的晶面指数： 已知晶面密勒指数 ( hlk )，可得到元胞坐标系下的晶面指数：
( h 1 h 2 h 3 ) == 1 p
{(k
+ l )(l + h
)(h
+ k
)}
补充习题2 补充习题2
A=0
出现消光 4、hkl 中有两个指数分量为奇数，其余为偶数时， 中有两个指数分量为奇数，其余为偶数时，
A=0
出现消光
补充习题1 补充习题1
a 晶胞基矢： 晶胞基矢： = ai , b = aj , c = ak
a =b =c
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢： 与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
2π 2π 2π i ,b∗ = j,c∗ = k a a a a a1 = ( j + k ) 2 a a 2 = (i + k ) a1 = a2 = a3 元胞基矢 2 a a3 = (i + j ) 2 a∗ =
2 2
∗
⋅c∗ )
(a )
∗ 2
4 2π , b∗ = 3 a
2
( )
2
( 2π ) 4 2π ∗ 2 = , (c ) = 3 a c2
(a
(
∗
⋅b∗
)
)
2 2π = 3 a
2
b∗ ⋅c∗ = 0
a∗ ⋅ c ∗ ) = 0 (
4 2π 2 4 2π 2 2π 2 4 2π = h + k + l + hk 3 a 3 a c 3 a
《固体物理学》答案[1]
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* v0 =
(2π )3 v0
1.5 证明：倒格子矢量 G = h1b1 + h2 b2 + h3b3 垂直于密勒指数为 ( h1h2 h3 ) 的晶面系。 证：
v v v uuu v uuu r a r a a a CA = 1 − 3 , CB = 2 − 3 h1 h3 h2 h3 uuu r v Gh1h2h3 ⋅ CA = 0 容易证明 v uuu r Gh1h2h3 ⋅ CB = 0 v v v v G = h1b1 + h2b2 + h3b3 与晶面系 (h1h2 h3 ) 正交。 v v v h k l ( ) 2 + ( )2 + ( )2 ；说明面 a b c
图 1.3 体心立方晶胞
（2）对体心立方晶体，任一个原子有 8 个最近邻，若原子刚性球堆积，如图 1.3 所示，体心位置 O 的原 子 8 个角顶位置的原子球相切， 因为晶胞空间对角线的长度为 3a = 4r , V = a 3 , 晶胞内包含 2 个原子， 所
2* 4 3π( 以ρ = a3
3a 3 4
−
3 ε 23 2 1 − ε 23 2 ε 33
由上式可得
ε 23 = 0, ε 32 = 0, ε 11 = ε 22 . ε 11 ε = 0 0 0 ε 11 0 0 0 . ε 33
于是得到六角晶系的介电常数
附：证明不存在 5 度旋转对称轴。 证：如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点，如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴顺时 针旋转θ 角，则 A 格点转到 A 点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过 O 点的
3a = 8r , 晶胞体积 V = a 3
固体物理学习题解答
《固体物理学》习题解答第一章 晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。
解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。
试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。
解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。
所以，其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。
所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。
所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。
所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方：6π；。
证明：由于晶格常数为a ，所以：(1)．构成简立方时，最大球半径为2m aR =，每个原胞中占有一个原子，334326m a V a ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭36m V a π∴= (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞中占有两个原子，334322348m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭328m V a ∴=(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞占有４个原子，334244346m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭346m V a ∴=(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c 的长度的一半，由几何知识易知3m R =c 。
固体物理学习题解答(完整版)
《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此123o o o a n hda n kd a n id===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2）313()o o a n a a n =-+g g把（1）式的关系代入，即得正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°()id hd kd =-+ ()i h k =-+根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（）→(0110)，(213)→(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6π（2）体心立方：8（3）面心立方：6（4）六方密堆积：6（5）金刚石：16。
固体物理学 的答案【胡安】
第一部分 晶体结构-总结与习题指导1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。
布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。
布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。
初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。
布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。
初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅×。
3 惯用晶胞(单胞)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。
惯用晶胞可以是初基的或非初基的。
惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。
其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。
4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。
维格纳-赛兹晶胞是初基晶胞。
5 晶体结构当我们强调一个实际的晶体与布喇菲点阵的抽象几何图案的区别时，我们用“晶体结构”这个名词[1]。
理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。
这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。
将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为基元十点阵＝晶体结构[2]当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。
固体物理后三章参考答案(部分)
固体物理习题参考答案（部分）第四章 晶体振动和晶体的热学性质1. 解：第m 个原子对第n 个原子的力为：()()n m n m n m n m m n,u u u u f -+-=-+ββ第n 个原子受到的总力为：()n m n m n 1n m 1n m n,m n,2u u u f F -+==-+∞=∞=∑∑β设试解具有的波动形式()t qna i n Ae u ω-=第n 个原子的运动方程可写为：()n m n m n 1n m n 222u u u dt d M -+=-+∞=∑βυ代入试解后得)2(sin 4]1)[cos(2)2(M 21112qmaqma e e m m m m iqma iqma m m ∑∑∑∞=∞=-∞=-=-=-+=-βββω所以可解得 ∑∞==122)2(sin M 4m m qma βω 2. 解：原子2n 的运动方程为：2n 22121221()()n n n n M u u u u u ββ∙∙+-=---原子2n+1的运动方程为：2n+1122212212()()n n n n M u u u u u ββ∙∙+++=---设两方程的试解为：[]2i qna t n u Aeω-=2[()]21i q na b tn u Beω+-+=[(1)]22i q n a t n u Ae ω+-+= 1[()]21i q na b t n u Be ω---=代人运动方程得：()()21212211222112iqb iqb iqb iqb MA Be Be AMB Ae Ae Bωββββωββββ-----=-+-+-=+-+有解条件，系数行列式为0()212121221221120()iqb iqb iqb iqb M e e AeAeM ββωββββββω----+---+=+-+-解得：()()212212122124sin 211qa M ωββββββ=⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪+⎢⎥=±- ⎪⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2. 解：单位波矢区间对应有 /2L π个模式,d q 区间内有22L Ldq dq ππ=个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为()L dqg d ωπω=由一维色散关系:得将上式代入前式得sin22m m qa qa ωωω===其中cos()22m a qad dq ωω=1L5. 解：模式密度：D 23D9N(g ωωωωω≤=，）（推导参考教材P78, 4.7.20）每个谐振子的零点振动能为ω 21，各声频支的零点振动能： D 203D00N 89d 219N d 21)(g U D Dωωωωωωωωωω ===⎰⎰ 补充题：1. 设一长度为L 的一维简单晶格，原子质量为m,间距为a,原子互作用可写成由简谐近似求：（1）色散关系 (2)模式密度 （3）晶格热容（列出积分式） 解： （1） 第n 个原子的受到的总合力)2(11n n n n u u u F -+-=-+β设)(t qna i n Ae u ω-=代入运动方程，得)2(s i n 4]1)[c o s (2)2(21112q m aq m a e e m m m m m i q m a i q m a m m ∑∑∑∞=∞=-∞=-=-=-+=-βββω由此得色散关系（2） 单位波矢区对应有π2L个模式，dq 区间内有dq Ldq 22ππ=⨯个振动。
固体物理习题解答
《固体物理学》部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
复旦大学《固体物理学》习题1及答案
固体物理习题参考答案1.尝试用Drude模型推导焦耳定律W=RI2解：记电子在两次碰撞之间经过的距离为l,导体横截面为S,总电子数为N,则R=lσS,I=jS.在Drude模型中j=−env,结合j=σE得到：j2=−envσE,因此nEv=−j2σe.因此，W=NF v=−nSleEv=Sle j2σe=Slj2σ=RI2此即焦耳定律。
2.用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：(1)波矢k的取值和k空间状态密度(2)能量空间状态密度(3)零温度时的费米能级和电子气总能(4)电子出现在空间任何一点的几率(5)平均动量(6)问：由上面这些结果，无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在哪里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？解：(1)容易得到无限深势阱内波函数的形式为ψ(x,y,z)=A sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z)其中,k i=n iπL,i=x,y,z;n i=±1,±2,±3,···由边界条件给出。
归一化波函数得到A=√8L3=√8V.由于每个状态在k空间所占的体积为∆k=π3/V,所以k空间状态密度为1∆k =Vπ3.(2)能量E到E+d E之间的状态数为d N=2×Vπ34πk2d k而d E= 22m2k d k→d k=(m2 2)1/21√Ed E所以d N=4Vπ2(2m2)3/2√E d E.能量空间状态密度为D(E)=d Nd E=4Vπ2(2m2)3/2√E.(3)状态密度积分得到电子总数∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2√E d E=N.所以费米能级可表示为E0F =28m(3π2n)2/3,其中n=N/V。
因此系统总能量为∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2E√E d E=35E0FN.(4)电子出现在空间任意一点的几率为|ψ(x,y,z)|2=8Vsin2(k x x)sin2(k y y)sin2(k z z).(5)电子x方向的平均动量为（y,z方向类似）<p x>=∫L0∫L∫Lψi∂ψ∂xd x d y d z=√2Ln xπi∫Lsinπn x xLcosπn x xLd x=0.(6)讨论驻波解：（a）驻波解不是动量算符的本征解。
固体物理习题解答
《固体物理学》习题解答( 仅供参考)参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006年6月第一章晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。
解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个Na+和一个Cl－组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。
试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。
解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。
所以，其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。
所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。
所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。
所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为： 简立方：6π；体心立方：8；面心立方：6；六角密集：6；金刚石：16。
固体物理(胡安)课后答案
f + f B , h1 + h2 + h3为偶 = A f A − f B ,h1 + h2 + h3为奇
射强度： I ∝ F ( h1h2 h3 ) , 对于 h1 + h2 + h3 为奇数的衍射面 f A = f B 则会消
2
光。 1.11
试讨论金刚石结构晶体的消光法则。 解：金刚石结构中，金刚石单胞有 8 个碳原子，坐标为：
( 2π ) =
Vc
3
3 2π ) ( 或: b1 b 2 × b3 = a1 ( a2 × a3 )
(
)
现 在 证 明 ： a
1
a
3
×b b = 2π b ⋅ (b × b )
1 2 1 2 3
× = 2π b b b ⋅ (b × b )
2 1 1 2 3
a
2
b ×b = 2π b ⋅ (b × 2 × b3 = a1 Vc 令
b2 × b1 c1 = 2π b1 ⋅ b2 × b3
(
(
)
) ( )
b3 × b1 c 2 = 2π = a 2 b1 ⋅ b2 × b3
伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文
第一章
晶体的结构及其对称性
1.1 石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式 格子。 为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元 胞。 解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为 如图点 A 和点 B 的格点在晶格结构中所处的地位不同， 并 不完全等价，平移 A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。 1.2 在正交直角坐标系中，若矢量 Rl = l1i + l 2 j + l3 k ， i ， j ， k 为单位向量。 li (i = 1,2,3) 为整数。问下列情况属于什么点阵？
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a
r a
2a
（110）面原子分布 110）
金刚石晶胞
r r r a = b = c =a
r a2
a
r a1
r∗ 1 r r 得到: 得到: a = (b2 + b3 ) 2 r∗ 1 r r b = (b3 + b1 ) 2 r∗ 1 r r c = (b1 + b2 ) 2 垂直的倒格矢： 与晶面族( hlk ) 垂直的倒格矢：
r∗ r r∗ r G hkl = h a + k b + l c ∗ r r r 1 (k + l )b1 + (l + h )b 2 + (h + k )b 3 = 2 r r r 1 = p ( h1 b1 + h 2 b 2 + h 3 b 3 ) 2 r 1 = p G h1 h 2 h 3 2
r c
r b
r a
( h , k , l = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3 , L )
晶胞含８个同种原子，位置， 晶胞含８个同种原子，位置，
晶胞
a a a a a a a ( 0 , 0 , 0 ), ( , , ), ( , , 0 ), ( , 0 , ) 4 4 4 2 2 2 2
(0, a a a 3a 3a 3a 3a a 3a a 3a , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4
r∗ c =
倒格矢， 倒格矢，
r r 2π a × b Ω
2π r = k c
r∗ r∗ r r∗ G hkl = ha + kb + lc
晶格面间距， 晶格面间距，
d hkl
2π = r G hkl
r G hkl =
r∗ r∗ r∗ ha + kb + lc
2 2
2
r∗ r∗ r∗ ha + kb + lc
3 k 3l iπ h + + 2 2 2
h k l iπ + + = f j 1 + eiπ ( h+ k ) + eiπ ( h+l ) + eiπ ( k +l ) 1 + e 2 2 2
A = 1 + eiπ ( h + k ) + eiπ ( h +l ) + eiπ ( k +l ) 令 B = 1+ e
2π 2π + a a
2
4π 3 = a
2
2π 2π + a a
2
4π 3 = a
2
所以，倒格子也是正六方格子。 所以，倒格子也是正六方格子。
4π a
r r j i
r ６0 b1
r b2
4π a
对称操作： 对称操作： 绕中心转动： 绕中心转动： 1、 １ 1个 ； C 2、 2 C 3、 3 C 1个 ； 60度 120度 240度 300度 4个（60度、120度、240度、300度）；
F (G ) = f j (1 + e e
iπ ( k + l )
h k l iπ + + 2 2 2
+e
iπ ( h + k )
+e +e
iπ ( h +l )
+ )
+e
h 3 k 3l iπ + + 2 2 2
+e
3h 3k l iπ + + 2 2 2
h k l iπ + + 2 2 2
全奇数时， 1、当 hkl 全奇数时，
A≠0
必须， 要使 B = 0 ，必须，
h k l + + = 奇数 → ( h + k + l ) = 2 × 奇数=偶数 2 2 2
但 ( h + k + l ) = 奇数 ，所以不出现消光。 所以不出现消光。 全偶数时， 2、当 hkl 全偶数时，
r∗ 2 2 r∗ 2 r∗ 2 2 = h (a ) + k b + l (c ) + r∗ r∗ r∗ r∗ r∗ r∗ 2 hk a ⋅ b + 2 kl b ⋅ c + 2 hl ( a ⋅ c )
(
)
( ) ( )
2
r∗ 2 (a )
r∗ 4 2π = , b 3 a
绕对边中心的联线转180度 绕对边中心的联线转180度，共3条； 180 绕对顶点联线转180度 绕对顶点联线转180度，共3条； 180 以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作， 24个对称操作 以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共24个对称操作
补充习题3 补充习题3
r c r b
2
( )
2
4 2π r ∗ 2 ( 2π ) = , (c ) = 3 a c2
2
(
2 2 2π r∗ r∗ a ⋅b = 3 a
)
(
r∗ r∗ b ⋅c = 0
)
r∗ r∗ (a ⋅ c ) = 0
4 2π 2 4 2π 2 2π 2 4 2π = h + k + l + hk 3 a 3 a c 3 a
1.5
证明： 证明：
r r a = b = a
α = β = 900 ,γ = 1200
元胞基矢和体积， 元胞基矢和体积，
K H I J
r r a = ai r r r 0 0 b = − ( cos 60 ) ai + ( cos 30 ) aj
z
β
D
α
rG a r F b 0
E
1 r 3 r = ai + aj 2 2 r r c = ck
v a2
a
r r j i r a1
r r a r a a1 = i + j 2 2 3 r r a r a a2 = − i + j 2 2 3
r r r r r 取单位矢量 k 垂直于 i 、j , a 3 = k
晶格元胞体积， 晶格元胞体积，
r r r Ω = a1 ⋅ ( a2 × a3 )
r i ar a r a =( i + j) − 2 2 2 3 0
r c
r a1
r b
v a2
元胞基矢
v a3
r a
r a r r a 2 = (i + k ) 2 r a r r a3 = (i + j ) 2
r r r a1 = a2 = a3
与元胞坐标系对应的倒格子(体心立方)基矢： 与元胞坐标系对应的倒格子(体心立方)基矢：
r 2π b1 = a r 2π b2 = a r 2π b3 = a r r r r∗ r∗ r∗ (−i + j + k ) = (− a + b + c ) r r r r∗ r∗ r∗ (i − j + k ) = (a − b + c ) r r r r∗ r∗ r∗ (i − j − k ) = ( a + b − c )
r c
v a3 v a2 r
r a r a 2 = (i + 2 r a r a3 = (i + 2
r a r r a1 = ( j + k ) 2
r k)
r j)
r b a1
r a
r r r a1 = a2 = a3 =
面心立方晶胞与元胞
r r a1 ⋅ a 2 r r c o s ( a1 , a 2 ) = r r a1 a 2 r r a2 ⋅ a3 1 r r cos (a2 , a3 ) = r r = = 600 a2 a3 2 r r a1 ⋅ a 3 1 r r c o s ( a1 , a 3 ) = r r = = 600 a1 a 3 2
a a Ω= − 2 0 0 3 a 2 0 0 3 2 0 = a c 2 c
a
120
元胞DFEGHIJK 元胞DFEGHIJK
倒格子基矢， 倒格子基矢，
r∗ a =
r r 2π b × c Ω
2π = a
r 3 r j i + 3
r r r ∗ 2π [ c × a ] 4π 3 r b = = j Ω 3a 3a
(b)
η1 = η2 =
r r k j
金刚石晶胞
r
3a r r r (i + j + k ) 4 3a r r r (−i + j − k ) 4
r
r i
η1 = η 2
r
r
3 = a 4
r r r r η 1 ⋅η 2 1 c o s (η 1 , η 2 ) = r r = − = 1 0 9 0 2 7 ′ η1 η 2 3
2a 2a 2 1 = = 600 2
对体心立方晶格， 对体心立方晶格， 元胞基矢
r a r r r a1 = ( − i + j + k ) 2 r a r r r a2 = (i − j + k ) 2
r v a1 a2
r a r r r a3 = ( i + j − k ) 2 r r r a1 = a2 = a3 =