初等数论第一章第3节 带余数除法

例3 设a0 , a1 ,L , an ∈ Z , f ( x) = an x + L + a1 x + a0 .
n
已知f (0)与f (1)都不是3的倍数.证明 : 若方程f ( x) = 0 有整数解, 则3 | f (−1).
证明 : 对任意整数x, 都有x = 3q + r , 0 ≤ r < 3. (1)若r = 0, 即x = 3q, 则f ( x) = f (3q ) = an (3q ) + L + a1 (3q ) + a0
4 证明 : 3 | n(n + 1)(2n + 1).
5 试证形如3n -1的数不是平方数.
6 证明 : 对任意的整数x, y, x + y ≠ 4k + 3, 其中k为整数.
2 2
4证明 : 设n = 3q + r , r = 0,1, 2. 当r = 0时, n = 3q, 显然3 | n,∴ 3 | n(n + 1)(2n + 1) 当r = 1时, 这时2n + 1 = 6q + 3, 显然3 | (2n + 1), ∴ 3 | n(n + 1)(2n + 1) 当r = 2时, 这时n + 1 = 3q + 3, 显然3 | (n + 1), ∴ 3 | n(n + 1)(2n + 1) 综上, 对任何n, 总有3 | n(n + 1)(2n + 1).
• 另解：直接用2007除以50即可.
例题
例1 设a, b, x, y ∈ Z , k 和m是正整数, 并且a = a1m + r1 , (0 ≤ r1 < m), b = b1m + r2 , (0 ≤ r2 < m), 则ax + by和ab被m除的余数分别与r1 x + r2 y和r1r2 被m除的余数相同, 特别a k 与r1k 被除m 的余数相同.
定义
若a, b是两个整数, 其中b > 0, 则存在两个整数q及r , 使得 a = qb + r (0 ≤ r < b) (1) 成立, 且q和r是唯一的. (1)式中的q叫做a被b除的商, r是a被b除的余数.
• 2007除以某自然数,商为50,求除数和余数.
设除数为x, 余数y,由题意有 2007 = 50 x + y, 0 ≤ y < x, 50 x ≤ 2007 18 7 故 , 解得39 < x ≤ 40 , 51 50 50 x + x > 2007 而x ∈ N , 故取x = 40, 从而y = 7 因此所求除数为, 40, 余数为7.
3 1 3 2
即R1 = 0,1, 或8, R2 = 0,1, 或8, ∴ x + y = 9(Q1 + Q2 ) + R1 + R2 , R1 + R2被9除的余数
3 3
只可能是0,1, 2, 7或8, 所以x3 + y 3不可能等于a.
思考问题
1 设3 | a + b , 证明 : 3 | a且3 | b.
下面证明q, r的唯一性, 设q1 , r1是满足a = bq + r , 0 ≤ r < b的两个整数, 则a = bq1 + r1 , 0 ≤ r1 < b, 因而bq + r = bq1 + r1 , 于是b(q - q1 ) = r1 − r , 故b q - q1 = r1 − r . 由于r 及r1都是小于b的整数, 所以上式右边是小于b的. 如果q ≠ q1 , 则上式左边 ≥ b. 这是不可能的因此q = q1而r1 = r. .
例4 设n是奇数, 则16 | n + 4n + 11.
4 2
证明 : n 4 + 4n 2 + 11 = (n 2 -1)(n 2 + 5) + 16,Q n是奇数, ∴ 8 n 2 -1, 2 n 2 + 5,∴16 n 4 + 4n 2 + 11.
例5 证明 : 若a被9除的余数是3, 4,5, 或6, 则方程x + y = a无整数解.
第三节 带余数除法
定理
若a, b是两个整数, 其中b > 0, 则存在两个整数q及r , 使得 a = qb + r (0 ≤ r < b) (1) 成立, 且q和r是唯一的.
证明 : 作整数序列L , −3b, −2b, −b, 0, b, 2b,3b,L 则a必在上述序列的某两项之间, 即存在一个整数q使得qb ≤ a < (q + 1)b成立. 令a - qb = r , 则a = bq + r , 而0 ≤ r < b.
n
= 3Q1 + a0 = 3Q1 + f (0), Q1 ∈ Z , Q f (0)不是3的倍数,∴ f ( x) ≠ 0;
(2)若r = 1, 即x = 3q + 1, 则f ( x) = f (3q + 1) = an (3q + 1) n + L + a1 (3q + 1) + a0 = 3Q2 + an + L + a1 + a0 = 3Q2 + f (1), 同理可知f ( x) ≠ 0; 综上若f ( x) = 0有解, 则x = 3q′ + 2 = 3q -1, 于是0 = f ( x) = f (3q -1) = an (3q -1) n + L + a1 (3q -1) + a0 = 3Q3 + a0 − a1 + a2 − L + (-1) n an = 3Q3 + f (-1),∴ 3 f (-1).
2.设m和n为正整数, m ≥ 3.证明 : 2 − 1 / 2 + 1. |
m n
• 3.已知2761除以某整数,余数不为 零,不完全商为95,求除数与余数. • 4.有一个自然数,用它去除 63,91,129得到三个余数之和为25, 求这个自然数.
Leabharlann Baidu3 3
证明 : 对任意整数x, y, 记x = 3q1 + r1 , y = 3q2 + r2 (0 ≤ r1 , r2 < 3) 则x3 = (3q1 + r1 )3 = 9Q1 + R1 , y 3 = (3q2 + r2 )3 = 9Q2 + R2 , 其中R1和R2被9除的余数 分别与r 和r 被9除的余数相同,
• 例2 任给的五个整数中,必有三个数之和被3 整除.
解 : 设ai = 3qi + ri , 0 ≤ ri < 3, i = 1, 2,3, 4,5. (1)若在ri中数0,1, 2都出现, 不妨设r1 = 0, r2 = 1, r3 = 2, 则a1 + a2 + a3 = 3(q1 + q2 + q3 ) + 3成立. (2)若在ri中数0,1, 2至少有一个不出现, 则至少有三个ri 取相同的值, 令r1 = r2 = r3 = r (r = 0,1或2), 则a1 + a2 + a3 = 3(q1 + q2 + q3 ) + 3r成立.
2 2 2 1 2 2
2证明 : 记n = 10q + r , (r = 0,1, 2,L ,9), 则n
k +4
- n 被10除的余数和r
k
k +4
- r = r (r − 1)
k k 4
被10除的余数相同, 对r = 0,1, 2,L ,9进行验证, 即证.
3证明 : 对于任何整数n, m, 等式n 2 + (n + 1) 2 = m 2 + 2 左边被4除的余数为1, 而右边被除4除的余数 为2或3, 故它不可能成立.
2 2
2 设n, k是正整数, 证明 : n 与n 的个位数字相同.
k
k +4
3 证明 : 对于任何整数n, m, 等式n + (n + 1) = m + 2
2 2 2
不可能成立.
1证明 : 记a = 3q1 + r1 , b = 3q2 + r2 , r1 , r2 = 0,1或2, 由3 | a + b = 3Q + r + r 知, r1 = r2 = 0, 即3 | a且3 | b.
证明 : ax + by = (a1m + r1 ) x + (b1m + r2 ) y = (a1 x + b1 y )m + (r1 x + r2 y ) 若r1 x + r2 y被m除的余数是r , 即r1 x + r2 y = qm + r , 0 ≤ r < m, 则ax + by = (a1 x + b1 y + q)m + r , 0 ≤ r < m. 即ax + by被m除的余数也是r. 同理可证其他结论.
5证明 : 任一整数可以写成3n或3n ± 1, 因为(3n) = 9n = 3k ,
2 2
(3n ± 1) = 3(3n ± 2n) + 1 = 3t + 1,
2 2
∴形如3n -1的数不是平方数.
挑战自我
• 已知方程x4-px3+q=0有一整数根，求素数p、 q。
课后作业
1.证明 : 对任意整数n有, 若2 / n,3 / n, 则24 | n 2 + 23. | |