锐角三角函数的概念
九年级数学专题复习锐角三角函数
总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点进阶：ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点进阶：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点进阶：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点进阶：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点进阶：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点进阶：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．举一反三：【变式】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．B ．C ．D ．类型二、特殊角的三角函数值 例2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．举一反三： 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.例3．如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求： （1）tanC 的值；（2）sinA 的值．CBA举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．例5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．例6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO与BO的长．(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米；②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．432．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（ ）A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1第2题 第3题3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．454．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．135．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．336．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（ ）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 .9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则t an∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 .三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C 不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
(初中精品)第一章解直角三角形 锐角三角函数 学年浙教版九年级数学下册
【知识梳理】一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．锐角三角函数BCa bc二、特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反.三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．【典型例题】考点一锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是()A.2B.12C.√55D.√5【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.√33D.√3【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【变式训练】,则AB的长是()1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【变式训练】1. 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°2. sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°+(√3-tanβ)2=0,则对此三角形的形状描3.若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sinα-√32述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A 为锐角,则cot A 的值为 .【强化练习】1. 如图,以点O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB⏜上一点(不与点A ,B 重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.3.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C=.,AD是BC边上的高线.4. 如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=5,cos C=35(1)求AD的长;(2)求△ABC的面积.5. 如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos∠APC的值．【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A ,B ,C 都在格点上,则tan ∠ABC 的值是 ( )A .2B .12C .√55D .√5【答案】A【例2】如图,A ,B ,C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan ∠BAC 的值为( )A .12B .1C .√33D .√3【答案】B【解析】如图,连结BC ,则BC ⊥AB.答案及解析=1.在Rt△ABC中,AB=BC=√22+12=√5,∴tan∠BAC=BCAB【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.【答案】√322. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【答案】D【变式训练】,则AB的长是() 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5【答案】C,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35【答案】125考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【答案】见解析【解析】原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2．【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案】见解析【解析】（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【变式训练】 1. 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45° 2.sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°【答案】见解析 【解答】（1）原式==12- (2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；3. 若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sin α-√32+(√3-tan β)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】C 【解答】∵sin α-√32+(√3-tan β)2=0,∴sin α-√32=0,√3-tan β=0, ∴sin α=√32,tan β=√3. 又∵α,β都是锐角, ∴α=60°,β=60°,∴此三角形的形状是等边三角形. 故选C考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．．【答案】见解析【解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA BD AD ==．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A为锐角,则cot A的值为.【答案】（2）4 3【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB⏜上一点(不与点A,B重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)【答案】C【解析】如图,过点P作PQ⊥OB,垂足为Q.在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=PQOP ,cosα=OQOP,即PQ=sinα,OQ=cosα,则点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.【答案】2√23【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,则AB=√12+(2√2)2=3.∵AB ⊥CD ,AC⏜=AD ⏜,∴∠ABC=∠ABD , ∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=AC AB =2√23. 3. 在Rt △ABC 中,若2AB=AC ,则cos C= .【答案】.√32或2√55【解析】∵2AB=AC ,∴AB 不是最长边,即∠C ≠90°.分两种情况讨论:①当∠B=90°时,设AB=x ,则AC=2x ,∴BC=√(2x )2-x 2=√3x ,∴cos C=BC AC =√3x 2x =√32.②当∠A=90°时,设AB=y ,则AC=2y ,∴BC=√(2y )2+y 2=√5y ,∴cos C=AC BC =√5y =2√55. 综上所述,cos C 的值为√32或2√55. 4. 如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=5,cos C=35,AD 是BC 边上的高线.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.【答案】见解析【解答】解:(1)∵AD ⊥BC ,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ACD 中,AC=5,cos C=35,∴CD=AC ·cos C=3,∴AD=√AC 2-CD 2=4.(2)∵∠B=45°,∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=45°,∴∠B=∠BAD ,∴BD=AD=4,∴S △ABC =12AD ·BC=12×4×(4+3)=14.5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案】见解析【解答】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10，∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．。
锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备
锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为16m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB ＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==．(4)如图，若直角三角形ABC 中，CD⊥AB 于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a 2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b 2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h 2＝pq；由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-==++．直角三角形的面积：①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B === △．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCS r a b c=++△．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数的一种，它们通过弧度制或角度制来定义，其中角度制是最常用的，用θ表示角度。
锐角三角函数是指在锐角和限制条件下的三角函数。
锐角三角函数的定义可以表示为：
sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x，
其中，θ表示的是锐角的角度，r表示半径，x和y分别表示锐角的横轴和纵轴的长度。
锐角三角函数的定义是以弧度制和角度制为基础，用正弦、余弦和正切函数来表示，即sinθ、cosθ和tanθ，它们用来描述在锐角和限制条件下的三角函数。
在数学中，这些函数可以用来计算三角形的边长、角度等，是广泛应用的三角函数。
初中锐角三角函数
初中锐角三角函数锐角三角函数是数学中重要的概念之一、在初中阶段，我们学习了正弦、余弦和正切三种锐角三角函数。
通过学习锐角三角函数，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，提高数学思维能力。
本文将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一、我们用sin表示正弦函数。
设一个锐角的一条直角边的长度为a，斜边的长度为c，则正弦函数的定义如下：sinA = a / c其中A为角的度数，sinA为正弦值。
正弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，正弦值的大小从0逐渐增大，最大值为1、所以sin0° = 0，sin90° = 12. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，正弦值的大小从1逐渐减小，最小值为0。
所以sin180° = 0。
正弦函数的应用：正弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。
通过正弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如航海中的船舶位置计算、建筑中的高度计算等。
二、余弦函数余弦函数是锐角三角函数中的另一种函数。
我们用cos表示余弦函数。
设一个锐角的一条直角边的长度为b，斜边的长度为c，则余弦函数的定义如下：cosA = b / c其中A为角的度数，cosA为余弦值。
余弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，余弦值的大小从1逐渐减小，最大值为0。
所以cos0° = 1，cos90° = 0。
2. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，余弦值的大小从0逐渐增大，最小值为-1、所以cos180° = -1余弦函数的应用：余弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。
通过余弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如建筑物的倾斜角度计算、物体的投影计算等。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
28.1锐角三角函数
感悟新知
知3－练
例 7 (1)已知α=45°，求2sin2α－2 2 sinα·tanα+tan2α；
(2)计算
1 4
tan2
45＋
sin
1 2 30
－3 cos2
30－
sin cos
45 45
.
解题秘方：用“代入法”求值.
感悟新知
解:(1)原式 2 sin－tan 2
2
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示 tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数
AB 3k 3k
AB 3k 3
tan B AD 2 2k 2 2. BD k
感悟新知
知1－练
3-1. 将一副三角尺(Rt△ ABC 与Rt△BDC)按如图所示的方 式摆放在一起，连接AD， 试求∠ ADB 的正切值.
感悟新知
解：过点 A 作 AM⊥DB，交 DB 的延长线于点 M. 知1－练
3
sin A－sin B的值.
知2－练
，求
解：∵sinA＋sinB＝43，∴(sinA＋sinB)2＝196.
∴sin2A＋sin2B＋2sinA·sinB＝196.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴sinB＝cosA，
感悟新知
∴sin2A＋cos2A＋2sinA·sinB＝196， ∴1＋2sinA·sinB＝196，∴2sinA·sinB＝79， ∴sin2A＋sin2B－2sinA·sinB＝1－79＝29， ∴(sinA－sinB)2＝29，∴sinA－sinB＝± 32.
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
第1节 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数 第一节 锐角三角函数一、课标导航二、核心纲要1．锐角三角函数的概念（1）定义：在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦、余弦和正切统称为锐角A 的三角函数． （2）如下图所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，①正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sinA =A ac =∠的对边斜边．②余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cosA =A bc=∠的邻边斜边．③正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tanA =A aA b=∠的对边∠的邻边．注：（1）锐角三角函数没有单位．（2）锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小和位置无关．（3）sin A 是一个整体符合，即表示∠A 的正弦，习惯省去角的符号“∠”，但不能写成sin ·A ，三个大写字母表示一个角时，角的符号“∠”不能省略，如sin ∠BA C ．（4）当0°＜∠A ＜90°时，0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 2．特殊角的三角函数（如下表所示）注：特殊角的锐角三角函数值的记忆方法（1）数形结合记忆法如下左图、中图所示，有定义可得各角的三角函数值．（2）增减规律记忆法①sin a的值随着a的增大而增大，依次为：222，，．②cos a的值随着a的增大而减小，依次为：222，，．③tan a的值随着a的增大而增大，依次为：31．3．锐角三角函数之间的关系如下右图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）互余关系：sin A=cos（90°－∠A）=cos B，cos A=sin（90°－∠A）=sinB．（2）平方关系：sin 2A+cos2A=1．（3）倒数关系：tan A·tan B=1．（4）商数关系：sintancosAAA=．4．通过构造合适的图形，求15°和75°的三角函数值（如下表所示）5．求三角函数值的常用方法 ①根据特殊角的三角函数值求值． ②借助边的数量关系求值． ③借助等角求值． ④根据三角函数关系求值．本节重点讲解：一个概念，一个特殊值，一个方法．三、全能突破基 础 演 练1．（1）在△ABC 中，∠C =90°，cos B =25，AB =15，则BC 的长为（ ）．A ．B ．C ．6D ．23（2）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =1，AB ，则tan A 的值为（ ）．A ．5B ．5C ．12D ．22．如图28－1－1所示，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，sin A =35，则这个菱形的面积为 （ ）cm 2．A ．40B ．60C ．80D ．1003．在平面直角坐标系中，已知点A （2，1）和点B （3，0），则sin ∠AOB 的值等于（ ）．A ．5B ．2C ．2D ．124．如图28－1－2所示，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC =AB =，则tan ∠BCD 的值为（ ）．AB ．2C ．3D ．35．点A （sin30°，－tan30°）关于原点对称点A 1的坐标是 ．6．在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足|cos （A －15°－12|+（sin B ）2=0，则∠C = ．7．计算：201cos 60tan 30sin 60cos 45cos30sin 30tan 60-?胺??+??°（）（）．8．如图28－1－3所示，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8cm ，EF =2cm ．（1）求AO 的长． （2）求sin C 的值．能 力 提 升9．已知a 为锐角，且1sin 22a <<，则a 的取值范围是（ ）． A ．0°＜a ＜30° B ．60°＜a ＜90° C ．45°＜a ＜60° D ．30°＜a ＜45° 10．直线y =2x 与x 轴正半轴的夹角为a ，那么下列结论正确的是（ ）． A ．tan a =2B ．cot a =2C ．sin a =2D ．cos a =211．如图28－1－4所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF =2，BC =5，CD =3，则tan C 等于（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．4512．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足a 2－ab －b 2=0，则tan A =（ ）．A ．1B ．2C ．12- D ．12± 13．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将图28－1－5所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（ ）．A 1B 1+C ．2.5D 14．（1）如图28－1－6所示，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点都在图中相应的格点上，则sin ∠A 的值为 ．（2）如图28－1－7所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．．．15．（1）如图28－1－8所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC =2，则cos B 的值为 ．（2）如图28－1－9所示，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段 的长．16．如图28－1－10所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线与BC 、AB 的交点分别为D 、E ．（1）若AD =10，sin ∠ADC =45，求AC 的长和tan B 的值． （2）若AD =1，∠ADC =a ，参考（1）的计算过程直接写出tan 2a的值（用sin a 和cos a 的值表示）．17．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，关于x 的一元二次方程a （1－x ）2+2bx +c （1+x 2）=0有两个相等的实数根，且3c =a +3b ．（1）判断△ABC 的形状． （2）求sin A ·sin B 的算术平方根．18．当0°＜a ＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A ．2sin （a +30°）=sin aB ．2sin （a +30°）=2sin aC ．2sin （a +30°）a +cos a （1）正确的选项是 ．（2）如图28－1－11（a ）所示，在△ABC 中，AC =1，∠B =30°，∠A =a ，请利用此图证明（1）中的结论．（3）两块分别含45°和30°的直角三角板按图28－1－11（b ）所示方式放置在同一平面内，BD =S △AD C ．中 考 链 接19．（2013·四川乐山改编）如图28－1－12所示，定义：在Rt △ABC 中，锐角a 的邻边与对边的比叫做角a 的余切，记作cot a ，即cot ==ACBC角的邻边角的对边a a a ，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）cot 30°= ．（2）已知3tan =4A ，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值． （3）已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图像上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图像上，且OA ⊥OB ，cot A =3，直接写出k 的值．20．（2013·广东湛江改编）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=12，cos 30°sin 230°+cos 230°= ．①sin45°=2，cos 30°=2，则sin 245°+cos 245°= ．②sin60°=2，cos 30°=12，则sin 260°+cos 260°= ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A +cos 2A = ．（1）如图28－1－13所示，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想．（2）已知：∠A为锐角（cos A＞0），且sin A=0.335，求cosA．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin A、cos A是关于x的方程3x2－mx+1=0的两根，m为实数，则sin4A+cos4A= .巅峰突破21．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．A．B．2-C．0.3 D22．如图28－1－14所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC中点，将△ABC折叠，使点A与D点重合，若EF为折痕，则sin∠BED的值为，DEDF的值为．。
锐角三角函数QHW
a b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边）， 就可以求出其余3个未知元素.
例3.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5， 求b、c的大小.
解: ∠B=90°- ∠ A=90°-30°=60°，
∵tanB=b/a,
B 5
，从而求得α的度数.
1.若 2 sin
2 0 ，则锐角α= 45°
3 0 ，则锐角α= 80°
2.若 tan( 20 ）
3.计算：
(1 ) 2 2
( 2 ) 6 tan 30
2
sin 45 tan 60 2 cos 30 .
3 sin 60 2 cos 45
1 2
1 2 2
三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？ 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2.直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系： a 2 b 2 c 2 （勾股定理）
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90° （3）边角的关系： sin
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
例5.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面 上是一块平地，如图所示．BC∥AD，斜坡AB=40米，坡 角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障 安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测， 当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保 持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多 少米（结果保留根号）？
∴b=a· tanB=5· tan60°= 5 3 ∵ sinA=a/c, 30°
A
C
∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10. 解直角三角形分为两类:一是已知一边一角解直角三 角形;二是已知两边解直角三角形.
锐角三角函数锐角三角函数
03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关 系转化为角的关系，再利用三角函数 的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演 示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以 轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后 在计算器或计算机软件中选择对应的三角 函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们 就可以得到一个关于角度的函数值。将这 些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三 角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为 边的关系，再利用勾股定理推导 得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意 两边长度的比值等于这两边所夹角的 正切值与第三边所对应角的正切值的 比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三 边相对应的角度，a、b、c 分别代表 三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三 角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已 知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度 可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角 三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个 角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积 之比。
锐角三角函数
∠∂的邻边 cos ∂ = 斜边 ∠∂的对边 tan ∂ = ∠∂的邻边
∂ 表示.
A
∂
B
C
把 sin ∂、 ∂、 ∂叫锐角∂的三角函数 cos tan
2.特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
C B
14.在Rt △ ABC中, ∠ C=900,下列式子不一定成立的是 A.sinA=cosB B.cosA=sinB A+ B C C. sin D.cosA=cosB = sin 2 2 15.下列说法中,正确的是( ) A.若a为锐角,则0<sina<1 B.已知tana= 3 ,则锐角a=300 C.tan300+tan450=tan(300+450) D.在Rt △ ABC中, ∠ C=900,则BC=ACtanA
3 8.已知关于x的方程, x − x tan ∂ + = 0 4 有两个相等的实数根,
2
则锐角为
.
9.已知∠ A为锐角,则sinA+cosA值一定 A.大于1 B. 小于1 C.等于1 D.无法确定
10.已知△ ABC的三边长分别为9,40,41,则其 最小锐角的正弦值为 . 11.已知一个直角三角形的两边分别为3和4, 则其最小锐角的正切值为 . 12.已知00<A<450,,则sinA,cosA,tanA大小关系 为 . 13.在△ ABC中, ∠ C=900,CD⊥AB于D, 如图,AC=3,AB=5 A D 则tan ∠ BCD= .
5.计算：sin210+sin220+sin230+---+sin2880+sin2890
锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B bB B a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值Ca b要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．ACab类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】 解：（1）原式==12- (2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课程名称： 锐角三角函数 高清ID 号：395948 关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】 【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若∠A=45°，则∠B = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】∠B =45°，sinA =2， cosA =2，sinB =2， cosB =2． 类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0（1）试判断△ABC 的形状．（2）求（1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值． 【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PCAPC PA∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ，∴ 4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD =，∴ sadA BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
锐角三角函数知识点总结
\ 1 /
锐角三角函数知识点总结
一、锐角三角函数的定义：
二、特殊角的三角函数的值：
三、锐角三角函数的性质
\ 2 / 四、解直角三角形
五、解直角三角形中的常见图形:
六、实际应用中的概念：
⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．
⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为i=h l ，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则i=h l =tan α．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵ ⑶ 方位角：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．。
第18讲 锐角三角函数与解直角三角形
.
[变式2]如图所示,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经
过点C和点D,则tan∠ADC=
.
考点二
特殊角的三角函数值
[例2] (2022燕山一模)计算:
3tan 30°-tan245°+2sin 60°.
2
解:3tan 30°-tan 45°+2sin 60°
第18讲
知识点一
锐角三角函数与解直角三角形
锐角三角函数的概念
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b
正弦
余弦
正切
∠的对边
sin A=
斜边
∠的邻边
cos A=
斜边
∠的对边
tan A=
∠的邻边
=
=
=
知识点二
特殊角的三角函数值
三角
函数
sin α
30°
45°
在 Rt△BCD 中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=90 米,
∴BD=CD·cos 37°≈90×0.80=72(米).
在 Rt△ABD 中,∠A=37°,BD≈72 米,∴AB=
°
答:A,B 两点间的距离约 96 米.
≈
=96(米).
.
[变式7](2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人
位于 B 的北偏西 45°方向,则从 B 到达 C 需要多少小时?
解:如图所示,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.由题意,得 AE∥CD,BF∥CD,
∴∠ACD=∠CAE=60°,∠BCD=∠CBF=45°.
锐角的定义
锐角的定义各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢理解锐角三角函数的定义1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．，(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若则锐角．，(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、、、，而、、的值的顺序正好相反，的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．1.锐角三角函数的定义课题：锐角三角函数教学目标：1．理解并掌握三角函数定义式：sinA=A的对边，cosA=A的邻边, 斜边斜边A的对边tanA=A的邻边２．会求三角函数值重点和难点重点：三角函数定义的理解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学反思这节课我以任务引领，学生自主合作为主，达到了教学目标。
在课堂上教师始终关注学生的学习过程，引领学生逐步完成学习任务。
在学习过程中，能及时发现学生学习过程中的问题，艺术化的处理好。
对这节课我基本满意。
这节课我用了两次小组合作探究。
一次是研究30°、60°、45°、三个特殊角的正余弦值，学生利用在直角三角形中所对的边等于斜边的一半和有单位1表示30°所对的边，在用勾股定理求出其余的边，求出30°、60°的正余弦值，利用单位1表示等腰直角三角形的一腰，计算出斜边，求出45°的三角函数值；另一次是能力提升，由于难度稍大，通过学生组内交流，使问题的解决能进行下去，不会的同学有人关注，有人帮助，会的同学通过展示，感到自豪。
共同的交流，学生能感觉到哪里不会，哪里需要帮助。
针对共性的问题，教师点拨帮助。
我感觉小组合作交流，共同学习，使课堂有一个很好的学习氛围，效果很好。
通过学生思考过的知识，理解、记忆、使用都比较好。
学生能读懂，学会的知识，就少讲;学生感觉到有困难的地方，小组交流，必要的时候老师点拨。
学生需要的时候，讲解最好。
本节课也有不足的地方，组内的合作学习，有时候忽视个体差异，多媒体使用不足。
课下和个别学生多交谈弥补。
多媒体的手段使用不足。
如果有机会再上这堂我，会让学生多说，把自己的学习中的问题暴露出来，形成一个良性互动，在交流中探讨。
在思考中学习。