2009年厦门市高三质量检查测试10

2009年厦门市高三质量检查测试十数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分为150分，考试时间120分钟．注意事项：1． 考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上； 2． 答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C n k P k (1－P)n-k球的表面积公式：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V=34πR 3，其中R 表示球的半径.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．44．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--=B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34π D.35π7．把函数)24sin(x y -=π的图象向右平移8π个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（ ）A ．πB ．2 πC ．4 πD ．2π 8．光线沿直线y=2x +1射到直线y=x 上，被直线y=x 反射后的光线所在的直线方程为（ ）A ．121-=x yB ．2121-=x y C ．2121+=x y D ．121+=x y9．从4台A 型笔记本电脑与5台B 型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有 （ ） A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种10．对于不重合的两条直线m ，n 和平面α，下列命题中的真命题是 （ ） A ．如果αα⊄⊂n m ,，m ，n 是异面直线，那么α//n B ．如果αα//,n m ⊂，m ，n 是共面，那么n m // C ．如果αα⊄⊂n m ,，m ，n 是异面直线，那么α与n 相交D ．如果αα//,//n m ，m ，n 共面，那么n m //11．已知数列}{n a 的前n 项和S n 满足131-=n n a S ，那么)(lim 242n n a a a +++∞→ 的值为（ ）A ．21 B ．32 C ．1 D ．－212．已知函数))((R x x f ∈的图象如图所示，则函数)11()(-+=x x f x g 的单调递减区间是（ ） A ．),1(],0,(+∞-∞ B ．),3[],0,(+∞-∞ C ．),1(),1,(+∞-∞D ．)1,1[-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．13则第3组的频率为 . 14. 14lim14n nn →∞-=+ .15. 圆22:2270C x y x y +---=的圆心坐标为 ，设P 是该圆的过点(3,3)的弦的中点,则动点P 的轨迹方程是.16．将给定的25个数排成如右图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列 的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表 正中间一个数a 33＝1，则表中所有数之和为.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a17．（12分）已知函数||121)(x ex x f -=为自然对数的底数）（其中e（Ⅰ）判断)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）在)0,(-∞上求函数)(x f 的极值；（Ⅲ）用数学归纳法证明：当0>x 时，对任意正整数n 都有nxn xf -⋅<2!)1(18．（12分）定义在(0,)+∞的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=2x af (x),h(x)x -=-且g(x)在[1，2]为增函数，h(x)在（0，1）为减函数.（I ）求g(x)，h(x)的表达式； （II ）求证：当1<x< 2e 时，恒有2+f(x)x<;2-f(x)（III ）把h(x)对应的曲线1C 向上平移6个单位后得曲线2C ，求2C 与g(x)对应曲线3C 的交点个数，并说明道理.19．（12分）已知函数).0()1ln(1)(>++=x xx x f（Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1)(+>x k x f 恒成立，求整数k 的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n （n+1）]>e 2n －3.20．（12分）已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2．(1)若f (x )在x ＝1时，有极值－1，求b 、c 的值；(2)当b 为非零实数时，证明f (x )的图像不存在与直线(b 2－c )x ＋y ＋1＝0平行的切线； (3)记函数| f ' (x )|(－1≤x ≤1)的最大值为M ，求证：M ≥32．21．（12分）如图，若21,F F 为双曲线12222=-by ax 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足0,11=⋅=PO M F PM O F（Ⅰ）求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若此双曲线过点),3,2(N 求双曲线的方程； （Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为121(,B B B 在y轴的正半轴上），过2B 点作直线l 与双曲线交于B A ,两点，当B B A B 11⊥时，求直线l 的方程。

22．（14分）已知函数x x x f +=2)(.（Ⅰ）数列N n a a f a a a ni in n n ∈<+'=>∑=+对任意的若满足2111),(,0:}{111，恒成立，试求a 1的取值范围；（II ）数列为数列记满足k nn n n n S b c N n a f b b b ,11),)((,1:}{11+=∈==++}{n c 的前k 项和，T k 为数列}{n c 的前k 项积，∑-<+ni kk k T S T 1107.2009年厦门市高三质量检查测试十数学试题参考答案及评分标准（理科数学）一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分） ACCCA ABCBB 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13. 24.0 14. 1- 15. (1,1)；22(2)(2)2x y -+-= 16. 25 三、解答题：（本大题6个小题，共74分） 17．（12分） 解：（Ⅰ） )(1)(1)(||12||12x f exex x f x x ==-=----是偶函数)(x f ∴。

……3分(Ⅱ)当0<x 时，x e xx f 121)(=)12(1)1(12)(1421213+-=-+-='x e xxe xe xx f x x x ………5分令0)(='x f 有5.0-=x ，当x 变化时)(),(x f x f '的变化情况如下表: 由表可知：当2-=x 时)(x f 取极大值24-e.………7分(Ⅲ)当0>x 时x xe x xf ex x f --=∴=212)1(,1)( ………8分考虑到：0>x 时，不等式nx n xf -⋅<2!)1(等价于x n n xe n x x n ex ⋅<⇔⋅<--!!22…（1） 所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切*∈N n 都成立即可………9分 （i ）当1=n 时，设)0(,)(>-=x x e x g x是增函数时，)(,01)(0x g e x g x x ∴>-='> ， ………10分故01)0()(>=>g x g ，即)0(,>>x x e x所以，当1=n 时，不等式（1）都成立 ………11分 （ii ）假设)(*∈=N k k n 时，不等式（1）都成立，即xk e k x ⋅<! 当1+=k n 时设)0(,)!1()(1>-⋅+=+x xe k x h k x有0)!)(1()1()!1()(>-⋅+=+-⋅+='kxk xx e k k x k e k x h ………12分 故)0(,)!1()(1>-⋅+=+x xe k x h k x为增函数，所以，0)!1()0()(>+=>k h x h ，即x k e k x⋅+<+)!1(1， ………13分这说明当1+=k n 时不等式（1）也都成立， 根据(i)(ii)可知不等式（1）对一切*∈N n 都成立，故原不等式对一切*∈N n 都成立. ………14分 18．（12分）解（I ）由题意：22g(x)x af (x)x a ln x.=-=-a g (x)=2x-0,x (1,2].x'>∈恒成立∴2a 2x ,x (1,2]≤∈恒成立.2a (2x )2a 2............................................2∴<=∴≤最小，分又a h (x)10x (0,1)2'=-<∈恒成立.∴a x (0,1),>∈即a 2.≥=最大2a 2.a 2.....................................................4g(x)=x 2ln x;h(x)x ∴≥∴=∴-=-分分（II ）21x e ,0ln x 2,<<∴<< 欲证：2f (x)x .2f (x)+<-只需证：x[2f (x)]2f (x)-<+ 即证：2(x-1)f (x)x+1>记2(x 1)2(x-1)k(x)f (x)ln x-.x 1x+1-=-=+∴22(x 1)k (x)...........................7x(x 1)-'=+分∴当x>1时，k (x)0k(x)[1'>∴+∞在，）为增函数…………….9分k(x)k(1)0,k(x)0.∴>=∴>即2(x-1)2(x 1)ln x 0,ln x x+1x 1-->∴>+∴结论成立………………………………………………..10分 （III ）由 （1）知：2g(x)x 2ln x,h(x)x =-=- ∴2C对应表达式为1h (x)x 6=-∴问题转化成求函数21g(x)x 2ln x h (x)x 6.=-=-与交点的个数即求方程：2x 2ln x x 6.-=-的根的个数即：22ln x x x 6...................................12=-++分设223h (x)2ln x,h x x x 6.=++（）=-222h (x).xx'=-==∴当x (0,4)∈时，22h (x)0,h (x)'<为减函数. 当x (4,)∈+∞时，22h (x)0,h (x)'>为增函数. 而23h (x)x x 6=-++的图象开口向下的抛物线∴3h (x)与2h (x)的大致图象如图： ∴3h (x)与2h (x)的交点个数为2个. 即2C 与3C 的交点个数为2个.19．（12分） ．解：（I ）)]1ln(11[1)]1ln(11[1)(22+++-=+--+='x x x x x xxx f …………（2分）.0)(,0)1ln(,011,0,02<'∴>+>+>∴>x f x x x x),0()(∞∴在x f 上是减函数.……………………………………………………（4分）（II ）.)]1ln(1)[1()(,1)(恒成立即恒成立k xx x x h x k x f >+++=+>即h (x )的最小值大于k .…………………………………………………………（6分）).0)(1ln(1)(,)1ln(1)(>+--=+--='x x x x g x x x x h 记则),0()(,01)(+∞∴>+='在x g x x x g 上单调递增，又.02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=<-=g g0)(=∴x g 存在唯一实根a ，且满足).1ln(1),3,2(++=∈a a a当.0)(,0)(00)(,0)(<'<<<>'>>x h x g a x x h x g a x 时，，当时， ∴)4,3(1)]1ln(1)[1()(min )(∈+=+++==a aa a a h h x故正整数k 的最大值是3 ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知)0(13)1ln(1>+>++x x x x ∴xx x x x 32132113)1ln(->+-=-+>+ ………………11分令*))(1(N n n n x ∈+=，则)1(32)]1(1ln[+->++n n n n∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]321332)111(32])1(1323211[32])1(32[)3132()2132(->++-=+--=+++⨯+⨯-=+-++⨯-+⨯->n n n n n n n n n n∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n （n+1）]>e 2n －3………………14分20．（12分） 解：Ⅰ)∵f ’ (x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1时，有极值－1得⎩⎨⎧f' (1)＝0f (1)＝－1即⎩⎨⎧3＋2b ＋c ＝01＋b ＋c ＋2＝－1解得⎩⎨⎧b ＝1c ＝－5·································································································· （3分）当b ＝1,c ＝－5时,f ’ (x )＝3x 2＋2x －5＝(3x ＋5)(x －1)， 当x ＞1时，f ’ (x )＞0， 当－35＜x ＜1时，f ′(x )＜0.从而符合在x ＝1时，f (x )有极值，∴⎩⎨⎧b ＝1c ＝－5 ··············································································· （4分）(Ⅱ)假设f (x )图像在x ＝t 处的切线与直线 (b 2－c )x ＋y ＋1＝0平行， ∵f ’ (t )＝3t 2＋2bt ＋c ，直线(b 2－c )x ＋y ＋1＝0的斜率为c －b 2， ∴3t 2＋2bt ＋c ＝c －b 2,(7分) 即3t 2＋2bt ＋b 2＝0. ∵Δ＝4(b 2－3b 2)＝－8b 2, 又∵b ≠0, ∴Δ＜0.从而方程3t 2＋2bt ＋b 2＝0无解, 因此不存在t ，使f ’ (t )＝c －b 2，却f (x )的图像不存在与直线(b 2－c )x ＋y ＋1＝0平行的切线. ··························································· （9分）(Ⅲ)证法一：∵| f ’ (x )|＝|3(x ＋b 3)2＋c －b 23|，①若|－b3|＞1，则M 应是| f ’ (－1)|和| f ’ (1)|中最大的一个，∴2M ≥|f ’ (－1)|＋| f ’ (1)|＝|3－2b ＋c |＋|3＋2b ＋c |≥|4b |＞12，∴M ＞6，从而M ≥32. ····················································································································· （11分）②当－3≤b ≤0时，2M ≥| f ’ (－1)|＋| f ’ (－b3)|＝|3－2b ＋c |＋|c －b 23|≥|b 23－2b ＋3|＝|13 (b －3)2|≥3，所以M ≥32. ··············································· （13分）③当0＜b ≤3时，2M ≥| f ’ (1)|＋| f ’ (－b 3)|＝|3＋2b ＋c |＋|c －b 23|≥|b 23＋2b ＋3|＝|31(b ＋3)2|＞3，∴M ≥32.综上所述，M ≥32. ··························································································································· （15分）证法二：f ’ (x )＝3x 2＋2bx ＋c 的顶点坐标是(－b 3，3c －b23)，①若|－b3|＞1，则M 应是|f ′(－1)|和|f ′(1)|中最大的一个，∴2M ≥| f ’ (－1)|＋| f ’ (1)|＝|3－2b ＋c |＋|3＋2b ＋c |≥4|b |＞12，∴M ＞6，从而M ≥32. ····················································································································· （11分）②若|－b3|≤1，则M 是| f ’ (－1)|、| f ’ (1)|、|3c －b 23|中最大的一个.(i)当c ≥－32时，2M ≥| f ’ (1)|＋| f ’ (－1)|≥| f ’ (1)|＋f ’ (－1)|＝|6＋2c |≥3，∴M ≥32.(2)当c ＜－32时，M ≥|3c －b 23|＝b 23－c ≥－c ＞32，综上所述，M ≥32成立. ··················································································································· （15分）证法三：∵M 是| f ’ (x )|，x ∈[－1，1]的最大值，∴M ≥| f ’ (0)|，M ≥| f ’ (1)|，M ≥| f ’ (－1) |. ·················································································· （11分）∴4M ≥2| f ’ (0)|＋| f ’ (1)|＋| f ’ (－1)|≥| f ’ (1)＋f ’ (－1)－21．（12分）解：（Ⅰ）由→→=PM O F 1知四边形PF 1OM 是平行四边形， 又01=⋅PO M F ，四边形PF 1OM 是菱形 …………2分设焦半距为c ，则c PM PF OF ===→→→11∴a PF PF 212+=→→=c+2a ， …………4分由双曲线第二定义可知2,2,2=∴=+=→→e e ca c e PMPF 即（6分）（Ⅱ）∵e=2=ac ∴c=2a∴双曲线方程为132222=-a y a x又∵双曲线过点N （2，3），∴133422=-aa，即32=a∴所求双曲线方程为19322=-y x …………8分（Ⅲ）由题意知B 1（0，3），B 2（0，-3）， 设直线l 的方程为y=kx -3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由⎪⎩⎪⎨⎧=--=193322y x kx y 消去y 得0186)3(22=-+-kx x k …………9分∵双曲线的渐近线为x y 3±=，∴当3±=k 时，直线l 与双曲线只有一个交点，即3±≠k …………10分分1299)(3,3186)(318,36212122122121221222 =++-=--=-+=+--=--=+x x k x x k y y kx x k y y k x x k k x x又∵)3,(),3,(221111-=-=→→y x B B y x A B而09)(3212121=++-+y y y y x x …………13分即5,0931*******2±=∴=+--⋅-+--k k k直线l 的方程为35-±=x y …………14分22．（14分） 解：（I ）12)(+≠'x x f ， …………1分 1211+=∴+a a n )1(211+=++n n a a…………3分1112)1(1,1,01-+=+∴+>+n n n a a a a 为等比数列,)21(111111-+=+∴n na a …………4分.2111211111)2121211(1111111121≤+=-⨯+<+++++=+--∑a a a an ni n31≥∴a…………6分（II ）证明：)1()(1+==+n n n n b b b f b111+=+=∴n n nn b b b c 11232211++-⋅=n n n b b b b b b b T1111),1(11+--∴+=∴++n nn n n n b b b b b b111+-=∴n n n b b c …………10分1121111111++-=-+++=∴k k kk b b b b b S由)1(1+=+k k k b b b 显然212111,0k k k k n b b b b b <∴>>++即知6,2,1321===b b b 又。