4 电工技术第七章

P143例7-2
初相角的大小与计时起点的选择有关：
初相就是正弦波正的最大值到计时起点所经过的电角度
φ=0


6
-

6
当φ=0时， 正弦波的正最大值就是计时起点， 如左图所示；
当φ>0时， 正弦波的正最大值在计时起点之左， 如中图所示；
当φ<时0， 正弦波的正最大值在计时起点之右， 如右图所示。
要计算几个同频率的正弦量的相加、相减，常用相量的方法。 求相量和的步骤 (1) 写出相应的相量，并表示为代数形式。
(2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。
(3) 作相量图，按照矢量的运算法则求相量和。
(4) 最后将求出的相量和的代数式转换成极标式。
例： uA(t)=220
2 cosωt
V ， uB(t)=220
由此得出 所以， 交流电流的有效值为
2 I RT 0 i (t ) R dt 2 T
同理， 交流电压的有效值为
1 U u (t )dt T
T 2 0
1 I i (t )dt T
T 2 0
(1)
(2)
对于正弦交流电流 (t ) cos(t ) i Im 代入式(1)， 它的有效值为
第七章 正弦稳态电路分析
7.1 7.2 正弦量的基本概念 相量法的数学基础
7.3
7.4 7.5
基尔霍夫定律的相量形式
R、L、C元件的电压、电流相量关系 阻抗与导纳
7.6
7.7
正弦稳态电路分析
正弦稳态电路的功率
7.8
7.9
最大功率传输定理
谐振电路
正弦交流电应用广泛
1.正弦交流电易于产生、转换和传输。 ① 交流电机结构简单，工作可靠，经济性好，可由火力发电 机、风力发电机、水轮发电机、原子能发电机等方便地获得 电能。 ② 可方便地通过变压器改变交流电的大小，为用户提供各种 不同等级的电压。
2f 2 3.14 50 314(rad / s)
三、初相位
正弦交流电在任一瞬时的电角度(t+u)、(t+i)等称为
相位角，简称相位，其单位为弧度（rad）。当t=0时正弦电量 的相位角称为初相位，简称初相。 规定： | | ( 180°) 此时的瞬时值i(0 )=I
所以把
这种角度叫电角度。
7.1 正弦量的基本概念
7.1.1 正弦量的三要素
m m
以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般 解析函数式为：i(t)=I cos(ωt ωt+φ)
一、瞬时值和振幅值Im：
交流量任一时刻的值称瞬时值。瞬时值中的最大值称为正 弦量的振幅值，又称峰值，亦称最大值。 Im 、 Um 分别表示正 弦电流、电压的振幅值。
I 0
.
——KCL的相量形式。
U 0
.
——KVL的相量形式
正弦电路的电流、 电压的瞬时值关系， 相量关系都 满足KCL和KVL， 而有效值的关系不满足， 要由相量的关 系决定。 因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度 去考虑。
例：正弦电路中， 与某一个节点相连的三个支路电流 为i1、i2、i3。已知i1、i2流入，i3流出，求i3
1 I I cos (t )dt T
T 2 2 0 m
同理
I 1 1 cos 2(t )dt I T 2 2 U U 2
m T m 0 m
2
有了有效值的概念，正弦电压、正弦电流的表达式：
有效值的意义：衡量正弦电流电压的大小、电气设 备的额定值、交流测量仪表的读数等。
u、i的相位差为 t u t i u i
两个同频率正弦量的相位差
等于它们的初相位之差。
两个同频率正弦电量相位关系的几种情况：
P144
P145例7-3
规定： 相位差| ∆ | ( 180°)
例 : 已知正弦交流电：
i1=5 cosωt A i2=10 cos(ωt+45°) A i3=50 cos(3ωt-45°) A
m
cosφ， 称为初始值。
φ=0


6
-

6
初相角的大小与计时起点的选择有关：
初相就是正弦波正的最大值到计时起点所经过的电角度
φ=0


6
-

6
当φ=0时， 正弦波的正最大值就是计时起点， 如左图所示；
当φ>0时， 正弦波的正最大值在计时起点之左， 如中图所示；
当φ<时0， 正弦波的正最大值在计时起点之右， 如右图所示。
大小
不变（模不变）以ω为角速度沿逆时针方向旋转ωt 角度，
即将向量 由于 的复角增大ωt角度 。 是一个可以旋转的
复数，为了区别一般的复数，把 这个复数称为相量，用符号 表示。
有了旋转相量
和旋转因子 ejωt= ωt 的概念，
/
在复平面上某个瞬间所处的位置可以表示为 即： 上式的实部恰好是正弦电流i， 即
③ 便于实现远距离输电（高压输电）。
④ 能保证安全用电（降低交流电压）。 2.利用电子设备（整流器）可方便地将交流电转换成直流电。
。
正弦交流电路的预备知识：
一、 正弦交流电的特征
大小和方向均随时间作周期性变化，且在一个周期内其 平均值为零的电压、电流或电动势统称为交流电，如图所示。
大小和方向随时间按正弦（或余弦）规律变化的电压、电 流或电动势统称为正弦交流电，如图（a）所示。 以正弦交流电源为激励，电路中产生的电流、电压均为正弦 量，这样的电路称为正 弦交流电路。
求： i1和i2相位差，i2和i3相位差。i2、i3频率不同，相位
差无意义。 i1和i2 φ1,2= 0°- 45°= -45° 表明i1滞后于i2 45°电角度。
7.1.3
正弦量的有效值
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。 如某一交流电 流和一直流电流分别通过同一电阻R, 在一个周期T内所产生的热 量相等， 那么这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值。
7.2.1 复数的基本知识
一、复数的表示形式及其相互转换 1.代数式（直角坐标形式）
A =a +jb
j 1
a A cos , b A sin A b a b , arctan |A| ф
A
a
Re
2.三角式
3.指数式
4.极坐标式
二、复数的运算 一般：做加、减法用代数式；做乘除法用极坐标式
2.复数的乘、除运算 ① 复数的乘法运算：两复数的模相乘，幅角相加
A1 A2 A1 A2 (1 2 )
② 复数的除法运算：两复数的模相除，幅角相减。
A1 A 1 (1 2 ) A2 A2
三、两个复数相等 两个复数相等的条件是：实部和实部相等，虚部和 虚部相等，或者复数的模相等，复数的幅角相等。 四、旋转因子:j—-旋转90度的因子：
. . . . . .
(2) 作相量图求解。见下图，根据等边三角形和顶角为
120°的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果。
7.3
基尔霍夫定律的相量形式
7.3.1 基尔霍夫电流定律的相量形式 正弦电路中任一节点，与它相连接的各支路电流的相 量代数和为零，即 7.3.2 在正弦电路任一闭合回路中，各段电压的相量代数和 为零， 即
-j---旋转-90度的因子：
7.2.2
正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
在复平面上有一个向量（复数）， 该向量同时具 有正弦量的三要素（Im、ω、φi ），所以它可以代表
该旋转向量的表达式为：
是可以旋转的（称之为旋转向量），它以 ω 的速度 沿逆时针方向旋转，其每个瞬间在实轴上的投影都是个余
弦函数：t=0时，幅角位于φi 处，旋转向量在实轴上的投
影I cosφi为正弦量的初始值。 时间 t=0 t=t1 t=t2
在实轴上的投影
Im cosφi Im cos（ωt1+φi ） Im cos（ωt2+φi ）
┋
┋
ejωt= ωt是一个旋转因子，它表示模是1复角是ωt
/
的一个复数。向量
乘以ejωt= ωt表示向量
2
cos(ωt—120°) V ，
求uA+uB 和uA—uB 。
解：(1) 相量直接求和。
u A U A 220/ 00 220 j 0V u B U B 220/ 1200 220(cos(1200 ) j 220sin(1200 ) 110 j110 3V u A u B U A U B 110 j110 3 220/ 600 V u A u B U A U B 330 j110 3 380/ 300 V u A u B 220 2 cos(t 600 )V u A u B 380 2 cos(t 300 )V
A a jb a 2 b2 arctan b a
（代数式转为极坐标式）
A A A cos j A sin （极坐标式转为代数式）
1.复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，则
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
P143例7-2
当三要素决定后， 就可以唯一地确定一个正弦交流电了。 例:如图所示的正弦交流电， 解: i1、 i2、 i3瞬时值为 i1=5 cosωt A i2=7.5 cos (ωt + i3=7.5 cos（ωt π 6
)A )A
π 2
7.1.2
同频率正弦量的相位差
两个同频率正弦交流电的相位之差称为相位差，用 字母 表示