相似三角形中哪些比值等于相似比
相似三角形的性质及应用--知识讲解(提高)
相似三角形的性质及应用--知识讲解（提高）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.（2016•长春）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF；（2）若=，BE=4，求EC的长．【思路点拨】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【答案】B.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；（2）∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF=BE=4．∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽CEG ，∴=，∴CE==4×=6． 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．举一反三【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF ⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB,∴, 且∠B=∠B ，∴△EBD ∽△CBA,∴, ∴, 又∵DE=2，∴AC=6，∴,BD AB BD BE BE CB AB CB==即221189BEDBCA DE AC S S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△13DE AC =11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=.2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．【答案与解析】∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE．∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．∵AE︰BE=1:2，∴S△ADE:S△BCE=1:4．∵S△ADE=1，∴S△BCE=4．∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．举一反三：【变式】如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽.(2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3.（2015春•江津区校级月考）如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴=，∴=，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故树高DC为5.2米．【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，∴，∴.∵AB∥EF， AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.∴m.4.（2015•齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015=．【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．【答案与解析】2（）2014解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=，AA1=2，∴A1B2=A1B1=，∴A1A2=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，…∴A n A n+1=2（）n，∴A2014A2015=2（）2014，故答案为：2（）2014．【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.。
数学相似的概念
数学中，相似是指两个图形形状相同，但大小不一定相等。
相似图形的一组对应边长成比例，且对应角相等。
全等图形是相似的特例，即它们的形状相同且大小相等。
相似三角形的判定定理有：
1.相似三角形对应角相等，对应边的比相等。
2.两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形相似。
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则三角形ABC的周长与三角形DEF的周长之比等于它们的相似比，面积之比等于相似比的平方。
在实际问题中，相似三角形经常被用来解决实际问题，例如测量不可直接测量的距离、高度等。
相似三角形的应用范围很广，如工程测量、建筑设计等。
以上信息仅供参考，如有需要建议查阅初中数学教辅资料。
相似三角形性质
相似三角形性质在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活中的各种领域有着广泛的应用。
相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小不一定相同的三角形。
那相似三角形都有哪些性质呢？首先，相似三角形的对应角相等。
这是相似三角形最基本也是最明显的一个性质。
比如说，有两个相似三角形 ABC 和 A'B'C'，那么角 A就等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。
这个性质就好像是两个相似三角形之间的“身份证明”，只要知道它们是相似的，那么对应的角必然相等。
其次，相似三角形的对应边成比例。
假设三角形 ABC 和三角形A'B'C'相似，那么边 AB 与边 A'B'的比值，边 BC 与边 B'C'的比值，边AC 与边 A'C'的比值都是相等的。
这个比例关系可是解决很多数学问题的关键。
比如说，在实际测量中，如果我们无法直接测量一个物体的高度或者长度，就可以利用相似三角形的这个性质来解决。
比如要测量一棵大树的高度，我们可以在同一时间，同一地点，先测量出一个小木棍的长度以及它的影子长度，再测量出大树的影子长度。
因为此时太阳照射的角度是相同的，所以大树和它的影子，以及小木棍和它的影子分别构成了相似三角形。
通过小木棍及其影子长度的比例关系，就可以算出大树的高度。
再来看相似三角形的周长比等于相似比。
什么是相似比呢？就是对应边的比值。
如果两个相似三角形的相似比是 k，那么它们的周长比也是 k。
比如一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个与其相似的三角形对应边分别是 6、8、10，相似比就是 2，那么它们的周长比也是 2。
第一个三角形的周长是 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12，第二个三角形的周长是 6 ＋8 ＋ 10 ＝ 24，24 与 12 的比值正好是 2。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方
A
E
B
4、如图，在正方形网格上有 △A1B1C1 和△A2B2C2 ，这两个 三角形相似吗？如果相似，求 出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
4:1
B2
A1
A2
C2 C1
B1
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边相等
对应边的比等于相似比（对应边成比例）
对应角相等
对应角相等
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
D
C
j F
A
E
B
四边形 ABCD是 ，点E是BC的延长线上 的一点，而且CE：BC=1：3，若△DGF的面积 为9，试求：（1）△ABG的面积（2）△ADG 与△BGE的周长比和面积比
还是让我们一起走近今天的数学课 堂来探究其中的奥秘吧？
问题
图 中 (1) 、 (2) 、 (3) 分 别 是 边长为1、2、3的等边三角形， 相似吗？
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
大标牌用油漆
2听
。
2．两个相似多边形面积的比9：16， （1）其中较小的多边形的周长为36cm ,则另 一个多边形的周长 48cm。
（2）两个多边形的周长之和是42cm,则两个多边 形的周长分别是 18cm,24cm。
典型例题
例1、如图，在△ABC中，点D、E分别分别 在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=3︰2. 求四边形DBCE与△ADE的面积的比。
九年级数学上册《相似三角形周长比等于相似比面积比等于相似比平方》教案、教学设计
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的性质、全等三角形等内容有了较为深入的了解。在此基础上，本章节将引导学生探索相似三角形的性质和应用。考虑到学生的实际情况，他们在以下方面可能存在困难：
1.对相似三角形的定义和性质理解不够深入，需要通过具体实例和图形帮助学生加深理解。
2.在运用相似三角形的性质解决实际问题时，可能会对计算过程和方法感到困惑，需要教师进行针对性的指导。
1.复习全等三角形的性质，引导学生思考全等三角形中对应边和对应角的关系。
2.提问：“在全等三角形中，如果对应边成比例，那么对应角有什么关系？”通过这个问题，自然过渡到相似三角形的定义。
3.展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的画面等，让学生观察并思考相似图形的特点和美感。
（二）讲授新知
九年级数学上册《相似三角形周长比等于相似比面积比等于相似比平方》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义，掌握判断两个三角形相似的方法。
2.掌握相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
3.能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算周长、面积等。
4.学会使用相似比、周长比和面积比进行三角形相关的计算。
-通过绘制图形，观察并证明相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.实践应用题：
-设计一道与实际生活相关的题目，如测量并计算校园内某些建筑物的相似比例，或利用相似三角形的知识解决家庭生活中的实际问题。
-要求学生将问题解决过程和结果以书面形式呈现，注重解题步骤的清晰性和逻辑性。
3.思考探究题：
4.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、交流，共同解决问题，提高合作意识。
人教版九年级数学下册《相似三角形》
相似三角形
1
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
(2) BC是圆O的切线，切点为C.
(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
8
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
9
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
C
DE∥BC
C
(5)
BD ∠BAD=∠C
C
A
DB
∠ACB=90°，
AB2=BD·BC
CD⊥AB
B
C
E
(6)
D
A
C B ∠D=∠C
12
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相AF似,图？中并有证哪明些你相的似结论。
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得： m
25 9
有公共角∠B, “A”型相似
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则 BP BQ
BD 即：
3
BA
m 13 m
3
13
4 5
相似三角形与比例
相似三角形与比例相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
在数学中，研究相似三角形的关系和性质对于解决几何问题和建立比例关系至关重要。
本文将重点探讨相似三角形与比例之间的关系。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，而对应边的比例相等。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC与DEF为相似三角形。
相似三角形的性质主要有以下几点：1. 边比例性质：若两个三角形相似，则对应边的比值是相等的，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 角度比例性质：两个相似三角形中，对应角度的度数比值相等，即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。
3. 边角性质：两个相似三角形中，相同角度对应边之比相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，同时对应边之比也会相等。
根据以上性质，我们可以根据已知条件来求解未知的边长或角度，并且通过相似三角形的比例关系来建立几何问题的数学模型。
二、相似三角形的证明方法要证明两个三角形相似，一般有以下几种常用的证明方法：1. AA相似定理：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SAS相似定理：若两个三角形的一个角相等，并且对应的两个边的比值相等，则这两个三角形相似。
3. SSS相似定理：若两个三角形的三个边的比值相等，则这两个三角形相似。
通过运用这些相似三角形的证明方法，我们能够推导出更多的相似三角形，并进一步应用到实际问题中。
三、相似三角形与比例的应用相似三角形与比例的应用广泛，特别是在解决几何问题和测量问题中。
下面以一些具体的应用案例来说明：1. 直角三角形的相似：在解决直角三角形的问题时，通过相似三角形的比例关系，可以求解未知的边长或角度。
例如，已知一个直角三角形的一个角以及两个边的比值，我们可以利用相似三角形的性质来求解另一个角的度数。
2. 平面图形的相似：在解决平面图形的问题时，相似三角形与比例关系也有重要的应用。
初二数学几何相似三角形的判定与性质
初二数学几何相似三角形的判定与性质在初二数学的几何学习中，相似三角形是一个重要且有趣的部分。
相似三角形的知识不仅在数学领域有着广泛的应用，对于我们理解和解决现实生活中的许多问题也非常有帮助。
首先，我们来了解一下什么是相似三角形。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小可能不同，那么它们就是相似三角形。
那么，如何判定两个三角形是否相似呢？这就需要我们掌握一些重要的判定方法。
第一种判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
比如说，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等，所以这两个三角形的形状就相同了。
第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与A'C'的比值，并且角 A 等于角 A'，那么这两个三角形就是相似的。
第三种判定方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
例如三角形ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形 A'B'C'的三条边分别为 a'、b'、c'，如果 a/a' ＝ b/b' ＝ c/c'，那么这两个三角形相似。
了解了相似三角形的判定方法，接下来我们看看相似三角形有哪些重要的性质。
相似三角形的对应边成比例。
这是相似三角形最基本的性质之一。
也就是说，如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C'。
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
《相似三角形的性质》 教学设计
《相似三角形的性质》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
（3）能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、测量、推理等活动，经历相似三角形性质的探究过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力。
（2）在探究相似三角形性质的过程中，体会从特殊到一般、转化、类比等数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作探究，培养学生的合作意识和团队精神。
（2）让学生在探索相似三角形性质的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点1、教学重点（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比与相似比的关系。
（2）相似三角形面积的比与相似比的关系。
2、教学难点相似三角形性质的证明及应用。
三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课（1）回顾相似三角形的定义及相似比的概念。
（2）展示两个相似三角形的图片，提问：相似三角形除了对应角相等、对应边成比例外，还有哪些性质呢？2、探究相似三角形对应高的比与相似比的关系（1）画出两个相似三角形 ABC 和 A'B'C'，对应边的比为 k，AD和 A'D'分别是 BC 和 B'C'边上的高。
（2）让学生通过测量、计算，得出 AD 和 A'D'的长度，进而发现AD ： A'D' ＝ k。
（3）引导学生进行推理证明：因为三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，所以角 B ＝角 B'。
又因为角 ADB ＝角 A'D'B' ＝ 90°，所以三角形 ABD 相似于三角形A'B'D'。
相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方
如 图 ， 已 知 DE∥FG∥MN∥BC ， 且 AD
＝DF＝FM＝MB，则 S1:S２:S３:S4
＝ 1︰3︰5︰7 。
A
D S1 E
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
3、如图在平行四边形ABCD中，
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
C C’
A
B A’
B’
如图，已知
△ABC∽△A’B’C’，相似
比为k,则△ABC与△A’B’C’
的周长比等于什么？怎么来
说明？
• 如果△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
• 那么 AB BC CA k AB BC CA
• 于是 AB kAB, BC kBC,CA kCA
• 所以 AB BC CA kAB kBC kCA k AB BC CA AB BC CA
于是 AD kAD' , BC kBC
AD.BC kAD'.kBC k2 AD'.BC AD'.BC
又因为 三角形ABC面积 1 BC.AD 2
三角形A' B'C'面积 1 B'C'.A' D' 2
所以
三角形ABC面积 三角形A' B'C'面积
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
相似的判定方法
相似的判定方法
相似三角形的判定：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
相似三角形介绍：
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形任意对应线段的比等于相似比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相似。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形面积比和相似比的关系
相似三角形面积比和相似比的关系英文回答：The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.In other words, if we have two similar triangles with corresponding sides of lengths a and b, and c and d, then the ratio of their areas (A/B) will be equal to (a/c)^2.This can be proven using the fact that the areas of similar triangles are proportional to the squares of their corresponding sides. That is, if we have two similar triangles with corresponding sides of lengths a and b, and c and d, then the ratio of their areas (A/B) will be equal to (a/c)^2.This relationship can be used to solve a variety of problems. For example, if we know the area of one triangleand the ratio of its sides to the corresponding sides of another triangle, we can use this relationship to find the area of the second triangle.中文回答：相似的三角形的面积比等于其对应边长比的平方。
对应点到位似中心的距离之比等于相似比证明
对应点到位似中心的距离之比等于相似比证明1.引言1.1 概述引言部分的概述意在介绍文章的主要内容和目的。
概述包括以下几方面的内容：在这篇文章中，我们将研究对应点到位似中心的距离之比等于相似比的证明。
对应点到位似中心的距离是计算图形之间相似性的一种常用方法，而相似比则是用于描述两个图形之间的相似程度的一个数值。
本文的主要目的是通过证明对应点到位似中心的距离之比等于相似比，来深入探讨这种方法的准确性和可靠性。
在正文部分，我们将首先介绍对应点到位似中心的距离的计算方法，并解释其在图形相似性比较中的重要性。
然后，我们将详细阐述相似比的概念和计算方式，并通过一些实例来说明它的作用和应用。
接着，我们将展示对应点到位似中心的距离与相似比之间的关系，并通过详细的推导和证明来验证它们之间的等式关系。
最后，本文将对前述内容进行总结和归纳，总结第一个要点是对应点到位似中心的距离与图形相似性之间的密切关系，以及它在图像处理和模式识别领域中的重要性。
总结第二个要点是证明了对应点到位似中心的距离之比等于相似比的等式，这为我们提供了一种准确且有效的方法来度量和比较图形之间的相似程度。
通过本文的研究和证明，我们希望读者能够更深入地理解对应点到位似中心的距离和相似比的概念，并在实际应用中能够正确使用和运用这些方法。
同时，我们也希望本文的研究能够为图像处理和模式识别领域的进一步研究提供一些有益的启示和参考。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构：本文将围绕着“对应点到位似中心的距离之比等于相似比”这一论题展开深入探讨。
下面将简要介绍本文的章节安排和各个章节的主要内容。
第一部分为引言，由三个小节组成。
在“引言”部分中，我们将首先概述本文的主题和要解决的问题，并对相关术语进行定义和解释。
接着，我们将介绍本文的整体结构和各个章节的主要内容，使读者对全文有一个整体的了解。
最后，在“目的”部分中，我们将明确本文的研究目的和预期结果。
相似三角形的性质(经典)
龙文教育学科教师辅导一体化教学案教师：学生：上课时间: 年月日时段：星期：看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：(2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )，(3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( )(3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。
典型题型：相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现填空：1．已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是2．有一张比例尺为1：4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实际周长m，面积是m23．有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为----------，面积是4．两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm和20cm，若它们的周长的差是60cm，则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm2，则较小的三角形的面积为---------- cm25．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是-----------6.已知直角三角形的两直角边之比为1：2，则这两直角边在斜边上的射影之比-------------7．若梯形上底为4CM，下底为6CM，面积为5CM2，则两腰延长线与上底围成的三角形的面积是----------8.已知直角三角形的斜边的长为13CM，两条直角边的和为17CM，则斜边上的高的长度为-------------9.．RtΔABC中，CD是斜边上的高线，，AB=29。
AD=25，则DC=---------10．平行四边形ABCD中，E为BA延长线上的一点，CE交AD于F点，若AE∶AB=1∶3则S ABCF∶S CDF=---------选择：1．两个三角形周长之比为9：5，则面积比为（）（A）9∶5 （B）81∶25 （C）3∶ 5 （D）不能确定2．RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，那么和ΔABC相似但不全等的三角形共有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3．在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列等式中错误的是（）（A）AD•BD=CD2（B）AC•BD=CB•AD （C）AC2=AD•AB （D）AB2=AC2+BC24．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，EF交AC于G，交AD于F，AFFD =13则CGGA的比值是（）A BCD（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）86．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD 等于（ ） （A ）a ∶b （B ）a 2∶b 2 （C ）a ∶b （D ）不能确定7.边长为a 的等边三角形被平行于一边的直线分成等积的两部分，则截得的梯形一底的长为（ ） （A ）12a （B ）2 a （C ） 22 a （D ）23a相似三角形性质的应用例1.有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形菜地，菜农想把菜地分成两部分,留出一个角种毛豆，剩下的一个梯形地种大蒜，而梯形的上底恰好把原菜地一长30米的边AB 分成了两等分.你能求出:种大豆的地的周长是多少？种大蒜的面积有多大吗？例2.如图：三角形ABC 是一快锐角三角形余料，边BC ＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？CB练习：已知：如图：FGHI 为矩形，AD ⊥BC 于D ，95GH FG ，BC ＝36cm,AD ＝12cm 。
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相似三角形中哪些比值等于相似比?
疑点：相似三角形中哪些比值等于相似比?
解析：相似三角形的相似比是指：相似三角形对应边成比例，这个比例值就是相似比。
如
△ABC∽△A’B’C’ ，若AB:A'B'=k, 则相似比为k。
相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比都等于相似比。
相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
结论：相似三角形中比值等于相似比的见上。
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