初等数论 第三章 同余
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第三章 同 余
§1 同余的概念及其基本性质
。，所有奇数；所有偶数，例如，。
不同余，记作：对模则称；若所得的余数不同，同余，记作：对模则称所得的余数相同，与去除两个整数，称之为模。若用设)2(mod 1)2(mod 0)7(mod 18)(mod ,)(mod ,≡≡≡≡/≡∈+a a m b a m b a m b a m b a b a m m Z 定义1。
故同余关系是等价关系；（传递性），则，、若；（对称性）
，则、若；（反身性）
、：关系，它具有下列性质同余是整数之间的一种)(mod )(mod )(mod 3)(mod )(mod 2)(mod 1m c a m c b m b a m a b m b a m a a ≡≡≡≡≡≡
。
则，，，设。
，，即同余的充分必要条件是对模整数)(|)()(mod ,0)(|,2121212211b a m q q m b a r r m b a m r r r mq b r mq a t mt b a b a m m b a -⇔-=-⇔=⇔≡<≤+=+=∈+=-证明定理1Z
。
，则若；
，则，若)(mod )(mod )2()(mod )(mod )(mod )1(21212211m b c a m c b a m b b a a m b a m b a -≡≡++≡+≡≡性质1
。
，则特别地，若；
，则，若)(mod )(mod )(mod )(mod )(mod 21212211m kb ka m b a m b b a a m b a m b a ≡≡≡≡≡性质2
。
，则，
；特别地，若则
，，，若)(mod ,,2,1,0)(mod )(mod ,,2,1)(mod )(mod 0110111111
111
111m b x b x b a x a x a n i m b a m y y B
x x A
k i m y x m B A n n n n n n n n i i k k i i k
k k
k
k k
k k +++≡+++=≡≡
=≡≡----∑∑ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛαααααααααααααααα定理2。，则，，，若)(mod )(mod 1),(1111m b a m b a m d d b b d a a ≡≡===性质3
。
的任一公因数，则及是，若；
，则，若)(mod ,)(mod (2))(mod 0)(mod )1(d m d b d a m b a d m b a mk bk ak k m b a ≡≡≡>≡性质4
反之亦然。
。
，则，若]),,,[(mod ,,2,1)(mod 21k i m m m b a k i m b a ΛΛ≡=≡性质5
。
，则，，若)(mod 0|)(mod d b a d m d m b a ≡>≡性质6 中的另一数。
必能整除之一，则两数及能整除，因而若，则若b a d m b a d m b m a m b a ,,),(),()(mod =≡性质7
。
即个位数码是，
，所以因为。的数，事实上，只需求满足数码。
写成十进位数时的个位求9)10(mod 91)
1()
3(3)10(mod 19390)10(mod 33203
203
2406
2406406≡-≡-≡≡-≡≡≤≤≡a a a 解例1 。
，故为偶数时，当，，故为奇数时，当，
所以，因为
。为偶数时，，当为奇数时，证明：当12|3)3(mod 2111)1(1212|3)3(mod 0111)1(12)3(mod 1)1(12)3(mod 1212|312|3+/≡+≡+-≡++≡+-≡+-≡++-≡+-≡+/+n n n n
n
n
n n n n n n n n 证明例2
同余性质在算术中的一些应用。 一、检查因数的方法
1、一整数能被3（或9）整除的充分必要条件是它的十进位数码之和能被3（或9）整除。
证明 只需讨论正整数即可。任取+∈Z a ，则a 可以写成十进位的形式：
同理可证。
对于。，从而可知，于是，由，9|3|3)3(mod )3(mod 11010010100101011a a a a a a a a a a a a a n n n n i n n n n +++⇔+++≡≡<≤+++=----ΛΛΛ
2、设正整数1000010001000011<≤+++=--i n n n n a a a a a ，Λ，则7（或11或13）|a 的充分必要条件是7（或11或13）|。)()(3120ΛΛ++-++a a a a
证明 因为7×11×13=1001。 例3 a =5874192能被3和9整除。
例4 a =435693能被3整除，但不能被9整除。 例5 a =637693能被7整除；a =能被13整除。 二、弃九法（验算整数计算结果的方法）
例6 设a =28997，b =39495，P =ab =15，检查计算是否正确。 解 令 1001010011<≤+++=--i n n n n a a a a a ，Λ
1001010011<≤+++=--j m m m m b b b b b ，Λ
1001010011<≤+++=--k l l l l c c c c P ，Λ
则 )9(mod ))((0
∑∑∑===≡l
k k m j j n i i c b a （*）
若（*）不成立，则P ≠ab ，故在本题中，计算不正确。
注 (1) 若（*）不成立，则计算不正确；但否命题不成立。 (2) 利用同样的方法可以用来验证整数的加、减运算的正确性。