上海工程技术大学概率论考试卷2014-2015(1)A
上海工程技术大学概率论与数理统计复习题(17-18(一))-答案
5．某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求： (1) 击中三次的概率； (2) 至少有一次未击中的概率． 解： （1） p P 10 (3) C10 (0.6) (0.4) 0.0425
10
10
0
2 1 0.97 0.98 0.9733 3 3
7．设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶 的概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.3．现假定从 8 支枪中任取一支进 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率． 解：设事件 A ：射击中靶，事件 B ：所用的枪是已校正过的
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
1 1 1 1 4 6 12 3
3. 甲乙二人独立地去破译一份密码， 已知各人能译出的概率分别为 1/5 和 1/3， 求密码被译 出的概率. 解：设A:甲译出密码，B:乙译出密码，C:密码被译出. 则 C A B
a a a 解：由规范性得： k 3 1 1 2 3 k 1 1 3
a , 3k
k 1, 2, ，求常数 a ．
a2
k cos x, 9．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 0,
(2) P0 X ； 解： (1)
x
概率论与数理统计复习题
1 1 ， P( B) ，试分别在下列三种情况下求 P ( A B ) 的值： 3 2 1 (1) A, B 独立； (2) A, B 互斥； (3) A B ； (4) P( AB) ． 8
2014-2015学年第二学期《学校教育研究方法(一)》总复习
学校教育研究方法（一）总复习一、名词解释题1.操作性定义——根据可观察、可测量、可操作的特征来界定变量的含义，即从具体的行为、特征、指标上对变量的操作的描述，将抽象的概念转换成可观测、可检验的项目。
622.访谈法——一种研究性谈话，指通过与被访者的口头交流来收集所需资料的研究方法。
1663.个案研究——指采用各种方法，搜集有效、完整的资料，对单一对象进行深入细致的研究过程。
1894.个案研究法——指对某一个体、某一群体或某一组织在较长时间里连续进行调查，从而研究其行为发展变化的全过程，这种研究方法也称为案例研究法。
5.教育观察法——教育观察法是研究者在比较自然的条件下通过感官或借助于一定的科学仪器，在一定时间、一定空间内进行的有目的、有计划的考察并描述教育现象的方法。
6.教育研究——通过一系列规划好的活动步骤的实施及方法、技术的应用，来认识教育现象，为教育领域提供有价值、可依赖的知识；她有助于解决教育的实际问题，提高教育活动的质量。
187.结构观察——研究者根据研究的目的，事先拟定好观察计划，确定使用的结构性观察工具，并严格按照规定的观察内容和程序实施的观察。
1048.课堂观察方法——研究者（观察者）带着明确的目的，凭借自身感官及有关辅助工具，直接从课堂情境中收集资料的一种教育研究方法。
1029.实验——根据研究目的，运用一定的认为手段，主动干预或控制研究对象的发生、发展过程，以探索、验证所研究现象因果关系的研究过程。
20510.无关变量——指与特定研究目标无关的非研究变量，即除了研究者操纵的自变量和需要测定的因变量之外的一切变量，是研究者不想研究，但会影响研究进程的，需要加以控制的变量。
58研究的环境中可能会影响实验结果的且和实验主题无关的因素成为无关变量。
21111.问卷法——问卷调查法也称问卷法，是调查者运用统一设计的问卷向被选取的调查对象了解情况或征询意见的调查方法。
12.校本研究——校本研究是以学习所存在的突出问题和学校发展的实际需要为选题范围，以学校教师作为研究的主要力量，通过一定的研究程序得出研究成果，并且将研究成果直接用于学校实际状况改变的研究活动。
2011-2012(1)概率论与数理统计期终考试试卷A
上海应用技术学院2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073 学分: 3 考试时间: 100 分钟 课程序号: 112-7244、7246、7248、7249、7251、7254、7255、7257、7258等共9个教学班 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（每题3分，共计18分）1、有321,,R R R 三个电子元件，用321,,A A A 分别表示事件“元件i R 正常工作”)3,2,1(=i ，试用321,,A A A 表示事件“至少有一个元件正常工作”：_______________。
2、连续型随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1, 1.x F x x x x ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩则(0.5 1.5)P X <<=_____。
3、设随机变量X 服从(3,7)F 分布，则随机变量1~Y X=____________。
4、设()28,10~N X ，()=<<200X P （用()Φ表示）。
5、已知随机变量,X Y ，有cov(,)5X Y =，设31U X =+，24V Y =-，则cov(,)U V =____。
6、设随机变量,X Y 相互独立~(5,0.5)X N ，~(2,0.6)Y N ，则()E XY =___________。
二、选择题（每题3分，共计18分）1、设S 表示样本空间，下述说法中正确的是（ ）（A ）若A 为一事件，且()0P A =，则A =∅（B ）若B 为一事件，且()1P B =，则B S = （C ）若C S =，则()1P C =（D ）若,A B 相互独立，则()()()P A B P A P B =+2、设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ。
概率论期末试卷A
上海海洋大学试卷姓名： 学号： 专业班名：一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，总计21分）1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= ____0.18______b1a= ab/a2．一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红一白一黑的概率为0.25 10C3_____3. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为_______0.784___4．已知连续型随机变量X 的概率密度为,01,()2,12,0,.x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他 则P{X ≤1.5}=_0.875_____5．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}21===X P X P ，则=)(X D ____2__P{X=k}=e^(-λ) * λ^k / k! P{X=1}=e^(-λ) * λ^1 / 1! P{X=2}=e^(-λ) * λ^2 / 2! 若P{X=1}=P{X=2} λ=λ^2 / 2 λ^2-2λ=0 λ(λ-2)=0λ=0（舍）或2P{X=4}=e^(-λ) * λ^4 / 4! =（2/3）*e^(-2)6. 设随机变量X 服从二项分布B (5, 0.5)，则E （2X +1）=_________2*5*0.5+1_____7. 已知X~N(0,1), 2()Y n χ:, 且X 与Y 独立,服从____t____分布 (正态，2χ，t ）.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共7个小题，每小题3分，总计21分）1. 某人射击三次，以A i 表示事件“第i 次击中目标”（i ＝1,2,3），则A 1∪A 2∪A 3表示（ b ）A.“恰好击中目标一次”B.“至少击中目标一次”C.“至多击中目标一次”D.“三次都击中目标”2. 设A 、B 相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是( b???? )A.P(AB)=0B.P(A-B)=P(A)P(B )C.P(A)+P(B)=1D.P(A | B)=03. 设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( c??? )A. f(x)单调不减B.()1F x dx +∞-∞=⎰ C. ()0F -∞= D. ()()F x f x dx +∞-∞=⎰4. 以下数列中，可以成为某一离散型随机变量的分布律的是（ a ）A.1-)32(31k ，k =1,2,… B.k )21(，k =0,1,2,…C.-112()33k ，k =0,1,2,… D.21212121,,,…5．设随机变量X~N(1,4),已知(0.5)0.6915ϕ=,则P{1≤X ≤2}=( b )A. 0.6915B. 0.1915C. 0.5915D. 0.39156. 设随机变量X 的数学期望存在，则=)))(((X E E E （ c ）A. 0B. )(X DC. )(X ED. []2)(X E7. 样本X 1,X 2,X 3取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则下列估计量中方差最小的是( a)A. 1123111333X X X μ=++B. 2123111424X X X μ=++ C. 3123211366X X X μ=++D. 1123112333X X X μ=-++三、计算题（本大题共5小题，共计58分）1．（10分）设某地区男性居民中肥胖者占25%，中等者占60%，瘦者占15%，又知肥胖者患高血压病的概率为20%，中等者患高血压病的概率为8%，瘦者患高血压病的概率为2%，试求： （1）该地区成年男性居民患高血压病的概率；（5分）（2）若某成年男性居民患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？（5分）2．（10分）已知随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。
2014-2015第2学期概率论与数理统计期末试题(含答案)
X -1 0
1
2
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则 P{x<1)=______．
3.设随机变量 X 服从区间[1,5]上的均匀分布，则 P{0 X 3}
.
4.设随机变量X服从参数为5的指数分布，则P{X=5}=_________.
5. 设随机变量 X~B（n, p）,已知 E(X)=0.8，D(X)=0.48，则 n，p 的值分别是 , .
P( AB) P( A)P(B)3分
所以 A 与 B 相互独立。
6
必要性：
P( AB) P( A)P(B)
P( AB) P( AB)P( A) P( A)P(B) P( A)P( AB)
P( AB) P( AB) P(B) P( AB)
P( A) P( A)
i 1
i 1
d
ln L( p) dp
1 p
n i 1
xi
1 1 p
(n
n i 1
xi )
0 ……………………………………………8
分
只有一个驻点
p x p ，必为 L(p)的最大值点。P 的极大似然估计是 x …………………………10 分
4．解：选择 U
X
0
i1
Xi
150
200 P i1
X i 160 32
150 160
32
200 P i1
Xi
160
1.77
32
1 ( 5 2 ) 4
上海第二工业大学2014-15-2《概率论与数理统计》复习提纲
2014-2015-2《概率论与数理统计》复习提纲一、题型说明：填空题15分、选择题15分、计算题70分。
二、填空题、选择题主要考查全书的基本概念、基本性质和简单的计算能力，主要考点有：1、 古典概型2、 概率的运算性质3、 6个常用分布及其数字特征4、 独立的概念及相关的性质5、 分布函数、密度函数的定义及两者之间的关系6、 正态分布的计算7、 和分布的若干重要结论 8、 样本统计量 9、 二维离散分布10、点估计中的矩估计11、估计量的性质：无偏性、有效性 填空题例题：（1）5件产品中有两件次品，从中任取3件，则第三次取到正品的概率为，第三次才取到正品的概率。
（2）5个人工钓得3条鱼，设每条鱼被各人钓到的可能性相同，则3条鱼是由不同人钓得的概率。
（3） ()0.6(|)0.6 ()P A P B A P A B ==⋃=，P(B)=0.3,，则。
（4）已知()0.4P A =，()0.4P B =，(/)0.2P A B =，则()P AB =。
(5) 若随机变量(0,4)X U ～，(2)Y ～P ，且,X Y 相互独立，则(2)D X Y -=，(2)E X Y -=。
(6),X Y 相互独立，若(0,1),(2,4)X Y 服从N 服从N ，则X Y +服从的分布是； 若(2),(4)X P Y P 服从服从，则X Y +服从的分布是，若(,),(,)X n p Y m p 服从B 服从B ，则X Y +服从的分布是。
（7）若1(,,)n X X 为取自总体~()X e λ的样本，则参数 p 的矩估计量为。
（8）射手的命中率为p ，独立的连续射击10次，10中命中的次数服从的分布是， 首次命中发生的位置服从的分布是。
（9）设随机变量)1,04.1(~N X ，已知975.0)3(=≤X P ，则=-≤)92.0(X P 。
（10）0,2()0.4,201,0x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是随机变量的分布函数，则X 分布律是。
概率论与数理统计2013-2014期终考试试卷A(许)
上海应用技术学院2013—2014学年第二学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073 学分: 3 考试时间: 100 分钟 课程序号: 1356637，39，40，42，43，44，90，93，96，98，99 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（每题3分，共计18分）1. 随意投掷一个分币三次，则三次均为正面朝上的概率为________________。
2.设A 、B 是两个相互独立的事件，已知P(A)=0.3，P(B)=0.2，则P(A-B)=_______。
3. 在],[10上均匀投点，点落在],[131上的概率为________________。
4．设连续型随机变量X ～N(1，4)，则21X ～_______。
5. 设(X ，Y)服从二维正态分布N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)，则X ，Y 相互独立的充分且必要的条件是ρ=________________。
6. 设随机变量XF(x)为其分布函数，则F(3)=_______。
二、选择题（每题2分，共14分） 1. 设随机变量X 的分布律为则 =a （ ） A.121B. 127C. 125D. 312. 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立同分布, 且已知其边缘分布律为{}{}2111=-==-=Y P X P , {}{}2111====Y P X P 则 ==)(Y X P （ ） A.21 B. 41C.1 D .0 3. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的数学期望为( )A.-2B.0C.21D.24．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8 B ．16 C ．28D ．445. 设21ˆˆθθ和为未知参数θ的两个无偏估计，且满足1ˆθD 2ˆθD ,则称21ˆˆθθ比更有效。
2014-2015(1)概率论与数理统计B试卷A卷
2014-2015（1）概率论A 卷一、选择题（每小题3分，共18分）1．如果()()1P A P B +>,则事件A 与B 必定( )A ．独立 B. 不独立 C. 相容 D. 不相容2．设随机变量X 与Y 相互独立，D(X)＝6，D(Y)＝3，则D(2X －Y)＝( )。
A. 9B. 15C. 21D. 273. 设随机变量X 与Y ，则下列命题中正确的是（ ）A. E(X+Y)=E(X)+E(Y)B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)C. E(XY)=E(X)×E(Y)D. D(XY)=D(X)×D(Y)4．设2(1,2)X N ，12,,,n X X X 为X 的样本，记11ni i X X n ==∑则有( ) A. 1(0,1)2X N - B. 1(0,1)4X N - C.(0,1)N D.(0,1)N 5．设12,,,n X X X 为正态总体2(0,2)N 的一个样本，X 表示样本均值。
则μ的置信度为 1α-()01α<<的置信区间为( )。
A.22(x u x u αα-+B. 1122(x u x u αα---+C. (x u x u αα-+D. 22(x u x u αα-+ 6. 在假设检验问题中，显著性水平α的意义是( )A.在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率B.在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率C.在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率D.在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率二、填空题（每小题3分，共18分）1．已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.3P A B -=，则()P A B ⋃= .2．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率32，将此硬币连抛4次，则恰好3次出现正面朝上的概率是______.3．设(0,1)X N ，()x Φ为其分布函数，则()()x x Φ+Φ-=____________.4．设随机变量X 的分布函数为F(x)，它的分布律：则F(2)=____________.5．设总体X ~N (μ,σ2)(σ>0)，123,,X X X 为来自该总体的样本，若1231123X aX X μ=++ 是参数μ无偏估计，则常数a ＝______. 6、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则E(X 2)=__________.三、计算与解答题（共64分）1.（1０分）已知一批产品中有95％是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03.求：(1)任意抽查一件产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.2. (10分)设随机变量X 的分布函数()F x 为0,0()sin 0212x F x A xx x ππ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩ （1）求A 的值；（2）求(6)P X π<3.（10分）设随机变量X 的概率密度为2,01()0,ax bx c x f x ⎧++<<=⎨⎩其它并已知()0.5E X =，()0.15D X =，求系数,,a b c 。
上海大学2014～2015学年冬季学期试卷概率论和数理统计B试题(a卷)答案和评分参考
同时：
lim
n
P(|
pˆ
p
|
)
lim
n
p(1 p) n 2
0 ，也是相合估计。（1+1
分）
2、（本题 5 分）如果总体 X 与Y 独立，且服从相同的正态分布 N (, 2 ) ， S12 与 S22 为具
有相同样本容量（样本容量不小于
2）的各自的样本方差。证明： Sw2
1 2
( S12
S22
)
也是
第1页 (共4页)
成
上海大学 2014～2015 学年冬季学期试卷（A 卷） 绩
二、填空题 (每格 2 分，共 10 分) 1、设 P( A) 0.3 ， P(B A) 0.1 ，则 P( A B) P( A) P(B A) 0.3 0.1 0.4 。
课程名：概率论与数理统计（B） 课程号：
弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。
应试人 题号
应试人学号
一
二
应试人所在院系
三
四
五
3、把 3 个球独立随机放入 10 个盒子内，每个盒子所放球的个数不限，则没有球的盒子
个数的数学期望为10
9 10
3
7.29
。
得分
10
10
10
60
一、是非题 (每题 2 分，共 10 分) 1、对满足条件 P( A) P(B) 的任意事件 A 和 B ，一定成立 A B 。
注：方法正确，计算误差允许 0.05
(1)(2 分)求证 P( A) P( A1) P( A2 ) P( A3) ； (2)(3 分 )证明 P( A) P( A1) P( A2 ) P( A3) 2 .
李志从 概率论与数理统计14-15(1)试卷A
河北科技大学2014--2015学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（A ）学院 班级 姓名 学号一． 单选题（每小题3分，共24分）1. 设A ，B 为随机事件，P （AB ）=1，则（ ）A ．A ，B 均是必然事件 B. P (A )= P (B )=1C ．AB 是必然事件 D. A 与B 不独立 2．设随机变量X 的密度函数为)1(1)(2x x f +=π，则X e Y 2=的密度函数为（ ） A ．21(4ln )y y π+ B ．22(4ln )y y π+ C ．22(4ln )y π+ D ． 22(14ln )y y π+3. 设随机变量X ，Y 不相关，2()()0,D X D Y σ==≠ 则下列命题错误的是（ ）A. Cov(X,Y)=0B. 2(2)5D X Y σ-=C. X ，Y 相互独立D. E (XY )=E (X )E (Y )4. 对正态总体的数学期望进行假设检验时，如果在显著性水平0.01α=下接受00H :μμ=，则在显著性水平0.05α=下，正确的是（ ）A ．必接受0HB ．可能接受，也可能拒绝0HC ．必拒绝0HD ．不接受，也不拒绝0H5. 12,X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一组样本，下列结论中正确的是（ ）A ． 212/X X ～t(1) B ． 212212()()X X X X -+～ F （2,2） C ． 12X X -～2(0,)2N σ D ．221221()X X σ+～2(2)χ 6. 设()x Φ为标准正态分布函数，{,1001,2,i X A 1A 0,i Λ== 发生；，事件不发生；事件，且P(A)=0.2，X 1，X 2，…，X 100相互独立。
令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数F （y ）近似于（ ）A .)420-(y Φ B ．)480(-Φy C ．)1620-(y Φ D ．)1680-(y Φ 7. 设随机变量X ，Y 均服从正态分布，且它们不相关，则( ).A ． X 与Y 一定相互独立;B ． X 与Y 未必独立;C ． （X, Y ）服从二维正态分布;D ． X+Y 服从一维正态分布.8. 设12,,,n X X X L 为正态总体(,4)N μ的一个样本，X 表示样本均值，则μ的置信度为1α- 的置信区间为（ ） A．/2/2(X z X z αα-+ B．/2/2(((X t n X t n αα--+- C ．/2/2(X z X z αα-+ D ．(X z X z αα-+ 二．填空题（每空3分，共36分）1． 设A ，B ，C 是随机事件，P （AB ）=21，P （C ）=41，且B 与C 互不相容，则P （AB |C ）＝__________.2． 已知)2(~E X ，~(2)Y π, 且X 与Y 不相关，则D(X -3Y )= .3． 设总体~(100,30)X N ，1215(,,,)X X X K 和125(,,,)Y Y Y K 是其两个独立的样本，则D （X ）＝______________，~X Y - . 4. 连续四次掷一枚硬币，已知至少出现一次反面的概率为8165，则每次掷硬币时出现正面的概率为__________.5． 设E (X )=E (Y )=2，D (X )=2，D (Y )=8, 3/4XY ρ=，则由切比雪夫不等式{||3}P X Y -≥≤ .6. 设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布律为则当α= ， β = 时，X 与Y 相互独立.7. 设,01()0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其它是连续型随机变量X 的概率密度函数，且13EX =，则a = ，b = .8． 设1234,,,X X X X 是来自参数为θ的泊松分布总体的样本．现有θ的三个估计量11234()4T X X X X =+++，2123411()()63T X X X X =+++，31234(234)5T X X X X =+++，其中两个估计量 是无偏的.9. 若X 服从自由度为n 的t 分布，则2X 服从 分布.三．计算题（第一小题1分，其余各小题3分，共16分）设随机变量X和Y的联合分布在以点（0,0）、（0,1）、（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求：（1）联合概率密度函数(,)f x y；（2）；{1}P X Y+≥（3）边缘概率密度函数()Xf x；；（4）条件概率密度函数|(|)Y Xf y x；（5）11 {|)}42 P Y X≥=（6）Z X Y =+,求Z 的概率密度函数(z)Z f四．计算题（8分）设总体X 的密度函数为()+1,01()0,x x f x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，(1)-θθ>为未知参数，12,,,n X X X L 为总体X 的样本，（1）求θ的矩估计量．（2）求θ的最大似然估计量．五．计算题（8分）在做单选题时（4个备选答案中只有一个正确答案），若一个学生不知道正确答案，他就作随机选择。
概率论与数理统计复习题--上海工程技术大学
y 2.38
准差
S 1 0 . 12
S 2 0 . 14
设两样本独立，其涉及的总体都服从正态分布，问 是否可以认为这两种牌子的雪茄烟其尼古丁含量 的波动是否有明显差异？（ ＝ 0 . 05 ）
P ( A)P (B ) ，
则A 与B
（
）
（A）相互独立 （B）互不相容 （C）不相互独立 （D）相容
3．对于任意两个随机事件 为 （A） （B） （C） （D） ．
与
，有
4．设 A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ B 相互独立， P ( A ) 0.7 ，
P ( B ) 0.5
，则 P ( A B ) (B) 0.15； (D) 0.7
B）0.4; D）1.
９．设随机变量 X 的分布函数为
0, F ( x) x, 1, x 0; 0 x 1 x 1.
，
则 P{X
1 3
}
（
）.
10. 设随机变量 X 的概率密度函数为
1 2 x 3 f x= 0 1 x 2 其它
, 则 P X
（ 2） X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度
函数 f 3)
X
( x ), f Y ( y ) ；
P (Y 2 X )
24 ． 设 随 机 变 量 ( X , Y ) 具 有 概 率 密 度
e , f ( x, y) 0
y
0 x y 其他
,
求边缘概率密度 f x ( x ), f Y ( y ) .
k n k
）.
k 0 ,1 , 2 .... ;
2 3
1
上海工程技术大学概率论考试卷201420152A练习
一、单项选择题(本题共7小题,每小题3分,共21分,将答案填在下面对应的空格中) 1.设,,A B C 表示三个随机事件,则A 不发生且,B C 中至少有一事件发生为( ). (A) ABC (B) AB C (C) ()A B C (D) A BC2.随机变量X 的分布函数20,0,1(),02,21,2x F x kx x x x ≤⎧⎪⎪=+<<⎨⎪≥⎪⎩,则系数k =( ).3、 把1,2,3,4,5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序所得三位数就是奇数的概率就是( ).(A) 0、6 (B) 0、4 (C) 0、5 (D) 0、3 4.设随机变量X 服从参数为2的指数分布,则2Y X =服从( ). (A) 参数为12的指数分布 (B) 参数为4的指数分布 (C) 参数为1的指数分布 (D) 以上答案对不对5、 设123,,X X X 就是取自总体就是服从正态分布(,1)N μ的样本,则下列μ的无偏估计量中哪个最有效( )、(A)、 1123111236X X X μ=++; (B) 2123124399X X X μ=++;(C) 3123112663X X X μ=++; (D) 4123111333X X X μ=++.6.设随机变量,X Y 相互独立,且X 服从参数为3的泊松分布,Y 服从区间(0,6)上的均匀分布,则()321D X Y -+= ( )、(A) 39 (B) 4 (C) 40 (D) 15 7、 若X 服从自由度为1的t 分布,则1X服从( )分布、 (A) (1,1)F (B) 2(1)χ (C) (1)t (D) (0,1)N二、填空题(本题共7小题,每空格3分,共24分,将答案填在下面对应的空格中) 1.设事件,A B 相互独立,()0.3,()0.5P A P B ==,则()P B A -= .2.设二维随机变量(,)X Y 的分布律如右表,则()P X Y == 、3.设,X Y 就是直角三角形的两个锐角,则,X Y 的相关系数ρ=XY 、4.设随机变量X 服从参数为5的指数分布,则2()E X = .5、 已知男人中有5%就是色盲患者,女人中有0、25%就是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,发现就是色盲患者的概率就是 ;若已知一个人患色盲,则该色盲患者就是男性的概率为 . 6.设总体X 的分布律为1(),1,2,,,P X k k N N=== 其中N 为未知参数,12,,,n X X X 来自总体的样本,则N 的矩估计量N = 、 7.设1234,,,X X X X 就是来自总体X 的样本,1121122g X X =+,2123111333g X X X =++,3123411114444g X X X X =+++为总体均值μ的无偏估计量,则其中最有效的就是 ..三、(10分)某电子计算机主机有100个终端,每个终端有80%的时间被使用,若各个终端就是否被使用就是相互独立的,试用中心极限定理估算同时被使用的终端数在75到85之间的概率、四、(12分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为3,(,)G(,)40,x y f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他,其中2{(,)|01,}G x y x y x =<<<(1) 求关于X 、Y 的边缘概率密度()X f x 、()Y f y ,并由此判断X 与Y 就是否相互独立?(2) 求()E X ,()E Y ,()E XY ,并由此判断X 与Y 就是否互不相关？五、(10分)设总体X的概率密度为1()0,⎧>=⎩其他x f x (0θ>),求参数θ的极大似然估计.六、(10分)已知某种材料的抗压强度2(,)XN μσ,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469、 (1)求平均抗压强度μ的置信度为95%的置信区间。
上海工程技术大学概率论与数理统计模拟试卷4
概率论与数理统计模拟试卷4一、是非题（本题满分10分，每题1分）1．如果随机事件A 的概率为0.3，那么在 0次重复独立试验中，A 必将发生3 次。
（ ）2．连续型随机变量的概率密度一定是连续函数。
（ ）3．二维正态分布的边缘分布必定是一维正态分布。
（ ）4．对于两个概率非零的事件，互不相容必定不相互独立。
（ ）5．常数C 的方差等于0，而方差等于0的随机变量X 必等于常数C 。
（ ）6．正态总体下的样本均值X 与样本方差2S 是两个相互独立的统计量。
（ ）7. 假设检验中的检验水平α 也就是原假设0H 不成立的概率。
（ ）8．概率很小的事件，在个别的试验中通常是不可能发生的。
（ ）9．由二维随机变量的联合分布可唯一的确定边缘分布，反之亦然。
（ ）10．随机变量X 与Y 相互独立是它们不相关的充分条件。
（ ）二、选择题（本题满分16分，每题2分）1．若 A ，B 为随机事件，且 P(AB) = 0, 则 。
（A ）A 与 B 相互对立； （B ）AB 是不可能事件；（C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A) = 0或P(B) = 02．设 X 服从（0，2）上的均匀分布，则其标准差为 。
（A ）22 （B ）2 （C ）3 （D ）33 3．设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|}C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是4．如果随机变量 X 与 Y 满足 D （X+Y ）=D （X －Y ），则必有 。
（A ）X 与Y 不相关 （B ）X 与Y 相互独立（C ）D （Y ）=0 （D ）存在a,b 使 P{Y=a X+b }=1.5．设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N 的容量为n+m 的样本，则统计量2121n i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是（A) (,)F m n （B) (1,1)F n m -- （C) (,)F n m （D) (1,1)F m n --6．设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ 是来自X 的样本，则2σ的无偏估计量是（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 7．假设检验中所可能犯的第一类错误的概率α与第二类错误的概率β之间的关系为 。
上海工程技术大学概率论作业答案
习题一1．设C B A ,,是三个事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，求C B A ,,中至少有一个发生的概率． 解：()0P AB = ()0P ABC ∴=()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ∴⋃⋃=++---+1111500044488=++---+= 2．设事件B A ,及B A ⋃的概率别离为q p ,及r ，求：)(AB P ，)(B A P ，)(B A P 及)(B A P ． 解：()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-⋃=+- ()()()P AB P A P AB r q =-=- ()()()P AB P B P AB r p =-=- ()1()1P AB P A B r =-⋃=- 3．设31)(=A P ，21)(=B P ，试别离在以下三种情形下求)(B A P )的值： (1) B A ,互不相容； (2) B A ⊂ ； (3) 81)(=AB P ． 解：（１）1()()2P AB P B ==（２）111()()()236P AB P B P A =-=-= （３）113()()()288P AB P B P AB =-=-=4．盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品．从盒子中任取4个，求： (1) 4个满是正品的概率； (2) 恰有一个是次品的概率； (3) 至少有两个是次品的概率．解：4964100(2)0.8472C p C == 319644100(2)0.1458C C p C == (3)10.84720.14580.0070p =--= 或 22314496496441000.0071C C C C C p C ++==5．从45件正品5件次品的产品中任取3件产品，求其中有次品的概率．解：34535010.2760C p C =-=6．从一副扑克牌（52张）中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率．解：4452130.1055p C ==7．某城市的号码由８个数字组成，第一名为5或6．求 (1) 随机抽取的一个号码为不重复的八位数的概率； (2) 随机抽取的一个号码末位数是8的概率．解：7972(1)0.0181210P p ⋅==⋅ 67210(2)0.1210p ⋅==⋅8．房间里有4人，求：(1) 这4人的生日不在同一个月的概率； (2) 至少有2人的生日在同一个月的概率． 解：412(1)10.999412p =-= 4124(2)10.427112A p =-=9．已知41)(=A P ，31)|(=A B P ，21)|(=B A P ，求)(B A P ⋃． 解：1()()(|)12P AB P A P B A ==()1()(|)6P AB P B P A B == 1111()()()()46123P A B P A P B P AB ∴⋃=+-=+-=10．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率． 解：设Ａ：其中一颗为１点，Ｂ：点数之和为７，那么6121(),(),6666618P B P AB ====⋅⋅()1(|)()3P AB P A B P B ∴== 或 {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =，那么21(|)63P A B ==11．某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少?解：其中一个是女孩的样本空间为：{（男，女），（女，男），（女，女）}故所求概率为1312．一盒子中装有7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：(1) 两次都取得正品的概率； (2) 第一次取得正品，第二次取得次品的概率； (3) 一次取得正品，另一次取得次品的概率； (4) 第二次取得正品的概率．解：（1）54107621p =⋅= （2）5257621p =⋅=（3）522510767621p =⋅+⋅=（4）5425576767p =⋅+⋅=13．袋中有红球和白球共100个，其中白球有10个．每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到红球的概率．解：设i A 表示事件“第i 次取到白球”，1,2,3i =那么所求概率为：31212131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⋅⋅=14．某人忘记了号码的最后一个数字，因此他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对所需的概率．假设已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少? 解：（1）310p = 或 191981310109109810p =+⋅+⋅⋅= （2）35p =15．两台车床加工一样的零件，第一台显现废品的概率为，第二台显现废品的概率为．加工出来的零件放在一路，而且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意掏出的一件产品是合格品的概率．解：设事件A ：取得的产品是合格品，事件i B ：取得的产品由第i 台车床加工，1,2i = 那么所求概率为：112221()()(|)()(|)0.970.980.973333P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅=16．设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有n 只白球，m 只红球，乙袋中装有N 只白球，M 只红球．现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问： (1) 取到白球的概率是多少?(2) 假设已知取到白球，那么原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少? 解：设事件A ：从乙袋取到白球，事件B ：从甲袋取到白球 （1）所求概率为：()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+111()(1)n N m N nN n mNm n M N m n M N m n M N +++=⋅+⋅=+++++++++ （2）所求概率为：()(|)()P AB P B A P A =11()(1)n N nN nm n M N nN n mN nN n mN m n M N +⋅++++==+++++++17．设8支枪中有3支未经试射校正，5只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶的概率为，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为．现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率．解：设事件A ：射击中靶，事件B ：所用的枪是已校正过的 那么所求概率为：()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+50.84080.816353490.80.388⋅===⋅+⋅18．盒子中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次竞赛时从中任取3个来利用，竞赛后仍放回盒中，第二次竞赛时再从盒中任取3个，求第二次掏出的球都是新球的概率． 解：设事件A ：第二次掏出的球满是新球事件i B ：第一次掏出的球当中有i 个新球，0,1,2,3i = 那么所求概率为：3()()(|)iii P A P B P A B ==∑0331232133039399389379363333333312121212121212120.1458C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=19．设事件A 与B 彼此独立，且q B P p A P ==)(,)(．求以下事件的概率： (1) )(B A P ⋃； (2) )(B A P ⋃； (3) )(B A P ⋃． 解：（1）()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B p q pq =+-=+-=+-（2）()()()()()(1)(1)1P AB P A P B P A P B p q p q q pq =+-=+---=-+（3）()()1()1()()1P A B P AB P AB P A P B pq⋃==-=-=-20．甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是，乙击中目标的概率是．甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率．解：设事件A ：甲击中目标，事件B ：乙击中目标 那么所求概率为：()()()()()0.90.80.90.80.98P AB P A P B P A P B =+-=+-⋅=21．设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为，现假设干门炮同时发射（每炮射一发），假设欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮? 解： 事件i A ：第i 门炮击中飞机，1i n ≤≤，那么111()1()1()1[()]10.40.99nnnn n i i i i i i i P A P A P A P A ====-=-=-=->0.4log 0.01 5.026n ∴>= 因此至少配备6门高射炮。
＊＊工程大学学年第1学期(概率论)课程考试试卷(A)卷
＊＊工程大学学年第1学期（概率论）课程考试试卷（A）卷出卷老师审卷老师姓名班级学号安徽工程大学学年第1学期(概率论)课程考试试卷（A）卷考试时间120分钟，满分100分要求：闭卷[√]，开卷[ ]；答题纸上答题[√]，卷面上答题[ ] (填入√) 一、填空题（每题3分，共15分）1、设，则。
2、已知连续型随机变量的概率密度为，则。
3、设，且有，则。
4、设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得。
5、若随机变量与独立，且均服从区间上的均匀分布，则=_ _。
二、计算题（每小题6分，共30分）1、一批零件共有100个，其中有10个不合格品。
现从中一个一个取出，求第三次才取得不合格品的概率是多少？2、某射击队有20人，其中一级选手4名，二级选手8名，三级选手7名，四级选手1名，能通过预赛进决赛的概率分别为0.9，0.7，0.5，0.2。
(1) 若任选一人代表该队参加比赛，问该选手能通过预赛进入决赛的概率是多少？(2) 已知该选手进入了决赛，问此选手是一级选手的概率是多少？3、设随机变量的分布律为2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求：(1) 的分布列；(2) 。
4、设随机变量，现对进行5次独立观测，试求5次的观测值都小于10的概率。
5、已知随机变量的概率密度为，求的分布函数。
三、计算题（每小题10分，共40分）1、若，求的概率密度函数。
2、设二维随机变量的概率密度函数为。
（1）求边沿密度函数和；（2）讨论随机变量与的独立性和相关性。
3、已知随机变量与独立同分布，且。
求。
4、设随机变量独立且都服从参数为的泊松分布，令。
求的相关系数。
四、证明题（第1题7分，第2题8分，共15分）1、已知，证明：。
2、证明马尔可夫大数定律。
即对随机变量序列，若有，则随机变量序列服从大数定律。
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上海工程专业技术大学 概率论作业答案文件
习题一1．设C B A ,,是三个事件,且41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,81)(=AC P ,求C B A ,,中至少有一个发生地概率． 解：()0P AB = ()0P A B C ∴= ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ∴⋃⋃=++---+1111500044488=++---+= 2．设事件B A ,及B A ⋃地概率分别为q p ,及r ,求：)(AB P ,)(B A P ,)(B A P 及)(B A P ．解：()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-⋃=+-()()()P A B P A P A B r q =-=- ()()()P A B P B P A B r p=-=- ()1()1P A BP AB r=-⋃=-3．设31)(=A P ,21)(=B P ,试分别在下列三种情况下求)(B A P )地值： (1) B A ,互不相容； (2)B A ⊂ ；(3) 81)(=AB P ． 解：（１）1()()2P AB P B ==（２）111()()()236P AB P B P A =-=-= （３）113()()()288P AB P B P AB =-=-= 4．盒子中装有同型号地电子元件100个,其中有4个是次品．从盒子中任取4个,求： (1) 4个全是正品地概率；(2) 恰有一个是次品地概率； (3) 至少有两个是次品地概率．解：4964100(2)0.8472C p C == 319644100(2)0.1458C C p C == (3)10.84720.14580.0070p =--= 或 22314496496441000.0071C C C C C p C ++== 5．从45件正品5件次品地产品中任取3件产品,求其中有次品地概率．解：34535010.2760C p C =-=6．从一副扑克牌（52张）中任取4张,求4张牌地花色各不相同地概率．解：4452130.1055p C ==7．某城市地电话号码由８个数字组成,第一位为5或6．求 (1) 随机抽取地一个电话号码为不重复地八位数地概率； (2) 随机抽取地一个电话号码末位数是8地概率．解：7972(1)0.0181210P p ⋅==⋅ 67210(2)0.1210p ⋅==⋅8．房间里有4人,求：(1) 这4人地生日不在同一个月地概率； (2) 至少有2人地生日在同一个月地概率． 解：412(1)10.999412p =-= 4124(2)10.427112A p =-=9．已知41)(=A P ,31)|(=A B P ,21)|(=B A P ,求)(B A P ⋃． 解：1()()(|)12P AB P A P B A ==()1()(|)6P AB P B P A B ==1111()()()()46123P A B P A P B P AB ∴⋃=+-=+-=10．掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点地概率． 解：设Ａ：其中一颗为１点,Ｂ：点数之和为７,则6121(),(),6666618P B P AB ====⋅⋅()1(|)()3P AB P A B P B ∴==或 {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =,则21(|)63P A B == 11．某个家庭中有两个小孩,已知其中一个是女孩,试问另一个也是女孩地概率是多少?解：其中一个是女孩地样本空间为：{（男,女）,（女,男）,（女,女）}故所求概率为1312．一盒子中装有7只晶体管,其中5只是正品,2只是次品,从中抽取两次,每次任取一只不放回,求：(1) 两次都取得正品地概率； (2) 第一次取得正品,第二次取得次品地概率； (3) 一次取得正品,另一次取得次品地概率； (4) 第二次取得正品地概率． 解：（1）54107621p =⋅= （2）5257621p =⋅= （3）522510767621p =⋅+⋅= （4）5425576767p =⋅+⋅= 13．袋中有红球和白球共100个,其中白球有10个．每次从袋中任取一球不放回,求第三次才取到红球地概率．解：设i A 表示事件“第i 次取到白球”,1,2,3i =则所求概率为：31212131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⋅⋅=14．某人忘记了电话号码地最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拔号不超过三次而拨对所需电话地概率．若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少? 解：（1）310p =或 191981310109109810p =+⋅+⋅⋅= （2）35p =15．两台车床加工同样地零件,第一台出现废品地概率为0.03,第二台出现废品地概率为0.02．加工出来地零件放在一起,并且已知第一台加工地零件比第二台加工地零件多一倍,求任意取出地一件产品是合格品地概率．解：设事件A ：取得地产品是合格品,事件i B ：取得地产品由第i 台车床加工,1,2i = 则所求概率为：112221()()(|)()(|)0.970.980.973333P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅=16．设有甲、乙两个口袋,甲袋中装有n 只白球,m 只红球,乙袋中装有N 只白球,M 只红球．现从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任意取一球,问： (1) 取到白球地概率是多少?(2) 若已知取到白球,则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋地概率是多少? 解：设事件A ：从乙袋取到白球,事件B ：从甲袋取到白球 （1）所求概率为：()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+111()(1)n N m N nN n mNm n M N m n M N m n M N +++=⋅+⋅=+++++++++ （2）所求概率为：()(|)()P AB P B A P A =11()(1)n N nN nm n M N nN n mN nN n mN m n M N +⋅++++==+++++++17．设8支枪中有3支未经试射校正,5只已经试射校正．一射手用校正地枪射击时,中靶地概率为0.8,而用未校正过地枪射击时,中靶地概率为0.3．现假定从8支枪中任取一支进行射击,结果中靶,求所用地枪是己校正过地概率．解：设事件A ：射击中靶,事件B ：所用地枪是已校正过地 则所求概率为：()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+50.84080.816353490.80.388⋅===⋅+⋅18．盒子中放有12个乒乓球,其中有9个是新地．第一次比赛时从中任取3个来使用,比赛后仍放回盒中,第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出地球都是新球地概率． 解：设事件A ：第二次取出地球全是新球事件i B ：第一次取出地球当中有i 个新球,0,1,2,3i = 则所求概率为：3()()(|)iii P A P B P A B ==∑0331232133039399389379363333333312121212121212120.1458C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=19．设事件A 与B 相互独立,且q B P p A P ==)(,)(．求下列事件地概率： (1) )(B A P ⋃； (2) )(B A P ⋃； (3) )(B A P ⋃． 解：（1）()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B p q pq =+-=+-=+-（2）()()()()()(1)(1)1P AB P A P B P A P B p q p q q pq =+-=+---=-+（3）()()1()1()()1P A B P AB P AB P A P B pq ⋃==-=-=-20．甲、乙两人独立地向同一目标射击,甲击中目标地概率是0.9,乙击中目标地概率是0.8．甲、乙两人各射击一次,求此目标被击中地概率． 解：设事件A ：甲击中目标,事件B ：乙击中目标 则所求概率为：()()()()()0.90.80.90.80.98P AB P A P B P A P B =+-=+-⋅=21．设每一门高射炮（发射一发）击中飞机地概率为0.6,现若干门炮同时发射（每炮射一发）,若欲以99%地把握击中来犯地一架飞机,问至少需配备几门高射炮? 解： 事件i A ：第i 门炮击中飞机,1i n ≤≤,则111()1()1()1[()]10.40.99nnnn n i i i i i i i P A P A P A P A ====-=-=-=->0.4log 0.01 5.026n ∴>= 所以至少配备6门高射炮.22．如图,三个元件分别记作C B A ,,,且三个元件能否正常工作是相互独立地．设C B A ,,三个元件正常工作地概率分别为0.7,0.8和0.8,求该电路发生故障地概率．BAC解：设事件C B A ,,分别表示元件C B A ,,正常工作则所求概率为：1(1()())()1(10.20.2)0.70.328p P B P C P A =--⋅=--⋅⋅= 或 ()()0.30.70.20.20.328p P A P ABC =+=+⋅⋅=23．一大楼有5个同类型地供水设备,调查表明在任一时刻每个设备被使用地概率为0.1,问在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用地概率； (2) 至少有3个设备被使用地概率． 解：（1）22355(2)(0.1)(0.9)0.0729P C == （2）555(3)(4)(5)p P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=24．某人独立射击10次,每次射击地命中率均为0.6,求： (1) 击中三次地概率；(2) 至少有一次未击中地概率．解：（1）3371010(3)(0.6)(0.4)0.0425p P C === （2）101010101(10)(0.6)(0.4)0.9940p P C =-==习题二1.设随机变量X 地分布律为k ak X P 2}{==, ,2,1=k , (1)确定常数a ；(2)求}3{>X P ．解：（1）由规范性：11k k p ∞==∑得：11211212k k a a a ∞====-∑ 1a ∴=（2）}3{>X P 2311111{1}{2}{3}12228P X P X P X =-=-=-==---=2．设在15只同类型地零件中有2只次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样．以X 表示取出次品地只数,求X 地分布律．解：31331522{0}35C P X C === 2113231512{1}35C C P X C === 121323151{2}35C C P X C ===X ∴地分布律为：3．一射手每次射击地命中率为0.2,试问必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次地概率不小于0.9？解：设X 表示n 次射击中击中地次数,则~(,0.2)X B n{1}1{0}10.80.9n P X P X ≥=-==-≥ 11n ∴≥∴必须进行11次独立射击才能使至少击中一次地概率不小于0.9.4．一批产品中有20％地次品,进行重复抽样检查,共抽取5件样品,计算这5件样品中恰好有3件次品、至多有3件次品地概率．解：设X 表示5件样品中次品地件数,则~(5,0.2)X B则恰好有3件次品地概率为：3325{3}(0.2)0.80.0512P X C ==⋅⋅= 至多有3件次品地概率为：{3}1{4}{5}P X P X P X ≤=-=-=441550551(0.2)0.8(0.2)0.80.9933C C =-⋅⋅-⋅⋅=5．某高速公路每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天地某段时间内出事故地概率为0.0001,在某天地该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故地次数不小于2地概率是多少？（利用泊松定理计算）解：10000.00010.1np λ==⨯={2}1{0}{1}P X P X P X ≥=-=-=001000119991000100010.00010.99990.00010.9999C C =-⋅⋅-⋅⋅010.10.10.10.110.00470!1!e e --≈--=6．某电话交换台每分钟地呼唤次数服从参数为4地泊松分布,求： (1) 每分钟恰有8次呼唤地概率；(2) 每分钟地呼唤次数超过10次地概率．解：844(1){8}0.02988!P X e -===4114(2){10}0.002840!k k P X e k ∞-=>==∑7．设随机变量X 地分布律为412141211kp X-．求X 地分布函数．解：011114()312412x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩8．一口袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5．从袋中同时取3只,以X 表示取出地三只球中地最大号码,求随机变量X 地分布律和分布函数, 解：X 地可能取值为3,4,5351{3}0.1P X C ===,2335{4}0.3C P X C ===,2435{5}0.6C P X C ===∴X 地分布律为：3450.10.30.6k X P ∴X 地分布函数为：030.134()0.44515x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩9．设随机变量X 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,2,cos )(其它πx x k x f 求：(1) 系数k ；(2)X 地分布函数)(x F ；(3) {}π<<X P 0；解：222002(1)cos 2cos 2sin 21k xdx k xdx k x k ππππ-====⎰⎰ 12k ∴=（2）当22x ππ≤≤-时,211()cos (sin 1)22xF x tdt x π-==+⎰∴ X 地分布函数为：021()(sin 1)22212x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩11(3){0}()(0)122P x F F ππ<<=-=-=10．设连续型随机变量X 地分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,0,0)(2x x kx x x F 求：(1) 系数k ；(2) {}3.13.0≤≤X P ；(3) 概率密度)(x f ．解：2111(1)lim ()lim lim ()1x x x F x kx k F x --+→→→==== 1k ∴= 2(2){0.3 1.3}(1.3)(0.3)10.30.91P x F F <<=-=-=201(3)()0x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他11．设K 在)6,1(上服从均匀分布,求方程012=++Kx x 有实根地概率． 解：方程有实根,即240,22k k or k ∆=-≥≥≤-∴所求地概率为：624{2}{2}0615p P k P k -=≥+≤-=+=- 12．设某种电子元件地使用寿命X （以小时计）地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.100,0,100,100)(2x x x x f某仪器内装有3个这样地电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立）,试求：(1) 使用地最初150小时内没有一个电子元件损坏地概率； (2) 这段时间内只有一个电子元件损坏地概率．解：最初150小时内一个电子元件损坏地概率为：15021001001{150}3P X dx x <==⎰设Y ：最初150小时内电子元件损坏地个数,则1(3,)3YB故0303128(1){0}3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213124(2){1}339P Y C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．设随机变量X 在)5,2(上服从均匀分布．现对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3地概率． 解：532{3}523P X ->==- 设Y ：三次观测中观测值大于3地次数,则2(3,)3YB故所求概率为：23233321220{2}33327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．设)16,1(~-N X ,试求：(1) {}5.1->X P ；(2) {}4<X P ；(3) {}11>-X P ． 解： 1.51(1){ 1.5}1()1(1(0.125))0.54984P X -+>-=-Φ=--Φ= (2){4}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X <=Φ-Φ-=Φ+Φ-= (3){11}{20}1(0.75)(0.25)0.8253P X P X or X ->=><=-Φ+Φ=15．某产品地质量指标),160(~2σN X ,若要求{}8.0200120≥<<X P ,允许σ最大为多少？解：404040{120200}()()2()10.8P X σσσ<<=Φ-Φ-=Φ-≥40()0.9σ∴Φ≥401.28(1.29),31.25(31.01)σσ≥≤16．测量至某一目标地距离时发生地随机误差X （M ）地概率密度为3200)20(22401)(--=x ex f π, )(+∞<<-∞x求在三次测量中至少有一次误差地绝对值不超过30M 地概率． 解：2(20,40)XN一次测量误差地绝对值不超过30M 地概率为：{30}(0.25)(1.25)0.4931P X <=Φ-Φ-=设Y ：在三次测量中误差地绝对值不超过30M 地次数,则(3,0.4931)YB所求概率为：3{1}1{0}1(10.4931)0.8698P Y P Y ≥=-==--=17．设随机变量X 地分布律为试求：(1) X Y 21-=；(2) 22X Y =地分布律．解：（（2）18．设随机变量)1,0(~N X ,求：(1) X Y arctan =地概率密度； (2) X Y =地概率密度．解：Ｘ地概率密度为：22()()x X f x x -=-∞<<+∞ （１）()arctan ,y g x x == 210,1y x '=>+ 且()tan ,x h y y == ()tan ,h y y '= (),()22g g ππ-∞=-+∞=故由定理可得,X Y arctan =地概率密度为：2tan 22sec ()220y Y y y f y ππ-⎧⋅-<<=⎩其他（２）Ｙ地分布函数为：2222020(){}00x x y y yY dx dx y F y P X y y ---⎧=>⎪=≤=⎨⎪≤⎩⎰⎰∴Ｙ地概率密度为：220()()00yY Y y f y F y y -⎧>'==≤⎩19．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布,求： (1) Xe Y =地概率密度； (2) X Y ln 2-=地概率密度．解：Ｘ地概率密度为：101()0X x f x <<⎧=⎨⎩其他(1)(),x y g x e == 0,x y e '=>且()ln ,x h y y == 1(),h y y'=(0)1,(1)g g e == 故由定理可得,Xe Y =地概率密度为：11()0Y y e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(2)()2ln ,y g x x ==-20,y x'=-<且2(),y x h y e -==21(),2y h y e -'=-(0),(1)0g g =+∞=故由定理可得,X Y ln 2-=地概率密度为：210()200yY ey f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩习题三1． 一口袋中装有四个球,它们依次标有数字1,2,2,3．从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球,设每次取球时袋中每个球被取到地可能性相同．以Y X ,分别表示第一、二次取得地球上标有地数字,试写出随机变量X 和Y 地联合分布律． 解：2．设随机变量),(Y X 地概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=,,0,42,20),6(),(其它y x y x k y x f (1) 确定常数k ； (2) 求}3,1{<<Y X P ；(3) 求}5.1{<X P ；(4) 求}4{≤+Y X P ． 解：(1)2422(,)(6)(62)81f x y dxdy dx k x y dy k x dx k +∞+∞-∞-∞=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰ 18k ∴=(2)1310201173{1,3}(6)()8828P X Y dx x y dy x dx <<=--=-=⎰⎰⎰ (3) 1.541.50201127{ 1.5}(6)(62)8832P X dx x y dy x dx <=--=-=⎰⎰⎰ (4) 24220201112{4}(6)(46)8823xP X Y dx x y dy x x dx -+≤=--=-+=⎰⎰⎰ 3．设二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-,,0,0,0,2),()2(其它y x e y x f y x(1) 求分布函数),(y x F ； (2) 求概率}{X Y P ≤．解：(1)(,)(,)y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰当0,0x y >>时,(2)220(,)22(1)(1)y xx yu v u v x y F x y e dudv e du e dv e e -+----===--⎰⎰⎰⎰当,x y 取其他值时,(,)0F x y =2(1)(1)0,0(,)0x y e e x y F x y --⎧-->>∴=⎨⎩其他(2) (2)2002{}2(1)3xx y x x P Y X dx edy e e dx +∞+∞-+--≤==-=⎰⎰⎰4．求第1题中随机变量),(Y X 地边缘分布律． 解：5. 设随机变量),(Y X 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它20,103),(2y x xy x y x f ,求关于X和关于Y 地边缘概率密度. 解：2222()201()(,)330X xy x dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧+=+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 1201()02()(,)3360Y xyy x dx y f y f x y dx +∞-∞⎧+=+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他6．设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧<<=-,,0,0,),(其它y x e y x f y求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ． 解：0()(,)00y x x X e dy ex f x f x y dy x +∞--+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰00()(,)00yy y Y e dx yey f y f x y dx y --+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰7．设随机变量X 和Y 地联合分布律为试问：当βα,取何值时,X 与Y 相互独立？ 解：Ｘ与Ｙ相互独立,则有2121P P P ⋅⋅=⋅ 即111()993α=+⋅ 29α∴= 3131P P P ⋅⋅=⋅ 即111()18183β=+⋅ 19β∴=8．设随机变量),(Y X 在区域G 上服从均匀分布,其中G 由直线2,,=-==y x y x y 所围成． (1) 求X 与Y 地联合概率密度；(2) 求Y X 、地边缘概率密度； (3) 问X 与Y 相互独立吗？为什么？ 解：(1)Ｇ地面积14242A =⋅⋅= ∴X 与Y 地联合概率密度为：1||,02(,)40x y y f x y ⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(2) 2||11(2||)||2()(,)440x X dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他1102()(,)420y y Y dx y y f y f x y dx +∞--∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 (3) 不是相互独立地.因为不恒成立(,)()()X Y f x y f x f y =9．设X 和Y 是两个相互独立地随机变量,X 在)1,0(上服从均匀分布,Y 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,21)(2y y e y f yY(1) 求),(Y X 地概率密度),(y x f ；(2) 设含有t 地二次方程为022=++Y Xt t ,求t 有实根地概率． 解：(1) 101()0X x f x <<⎧=⎨⎩其他X 与Ｙ相互独立,2101,0(,)()()20yX Y ex y f x y f x f y -⎧<<>⎪∴==⎨⎪⎩其他(2) 方程有实根,2(2)40X Y ∆=-≥即 2X Y ≥∴所求概率为：2211222001{}(,)(1)2y xx DP X Y f x y dxdy dx e dy e dx --≥===-⎰⎰⎰⎰⎰21211(1)(0))0.1445x dx -==Φ-Φ=10．设X 和Y 是两个相互独立地随机变量,其分布律分别为试分别求Y X Z +=1和),m ax (2Y X Z =地分布律．1Z X Y ∴=+地分布律为：2max(,)Z X Y =地分布律为11．设X 和Y 是两个相互独立地随机变量,X 在)2.0,0(上服从均匀分布,Y 地概率密度是⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y试求Y X Z+=地概率密度．解：500.2()0X x f x <<⎧=⎨⎩其他()()()Z X Y X Y f z f f f x f z x dx+∞-∞∴=*=-⎰5()500.25()500,0,1555(1),0,51555(1),.5zz x z z x zz e dx e z e dx e e z ------⎧⎪≤⎪⎪=⋅=-<<⎨⎪⎪⋅=-≥⎪⎩⎰⎰12．设随机变量X 和Y 相互独立,X 在)1,0(上服从均匀分布,Y 在)2,0(上服从均匀分布,求),m ax (1Y X Z =和),m in(2Y X Z =地概率密度． 解：00()0111X x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩ 00()02212Y y y F y y y <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩2max 00012()()()12212X Y z z z F z F z F z z z z <⎧⎪⎪≤<⎪∴=⋅=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩m a x m a x 011()()1220z z f z F z z ≤<⎧⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎩其它2min 0031()1[1()][1()]1(1)(1)0122211X Y z z F z F z F z z z z z z <⎧⎪⎪∴=--⋅-=---=-≤<⎨⎪≥⎪⎩min min 3,01,()()20,z z f z F z ⎧-≤<⎪'==⎨⎪⎩其它．习题四1．设随机变量X 地分布律为41121616131212101kp X -,求)(),1(),(2X E X E X E +-．解：1111111()(1)01236261243E X =-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 1111112(1)210(1)36261243E X -+=⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅= 211111135()1014364612424E X =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=2．一口袋中共有8只球,其中5只白球,2只红球和1只黑球．从中随机地取出3只球,以X 表示这三只球中所含红球数,试求)(X E ．51533()0121428284E X ∴=⋅+⋅+⋅= 3．设随机变量X 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其它，,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(),(2X E X E ．解：121()()(2)1E X xf x dx x xdx x x dx +∞-∞==⋅+⋅-=⎰⎰⎰122222017()()(2)6E X x f x dx x xdx x x dx +∞-∞==⋅+⋅-=⎰⎰⎰4．某车间生产地圆盘其直径在区间),(b a 内服从均匀分布,试求圆盘面积地数学期望．解：圆盘直径地概率密度为：1()0a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他∴圆盘面积地数学期望为：22221()()()()2412b a x E S f x dx x dx a ab b b a πππ+∞-∞=⋅=⋅=++-⎰⎰5．设随机变量X 地概率密度为⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(x x e x f x求（1）X Y 21=,（2）Xe Y 22-=地数学期望．解：10()2()22(1)2x x E Y xf x dx x e dx x e+∞+∞+∞---∞==⋅=-+=⎰⎰2232011()()33xxxx E Y ef x dx ee dx e +∞+∞+∞-----∞==⋅=-=⎰⎰6．设二维随机变量),(Y X 地概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其它x y y y x f求)(),(22Y X E XY E +．解：112501()(,)1232xE XY xyf x y dxdy dx xy y dy x dx +∞+∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰1122222225003216()()(,)()12515xE X Y x y f x y dxdy dx x y y dy x dx +∞+∞-∞-∞+=+=+⋅==⎰⎰⎰⎰⎰7．设随机变量21,X X 相互独立,它们地概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2)(1其它x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--,5,0,5,)(52x x ex f x ）（ 求)(21X X E ． 解：11102()()23E X xf x dx x xdx +∞-∞==⋅=⎰⎰ (5)(5)2255()()(1)6x x E X xf x dx x e dx x e +∞+∞+∞-----∞==⋅=-+=⎰⎰12122()()()643E X X E X E X ∴==⋅=8．计算第1题,第3题中随机变量X 地方差及规范差．解：第１题方差：22235197()()[()]24372D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭规范差：()X σ==第３题方差：22271()()[()]166D XE X E X =-=-=规范差：()X σ==9．设随机变量X 服从参数为2地泊松分布,23-=X Z ,求)(),(Z D Z E ． 解：()2,()2E X D X ==()(32)3()24E Z E X E X ∴=-=-=2()(32)3()18D Z D X D X =-==10．设随机变量X 与Y 相互独立,且4)(,2)(,1)()(====Y D X D Y E X E ,求2)(Y X E +．解：()()()2,E X Y E X E Y +=+= ()()()D X Y D X D Y +=+=22()()[()]10E X Y D X Y E X Y ∴+=+++=11．设随机变量X 与Y 相互独立,且)30,720(~2N X ,)25,640(~2N Y ．设ZX Y =-,求Z 地概率分布,并求概率}{Y X P >． 解：()()()80,()()()1525E X Y E X E Y D X Y D X D Y -=-=-=+=~(80,1525)Z N ∴{}{0}{0}1(2.05)0.9798P X Y P X Y P Z ∴>=->=>=-Φ=Φ= 12．试证明：如果X 与Y 相互独立,则有[][])()()()()()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=．解：等式右边22()()[()]()D Y E X E Y D X =+222222{()[()]}()[()]{()[()]}E Y E Y E X E Y E X E X =-+-2222()[()][()]()E X Y E X E Y D XY =-=＝等式左边13．已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞平均数是7300,均方差是700．利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间地概率p ．解：设Ｘ：每毫升血液中含白细胞数所求概率{52009400}{210073002100}p P X P X =<<=-<-<227008{|7300|2100}121009P X -<≥-=14．设随机变量Z 地分布律为：且设Z Y Z X cos ,sin ==,实验证X 和Y 是不相关地,但X 和Y 不是相互独立地．,()0,()0.4,()E X E Y E XY ===)()()()E X Y E XE Y =-=0XY ρ∴==X ∴和Y 不相关另一方面：X 和Y显然{1,0}P X Y P =-=≠ 15．设4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ,试求)(Y X D +以及)(Y X D -． 解：()()()2cov(,)()()2D X Y D X D Y X Y D X D Y ρ+=++=++ 253620.485=++⋅=()()()2c o v (D X Y D X D Y X Y-=+-= 16．设二维随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布,其中}0,10|),{(x y x y x G <<<<=,试求相关系数XY ρ．解：⎩⎨⎧<<<<=其他00,102),(xy x y x f322)(010==⎰⎰x xdy dx X E 312)(010==⎰⎰x y d y dx Y E 412)(010==⎰⎰x x y d y dx XY E212)(02102==⎰⎰x dy x dx X E 612)(02102==⎰⎰x dy y dx Y E361313241)()()(),cov(=⋅-=-=∴Y E X E XY E Y X1813221)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D 1813161)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D21)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ17．试证：)()(),(Y D X D Y X Y X Cov -=-+．证：),cov(),cov(),cov(Y X Y Y X X Y X Y X -+-=-+ )()(),cov(),cov(),cov(),cov(Y D X D Y Y X Y Y X X X -=-+-=习题五1．根据以往地经验,某种电器元件地寿命服从均值为100小时地指数分布．现随机取16只,设它们地寿命是相互独立地,求这16只元件地寿命地总和大于1920小时地概率． 解：（1）设第i 个元件地寿命为16,,2,1, =i X i ,则2100)(,100)(==i i X D X E由中心极限定理得：)1,0(~40016001001610016161161N XXi ii i近似-=⋅⋅-∑∑==}8.04001600{}1920{161161≥-=≥∴∑∑==i ii i XP X P 2119.07881.01)8.0(1=-=Φ-≈2．某银行地统计资料表明,每个定期存款储户地存款地平均数为5000元,均方差为500元, (1)任意抽取100个储户,问每户平均存款超过5100元地概率为多少？(2) 至少要抽取多少储户,才能以%90以上地概率保证,使每户平均存款数超过4950元．解：（1）设第i 户储户地存款为,1,2,,100i X i =,则2()5000,()500i i E X D X ==1001005000~(0,1)iXN -⋅∑近似100100115000001{5100}{2}1005000i i i i X P X P ==-∴≥=≥∑∑1(2)10.97720.0228≈-Φ=-= （2）100100115000001{4950}{5000ii i i XP X P n ==-∴≥=≥∑∑1(0.9≈-Φ-=Φ>查表得： 1.282> 164.4n ∴> ∴ 至少要抽取165户储户,才能以%90以上地概率保证,使每户平均存款数超过4950元．3．有一批建筑房屋用地木柱,其中80%地长度不小于3M ．现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3M 地概率是多少？ 解：设短于3M 地根数为X ,则)2.0,100(~B X ,则168.02.0100)(,202.0100)(=⋅⋅==⋅=X D X E由中心极限定理得：)1,0(~4201620N X X 近似-=-0062.09938.01)5.2(1}5.2420{}42030420{}30{=-=Φ-≈≥-=-≥-=≥∴X P X P X P 4．设某电视台某项电视节目地收视率为%32,现任意采访500户城乡居民,问其中有170~150户收视该项节目地概率为多少？解：设收视该项节目地户数为X ,则)32.0,500(~B X ,则8.10868.032.0500)(,16032.0500)(=⋅⋅==⋅=X D X E由中心极限定理得：)1,0(~8.108160N X 近似-6630.018315.021)96.0(2}96.08.10816096.0{}170150{=-⋅=-Φ≈≤-≤-=≤≤∴X P X P5．设有1000台纺纱机彼此独立地工作,每台纺纱机在任意时刻都可能发生棉纱断头（其概率为02.0）,因而需要工人去及时接头．问至少应配备多少工人,才能以%95地概率保证,当纺纱机发生断头时有工人及时地去接头．解：设发生棉纱断头地纺纱机为X 台,则)02.0,1000(~B X ,则6.1998.002.01000)(,2002.01000)(=⋅⋅==⋅=X D X E由中心极限定理得：)1,0(~6.1920N X 近似- 设应该配备n 个人,则95.0)6.1920(}6.19206.1920{}{≥-Φ≈-≤-=≤∴n n X P n X P查表得：65.16.1920≥-n ,即3.27≥n∴至少配备28个工人,才能以%95地概率保证,当纺纱机发生断头时有工人及时地去接头．版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。
上海工程技术大学答案——概率论与数理统计复习1
复习题简答： 第一章1、 设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）B,C 都发生，而A 不发生； （2）A,B,C 中至少有一个发生； （3）A,B,C 中恰有一个发生； （4）A,B,C 中恰有两个发生； （5）A,B,C 中不多于一个发生； （6）A,B,C 中不多于两个发生。
解:（1）BC A （2）C B A ⋃⋃（3）C B A C B A C B A ⋃⋃ （4）C B A BC A C AB ⋃⋃ （5）C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃ （6）ABC2、 把1，2，3，4，5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。
问：（1） 所得三位数是偶数的概率是多少？（2） 所得三位数不小于200的概率是多少？解：（1）5222524=A A （2） 5442524=A A 3、 甲乙丙三人去住三间房子。
求：（1） 每间恰有一个的概率； （2） 空一间的概率。
解: （1）923333=A（2） 1213323233C C C =4、 设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正。
一射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3. 今假定从8支枪中任取一支进行射击，求： （1） 中靶的概率；（2） 若已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。
解: A ：中靶。
B ：已知中靶，所用这支枪是已校正过的。
80493.0838.085)(=⨯+⨯=A P 49403.0838.0858.085)(=⨯+⨯⨯=A B P5、 设有甲乙两盒，其中甲盒内有2只白球1只黑球，乙盒内有1只白球5只黑球。
求从甲盒任取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。
解: A ：从乙盒取出一球得白球。
B ：从甲盒中任取一白球放入乙盒。
22115()()(|)()P(A |B)373721P A P B P A B P B =+=⨯+⨯=6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%，35%，20%。
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一、单项选择题（本题共7小题，每小题3分，共21分，将答案填在下面对应的空格中） 1．设某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为0.6，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ ）．
(A) 30.6 (B) 20.60.4⨯ (C) 2
230.40.6C ⋅ (D) 20.40.6⨯
2．设(,)X Y 的联合概率密度为,02,01
(,),0,kxy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩
其他 则k=（ ）．
(A)
13 (B) 1
2
(C) 1 (D) 3 3． 设随机变量X 与Y 相互独立，且,X Y 分别服从参数为1，4的泊松分布，则(2)D X Y -=（ ）．
(A) -2 (B) 0 (C) 5 (D) 8 4．设A 与B 相互独立，()0.2,()0.4P A P B ==，则(|)P A B =（ ）． (A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.6 (D) 0.8
5. 已知随机变量X 的概率密度为(),X f x 令2Y X =，则Y 的分布函数()Y F y 是（ ） (A)
2()y X f x dx -∞
⎰
(B)
1()22X y f (C) ()y X f x dx -∞⎰ (D) 1
()2
X f y
6． 设X 1，X 2，X 3，为总体X 的样本，3216
1
21kX X X T ++=，已知T 是()E X 的无偏估计，则k =（ ）.
(A) 16 (B) 13 (C) 49 (D) 1
2
7．设随机变量X 与Y 相互独立且同服从正态分布(0,4)N ，从中分别抽取样本12,X X 和
12,Y Y ，则统计量122
21
2
X X U Y Y
+=
+ （ ）.
(A) (2)t (B) 2(2)χ (C) (4)t (D) 2(4)χ
二、填空题（本题共7小题，每空格3分，共24分，将答案填在下面对应的空格中）
1．某地一年内发生旱灾的概率为1
3
，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率____.
2．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，则2()E X = ．
3．设随机变量X 的分布律为 , ,a b 为常数，且()0E X =，则a = ，b =__ .
4．设随机变量(3,0.2),X B 且随机变量(3)
,2
X X Y -=
则{0}P Y == ． 5．设随机变量(1,1)X N ，应用切比雪夫不等式估计概率{}()2P X E X -≥≤ .
6．设总体~(1)X N μ，，12X X ，为来自总体X 的一个样本，μ的估计量µ1
1211
22
X X μ=+，µ21
21
2
3
3
X X μ=+，则方差较小的估计量是______. 7．设总体X 服从区间[,6]a a +上的均匀分布，12,,,n X X X 是从总体X 中抽取的一个简单随机样本，则参数a 的矩估计是 ．
三、（8分）设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为1：4，假设高速客 车因发生故障需要停驶检修的概率为0.002，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为 0.01.
（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；
（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能 性有多大？
四、（8分）某煤矿一天的产煤量X (以吨计)的均值为1.5吨，标准差为0.2吨，设各天产
煤量相互独立且同分布，Y 表示一个月(按30天计)的产煤量. 试用中心极限定理计算
{46}P Y ≤的近似值.
五、（10分）设二元随机变量(,)X Y 具有概率密度函数
6,01,),0,y y x f x y <<<⎧=⎨⎩
（其它
(1) 求关于X 、Y 的边缘概率密度()X f x 、()Y f y ，并由此判断X 与Y 是否相互独立? (2) 求()E X ,()E Y ,()E XY ，并由此判断X 与Y 是否互不相关？ 六、（9分）设总体X 的分布律为：
X
1
2
3
p
2θ
2(1)θθ-
2(1)θ-
其中01θ<<. 现观测结果为{1，2，2，1，2，3}，求θ的极大似然估计 θ
七、（10分）．为测量一山脉离开海平面的高度，共测了9次，得9次的平均高度3863x =米，标准差25.8s =米. 假设样本来自总体22(,),,N μσμσ均未知，求置信度为95%的μ和2σ的置信区间. （小数点后面保留四位有效数字）
八、（10分）按照质量要求，某果汁中的维生素含量应该超过50(单位:毫克)，现随机抽取 9件同型号的产品进行测量，得到结果如下：
45.1，47.6，52.2，46.9，49.4，50.3，44.6，47.5，48.4
根据长期经验和质量要求，该产品维生素含量服从正态分布2(,)N μσ，在0.01α=下检验 该产品维生素含量是否显著低于质量要求?
数理统计公式表及数据
一．正态总体均值、方差置信水平为1α-的双侧置信区间
待估参数 其他参数
置信区间
μ 2
σ已知 2
2
(,)X z X z n
n αασ
σ
-
+
μ
2σ未知 22
((1),(1))S S X t n X t n n n αα--+-
2σ
μ未知
222212
2
(1)(1)(,)(1)(1)
n S n S n n ααχχ----- 二．正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为α）三．数据：
(1.645)0.95Φ=, (1.96)0.975Φ=, (0.9129)0.8194Φ=， (1.25)0.8944,Φ=
0.025(9) 2.2622t =， 0.025(8)
2.3060,t = 0.05(9) 1.8331t = ， 0.05(8) 1.8595t =， 0.01(9) 2.8214t = 0.01(8) 2.8965t = 0.005(9)
3.2498t = 0.005(8) 3.3554t =
20.025(8)17.535χ=， 20,025(9)19.023χ=， 20.975(8) 2.180χ=， 2
0.975(9)
2.700χ= 原假设0H 备择假设1H
检验统计量 拒绝域
0μμ≤ 0μμ>
X T S n
μ-=
(1)T t n α≥-
0μμ≥ 0μμ< (1)T t n α≤--
0μμ= （2σ未知）
0μμ≠
2
(1)T t n α≥-
220
σσ=
220
σσ≠
2
22
(1)n S
χσ-=
()22
21n αχχ≥- 或
()2
2
12
1n α
χχ
-
≤-
220
σσ≤ 220σσ> ()22
1n αχχ≥-
220
σσ≥ （μ未知）
220
σσ< ()2211n αχχ-≤-。