第一课时 相似三角形中的对应线段的比.pptx
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相似三角形的性质ppt课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
《相似三角形的判定》完整版PPT1
1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上 图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应 线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等 于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对 应线段写在对应的位置上.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似. 几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长 是否对应成比例？
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
C
AB AC BC k，
DE DF EF
A
BD
E
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与
△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为 1 .
4.7.1 相似三角形对应线段的比等于相似比 公开课课件
第1课时 相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形对应__高____的比、对应__角__平__分__线____的比， 对应___中__线___的比都等于相似比．
知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比
1．(3 分)若两个相似三角形的相似比是 2∶5，则对应高 的比是( A ) A．2∶5 B．4∶25 C. 2∶ 5 D．25∶4 2．(3 分)如图，已知 D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的一点，DE∥BC，AF⊥BC 于点 F，交 DE 于点 G， 且 AD∶AB＝5∶12，则AAGF的值为( B )
17．(12 分)如图，△ABC 中，AB＝5，BC＝4，∠B＝50
°，△A′B′C′中，A′B′＝6，B′C′＝4.8，∠B′
＝50°.AD，A′D′分别是它们的高，AE，A′E′分别
是∠BAC，∠B′A′C′的平分线． (1)△ABC 与△A′B′C′相似吗？为什么？ (2)A′ADD′等于多少？ (3)若 AE＝4.5，那么 A′E′等于多少？
△AEF，∴BECF ＝AAMN ，∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.18， ∴EF＝BCA×MAN＝0.180× .6 30＝9 (m)．故电线杆的高度为 9 米．
19．(12分)一块直角三角形木块的面积为1.5 m2，直角边 AB长1.5 m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形 桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示， 你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？(加 工损耗忽略不计)
解：∵E，F 分别为 AC，BC 的中点， ∴BE 和 DF 分别是△ABC 和△CDB 的中线， 又∵△ABC∽△BDC， ∴ABCC＝BDEF，∴46.2＝B2E，BE＝270.
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)
相似三角形对应__高____的比、对应__角__平__分__线____的比， 对应___中__线___的比都等于相似比．
知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比
1．(3 分)若两个相似三角形的相似比是 2∶5，则对应高 的比是( A ) A．2∶5 B．4∶25 C. 2∶ 5 D．25∶4 2．(3 分)如图，已知 D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的一点，DE∥BC，AF⊥BC 于点 F，交 DE 于点 G， 且 AD∶AB＝5∶12，则AAGF的值为( B )
17．(12 分)如图，△ABC 中，AB＝5，BC＝4，∠B＝50
°，△A′B′C′中，A′B′＝6，B′C′＝4.8，∠B′
＝50°.AD，A′D′分别是它们的高，AE，A′E′分别
是∠BAC，∠B′A′C′的平分线． (1)△ABC 与△A′B′C′相似吗？为什么？ (2)A′ADD′等于多少？ (3)若 AE＝4.5，那么 A′E′等于多少？
△AEF，∴BECF ＝AAMN ，∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.18， ∴EF＝BCA×MAN＝0.180× .6 30＝9 (m)．故电线杆的高度为 9 米．
19．(12分)一块直角三角形木块的面积为1.5 m2，直角边 AB长1.5 m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形 桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示， 你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？(加 工损耗忽略不计)
解：∵E，F 分别为 AC，BC 的中点， ∴BE 和 DF 分别是△ABC 和△CDB 的中线， 又∵△ABC∽△BDC， ∴ABCC＝BDEF，∴46.2＝B2E，BE＝270.
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)
相似三角形完整版PPT课件
通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
北师大版数学九年级上课件：相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段的比(共21张PPT)
35 7 9 A.2 B.2 C.2 D.2
二、填空题 5. 已知△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应角平分线，且
8 AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC 与△A′B′C′对应高的比为__3__． 6. 两个相似三角形的相似比为 1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为 3，则较大三角形对应边上的中线为__1_2___．
一、选择题 1. (重庆中考)两个相似三角形对应高之比为 1∶2，那么它们对应中线之比 为( A ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 2. 已知△ABC∽△A′B′C′，其对应角平分线之比为 5∶4，则 BC∶B ′C′为( A ) A．5∶4 B. 5∶2 C．25∶16 D．16∶25
10. (连云港中考)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1，则EF的 长是( B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm变为5 cm，那么看到的图形 的高是原来的( )A
A．5倍 B．15倍 C．25倍 D．1倍
4. (广东模拟)如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE 分别是△ABC 的 高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且 AD＝4，A ′D′＝3，BE＝6，则 B′E′的长为( D )
AD
AE
AF
C′的中线，高和角平分线，则有__A__′__D_′___＝ A′E′ ＝ A′F′ ＝
_____k_____．
知识点：相似三角形中的对应线段比的性质
【典例导引】 【例 1】 (静安区一模)已知△ABC 的三边长是 2， 6，2，△DEF 的两边长 分别是 1 和 3，如果△ABC 与△DEF 相似，那么△DEF 的第三边长应该是 __2__.
二、填空题 5. 已知△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应角平分线，且
8 AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC 与△A′B′C′对应高的比为__3__． 6. 两个相似三角形的相似比为 1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为 3，则较大三角形对应边上的中线为__1_2___．
一、选择题 1. (重庆中考)两个相似三角形对应高之比为 1∶2，那么它们对应中线之比 为( A ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 2. 已知△ABC∽△A′B′C′，其对应角平分线之比为 5∶4，则 BC∶B ′C′为( A ) A．5∶4 B. 5∶2 C．25∶16 D．16∶25
10. (连云港中考)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1，则EF的 长是( B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm变为5 cm，那么看到的图形 的高是原来的( )A
A．5倍 B．15倍 C．25倍 D．1倍
4. (广东模拟)如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE 分别是△ABC 的 高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且 AD＝4，A ′D′＝3，BE＝6，则 B′E′的长为( D )
AD
AE
AF
C′的中线，高和角平分线，则有__A__′__D_′___＝ A′E′ ＝ A′F′ ＝
_____k_____．
知识点：相似三角形中的对应线段比的性质
【典例导引】 【例 1】 (静安区一模)已知△ABC 的三边长是 2， 6，2，△DEF 的两边长 分别是 1 和 3，如果△ABC 与△DEF 相似，那么△DEF 的第三边长应该是 __2__.
《相似三角形的性质》ppt课件
2.如图，在△ABC 中，两条中线BE,CD 相 交 于 点 0 , 则△EOD 的周长：△BOC 的周长为(A )
A. 1:2
B.2:3
C. 1:3
D. 1:4
解析：∵BE,CD 是△ABC 的两条中线，∴ DE 是
△ABC的中位线，
∴DE//BC,
E OD △BOC
EOD 的周长：△BOC 的周长=1:2.
解： (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴∠DAE = ∠AEB， ∠BAE = ∠F， ∵AB＝BE， ∴∠BAE = ∠AEB， ∴∠F = ∠DAE， ∵∠F＝62° , ∴∠DAE＝62° , ∴∠D＝180° - ∠DAF - ∠F＝56°.(2)∵四边形ABCD是平行四 边形， ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴△AFD∽△EFC， △EAB∽△EFC，
面积为
巩固新知
如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连
接 EC 交对角线BD 于点F, 若 S△pFc=3, 则S△C
.
解决面积问题的常用方法
① 直接用面积公式； ② 利用相似三角形的性质； ③ 利用等底或等高； ④ 割补法.
归纳新知
对应高的比
对应线段 对应中线的比
等于相似比
对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形的周长比也等于相似比吗?为 什么? 如果△ABCo△A'B'℃', 相似比为 k, 那么
因此AB=kA'B',BC=kB'C',CA=kC'A', 从而
相似三角形周长的性质： 相似三角形周长的比等于相似比
巩固新知
1.已知△ABC∽△DEF，且相似比为4:3 ，若△ABC 中 BC 边上的中线 AM =8 ，则 △DEF 中 EF 边上的中线 DN 的 长度为( D )
相似三角形的判定ppt
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两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
《相似三角形的判定》相似PPT教学课件(第1课时)
AE AC
DE
BC.
∴△ADE∽△ABC .
探究新知
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似.
符号语言： ∵ DE//BC,
“A”型
A
∴△ADE∽△ABC．D
E
“X”型
D
E
O
B （图1） C B
（图2） C
探究新知
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证 明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行 线，那么你应该联想到什么？
BC 3
EF
3
想
若
AB 3 BC 4
，
那么
DE ? EF
3 4
l1
A
B
l2
D
l3
E l4
即 AB DE
BC EF
除此之外，
还有其他对应线
C
段成比例吗？
F l5
探究新知
事实上，当l3
//l4
//
l5时，都可以得到
AB BC
DE EF
，
BC
还可以得到AB
EF DE
AB
，AC
DE DF
BC
，AC
EF DF
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时
导入新知
1.相似多边形的特征是什么？
A
A1
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
B
C B1
C1
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，
∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
AB A1B1
《相似三角形的性质和判定》PPT课件
全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
人教版《相似三角形的性质》PPT优秀教学课件1
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边， 由此可确定相似比，进而根据已知条件，解 以一个三角形周长为未知数的方程即可．
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则 AC 9 3 ,
A1C 1 6 2
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
2 易错小结
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝ 1∶4，求AD∶DB.
解：因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以 A D 1 . AB 5
所以 AD＝
1
＝
51 .
DB 51 4
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件. 跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求 AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面 积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．
4 【中考·绥化】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交
于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于
点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF 1; FD 2
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.
其中一定正确的是( D )
A．①②③④
B．①④ C．②③④
Hale Waihona Puke D．①②③5 【中考·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三 角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋ ∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( A ) A．25：9 B．5：3 C. 5 ： 3 D．5 5 ：3 3
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则 AC 9 3 ,
A1C 1 6 2
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
2 易错小结
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝ 1∶4，求AD∶DB.
解：因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以 A D 1 . AB 5
所以 AD＝
1
＝
51 .
DB 51 4
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件. 跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求 AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面 积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．
4 【中考·绥化】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交
于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于
点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF 1; FD 2
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.
其中一定正确的是( D )
A．①②③④
B．①④ C．②③④
Hale Waihona Puke D．①②③5 【中考·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三 角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋ ∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( A ) A．25：9 B．5：3 C. 5 ： 3 D．5 5 ：3 3
相似三角形的性质(公开课)课件
A
B
C
推进新课
知识点1 相似三角形的对应线段之比
思考
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边 的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线 的长度，以及周长、面积等，如果两个三角形相 似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形的定义可知，相似三角形的 对应角相等，对应边成比例.
现在，我们研究相似三角形的其他几何量 之间的关系.
B.45 cm
C.30 cm
D. cm
知识点2 相似三角形面积之比
相似三角形面积的比与相似比有什
思考 么关系？
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例3 如图，在△ABC和△DEF中， AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D. 若△ABC的 边BC上的高为6，面积为12 ，求△DEF的
边EF上的高和面积.
解析式，并画出它的图象.
解：经过x秒后， BD=2x，AD=8-2x. ∵ DE/ BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴
即 即y=- x+9(0≤x≤4).
27.2 相似三角形ຫໍສະໝຸດ 27.2.2 相似三角形的性质学习目标：
1. 知道三角形对应高的比，对应中线的 比与对应角平分线的比都等于相似比.
2. 知道相似三角形对应线段的比等于相
似比.
3. 知道相似三角形面积的比等于相似比 的平方.
新课导入
三角形除了三条边的长度，三个内角的度 数外，还有哪些几何量？相似三角形的这些几 何量之间又有什么样的关系呢？
2 相似三角形对应线段的比等于相似比. 3 相似三角形的周长比等于相似比. 4 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
练习
1.判断题 (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
B
C
推进新课
知识点1 相似三角形的对应线段之比
思考
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边 的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线 的长度，以及周长、面积等，如果两个三角形相 似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形的定义可知，相似三角形的 对应角相等，对应边成比例.
现在，我们研究相似三角形的其他几何量 之间的关系.
B.45 cm
C.30 cm
D. cm
知识点2 相似三角形面积之比
相似三角形面积的比与相似比有什
思考 么关系？
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例3 如图，在△ABC和△DEF中， AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D. 若△ABC的 边BC上的高为6，面积为12 ，求△DEF的
边EF上的高和面积.
解析式，并画出它的图象.
解：经过x秒后， BD=2x，AD=8-2x. ∵ DE/ BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴
即 即y=- x+9(0≤x≤4).
27.2 相似三角形ຫໍສະໝຸດ 27.2.2 相似三角形的性质学习目标：
1. 知道三角形对应高的比，对应中线的 比与对应角平分线的比都等于相似比.
2. 知道相似三角形对应线段的比等于相
似比.
3. 知道相似三角形面积的比等于相似比 的平方.
新课导入
三角形除了三条边的长度，三个内角的度 数外，还有哪些几何量？相似三角形的这些几 何量之间又有什么样的关系呢？
2 相似三角形对应线段的比等于相似比. 3 相似三角形的周长比等于相似比. 4 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
练习
1.判断题 (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
相似三角形中的对应线段之比PPT课件
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3.判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三
角形的周长也扩大为原来的5倍.（
）
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四
边形的面积也扩大为原来的9倍.（
）
第27页/共32页
3.判断： （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三 角形的周长也扩大为原来的5倍.（ √ ） （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四 边形的面积也扩大为原来的9倍.（ × ）
有什么关系呢？
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证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
AB BC CA k. A'B' B'C ' C ' A'
求证： AD k. A'D'
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B, AB BC ．
A'B' B'C '
又AD,AD′分别为对应边的中线.
解：∵ △ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60cm和 72cm，
A
A ∵AB=15cm，B′C′=24cm，
∴BC = 20cm， AC = 25cm，
A′B′=18cm，A′C′=30cm. B
C B
C
第30页/共32页
课堂小结
相似三角 形的性质
相似三角形周长之比等于 相似比
相似三角形面积之比等于 相似比的平方
第22页/共32页
例：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC
的面积为100cm2 ，且
AE AC
AD 3 AB 5
求四边形BCDE的面积.
3.判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三
角形的周长也扩大为原来的5倍.（
）
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四
边形的面积也扩大为原来的9倍.（
）
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3.判断： （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三 角形的周长也扩大为原来的5倍.（ √ ） （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四 边形的面积也扩大为原来的9倍.（ × ）
有什么关系呢？
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证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
AB BC CA k. A'B' B'C ' C ' A'
求证： AD k. A'D'
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B, AB BC ．
A'B' B'C '
又AD,AD′分别为对应边的中线.
解：∵ △ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60cm和 72cm，
A
A ∵AB=15cm，B′C′=24cm，
∴BC = 20cm， AC = 25cm，
A′B′=18cm，A′C′=30cm. B
C B
C
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课堂小结
相似三角 形的性质
相似三角形周长之比等于 相似比
相似三角形面积之比等于 相似比的平方
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例：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC
的面积为100cm2 ，且
AE AC
AD 3 AB 5
求四边形BCDE的面积.
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