【全国市级联考】广东省揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试(期末)数学(理)试题

绝密★启用前【全国市级联考】广东省揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试（期末）数学（理）试题考试范围：xxx ；考试时间：120分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若集合，，则A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．D ．【答案】B 【解析】.，所以，故选B.2、已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的共轭复数=A ．B ．C ．D ．【答案】C试卷第2页，共17页【解析】复数. 实部与虚部相等，则.，.故选C.3、已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当“直线a 和直线b 没有公共点”时，两直线有可能在两个相交平面上。

充分性不成立；当“平面α和平面β平行”，则，两直线必无公共点，必要性成立，即“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的必要不充分条件. 故选B.4、若，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，又，所以，所以＝，故选A ．．5、已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】抛物线的焦点为.所以椭圆的一个焦点为.即..椭圆的离心率，故选D.6、在图的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为 .A ．0B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意，本程序框图为求y 的和 循环体为“直到型”循环结构，输入x =2，第一次循环：y =×2−1=0，|0−2|=2>1；x =0，第二次循环：y =×0−1=-，|−0|=1，x =-1；第三次循环：y =×(-1)−1=−，|−+1|⩽1，试卷第4页，共17页结束循环，输出y =−.故选：C. 7、已知向量，，则函数的最小正周期为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】向量，.函数的最小正周期为，故选A.8、在区间上随机选取一个数，若的概率为，则实数的值为A ．B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】由题意x ⩽1的概率为25,则=25，解得m =4；故选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 10、在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是A ．B ．2C ．－2D ．【答案】B 【解析】由题知则，.故选B. 11、已知直线：，点，. 若直线上存在点满足，则实数 的取值范围为试卷第6页，共17页A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，数形结合易得.故选C. 12、已知函数=，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当时，函数有两个零点，不符合题意，故，，令得或，由题意知，，且，解得．故选D.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、的展开式中常数项为 ．【答案】60【解析】试题分析：由题意可知常数项为.考点：二项式定理的有关知识14、已知实数满足不等式组，则的最小值为_____________.【答案】-2【解析】作出可行域：令当直线经过点A(0,2)时，有最小值-2.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.试卷第8页，共17页15、某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：“小军第一名，小民不是第一名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为____________.【答案】小民、小乐、小军【解析】由老师只才对一个分析知，“小军第一名”肯定不对，不然，“小民不是第一名”也就猜对了；如果“小民不是第一名”猜对了，则必有，小军不是第一，小乐是第三，三人中没有第一了，不正确；如果“小乐不是第三名”猜对了，则，小军不是第一，小民是第一，三人排名依次为：小民，小乐，小军.16、在△ABC 中，角的对边分别为，已知是、的等差中项，且，则△面积的最大值为__________.【答案】【解析】由得，由余弦定得,即，又（当且仅当时等号成立）得，所以，即△面积的最大值为.三、解答题（题型注释）17、已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)求数列的前n 项和．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）设出数列的公差与公比，利用已知条件列出方程，求解数列的通项公式然后求解的通项公式．（2）利用数列的通项公式，拆项，通过等差数列和等比数列分别求和即可． 试题解析： （Ⅰ）由数列是等差数列且∴公差，∴，∵=3，=9，∴∴数列的公比，∴，∴；(Ⅱ)由得.18、如图，已知四棱锥的底面为矩形，D 为的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1．（Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1=,（1）求BD 的长；（2）求B 1D 与平面ABB 1所成角的正弦值．试卷第10页，共17页【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ) （1），（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用中位线定理得出DE//AB ，即可证得； （Ⅱ）（1）在中，利用勾股定理运算即可；（2）以C 为原点，CB 所在的直线为x 轴、CC 1为y 轴建立空间直角坐标系，利用向量求解线面角即可. 试题解析： （Ⅰ）证明：连结交于E ，连结DE ， ∵D 、E 分别为和的中点，∴DE//AB, 又∵平面,平面,∴AB//平面CDB 1;（Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，平面，∴, 又∵,，∴平面， ∵平面,∴, 在,∵BC=1，,∴;【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】（2）依题意知AC 、BC 、CC 1两两互相垂直，以C 为原点，CB 所在的直线为x 轴、CC 1为y 轴建立空间直角坐标系如图示，易得，，，，故,,,设平面的一个法向量为，由得令得，设与平面所成的角为，则 ,即与平面所成的角的正弦值为.【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D 到平面ABB 1的距离，（10分）再用公式算与平面所成角的正弦值（12分）】点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.试卷第12页，共17页19、某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人； （Ⅱ）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的概率; （2）已知该地区型车每小时的租金为1元，型车每小时的租金为1.2元，设为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求的数学期望.【答案】（Ⅰ）高一学生人数为3，高二学生的人数为4；(Ⅱ)（1），（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用各年级的比例，抽样即可； （Ⅱ）（1）从7个人里抽三个，总数为，计算抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的情况，作比即可；（2）的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6，分别计算概率即可. 试题解析：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，高二学生的人数为:；（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率.解法2：所求概率.（2）从小组内随机抽取3人， 得到的的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6.（元）因故的数学期望.(元)20、已知如图，圆、椭圆均经过点M ，圆的圆心为，椭圆的两焦点分别为.（Ⅰ）分别求圆和椭圆的标准方程； （Ⅱ）过作直线与圆交于、两点，试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ)为定值，其值为2.【解析】试题分析：（Ⅰ）通过计算圆心和半径得圆的方程，根据计算a 的值，及焦点得c 即可得椭圆方程；（Ⅱ）由直线和椭圆联立，利用韦达定理，利用坐标表示，计算即可定值.试题解析：（Ⅰ）依题意知圆C 的半径，∴圆C 的标准方程为：；∵椭圆过点M ，且焦点为、，试卷第14页，共17页由椭圆的定义得：，即，∴，，∴椭圆E 的方程为：.【其它解法请参照给分】（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设为，则的方程为，由消去得：，显然有解， 设、，则，．故为定值，其值为2.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21、已知函数.（Ⅰ）确定函数的单调性；（Ⅱ）证明：函数在上存在最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，结合定义域得单调区间；(Ⅱ)由，结合（Ⅰ）的结论，即可证得.试题解析： （Ⅰ）函数的定义域为，，∴函数在和上单调递增；(Ⅱ)，由（Ⅰ）知在单调递增；∴在上也单调递增；∵，，∴存在，有，当 时，<0，得，当时，>0，得，∴在上递减，在上递增，故函数在上存在最小值，.试卷第16页，共17页22、选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程； （Ⅱ）设直线l ：与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】（Ⅰ） 为参数）；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由坐标变换公式 得，代入圆中即得；（Ⅱ）求出点P 1 P 2的坐标，求出中点和斜率得直线方程，再利用即可得极坐标方程. 试题解析：（Ⅰ）由坐标变换公式 得代入中得，故曲线C 的参数方程为 为参数）；（Ⅱ）由题知，，故线段P 1 P 2中点，∵直线的斜率∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为.其极坐标方程为.23、选修4-5：不等式选讲设函数.(Ⅰ)若，解不等式；(Ⅱ)如果当时，，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）讨论和即可解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式可得，故等价于，求解a即可.试题解析：(Ⅰ)当a＝－2时，f(x)＝|x－2|＋|x＋2|，①当时，原不等式化为：解得，从而；②当时，原不等式化为：，无解；③当时，原不等式化为：解得，从而；综上得不等式的解集为.(Ⅱ)当时，所以当时，等价于-----（）当时，（）等价于解得，从而；当时，（）等价于无解；故所求的取值范围为.。