2009年山东高考数学试题及答案(文数)

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2009山东省高考数学试题(理科)

2009年高考数学山东理科试卷含详细解答一.选择题（本大题共12小题，共0分）1.（2009山东理1）集合,,若,则的值为（）A.0B.1C.2D.4答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：69aa5323-d026-4d25-a8be-ab8b190c256a答案：D难度：B考查点：并集，集合，集合的互异性解析：因为.所以,选D.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：并集，集合，集合的互异性2.（2009山东理2）复数等于（）A. B. C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：1aa35d3f-8940-4b68-af2b-6c9bf2f53aab答案：C难度：B考查点：复数的四则运算，复数解析：因为，故选C.暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：复数的四则运算，复数3.（2009山东理3）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（）A. B. C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：答案：B难度：C考查点：三角函数的图象与性质，三角函数解析：由题意知：平移后的函数解析式为，，选B.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：三角函数的图象与性质，三角函数4.（2009山东理4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：3156e848-631a-4909-be75-dccc0eb32a2bC难度：B考查点：空间几何体的三视图，柱体、锥体、台体的体积，立体几何解析：由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体积,为故选C.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：空间几何体的三视图，柱体、锥体、台体的体积，立体几何5.（2009山东理5）已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：722fb828-71ef-4c92-89de-21df622f9189答案：B难度：C考查点：直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，立体几何解析：由为平面内的一条直线且得出；但是，反过来，若且为平面内的一条直线，则不一定有，还可能有与平面相交但不垂直、、.故选B.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，立体几何6.（2009山东理6）函数的图像大致为（）A. B.D.C.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：1f1e58c4-a53c-4e99-aeb6-b40d6ddc0c2c答案：A难度：C考查点：函数的图象，函数解析：排除法：因为当时，函数无意义，故排除,故选A. 点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：函数的图象，函数7.（2009山东理7）设是所在平面内的一点，，则（）A. B.C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：4097bcff-fcc6-4ff4-8e2c-7f655900df81答案：B难度：B考查点：向量加法运算及其几何意义，平面向量解析：因为，所以点为的中点，.即有，故选B.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：向量加法运算及其几何意义，平面向量8.（2009山东理8）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A.90B.75C.60D.45答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID ：35021be4-66aa-4791-a625-a49dfae52430 答案： A 难度： B 考查点：频率分布直方图解析：因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为，故选A.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：频率分布直方图9.（2009山东理9）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A.B.5C.D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID ：fb3f4528-b94d-4a3c-9170-2de01c5c400a答案：D难度：C考查点：双曲线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线与方程，平面解析几何解析：由题意知：双曲线的一条渐近线为，由方程组消去y，得有唯一解，所以，所以，故选D.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：双曲线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线与方程，平面解析几何10.（2009山东理10）定义在上的函数满足，则的值为（）A. B.0 C.1 D.2答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：044578b6-5d7b-4412-8bb1-c7acd960c736答案：C难度：C考查点：分段函数，函数解析：由已知得所以函数的值以6为周期重复性出现，所以，故选C点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：分段函数，函数11.（2009山东理11）在区间[，1]上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为（）A. B. C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：3a795589-7748-48ab-8214-c68df21ae8c0答案：A难度：D考查点：几何概型解析：当时，在区间上，只有或，即，根据几何概型的计算方法，这个概率值是.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：12.（2009山东理12）设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则其的最小值为（）D.A. B. C.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：1f1e2225-c1e0-4f8a-8569-b0cd05302354答案：A难度：D考查点：简单的线性规划问题，不等式解析：不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：当直线过直线与直线的交点时，目标函数取最大值12，即，即，而，当且仅当时取等号，故选A.点拨：暂无解题方法：暂无暂无涉及知识：简单的线性规划问题，不等式二.填空题（本大题共4小题，共0分）13.（2009山东理13）不等式的解集为________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：4573da8f-14cc-40ae-a1cd-a9c9a4a25d62答案：难度：B考查点：不等式选讲解析：原不等式等价于，两边平方并整理得：，解得.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：不等式选讲14.（2009山东理14）若函数(且)有两个零点，则实数的取值范围是________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：438ed554-7a59-488d-9d25-6bf6b9bfe17b答案：难度：C考查点：函数的零点，函数解析：函数=(且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：函数的零点，函数15.（2009山东理15）执行右边的程序框图，输入的=________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：c8e2f85c-f17b-4605-89c0-d7978fbe7194答案：30难度：C考查点：程序框图，算法与框图解析：由框图知，S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：程序框图，算法与框图16.（2009山东理16）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：a0d664b4-90a2-4f2e-9ed4-6940308adce7答案：难度：E考查点：函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点，函数，函数的周期性解析：因为定义在上的奇函数，满足，所以，所以，由为奇函数，所以函数图像关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数，如下图所示，那么方程在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，，，所以.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点，函数，函数的周期性三.解答题（本大题共6小题，共0分）17.（2009山东理17）设函数.（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设,,为的三个内角，若，，且为锐角，求.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：8ff2f6ff-0c79-4c43-b6ce-58db1d911ab3答案：(I),当时,函数的最大值为,最小正周期为.(II)==-,得到,又为锐角,故,故.难度：C考查点：三角函数的图象与性质，两角和与差的余弦公式，三角函数式的化简，三角恒等变换，解三角形，三角函数解析：点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：三角函数的图象与性质，两角和与差的余弦公式，三角函数式的化简，三角恒等变换，解三角形，三角函数18.（2009山东理18）如图，在直四棱柱中，底面为等腰三角形，平行，=4,==2,=2,,，分别为棱，，的中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：bb634584-0d16-4b7f-ba96-f9b7ac47d106答案：解法一:(I)在在直四棱柱中,取的中点,连结,由于,所以平面,因此平面即为平面,连结,,由于,所以四边形为平行四边形,因此,又因为、分别是棱、的中点,所以,所以,又因为平面,平面,所以直线平面.(II)因为是棱的中点,所以为正三角形,取的中点,则,又因为直四棱柱中,平面,所以,所以,过在平面内作,垂足为,连接,则为二面角的一个平面角,在为正三角形中,,在中,~,∵∴,在中,,,所以二面角的余弦值为.(I)因为是棱的中点所以,为正三角形,因为为等腰梯形,所以,取的中点,连接,则,所以,以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系如图所示,则(0,0,0),,,,,,,所以,,设平面的法向量为则所以取,则,所以,所以直线平面.(II),设平面的法向量为,则所以,取,则,,,所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.难度：D考查点：直线与平面平行的判定，平面与平面所成的角，空间向量与立体几何，立体几何解析：点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：直线与平面平行的判定，平面与平面所成的角，空间向量与立体几何，立体几何19.（2009山东理19）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在处没投进一球得3分，在处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在处的命中率为0.25，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求的值；(2)求随机变量的数学期望;(3)试比较该同学选择都在处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：8528077b-fbbe-46e5-8392-c19d95fc8fc6答案：(I)设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互独立,且,,,.根据分布列知:=0时=0.03,所以,.(II)当=2时,=,(),()当=3时,=;当=4时,=;当=5时,=所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望.(III)该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择(I)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过3分的概率.难度：C考查点：离散型随机变量的分布列，随机变量的数学期望解析：点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：离散型随机变量的分布列，随机变量的数学期望20.（2009山东理20）等比数列{}的前项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，记证明：对任意的，不等式成立答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：94614ca7-1238-4418-872d-3354353b935b答案：(I)由题意知:.当时,,由于且,所以当时,{}是以为公比的等比数列,又,,即,解得.(II)当时,,又当时,,适合上式,,,下面有数学归纳法来证明不等式:证明:(1)当时,左边右边,不等式成立.(2)假设当时,不等式成立,即,当时,左边,所以当时,不等式也成立.由(1)、(2)可得当时,不等式恒成立,所以对任意的,不等式成立.难度：E考查点：an与Sn关系，数列，不等式，数学归纳法证明不等式解析：点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：an与Sn关系，数列，不等式，数学归纳法证明不等式21.（2009山东理21）两县城和相聚，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城和城的总影响度为城与城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为,统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理厂建在的中点时，对称和城的总影响度为0.0065.（1）将表示成的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离，若不存在，说明理由.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：3ac255ac-56e1-4a62-bb50-c42184ca9f9d答案：(I)如右图,由题意知,,当垃圾处理厂建在弧的中点时,垃圾处理厂到、的距离都相等,且为,所以有,解得,(II),令,得,解得,即,又因为,所以函数在上是减函数,在上是增函数,当时,y取得最小值,所以在弧上存在一点,且此点到城市的距离为,使建在此处的垃圾处理厂对城市、的总影响度最小.难度：E考查点：函数与导数解析：点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：函数与导数22.（2009山东理22）设椭圆:过（2，），(,1)两点，为坐标原点，（I）求椭圆的方程；（II）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,,且？若存在，写出该圆的方程，并求生于忧患，死于安乐《孟子•告子》舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。

2009年山东高考数学试题及答案(文数)

2009年山东高考数学试题及答案（文数)一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．以（-1，2，-3）为球心，2为半径的球面方程为（）A．（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2=4 B．（x+1）2+（y-2）2+（z+3）2=2C．（x+1）2+（y-2）2+（z+3）2=4 D．（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2=22．设函数f （x，y）在点（x0，y0）处偏导数存在，并且取得极大值，则有（）A．fx（x0，y0）>0，fy（x0，y0）>0 B．fx（x0，y0）<0，fy（x0，y0）<0C．fx（x0，y0）>0，fy（x0，y0）<0 D．fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=03．设L是圆周x2+y2=2，则对弧长的曲线积分（）A．B．C．D．4．微分方程是（）A．可分离变量的微分方程 B．齐次微分方程C．一阶线性齐次微分方程 D．一阶线性非齐次微分方程5．下列无穷级数中条件收敛的无穷级数是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．设函数z=arctan ，则__________.7．设区域D：x2+y2≤9，则二重积分的值等于__________.8．已知（5x4+λxy2-y3）dx+（3x2y-3xy2+y2）dy是某个函数u（x，y）的全微分，则常数λ=__________.9．已知二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=e3x（C1cosx+C2sinx），则常数p=__________.10．设f（x）是周期为2 的周期函数，它在上表达式为S（x）是f（x）傅里叶级数的和函数，则S（）=__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．求过点P1（4，2，1），P2（2，3，0）和P3（0，1，0）的平面方程.12．设函数，求.13．已知方程x2+y2+z2-ez=0确定了函数z=z（x，y），求.14．求函数f（x，y）= 的梯度gradf（x，y）.15．在曲面z=xy上求一点，使得曲面在该点的法线垂直于平面2x+2y+2z=3，并求此法线方程.16．计算二重积分I= ，其中D是顶点分别为（1，3），（2，3），（1，4），（2，4）的四边形闭区域。

2009年高考文科数学(山东)卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为A.0B.1C.2D.4 2. 复数31ii--等于 A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -3. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.2π+B. 4π+C. 23π+D. 43π+ 5. 在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范A.(0,2)B.(-2,1)C.),1()2,(+∞--∞D.(-1,2)6. 函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为7. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为A.-1B. -2C.1D. 28.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则A.0PA PB +=B. 0PB PC +=C. 0PC PA +=D.0PA PB PC ++=9. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x =D. 28y x = 11.在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为 A.31 B.π2C.21D.32 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则.A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案

20．（2009山东理20）等比数列{}的前项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，记证明：对任意的，不等式成立
【答案】（I）由题意知：.当时，，由于且，所以当时，{}是以为公比的等比数列，又，，即，解得. （II）当时，，又当时，，适合上式，，，下面有数学归纳法来证明不等式：证明：（1）当时，左边右边，不等式成立. （2）假设当时，不等式成立，即，当时，左边，所以当时,不等式也成立. 由（1）、（2）可得当时，不等式恒成立，所以对任意的，不等式成立. 【解题关键点】【结束】
2009年高考数学山东理科试卷含详细解答
一、选择题（本大题共12小题，共0分） 1．（2009山东理1）集合,,若,则的值为（） A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】D 【解题关键点】因为.所以,选D. 【结束】
2．（2009山东理2）复数等于（） A. B. C. D.
【答案】C 【解题关键点】因为，故选C. 【结束】
【答案】（I）椭圆: 过（2，）， (,1)两点，，解得，所以椭圆的方程为. （II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为，则当直线的斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得 ,即, 则,即 ,要使,需使,即,所以, 所以又,所以,所以,即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足, ，当时,，当时，因为所以,故当AB的斜率不存在时, . 综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且的取值范围是. 【解题关键点】
解法二:（I）因为是棱的中点所以，为正三角形，因为为等腰梯形,所以,取的中点,

高考数学(文)专题提分训练：等差数列(含答案解析)[ 高考]

等差数列高考试题考点一等差数列的概念与性质1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列;p 4:数列{a n +3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )(A)p 1,p 2 (B)p 3,p 4 (C)p 2,p 3 (D)p 1,p 4解析:因为d>0,所以数列{a n }是递增数列,p 1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,…,则1×a 1>2a 2,所以p 2为假命题;若等差数列为1,32,2,…,则11a =1, 22a =322=34,所以p 3为假命题;又因为a n+1+3(n+1)d-(a n +3nd)=a n +d+3nd+3d-a n -3nd=4d>0,所以p 4为真命题,故选D. 答案:D2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10等于( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *), 则a m +a n =a p +a q , 得a 4+a 8=a 2+a 10=16. 故选B. 答案:B3.(2010年大纲全国卷Ⅱ,文6)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)35解析:∵a3+a4+a5=12,∴a4=4,a1+a2+…+a7=12×7×(a1+a7)=7a4=28.故选C.答案:C4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于( )(A)12 (B)14 (C)16 (D)18解析:在等差数列{a n}中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.故选D.答案:D5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:在等差数列{a n}中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选A. 答案:A6.(2009年辽宁卷,文3){a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d 等于( )(A)-2 (B)-12(C)12(D)2解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,∴d=-12.故选B.答案:B7.(2013年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=74.故c-a=2d=72.答案:728.(2012年北京卷,文10)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=12,S 2=a 3,则a 2= ,S n = . 解析:设等差数列{a n }的公差为d, ∵S 2=a 3,∴2a 1+d=a 1+2d,∴a 1=d. 又∵a 1=12,∴d=12, ∴a 2=a 1+d=1,S n =na 1+()12n n d -=14n 2+14n. 答案:114n 2+14n 9.(2011年天津卷,文11)已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *.若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为 . 解析:设等差数列首项为a 1,公差为d,由题意可得11216,120201920,2a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=⎪⎩ 解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩∴S 10=10a 1+12×10×9d =10×20+12×10×9×(-2) =110.答案:11010.(2011年辽宁卷,文15)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5= .解析:由S 2=S 6得a 3+a 4+a 5+a 6=0, 由等差数列性质a 3+a 6=a 4+a 5, ∴2(a 4+a 5)=0, ∴1+a 5=0, ∴a 5=-1. 答案:-111.(2010年辽宁卷,文14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .解析:设等差数列公差为d,则 S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1,① S 6=6a 1+652⨯d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8,②联立①②两式得a 1=-1,d=2, 故a 9=a 1+8d=-1+8×2=15. 答案:1512.(2009年山东卷,文13)在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .解析:设等差数列的公差为d,首项为a 1,则31522,3,a a d a a d =+⎧⎨-=⎩解得12,3,d a =⎧⎨=⎩ 所以a 6=a 1+5d=13.答案:1313.(2012年湖北卷,文20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d,由题意得()()1111333,28,a d a a d a d +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3,a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5, 或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n |=|3n-7|=37,1,2,37, 3.n n n n -+=⎧⎨-≥⎩记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时,S 1=|a 1|=4;当n=2时,S 2=|a 1|+|a 2|=5; 当n ≥3时,S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n |=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+()()22372n n -+-⎡⎤⎣⎦=32n 2-112n+10. 当n=2时,满足此式.综上,S n =24,1,31110, 1.22n n n n =⎧⎪⎨-+>⎪⎩14.(2010年山东卷,文18)已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ; (2)令b n =211n a - (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 由于a 3=7,a 5+a 7=26,所以a 1+2d=7,2a 1+10d=26, 解得a 1=3,d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n+1,S n =na 1+()12n n -d=n 2+2n.(2)因为a n =2n+1,所以2n a -1=(a n -1)(a n +1)=4n(n+1),因此b n =()141n n +=14(1n -11n +).故T n =b 1+b 2+…+b n=14[(1-12)+(12-13)+…+(1n -11n +)] =14(1-11n +)=()41nn +. 所以数列{b n }的前n 项和T n =()41nn +. 考点二等差数列的通项和前n 项和公式1.(2013年安徽卷,文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9等于( ) (A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2解析:由S 8=4a 3得()1882a a +=4a 3,即a 1+a 8=a 2+a 7=a 3,所以公差d=a 3-a 2=a 7=-2,a 9=a 7+2d=-2+(-4)=-6.故选A. 答案:A2.(2013年陕西卷,文17)设S n 表示数列{a n }的前n 项和. (1)若{a n }为等差数列,推导S n 的计算公式;(2)若a 1=1,q ≠0,且对所有正整数n,有S n =11nq q--.判断{a n }是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(1)设{a n }的公差为d, 则S n =a 1+a 2+…+a n=a 1+(a 1+d)+…+[a 1+(n-1)d],又S n =a n +(a n -d)+…+[a n -(n-1)d], ∴2S n =n(a 1+a n ),∴S n =()12n n a a +. (2)当n=1时,S 1=1.当n=2时,S 2=211q q--=1+q,a 1+a 2=1+q,a 2=q.当n=3时,S 3=311q q--=1+q+q 2,a 1+a 2+a 3=1+q+q 2,a 3=q 2;初步断定数列{a n }为等比数列. 证明如下:∵S n =11nq q--,∴a n+1=S n+1-S n =111n q q +---11nq q--=()11n q q q--=q n. ∵a 1=1,q ≠0,∴当n ≥1时,有1n na a +=1nn q q -=q,因此,{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列.3.(2010年新课标全国卷,文17)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解:(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9得1125,99,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 可解得19,2,a d =⎧⎨=-⎩所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n(n ∈N *).(2)法一由(1)知,S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2. 因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值. 法二由(1)知S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2, a n =11-2n 令a n =0得n=5.5, a 5=1,a 6=-1,所以数列{a n }前5项都为正数,从第6项起都是负数, 因此S n 的最大值是S 5,S 5=()1552a a +=()5912⨯+=25. 故当n=5时,S n 取得最大值.4.(2010年浙江卷,文19)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0. (1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解:(1)由题意知S 6=515S -=-3, a 6=S 6-S 5=-8,所以115105,58,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得a 1=7,d=-3.所以S 6=-3,a 1=7. (2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0, 即221a +9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d)2=d 2-8, 所以d 2≥8,故d 的取值范围为d ≤或d ≥考点三等差数列的综合应用1.(2012年四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{a n }是公差不为0的等差数列,f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7等于( ) (A)0 (B)7 (C)14 (D)21解析:∵{a n }是公差不为0的等差数列, 且f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14, ∴[(a 1-3)3+a 1-1]+[(a 2-3)3+a 2-1]+…+[(a 7-3)3+a 7-1]=14, ∴(a 1+a 2+a 3+…+a 7)-7=14, ∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=21.故选D. 答案:D2.(2011年湖北卷,文9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) (A)1升 (B)6766升 (C)4744升 (D)3733升解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a 1,则由已知得()()()()()()1111111233,6784,a a d a d a d a d a d a d ++++++=⎧⎪⎨+++++=⎪⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴第5节容积为a 1+4d=6766(升).故选B. 答案:B3.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )(A)①和 (B)⑨和⑩(C)⑨和 (D)⑩和解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=20[1+2+3+…+(n-1)]+20[1+2+3+…+(20-n)]=20[()12n n-+()()20212n n--]=20×224220212n n-+⨯=20(n2-21n+210),对称轴为n=10.5,又n∈N*,∴n=10或11.故选D.答案:D模拟试题考点一等差数列的概念与基本运算1.(2013山师大附中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,S5等于( )(A)52(B)5 (C)-52(D)-5解析:因为a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根, 所以a2+a4=1.又S5=()1552a a+=()2452a a+=52.故选A.答案:A2.(2013贵州六校联盟联考)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5=8,S3=6,则a9等于( )(A)8 (B)12 (C)16 (D)24解析:在等差数列中,a 5=a 1+4d=8, S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=6, 即a 1+d=2,解得a 1=0,d=2. 所以a 9=a 1+8d=8×2=16.故选C. 答案:C3.(2013北京市东城区期末)已知{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d 等于( ) (A)1 (B)53(C)2 (D)3 解析:因为a 3=6,S 3=12, 所以S 3=12=()1332a a +=()1362a +, 解得a 1=2,所以a 3=6=a 1+2d=2+2d,解得d=2.答案:C4.(2013云南师大附中检测)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n +S 1)都成立,则S 15= . 解析:由S n+1+S n-1=2(S n +S 1) 得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)=2S 1=2, 即a n+1-a n =2(n ≥2),数列{a n }从第二项起构成公差为2的等差数列, S 15=1+2+4+6+8+…+28=211. 答案:2115.(2013云南昆明一中检测)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 10=S 4,则89S a 等于 . 解析:由a 10=S 4, 得a 1+9d=4a 1+432⨯d=4a 1+6d, 即a 1=d ≠0. 所以S 8=8a 1+872⨯d=8a 1+28d=36d,所以89S a =1368d a d +=369d d=4. 答案:46.(2012莱芜检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=12,S n =n 2a n -n(n-1),n=1,2,… (1)求证数列1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求S n ; (2)设b n =323n S n n +,求证b 1+b 2+…+b n<512. 解:(1)由S n =n 2a n -n(n-1)知当n ≥2时,S n =n 2(S n -S n-1)-n(n-1), 即(n 2-1)S n -n 2S n-1=n(n-1),∴1n n +S n -1n n -S n-1=1,对n ≥2成立.又111+S 1=1,∴1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. 1n n+S n =1+(n-1)·1, ∴S n =21n n +.(2)b n =323n S n n +=()()113n n ++=12(11n +-13n +), b 1+b 2+…+b n =12(12-14+13-15+…+1n -12n ++11n +-13n +)=12(56-12n +-13n +)<512.考点二等差数列的最值问题1.(2013北大附中河南分校调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为( )(A)66S a (B)77S a (C)99S a (D)88S a 解析:由S 15=()115152a a +=15a 8>0, 得a 8>0. 由S 16=()116152a a +=()98152a a +<0,得a 9+a 8<0,所以a 9<0,且d<0.所以数列{a n }为递减的数列.所以a 1,…,a 8为正,a 9,…,a n 为负, 且S 1,…,S 15>0,S 16,…,S n <0, 则1515S a <0,…, 1010S a <0, 99S a <0, 88S a >0,…, 11Sa >0, 又S 8>S 1,a 1>a 8, 所以88S a >11S a >0, 所以最大的项为88S a . 答案:D2.(2012青岛高三期末检测)在等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *,则n(n ≥3)的最大值为( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)8 解析:a n =a 1+(n-1)d=0, ∴d=61n -, 又d ∈N *,∴n(n ≥3)的最大值为7.答案:A3.(2012安徽质检)在等差数列{a n }中,a 1=13,S 3=S 11,试求S n 的最大值. 解:法一等差数列的前n 项和可以看做是关于n 的二次函数.∵S 3=S 11,3112+=7, ∴n=7时,S n 最大.又由S 3=S 11得a 4+a 5+…+a 11=0, ∴4(a 7+a 8)=0,又a 1=13, 从而可知d=-2,∴S 7=49,即S n 的最大值为49. 法二由已知得d=-2. 设等差数列的前n 项和最大,可知10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩∴132≤n ≤152, 由n ∈N *可知n=7时,S n 最大. S 7=7a 1+762⨯×d=49,故S n 的最大值是49. 考点三等差数列与其他知识的综合应用1.(2011泉州模拟)“点P n (n,a n )(n ∈N *)都在直线y=x+1上”是“数列{a n }为等差数列”的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若a n =n+1,则{a n }为等差数列,反之显然不成立,故选A. 答案:A2.(2011广东梅县模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线(该直线不经过点O),则S 200等于( )(A)100 (B)101 (C)200 (D)201解析:∵OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线, ∴a 1+a 200=1. ∴S 200=()12002002a a +=100.答案:A3.(2012安徽江南十校联考)已知函数f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1、x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3、x4,若把这四个数从小到大排列构成等差数列,则实数m等于( )(A)12(B)-12(C)2(D)-2解析:简图如图所示,若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0.则公差d=3ππ223-=π3.所以m=cos(π2+π3)=-2.答案:D4.(2012安徽皖南八校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n(n∈N*),a1=3,S3=39.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若在a n与a n+1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列,求1nd⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和T n.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0),∵a1=3,S3=39,∴q≠1,∴()3311q q--=39,∴1+q+q 2=13,q 2+q-12=0, ∴q=3,q=-4(舍去). 故a n =3n.(2)∵a n =3n ,则a n+1=3n+1,由题意知a n+1=a n +(n+1)d n ,则d n =231nn ⋅+.则1n d =123nn +⋅, 所以T n =11d +21d +…+1n d =223⨯+2323⨯+…+123n n +⨯① 13T n =2323⨯+3323⨯+…+1123n n ++⨯② ①-②得23T n =13+12(213+313+…+13n )-1123n n ++⨯ =13+12×111193113n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--1123n n ++⨯ =512-12243n n ++⨯, 所以T n =58-5283nn+⨯.综合检测1.(2012福建师大附中模拟)已知等差数列{a n }的前13项之和为39,则a 6+a 7+a 8等于( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:∵S 13=13a 7=39, ∴a 7=3,又a 6+a 7+a 8=3a 7=9,故选B. 答案:B2.(2013北京海淀区期末)数列{a n }满足a 1=1,a n+1=r ·a n +r(n ∈N *,r ∈R 且r ≠0),则“r=1”是“数列{a n }成等差数列”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若r=1,则a n+1=a n +1, 即a n+1-a n =1,所以数列{a n }成等差数列.若数列{a n }成等差数列,设公差为d,则a n+1-a n =r ·a n +r-(r ·a n-1+r)=r(a n -a n-1), 即d=dr,若d ≠0,则r=1, 若d=0,则a n+1=a n =a 1=1, 即1=r+r=2r, 此时r=12.所以r=1是数列{a n }成等差数列的充分不必要条件.答案:A3.(2012滨州模拟)已知由正项组成的等差数列{a n }的前20项的和是100,那么a 6·a 15的最大值是( ) (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在解析:由已知得()120202a a +=100,∴a 1+a 20=10. 已知a n >0, 则a 6·a 15≤(6152a a +)2=1202a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=102⎛⎫ ⎪⎝⎭2=25. 答案:A4.(2012东莞一模)设{lg a n }是等差数列,公差d=lg 3,且{lg a n }的前三项和为6lg 3,则{a n }的通项为 . 解析:由已知得lg a 1+lg a 1+lg 3+lg a 1+2lg 3=6lg 3. ∴lg 31a =3lg 3, 31a =33, ∴a 1=3,故{lg a n }是首项为lg 3,公差为lg 3的等差数列, ∴lg a n =lg 3+(n-1)lg 3=nlg 3, ∴a n =3n. 答案:a n =3n5.(2012徐州检测)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,且S 9=18,S n =240,若a n-4=30(n>9),则n= . 解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得()()11198918,21240,2530,a d n n na d a n d ⨯⎧+=⎪⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ 即 ()11142, 1240,2530,a d n a d n a n d +=⎧⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎩①②③③-①得(n-9)d=28, 由③-②得()92n d -=30-240n,则n=15.答案:156.(2012琼海一模)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得12,5,d a =⎧⎨=⎩ ∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n 知b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *),b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2).∴b n =n(n+2)(n ∈N *). ∴1n b =()12n n +=12(1n -12n +), ∴T n =12(1-13+12-14+…+1n -12n +) =12(32-11n +-12n +)=()()235412n n n n +++.。

2009年高考山东卷数学(理科)较难题及参考答案

2009年高考数学山东理科试卷含详细解答三、解答题（本大题共6小题，共0分） 17．（2009山东理17）设函数xx f 2sin )32cos()(++=ππ.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ， 41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin .【答案】（I ）)2cos 1(212sin 232cos 21sin )32cos()(2x x x x x x f -+-=++=π212sin 23+-=x ，∴当12sin -=x 时，函数)(x f 的最大值为12，最小正周期为π.（II ）)2(C f =122C-=－41，得到sin 2C =，又C 为锐角，故3C π=， 322sin 31cos =⇒=B B故6322322213123)32sin(sin +=⨯+⨯=-=B A π.18．（2009山东理18）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰三角形，AB 平行CD ，AB =4, BC =CD =2, 1AA=2, E ,1E ，F 分别为棱AD ，1AA ，AB 的中点.（1）证明：直线//1EE 平面1FCC ；（2）求二面角C FC B --1的余弦值.解法一：（I ）在在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，取11B A 的中点1F ，连结1FF，11F C 由于 111////CC BB FF ，所以∈1F 平面1FCC ，因此平面1FCC 即为平面11CFF C ，连结D A 1，1CF ，由于CD C //11//11D F CDA ==，所以四边形CD F A 11为平行四边形，因此D A CF 11//，又因为E 、1E 分别是棱AD 、1AA 的中点，所以D A EE 11//，所以11//C EE F ，又因为⊄1EE 平面1FCC ，⊂1CF 平面1FCC ，所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点，所以BDF CF BC BF ∆==,为正三角形，取CF 的中点O ，则CF OB ⊥，又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中，1CC 平面ABC D ，所以BO CC ⊥1，所以F CC OB 1平面⊥，过O 在平面1F CC内作F C OP 1⊥，垂足为P ，连接BP ，则为OPB ∠二面角C FC B --1的一个平面角，在BCF ∆为正三角形中，3=OB ，在F CC Rt 1∆中，OPF∆～F CC 1∆，∵11OP OFCC C F =∴2222222OP =⨯=+，在O P F Rt ∆中，22114322BP OP OB =+=+=，272cos 14OP OPB BP ∠===，所以二面角C -1FC -B 的余弦值为77.解法二:（I ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点所以BDF CF BC BF ∆==,，为正三角形，因为ABCD 为等腰梯形,所以︒==∠60ABC BAC ,取AF 的中点M ,连接DM ,则AB DM ⊥,所以CD DM ⊥，以DM 为x 轴, DC 为y 轴, 1DD 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示,则D （0,0,0），A ），，（013-，F ），，（013，C ），，（020，1C ），，（220，E），，（02123-，1E ），，（113-，所以11,1)2EE =-,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC =1(,2)FC = 设平面F CC 1的法向量为(,,n x y z = 则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以00y z -==⎪⎩取(1n = ,则1111002n EE ⋅=-⨯= ,所以1n EE ⊥ ,所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）(0,2,0)FB =,设平面1B F C的法向量为1111(,,)n x y z = ,则11100n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以1111020y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1n = ，则121002n n ⋅=⨯+= ，||2n ==,1||n == ，所以111cos ,||||n n n n n n ⋅〈〉===,由图可知二面角C -1FC -B 为锐角,所以二面角C -1FC -B的余弦值为.19．（2009山东理19）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处没投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求2q 的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E ξ;(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.【答案】（I ）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互独立,且25.0)(=A P ,()0.75P A =, 2)(q B P =,2()1P B q =-.根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=,8.02=q .（II ）当ξ=2时, 1P =)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=75.0=，2q ( 21q -)5.12=⨯，2q ( 21q -)24.0=当ξ=3时, 2P =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-01.0=；当ξ=4时, 3P =22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==48.0=；当ξ=5时, 4P =()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+24.0= 所以随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（III ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；该同学选择（I ）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率.20．（2009山东理20）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(01,,)xy b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上. （Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当2=b 时，记22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n n b b b b b b +++>成立（I ）由题意知：nn S b r =+.当2n ≥时， 1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，由于0>b 且1≠b ，所以当2n ≥时，{n a }是以b 为公比的等比数列，又11a S b r ==+)1(2-=b b a ba a =12，，即b r b b b =+-)1(，解得1r =-.（II ） 12-=n n S ∴当2n ≥时，1112)12()12(---=---=-=n n n n n n S S a ，又当1n =时，112111=-==S a ，适合上式，∴12-=n n a ，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=∴121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅ ，下面有数学归纳法来证明不等式：121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅> 证明：（1）当1n =时，左边=>==24923右边，不等式成立.（2）假设当*)(N k k n ∈=时，不等式成立，即121211135721·······2462k k b b b k b b b k++++=⋅⋅> ，当1n k =+时，左边11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+，2322k k +==+所以当1n k =+时,不等式也成立.由（1）、（2）可得当n N +∈时，不等式1321212753+>⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⨯n n n n）（恒成立，所以对任意的n N +∈，不等式1212111·······n nb b b b b b +++>成立.21．（2009山东理21）两县城A 和B 相聚km 20，现计划在两县城外以A B 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对称A 和城B 的总影响度为0.0065. （1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由.（I ）如右图,由题意知BC AC ⊥,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<- 当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到A 、B 的距离都相等，且为km 210，所以有22)210()210(4065.0k +=，解得9=k ，∴2249(020)400y x x x =+<<-（II ）2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=-- 令'0y >，得012800064024>-+x x ，解得1602≥x ，即104≥x ，又因为200<<x ，所以函数2249400y x x =+-在），（1040∈x 上是减函数，在），（20104∈x 上是增函数，当x =y 取得最小值，所以在弧上存在一点，且此点到城市A 的距离为km 104，使建在此处的垃圾处理厂对城市A 、B 的总影响度最小.22．（2009山东理22）设椭圆E : 22221x y a b +=)0,(>b a 过M （2，N(,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OB OA ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.（I ）椭圆E : 22221x y ab +=)0,(>b a 过M （2N两点， ∴2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得4,822==b a ，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（II ）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为)4(222<=+r r y x ，则当直线AB 的斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则=∆222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=, 所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或3m ≤-，因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k===-++,r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为,)或(满足OA OB ⊥ ,||AB ===== 当0k =时,||3AB =，当0k ≠时||AB =因为221448k k ++≥所以221101844k k <≤++,故321289364==≤AB当AB 的斜率不存在时,36431148142=-=-≤m AB . 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B 且AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,364.。

聚焦2009年山东高考数学试题,话说今后数学教学

法语句，概率中的古典概型，平面向量的一些知识，
辑联结词等．些知识如古典概型的知识的主体应这该在初中阶段，本算法语句的内容由于教科书版基本不同，用的语句也不同，利于考查，一步说所不退算法语句知识对进一步学习的影响不大，该属于应
技巧，是非常常规的题目，常规方法即可解答；都用
数有关的命题，以及放缩法证明不等式，数学５和是选修２—３的主体内容．（１主要考查了函数第２）题在实际问题中的应用，用待定系数法求解函数解运析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的
Ｓ求０的基本题型，运用数学归纳法证明与自然并
２００９年的山东高考试卷考查的都是中学数学的基础知识，要求的层面恰当．淡化技巧，试题都能
用常规方法来解答，只是个别试题需要一定的灵活
性．理科试题的选择题（如以下题目没有特别说明都指理科试题）２个题目中第（）２、３、，１１、（）（）（）（）（）（）（）（０、Ｉ）都没有明显４、５、７、８、９、１）（Ｉ题
认识，确把握教学的方向．正１２００９年高考数学试题评价分析１１全面考查基础知识．
了函数的奇偶性，单调性，称性，对周期性，以及由函数图象解答方程问题．第（７１）题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、倍角公式、角函数二三的性质以及三角形中的三角关系．三角函数知识是的主体内容的综合，即数学４和数学５中三角函数知识的有机融合．第（８１）题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算．查空间想考象能力和推理运算能力，及应用向量知识解答问以题的能力．立体几何的主体内容，识涉及到数学是知２和２—１得相关内容．（９题主要考查了互斥事第１）件的概率，互独立事件的概率和数学期望，相以及运用概率知识解决问题的能力．概率统计的主体内是容，知识涉及数学３和２—３的相关内容．（０题第２）主要考查了等比数列的定义，项公式，通以及已知

2009年山东高考数学理科试题及答案

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2009年山东高考数学理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,,若,则的值为（） A 。

0 B.1 C.2 D.4【解析】:∵,，∴∴，故选D 。

答案:D【命题立意】：本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题.2.复数等于（ )。

A ．B 。

C. D 。

2. 【解析】： ,故选C 。

答案:C【命题立意】：本题考查复数的除法运算,分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.3.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）.A. B 。

C.D 。

{}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16A B =a {}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16A B=2164a a ⎧=⎨=⎩4a =31ii--i 21+12i -2i +2i -223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-si n 2y x =4πco s 2y x =22c o s y x =)42sin(1π++=x y 22s in y x =3. 【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为，故选B 。

2009年高考数学(理)试题及答案(山东卷)(同名14458)

2009年高考数学(理)试题及答案(山东卷)(同名14458)2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=L .第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）4（2）复数31i i--等于（A ）i 21+ B ）12i - C ）2i +D ）2i -（3）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A ）cos 2y x = （B ）22cos y x = （C ）)42sin(1π++=x y （D ）22sin y x = （4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A ）223π+ （B ） 423π+ （C ） 323π+ （D ） 343π+（5）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）函数x x x x e e y e e --+=-的图像大致为1x y 1O A x y O 11Bx y O 1 1 x y 1 1 D O 22侧222 正(7）设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则(A ）0PA PB +=u u u r u u u r r (B ）0PC PA +=u u u r u u u r r (C ）0PB PC +=u u u r u u u r r (D ）0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A ）90 (B ）75 (C ） 60 (D ）45(9）设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为96 98 100 0.1500.1克频率第8A B C P 第7(A ） 45(B ） 5 (C ） 25(D ）5(10）定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为(A ）-1 (B ） 0 (C ）1(D ） 2（11）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为( ). （A ）31 （B ）π2 （C ）21 （D ）32（12）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). （A ）625 （B ）38 （C ） 311（D ） 4 x2 2y O -z=a 3x-yx-y第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2009年山东高考数学理科卷带详解模板

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P m m Q n n ==+∈==+-∈a a b b R R 是两个向量集合，则P Q =I （） A ．｛(1，1)｝ B. ｛(-1，1)｝ C. ｛(1，0)｝ D. ｛(0，1)｝【测量目标】集合的基本运算，向量的坐标运算.【考查方式】给出两个集合，利用向量的坐标运算化简求解. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】因为(1,) ,(1,1)m n n ==-+a b 代入选项可得(){}1,1P Q =故选A.2.设a 为非零实数，函数11(,)1ax y x x ax a-=∈≠-+R 且的反函数是（） A 、11(,)1ax y x x ax a -=∈≠-+R 且 B 、11(,)1ax y x x ax a+=∈≠--R 且 C 、1(,1)(1)x y x x a x +=∈≠-R 且 D 、1(,1)(1)xy x x a x -=∈≠-+R 且【测量目标】反函数.【考查方式】给出反函数，利用函数的运算求出反函数从而判断结果. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由原函数是1(,1ax y x ax -=∈+R 且1)x a≠-，从中解得1(,1)(1)y x y y a y -=∈≠-+且R 即原函数的反函数是1(,1)(1)yx y y a y -=∈≠-+且R ，故选择D3.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ,则复数（m +n i ）(n -m i)为实数的概率为（）A.13 B.14 C.16 D.112【测量目标】复数代数形式的四则运算，排列与组合及其运算，概率.【考查方式】给出复数代数式和实际问题，利用四则运算化简代数式，再根据列举法列出所有的可能性，最后利用排列、组合求概率. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】因为22(i)(i)2()i m n n m mn n m +-=+-为实数所以22n m =故m n =，(步骤1) 则可以取1、2…6，共6种可能，所以116661C C 6P ==（步骤2） 4. 函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到F ',F '的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于（） πA.(,2)6-- πB.(,2)6- πC.(,2)6- πD.(,2)6【测量目标】三角函数的图象性质、函数的奇偶性.【考查方式】给出一个含有未知数的三角函数，先平移它得到另一个函数再给出这个新函数的性质求未知数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】直接用代入法检验比较简单.或者设(,)x y ''a =，根据定义πcos[2()]2,6y y x x ''-=-+-根据y 是奇函数，对应求出x '，y '5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.36【测量目标】排列与组合及其应用.【考查方式】给出实际问题情境，利用排列与组合求出所有的分法. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ，顺序有33A 种(步骤1)而甲乙被分在同一个班的有33A 种，所以种数是233433C A A 30-=（步骤2）6.设22212012212)2n n n n n x a a x a x a x a x --+=+++++（…，则22024213521lim[()()]n n n a a a a a a a a -→∞++++-++++=…… （）A. -1B. 0C. 1D. 2【测量目标】二项式定理，数列的极限与运算.【考查方式】给出二项式的展开式，利用特殊值法求出奇数项、偶数项之和，再利用极限的运算求解. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】令0x =得2012n n a ==（步骤1）令1x =时201221)n n a a a a +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =-时201221)n n a a a a -=-+-⋅⋅⋅+（步骤2）两式相加得：220221)1)222n n n a a a ++-++⋅⋅⋅+=两式相减得：2213211)1)222n n n a a a -+--++⋅⋅⋅+=（步骤3）代入极限式可得，故选B （步骤4）8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出实际问题，得出不等式组，利用目标函数求最优解. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】设甲型货车使用x 辆，已型货车y 辆.则04082010100x y x y 剟剟…⎧⎪⎨⎪+⎩（步骤1）,求400300Z x y =+最小值.可求出最优解为（4，2）故min 2200Z =故选B .(步骤2) 9. 设球的半径为时间t 的函数()R t .若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( ) A.成正比，比例系数为c B. 成正比，比例系数为2c C.成反比，比例系数为c D. 成反比，比例系数为2c 【测量目标】导数的运算，导数在实际问题中的应用,球的体积与表面积.【考查方式】给出问题情境，利用球的体积公式与表面积公式求导，再根据两个导函数之间的关系进行判断. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由题意可知球的体积为34()π()3V t R t =，则2()4π()()c V t R t R t ''==，由此可得4π()()()cR t R t R t ='，而球的表面积为2()4π()S t R t =，（步骤1）所以()8π()()v S t R t R t ''=表＝，即228()()24π()()()()()()c cv R t R t R t R t R t R t R t R t '''π⨯'表＝＝＝＝，故选D （步骤2） 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：第10题图第10题图1他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.289B.1024C.1225D.1378 【测量目标】数列的通项，合情推理.【考查方式】给出图象，利用图象的规律推断出数列的通项，再根据通项的性质判断. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2n na n =+，同理可得正方形数构成的数列通项b n 2n =，则由b n 2n =n (N )+∈可排除A 、D ，（步骤1）又由(1)2n na n =+知a n 必为奇数，故选C.（步骤2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 11. 已知关于x 的不等式11ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞.则a = . 【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】给出不等式以及不等式的解集，求解含参不等式的解集，利用解集求参数. 【难易程度】容易【参考答案】2-【试题解析】由不等式判断可得a ≠0且不等式等价于1(1)()0a x x a+-<（步骤1）由解集特点可得11022a a a <=-⇒=-且（步骤2） 12. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为，数据落在[2,10)内的概率约为 .第12题图【测量目标】频率分布直方图，概率. 【考查方式】给出频率分布直方图，观察求解.【参考答案】64 0.4【试题解析】观察直方图易得频数为2000.08464⨯⨯=,频率为0.140.4⨯=.13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号).第13题图1【测量目标】反三角函数，几何证明选讲.【考查方式】给出实际问题情境，将问题转化到三角形中求角度，再利用公式求解. 【难易程度】中等【参考答案】128008arccos53【试题解析】如图所示，可得AO =42400，则在 Rt △ABO 中可得cos ∠AOB=853(步骤1) 所以8212800arccos53l R AOB R =∂=∠=（步骤2）第13题图214.已知函数π()()cos sin ,4f x f x x '=+则π()4f 的值为 . 【测量目标】导数的运算.【考查方式】给出函数的关系式，根据导数的运算求出导函数，再利用特殊值法求出特定值的导函数值，从而代入运算求解.【参考答案】1【试题解析】因为π()()sin cos4f x f x x''=-+所以ππππ()()sincos4444f f''=-+π'()14f⇒=,(步骤1)故πππππ()()cos sin()144444f f f'=+⇒=（步骤2）15．已知数列{}n a满足：1a m＝（m为正整数），1,231,nnnn naaaa a+⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时,若6a＝1，则m所有可能的取值为__________.【测量目标】已知递推关系求通项【考查方式】给出递推关系和某一项的值，再首项首项性质分类讨论求出首项的值【难易程度】较难【参考答案】4 5 32【试题解析】（1）若1a m=为偶数，则12a为偶, 故223,224am ma a===（步骤1）①当4m仍为偶数时，46832m ma a==…故13232mm=⇒=（步骤2）②当4m为奇数时，4333114a a m=+=+63144ma+=…故31414m+=得m=4.（步骤3）（2）若1a m=为奇数，则213131a a m=+=+为偶数，故3312ma+=必为偶数63116ma+=…，所以3116m+=1可得m=5.（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量x yη＝＋，求η的分布列和数学期望.【测量目标】离散型随机变量的分布列与期望，概率，计数原理，乘法原理.【考查方式】给出实际问题的情景，判断出随机变量的取值，再利用计数原理与乘法原理求出随机变量不同取值的概率，从而得出随机变量的分布列，再根据分布列求随机变量的期望. 【难易程度】中等【试题解析】依题意，可分别取5η=、6、…11，则有1123(5),(6),(7)44161616P P P ηηη=======⨯ 4321(8),(9),(10),(11)16161616P P P P ηηηη========（步骤1）η∴的分布列为（步骤2）1234321567891011816161616161616E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤3） 17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)ααββ===-a b c （Ⅰ）求向量+b c 的长度的最大值；（Ⅱ）设απ4=，且()⊥+a b c ，求cos β的值. 【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算，向量的基本概念，不等式的基本性质【考查方式】（Ⅰ）(法1)利用向量的坐标运算求和向量，再根据模长的定义和不等式的基本性质求解模长的范围从而求出最值；（法2）利用不等式的性质直接求解最值；（Ⅱ）给出α的值和三个向量之间的关系，（法1）先代入α的值再利用向量的数量积的运算求解；（法2）先利用向量的数量积的运算求解，在代入α运算. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）解法1：(cos 1,sin ),ββ+-b c =则222||(cos 1)sin 2(1cos ).βββ+=-+=-b c （步骤1） 21cos 1,0||4β-∴+b c 剟剟，即0|| 2.+b c 剟当cos 1β=-时，有||2,+=b c 所以向量+b c 的长度的最大值为2.（步骤2）解法2：|1b |=，||1=c ，||||2+=|b c |b +c …（步骤3）当cos 1β=-时，有|(2,0)+-b c |=，即|2+b c |=，+b c 的长度的最大值为2.（步骤4）（2）解法1：由已知可得(cos 1,sin ),ββ+-b c =()cos cos sin sin cos cos()cos αβαβααβα+=+-=--a b c . ()⊥a b+c ，()0∴+=a b c ，即cos()cos αβα-=.(步骤5) 由π4α=，得cos()cos 44βππ-=，即2()44k k βππ-=π±∈Z .π2π2π()2k k k ββ∴=+=∈Z 或，,于是cos 0cos 1ββ==或.（步骤6）解法2：若4απ=，则=a ，又由(cos ,sin )ββ=b ，(1,0)=-c 得22()(,)(cos 1,sin )22222ββββ∴+=-=+-a b c （步骤7） a b +c ⊥()，()0∴+=a b c ，即sin +(cos 1)0ββ-= sin 1cos ββ∴=-，平方后化简得cos (cos 1)0ββ-=解得cos 0β=或cos 1β=，经检验，cos 0cos 1ββ==或即为所求.（步骤8） 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD =2a ，AD =点E 是SD 上的点，且(02)DE a λλ=<…（Ⅰ）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有AC BE ⊥；（Ⅱ）设二面角C —AE —D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若tan tan 1θϕ=g ，求λ的值.第18题图1【测量目标】异面直线垂直的判定，线面垂直的判定，二面角，射影定理，空间直角坐标系，空间向量及其运算，空间向量的应用.【考查方式】（Ⅰ）（法1）利用射影定理求证（法2）建立空间直角坐标系，利用空间向量之间的运算求解两条线段垂直；（Ⅱ）（法1）先通过线面之间的关系找出二面角的平面角，在通过解三角形求出两个角的正切值从而代入计算；（法2）先通过空间向量的运算求出三个平面的法向量，通过向量之间的数量积运算求出两个角的三角函数值，从而代入计算. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）证法1：如图，连接BE 、BD ，由地面ABCD 是正方形可得AC ⊥BD .SD ⊥平面ABCD ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，∴AC ⊥BE （步骤1）第18题图2 第18题图3（Ⅱ）解法1：如图，由SD ⊥平面ABCD 知，∠DBE =ϕ,SD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD , ∴SD ⊥CD .又底面ABCD 是正方形，∴ CD ⊥AD ，而SDAD =D ，CD ⊥平面SAD .（步骤2）连接AE 、CE ，过点D 在平面SAD 内作DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ，故∠CFD 是二面角C -AE -D 的平面角，即∠CFD =θ.（步骤3）在Rt △BDE 中，BD =2a ，DE =a λtan 2DE BD λϕ∴==（步骤4）在Rt △ADE 中,2,,AD a DE a AE λ==∴=从而2AD DE DF AE λ==在Rt CDF △中，tan CD DF θλ==.（步骤5）由tantan 1θϕ=，得21222λλ=⇔=⇔=.由(0,2]λ∈，解得λ=，即为所求.（步骤6）(Ⅰ)证法2：以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A0，0），B，0），C （0，0），E （0，0，a λ），∴(2,2,0),(2,)A C a aB E a a λ=-=- ∴222200AC BE a a a λ=-+=，即AC BE ⊥.（步骤7）(Ⅱ)解法2：由（I ）得(2,0,),(0,2,),(2,,)EA a a EC a a BE a a λλλ=-=-=-.设平面ACE 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由EA EC ⊥⊥n ,n 得0,0,(,0,0,EA z z EC z λλλλ⎧=-=⎪=⎨=-=⎪⎩n n n 即取. 易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为(0,0,2)DS a DC ==与（0,0）.（步骤8） 22sin ,cos 422DC DS BE DS BEDC λϕθλλ∴====++n n.（步骤9）0<θ，,02ϕλπ<>，2πtan tan sin cos 122θϕθϕϕθλ∴⇔+=⇔==⇔=⇔=. 由于(0,2]λ∈，解得λ=.（步骤10）19、（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）.（Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1n n n c a n +=，12n n T c c c =+++…试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系，裂项相消法求和，数学归纳法，二项式定理.【考查方式】给出数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系式，（Ⅰ）从而得到数列的递推公式，再根据两个数列之间关系求出另一个数列的递推公式从而直接求证并求解数列的通项公式.(Ⅱ)先通过裂项相消法求出数列前n 项和，（1）先判断，再运用数学归纳法求证（2）运用二项式定理判断. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）在11()22n n n S a -=--+中，令n =1，可得11112S a a =--+=，即112a =（步骤1）当2n …时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，，111112(),212n n n n n n n a a a a ----∴=+=+即2.（步骤2）112,1,21n n n n n n n b a b b n b b --=∴=+-=即当时，….又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)12,2nn n n nnb n n a a =+-==∴=.（步骤3） (II)由（I ）得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以 23111123()4()(1)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++…2341111112()3()4()(1)()22222n n T n +=⨯+⨯+⨯+++… 由①-②得231111111()()()(1)()22222n n n T n +=++++-+…11111[1()]133421(1)()122212n n n n n -++-+=+-+=--332n nn T +∴=-535(3)(221)3212212(21)n n n nn n n n n T n n n ++---=--=+++（步骤4）于是确定521n n T n +与的大小关系等价于比较221nn +与的大小由23452211;2221;2231;2241;2251;<⨯+<⨯+>⨯+>⨯+>⨯+…（步骤5）可猜想当322 1.nn n >+时，…证明如下：证法1：（1）当n =3时，由上验算显示成立.（2）假设1n k =+时12222(21)422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=>+=+=+++->++g 所以当1n k =+时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切3n …的正整数，都有22 1.nn >+（步骤6）证法2：当3n …时01210112(11)C C C C C C C C C 2221n n n n n n n n n n n n n n n n n --=+=++++++++=+>+……综上所述，当1,2n =时521n n T n <+，当3n …时521n nT n >+（步骤7） 20、（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点()(),00A a a >的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N .（Ⅰ）当2pa =时，求证：1AM ⊥1AN ；（Ⅱ）记1A M M △、11AM N △ 、1ANN △的面积分别为1S 、2S 、3S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2212S S S λ=成立.若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【测量目标】圆锥曲线中的探索性问题，直线与抛物线的位置关系,直线的斜率，平面向量的坐标运算和数量积运算，【考查方式】给出问题情境，（Ⅰ）通过联立直线与抛物线的方程求出相关点纵坐标、横坐标之间的关系，（法1）利用向量的数量积运算求解垂直（法2）利用垂直直线斜率之间的关系求证；（Ⅱ）（法1）求等式两边的面积，从而直接判定；（法2）先判定直线经过原点，在利用面积公式求证.【难易程度】较难【试题解析】依题意，可设直线MN 的方程为1122,(,),(,)x my a M x y N x y =+，则有12(,),(,)M a y N a y --由22x my a y px=+⎧⎨=⎩消去x 可得2220y mpy ap --= 从而有121222y y mpy y ap +=⎧⎨=-⎩ ①于是21212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②又由2112y px =，2222y px =可得222121222()(2)44y y ap x x a p p-=== ③ （步骤1）（Ⅰ）如图，当2p a =时，点(,0)2p A 即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-此时1112(,),(,),22P PM y N y --并由 ①可得212y y p =-（步骤2）证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-uuuu r uuu rQ2221112110,AM AN p y y p p AM AN ∴=+=-=⊥即uuuu r uuu rg （步骤3）证法2：1112,,AM AN y y K K p p=-=-Q 1121211221,AM AN y y p K K AM AN p p∴==-=-⊥g 即.（步骤4） (Ⅱ)存在4λ=，使得对任意的0a >，都有22134S S S =成立，证明如下：证法1：记直线l 与x 轴的交点为1A ,则1OA OA a ==.于是有11111111)22S MM A M x a y ==+g g （21111212S M N AA a y y ==-g g31112211)22S NN A N x a y ==+g g （222131211224()()()S S S a y y x a y x a y ∴=⇔-=++g2221212121212[()4][()]a y y y y x x a x x a y y ⇔+-=+++将①、②、③代入上式化简可得2222222(48)2(24)=4(2)a m p ap ap am p a a p m p a +=++上式恒成立，即对任意22130,4a S S S >=成立（步骤5）证法2：如图，连接11,MN NM ,则由212112,2y y ap y px =-=可得1122211122222OM ON y py py y p K K x y y y ap a======--,所以直线1MN 经过原点O ，同理可证直线1NM 也经过原点O ，又1OA OA a ==设1111121112,,,,M A h N A h MM d NN d ====则11121212322111,2()(),.222S d h S a h h a h h S d h ==+=+=g （步骤6）根据三角形相似可得1112d h a h h =+222211134S d h S S ∴==即对任意22130,4a S S S >=成立.(步骤7)第20题图1 第20题图221.(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）在R 上定义运算()()1:43p q p c q b bc ⊗⊗=---+（b 、c 为实常数）.记()212f x x c =-，()22f x x b =-，x ∈R .令()()()21f x f x f x =⊗.（Ⅰ）如果函数()f x 在1x =处有极值43-,试确定b 、c 的值；（Ⅱ）求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；（Ⅲ）记()()()|11g x f x x '=-剟的最大值为M .若M k …对任意的b 、c 恒成立，试示k 的最大值.【测量目标】导数的运算，利用导数求函数的极值，导数的几何意义，直线的方程，不等式的基本性质.【考查方式】定义新运算，（Ⅰ）给出函数在极值点与极值，利用导数的运算求出导函数，从而联立方程得到函数的系数值，再代入函数中验证函数的极值；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切点，从而得出切线的方程，联立函数与切线方程求解再分类讨论；（Ⅲ）给出新函数及其最大值，先分类讨论，在利用导函数的最值及对称性求解【难易程度】较难【试题解析】解：2()2f x x bx c '=-++，由f(x)在x =1处有极值43-，可得(1)12014(1)33f b c f b c bc '=-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩11,.13b b c c ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩解得或若221,1,()21(1)0,b c f x x x x '==-=-+-=--则…此时()f x 没有极值；若21,3,()23(3)(1).b c f x x x x x '=-==--+=-+-则（步骤2）当x 变化时，f (x )、()f x '的变化情况入下表：∴当1x =时，()f x 由极大值3-，故1b =，3c =即为所求.（步骤3）（Ⅱ）()f t c '=得0t =或2t b =，切点分别为(0,)bc 、34(2,3),3b bc b +相应的切线为y cx bc =+或34.3y cx bc b =++解3213cx bc x bx cx bc +=-+++解得0x =或3x b =；解334133cx bc b x bx bc ++=-++即323340x bx b -+=解x b =-或2x b =.综合可知，0b =时，斜率为c 的切线只有一条，与曲线的公共点只有(0,0),0b ≠时，斜率为c 的切线有两条，与曲线的公共点分别为(0,)bc 、(3,4)b bc 和34(2,3)3b b bc +、34(,).3b b -（步骤4）(Ⅲ) 因为|b |>1,所以所以函数()y f x '=的对称轴x =b 位于区间[-1,1]之外，所以()f x '在[1-,1]上的最值在两端点处取得. 故M 应是g (1)和g (1-)中较大的一个. 假设M …2,则g (1-)=|12b c --+|… 2 g (1)=|12b c -++|… 2 将上述两式相加得：4…|12b c --+|+|12b c -++|…4|b |>4，导致矛盾，所以M >2（步骤5）当1b …时，函数()y f x '=得对称轴x =b 位于区间[1,1]-之外此时max{(1),(1),()}M g g g b =-由(1)(1)4,f f b ''--=有2()(1)(1)0f b f b ''-±=m … ① 若10,max{(1),()}bf f f bg g g b '''-∴-则(1)(-1)(),(-1)剟剟?（步骤6）于是2111max{(1),()}((1)())((1)())(1)222M f f b f f b f f b b ''''''=-+-=-厖 ② 若01b 剟，则f f f b '''(-1)(1)()剟，max{(1),()}g g g b ∴-(1)…（步骤7）于是21111max{(1),()}((1)())((1)())(1)2222M f f b f f b f f b b ''''''=--+--=+>厖综上，对任意的b 、c 都有12M …而当，10,2b c ==时，21()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值12M = 故M K …对任意的b ，c 恒成立的k 的最大值为12（步骤8）。

2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案

数学本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（B ）涂黑。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞- 2、若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.22±B. 22-C. 22i -D. 22i ± 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈4、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA +5、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B. 3C. 2D. 16、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5B.4C. 3D. 2AD CB图17、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A.4 B.3 C. 2 D.18、已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 A.2 B.223C. 2D. 4 9、在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8] 10、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为： (,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,pq R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 11、2241lim()42x x x →--=-+________. 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 13、在112()x x-的展开式中，5x 的系数为________.14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 的乒乓球堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆用n 表总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案示）.三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题14分)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值；xy 1- 24 31()y f x -=O图2图4 …x yx y s +=24y x +=图3 O(III)若3()4f α=，求sin 2α的值.16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：X06 7 8 9 10 P0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求ξ的分布列(III) 求ξ的数学期望E ξ.1O 的直径，AD17、(本题14分)如图5所示，AF 、DE 分别世O 、直径，与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是O 的6AB AC ==,//OE AD . (I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.18、(本题14分)设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小11()x f x （,）、值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求(I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.19、(本题14分)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2n a 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和； (III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞存在且不等于零.（注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）20、(本题12分)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ϕϕ-≤-.图 5ABCFDEO1O(I)设3(2)1,[2,4]x x x ϕ=+∈ ，证明：()x A ϕ∈(II)设()x A ϕ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的；(III) 设()x A ϕ∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ϕ-=，1,2,n = ，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，成立不等式121||||1k k p k L x x x x L-+-≤--2006年高考广东卷(B) 第一部分选择题（50分）1、函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞1、解：由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.2、若复数z 满足方程022=+z ，则=3zA.22±B. 22-C. i 22-D. i 22± 2、由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D. 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21( 3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.4、如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CDA. BA BC 21+- B. BA BC 21-- C. BA BC 21- D. BA BC 21+4、BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A.5、给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.1 5、①②④正确，故选B.6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5B.4C. 3D.2 6、3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C.7、函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，则方程0)(=x f 的根是=xA. 4B. 3C. 2D.1 7、0)(=x f 的根是=x 2，故选C8、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于A.2 B.332 C. 2 D.4 8、依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ，2332===a c e ，故选C. 9、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是A. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[9、由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--，（1）当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2）当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z故选D.10、对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若 )0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q pA. )0,4(B. )0,2(C.)2,0(D.)4,0(- 10、由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.第二部分非选择题（100分）二、填空题 11、=+---→)2144(lim 22x xx11、4121lim )2144(lim 222=-=+---→-→x x xx x 12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12、ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 13、在112⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，5x 的系数为13、85112)2()2(1121111111111111=⇒=-⇒-=-=-----+r r x C xx C T r r r rrrr所以5x 的系数为1320)2()2(3113111111-=-=---C C r r14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .14、=)3(f 10，6)2)(1()(++=n n n n f三、解答题 15、（本小题满分14分）已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值；（Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值. 15解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ，即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α16、（本小题满分12分）某运动员射击一次所得环数X 的分布列如下：X 0-6 7 8910Y 00.2 0.3 0.3 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求ξ分布列； (Ⅲ) 求ξ的数学希望.16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、1004.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξPξ分布列为 ξ78910P0.04 0.21 0.39 0.36(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 17、（本小题满分14分）如图5所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180||||,cos =⨯++=∙>=<FE BD FE BD EF BD 设异面直线BD与EF所成角为α，则1082|,cos |cos =><=EF BD α 直线BD 与EF 所成的角为1082arccos 18、（本小题满分14分）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=∙PB PA ,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求(Ⅰ)点A 、B 的坐标； (Ⅱ)动点Q 的轨迹方程18解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m PB PA21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x19、（本小题满分14分）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581. (Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得m S nn ∞→lim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)19解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m nm m n n n n n n 2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim=－21，当m>2时，m n n n S ∞→lim =0，所以m=220、（本小题满分12分）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ（Ⅰ）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的;(Ⅲ)设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121x x LL x x k k lk --≤-++解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ,≤33)2(x ϕ35≤,253133<<<,所以)2,1()2(∈x ϕ 对任意的]2,1[,21∈x x ，()()()()23232132121211121212|||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ，<3()()()()32321321112121x x x x ++++++，所以0<()()()()2323213211121212x x x x ++++++32<,令()()()()2323213211121212x x x x ++++++=L ，10<<L ，|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ 所以A x ∈)(ϕ反证法:设存在两个0000),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ则由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ，得||||/00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。

2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案

2009年高考数学山东理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共12小题，共0分）1．（2009山东理1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B ⋃=,则a 的值为（）A.0B.1C.2D.4 【答案】D 【解题关键点】因为{}0,1,2,4,16A B ⋃=.所以4a =,选D.【结束】2．（2009山东理2）复数31ii --等于（）A.i 21+B.12i -C.2i +D.2i -【答案】C 【解题关键点】因为i ii i i i i i +=+=+-+-=--2224)1)(1()1)(3(13，故选C.【结束】3．（2009山东理3）将函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（）4．A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =【答案】B 【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为)22s i n (21)4(2s i n 21ππ++=++=x x y ，x x 2cos 22cos 21=+=，选B.【结束】4．（2009山东理4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.223π+B.423π+C.2323π+D.2343π+【答案】C【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为π2，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体积33212222312=-⨯⨯⨯,为故选C. 【结束】5．（2009山东理5）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解题关键点】由m 为平面α内的一条直线且β⊥m 得出βα⊥；但是，反过来，若βα⊥且m为平面α内的一条直线，则不一定有β⊥m ，还可能有m 与平面β相交但不垂直、β//m 、β⊂m .故选B. 【结束】6．（2009山东理6）函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解题关键点】排除法：因为当0=x 时，函数x xxx e e e e y ---+=无意义，故排除D C B ,,,故选A. 【结束】7．（2009山东理7）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，BP BA BC 2=+，则（）A. 0=+PB PAB. 0=+PA PCC.0=+PC PB D. 0=++PC PB PA【答案】B【解题关键点】因为BP BA BC 2=+，所以点P 为AC 的中点，.即有0=+PA PC ，故选B. 【结束】8．（2009山东理8）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A.90B.75C.60D.45 【答案】A【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为1201.005.0236=+⨯）（，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为902125.0215.021..0120=⨯+⨯+⨯⨯）（，故选A.【结束】9．（2009山东理9）设双曲线 1222=-b y a x x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A.45B.5C.25D.5【答案】D【解题关键点】由题意知：双曲线1222=-b y a x x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==12x y x ab y 消去y ，得12=+-x a bx 有唯一解，所以04)(2=-=∆a b ，所以5)(1,2222=+=+===a ba b a a c e a b ，故选D.【结束】10．（2009山东理10）定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则)2009(f 的值为（）A.1-B.0C.1D.2 【答案】C【解题关键点】由已知得1)1()0()1(,0)0(,12log )1(2-=--====-f f f f f,0)1(1)1()2()3(,1)0()1()2(=---=-=-=-=f f f f f f,1)1(0)2()3()4(=--=-=f f f ,0)4()5()6(,1)3()4()5(=-==-=f f f f f f所以函数)(x f 的值以6为周期重复性出现，所以1)5()2009(==f f ，故选C【结束】11．（2009山东理11）在区间[1-，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为（）A.31B.π2C.21D.32【答案】A【解题关键点】当212cos0<<xπ时，在区间[]1,1-上，只有322πππ-<<-x 或223πππ<<x ，即)1,32()32,1( --∍x ，根据几何概型的计算方法，这个概率值是31. 【结束】12．（2009山东理12）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则其的最小值为（）A.625B.38C.311D.4【答案】A【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：当直线)0,0(>>+=b a by ax z 过直线02=+-y x 与直线063=--y x 的交点()6,4时，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z取最大值12，即1264=+b a ，即632=+b a ，而6252613)(613632)32(32=+≥++=++=+b a a b b a b a ba ，当且仅当b a =时取等号，故选A . 【结束】二、填空题（本大题共4小题，共0分）13．（2009山东理13）不等式|21||2|0x x ---<的解集为 .【答案】），（11-【解题关键点】原不等式等价于212-<-x x ，两边平方并整理得：332<x ，解得11<<-x . 【结束】14．（2009山东理14）若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是.【答案】），（∞+ 1【解题关键点】函数)(xf=x a x a--(0a>且1a≠)有两个零点，方程0=--axa x有两个不相等的实数根，即两个函数xay=与axy+=的图像有两个不同的交点，当10<<a时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当1>a时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【结束】15．（2009山东理15）执行右边的程序框图，输入的T= .【答案】30【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.【结束】16．（2009山东理16）已知定义在R上的奇函数()f x满足(4)()f x f x-=-，且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=mmxf在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234_________.x x x x +++=【答案】8 -【解题关键点】因为定义在R上的奇函数，满足)()4(xfxf-=-，所以)()4(xfxf-=-，所以，由)(xf为奇函数，所以函数图像关于直线2=x对称且0)0(=f，由)()4(xfxf-=-知)()8(xfxf=-，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(xf在区间[]20，上是增函数，所以)(x f 在区间[]02，-上也是增函数，如下图所示，那么方程)0()(>=m m x f 在区间[]88，-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，不妨设4321x x x x <<<，由对称性知，12)4()4(421-=-+-+-=+x x ，443=+x x ，所以84321-=+++x x x x .【结束】三、解答题（本大题共6小题，共0分）17．（2009山东理17）设函数xx f 2sin )32cos()(++=ππ.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ， 41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin .【答案】（I ）)2cos 1(212sin 232cos 21sin )32cos()(2x x x x x x f -+-=++=π212sin 23+-=x ，∴当12sin -=x 时，函数)(x f 的最大值为132+，最小正周期为π.（II ）)2(C f =13sin 22C -=－41，得到3sin 2C =，又C 为锐角，故3C π=， 322sin 31cos =⇒=B B故6322322213123)32sin(sin +=⨯+⨯=-=B A π.【解题关键点】【结束】18．（2009山东理18）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰三角形，AB平行CD ，AB =4, BC =CD =2,1AA =2, E ,1E ，F 分别为棱AD ，1AA ，AB 的中点.（1）证明：直线//1EE 平面1FCC ；（2）求二面角C FC B --1的余弦值.【答案】解法一：（I ）在在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，取11B A 的中点1F ，连结1FF ，11F C 由于111////CC BB FF ，所以∈1F 平面1FCC ，因此平面1FCC 即为平面11CFF C ，连结D A 1，1CF ，由于CD C //11//11D F CDA ==，所以四边形CD F A 11为平行四边形，因此D A CF 11//，又因为E 、1E 分别是棱AD 、1AA 的中点，所以D A EE 11//，所以11//C EEF ，又因为⊄1EE 平面1FCC ，⊂1CF 平面1FCC ，所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点，所以BDF CF BC BF ∆==,为正三角形，取CF 的中点O ，则CF OB ⊥，又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中，1CC 平面ABCD ，所以BO CC ⊥1，所以F CC OB 1平面⊥，过O 在平面1FCC 内作F C OP 1⊥，垂足为P ，连接BP ，则为OPB ∠二面角C FC B --1的一个平面角，在BCF ∆为正三角形中，3=OB ，在F CC Rt 1∆中，OPF ∆～F CC 1∆，∵11OP OFCC C F =∴22122222OP =⨯=+，在O P F Rt ∆中，22114322BP OP OB =+=+=，272cos 7142OP OPB BP ∠===，所以二面角C -1FC -B 的余弦值为77.解法二:（I ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点所以BDF CF BC BF ∆==,，为正三角形，因为ABCD 为等腰梯形,所以︒==∠60ABC BAC ,取AF 的中点M ,连接DM ,则AB DM ⊥,所以CD DM ⊥，以DM 为x 轴, DC 为y 轴,1DD 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示,则D （0,0,0），A ），，（013-，F ），，（013，C ），，（020，1C ），，（220，E），，（02123-，1E ），，（113-，所以131(,,1)22EE =- ,(3,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC = 1(3,1,2)FC =- 设平面F CC 1的法向量为(,,)n x y z = 则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以300x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取(1,3,0)n = ,则1311310022n EE ⋅=⨯-⨯+⨯= ,所以1n EE ⊥ ,所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）(0,2,0)FB =,设平面1BFC 的法向量为1111(,,)n x y z = ,则11100n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以11110320y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取1(2,0,3)n = ，则 12130032n n ⋅=⨯-⨯+⨯=，2||1(3)2n =+= ,221||20(3)7n =++= ，所以11127cos ,7||||27n n n n n n ⋅〈〉===⨯,由图可知二面角C -1FC -B 为锐角,所以二面角C -1FC -B 的余弦值为77.【解题关键点】【结束】19．（2009山东理19）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处没投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求2q 的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ;(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 【答案】（I ）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互独立,25.0)(=A P ,()0.75P A =, 2)(q B P =,2()1P B q =-.根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=,8.02=q .（II ）当ξ=2时,1P =)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=75.0=，2q ( 21q -)5.12=⨯，2q ( 21q -)24.0=当ξ=3时, 2P =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-01.0=；当ξ=4时, 3P =22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==48.0=；当ξ=5时,4P =()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+24.0=所以随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（III ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；该同学选择（I ）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率. 【解题关键点】【结束】20．（2009山东理20）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(01,,)xy b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上. （Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当2=b 时，记 22(l o g 1)()nn b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111 (1)n nb b b n b b b +++>+成立【答案】（I ）由题意知：nnS b r =+.当2n ≥时，1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，由于0>b 且1≠b ，所以当2n ≥时，{n a }是以b 为公比的等比数列，又11a S b r ==+)1(2-=b b a b a a =12，，即br b b b =+-)1(，解得1r =-.（II ） 12-=n n S ∴当2n ≥时，1112)12()12(---=---=-=n n n n n n S S a ，又当1n =时，112111=-==S a ，适合上式，∴12-=n n a ，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= ∴121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅ ，下面有数学归纳法来证明不等式：121211135721·······12462n n b b b n n b b b n ++++=⋅⋅>+证明：（1）当1n =时，左边=>==24923右边，不等式成立.（2）假设当*)(N k k n ∈=时，不等式成立，即121211135721·······12462k k b b b k k b b b k++++=⋅⋅>+ ，当1n k =+时，左边11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ ，2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++所以当1n k =+时,不等式也成立.由（1）、（2）可得当n N +∈时，不等式1321212753+>⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⨯n n n n）（恒成立，所以对任意的n N +∈，不等式1212111 (1)n n b b b n b b b +++>+成立.【解题关键点】【结束】21．（2009山东理21）两县城A 和B 相聚km 20，现计划在两县城外以A B为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对称A 和城B 的总影响度为0.0065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由.【答案】（I ）如右图,由题意知BC AC ⊥,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<-当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到A 、B 的距离都相等，且为km 210，所以有22)210()210(4065.0k +=，解得9=k ，∴2249(020)400y x x x =+<<-（II ）2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=-- 令'0y >，得012800064024>-+x x ，解得1602≥x ，即104≥x ，又因为200<<x ，所以函数2249400y x x =+-在），（1040∈x 上是减函数，在），（20104∈x 上是增函数，当410x =时，y 取得最小值，所以在弧上存在一点，且此点到城市A 的距离为km 104，使建在此处的垃圾处理厂对城市A 、B 的总影响度最小. 【解题关键点】【结束】22．（2009山东理22）设椭圆E :22221x y a b +=)0,(>b a 过M （2，2），N (6,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OB OA ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（I ）椭圆E :22221x y a b +=)0,(>b a 过M （2，2），N (6,1)两点， ∴2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得4,822==b a ，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（II ）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为)4(222<=+r r y x ，则当直线AB 的斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则=∆222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+> 12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即263m ≥或263m ≤-，因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为21m r k =+,222228381318m m r m k===-++,263r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥或263m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为263x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±满足OA OB ⊥ , ()2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++42242423245132[1]34413441k k k k k k k ++=⋅=+++++，当0k =时,46||3AB =，当0k ≠时22321||[1]1344AB k k =+++，因为221448k k ++≥所以221101844k k <≤++,故321289364==≤AB当AB 的斜率不存在时,36431148142=-=-≤m AB . 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B 且AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,364. 【解题关键点】【结束】。

2009年山东高考数学试题及答案(文数)

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4 2. 复数31ii--等于（） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 3. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).C. 2πD. 4π+ 5. 在R 上定义运算⊙: a ⊙b a abb ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.),1()2,(+∞--∞D.(-1,2)6. 函数x xx e e y -+=侧(左)视图正(主)视图D俯视图7. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 28.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（） A.0PA PB += B. 0PB PC +=C. 0PC PA +=D.0PA PB PC ++=9. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x =D. 28y x = 11.在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ).A.31B.π2 C.21 D.32 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (f -第Ⅱ二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共1613.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a , 则____________6=a .14.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .15.执行右边的程序框图，输出的T= .16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,10件,ABC P第8题图乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

2009年山东高考数学试题及答案(文数)

塑料压塑模具的工作原理（1），塑料压塑模具的结构和工作原理：塑料压塑模
具包括压缩成型和压注成型两种结构模具类型。它们是主要用来成型热固性塑料的一类模具，其所对应的设备是压力成型机。压缩成型方法根据塑料特性，将模具加热至成型温度（一般在103°—108°），然后将计量好的压塑粉放入模具型腔和加料室，闭合模具，塑料在高热，高压作用下呈软化粘流，经一定时间后固化定型，成为所需制品形状。
超高速精密冲床
高速冲压模具
单工序冲压模具
冲压模具的工作原理

冲压模具又被称之为冷模，它是利用冲压机压力作用在模具上，使放在模具中的金属产生形状的变化。从模具的功能分有拉伸模.冲裁模.折弯模.铆接模等.拉伸模的工作原理是利用相同形状的凸凹模通过压料板压住料将金属材料按设计需要加工出各种几何立体的产品。其中要考虑的因素很多，例如冲床压力，金属材料的拉伸率，产品几何图形的复杂程度，模具压料力，模具间隙等。冲裁模有简单的单冲模和结构复杂的连续模，主要考虑的是机床压力，模具冲裁力，模具卸料力，冲裁间隙及复杂形状的结构合理性问题。折弯模有很多种，有冲直角的，锐角的，钝角的，还有折复杂的几何形状的。铆接模一般很简单，主要是铆接冲头的直台和R角要取合适就可以了。
按照上述成型方法的不同，可以划分出对应不同工艺
要求的塑料加工模具类型，主要有注射成型模具、挤出成型模具、吸塑成型模具、高发泡聚苯乙烯成型模具等。（1）塑料注射模具：它主要是热塑性塑料件产品生产中应用最为普遍的一种成型模具，塑料注射成型模具对应的加工设备是塑料注射模具对应的加工设备是塑料注射成型机，塑料首先在注射机底加热料筒内受热熔融，然后在注射机的螺杆或柱塞推动下，经注射机喷嘴和模具的浇注系统进入模具型腔，塑料冷却硬化成型，脱模得到制品。

2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案

2009年高考数学山东理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共12小题，共0分）1．（2009山东理1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B ⋃=,则a 的值为（）A.0B.1C.2D.4【答案】D【解题关键点】因为{}0,1,2,4,16A B ⋃=.所以4a =,选D.【结束】2．（2009山东理2）复数31ii --等于（）A.i 21+B.12i -C.2i +D.2i -【答案】C【解题关键点】因为i ii i i i i i +=+=+-+-=--2224)1)(1()1)(3(13，故选C.【结束】3．（2009山东理3）将函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（）A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =【答案】B【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为)22sin(21)4(2sin 21ππ++=++=x x y ，x x 2cos 22cos 21=+=，选B.【结束】4．（2009山东理4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2π+B.4π+C.2π+D.4π+【答案】C【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为π2，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体积33212222312=-⨯⨯⨯,为故选C.【结束】5．（2009山东理5）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解题关键点】由m 为平面α内的一条直线且β⊥m 得出βα⊥；但是，反过来，若βα⊥且m为平面α内的一条直线，则不一定有β⊥m ，还可能有m 与平面β相交但不垂直、β//m 、β⊂m .故选B. 【结束】6．（2009山东理6）函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解题关键点】排除法：因为当0=x 时，函数x xx x e e e e y ---+=无意义，故排除D C B ,,,故选A. 【结束】7．（2009山东理7）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2=+，则（）A. =+B. =+C. =+D. =++【答案】B【解题关键点】因为2=+，所以点P 为AC 的中点，.即有=+，故选B. 【结束】8．（2009山东理8）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A.90B.75C.60D.45【答案】A【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为1201.005.0236=+⨯）（，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为902125.0215.021..0120=⨯+⨯+⨯⨯）（，故选A.【结束】9．（2009山东理9）设双曲线 1222=-b y a x x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A.45B.5C.25D.5【答案】D【解题关键点】由题意知：双曲线1222=-b y a x x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==12x y x ab y 消去y ，得012=+-x a b x 有唯一解，所以04)(2=-=∆a b ，所以5)(1,2222=+=+===a ba b a a c e a b ，故选D.【结束】10．（2009山东理10）定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则)2009(f 的值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C【解题关键点】由已知得1)1()0()1(,0)0(,12log )1(2-=--====-f f f f f,0)1(1)1()2()3(,1)0()1()2(=---=-=-=-=f f f f f f,1)1(0)2()3()4(=--=-=f f f ,0)4()5()6(,1)3()4()5(=-==-=f f f f f f所以函数)(x f 的值以6为周期重复性出现，所以1)5()2009(==f f ，故选C【结束】11．（2009山东理11）在区间[1-，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为（）A.31B.π2C.21D.32【答案】A【解题关键点】当212cos0<<xπ时，在区间[]1,1-上，只有322πππ-<<-x 或223πππ<<x ，即)1,32()32,1( --∍x ，根据几何概型的计算方法，这个概率值是31. 【结束】12．（2009山东理12）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则其的最小值为（）A.625B.38C.311D.4【答案】A【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：当直线)0,0(>>+=b a by ax z 过直线02=+-y x 与直线063=--y x 的交点()6,4时，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z取最大值12，即1264=+b a ，即632=+b a ，而6252613)(613632)32(32=+≥++=++=+b a a b b a b a ba ，当且仅当b a =时取等号，故选A . 【结束】二、填空题（本大题共4小题，共0分）13．（2009山东理13）不等式|21||2|0x x ---<的解集为 .【答案】），（11-【解题关键点】原不等式等价于212-<-x x ，两边平方并整理得：332<x ，解得11<<-x .【结束】14．（2009山东理14）若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是.【答案】），（∞+ 1【解题关键点】函数)(xf=x a x a--(0a>且1a≠)有两个零点，方程0=--axa x有两个不相等的实数根，即两个函数xay=与axy+=的图像有两个不同的交点，当10<<a时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当1>a时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【结束】15．（2009山东理15）执行右边的程序框图，输入的T= .【答案】30【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.【结束】16．（2009山东理16）已知定义在R上的奇函数()f x满足(4)()f x f x-=-，且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=mmxf在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234_________.x x x x +++=【答案】8 -【解题关键点】因为定义在R 上的奇函数，满足)()4(x f x f -=-，所以)()4(x f x f -=-，所以，由)(x f 为奇函数，所以函数图像关于直线2=x 对称且0)0(=f ，由)()4(x f x f -=-知)()8(x f x f =-，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[]20，上是增函数，所以)(x f 在区间[]02，-上也是增函数，如下图所示，那么方程)0()(>=m m x f 在区间[]88，-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，不妨设4321x x x x <<<，由对称性知，12)4()4(421-=-+-+-=+x x ，443=+x x ，所以84321-=+++x x x x .【结束】三、解答题（本大题共6小题，共0分）17．（2009山东理17）设函数xx f 2sin )32cos()(++=ππ.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ， 41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin .【答案】（I ）)2cos 1(212sin 232cos 21sin )32cos()(2x x x x x x f -+-=++=π212sin 23+-=x ，∴当12sin -=x 时，函数)(x f的最大值为，最小正周期为π.（II ）)2(C f=12C =－41，得到sin C =，又C 为锐角，故3C π=， 322sin 31cos =⇒=B B故6322322213123)32sin(sin +=⨯+⨯=-=B A π.【解题关键点】【结束】18．（2009山东理18）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰三角形，AB平行CD ，AB =4, BC =CD =2,1AA =2, E ,1E ，F 分别为棱AD ，1AA ，AB 的中点.（1）证明：直线//1EE 平面1FCC ；（2）求二面角C FC B --1的余弦值.【答案】解法一：（I ）在在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，取11B A 的中点1F ，连结1FF ，11F C 由于111////CC BB FF ，所以∈1F 平面1FCC ，因此平面1FCC 即为平面11CFF C ，连结D A 1，1CF ，由于CD C //11//11D F CDA ==，所以四边形CD F A 11为平行四边形，因此D A CF 11//，又因为E 、1E 分别是棱AD 、1AA 的中点，所以D A EE 11//，所以11//C EEF ，又因为⊄1EE 平面1FCC ，⊂1CF 平面1FCC ，所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点，所以BDF CF BC BF ∆==,为正三角形，取CF 的中点O ，则CF OB ⊥，又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中，1CC 平面ABCD ，所以BO CC ⊥1，所以F CC OB 1平面⊥，过O 在平面1FCC 内作F C OP 1⊥，垂足为P ，连接BP ，则为OPB ∠二面角C FC B --1的一个平面角，在BCF ∆为正三角形中，3=OB ，在F CC Rt 1∆中，OPF ∆～F CC 1∆，∵11OP OFCC C F =∴22OP ==，在O P F Rt ∆中，BP ===，cosOPOPBBP∠===，所以二面角C-1FC-B的余弦值为.解法二:（I）因为FCDBCAB,2,4===是棱AB的中点所以BDFCFBCBF∆==,，为正三角形，因为ABCD为等腰梯形,所以︒==∠60ABCBAC,取AF的中点M,连接DM,则ABDM⊥,所以CDDM⊥，以DM为x轴, DC为y轴, 1DD为z轴建立空间直角坐标系如图所示,则D（0,0,0），A），，（013-，F），，（013，C），，（020，1C），，（220，E），，（02123-，1E），，（113-，所以11,1)2EE=-,1,0)CF=-,1(0,0,2)CC=1(,2)FC=设平面FCC1的法向量为(,,)n x y z=则1n CFn CC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以yz-==⎪⎩取(1n=,则1111002n EE ⋅=-⨯= ,所以1n EE ⊥ ,所以直线//1EE 平面1FCC . （II ）(0,2,0)FB =,设平面1BFC 的法向量为1111(,,)n x y z = ,则11100n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以1111020y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1n = ，则121002n n ⋅=⨯+=，||2n ==,1||n == ，所以111cos ,||||n n n n n n ⋅〈〉===,由图可知二面角C -1FC -B 为锐角,所以二面角C -1FC -B的余弦值为.【解题关键点】【结束】19．（2009山东理19）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处没投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求2q 的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ;(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.【答案】（I ）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互独立,且25.0)(=A P ,()0.75P A =, 2)(q B P =,2()1P B q =-.根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=,8.02=q .（II ）当ξ=2时,1P =)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=75.0=，2q ( 21q -)5.12=⨯，2q ( 21q -)24.0=当ξ=3时, 2P =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-01.0=；当ξ=4时, 3P =22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==48.0=；当ξ=5时, 4P =()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+24.0=所以随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（III ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；该同学选择（I ）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率. 【解题关键点】【结束】20．（2009山东理20）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(01,,)xy b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上.（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当2=b 时，记 22(l o g 1)()nn b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n nb b b b b b +++>成立【答案】（I ）由题意知：nn S b r =+.当2n ≥时， 1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，由于0>b 且1≠b ，所以当2n ≥时，{n a }是以b 为公比的等比数列，又11a S b r ==+)1(2-=b b a b a a =12，，即br b b b =+-)1(，解得1r =-.（II ） 12-=n n S ∴当2n ≥时，1112)12()12(---=---=-=n n n n n n S S a ，又当1n =时，112111=-==S a ，适合上式，∴12-=n n a ，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= ∴121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅ ，下面有数学归纳法来证明不等式：121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅>证明：（1）当1n =时，左边=>==24923右边，不等式成立.（2）假设当*)(N k k n ∈=时，不等式成立，即121211135721·······2462k k b b b k b b b k++++=⋅⋅> ，当1n k =+时，左边11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+，2322k k +==+所以当1n k =+时,不等式也成立.由（1）、（2）可得当n N +∈时，不等式1321212753+>⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⨯n n n n）（恒成立，所以对任意的n N +∈，不等式1212111·······n n b b b b b b +++>成立.【解题关键点】【结束】21．（2009山东理21）两县城A 和B 相聚km 20，现计划在两县城外以A B为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对称A 和城B 的总影响度为0.0065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由.【答案】（I ）如右图,由题意知BC AC ⊥,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<-当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到A 、B 的距离都相等，且为km 210，所以有22)210()210(4065.0k +=，解得9=k ，∴2249(020)400y x x x =+<<-（II ） 2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--令'0y >，得012800064024>-+x x ，解得1602≥x ，即104≥x ，又因为200<<x ，所以函数2249400y x x =+-在），（1040∈x 上是减函数，在），（20104∈x 上是增函数，当x =y 取得最小值，所以在弧上存在一点，且此点到城市A 的距离为km 104，使建在此处的垃圾处理厂对城市A 、B 的总影响度最小. 【解题关键点】【结束】22．（2009山东理22）设椭圆E : 22221x y ab +=)0,(>b a 过M （2，N两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（I ）椭圆E :22221x y a b +=)0,(>b a 过M （2N两点， ∴2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得4,822==b a ，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（II ）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为)4(222<=+r r y x ，则当直线AB 的斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则=∆222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即3m ≥或3m ≤-，因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为或(满足OA OB ⊥ ,||AB =====当0k =时,||AB =，当0k ≠时||AB =因为221448k k ++≥所以221101844k k <≤++,故321289364==≤AB当AB的斜率不存在时,36431148142=-=-≤mAB.综上，存在圆心在原点的圆2283x y+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B且AB的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,364.【解题关键点】【结束】。

2009年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)kk n k n nP k C p p k n -=-=.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 （2）复数31ii--等于（A ）i 21+ B ）12i - C ）2i + D ）2i - （3）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A ）cos 2y x = （B ）22cos y x = （C ）)42sin(1π++=x y （D ）22sin y x =（4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A ）223π+ （B ） 423π+ （C ） 2323π+ （D ） 2343π+（5）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）函数x xxxe e y e e --+=-的图像大致为(7）设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 (A ）0PA PB += (B ）0PC PA += (C ）0PB PC += (D ）0PA PB PC ++=1xy1 O A xyO1 1 B xyO 1 1 Cxy1 1D O2 2侧(左)视图22 2正(主)视图ABC P 第7题图(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A ）90 (B ）75 (C ） 60 (D ）45(9）设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 (A ）45 (B ） 5 (C ） 25 (D ）5 (10）定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为(A ）-1 (B ） 0 (C ）1 (D ） 2（11）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为( ). （A ）31 （B ）π2 （C ）21 （D ）32（12）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). （A ）625 （B ）38 （C ） 311 （D ） 496 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050克频率/组距第8题图 x22yO -2 z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2009年全国高考数学试题——山东卷(理科)含答案-推荐下载

6.
函数 y
ex ex ex ex
y
1
O1
A
的图像大致为(
x
y
1 O1 x
B
【解析】:函数有意义,需使 ex ex 0 ,其定义域为 x | x 0,排除 C,D,又因为
y

ex ex
ex ex

e2x e2x

1 1
◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人
D.
答案:D
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本
技能,学会公式的变形.
4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
A. 2 2 3
B. 4 2 3
C. 2 2 3 3
【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2 ,四棱锥的底面
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷
规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
秉承：以人为本，质量第一，突出特色，服务家长
俯视图
y
1 O1 x
C
).
D. 4 2 3 3
A.
◆ 以不倦的育人精神感染人
2
2
2 正(主)视图
y
1