吉林省东北师范大学附属中学2015_2016学年高中数学2.1.1指数与指数幂的运算教案新人教A版必修1
吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中总复习数学(5) 含答案
必修1期中总复习（5）第一卷一、选择题１、已知集合Ａ＝},51|{},0|{<<-=>X x B x x 则B A ＝（ ）Ａ、}1|{->x x Ｂ、}51|{<<-X x Ｃ、}50|{<<X x Ｄ、}5|{<X x２、函数211)(-+-=x x x f 的定义域为(）Ａ、［１，+∞） Ｂ、［1，2) (2,+∞） Ｃ、（2，+∞） Ｄ、（0,+∞)3、已知函数,31,,11,5,16|,32|)(2⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-+-<<-+=X x x x x x x f 则=-)]2([f f （ ）Ａ、１ Ｂ、３ Ｃ、６Ｄ、９４、设集合Ｕ＝Ｚ，Ａ＝{－１，０，１，２｝,}|{2x x x B ==，则Ａ=)(B C U ( ）Ａ、{－１，２} Ｂ、{－１，０} Ｃ、｛０，１｝ Ｄ、{１,２｝ ５、已知集合M ＝},1015|{Z k k x x ∈+=,N=},5110|{Z k k x x ∈+=，则（）Ａ、M ＝N Ｂ、M ⊆N Ｃ、M ⊇NＤ、M N ＝Φ6、函数]3,1[,322-∈+-=x x x y 的最大值为（ )Ａ、2 Ｂ、3 Ｃ、47、函数245x x y --=的递增区间是( )Ａ、（－]2,-∞ Ｂ、),2[+∞- Ｃ、]2,5[-- Ｄ、]1,2[- 8、下列函数是偶函数的是：( )Ａ、|1|-=x y Ｂ、21x y =Ｃ、x x y 22-= Ｄ、x y =9、函数11122+-+-=x x y 的定义域为Ａ，值域为Ｂ，则ＡB A I ＝( ）Ａ、{1｝ Ｂ、｛－1,1｝Ｃ、Φ Ｄ、以上都不对10、设11)(+-=x x x f ，则)1()(x f x f +＝( ）Ａ、11+-x xＢ、x1Ｃ、1 Ｄ、11、已知函数⎩⎨⎧>-+-≤=0,3)4(0,)(2x a x a x ax x f ，是定义域上的减函数，则实数a 的取值范围的（ ）Ａ、a 〉0 Ｂ、a 〈4 Ｃ、30≤<a Ｄ、43<≤a12、已知函数],,[|,|)(b a x x x f ∈= 值域是［0，1]，那么点p （a,b)在平面直角坐标系中的位置位于图中的（ ） Ａ、线段OB 和OD Ｂ、线段BC 和CD Ｃ、线段BC 和BO Ｄ、线段OB 和CD第二卷二、填空题:（本大题共五个小题，每小题4分，共20分）13、集合｛a b a ,,1+}＝｛ba b ,,0}，则a b -＝；14、集合A ＝{a x x >|｝，B=1|{-=t y y }，若B A ⊆,则实数a 的取值范围是 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学
第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．1． 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2． 函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.3． 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 4． 熟记对数式的五个运算公式log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b Nlog b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．考点一 函数及其表示例1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )ln x的定义域是________．答案 (0,1)解析 由函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]得，函数g (x )有意义的条件为0≤2x ≤2且x >0，x ≠1，故x ∈(0,1)．(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (f M (0))的值为________． 答案 1解析 由题意，令f (x )＝2－x 2＝1，得x ＝±1， 因此当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2； 当－1<x <1时，f M (x )＝1，所以f M (0)＝1，f M (f M (0))＝f M (1)＝2－12＝1.(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． (2)求函数值时应注意形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f (x ＋3)，x <4，则f (log 23)＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．答案 (1)24 (2)(－1，2－1) 解析 (1)f (log 23)＝f (log 23＋3) ＝f (log 224)＝2log 224＝24.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1是增函数； 当x <0时f (x )＝1，因此由题设f (1－x 2)>f (2x )得，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>02x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0.解之得－1<x <0或0≤x <2－1.故所求实数x 的取值范围是(－1，2－1)． 考点二 函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 答案 －14解析 根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·天津改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤12，2 (2)－1解析 (1)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又因f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.(2)依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1. 若函数f (x )在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1， 因此实数a 的最小值是－1. 考点三 函数的图象例3 形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________． 答案 [－2,0]解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.考点四 基本初等函数的图象及性质例4 (1)若函数f (x )＝212log ,0,log (),0,x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log15（），则a 、b 、c 大小关系为________． 答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)a >c >b解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故－1<a <0或a >1. (2)∵a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log 15（）＝5log 3313， 根据y ＝a x 且a ＝5，知y 是增函数． 又∵log 23.4>log 3313>1,0<log 43.6<1，∴5log 23.4>(15)log 30.3>5log 43.6，即a >c >b.(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力． (2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________． 答案 (1)c <b <a (2)(－1,0) 解析 (1)利用中间值判断大小．b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ， 故c <b <a .(2)作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )及y ＝log 2x 的图象关于 y 轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．1． 判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题． (3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2． 函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3． 函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4． 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5． 指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6． 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．1． 关于x 的方程e x ln x ＝1的实根个数是________．答案 1解析 由原方程可得ln x ＝e －x .设y 1＝ln x ，y 2＝e －x ，两函数的图象如图所示：两曲线有且只有一个交点，所以方程有唯一解．2． 定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________________．答案 (－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫0，12 解析 由已知条件可知，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－log 2(－x )． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )<－1， 即为log 2x <－1，解得0<x <12；当x ∈(－∞，0)时，f (x )<－1， 即为－log 2(－x )<－1，解得x <－2.所以f (x )<－1的解集为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 3． 定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )与函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，33解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，∴令x ＝－3得f (1)＝0， ∴f (x ＋2)＝f (x )，周期T ＝2.x ∈[0,1]时，f (x )＝f (x ＋2)＝－2(x －1)2. 根据函数f (x )的奇偶性与周期性画出图象．要使y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1log a 3>－2，解得0<a <33.(推荐时间：40分钟)1． 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 2． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的________条件．答案 充分不必要解析 当c ＝－1时，易知f (x )在R 上递增；反之，若f (x )在R 上递增，则需有1＋c ≤0，即c ≤－1. 所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．3． (2013·课标全国Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为_______．答案 a >b >c解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c . 4． 设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝________.答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0， f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0，|x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4. 于是有{x |f (x －2)>0}＝{x |x <0或x >4}．5． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.6． 设函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤2解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，如图，作出函数图象，当a 变化时， 易得a 的取值范围为a ≤2.7． 已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4(a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.答案 3解析 lg(log 210)＝－lg(lg 2)， f (－x )＝a sin(－x )＋b 3－x ＋4 ＝－(a sin x ＋b 3x )＋4.又f [lg(log 210)]＝5，∴f [lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.8． 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )的周期为2， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.9． 直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．答案 1<a <54解析 y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示． 由图象可知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点需 满足a －14<1<a ，∴1<a <54.10．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________．(填序号) 答案 ③④解析 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示． 由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．11．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≥0)，ax 2＋bx (x <0)，给出下列结论：①f (f (1))＝1；②函数y ＝f (x )有三个零点； ③f (x )的递增区间是[1，＋∞)；④直线x ＝1是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ⑤函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)． 答案 ①②解析 因为f (x )是奇函数， 所以x <0时，f (－x )＝x 2＋2x ， 即f (x )＝－x 2－2x .可求得a ＝－1，b ＝－2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0. ①f (f (1))＝f (－1)＝－f (1)＝1，①正确；②易知f (x )的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x ∈(－∞，－1]时，f (x )也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f (x )无对称轴，④错误；⑤奇函数f (x )图象关于原点对称，故函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②.12．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的序号是________． 答案 ②④解析 由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .[本题考查函数的凸凹性]13．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8. 故正确命题的序号为①②④.14．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1 (x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．。
吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高中数学 1.1.7集合复习小结(2)教案 理 新人教版必修1
集合复习小结（2）课时：007课型：复习课10．数集M 满足条件，若a∈M，则1＋a 1－a∈M(a≠±1且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的集合M 的元素全部求出来．11．已知f(x)＝x 2－ax ＋b(a 、b∈R )，A ＝{x∈R |f(x)－x ＝0}，B ＝{x∈R |f(x)－ax＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.课后检测解析：1．B 化简集合A ＝{0,1}，显然0∈A.2．B ∵x∈N ，且(8－x)∈N ，∴x＝0,1,2,3,4,5,6,7,8，共9个数．3．B ∵z＝x·y，x∈A，y∈B，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B ＝{0,2,4}．∴集合A*B 的所有元素之和为0＋2＋4＝6.4．C 由题意得，a≠0，b≠0，所以a ＋b ＝0，a ＝－b.于是，{1,0，a}＝{0，－1，－a}．显然，a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2.5．D 由3，52，73，94可得，31，52，73，94从中发现规律，关键要分清起始数并限定范围． 6．(1){－1,1} (2){0,3,4,5}(3){x|(x －2)(x －4)(x －6)(x －8)＝0}或{大于1小于9的偶数}等(4){x|x ＝1n，n≤4且n∈N *} 7．0或2 当x ＝1时，x 2＝1，这与集合中元素的互异性相矛盾，故x≠1；当x ＝2时，x 2＝4符合题意；当x ＝x 2时x ＝0或x ＝1(舍去)．综上可知x ＝0或2.8．{－1,3} 当ab<0时，y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1； 当ab>0时，则a>0，b>0或a<0，b<0，若a>0，b>0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝3； 若a<0，b<0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1. 所以y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合元素共有两个元素－1和3，用列举法表示为{－1,3}．9．解：集合A 为单元素集，即方程ax 2＋2x ＋1＝0有唯一解或两个相等的实数解．由于此方程二次项的系数不确定，所以要对a 分类讨论．①a＝0时，x ＝－12； ②a≠0时，Δ＝4－4a ＝0，所以a ＝1，此时x ＝－1.10．解：∵a＝3∈M，∴1＋a 1－a ＝1＋31－3＝－2∈M. ∴1－21＋2＝－13∈M.∴1－131＋13＝12∈M. ∴1＋121－12＝3∈M. 再把3代入将重复上面的运算过程，由集合中元素的互异性可知M ＝{3，－2，－13，12}． 11．解：f(x)－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.∵A＝{1，－3}，∴由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(－3)＝a ＋1，1×(－3)＝b.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－3.∴f(x)＝x 2＋3x －3.f(x)－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0.∴B＝{x|x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}．点评：列举法和描述法是表示集合的两种常用方法．用列举法时要注意：元素间用逗号隔开；元素不重复；可不考虑元素间的顺序；若元素的个数较多需要省略时，必须把元素间的规律显示清楚后方可使用省略号．用描述法时要注意：写清元素的一般符号及取值范围；明确集合中元素的特征；不能出现未被说明的字母；准确使用“且”与“或”等．四．高考题小试牛刀1.（15年福建文科）若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1【答案】D考点：集合的运算．2.(15年新课标1文科)3.(15年新课标2理科) 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝【答案】A 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-，故选A4.(15年新课标2文科) 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则AB =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.5.(15陕西文科) 集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A考点：集合间的运算.6.(15年江苏) 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.【答案】5【解析】试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==，，，，，，，，，个元素考点：集合运算7.【2014广东 理科卷】已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =(B)A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}8. 【2014高考北京理】已知集合A={x|},B={0,1,2},则AB=( )A{0}. B ．{0,1}. C ． {0,2}. D ．{0,1,2}.[答案C]【解析】：集合A={x|}={0,2},则AB={0,2},故选C ，考点：交集的运算，容易题。
吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年人教A版数学必修一教案 2.1.2指数与指数幂的运算(2)
课题：指数与指数幂的运算(2)课时：002课 型：新授课教学目标：使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.教学重点：有理数指数幂的运算.教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质：(n n a =？、n n a =？、np mp a ？ 2. 计算下列各式的值：22(b - ；33(5)-243510a 397二、讲授新课：1. 教学分数指数幂概念及运算性质:① 引例：a >0时，1051025255()a a a a === → 312?a =； 32333232)(a a a == → ?a =.① 定义分数指数幂： 规定*(0,,,1)mn m n a a a m n N n =>∈>；*10,,,1)mn mn m n a a m n N n a a -==>∈>③ 练习：A.n m a (0,,1)a m n N n *>∈>253345 B. 求值 2327； 255； 436-； 52a -.④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈r a ·s r r a a +=； rs s r a a =)(； s r r a a ab =)(．2. 教学例题：（1）、（P 51，例2）解：① 2223323338(2)224⨯====② 1112()21222125(5)555--⨯--==== ③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-=== ④334()344162227()()()81338-⨯--=== （2）、（P 51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）解：117333222a a a aa +=⋅==228222333a a a aa +⋅==421332()a a ==== 3、无理指数幂的教学.（结合教材P 58利用逼近的思想理解无理指数幂意义） 无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？三、巩固练习：1、练习：书P54 1、2、3 题.2、求值:2327; 4316-; 33()5-; 2325()49-3、化简：211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；311684()m n4.计算：122121(2)()248n nn++-⋅的结果5.若13107310333,384,[()]naa a aa-==⋅求的值四. 课堂小结：1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.五、布置作业：书P59 2、4题.六、课后记：。
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题(有答案)
2015---2016学年（高一）年级上学期期中考试（数学）学科试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答.第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）图中阴影部分表示的集合是（A ）U A B （） （B ）UA B （） （C ）()UA B （D ）()UA B（2）与函数()||f x x =表示同一函数的是（A ）()xx x f 2= （B ）()2x x f = （C ）()()2x x f =（D ）()33x x f =（3）一个偶函数定义在]7,7[-上,它在]7,0[上的图象如右图,下列说法正确的是（A ）这个函数仅有一个单调增区间 （B ）这个函数有两个单调减区间 （C ）这个函数在其定义域内有最大值是7 （D ）这个函数在其定义域内有最小值是 -7（4）下列函数中，既是奇函数，又在)0,(-∞上单调递增的是（A ）1-=x y （B ）2x y = （C ）3x y = （D ）2-=x y（5）函数()23log (1)f x x x =-++的定义域为（A ）[)1,3- （B ）()1,3- （C ）(1,3]- （D ）[]1,3- （6）已知集合{}0722=+-∈=x ax R x A ，且A 中只有一个元素，则a 的值为 （A ）0或17-（B ）0或17 （C ）17（D ）17-（7）函数xxy 212+=的值域是 xy -27 7 03.5U AB（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （C ）(]1,0 （D ）()1,0（8）已知1122log log 0m n <<，则（A ）1＜n ＜m （B ）1＜m ＜n （C ）m ＜n ＜1 （D ）n ＜m ＜1 （9）函数2()28f x x x =-+在[,1]a a +具有单调性，则实数a 的取值范围是 （A ）01a ≤≤ （B ）10a -≤≤ （C ）01a a ≤≥或（D ）10a a ≤-≥或（10）若3()f x ax x c =++在[,]a b 上是奇函数，则2a b c +++的值为（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2（11）已知x x g a x f a xlog )(,)(== (1,0≠>a a 且)，若0)2014()2014(<-⋅g f ，则)(x f y =与)(x g y =在同一坐标系内的大致图形是（12）定义域为R 的函数()f x 满足条件：①1212[()()]()0f x f x x x -->1212(,,)x x R x x +∈≠；②()()0f x f x +-= ()x R ∈； ③(3)0f -=.则不等式()0x f x ⋅<的解集是 （A ）{}|303x x x -<<>或 （B ）{}|303x x x <-≤<或 （C ）{}|33x x x <->或 （D ）{}|3003x x x -<<<<或第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） （13）函数2)(1－+=x ax f 的图象恒过定点___________________．（14）函数2()lg(2)f x x x =-+的单调递增区间是 . （15）已知xx f 3)(=，若实数122015,,x x x 满足1220153x x x +++=，则122015()()()f x f x f x 的值= .（16）已知函数()()|lg |010()16102x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若a b c <<，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）（17）（本小题满分10分）已知集合{}0652≤--=x x x A ，{}03<-=a x x B ，（Ⅰ）当31=a 时，求A B ； （Ⅱ）若B B A = ，求实数a 的取值范围．（18）（本小题满分12分） （Ⅰ）113240.0640.015-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （Ⅱ）12lg 23lg5lg 5++（19）（本小题满分12分）已知函数()1f x x x =-.（Ⅰ）在给定的直角坐标系内画出()f x 的图象，并写出函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数)(x f y =与y a =公共点的个数．（20）（本小题满分12分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[]1,0上的最大值是2,求实数a 的值．（21）（本小题满分12分）已知函数()(0)y f x x =≠，对于任意的,,0x y R x y ∈≠且都满足()()()f xy f x f y =+. （Ⅰ）求(1)(1)f f -和的值，并证明：()y f x =为偶函数；（Ⅱ）若()y f x =在(0,)+∞上是增函数，解不等式1()(5)06f x f x +-≤.（22）（本小题满分12分）已知ax e x f x-+=)1ln()(是偶函数，xxbe e x g -+=)(是奇函数．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）判断)(x g 的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式)())((x m g x f g ->在[)+∞,1上恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学期中考试答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个正确选项）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．()1,1-- 14．(0,1)(或(0,1]也可) 15．27 16．(10,12)三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）当31=a 时，{}61≤≤-=x x A ，------------------------------------（2分） {}1<=x x B -----------------------------------------------------------------（4分） {}11A B x x =-≤<--------------------------------------------------------（6分）（Ⅱ）B B A = ，则B A ⊂--------------------------------------------------（8分） 则63>a ，∴2>a ---------------------------------------------------------------------------------------（10分）18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）113240.0640.015-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭12lg 23lg5lg5++1132321=[(0.4)]1[(0.1)](0.4)10.15112108=5---+=-+=-+1=lg4+lg125+lg 51lg 41255lg1002=⨯⨯==19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）图略----------------------------------------------------------------（2分）221,()|1|1,x x x f x x x x x x ≥⎧-=-=⎨<-+⎩，则函数的单调递增区间是1(,),(1,)2-∞+∞，单调递减区间是1(,1)2；-------------------------------------------------------（6分） （Ⅱ）当104a a <>或时，函数)(x f y =与x 轴有一个公共点；当104a a ==或时，函数)(x f y =与x 轴有两个公共点； 当104a <<时，函数)(x f y =与x 轴有三个公共点. ----------------------（12分）20．（本小题满分12分）解: a ax x x f -++-=12)(2的对称轴a x =, --------------------------------------------（1分）则⎩⎨⎧=-=<21)0(0a f a 解得1-=a --------------------------------------------（4分）或⎩⎨⎧=+-=≤≤21)(102a a a f a 解得φ∈a -------------------------------------------------------（7分） 或⎩⎨⎧==>2)1(1a f a 解得 2=a --------------------------------------------（10分）综上所述适合条件的a 值为21=-=a a 或.---------------------------------------------------（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵对于任意的,,0x y R x y ∈≠且满足()()()f xy f x f y =+ ∴令1x y ==，得到：(1)(1)(1)(1)0f f f f =+∴=∴令1x y ==-，得到(1)(1)(1)(1)0f f f f -=-+-∴-=-------------------（2分）证明：由题可知，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=+--------------------------------------------（4分） ∵(1)0f -=∴()()f x f x -=对于任意{|0}x x x ∈≠均成立 ∴()y f x =为偶函数. -----（6分） （Ⅱ）∵()()()f xy f x f y =+∴不等式1()(5)06f x f x +-≤可化为1[(5)](1)6f x x f -≤-------------------------------------------------------------------------------（8分） 由（Ⅱ）函数()f x 是定义在非零实数集上的偶函数且为增函数．∴11(5)16x x -≤-≤. 即6(5)6x x -≤-≤----------------------------------------------------------------------------------------（10分） 且0,50x x ≠-≠------------------------------------------------------------------------------------------（11分） 故不等式的解集为[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6] ---------------------------------------（12分）22(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意有：0)1ln()1ln()()(=-+--+=---ax e ax e x f x f xx可得21=a ----------------------------------------------------------------------------------------------（2分）再由0)()(=+++=-+--x x xx be e be e x g x g 可得：1-=b ----------------------------（4分）（Ⅱ）xxee x g --=)(在()+∞∞-,上为增函数．--------------------------------------------（6分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x m x f x m g x f g ->⇔->)()())(( 即x e m x21)1ln(++<在[)+∞,1恒成立-----------------------------------------------------------（8分） x e x h x 21)1ln()(++= 为增函数， 21)1ln()1()(min ++==∴e h x h即21)1ln(++<e m ----------------------------------------------------------------------------------（12分）。
2015-2016年吉林省东北师大附中净月校区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若x=2，则x＞1”的逆否命题是（）A．若x＞1，则x=2B．若x=2，则x≤1C．若x≠2，则x≤1D．若x≤1，则x≠22．（5分）一批产品中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则应抽取一级品的个数为（）A．2B．4C．6D．103．（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．1204．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出s的值是（）A．3B．15C．75D．1055．（5分）已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的线性回归方程是，则“x0=，且y0=”是“（x0，y0）满足方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线方程=1，则它的焦点到渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，则直线AD与平面ABC所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）五名学生站成一排，则甲乙相邻的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6B．12C．24D．3610．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|3x+4y≤12，x≥0，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则下列结论中不正确的是（）A．BD⊥A1C1B．AC1∥平面BDEC．平面BDE∥平面AB1D1D．平面A1BD⊥平面BDE12．（5分）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（﹣2c，0），B（2c，0），如果椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，则离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则a1+a2+a3+…+a2015=．14．（5分）若椭圆=1与双曲线x2﹣=1的离心率互为倒数，则椭圆方程为．15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则棱CC1的长为．16．（5分）下列说法正确的是．①概率为1的事件是必然事件；②二项式展开式中二项式系数最大的项是第7项；③将5个完全相同的小球放入三个不同的盒中，且每个盒子不空，共有6种不同的放法；④设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，都有x2﹣2x+3≥m成立；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若命题“p∧q”与命题“¬q”均为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．（Ⅰ）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（Ⅱ）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（Ⅲ）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（3，m）到焦点的距离等于5．（Ⅰ）求抛物线C的方程和m的值；（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=4，求直线的方程．20．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）求三棱锥P﹣ABC的体积；（Ⅱ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．22．（12分）已知椭圆C：=1经过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆交于A、B两点，当∠APB 的平分线为PF时，求直线AB的斜率k．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若x=2，则x＞1”的逆否命题是（）A．若x＞1，则x=2B．若x=2，则x≤1C．若x≠2，则x≤1D．若x≤1，则x≠2【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可．【解答】解：同时否定条件和结论，并交换条件和结论，得到命题的逆否命题为：若x≤1，则x≠2，故选：D．2．（5分）一批产品中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则应抽取一级品的个数为（）A．2B．4C．6D．10【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵一级品24个，二级品36个，三级品60个，∴应抽取一级品的个数24×=4，故选：B．3．（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．【解答】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．故选：C．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出s的值是（）A．3B．15C．75D．105【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1×1；当i=2时，S=1×3=3；当i=3时，S=3×5=15；当i=4时，退出循环，输出S=15；故选：B．5．（5分）已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的线性回归方程是，则“x0=，且y0=”是“（x0，y0）满足方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，即可得到结论．【解答】解：根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，可得“x0=，且y0=”是“（x0，y0）满足方程”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线方程=1，则它的焦点到渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．渐近线方程为y=±x，即±2y﹣x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==．故选：A．7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，则直线AD与平面ABC所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】求出平面ABC的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成的角的大小．【解答】解：∵在空间直角坐标系Oxyz中，，∴=（﹣1，1，），=（0，2，0），=（﹣2，2，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，∴=（0，0，1）设直线AD与平面ABC所成的角为θ，sinθ===，∴θ=45°，∴直线AD与平面ABC所成的角为45°．故选：C．8．（5分）五名学生站成一排，则甲乙相邻的概率为（）A．B．C．D．【分析】五名学生站成一排，先求出基本事件总数，再求出甲乙相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲乙相邻的概率．【解答】解：五名学生站成一排，基本事件总数n==120，甲乙相邻包含的基本事件个数m==48，∴甲乙相邻的概率为p===．故选：C．9．（5分）某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6B．12C．24D．36【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑编程人员和一个英语翻译人员；②甲部门要1个电脑编程人员和一个英语翻译人员，分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种，故选：B．10．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|3x+4y≤12，x≥0，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为（）A．B．C．D．【分析】画出Ω与A表示的平面区域，求出对应面积的比即可．【解答】解：画出Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}和A={（x，y）|3x+4y≤12，x≥0，y≥0}表示的平面区域，如图所示；则区域Ω表示的平面区域面积是×62=18，区域A（阴影）的面积为×3×4=6，所求的概率为P==．故选：B．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则下列结论中不正确的是（）A．BD⊥A1C1B．AC1∥平面BDEC．平面BDE∥平面AB1D1D．平面A1BD⊥平面BDE【分析】在A中：由BD⊥AC，得BD⊥A1C1；在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥AC1，从而AC1∥平面BDE；在C中，平面BDE与平面AB1D1相交；在D中，∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，由勾股定理得∠A1OE=90°，从而平面A1BD⊥平面BDE．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，知：在A中：∵BD⊥AC，AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，故A正确；在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E为CC1中点，∴OE∥AC1，∵AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AC1∥平面BDE，故B正确；在C中：∵AB1∥BC1，BC1∩BE=B，AD1∥DC1，DC1∩DE=D，AB1、AD1⊂平面AB1D1，BC1、DC1⊂平面BDE，∴平面BDE与平面AB1D1相交，故C错误；在D中：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，连结A 1D、A1B、A1O、A1E，则，OA1==，=，OE==，A1E==3，∴∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，∵=6+3=9=，∴∠A1OE=90°，∴平面A1BD⊥平面BDE，故D正确．故选：C．12．（5分）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（﹣2c，0），B（2c，0），如果椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，则离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设P（acosα，bsinα），则=a2cos2α﹣4c2+b2sin2α=0，从而e2=，0＜θ＜2π，由此能求出离心率的取值范围．【解答】解：∵椭圆方程为=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（﹣2c，0），B（2c，0），椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，∴设P（acosα，bsinα），则=（acosα+2c，bsinα），=（acosα﹣2c，bsinα），∵AP⊥BP，∴=a2cos2α﹣4c2+b2sin2α=0，∴e2====，0＜θ＜2π，∴当θ→0时，e=；当时，e=，∴离心率的取值范围为[，）．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则a1+a2+a3+…+a2015= 2．【分析】由（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，令x=1，可求出a0+a1+a2+…+a2015的值；令x=0，得a0=（0﹣1）2015=﹣1，即可得出结论．【解答】解：∵（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），∴令x=1，得a0+a1+a2+…+a2015=（2﹣1）2015=1；令x=0，得a0=（0﹣1）2015=﹣1，∴a1+a2+a3+…+a2015=2．故答案为：2．14．（5分）若椭圆=1与双曲线x2﹣=1的离心率互为倒数，则椭圆方程为．【分析】求出双曲线的离心率，然后求解椭圆的离心率，求出m，即可求出椭圆的方程．【解答】解：双曲线x2﹣=1，可得a=1，c=5，双曲线的离心率：5，椭圆=1与双曲线x2﹣=1的离心率互为倒数，椭圆的离心率为：，可得：，解得m2=1，所求的椭圆方程为：．故答案为：；15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则棱CC1的长为3．【分析】作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解即可．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，过C作CO⊥AB，连结OC1，则∠COC1=60°，CO=，可得tan60°==则棱CC1的长为：3．故答案为：3．16．（5分）下列说法正确的是②③④．①概率为1的事件是必然事件；②二项式展开式中二项式系数最大的项是第7项；③将5个完全相同的小球放入三个不同的盒中，且每个盒子不空，共有6种不同的放法；④设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：必然事件的概率为1，概率为1的事件未必为必然事件，即①不正确；②二项式展开式共13项，二项式系数最大的项是第7项，正确；③将5个完全相同的小球放入三个不同的盒中，且每个盒子不空，分为1，1，3或1，2，2；1，1，3时，3种方法，1，2，2时，有3种方法，共有6种不同的放法，正确；④设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是6，正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，都有x2﹣2x+3≥m成立；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若命题“p∧q”与命题“¬q”均为假命题，求实数m的取值范围．【分析】利用符号命题，判断命题的真假，列出不等式求出m的范围，推出结果即可．【解答】解：因为“p∧q”与“¬q”均为假命题，所以p假，q真．p：∀x∈R，使得x2﹣2x+3≥m成立，所以m≤2；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，所以△＜0，所以1＜m＜3．综上2＜m＜3．18．（12分）学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．（Ⅰ）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（Ⅱ）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（Ⅲ）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，结合频率，直接求A，B，C的值；（Ⅱ）求出众数，中位数，画出频率分布直方图即可．（Ⅲ）利用古典概型概率的求法，求解概率即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）众数为最高的小矩形区间中点65，中位数为；（Ⅲ）设Ω={从分数在[80，100]的10名同学中随机抽取两名同学}，．A={两名学生分数均不低于9（0分）}，n（A）=1，根据古典概型计算公式，．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（3，m）到焦点的距离等于5．（Ⅰ）求抛物线C的方程和m的值；（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=4，求直线的方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出抛物线C的方程，然后求出m值；（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式|AB|=4，求直线的方程．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据抛物线定义，M到准线距离为5，因为M（3，m），所以，抛物线C的方程为y2=8x，．（Ⅱ）因为直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），，所以y2﹣8y+8b=0，，所以，直线为．20．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）求三棱锥P﹣ABC的体积；（Ⅱ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE．【分析】（Ⅰ）连接PO，证明PO⊥平面ABC，求出PO，求出底面面积，即可求解三棱锥P﹣ABC的体积；（Ⅱ）设G是OC的中点，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面BOE的法向量，求出，通过数量积为0，证明直线与平面平行．【解答】解：连接PO∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC∵平面PAC⊥平面ABC交线为AC，∴PO⊥平面ABC∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴BO⊥AC∵AC=16，∴∵PA=PC=10∴PO=6∴==128（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知PO⊥平面ABC，BO⊥AC以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），A（0，﹣8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，﹣4，3），F（4，0，3），由题意得，G（0，4，0），因=（8，0，0），=（0，﹣4，3），因此平面BOE的法向量为：=（0，3，4），=（﹣4，4，﹣3）得，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1．求出相关点的坐标，利用数量积为0，证明BC⊥DE．PC⊥DE，即可证明DE⊥平面PBC．（Ⅱ）求出平面EFD的一个法向量，平面DEB的法向量，设求二面角F﹣DE﹣B 的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）∵侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，∴如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1．依题意得．B（1，1，0），C（0，1，0），故，所以BC⊥DE．PC⊥DE∵PC∩BC=C∴DE⊥平面PBC（Ⅱ），又，故，所以PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．所以平面EFD的一个法向量为.，不妨设平面DEB的法向量为则不妨取x=1则y=﹣1，z=1，即…（10分）设求二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ，…（11分）因为θ∈[0，π]，所以．二面角F﹣DE﹣B的正弦值大小为．22．（12分）已知椭圆C：=1经过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆交于A、B两点，当∠APB 的平分线为PF时，求直线AB的斜率k．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C：=1经过点P（1，），求出a，可得求椭圆C的方程及其离心率；（Ⅱ）记PA、PB的斜率分别为k1、k2．所以，PA、PB的斜率满足k1+k2=0，设直线AB方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理进行计算，即可求直线AB的斜率k．【解答】解：（Ⅰ）把点代入，可得a2=2．故椭圆的方程为，所以c=1，椭圆的离心率为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（1，0）．当∠APB的平分线为PF时，由和F（1，0）知：PF⊥x轴．记PA、PB的斜率分别为k1、k2．所以，PA、PB的斜率满足k1+k2=0…（6分）设直线AB方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程并整理可得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设A（x 1，y1），B（x2，y2），则又，则，．…（8分）所以k1+k2===…（11分）即．所以．…（13分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
吉林省东北师大附中净月校区2015-2016学年高一下学期
2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B 的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°2．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．43．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|4．已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（）A．16 B．8 C．2 D．45．下列说法中，正确的是（）A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．垂直于同一平面的两条直线互相平行C．垂直于同一平面的两个平面互相平行D．平行于同一平面的两条直线互相平行6．一条光线从点P（5，3）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x+y+2=07．已知等差数列{a n}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（）A．100 B．120 C．390 D．5408．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则这船与灯塔的距离是（）A．15海里B．30海里C．15海里D．15海里9．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角为（）A．90°B．45°C．60°D．30°10．周长为20的矩形绕其一边所在直线旋转形成一个封闭几何体，则该几何体的侧面积的最大值是（）A．25πB．50πC．100π D．200π11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．412．定义为n个正数p1，p2…，p n的“均倒数”．若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则++…+=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m3．14．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），点B为点（1，﹣3，1）在平面yOz上的投影，则|AB|=．15．在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=．16．在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+12=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1 （I）求数列{a n}，{b n}通项公式；（II）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．18．如图所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），点C在x轴上．（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；（Ⅱ）求过点（﹣4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1，D为AB的中点，且CD⊥DA1（I）求证：BC1∥平面DCA1（II）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1（III）求BC1与平面ABB1A1所成角的大小．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：（a+c）（sinA﹣sinC）=sinB （a﹣b）（I）求角C的大小；（II）若c=2，求a+b的取值范围．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD．（I）证明：BE⊥SC（II）（文）若SE=1，求点E到平面SBC的距离．（理）若SE=1，求二面角B﹣SC﹣D平面角的余弦值．22．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B 的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理求得sinB=，再由大边对大角求得B的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得sinB=．∵b＜a，∴B＜A=45°，∴B=30°，故选A．2．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．3．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【考点】不等关系与不等式．【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C．4．已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（）A．16 B．8 C．2 D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵b9是1和3的等差中项，∴2b9=1+3，∴b9=2．由等比数列{b n}的性质可得：b2b16==4，故选：D．5．下列说法中，正确的是（）A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．垂直于同一平面的两条直线互相平行C．垂直于同一平面的两个平面互相平行D．平行于同一平面的两条直线互相平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在A中：垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故A错误；在B中：由线面垂直的性质定理得垂直于同一平面的两条直线互相平行，故B正确；在C中：垂直于同一平面的两个平面相交或平行，故C错误；在D中：平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面．故选：B．6．一条光线从点P（5，3）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x+y+2=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点Q（2，0），点P′（5，﹣3），再用用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程．【解答】解：由题意可得反射光线所在直线经过点Q（2，0），设点P（5，3）关于x轴的对称点为P′（5，﹣3），则根据反射定律，点P′（5，﹣3）在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线的方程为=，即x+y﹣2=0，故选：A．7．已知等差数列{a n}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（）A．100 B．120 C．390 D．540【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质得：S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等差数列，由此能求出前20项和．【解答】解：∵等差数列{a n}的前10项和为30，它的前30项和为210，由等差数列的性质得：S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等差数列，∴2（S20﹣30）=30+，解得前20项和S20=100．故选：A．8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则这船与灯塔的距离是（）A．15海里B．30海里C．15海里D．15海里【考点】解三角形的实际应用．【分析】设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，根据题意可求得∠BAC 和∠BAC，进而利用正弦定理求得AC．【解答】解：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，如图∠DBC=60°，∠ABD=30°，BC=45∴∠ABC=30°∠BAC=120°由正弦定理可知=∴AC=×=15（海里）故船与灯塔的距离是15．故选C．9．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角为（）A．90°B．45°C．60°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得GF∥AB，GE∥CD，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案．【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．∴GF∥AB，且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直角△GEF中，sin∠GEF=∴∠GEF=30°．故选D．10．周长为20的矩形绕其一边所在直线旋转形成一个封闭几何体，则该几何体的侧面积的最大值是（）A．25πB．50πC．100π D．200π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据题意，设出矩形的长、宽，求出圆柱的侧面积，再利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：设矩形的长、宽分别是x，y，则x+y=10，=2πxy≤2π（）2=2π×25=50π．所以圆柱的侧面积S侧当且仅当x=y=5时，取“=”号．∴当矩形的长、宽都是5时，旋转所形成的圆柱侧面积最大值是50π．故选：B，11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．12．定义为n个正数p1，p2…，p n的“均倒数”．若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则++…+=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由=，可得a1+a2+…+a n=3n2+n，利用递推关系可得a n，再利“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵=，∴a1+a2+…+a n=3n2+n，=3（n﹣1）2+（n﹣1），∴a n=6n﹣2．（n=1时也成立）．∴a1=4；n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1∴a n=6n﹣2．∴b n==n，∴==．则++…+=+…+=1﹣=．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：414．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），点B为点（1，﹣3，1）在平面yOz上的投影，则|AB|=．【考点】空间中的点的坐标．【分析】根据题意，求出点B的坐标，计算|AB|地址即可．【解答】解：∵点B为点（1，﹣3，1）在平面yOz上的投影，∴B（0，﹣3，1），又点A（1，0，2），∴|AB|==．故答案为：．15．在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=．【考点】正弦定理．【分析】用余弦定理求出边AC的值，再用面积公式求面积即可．【解答】解：据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cosA即49=25+|AC|2﹣2×5×|AC|×（﹣），即AC|2+5×|AC|﹣24=0解得|AC|=3故△ABC的面积S=×5×3×sin120°=故应填16．在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+12=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是[0，]．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，由题意可得以C为圆心，2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集，即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x﹣4）2+y2=4，∴圆心C（4，0），半径r=2，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C：（x﹣4）2+y2=4与y=kx﹣2有公共点，∵圆心（4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=≤2，求得0≤k≤，故答案为：[0，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1 （I）求数列{a n}，{b n}通项公式；（II）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a2=2，a5+a9=14，∴a1+d=2，2a1+12d=14，解得a1=d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n．∴b1=a2=2，b4=a15+1=16=2×q3，∴q=2．∴b n=2n．（2）c n=a n•b n=n•2n．∴数列{c n}的前n项和T n=2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2．∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．18．如图所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），点C在x轴上．（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；（Ⅱ）求过点（﹣4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．【考点】圆的切线方程．【分析】（Ⅰ）设点C（a，0），由BA⊥BC，K BA•K BC=﹣1，求得a的值，可得所求的圆的圆心、半径，可得要求圆的方程．（Ⅱ）设要求直线的方程为y=k（x+4），根据圆心到直线的距离等于半径，即d==3，求得k的值，可得要求的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点C（a，0），由BA⊥BC，可得K BA•K BC=•=﹣1，∴a=4，故所求的圆的圆心为AC的中点（1，0）、半径为AC=3，故要求Rt△ABC外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9．（Ⅱ）由题意可得，要求的直线的斜率一定存在，设要求直线的方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故有d==3，求得k=±，故要求的直线的方程为3x﹣4y+12=0，或3x+4y+12=0．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1，D为AB的中点，且CD⊥DA1（I）求证：BC1∥平面DCA1（II）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1（III）求BC1与平面ABB1A1所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接AC1与A1C交于点K，连接DK．根据三角形中位线定理，易得到DK∥BC1，再由线面平行的判定定理得到BC1∥平面DCA1；（II）由已知条件推导出CD⊥AB，CD⊥DA1，由此能证明平面ABC⊥平面ABB1A1（III）由AC=BC，D为AB的中点，取A1B1的中点E，又D为AB的中点，得到DCC1E是平行四边形，则∠EBC1即为BC1与平面ABB1A1所成角的二面角，解三角形即可求出答案．【解答】解：（I）证明：如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1，又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1．（II）证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂平面ABC，∴平面A1B1B⊥平面ABC．（III）取A1B1的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB1、CC1平行且相等，∴DCC1E是平行四边形，∴C1E、CD平行且相等．又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角，由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．设AC=BC=BB1=2，∴，，∠EBC1=30°．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：（a+c）（sinA﹣sinC）=sinB （a﹣b）（I）求角C的大小；（II）若c=2，求a+b的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦正理化简已知等式可得：a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可得求得cosA=，结合A的范围，即可求得A的值．（II）由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入a+b 利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+b的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（I）在△ABC中，∵（a+c）（sinA﹣sinC）=sinB（a﹣b），∴由正弦定理可得：（a+c）（a﹣c）=b（a﹣b），即a2+b2﹣c2=ab，…∴cosC=，∴由C为三角形内角，C=．…（II）由（I）可知2R=，…∴a+b=（sinA+sinB）= [sinA+sin（A+）]=（sinA+cosA）=4sin（A+）．…∵0，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴2＜4sin（A+）≤4∴a+b的取值范围为（2，4]．…21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD．（I）证明：BE⊥SC（II）（文）若SE=1，求点E到平面SBC的距离．（理）若SE=1，求二面角B﹣SC﹣D平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）推导出SE⊥BE，BE⊥CE．从而BE⊥平面SEC，由此能证明BE⊥SC．（Ⅱ）（文）过点E作EF⊥BC于点F，连接SF．推导出BC⊥SE，从而平面SEF⊥平面SBC．过点E作EG⊥SF于点G，则线段EG的长即为三棱锥E﹣SBC的高，由此能求出点E到平面SBC的距离．（理）以E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣SC﹣D平面角的余弦．【解答】（本小题满分12分）．证明：（Ⅰ）∵平面SAD⊥平面ABCD且平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD．∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE．∵AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，AE=ED=，∴∠AEB=30°，∠CED=60°．∴∠BEC=90°，即BE⊥CE．又SE∩CE=E，∴BE⊥平面SEC，∵SC⊂平面SEC，∴BE⊥SC．解：（Ⅱ）（文）如图，过点E作EF⊥BC于点F，连接SF．由（1）知SE⊥平面ABCD，而BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SE，又SE∩EF=E，∴BC⊥平面SEF，∵BC⊂平面SBC，∴平面SEF⊥平面SBC．过点E作EG⊥SF于点G，则EG⊥平面SBC，即线段EG的长即为三棱锥E﹣SBC的高．由（1）易知，BE=2，CE=2，则BC=4，EF=．在Rt△SEF中，SE=1，SF==2，则EG==，∴点E到平面SBC的距离为．（理）以E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则S（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣，，0），=（2，0，﹣1_，=（0，2，﹣1），=（﹣，0），设平面SBC的法向量=（x，y，z），则，令z=6，则x=3，y=，=（3，，6），设平面SDC的法向量=（a，b，c），，令y=1，则x=﹣，z=2，=（﹣，1，2），设二面角B﹣SC﹣D平面角为θ，∴cosθ===，∴二面角B﹣SC﹣D平面角的余弦值为．22．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a n；（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n≥2时，a n+1=2S n+1，a n=2S n+1，﹣1）=2a n，两式相减得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1即a n+1=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，满足a n+1=3a n，∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．2016年8月25日。
吉林省东北师范大学附属中学2016届高三数学第一轮复习指数与指数函数教案文
指数与指数函数一、知识梳理：1、分数指数幂与无理指数幂（1）、如果，那么x就叫做a的n次方根，其中n>1,且；当n是正奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个是互为相反数，负数没有偶次方程，0的任何次方根都是0(2)、叫根式，n叫根指数，a叫被方数。
在有意义的前提下，=，当n为奇数时，=a ；当n是偶数时，=| a |（3）、规定正数的正分数指数幂的意义是= （a>0,m,n1），正数的负分数指数幂的意义为= （a>0,m,n1），0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。
（4）、一般地，无理数指数幂（a>0,k是无理数），是一个确定的实数。
2、指数幂的运算性质= （a>0，r，s）==3、指数数函数及性质（1）指数函数的定义：（2）、指数函数的图象及性质图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。
指数函数不具有奇偶性与周期性，从而，指数函数最为重要的性质是单调性，对单调性的考查，一方面是利用自变量的大小比较函数值的大小，反映在题目上就上比较大小，另一方面是利用函数值的大小比较自变量的大小，反映在题目上就是解不等式。
二、题型探究[探究一]、根式、指数幂的运算例1:计算：(1).40.062 5＋254－(π)0－3278；(2).a1.5·a－1.5·(a－5)0.5·(a0.5)3(a＞0)．解析：(1)原式＝0.5＋52－1－32＝12.(2)原式＝a1.5－1.5－2.5＋1.5＝a－1＝1 a .[探究二]、利用指数函数的单调性比较大小 例2：已知,试用“<”或“>”填入下列空格： ; ( ; ( ; ; ( ([探究三]、利用指数函数的单调性解方程不等式问题 例3：解关于x 的不等式[探究四]、考察指数函数的图象的变换例4：已知函数 存在实数a, b(a<b) ,满足, 的取值范围。
吉林省吉林大学附属中学2015-2016学年高二4月月考数学(理)试题
2015—2016学年下学期高二年级月考数学（理）学科试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)1i z +=-，则复数z =（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-解析：221(1)12122i i i iz i i --+-====-+.故选B. （2）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（A ）4- （B ）14- （C ）4 （D ）14解析：由双曲线定义知：14m =-，故选B.（3）已知命题:p x ∃∈R ，使得220x x -+<；命题[]:12q x ∀∈，，使得21x ≥．以下命题为真命题的是 （A ）p q ⌝∧⌝ （B ）p q ∨⌝ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ∧ 解析：可判断p 假，q 真，故选C.（4）直线1:m l y x n n =-的图像经过第一、二、四象限的一个必要而不充分条件是（A ）0mn > （B ）0mn < （C ）0m <且0n >（D ）0m >且0n <解析：（B ）（5）若样本数据1210x x x ，，，的标准差为8，则数据1210212121x x x ---，，，的标准差为 （A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 解析：（C ）（6）若A B C ，，不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC =++，则P A B C ，，，四点 （A ）不共面 （B ）共面 （C ）不共线 （D ）共线解析：由已知可得111488OP OA OA OB OC -=-++，11118888OP OA OA OB OC OA -=-++-，可得11111()()()88888AP OA OB OC OA BA AC AC AB =--+-=-+=+,所以AP ，AC ，AB 共面但不共线，故P A B C ，，，四点共面． （7）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）7解析：（C ）131i n s ===，，，i n ≤，1(11)12s i =+-==，，第一次循环结束； 1(21)23i n s i =+-==≤，，，第二次循环结束；i n ≤，2(31)44s i =+-==，，第三次循 环结束；i n >，结束循环，输出4s =.（8）已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a =（A ）180- （B ）180 （C ）45 （D ）48- 解析：（B ）（9）有七名同学站成一排照毕业照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两名同学要站在一起，则不同的站法有（A ）192种 （B ）120种 （C ）96种 （D ）48种 解析：（A ） （10）已知12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M N ，，若直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（A1 （B）2 （C（D解析：（A ）因为直线MF 1是圆F 2的切线，所以∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c.因为|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝ c.由椭圆定义可得.（11）在区间[01]，上随机取两个数x y ，，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p <<（D ）321p p p <<解析：B.因为[01]x y ∈，，，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分1S ， 对事件“1||2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=， 根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3）（12）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0)+∞，上是增函数，若1)]f1)]2()f f t +≥，则实数t 的取值范围是 （A）(1)]-∞，（B）1))+∞， （C）1)1)]，（D）(1)]-∞，1))+∞，解析：（C ）因为()f x是偶函数，所以1)][1)]1)]f f f =-=.于是，原不等式可化为1)](||)f f t ≥，由函数()f x 在[0)+∞，上是增函数得1)||t ≥，所以t的取值范围1)1)]，.第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知0a >且曲线y x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________．解析：49.（14）设曲线x y e =在点(01)，处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．（15）将标号分别为12345，，，，的5个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有1个球，则一共有 种放法.解析：1233545322()150C C C A A +=. （16）平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(00)x y C a b a b -=>>，的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点O A B ，，.若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的渐近线方程为 ________．解析：y =.联立渐近线与抛物线方程得22222222()()pb pb pb pb A B a a a a-，，，，抛物线焦点为(0)2p F ，，由三角形垂心的性质，得BF OA ⊥，即1BF OA k k ⋅=-，又222224BF OA p pb a b b a k k pb b a a a-==-=，，所以225()144a b b b b a a a -=-⇒=.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本题满分10分）已知n的展开式中的二项式系数之和为256. （Ⅰ）证明：展开式中没有常数项； （Ⅱ）求展开式中所有有理项. 解析：（Ⅰ）依题意得：2256n = 8n ∴= ……………………………2分()384841812r rrr rrr rCT C x--+⎛==-⋅⎝令3404r-=得163r=*∉N∴展开式中没有常数项. ………………………………5分（Ⅱ）当048r=，，时，1rT+为有理项.∴展开式中所有有理项为：423518256x xx，，.………………………………10分（18）（本题满分12分）已知关于x的一元二次函数2()41f x ax bx=-+.（Ⅰ）设集合={123}P，，和{11234}Q=-，，，，，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数()y f x=在[1)+∞，上是增函数得概率；（Ⅱ）设点()a b，是区域80x yxy+-⎧⎪>⎨⎪>⎩≤内的随机点，求函数()y f x=在区间[1)+∞，上是增函数的概率. 解析：（Ⅰ）因为函数2()41f x ax bx=-+的图象的对称轴为2bxa=，要使2()41f x ax bx=-+在区间[1)+∞，上为增函数，当且仅当201baa>，≤，即2b a≤，若1a=则1b=-；若2a=，则11b=-，；若3a=则11b=-，；所以事件包含基本事件的个数是1225++=，所以所求事件的概率为51153=.………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当201baa>，≤，即2b a≤，函数2()41[1)f x ax bx=-++∞在区是间，上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80()|0a ba b ab⎧+-⎫⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭≤，，………………………………8分构成所求事件的区域为三角形部分.由80168()332a bab+-=⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标为，，所以所求事件的概率为18812313882P⨯⨯==⨯⨯. ……………………………12分（19）（本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C-中，1A AC B--是直二面角，112AA AC AC===，AB BC=，且90ABC∠=︒，O为AC的中点．（Ⅰ）若E是1BC的中点，求证：OE∥平面1A AB；（Ⅱ）求二面角11A AB C--的余弦值．B 1C 1EOCBA 1A解析：（Ⅰ）证明：连接1B C 和1AB ，则E 也是1B C 的中点.∵O 为AC 的中点，∴1//OE AB ，又OE ⊄平面1A AB ，1AB ⊂平面1A AB ，∴//OE 平面1A AB . （Ⅱ）连接1A O 和OB .∵112AA AC AC ===，∴1OA AC ⊥. ∵1A AC B --是直二面角，∴1AO ⊥平面ABC . ∵AB BC =，O 为AC 的中点，∴OB AC ⊥, ∴1OA OB OC ，，两两垂直，如图以O 为坐标原点，以1OB OC OA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系. ………………7分则11(010)(003)(100)(023)A A B C -，，，，，，，，，，，， ∴1111(013)(103)(020)AA A B AC ==-=，，，，，，，，. 设平面1AA B 的一个法向量为()u x y z =，，，由11AA u A B u ⊥⊥，，得 0y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1z =，得x y =(31)u =，. 同理，平面11A BC 的一个法向量为(301)v =，，. ………………10分 ∴cos ||||7u v u v u v ⋅<>===⨯，， ………………11分结合图形可知，二面角11A A B C --的平面角是钝角， ∴二面角11A A B C --的余弦值为. ………………12分 （20） （本题满分12分）右边茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，现分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学. （Ⅰ）求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；（Ⅱ）每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．解析：（Ⅰ）分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为17，18，19，20，21.P (Y ＝17)＝216＝18，P (Y ＝18)＝416＝14，P (Y ＝19)＝416＝14，P (Y ＝20)＝416＝14，P (Y ＝21)＝216＝18……………………………6分11随机变量Y 的分布列：……………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知E (Y )＝178＋184＋194＋204＋218＝19（棵）， …………………………10分设这两名同学获得钱数为X 元，则E (X )＝10E (Y )＝190（元）.……………………………12分（21）（本题满分12分）已知椭圆C的两个焦点是(0，和(0，并且经过点1)，抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F .（Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线12l l 、，1l 交抛物线E 于点A 、2B l ，交抛物线E 于点G 、H ，求AG HB ⋅的最小值.解析：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c，则由题意得24c a =，所以椭圆方程为2214y x +=，抛物线方程为24y x =.…………………………………4分（Ⅱ）设1l 的方程为：2(1)y k x l =-，的方程为：1(1)y x k =--，设1122()()A x y B x y ，，，，3344()()G x y H x y ，，，.由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=， 所以424121224=416164021k k k x x x x k∆++->+=+=，，，同理23434421x x k x x +=+=，. …………………………………6分所以()()AG HB AF FG HF FB AF HF AF FB FG HF FG FB ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅1234|||||||||1||1||1||1|AF FB FG HF x x x x =⋅+⋅=+⋅+++⋅+…………………………………8分21212343424=(1)(1)84x x x x x x x x k k+++++++=++， …………………………………10分816+≥当且仅当2244k k=，即1k =±时，AG HB ⋅的最小值为16. …………………………………12分（22）（本题满分12分）已知函数32()ln(1)f x ax x x ax =++--.（Ⅰ）若23x =为()f x 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若()y f x =在[1)+∞，上为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a =-，方程3(1)(1)bf x x x---=有实根，求实数b 的取值范围. 解析：（Ⅰ）222[3(32)(2)]()3211a x ax a x a f x x x a ax ax +--+'=+--=++，因为23x =为()f x 的极值点，所以2()03f '=， …………………………………3分所以22223()(32)(2)033a a a +--+=，且2103a +≠，所以0a =.又当0a =时，()(32)f x x x '=-，从而23x =为()f x 的极值点成立，所以0a =. …………………………………4分（Ⅱ）因为()y f x =在[1)+∞，上为增函数，所以22[3(32)(2)]01x ax a x a ax +--++≥在[1)+∞，上恒成立. 若0a =，则()(32)0f x x x '=->在[1)+∞，上恒成立. 若0a ≠，由定义域满足10ax +>对1x >恒成立知0a >，所以223(32)(2)0ax a x a +--+≥在[1)+∞，上恒成立.令22()3(32)(2)g x ax a x a =+--+，其对称轴为1132x a=-，因为0a >，所以111323a -<，所以只要满足2(1)010g a a ⇒-++≥≥，所以0a <.综上知a 的取值范围是[0. …………………………………8分（Ⅲ）当1a =-时，方程3(1)(1)bf x x x---=，即23ln b x x x x =+-在0x >上有解， 即求函数232()ln (ln )F x x x x x x x x x =+-=+-的值域.令21(21)(1)()ln ()12x x h x x x x h x x x x+-'=+-=+-=，， 当01x <<时，()0h x '>，从而()h x 在(01)，为增函数； 当1x >时，()0h x '<，从而()h x 在(1+)∞，为减函数； 所以()(1)0h x h =≤，所以()0F x ≤，所以b 的取值范围为(0]-∞，. …………………………………12分。
2015-2016东北师范大学附属中学、长春十一高和松原实验中学三校联考文科数学试题及答案
侧视图正视图12222吉林省东北师范大学附属中学、长春十一高和松原实验中学2016届高三三校联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集{}8≤∈=xNxU，集合{}7,3,1=A，{}8,3,2=B，则=)()(BCACUU（）A．{}8,7,2,1B．{}6,5,4C．{}6,5,4,0D．{}6,5,4,3,02．已知复数iz+=11，iz-=12，则=izz21（）A．2B．2-C．i2D．i2-3．若实数数列：81,,1a成等比数列，则圆锥曲线122=+ayx的离心率是（）A．10或322B．3或36C．322D．31或104．函数2)(1-=-x axf)1,0(≠>aa的图象恒过定点A，若点A在直线01=--nymx上，其中0,0>>nm，则nm21+的最小值为（）A．4B．5C．7D．223+5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．π220+B．π320+C．π224+D．π324+6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于C ︒22”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位C ︒） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为2.10.则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．37．已知条件p ：3-=k ，条件q ：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．平面α截球O 所得的截面圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） A ．π6 B ．π34C ．π64D ．π369．若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．?5≤n B ．?6≤n C ．?7≤n D ．?8≤n10．若函数mx xm x f +-=2)2()(的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．)1,(--∞B ．)2,1(-C ．)2,0(D ．)2,1(11．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F ，作圆222a y x =+的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ） A ．MT MO a b -=- B ．MT MO a b ->- C ．MT MO a b -<- D ．MT MO a b +=-12．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x，给出下列命题： ①当0>x 时，)1()(x e x f x-= ②函数)(x f 有2个零点③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ④R x x ∈∀21,，都有2)()(21<-x f x f ， 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④PF E D C B A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.13．向量1=a ,2=b ,)2()(b a b a -⊥+，则向量a 与b的夹角为 .14．已知πθ<<0，71)4tan(=+πθ，那么=+θθcos sin . 15．若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-2212x y y x y x ，目标函数y x z 23+-=的最小值为 .16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ: ① {,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅; ② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅; ③ {,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅; ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅. 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 252cos 22cos 222=+ （Ⅰ）求证：b c a 3)(2=+； （Ⅱ）若41cos =B ，15=S ，求b .18. （本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱BCF ADE -和一个正四棱锥ABCD P -组合而成，AF AD ⊥，2==AD AE .（Ⅰ）证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥ABCD P -的高h ，使得该四棱锥的体积是三棱锥ABF P -体积的4倍.19. （本小题满分12分）5项预赛甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的成绩的茎叶图记录如下：(Ⅰ)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(Ⅱ)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．20. （本小题满分12分）椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率22=e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22.（Ⅰ）求椭圆1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F .（1）求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；（2）直线AF 与直线BE 若不是，说明理由.21. （本小题满分12分）设函数1ln )(-+=x a x x f ，（0>a ） （Ⅰ）当301=a 时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当21≥a ，),1(+∞∈x 时，求证：11ln >-+x ax9 甲 乙 7 8 9 7 5 2 2 0 5 0 55请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明： （Ⅰ）EC BE =；（Ⅱ）22PB DE AD =⋅.23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 15cos 5y x ，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23321,(t 为参数).以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2,3(π.（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值.24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲已知函数5)(++-=x a x x f ， （Ⅰ）若1=a ，解不等式：52)(+≥x x f ； （Ⅱ）若8)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.PF EDC BA 参考答案一、选择题（每题5分，共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C D A D BCABBDAC二、填空题（每题5分，共20分） 13.2π 14.51- 15. 1- 16. ②④ 三、解答题17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由条件：b A c C a 25)cos 1()cos 1(=+++， 由于：b A c C a =+cos cos ，所以：b c a 23=+，即：b c a 3)(2=+………….5分（Ⅱ）41cos =B ，所以：415sin =B ，………….6分 151581sin 21===ac B ac S ，8=ac ………….8分 又：)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由b c a 3)(2=+，所以：)411(16452+=b ，所以：4=b ………….12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：直三棱柱BCF ADE -中，⊥AB 平面ADE ，所以：AD AB ⊥，又AF AD ⊥，所以：⊥AD 平面ABFE ，⊂AD 平面PAD ， 所以：平面⊥PAD 平面ABFE ………….6分 （Ⅱ）P 到平面ABCD 的距离1=d 所以：32122213131=⨯⨯⨯⨯==∆-d S V ABF ABF P 而：384223131==⨯⨯==--ABF P ABCD ABCDP V h h S V ，所以2=h ………….12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)记甲被抽到的成绩为x ,乙被抽到的成绩为y ,用数对),(y x 表示基本事件：(82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85) (82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85)(87,95) (87,75) (87,80) (87,90) (87,85) 基本事件总数25n =…………………………5分 记“甲的成绩比乙高”为事件A ,事件A 包含的基本事件：(82,75) (82,80) (82,75) (82,80) (79,75) (95,75)(95,80) (95,90) (95,85) (87,75) (87,80) (87,85) 事件A 包含的基本事件数是12m =…………………………6分所以2512)(==n m A P …………………………………8分 （Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：85=甲x ，85=乙x ，6.312=甲s ，502=乙s =甲x 乙x ，<2甲s 2乙s 甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适………………………………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意22=e ，设1C ：122222=+b y b x ，2C ：1422222=+by b x ，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积2222221=⨯⨯=b b S ，解得：12=b ， 所以椭圆1C ：1222=+y x ，2C ：14222=+y x ………….4分 （Ⅱ）（1）设),(00y x P ，则142220=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B 200+=x y k PA ，200-=x y k PB ………….6分所以：2224220202020-=--=-=⋅x x x y k k PBPA ， 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-………….8分（2）设),(11y x E ，则122121=+y x ， 211+=x y k EA ，211-=x y k EB ，所以：1211221221-=-==⋅x y k k EBEA ， 同理：1-=⋅FB FA k k ………….10分所以：41.=⋅⋅FB FA EB EA k k k k ，由PA EA k k =，PB FB k k =，结合（1）有 81-=⋅FB EA k k ………….10分21. （本小题满分12分）（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ ， 当301=a 时，2)1()56)(65()(---='x x x x x f ，…………3分令：0)(>'x f ，得：56>x 或65<x ，所以函数单调增区间为：)65,0(，),56(+∞ 0)(<'x f ，得：5665<<x ，所以函数单调减区间为：)1,65(，)56,1(…………5分（Ⅱ）若证11ln >-+x a x ，)1,21(>≥x a 成立，只需证：1)1(21ln 1ln >-+≥-+x x x a x 即：)1(21ln )1(2->+-x x x 当1>x 时成立…………6分 设()=x g ())1(1)1(2ln 12>+---x x x x∴())1(ln 2xx x g -='，显然)(x g '在),1(+∞内是增函数 且02)1(<-='g ，0)212(ln 2)2(>-='g∴)(x g '=0在（1,2）内有唯一零点0x ，使得：01ln 00=-x x ， 且当x ∈（1，0x ），)(x g '<0； 当x ∈（0x ，+∞），)(x g '>0.∴)(x g 在（1，0x ）递减，在（0x ，+∞）递增…………10分()()11ln 12)()(000min+--==x x x g x g =()1111200+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x =)1(2500x x +- ∵()2,10∈x ∴251200<+<x x ∴0)(min >x g ∴11ln >-+x ax 成立…………12分22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠， 由弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE = ………5分 （Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，因为DC PD PA ==， 所以：PB DC 2=，PB BD =由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅ 所以：22PB DE AD =⋅ ………10分23.（本题满分10分）选修4——4坐标系与参数方程 （Ⅰ）由极值互化公式知：点P 的横坐标02cos3==πx ，点P 的纵坐标32sin3==πx所以)3,0(P ；消去参数ϕ的曲线C 的普通方程为：115522=+y x ………5分 （Ⅱ）点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得：0822=-+t t ，设其两个根为1t ，2t ，所以：221=+t t ，821-=t t ，由参数t 的几何意义知：64)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA .………10分24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲（Ⅰ）当1=a 时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：2-≤x ，所以原不等式解集为{}2-≤x x ………5分（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若8)(≥x f 恒成立，只需：85≥+a解得：3≥a 或13-≤a ………10分。
吉林省东北师范大学附属实验学校高中部数学新人教A版必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》(二)教案
教材P59第4题
（1）
（2）
（3）
若 ＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——62.
即： 的不足近似值，从由小于 的方向逼近 ， 的过剩近似值从大于 的方向逼近 .
所以，当 不足近似值从小于 的方向逼近时， 的近似值从小于 的方向逼近 .
当 的过剩似值从大于 的方向逼近 时， 的近似值从大于 的方向逼近 ，(如课本图所示)
所以， 是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考： 的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
一复习提问：
1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
2．观察以下式子，并总结出规律： ＞0
① ②
③ ④
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
二新课讲授：
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
3．例题
（1）．（P51，例2）求值
解：①
②
③
④
（2）．（P51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ ＞0）
பைடு நூலகம்解：
分析：先把根式化为分数指数幂，再运算性质来运算.
例4计算下列各式（式中字母都是正数）
例5计算下列各式：
三课堂练习：P54练习第1，2，3题
吉林省东北师范大学附属中学高中数学2.1.4指数函数及
课题： 指数函数及其性质（1）课时：004课 型：新授课教学目标：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程：一、复习准备：1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？二、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：① 探究两个实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？2. 教学指数函数的图象和性质：① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y = （师生共作→小结作法） ④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56)3、例题讲解例1：（P 56 例6）已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.例2：（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1例3：求下列函数的定义域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =三、巩固练习：1、 P 58 1、2题2、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .3、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.4、探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？四、小结1、理解指数函数(0),101x y a a a a =>><<注意与两种情况。
吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学 2.1.2指数函数学案(三) 新人教B版必修1
2．1．2指数函数（三）一学习要点：指数函数的图象及其性质的应用二．新课学习1、 题组训练：关于定义域（1）求函数f(x)=191-⎪⎭⎫ ⎝⎛x 的定义域 （2）求函数y=1151--x x 的定义域（3）函数f (x )=3－x －1的定义域、值域是……( )A.定义域是R ，值域是RB.定义域是R ，值域是(0，+∞)C.定义域是R ，值域是(－1，+∞)D.以上都不对（4）函数y =1511--x x的定义域是______ (5) 求函数y =1-x a 的定义域(其中a ＞0且a ≠1)2、 关于值域（1） 当x ∈［－2,0］时，函数y =3x +1－2的值域是______（2） 求函数y =4x +2x +1+1的值域.（3） 已知函数y =4x －3·2x +3的值域为［7,43］，试确定x 的取值范围.(4).函数y =133+x x的值域是( ) A.(0，+∞)B.(－∞,1)C.(0,1)D.(1,+∞) (5)函数y =0.252122+-x x 的值域是______,单调递增区间是______. 3、 关于图像（1）要得到函数y =8·2－x 的图象，只需将函数y =(21)x 的图象( ) A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位（2）函数y =|2x －2|的图象是( )（3）当a ≠0时，函数y =ax +b 和y =b ax的图象只可能是( )（4）当0<a <1,b <－1时，函数y =a x +b 的图象必不经( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（5）若函数y =a 2x +b +1(a >0且a ≠1,b 为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b =______.（6）已知函数y =(21)|x +2|. ①画出函数的图象；②由图象指出函数的单调区间并利用定义证明.(7) 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，下列命题不是真命题的是( )A.y =a x 的图象与y =a －x 的图象关于y 轴对称B.若y =a x 的图象和y =b x 的图象关于y 轴对称，则ab =1C.若a2>a 2－1,则a >1 D.若a 2->b 2-,则a >b4、 关于单调性（1）若－1<x <0,则下列不等式中成立的是 ( )A.5－x <5x <0.5xB.5x <0.5x <5－xC.5x <5－x <0.5xD.0.5x <5－x <5x（2）下列各不等式中正确的是( ) A.313232)21()51()21(<< B.323231)51()21()21(<< C.323132)21()21()51(<< D.313232)21()21()51(<< （3）.函数y =(2－1)(x +1)(3－x )的单调递增区间是( ) A.(1，+∞)B.(－∞，1)C.(1，3)D.(－1，1) (4) .函数y =22)21(++-x x 为增函数的区间是( )(5) 函数f (x )=a 2x －3a x +2(a >0且a ≠1)的最值为______.(6)已知y =(21)22+--x x +1，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数.(7) 比较5122+x 与522+x 的大小5、关于奇偶性（1）已知函数f(x)=1122+-•x x m 为奇函数，则m 的值等于_____ （1）如果8212x x •⎪⎭⎫ ⎝⎛=4，则x=____6作业:1.如果函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与函数y =b x (b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有A.a >bB.a <bC.ab =1D.a 与b 无确定关系2.集合M ={x |1213+-x x ≥0},N ={x |3(3x －1)(2x +1)≥1}，则集合M 、N 的关系是 A.M =N B.M ⊂NC.M ⊃ND.M N3.下列说法中，正确的是①任取x ∈R 都有3x >2x ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ③y =(3)－x 是增函数 ④y =2|x |的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x的图象对称于y 轴A.①②④B.④⑤C.②③④D.①⑤4.下列函数中，值域是(0,+∞)的共有 ①y =13-x ②y =(31)x ③y =x )31(1- ④y =3x 1A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知函数f (x )=a 1－x (a >0,a ≠1)，当x >1时恒有f (x )<1,则f (x )在R 上是A.增函数B.减函数C.非单调函数D.以上答案均不对二、填空题6.在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象如下图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是__________.7.函数y =1-x a 的定义域是(－∞,0］，则a 的取值范围是__________.8.函数y =2x +k －1(a >0,a ≠1)的图象不经过第四象限的充要条件是__________.9.若点(2，41)既在函数y =2ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =________,b =________. 10.已知集合M ={x |22x +x ≤(41)x －2,x ∈R }，则函数y =2x 的值域是__________. 三、解答题11.已知函数f (x )=a －122+x (a ∈R )，求证：对任何a ∈R ,f (x )为增函数.12.设0≤x ≤2，求函数y =1224221++⋅--a a xx 的最大值和最小值.。
吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学 2.1.2指数函数学案(二) 新人教B版必修1
2．1．2指数函数（二）一学习要点：指数函数的图象及其性质的应用 二．新课学习例1已知指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象经过点(3,)π，求(0),(1),(3)f f f -的值例2比较下列各题中两个值的大小： 2.53(1)1.7,1.7； 0.10.2(2)0.8,0.8-- 0.3 3.1(3)1.7,0.9例3求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -=（2）11()2xy =-（3）3xy -=（4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+． 例4设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。
三 巩固训练: (一) 选择题:1．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈= D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nn n2.若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（） A ．251+ B ．251+- C ．251± D ．215± 3．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是 （ ）4．函数||2)(x x f -=的值域是（ ） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R5．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 6．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函7.已知：11a a --=，求332244()(3)a a a a a a ---++--的值．8.已知p >q >1,0<a <1,则下列各式中正确的是（ ）A ．qp aa >B ．aaqp >C ．q pa a--> D ．a a q p -->(二) 填空题9.已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(xf 的定义域是 . 10．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 .11.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .(三) 解答题: 12.求函数y x x =--1511的定义域.13.已知函数)1(122>-+=a a ay x x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.14.画出函数|13|-=xy 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？。
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题AwAHlK
2015---2016学年（高二）年级上学期期中考试（数学理）学科试卷命题人：赵乾说明：1、此试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2、 满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．正确选项) 1．下列所给出的赋值语句中正确的是（）A.x -=5B.x y ==1C.y y =-D.x y +=12．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（） A.1 B.1- C.2D.2-3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（） A ．32y x =±B ．3y x =±C ．33y x =± D ．32y x =±4. 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x =21，则x =1”的否命题为：“若x =21，则x ≠1”B ．“x =-1”是“x x --=2560”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得x x ++<210”的否定是：“x R ∀∈，均有x x ++>210”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 5．已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-r u u u r，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为 ( )A ．AB α⊥B ．AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α6．已知:p R x ∀∈，210x x -+>，:q ()0,x ∃∈+∞，sin 1x >，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∨ C ．p q ∨⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 7．过抛物线的焦点F 的直线交该抛物线于点A ．若|AF|=3，则点A 的坐标为（） A ．（2，22） B ．（2，22-）C ．（2，22±） D ．（1，±2）8．直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为（） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定9．设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（）． A ．αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥B ．m αγ=I ，αγ⊥，βγ⊥ C ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥D ．n α⊥，n β⊥，m α⊥10．下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720=S ，则在判断框中 应填入关于k 的判断条件是（）A ．?6≥kB ．?7≥kC ．?8≥kD ．?9≥k11．如图，空间四边形C OAB 中，a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，C c O =u u u r r，点M 在OA 上，且23OM =OA u u u u r u u u r，点N 为C B 中点，则MN u u u u r 等于（）A ．121232a b c -+r r rB ．211322a b c -++r r rC ．111222a b c +-r r rD ．221332a b c +-r r r12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点2(,)a abc c -与点1F 关于直线bxy a =-对称，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．5C ．2D ．2第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共分，共20分)13．“m >-1”是“方程22121x y m m-=++表示双曲线”的一个条件.14..15．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则 12PF PF ⋅u u u r u u u u r的取值范围是.16.已知P 为抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的 坐标是(2,0)，则||||PA PM +的最小值为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）设p :114≤-x ；q :2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（I ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； （II ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值．19已知曲线C 上任意一点M 满足4||||21=+MF MF , 其中F 1(),0，-3F 2(),0，3（II ）已知直线:3l y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，PA ⊥底面ABCD ，且22====BC AB AD PA ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．（I ）求证：PB ADMN ⊥平面；（II ）求BD 与平面ADMN 所成的角；（III ）点E 在线段PA 上，试确定点E 的位置，使二面角E CD A --为︒45． 21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为24，离心率为23．（I ）求椭圆的标准方程； （II ）若直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点．点)1,2(P 为椭圆上一点，求△PAB 的面积的最大值．22．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若 不是，请说明理由.2015---2016学年（高二）年级上学期期中考试（数学理）学科答案命题人：赵乾说明：1、此试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
吉林省东北师范大学附中中学净月校区2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题 含答案
2015———2016学年（高一）年级上学期期末考试(数学）学科试卷 命题人：高一数学备课组说明:1、此试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2、 满分150分,考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分,每小题只有一个．．．．正确选项)1．向量()()AB MB BO BC OM ++++等于( ）A ．AMB ．BC C ．ABD ．AC2．已知函数()2log 02 0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())4f f 的值是（)A ．14B ．14-C ．4D ．4- 3. 集合2{|60}M x xx =--≥,集合{|31}N x x =-≤≤,则()R C M N 等于( ）A. (2,3)- B 。
[2,1]- C. (2,1]-D 。
[3,3)-4。
函数()log f x x =-211)A ．[),+∞2B ．(),+∞2 C ．(),02 D ．(],025. 已知平面向量()(),,,,a b a b λ=-=-+1342与a 垂直,则λ＝（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．—1 6.tan π196的值是（ ）A。
-3B 。
C.D.37. 设112230.3,0.4,log 0.6a b c ===，则（ ）A ．b a c<< B ．c b a<< C ．c a b <<D ．a b c <<8. 函数xy a =与log (0,1)ay x a a =->≠且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）C ．D ． 9。
化简cos sin sin cos ︒︒︒︒-=22554040( ）A. -1B 。
1 C. 2D. 1210．已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π,将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得函数为偶函数,则ϕ的一个值是（ )A 。
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题
2015---2016学年（高二）年级下学期期中考试数学（理）学科试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答.第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1．对任意正数a ，b ，a ＋b ≥2ab 大前提x ＋1x ≥2 x ·1x小前提 所以x ＋1x≥2 结论以上推理导致错误的原因是( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误2. 在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，假设正确的是 ( ) A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1 B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1 C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不小于1 D. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1 3．关于复数z=的四个命题：p 1：复数z 对应的点在第二象限， p 2：z 2=2i ， p 3：z 的共轭复数为1+i ， p 4：z 的虚部为﹣1． 其中的真命题个数为（ ） A ． 1B ．2C ． 3D ． 44. 抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( ) A.13 B.118 C.16 D.19 5．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x 3log e ；②(2log x )′＝1x ·ln2；③(e x )′＝e x ；④(1ln x)′＝x ；⑤(x e x )′＝e x ＋1.A ．2B ．3C ．4D ．56. 用数学归纳法证明不等式“*1111(2,)2321n n n n N +++⋅⋅⋅+<≥∈-”的过程中，当由n k =变到1n k =+时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．k -12项D ．k 2项7. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )8. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.9110B.2755C.27220D.21559.2(cos4x dx π⎰的值为（ ）A ． 1ππ+B.πC ．1π+D ．4ππ+10. 已知函数()sin f x x x =-，若1212,[,],f()f()022x x x x ππ∈-+>且，则下列不等式中正确的是 ( )A ．12x x > B. 12x x < C.120x x +> D.120x x +< 11.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝( )A.49 B.79C.1927D.262712．已知函数()||x f x xe =，方程2()+()10()f x tf x t R +=∈有4个实数根，则t 的取值范围为( )A.21(,)e e ++∞B.21(,)e e +-∞-C.21(,2)e e +--D.21(2)e e+-，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若a 为正实数，i 为虚数单位，且a ii +＝2，则a ＝__________ 14. 若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()1f -=________.15. 用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设()}min2x f x =-+，则()2f x d x =⎰___________ .16．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()(),x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”．给出下列函数3132sin cos y x x y x x x =-++=--①；②（）；以上函数中是“函数”的所有序号为 ．三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每小题12分，共70分）17. （本题满分12分）某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮3次，投中一球得1分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是13.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在3次投篮后的总得分ξ的分布列．18. （本题满分12分）已知函数()()x f x x k e =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[0,1]上的最小值．19. （本题满分12分）某高校一年级开设,,,,,A B C D E F 六门选修课，每位同学须彼此独立地选四门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选三门课程．乙、丙两名同学从六门课程中随机任选四门课程．（1）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列．20. （本题满分12分）已知数列2112(2)1{}(), 1.1n n n n n n a na n a a n N a a +++-++=∈=+满足且 （1）求234,,,n a a a a 猜测 , 并用数学归纳法证明；（2）若4n ≥，试比较3n a与()2122nn n -⋅+的大小，并给出证明过程.21. （本题满分12分）已知函数e ()xf x x=.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >；22. （本题满分10分） 已知函数()ln(1)f x x ax =+-在(0,(0))f 处的切线与函数212y x =相切. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2(1)(1)(1)()k x xf x x k Z +-<-+∈对任意1x >恒成立，求k 的最大值.2015---2016学年（高二）年级下学期期中考试数学（理）学科答案一．选择题二．填空题13. 3 ; 14. 12 ; 15.76; 16. ② ③ 三．解答题17. 解：(1)设小明第i 次投篮投中为事件A i ，则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝23×23×13＝427.4分(2)由题意知随机变量ξ～B (3，13)，则P (ξ＝0)＝03C (13) 0(23)3＝827，P (ξ＝1)＝13C (13)(23)2＝49，P (ξ＝2)＝23C (13)2(23)＝29，P (ξ＝3)＝33C (13)3 (23)0＝127，10分∴ξ的分布列为12分18. 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．6分(2) 当k －1≤0即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.12分19.解：（1）设事件1A 为“甲同学选中C 课程”，事件2A 为“乙同学选中C 课程”．则231343()4C P A C ==，352462()3C P A C ==． 因为事件1A 与2A 相互独立，2分所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为12321()(1)434P A A =⨯-=． 4分(2）设事件3A 为“丙同学选中C 课程”．则353462()3C P A C ==．5分 X 的可能取值为：0,1,2,3．6分2321(0)(1)(1)4336P X ==-⨯-=212323227(1)(1)(1)(1)4343336P X C ==⨯-+-⨯⨯⨯-= 1223223216(2)(1)(1)()4334336P X C ==⨯⨯⨯-+-⨯=23212(3)()4336P X ==⨯=10分X 为分布列为：12分 20.解：（1）2342,3,4a a a === ，猜想n a n = 2分证明：当1n =时，11a =成立 假设(1)n k k =≥时，k a k =成立则当1n k =+时，22122(2)1(2)1111k k k k k a ka k k k k k k a k a k ++-+++-⋅++===+++也成立 所以，*()n a n n N =∈成立5分（2）猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+，6分下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+，两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122nnn n >-⋅+成立.12分21.【解析】（Ⅰ）解：2e e '()x xx f x x-=. ………2分 因为 切线0ax y -=过原点(0,0)，所以 00000200e e e x x x x x x x -=. ………4分 解得：02x =. ………6分（Ⅱ）证明：设2()e ()(0)x f x g x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=.令24e (2)'()0x x x g x x-==，解得2x =. ……8分 x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e 4. ………10分所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >. ………12分22. 解：（1）因为1()1f x a x '=-+，所以切线方程为(1)y a x =- ，2分联立2(1)12y a x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得22(1)0x a x --= ，由0∆= 得1a =所以()ln(1)f x x x =+-，所以1()111xf x x x '=-=-++. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<. 所以()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.5分2min '2'0(1)ln (2)()(1)111()(1)1ln 2()6(1)1()ln 2,()10,()1+7(3)1ln 30,(4)2ln 40()(3,4),xf x x x x xg x x x x k g x x k x x g x x h x x x h x h x xh h h x x -++==>--+<>+<--=-=--=->∴∞=-<=->∴∈令即是恒成立，即求[g(x)]由分则在（，）上递增 分而存在唯一零点00'00'0000000000min 000000ln 209(1,)0,()0(,)0,()0()1),)ln (2)(),11111,(3,4x x x x g x x x g x g x x x x x x x x x g x x x x k x k Z x k --=∈=<∈+∞=>+∞+-+====--∴+<∈∈∴即分当）时，h(x)<h(x 当）时，h(x)>h(x 所以在（，递减，在（递增故[g(x)]分又），的最大值是212分。
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课题：指数与指数幂的运算(1)
课时：001
课 型：新授课
教学目标：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式
的概念
教学重点：掌握n 次方根的求解.
教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景
教学过程：
一、复习准备：
1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ）
2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 记法：3,a a
二. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景：
① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？
实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）
计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？ ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？
书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后
体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2
t P =. 探究该式意义？ ③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.
2. 教学根式的概念及运算：
① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根. 探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.
② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 简记：n a . 例如：328=，则382=
③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 3273=,3273-=-, 记：n x a =
当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记：n a ±
强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 00n =
④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 .
⑤ 定义根式：像n a 的式子就叫做根式（radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）.
⑥ 计算22(3)、334、(2)n n - → 探究： ()n n a 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般） 结论：()n n a a =. 当n 是奇数时，
a a n n =；当n 是偶数时，
(0)
||(0)n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
3、例题讲解
（P 5O 例题1）：求下列各式的值
33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π- 2(4)()a b -
三、巩固练习：
1. 计算或化简：532-；36a （推广：np n mp m a a =， a ≥0）.
2、 化简：526743642++--- ；6323 1.512⨯⨯
3、求值化简： 33()a -； 44(7)-； 66(3)π-； 22()a b -（a b <）
四、课堂小结：
1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n 是的次方根,n 为奇数时,= n 为偶数时，n x a =±；
2．掌握两个公式：(0)
,||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
n 为奇数时,()为偶数时,
五、 布置作业：书P 59 、 1题.
六、课后记。