第六章：线性方程组的数值解法

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解线性方程组的数值解法

x1 x2 x3 6 4 x2 x3 5 2 x1 2 x2 x3 1 (1) (2) (3)
例题

第一步：-2 x（1）+(3)得
x x x 6 1 2 3 4 x2 x3 5 4 x2 x3 11
高斯顺序消去法
(3)if 1) a nn 0 then 输出算法失败信息 , 并停机else做
bn x n bn / a nn；
2)对i n 1,...,2,1做 bi xi (bi
j i 1
a
n
ij
x j ) / aii；
3)det ( A) a11 a 22 ...a nn； (4)输出：方程组的解 xi (i 1,2,...,n), 系数矩阵A的行列式的值det(A)
高斯顺序消去法
( 2) (1) aij aij li1a1(1j) (1) aij 1) (1) ai(1 a1 j
a
(1) 11
(i 2,...,n; j 2,...,n)
bi( 2) bi(1) b1(1)li1
(1) a (1) bi(1) i(1 . b (i 2,...,n) 1) 1 a11
高斯顺序消去法
设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b 1、第一次消元。设 aii 0

1) ai(1 第一行 ( (1) ) 第i行（i 2， 3， ..., n） a11 1) ai(1 令li1 (1) , i 2,3,...,n a11 (1) (1) ) a11 a11 ...... a1(1 n ( 2) ( 2) a ...... a （1） 22 2n A A ( 2) ...... ( 2) ( 2) an 2 ...... ann ( 2) ( 2) T b (1) b ( 2 ) [b1(1) b2 ...... bn ]

线性代数方程组的数值解法讨论

线性代数方程组的数值解法讨论解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。

直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。

而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。

迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。

小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。

讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。

1 Jacobi 迭代法使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述：步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令1k =.步骤2 (0)11ni i ij jj ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。

步骤3 计算11ni i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。

步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐，1,2,,i n =，转入步骤2。

步骤5 输出12,,n y y y 。

雅可比迭代代码function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% jacobi 迭代法计算线性方程组% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=B*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end%[k x'] %显示每一步迭代的结果 End2 高斯赛德尔迭代由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量(1)k i x +时，用最新分量11()k x +，12()k x +…(1)1k i x +-代替旧分量)1(k x ', )2(k x …)3(k x 就得到高斯赛德尔迭代格式，其数学表达式为：1(1)(1)()111(1,2,,)i n k k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑具体形式如下：()()()(1)()()()11221331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)(1)112233,11111k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n n n n n nnx a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ++++++++--=----+=----+⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-----+矩阵形式表示为：()(1)1(1)()(0,1,2,,),k k k k n +-+=++=x D Lx Ux b将(1)(1)()(0,1,2,,)k k k k n ++=++=Dx Lx Ux b 移项整理得： (1)1()1()()(0,1,2,,))k k x D L Ux D L b k n +--=-+-=记11(),()--=-=-M D L U g D L b ，则(1)()k k x x +=+M g高斯塞德尔迭代function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)%高斯-塞德尔迭代法计算线性方程组 % tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300次D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f;k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=G*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛'); return; end% [k,x'] %显示每一步迭代结果 End3 超松弛迭代法在工程中最常遇到的问题便是线性代数方程组的求解,而线性代数方程组的求解一般可以分为两类,一类是直接法(精确法),包括克莱姆法则方法、LD 分解法等，另一类是迭代法（近似法），包括雅克比迭代法、高斯迭代法、超松弛迭代法等。

数值分析计算方法实验报告

break;
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1

数值分析第六章课件

a(1) 1n
x1
b(1) 1
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 2n
x2
b(1) 2
.
a(1) m1
a(1) m2
a(1) mn
xn
b(1) m
将(2.1)记为A(1)x=b(1)，其中
a(1) 11
a(1) 12
a(1) 1n
a11
a12
a1n
A(1)
a(1) 21
5.2 高斯消去法
本节介绍高斯消去法(逐次消去法)及消去法和矩阵三角分解之间的关系. 虽然高斯消去法是一种古老的求解线性方程组的方法(早在公元前250年我国就掌握了解方程组的消去法)，但由它改进、变形得到的选主元素消去法、三角分解法仍然是目前计算机上常用的有效方法.我们在中学学过消去法,高斯消去法就是它的标准化的、适合在计算机上自动计算的一种方法.
有的问题的数学模型中虽不直接表现为含线性方程组,但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组.因此线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一.
关于线性方程组的解法一般有两大类：
1. 直接法经过有限次的算术运算,可以求得方程组的精确解( 假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是一种实用的算法.
下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法.由
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a(1) 11
a(1) 21
x1 x1
a(1) 12
x2

数值计算方法主要知识点

数值计算方法主要知识点数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、方法和算法。

它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。

下面是数值计算方法的主要知识点（第一部分）。

1.近似数与误差：数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。

近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。

误差可以分为绝对误差和相对误差。

绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对误差为绝对误差与真实值的比值。

通过控制误差可以评估数值计算结果的准确性。

2.插值与多项式：插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似计算。

插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。

主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

3.数值微分与数值积分：数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。

常用的数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。

数值积分则是研究如何通过数值方法去近似计算函数的定积分。

常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。

4.非线性方程的数值解法：非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。

常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。

这些方法基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方程的近似解。

5.线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。

其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未知的解向量。

常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分解法等。

这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。

6.插值型和积分型数值方法：数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。

插值型数值方法是通过插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。

而积分型数值方法是通过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。

线性方程组的解法

线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以表示为多个线性方程的组合，我们需要找到满足所有方程的解。

下面将介绍几种常用的线性方程组解法。

一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一，它通过矩阵的初等行变换，将线性方程组转化为等价的简化行阶梯形矩阵。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式；2. 选取一个主元（通常是矩阵的第一行第一列元素）；3. 将选中的主元通过初等行变换变为1，并将该列其他元素通过初等行变换变为0；4. 重复上述步骤，直到将整个矩阵化简成行阶梯形矩阵。

通过高斯消元法得到的行阶梯形矩阵可以帮助我们找到线性方程组的解。

如果矩阵中存在形如0=1的方程，则说明该线性方程组无解。

二、克拉默法则克拉默法则是另一种解线性方程组的方法，它利用了行列式的概念。

对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，如果A的行列式不为0，那么该线性方程组有唯一解，可以通过如下公式求解：xi = |Ai| / |A|, i=1,2,...,n其中|Ai|表示将A的第i列替换成向量b后的新矩阵的行列式，|A|为A的行列式。

克拉默法则的优点是直观易懂，适用于较小规模的线性方程组。

然而，它的计算过程较为繁琐，不适用于大规模线性方程组的求解。

三、矩阵求逆法对于一个n元线性方程组Ax=b，我们可以通过求解系数矩阵A的逆矩阵来得到方程组的解：x = A^(-1) * b其中A^(-1)表示A的逆矩阵，*为矩阵乘法运算。

然而，矩阵求逆法在实际应用中往往需要消耗大量的计算资源和时间，尤其是在维数较高的情况下。

因此，该方法适用于对较小规模的线性方程组求解。

四、迭代法迭代法是一种数值解法，适用于大规模稀疏线性方程组的求解。

其基本思想是通过迭代计算逼近线性方程组的解。

常用的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。

雅可比迭代法的计算公式为：xi(k+1) = (bi - Σ(aij * xj(k))) / aii, i = 1, 2, ..., n其中k表示迭代的次数，xi(k)表示第k次迭代后第i个未知数的值。

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案第一章数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

数值分析6-1-0

（1）消元: (1) 2 x1 4 x2 2 x3 6 (1) 于是： (2) 3x2 6 x3 3 (4) (3) 12 x3 3 (6)
（2）回代:
3 1 x3 , x2 , 2 4
3 x1 2
10
二、计算过程：
( 2) ij
a m a
a
( k 1) ij
a
(k ) ij
bi( k 1) bi( k ) mik bk( k )
i, j k 1,, n i k 1,, n
14
当经过k n 1步后, ( A , b )将化为
(1) (1)
(1 a11) ( n) (n) (A ,b ) (1 a12)
1 2 , x2 3 3
用小主元作除数，致使其它元素的数量级大大增加，舍入误差的扩散将准确解淹没了。
1. a 0,
k kk
2. a a
k kk
k ik
不行
21
§2.主元素消去法
*全主元素消去法：一、思路
选取
a
k kk
max a
k ij
二、计算过程
1、实例
12 x1 3x2 3x3 15 (1) 18 x1 3x2 x3 15 (2) x x x 6 (3) 1 2 3
16
三、Gauss消去法的运算量
消元 : n - 1步, 第k步变换n-k行，每行需先求倍数，
再从n 1-k个元素的倍数
作第k步消元乘除法运算总次数为
(n k )(1 n k 1)次
完成全部n 1步消元需作乘除法运算总次数为

线性方程组的数值解法及其应用

线性方程组的数值解法及其应用一、问题描述现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。

这些现象大多是用若干个微分方程描述。

用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。

因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。

经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。

二、基本要求1）掌握用MATLAB软件求线性方程初值问题数值解的方法；2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题；3）了解用高斯赛德尔列主元消去法和雅可比迭代法解线性方程组。

三、测试数据1）直接法：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];b=[52.90;38.44];2）迭代法：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[7.2;8.3;4.2];四、算法程序及结果1）function[RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnif RA==RBif RA==ndisp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.')endend测试：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];>> b=[52.90;38.44];>> [RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =2RB =2n =2x =10.00001.00002）function Jacobi(A,b,x0,P,error,max1)[n n]=size(A);x=zeros(n,1);for k=1:max1for j=1;nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:n])*x0([1:j-1,j+1:n]))/A(j,j);endxerrx=norm(x-x0,P);x0=x;x1=A\b;if(errx<error)disp('迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：')kx1xreturnendendif(errx>=error)disp('请注意：Jacobi迭代次数已经超过最大迭代次数max1.') end测试：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];>>b=[7.2;8.3;4.2];>>x0=[0;0;0];>>Jacobi(A,b,x0,inf,0.001,100)n =3x =0.7200迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：k =2x1 =1.10001.20001.3000x =0.7200五、应用举例1）营养学家配制一种具有1200卡，30g蛋白质及300mg维生素C的配餐。

_第六章_线性方程组的数值解法迭代法

b 1
a 11
b2
f
a 22 bn
a nn
x(k1) B0x(k)f
--------(5)
第四节解线性方程组的迭代法
令：
0 0 0
L
a 21
0
0 A的下三角部分矩阵
a n1 a n 2 0
0
U
0
a12 0
a1n a2n
A的上三角部分矩阵
第三节向量范数和矩阵范数
（2）范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度
0M x2 y2
欧氏范数也满足三个条件：
（勾股定理）
设x = (x1, x2) ① x 0 x >0 ② ax = a x a为常数 ③ x+ y ≤ x + y 前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它两边长度之和。因此，称之三角不等式。
满足：
① A0,且A0,当且A 仅 0当
，若 A
正定
② A A,为任意实数
奇次
③ ABAB,A和 B为任意 n阶两方个三阵角不等
则称 A 为矩阵A的范数。
第三节向量范数和矩阵范数
2、矩阵范数与向量范数的相容性对于任意的n维向量x，都有：
Ax A x
这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。
n
A
max
1in
j1
aij
A的每行绝对值之和的最大值, 又称A的行范数
第三节向量范数和矩阵范数
（3）矩阵的2范数
2范数 ||A|2 | ： (AT A )
(AAT) ?
矩阵的谱半径：
矩阵B的诸特征值为： i(i1,2, ,n)

线性方程组的8种解法专题讲解

线性方程组的8种解法专题讲解线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组可以帮助我们求出方程组的解，从而解决实际问题。

本文将介绍线性方程组的8种常见解法。

1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法。

该方法通过将方程组转化为阶梯型矩阵，然后进行回代求解，得到方程组的解。

这一方法适用于任意维度的线性方程组。

2. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。

该方法将方程组转化为阶梯型矩阵，并通过变换矩阵的方式使得主元为1，然后进行回代求解，得到方程组的解。

高斯消元法适用于任意维度的线性方程组。

3. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是对高斯消元法的改进。

该方法在高斯消元法的基础上，通过变换矩阵的方式使得主元为0，然后进行回代求解，得到方程组的解。

高斯-约当消元法适用于任意维度的线性方程组。

4. 矩阵分解法矩阵分解法是一种将线性方程组转化为矩阵分解形式，从而求解线性方程组的方法。

常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解等。

这些方法可以有效地降低求解线性方程组的计算复杂度。

5. 特征值分解法特征值分解法是一种将线性方程组转化为特征值和特征向量的形式，从而求解线性方程组的方法。

通过求解方程组的特征值和特征向量，可以得到方程组的解。

特征值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。

6. 奇异值分解法奇异值分解法是一种将线性方程组转化为奇异值分解形式，从而求解线性方程组的方法。

通过奇异值分解，可以得到方程组的解。

奇异值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。

7. 迭代法迭代法是一种通过逐步逼近方程组的解来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

迭代法的优点是可以适应各种规模的线性方程组。

8. 数值求解法数值求解法是一种通过数值计算的方式来求解线性方程组的方法。

常见的数值求解法有牛顿法、梯度下降法等。

数值求解法可以处理复杂的线性方程组。

以上是线性方程组的8种常见解法。

线性方程组的解法

线性方程组的解法线性方程组是数学中的基础概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍线性方程组的解法，帮助读者更好地理解和解决相关问题。

Ⅰ. 一元一次方程的解法一元一次方程是线性方程组中最简单的形式，通常以“ax + b = 0”的形式表示，其中a和b为已知数，x为未知数。

解此方程的步骤如下：1. 将方程变形，将未知数项和常数项分别移至等式两边，得到“ax = -b”；2. 若a≠0，两边同时除以a，得到“x = -b/a”；3. 若a=0，若-b=0，则方程有无数解；否则，方程无解。

Ⅱ. 二元一次方程组的解法二元一次方程组包含两个未知数和两个方程，一般以如下形式表示：{a₁x + b₁y = c₁,a₂x + b₂y = c₂}常用的解法有以下三种：1. 代入法：将其中一个方程的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程，解得一个未知数的值，再代入回第一个方程求得另一个未知数的值。

这种方法特别适用于其中一个方程的一个未知数的系数为1，或者已经表示为另一个未知数的函数的情况。

2. 消元法：通过消去其中一个未知数，得到一个只含一个未知数的一元一次方程，然后按照一元一次方程的解法求解。

这种方法特别适用于其中一个方程的一个未知数的系数相等，但反号的情况。

3. 克莱姆法则：通过计算系数行列式的值，可以求得二元一次方程组的解。

具体步骤是构造齐次线性方程组的系数矩阵，并计算系数矩阵的行列式值D。

然后使用未知数的系数与常数项分别替换掉系数矩阵的对应列，并计算新矩阵的行列式值Dx和Dy。

最后，解得x = Dx / D，y = Dy / D。

克莱姆法则适用于系数矩阵的行列式值不为0的情况。

Ⅲ. 三元及以上线性方程组的解法三元及以上线性方程组的解法相对复杂，但仍然可以利用与二元一次方程组相似的方法求解。

1. 高斯消元法：高斯消元法是一种基于矩阵的线性方程组求解方法。

通过初等行变换将线性方程组化为阶梯形，然后回代求解得到每个未知数的值。

线性方程组数值解法

线性方程组数值解法一、实验原理：本次实验求解方程组所采用的方法中：○1列主元高斯消元法主要三步骤：先是按列选主元，然后后消元，持续这两步骤将增广矩阵化为行阶梯矩阵，最后进行回代。

○2 LU 分解法是把系数矩阵分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U,又对方程组中b 项有与U 相似的公式，即可对增广矩阵A 作LU 分解，即可得等价方程组，而后进行回代即可得解。

○3于雅克比迭代法是把方程组写与其同解的方程组形式，该同解方程组是把系数矩阵对角元中的变量（未知数）写到方程组左边。

然后得到迭代公式，后就迭代求解直到满足精度为止。

○4高斯-塞德尔迭代法其实与雅克比迭代法差不多唯一的差别是迭代公式上，它把前面方程已算得的变量带到后面方程中，其余未得的用前次的代替，而雅可比迭代法则都是有前次代替。

具体原理如下：1．列主元高斯消元法：○1.按列选主元。

k-1次消元后，选第k 列中的对角元以下绝对值最大的元素为该列主元即ik ni k tk a a max ≤≤=。

(1,,2,1-=n k n k k t ,1,+=)○2.交换增广矩阵A 第t 和k 行，记住新的主对角元tk a 。

○3.用高斯消去法进行第k 次消元。

消元完成以后，进行回代求解。

○2.LU 分解法式子为:.,3,2,3,2,1/,11111n i n j u a l a u i i i j j ====。

1 ,1,,k kj kj kq qj j ku a l u j k k n -==-=+∑其中 (1)图1 列主元高斯消元法流程图分析：从流程图看2，3，4步骤为选主元，5，6步骤为消元过程。

其次其中并无约束系数矩阵a 需为方阵。

2．LU 分解法：○1.根据非奇异矩阵A 可分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 乘积即A=LU 。

Y11i=k+1,k+2,,n k ik iq qkq ik kka l u l u -=-=∑其中(2)113k k k kq q q y b l y -==-∑其中k=2，，,n(3)○3.由式④与式②比较可知把增广矩阵A 采用LU 分解格式，即可得到与原方程同解的方程组。

线性方程组的数值解法与非线性方程求解

淮海工学院实验报告书
课程名称：数学实验
实验名称：线性方程组的数值解法与非线性方程求解班级数学091
姓名：耿萍学号：090911107
日期：2012.4.27 地点数学实验室
指导教师：曹卫平成绩：
数理科学系
-259.49
x3 =
13467.74
7580.65
5564.52
3951.61
1870.97
从x1可以看出，第5年龄段：x5=140.5>100=h5 ，说明收获量h5可以达到100。

从x2可以看出，x5为-259.49，但种群数量不可能为负数，在本题所给条件下，无法使h1~h5均为500。

从x3可以看出，x5=1870>500=h5，说明收获量h5可达到500，从而h1~h5均可达到500。

（3）
1)由题目已知条件，假设第i月月初待还贷款为，贷款月利率为r，则可列出：
=150000 =*(1+r)-1000 …=1000/r+(-1000/r)
2) 记第一家银行月利率为s，第二家银行年利率为t,则：
=4500/s+(-4500/r)。

线性方程组的基本概念与解法

线性方程组的基本概念与解法线性方程组是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。

在本文中，我们将介绍线性方程组的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。

通过深入理解线性方程组，我们可以更好地解决复杂的数学和实际问题。

一、线性方程组的定义线性方程组由一系列线性方程组成，其表示形式为：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，a_11、a_12、...、a_mn为已知系数，x_1、x_2、...、x_n为未知数，b_1、b_2、...、b_m为已知常数。

线性方程组的解即为一组满足所有方程的数值解。

二、线性方程组的解法解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法和矩阵的逆等。

下面我们将分别介绍这些解法。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的解线性方程组的方法。

其基本思想是通过逐步化简系数矩阵，将线性方程组转化为上三角形式或行阶梯形式，从而得到方程组的解。

具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个基准元素，通常选择第一行第一列的元素；c) 通过初等行变换，将基准元素下方的所有元素消为0；d) 选取下一行新的基准元素，并重复步骤c)直到将增广矩阵转化为上三角矩阵；e) 通过回代法求解出线性方程组的解。

2. 矩阵法矩阵法是通过将线性方程组的系数矩阵和常数项向量进行运算，得到方程组的解。

常用的矩阵法有求逆矩阵法和克拉默法则。

求解线性方程组的步骤如下：a) 将线性方程组的系数矩阵和常数项向量组合成增广矩阵；b) 对增广矩阵进行初等行变换，将增广矩阵转化为简化行阶梯形式；c) 根据简化行阶梯形矩阵得到线性方程组的解。

3. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。

数值分析第六章线性方程组迭代解法

数值分析第六章线性方程组迭代解法线性方程组是数值分析中的重要内容之一，其求解方法有很多种。

其中一种常用的方法是迭代解法，即通过不断迭代逼近方程组的解。

本文将介绍线性方程组迭代解法的基本思想和常用方法。

线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。

线性方程组的解可以是唯一解，也可以是无穷多个解。

迭代解法的基本思想是通过不断迭代，并利用迭代序列的极限，逼近线性方程组的解。

迭代解法适用于大型的线性方程组，而直接求解法则适用于小型的线性方程组。

常用的迭代解法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。

雅可比迭代法是最简单的线性方程组迭代解法之一、它的基本思想是将线性方程组的每个方程都单独表示为未知数x的显式函数，然后通过不断迭代求解。

雅可比迭代法的迭代公式为：x(k+1)=D^(-1)(b-(L+U)x(k))其中，D是A的对角元素构成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U 是A的上三角矩阵，x(k)是第k次迭代的解。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版。

它的基本思想是将每个方程的解带入到下一个方程中，而不是等到所有方程都迭代完毕后再计算下一组解。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-L)^(-1)(b-Ux(k))其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），x(k)是第k次迭代的解。

逐次超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的改进。

它引入了松弛因子w，通过调节松弛因子可以加快收敛速度。

逐次超松弛迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-wL)^(-1)[(1-w)D+wU]x(k)+w(D-wL)^(-1)b其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），w是松弛因子，x(k)是第k次迭代的解。

线性方程组迭代解法需要设置迭代停止准则，通常可以设置迭代次数上限或者设置一个精度要求。

计算方法线性方程组数值解法

d
2
a3b3c3
x3
d3
an
1bn1cn
1
xn
1
d
n
1
anbn xn dn
其系数矩阵为三对角形，元素满足以下条件：
|b1|>|c1|>0
|bi|≥|ai|+|ci|，且aici≠0 i=2，3，……n-1; |bn|≥|an|>0。
可以采用追赶法求解
4
线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。
5
设有线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2a2nxnb2 an1x1 an2x2 annxn bn
式中，aij，bi为已知常数，xi为待求的未知量。记
u
2
2
u 2 n
u n 1,n 1u n 1,n
u n n
10
若uii≠0（i=1,2,……n）,则由下至上依次回代得
xn yn / unn
xn1 ( yn1 xi yi
un1,n xn ) / un1,n1
n
uij x j ) / uii
0
a
( 2
2 2
)
a
( 2
2) ,k 1
a
( 2
2) ,k
a
( 2
2) ,n
a
( 2
2) ,n 1
0 A(k)
0 0
a
( k
k) ,k
a
( k
k) ,k 1
a
k
k ,n
a
( k
k) 1,n
1

线性方程组的数值解法-安振华-2012011837

实验5：线性方程组的数值解法化学工程系分2 安振华2012011837【实验目的】1、掌握线性方程组的常用数值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。

2、体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。

3、加深对数值计算误差的理解。

4、学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。

5、学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。

【实验容】【实验五：习题9】种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应保持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。

种群年龄记作k=1,2,…,n，当年年龄k的种群数量记作x k，繁殖率记作b k（每个雌性个体在1年繁殖的数量），自然存活率记作s k（s k=1-d k，d k为1年的死亡率），收获量记作h k，则来年年龄k的种群数量k x应为：111,(1,2,,1)n k k k k k k k x b x x s x h k n +===-=⋅⋅⋅-∑要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使(1,2,,)k k x x k n ==⋅⋅⋅（1）若b k ，s k 已知，给定收获量h k ，建立求各年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵向量表示）（2）设n=5，b 1=b 2=b 5=0，b 3=5，b 4=3，s 1=s 4=0.4，s 2=s 3=0.6，如果要求h 1~h 5为500,400,200,100,100,求x 1~x 5 （3）要使h 1~h 5均为500，如何达到？【分析】为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。

我们并且有以下的假设：(1)雌性个体的繁殖率和存活率在特定的时间是不变的。

(2)人工饲养的种群在质量和数量上是不受外界环境和资源的限制的。

(3)模型中不考虑人为的或是自然的灾害所造成的种群数量、繁殖率和存活率的变动。

数学建模线性方程组的数值解法

或 AX=b
直接法经过有限次算术运算求出精确解（实际上由于有舍入误差只能得到近似解） ---- 高斯（Gauss）消元法及与它密切相关的矩阵LU分解迭代法从初始解出发，根据设计好的步骤用逐次求出的近似解逼近精确解 ---- 雅可比（Jacobi）迭代法和高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法
(k )
0.1x1
( k 1)
0.3x2
( k 1)
1.4
Gauss-Seideil迭代公式 Dx ( k 1) Lx ( k 1) Ux ( k ) b
用它作除数会导致舍入误差的很大增加解决办法选
(k ) aik
(i k , n) 最大的一个(列主元)
将列主元所在行与第k行交换后, 再按上面的高斯消元法进行下去，称为列主元消元法。
直接法 - 高斯消元法的矩阵表示
高斯消元法的第一次消元
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
数值解法(迭代解法)的收敛性
实验5的主要内容
1. 两类数值解法: 直接方法；迭代方法
2. 超定线性方程组的最小二乘解 3. 线性方程组数值解法的MATLAB实现 4. 实际问题中方程组的数值解
线性方程组的一般形式、两类解法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
大学数学实验
Mathematical Experiments 实验5 线性代数方程组的数值解法