高一下学期数学必修2直线与方程导学案全套
高中数学必修二《直线与方程》教案设计
高中数学必修二《直线与方程》教案设计一、教学目标1.知识目标：o学生能够掌握直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达形式及其相互转换。
o学生能够理解直线方程中斜率、截距的概念，并能根据给定条件求出直线方程。
o学生能够运用直线方程解决简单的几何问题，如求两直线的交点、判断两直线是否平行或垂直。
2.能力目标：o培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，通过直线方程的学习，提高数学建模能力。
o提高学生的运算能力，能够熟练进行直线方程的推导和计算。
o增强学生的问题解决能力，能够运用所学知识解决实际问题。
3.情感态度价值观目标：o培养学生严谨的数学学习态度，注重逻辑推理和证明过程。
o激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极探索数学奥秘，培养数学学习的自信心。
o培养学生的合作精神，通过小组讨论和合作学习，提高团队协作能力。
二、教学内容-重点：直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达及相互转换；斜率、截距的概念及应用。
-难点：直线方程的应用，如求两直线的交点、判断两直线的位置关系。
三、教学方法-讲授法：用于直线方程的基本概念和理论的讲解。
-讨论法：通过小组讨论，加深学生对直线方程的理解和应用。
-案例分析法：通过具体案例分析，提高学生解决实际问题的能力。
-多媒体教学法：利用多媒体资源，如、动画等，直观展示直线方程的图形和推导过程。
四、教学资源-教材：《高中数学必修二》-教具：黑板、粉笔、直尺、圆规-多媒体资源：课件、直线方程推导动画、几何画板软件-实验器材：无需特定实验器材五、教学过程六、课堂管理1.小组讨论：每组4-5人，确保每组成员水平均衡，指定小组长负责协调讨论和记录。
2.维持纪律：明确课堂规则，如举手发言、不打断他人讲话等，对违规行为及时提醒和处理。
3.激励策略：对积极参与讨论、表现突出的学生给予表扬和奖励，如加分、小礼品等。
七、评价与反馈1.课堂小测验：每节课结束前进行小测验，检查学生对本节课内容的掌握情况。
2.课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，要求学生按时完成并提交。
人教A版高中数学必修二导学案直线的一般式方程
3.2.3直线的一般式方程一、学习目标：1、知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法： 学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、使用说明及学法指导:注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答。
牢记直线方程常见的几种形式，比较各种直线方程的形式特点和适用范围,多复习记忆。
平行班完成学案的AB 类题目.四、知识链接：点斜式方程：)(00x x k y y-=-斜截式方程：b kx y += 两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--五、学习过程：B 问题１（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？我们把关于关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式B 问题2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？C 问题3、在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 重合。
A 例1已知直线经过点A （6，-4），斜率为34-，求直线的点斜式和一般式方程。
A 例2把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
C 问题４、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？六、达标检测：第９９页A 练习第１，２，３ 习题３.２A 组１，１０.小结（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
苏教版高中数学必修二：2.1.2直线的方程(2)导学案
《直线的方程（2）》导学活动单19必修二：2.1. 22、掌握直线方程的截距式和使用条件3、对直线的截距有一个全面的认识【重点】直线的两点式的表示【难点】直线的两点式的表示的使用条件【课时安排】1课时【活动安排】一．自学质疑：看书P83-P841、复习：直线的点斜式方程：一般形式：；适用条件：；直线的斜截式方程：一般形式：；适用条件：；2、过点(1,3)、(-1,2)的直线方程为3、过点(0,3)、(-2,0)的直线方程为4、过点(3,1)且过原点的直线方程为5、下列命题中正确的是；(1)任一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距；(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距不可能相同；(3)如果两条直线在y轴上的截距相同，但斜率不相同，那么它们在x轴上的截距不可能相同；(4)任一条直线都可以用截距式方程表示。
二、互动研讨活动一：两点式直线方程的推导本节课研究的问题是：——如何写出直线方程？——两个要素（两个点）．探究：若直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），点P在直线l上运动，那么点P 的坐标(x，y)满足什么样条件？推导过程：一般地，设直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则方程叫做直线的两点式方程．思考：（1）方程121121x x x x y y y y --=--的左、右两边各具有怎样的几何意义？（2）方程121211x x y y x x y y --=--和方程121121x x x x y y y y --=--表示同一图形吗？活动二：已知两点利用两点式求直线方程1、已知三角形的顶点是A(－5 , 0) , B(3 , －3) , C(0 , 2) , 试求这个三角形的三边所在直线的方程.2、已知直线l 经过两点A (a ，0)，B (0，b )，其中ab ≠0，求直线l 的方程．直线的截距式方程在上面第2题中，我们称b 为 ，a 称为 ．这个方程由直线l 在x 轴和y 轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫做直线的截距式方程．3、已知矩形OACB 的三个顶点分别为O(0 , 0) , A(8 , 0) , B(0 , 5) , 求矩形的对角线所在的直线方程.4、已知直线l 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．。
高中数学必修二第三章 直线与方程导学案
§3.1.1倾斜角与斜率【学习要求】1．理解直线的斜率和倾斜角的概念；2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．【学法指导】通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.【知识要点】1．倾斜角的概念：当直线l与x 轴相交时，我们取作为基准，正向与直线l之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即.3．倾斜角与斜率的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°<α<180°斜率(范围)0大于0斜率不存在小于0【问题探究】[问题情境]在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．探究点一直线的倾斜角及斜率的概念问题1我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？问题2怎样描述直线的倾斜程度呢？问题3依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？问题4任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？问题5日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？问题6如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？小结我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．探究点二直线的斜率公式导引有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？问题1如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？图1图2问题2设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？问题3根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？问题4当P2P1的方向向上时，tan α＝y2－y1x2－x1成立吗？为什么？问题5当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？小结经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1.例1如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．小结应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．跟踪训练1求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）(1,1)，(2,4)；（2）(－3,5)，(0,2)；（3）(2,3)，(2,5)；（4）(3，－2)，(6，－2)．例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4.小结已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点．跟踪训练2已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_______【当堂检测】1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于()A．1 B．4 C．1或3 D．1或43．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x等于()A．1 B．－1 C．0 D．7【课堂小结】1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线.【课后作业】§3.1.2两条直线平行与垂直的判定【学习要求】1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3．能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．【学法指导】通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力.【知识要点】1．两条直线平行与斜率的关系（1）对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔.（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与垂直，故l1l2.2．两条直线垂直与斜率的关系（1）如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔.（2）如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是．【问题探究】[问题情境]为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两条直线平行的判定问题1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？问题2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？小结对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．例1已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论．小结判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等．一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题．跟踪训练1试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．小结熟记斜率公式：k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.跟踪训练2求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－72)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形．探究点二两条直线垂直的判定问题1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？问题2已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出问题1 中两直线的斜率k1、k2之间的关系？问题3如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？为什么？问题4对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？小结如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即k1k2＝－1⇒l1⊥l2.例3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．小结在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解．两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线斜率为零，另一条斜率不存在．跟踪训练3已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．【当堂检测】1．已知点A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值为()A．2 B．1 C．0 D．－12．已知直线l1的斜率为k1＝2，直线l2的斜率为k2＝－12，则l1与l2 ()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合3．直线l1：x＝1与直线l2：x＝0的位置关系是_______4．已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．【课堂小结】1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l1、l2存在斜率k1、k2，则l1∥l2⇔k1＝k2(其中l1，l2不重合)；若l1、l2可能重合，则k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行.【课后作业】§3.2.1直线的点斜式方程【学习要求】1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.【知识要点】1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点P(x，y)的坐标之间的关系．2．直线l经过点P1(x1，y1)，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为k时，直线方程为，该方程叫做直线的点斜式方程．3．方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在轴上的截距．4．对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔；l1⊥l2⇔.【问题探究】[问题情境]给出一定点P0和斜率k，直线就可以唯一确定了．如果设点P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立P和P0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一直线的点斜式方程问题1求直线的方程指的是求什么？问题2如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？问题3过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足问题2中得出的方程吗？为什么？问题4坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上吗？为什么？小结由上述问题2和问题3的讨论可知，方程y－y0＝k(x－x0)就是过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．问题5如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程？问题6y轴所在的直线方程是什么？如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴的直线方程？例1直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.小结由点斜式写直线方程时，由于过P(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：（1）斜率存在时方程为y－y0＝k(x－x0)；（2）斜率不存在时，直线方程为x＝x0. 跟踪训练1一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．探究点二直线的斜截式方程问题1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？小结我们称b为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．问题2直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？问题3一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？例2已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？小结已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.跟踪训练2已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．【当堂检测】1．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线2．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．3．写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；（2）经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．【课堂小结】1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0.直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．【课后作业】§3.2.2直线的两点式方程【学习要求】1．掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．【学法指导】通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯．【知识要点】 1．直线的两点式方程：经过直线上两点p 1(x 1，y 1)，p 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．2．直线的截距式方程：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程 由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的 ． 3．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标公式为 【问题探究】 [问题情境]已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在y 轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？ 探究点一 直线的两点式方程导引 已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程？ 问题1 经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？问题2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样 转化？小结 经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？例1 已知直线l 与x 轴的交点为A (a,0)，与y 轴的交点为B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．小结 我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋yb＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程． 跟踪训练1 三角形的顶点是A (－4,0)，B (3，－3)，C (0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．探究点二 直线两点式、截距式方程的应用问题 如图所示，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )是线段AB 的中点，如何用A ，B 点的坐标表示M 点的坐标？小结 已知P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 2＋x 12，y ＝y 2＋y12，这个公式为线段的中点坐标公式．例2 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．小结 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程； （3）BC 边上的中线AE 所在直线的方程．【当堂检测】 1．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( ) A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y －4＝1 C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y－3＝12．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是_________________________3．直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．【课堂小结】1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．点斜式与斜截式要注意斜率不存在的情况．两点式要考虑直线平行于x 轴和垂直于x 轴的情况．截距式要注意两个截距都不为0的条件限制，另外截距相等也包括截距均为零的情况，不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．2．方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)以及(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)代表的直线范围不同.【课后作业】§3.2.3 直线的一般式方程【学习要求】1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线； 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．【学法指导】通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程的五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化.【知识要点】1．关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B )叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．比较直线方程的五种形式形式 方程 局限 点斜式 不能表示k 不存在的直线斜截式不能表示k 不存在的直线【问题探究】[问题情境]前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x ，y 这两个变量，并且x ，y 的次数都是一次的，即它们都是关于x ，y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．探究点一 直线的一般式方程问题1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？为什么？问题2 每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？ 小结 直线方程都是关于x ，y 的二元一次方程；关于x ，y 的二元一次图象又都是一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 问题3 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4 在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合． 例1 已知直线经过点A (6，－4)，斜率为－43，求直线的点斜式和一般式方程．小结 对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．跟踪训练1 若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，求实数m 的取值范围．探究点二 直线方程五种表达形式的转化例2 把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．小结 任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了．由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．跟踪训练2 求直线3x ＋2y ＋6＝0的斜截式和截距式方程．探究点三 综合问题例3 已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：（1）过点A 和直线l 平行的直线方程； （2）过点A 和直线l 垂直的直线方程．小结 一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练3 已知直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程，并将直线的方程化为一般式．【当堂检测】1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为 ( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过 ( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限3．直线mx ＋y －m ＝0，无论m 取什么实数，它都过点______． 4．求经过点A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．【课堂小结】1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，分别求得直线在y 轴上的截距和在x 轴上的截距；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可.【课后作业】§3.3.1 两条直线的交点坐标【学习要求】1．理解直线和直线的交点与相应直线的方程组成的二元一次方程组的解的关系； 2．会求两直线交点坐标以及判断两直线的位置关系．【学法指导】通过两直线交点与两直线方程组解的对应关系，掌握直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置关系的方法，从而认识事物之间的内在联系，学会能够用辩证的观点看问题.【知识要点】1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线 ，交点坐标为 2311112222的交点的直线：．【问题探究】[问题情境]二元一次方程组的解有三种不同情况(唯一解，无解，无穷多解)，同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况(相交，平行，重合)，本节我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系．探究点一直线的交点与直线的方程组解的关系问题1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？问题2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？问题3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？例1求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0；l2：2x＋y＋2＝0.小结求两直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解，说明两直线相交；有无数解，说明两直线重合；无解，说明两直线平行．跟踪训练1求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：l1：x－2y＋2＝0，l2：2x－y－2＝0.探究点二两条直线的位置关系问题1设两直线为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？问题2如何利用两直线的方程组成的方程组的解来判断两条直线的位置关系？例2判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．（1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；（2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；（3）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.小结判定两条直线的位置关系有两种方法：（1）通过解两直线对应方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；（2）利用两直线方程的对应系数的比判断两直线的位置关系．跟踪训练2（1）已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，若l1∥l2，求实数m的值；（2）已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.若l1⊥l2，求实数a的值．探究点三过两直线交点的直线方程问题当λ变化时，方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0表示什么图形？图形有何特点？例3求经过直线l1：x＋3y－4＝0，l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2,3)的直线方程．小结方程x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0无论λ取什么值，它表示的直线都过x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点．跟踪训练3求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．【当堂检测】1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A．(－1，13) B．(13，1) C．(1，13) D．(－1，－13)2．直线l1：(2－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(2＋1)y＝3的位置关系是()A．平行B．相交C．垂直D．重合3．已知直线l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝0.当l1⊥l2时，求a的值及垂足的坐标．【课堂小结】1．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程.【课后作业】§3.3.2两点间的距离【学习要求】1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法；2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．【学法指导】通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想．【知识要点】1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝.2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：．第二步：．第三步：．【问题探究】[问题情境]我们已经知道数轴上的两点A、B的距离|AB|＝|x A－x B|，那么如果已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两点间的距离。
2017人教a版数学必修二直线的方程导学案
高中数学必修2《直线的方程》导学案姓名: 班级：_______ 组别: 组名:【学习目标】一、熟练掌握直线方程的五种形式二、熟知各类直线方程中的限制条件【重点难点】▲重点：各类直线方程形式间的转化▲难点：各种形式间的区别【知识链接】一、倾斜角与斜率的关系二、斜率的坐标表示【学习进程】阅读讲义92页至94页的内容，尝试回答下列问题：知识点一 直线的点斜式和斜截式点斜式 斜截式 已知条件点00(,)P x y 和斜率k 斜率k 和在y 轴上的截距b 方程________________________ _______________________图形适用范围不适合_______________的直线 不适合__________________的直线问题1.已知直线过点A （-2，3），倾斜角为45,可否写出直线方程？化成一次函数的形式，常数项为_______,即是与y 轴的交点的_____坐标.问题2.截距是不是距离？怎么理解？问题3.直线的斜截式与一次函数的解析式相同吗？阅读讲义95页至96页的内容，尝试回答下列问题： y x ok 00(,)P x y y x o kb问题3：若A （a,0），B （0,b ）其中 0,0≠≠b a 则通过A B 的直线方程为 问题4：上面的两个点有什么特别的地方？它们就是 这种直线方程的形式叫阅读讲义97页至99页的内容，尝试回答下列问题：知识点三 直线的一般式方程问题1.概念：关于,x y 的二元一次方程______________（其中A,B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.问题2.斜率：直线0(,0)Ax By C A B ++=不同时为，当0B ≠时，其斜率是_______，在y 轴上的截距是________；当0B =时，这条直线垂直于______轴，斜率不存在.问题3.直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式都可化为一般式吗？反之呢？知识点四 典型例题例1.按照下列条件写出直线方程，并化为一般式.(1) 3，且通过点A （5,3）；(2) 过点B （-3,0），且垂直于x 轴；(3) 斜率为4，在y 轴上的截距为-2；(4) 在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5) 通过两点A(-1,5),B(2，-1)；(6) 在x 、y 轴上的截距别离为-3，-1.例2.(1)当a 为何值时，直线1:2l y x a =-+与22:(2)2l y a x =-+直线平行？(2) 当a 为何值时，直线1:(21)3l y a x =-+与2:43l y x =-垂直？【基础达标】A 一、写出知足下列条件的直线方程,并化为一般式.(1)通过点(4,2)--，倾斜角是120︒；(2)斜率为2-，在y 轴上的截距是4；(3)通过两点1(2,1),p 2(0,3)p -；(4)过点(5,0)，且在两坐标轴上的截距之差为2.A 二、求下列直线的斜率和在y 轴上的截距，并画出图形；（1）350x y +-=； （2）145x y -=； （3）20x y +=； （4）7640x y -+=.B3、别离求过点P(-5，-4)且知足下列条件的直线方程.(1) 在y 轴上截距为1；(2) 倾斜角是直线3y =-的倾斜角的12；C4、三角形的三个极点是A(4,0),B(6,7),C(0,3).(1) 求BC 边上的高所在直线的方程；(2) 求BC 边上的中线所在直线的方程；(3) 求BC 边上的垂直平分线的方程.D 五、求知足下列条件的直线的方程：（1） 通过点A （3,2），且与直线420x y +-=平行；（2） 通过点C(2，-3), 且平行于过点M(1,2)和N （-1，-5）的直线；（3） 通过点B(3,0),且与直线250x y +-=垂直.D 六、已知直线通过点P （3，-2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【小结】【当堂检测】A 一、按照下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：（1） 通过点A(8，-2),斜率是12-； （2） 通过点B(4,2),平行于x 轴；（3） 通过点1(3,2),p -2(5,4)p -；（4） 在x 轴，y 轴上的截距别离是3,32-. 【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
人教A版高中数学必修2 第3章 直线与方程【导学案】
1§3.1直线的倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.9091复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination ）.关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tan k α=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o α=时，则k ；⑵当090o o α<<时，则k ；⑶当90o α=时，则k ；⑷当090180oα<<时，则k .新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k =；⑵1k =；⑶k =；⑷k 不存在.例2求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.2※动手试试练1.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.⑴(2,3),(1,4)A B -；⑵(5,0),(4,2)A B -.练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角α直线的斜率k直线的斜率公式定义αtan =k 1212x x y y k --=取值[0,180)︒),(+∞-∞)(21x x ≠范围※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列叙述中不正确的是（）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2.经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο3.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为().A.1 B.4 C.1或3 D.1或44.直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为角；k 的取值范围.5．已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________.1.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.2.已知直线l 过2211(2,(),(2,())A t B t t t-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.3§3.2两直线平行与垂直的判定1.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．9598复习1：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为.2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为,倾斜角为.3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为.4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系.5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m =.复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?二、新课导学：※学习探究问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置关系是.(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是.问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k 注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-※典型例题例1已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA与PQ 的位置关系,并证明你的结论.例2已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使直线CD AB ⊥，且//CB AD .4变式：已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，试判断三角形ABC 的形状.※动手试试练1.试确定m 的值，使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线⑴平行；⑵垂直练2.已知点(3,4)A ，在坐标轴上有一点B ，若2AB k =，求B 点的坐标.三、总结提升：※学习小结：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法正确的是（）.A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2.过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是（）.A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3.经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（）.A ．75-B ．75C ．145-D ．1454.已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上，则a 的值为.5．顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --，所组成的图形是.1.若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠，试求a 为何值时，⑴12//l l ；⑵12l l ⊥.2．已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.5§3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.101104，找出疑惑之处）复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则；如果12l l ⊥，则.2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为.3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标.4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学：※学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是，y 轴所在直线的方程是.⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是.⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是.问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线?斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※典型例题例1直线过点(1,2)-，且倾斜角为135ο，求直线l 的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程；⑵直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程；⑶直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程.例2写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴斜率是2，在y 轴上的距截是－2；⑵斜角是0135，在y 轴上的距截是06变式：已知直线的方程3260x y +-=，求直线的斜率及纵截距.※动手试试练1.求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.练2.求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升：※学习小结1.直线的方程：⑴点斜式00()y y k x x -=-；⑵斜截式y kx b =+；这两个公式都只能在斜率存在的前提※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（）.A20y ++-B360y +++=C．40x +-=D ．40x +=2.已知直线的方程是21y x +=--，则（）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-3.直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（）.A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)--4.直线l 的倾斜角比直线122y =+的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程.5.已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程.1.已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.2.直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.7§3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.105106，找出疑惑之处）复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为.2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为.3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学：※学习探究新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程.注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※典型例题例1求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.⑴(2,1),(0,3)A B -；⑵(4,5),(0,0)A B --.例2已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.8※动手试试练1.求出下列直线的方程，并画出图形.⑴倾斜角为045，在y 轴上的截距为0；⑵在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6；⑶在x 轴上截距是－3，与y 轴平行；⑷在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.三、总结提升：※学习小结1．直线方程的各种形式总结为如下表格：2．中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线l 过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b 在l上，则b 的值为（）.A ．2003B ．2004C ．2005D ．20062.若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件()A.,,A B C 同号 B.0,0AC BC <<C.0,0C AB =< D.0,0A BC =<3.直线y ax b =+（0a b +=）的图象是()线方程.5.直线21y x =-关于x 轴对称的直线方程，关于y 轴对称的直线方程关于原点对称的方程.1.过点P (2，1）作直线l 交,x y 正半轴于AB 两点，当||||PA PB ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.2.已知一直线被两直线1:460l x y ++=，2l ：3x 560y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式111(,),P x y k11()y y k x x -=-k 存在斜截式bk ，y kx b =+k 存在两点式),(11y x （),22y x 112121y y x x y y x x --=--12x x ≠12y y ≠截距式b a ,1x y a b+=0a ≠0b ≠§3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.一、课前准备：（预习教材P107~P109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程.⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程.⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是.复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？二、新课导学：※学习探究新知：关于,x y的二元一次方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程0Ax By C++=中，,,A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.※典型例题例1已知直线经过点(6,4)A-，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2把直线l的一般式方程260x y-+=化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形⑴350x y+-=；⑵145x y-=；⑶20x y+=；⑷7640x y-+=；⑸270y-=.910※动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷经过两点12(3,2),(5,4)P P --.练2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线P A 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程三、总结提升：※学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）；2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C +=学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --=2.若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（）.A ．1A ≠B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠3.已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=4.直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b +=.5.直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m =.课后作业1.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.§3.1两条直线的交点坐标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.112114，找出疑惑之处）1．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线.2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※典型例题例1求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=；⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.例2求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※动手试试练1.求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2.已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升：※学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（）.A ．13(,24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,24-2.两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（）.A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关3.与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++=4.光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程.5.已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标.1.直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.2.已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.§3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.115116，找出疑惑之处）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点.2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -=.3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：※学习探究问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP =.※典型例题例1已知点(8,10),(4,4)A B -求线段AB 的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值.例2证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.※动手试试练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.练2.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.三、总结提升：※学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．B．CD．32.以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C---为顶点的三角形是（）三角形.A．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3.直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.已知点(1,2),A B-，在x轴上存在一点P，使PA PB=，则PA=. 5.光线从点M(－2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线的方程.1.经过直线23y x=+和320x y-+=3的交点，且垂直于第一条直线.2.已知a为实数，两直线1l：01=++yax，2l：0=-+ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.§3.3点到直线的距离及两平行线距离1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题117119，找出疑惑之处）复习1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为，AB 间的长度为.复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?二、新课导学：※学习探究新知1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离为：d =.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y --0=的距离.问题3：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y +10-=的距离.新知2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.※典型例题例1已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求三角形ABC 的面积.例2求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：46x y +10-=的距离.※动手试试练1.求过点(1,2)A -，且到原点的距离等于2的直线方程.练2．求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程.三、总结提升：※学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．求点(5,7)P -到直线12530x y +-=的距离（）A ．1B ．0C ．1413D ．28132.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）.A.250x y +-= B.240x y +-=C.370x y +-= D.350x y +-=3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）.A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x y -=D ．0x y -=4.两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离5.在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有条.1．已知正方形的中心为(1,0)G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程.2．,A B 两个厂距一条河分别为400m 和100m ，,A B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供,A B 两厂用水，要使提水站到,A B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？§3.3.3章未复习提高1．掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；2．掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；3．掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义，倾斜角α的范围，斜率公式k =，或.二．直线的方程1．点斜式：00()y y k x x -=-2．斜截式：y kx b=+3．两点式：112121y y x x y y x x --=--4．截距式：1x ya b+=5．一般式：0Ax By C ++=三．两直线的位置关系1．两直线平行2．两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交3．两直线重合四．距离1．两点之间的距离公式，2．点线之间的距离公式，3．两平行直线之间的距离公式.二、新课导学：※典例分析例1如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.例2已知在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例3求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例5过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.※动手试试练1.设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值.⑴l 在x 轴上的截距为2-；⑵斜率为1-.练2．已知直线l 经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．三、总结提升：※学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）.A ．(1,3)-- B.(17,9)-C ．(1,3)-D ．(17,9)-2．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（）.A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(2,3)-和(2,3)D ．都是平行直线3．已知点(3,)m到直线40x -=的距离等于1，则m =（）.AB．C．3D3-4．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a =.5．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是.1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=.⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值2．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ，⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程；⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围.。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式导学案
直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A BA B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三：两点间的距离公式两点111222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为12PP =要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点四：点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =.要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式2221||BA C C d +-=时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩．【答案】（1）1014,33⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行． 【解析】（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫-⎪⎝⎭． （2）解方程组2630 1132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6得2x －6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组260 1132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 举一反三：【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：（1）l1：2x+y+3=0，l2：x―2y―1=0；（2）l1：x+y+2=0，l2：2x+2y+3=0；（3）l1：x―y+1=0；l2：2x―2y+2=0．【答案】（1）直线l1与l2相交，交点坐标为（―1，―1）．（2）直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．（3）两直线重合．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．解法一：设所求的直线为l，由方程组233020x yx y--=⎧⎨++=⎩得3575xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∵直线l和直线3x+y―1=0平行，∴直线l的斜率k=―3．∴根据点斜式有73355y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．∵直线l与直线3x+y－1=0平行，∴2323311λλλ+--=≠-，解得112λ=．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组31104100x yx y--=⎧⎨++=⎩，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有2103110x yx y+-=⎧⎨-++=⎩，解得23xy=⎧⎨=-⎩．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．（2016秋 北京期中）求点A （3，―2）关于直线l ：2x ―y ―1=0的对称点A ＇的坐标． 【思路点拨】设点A ＇的坐标为（m ，n ），求得A ＇A 的中点B 的坐标并代入直线l 的方程得到①，再由线段A ＇A 和直线l 垂直，斜率之积等于―1得到②，解①②求得m ，n 的值，即得点A ＇的坐标．【答案】134(,)55-【解析】设点A （3，―2）关于直线l ：2x ―y ―1=0的对称点A ＇的坐标为（m ，n ）， 则线段A ＇A 的中点32(,)22m n B +-， 由题意得B 在直线l ：2x ―y ―1=0上，故3221022m n +-⨯--= ① 再由线段A ＇A 和直线l 垂直，斜率之积等于―1得22131n m +⨯=-- ②，解①②所成的方程组可得：134,55m n =-=， 故点A ＇的坐标为134(,)55-． 【总结升华】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．例4．求直线x ―y ―2=0关于直线l ：3x ―y+3=0对称的直线方程． 【答案】7x+y+22=0【解析】 解法一：由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得交点59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，取直线x ―y ―2=0上一点A （0，―2），设点A 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点为A ＇（x 0，y 0）， 则根据'1AA l k k ⋅=-，且线段AA ＇的中点在直线l ：3x ―y+3=0上，有00002310232022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩． 故所求直线过点59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭与（―3，―1）． ∴所求直线方程为95722x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭． 即7x+y+22=0．解法二：设P （x ，y ）为所求直线上任意一点，P 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点P ＇（x ＇，y ＇）．根据PP ＇⊥l 且线段PP ＇的中点在直线l 上，可得'31'''33022y yx x x x y y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩，解得8618'10686'10x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．又∵P ＇（x ＇，y ＇）在直线x ―y ―2=0上， ∴8618686201010x y x y -+-++--=，即7x+y+22=0．故所求直线方程为7x+y+22=0．【总结升华】 轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为代入法．举一反三： 【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程． 【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0．【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 要点（二）中的例1】 【变式2】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程．【答案】1y = 20x y += 【解析】法一：直线l 过AB 的中点（1，1），所以l 的方程为1y =． 直线//l AB ，则设l 的方程为1(2)y k x -=+ 则12k =-，所以l 的方程为：20x y += 法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为1(2)y k x -=+，则A 、B 两点到直线l 的距离=解得：10,2k k ==-所以l 的方程为：1y =和20x y +=类型四、两点间的距离 例5．已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证：△ABC 是等腰三角形． 【解析】 先分别求出三边之长，再比较三边的长短，最后下结论．∵||AB ==||AC ==||BC ==∴|AC|=|BC|．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】 利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可．举一反三：【变式1】以点A （―3，0），B （3，―2），C （―1，2）为顶点的三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是 【答案】C【解析】22(33)236440210=--+=+==AB ，22(13)(22)16163242=--+--=+==BC ，22(13)2822=-++==AC ，∵222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形． 故选：C ． 例6．已知直线l 过点P （3，1），且被两平行直线l 1：x+y+1=0，l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程．【答案】y=1或x=3【解析】 设直线l 与直线l 1、l 2分别交于点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2），则11221060x y x y ++=⎧⎨++=⎩，两方程相减，得(x 1―x 2)+(y 1―y 2)=5， ①由已知及两点间距离公式，得(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=25， ②由①②解得121250x x y y -=⎧⎨-=⎩或12125x x y y -=⎧⎨-=⎩，又点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线l 上，因此直线l 的斜率为0或不存在，又直线l 过点P （3，1），所以直线l 的方程为y=1或x=3．【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式1】如图，直线l 上有两点A 、B ，A 点和B 点的横坐标分别为x 1，x 2，直线l 方程为y=kx+b ，求A 、B 两点的距离．【答案】2222121||(1)()1||AB k x x k x x =+-=+-类型五、点到直线的距离例7． 在△ABC 中，A （3，3），B （2，―2），C （―7，1），求∠A 的平分线AD 所在直线的方程． 【答案】y x =【解析】 设M （x ，y ）为∠A 的平分线AD 上的任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x ―5y+12=0，AB 所在直线的方程为5x ―y ―12=0．由角平分线的性质得2626=，∴x ―5y+12=5x ―y ―12或x ―5y+12=y ―5x+12，即y=―x+6或y=x ． 但结合图形（如图），可知k AC ＜k AD ＜k AB ，即155AD k <<， ∴y=－x+6不合题意，故舍去．故所求∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y=x ．【总结升华】 本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x ，y ）所满足的方程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创设出点到直线的距离这一条件．举一反三：【变式1】求点P 0（―1，2）到下列直线的距离： （1）2x+y ―10=0；（2）x+y=2；（3）y ―1=0．【答案】（1）2）2（3）1【解析】（1）根据点到直线的距离公式得d ===（2）直线方程可化为x+y ―2=0，所以d ==（3）因为直线y ―1=0平行于x 轴，所以d=|2―1|=1． 类型六、两平行直线间的距离例8．已知直线1l ：ax +y +2=0（a ∈R ），（1）若直线1l 的倾斜角为120°，求实数a 的值； （2）若直线1l 在x 轴上的截距为2，求实数a 的值；（3）若直线1l 与直线2l ：2x －y +1=0平行，求两平行线之间的距离．【思路点拨】（1）由题意可得tan120°=－a ，解方程可得；（2）令y =0，解得x 即直线1l 在x 轴上的截距，可得关于a 的方程，解方程可得；（3）由直线的平行关系可得a 值，代入两平行线之间的距离公式计算可得．【解析】（1）由题意可得tan120°=－a ，解得=a（2）令y =0，可得2=-x a ，即直线1l 在x 轴上的截距为22-=a，解得a =－1； （3）∵直线1l 与直线2l ：2x －y +1=0平行， ∴a =－2，∴直线1l 的方程可化为2x ―y ―2=0=举一反三：【变式1】直线l 1过点A （0，1），l 2过点B （5，0），如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．【答案】12:12550:125600l x y l x y -+=⎧⎨--=⎩或12:0:5l x l x =⎧⎨=⎩．。
人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.2直线的方程导学案
课题：直线与直线方程考纲要求：① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；②理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系•教材复习1. 倾斜角：一条直线I向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为0,.斜率：当直线的倾斜角不是90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k tan ;当直线的倾斜角等于90时，直线的斜率不存在。
2. 过两点R X i,y i , F2 x2, y2x x2的直线的斜率公式：k tan 吐—也x2X-|若X i x，则直线RP2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90 .uur3. （课本R36）直线的方向向量：设A, B为直线上的两点，则向量AB及与它平行的向量都称为直线的方向向量.若A X|,y1，B x2, y2，则直线的方向向量为AB x2x-!, y2 y1直线Ax By C 0的方向向量为B,A .当x1x2时，1,k也为直线的一个方向向量.4. 直线方程的种形式：基本知识方法1. 直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k是一个实数，当倾斜角90时，k tan ，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90的直线无斜率.2. 求直线方程的方法：1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数, 写出直线方程；2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程•再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程.3. 1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.4. 直线方程一般要给出一般式.典例分析：考点一直线的倾斜角和斜率问题1.已知两点A 1,2，B m,3 . 1求直线AB的斜率k和倾斜角;2求直线AB的方程；3若实数m，求AB的倾斜角的范围.问题2. 1 （01河南）已知直线l过点P 0,0且与以点A 2, 2，B 1, 1为端点的线段相交，求直线I的斜率及倾斜角的范围.2求函数y 舸一1的值域.3 cos考点二求直线的方程I、可题3.求满足下列条件的直线I的方程：r1 过两点A 2,3，B 6,5 ；2 过A 1,2，且以a 2,33过P 3,2，倾斜角是直线x 4y 3 0的倾斜角的2倍；为方向向量; 4过A 5,2，且在x轴，y轴上截距相等；5在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6 ；考点三与直线方程有关的最值问题问题4. 1 （06上海春）直线I过点P 2,1，且分别与x, y轴的正半轴于A,B两点，O 为原点•求厶AOB面积最小值时I的方程，2 PA PB取最小值时I的方程•考点四直线方程的应用内部有一文物保护区不能占用，经测量，AB 100m，BC 80m，AE 30m，问题5. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△ EFA课后作业：1. （01上海春）若直线xA.等于0B.等于一42. （95全国）如右图，直线3.（04合肥模拟）直线I的方向向量为1,2，直线l的倾斜角为，则tan26.（ 95上海）下面命题中正确的是：A. 经过定点P 0 X ）, y 0的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0表示.B. 经过任意两个不同的点 R 为，如，F 2 x 2, y 2的直线都可以用方程yx y一 x x 1 y 2 %表示；C.不经过原点的直线都可以用方程 1表示a bD.经过点A 0,b 的直线都可以用方程 y kx b 表示A. 434 33B.-C.-D.-3444. （ 2012西安五校联考）直线 2I 经过 A 2,1 , B 1,m( m R )两点, 倾斜角范围是A. 0,B. 0, U ,42C. 0,4D. 4，i U那么直线I 的J25.直线xcos ,3y 2 0R 的倾斜角范围是B. 0‘6C. 0,5D.-6y 1 X 2 为7.已知三点A 3,1、B 2,k、C 8,11共线，则k的取值是A. 6 B. 7C. 8 D. 98. ( 2013常州模拟)过点P 2,3且在两条坐标轴上的截距相等的直线I的方程是9.直线xtan5 y 0的倾斜角为-----------------------------10. 一直线过点A 3,4，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是______________ 12.若两点A( 1, 5)，B(3, 2)，直线I的倾斜角是直线AB的一半，求直线I的斜率13.已知A a,3，B 5, a两点，直线AB的斜率为1,若一直线I过线段AB的中点走向高考:15. ( 06北京)若三点 A(2,2), B(a,0), C(O,b) (ab 0)共线，则 1a 16. （ 05湖南文）设直线的方程是 Ax By 0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同 的数作为A,B 的值，则所得不同直线的条数是 A. 20 B.19 C.18 D.16且倾斜角的正弦值为3 10求直线I 的方程.14. （ 04湖南文）设直线ax by c 0的倾斜角为，且 sin cos 0，贝U a,b满足： Aab1 B. a b 1 C.abOD. a b 01的值等于 _______b。
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
人教课标版高中数学必修2导学案-直线的一般式方程
1 / 4课题：§3.2.3直线的一般式方程 学习目标1.复习直线方程的四种形式；2.掌握直线方程的一般式；3.熟练将直线方程的五种形式相互转换；4.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
导学过程： 一、课前准备（预习教材9997P P -，找出疑惑之处） 复习1：（1）已知直线经过原点和点)4,0(，则直线的方程________________________________ （2）在x 轴上截距为1-，在y 轴上的截距为3的直线方程________________________________ （3）已知点)2,1(A 、)1,3(B ，则线段AB 的垂直平分线方程是______________________________复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？二、新课学习探究1.直线方程与二元一次方程 问题1：若直线经过),(000y x P ，你准备用哪种形式写方程？条件具备吗?需要注意什么问题？ （1）斜率存在（2）斜率不存在能否将上面的两种情况统一成一个形式？设任意一个二元一次方程0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）它是否表示一条直线呢？分几种情况讨论？由以上的分析，可以得到：2 / 4新知1我们把关于x ，y 的二元一次方程0=++C By Ax （*） 其中A 、B 不同时为0，叫做直线的一般式方程，简称一般式。
※例题分析例1．已知直线经过)4,6(-A ，斜率为34-，求直线的点斜式方程和一般式方程变式：把直线l 的一般式方程062=+-y x 化为斜截式方程，求出直线l 的斜率及其它在x 轴和y 轴上的截距，并画出图形例2.a 为何值时，直线042)1(=+--y x a 与直线01=--ay x ，（1）平行；（2）垂直※动手试试练1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式（1）经过点)2,8(-A ，且斜率为21-； （2）经过点)2,4(B ，平行于x 轴； （3）经过点)2,3(-A ，)4,5(-B ； （4）在x 轴，y 轴的截距分别是4，-3*练2．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为01=+-y x ，求直线PB 的方程3 / 4三、总结提升 ※.学习小结（1）五种直线方程的形式，注意一些形式的使用范围； （2）点与直线的关系点),(000y x P 在直线0=++C By Ax 上⇔000=++C By Ax学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）A ．很好B ．较好C ．一般D ．较差※当堂检测1．若01)34()4(22=++-+-y m m x m 表示直线（ ）A ．2±≠m 且1≠m ，3≠mB ．2±≠mC ．1≠m 且3≠mD ．R m ∈2．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ） A ．063=++y xB ．023=+-y xC ．063=-+y xD ．023=--y x3．直线l 的方程为0=++C By Ax ，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ） A ．0,0>=B CB ．0,0,0>>=A B CC ．0,0<=AB CD ．0,0>=AB C4．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是____________________5．两直线03=--ay x 与032=++y ax 互相垂直，则a 的值为_________________ 课后作业1．已知直线1l ：06=++my x ，和直线2l ：023)2(=++-m y x m ，试求实数m的值 （1）21l l ⊥ （2）1l //2l （3）1l 与2l 重合*2．光线经过点)3,2(P射到直线x，反射后经过)1,1(Q点，求+y+1=反射光线所在直线方程。
人教课标版(B版)高中数学必修2导学案-直线方程的几种形式(一)
2．2．2直线方程的几种形式（一）I ．学习要点：直线方程的四种形式II ．学习过程：一．直线的点斜式方程探究1：如果知道直线上一点的坐标与直线的斜率怎样能确定这条直线呢? ① 已知直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)p x y 为直线上的任意一点，则有：00y y k x x -=- （1） 00()y y k x x ⇒-=- （2）问题：方程（1）能不能表示直线l 上的所有点？方程（2）能不能表示直线l 上的所有点？总结：过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 上的每一点的坐标都满足方程（2）；坐标满足方程（2）的每一点都在过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 上。
直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x , y ）满足的关系式，所以我们称方程（2）为过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 的方程。
方程 称为直线的点斜式方程.简称点斜式.探究2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线？点斜式的局限性：二．直线的斜截式方程提出问题：①求经过点(0,)B b 且斜率为k 的直线l 的方程。
②观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？方程 称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中b 为直线在y 轴上的截距，即为直线与y 轴交点的纵坐标。
强调：“截距”与“距离”不能混淆，截距是直线与y 轴交点的纵坐标，所以有正负。
同时提出问题：直线在x 上的截距是什么呢？（直线与x 轴交点的横坐标） ③直线b kx y +=在x 轴上的截距是什么？④你如何从直线方程的角度认识一次函数b kx y +=？一次函数中k 和b 的几何意义是什么？你能说出一次函数3,3,12+-==-=x y x y x y 图象的特点吗？三．直线的两点式方程1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程。
人教新课标版数学高一-必修2导学案 直线的一般式方程教师版
3.2.3 直线的一般式方程【教学目标】1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《3.2.3 直线的一般式方程》课件“新课导入”部分，回忆直线的多种方程形式，教师可以适当引导学生复习各种方程形式的特点与适用范围，再引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一 直线的一般式方程形式Ax ＋By ＋C ＝0 条件 A ，B 不同时为0知识点二三、合作探究 问题1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案 能．问题2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定．问题3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？答案 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0得，y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0得x ＝－C A，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．探究点1 直线一般式的性质例1 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________.(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.答案 (1)－53(2)－2 解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3， 得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53. (2)由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．探究点2 判断两条直线的位置关系例2 判断下列直线的位置关系：(1)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：3y －2x ＋4＝0；(2)l 1：2x －3y ＋4＝0，l 2：－4x ＋6y －8＝0；(3)l 1：(－a －1)x ＋y ＝5，l 2：2x ＋(2a ＋2)y ＋4＝0.解 (1)直线l 2的方程可写为－2x ＋3y ＋4＝0，由题意知2－2＝－33≠44，∴l 1∥l 2. (2)由题意知2－4＝－36＝4－8， ∴l 1与l 2重合．(3)由题意知，当a ＝－1时，l 1：y ＝5，l 2：x ＋2＝0，∴l 1⊥l 2.当a ≠－1时，－a －12≠12a ＋2， 故l 1不平行于l 2，又(－a －1)×2＋(2a ＋2)×1＝0，∴l 1⊥l 2，综上l 1⊥l 2.反思与感悟 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 探究点3 求平行、垂直的直线方程例3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)， 即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟 一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．四、当堂测试1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( )A ．A ≠0B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0 答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0， 直线在y 轴上的截距c b<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．3．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，(1)若l 1∥l 2，则m ＝________.(2)若l 1⊥l 2，则m ＝________.答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3， 得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0，得m ＝12. 4．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解 由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，将点(1,2)代入l 的方程3＋4×2＋C ＝0得C ＝－11，∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第二种方法可避免讨论，减小失误．。
高中数学必修二导学案13.直线的方程
．直线的方程张文涛学习目标．掌握由一点和斜率导出直线方程的方法及过程．掌握直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式和一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．．理解直线方程几种形式之间的内在联系及各自的适用范围，掌握直线方程各种形式之间的互化．．会用中点坐标公式求中点．一、夯实基础基础梳理．直线的方程和方程的直线已知二元一次方程（）和坐标平面上的直线，如果直线上任意一点的坐标都是方程的解，并且以方程的任意一个解作为点的坐标都在，就称直线是方程的直线，称方程是直线的方程．方程①：；方程②：；方程③：；方程④：；方程⑤：．直线与轴交点的纵坐标叫做纵截距，直线与轴交点的横坐标叫做横截距，统称为截距，例如直线与坐标轴交点的纵截距是，横截距是．．线段的中点坐标公式若点，的坐标分别为（，），（，），且线段的中点的坐标为，则此公式为线段的中点坐标公式．基础达标．写出满足下列条件的直线方程：（）过点，且斜率为的直线方程为．（）在轴上的截距为，且与轴相交成角的直线方程为．（）斜率与直线的斜率相等，且过点的直线方程为．．写出满足下列条件的直线方程：（）过，且与，轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线．（）直线过点，且与直线及轴围成底边在轴上的等腰三角形，则直线的方程为．．直线，当变动时，所有直线都通过定点（）．．．．．．直线在轴上的截距是（）．．．．．．过点且在、轴上的截距相等的直线共有条．二、学习指引自主探究．理解直线的方程（）什么是直线的方程？（）确定一条直线需要哪些条件？（）下表每行给出了一条直线和一个方程．请从两方面验证：，斜率为且研究下列设直线方程的方法是否正确，对不正确的要进行修正：（）过点的直线都可以用方程表示；（）过点的直线都可以用方程表示．．直线方程的一般式己知直线（、不全为），（）系数、、满足什么关系时，直线过原点：（）系数、、满足什么关系时，直线与坐标轴都相交；（）系数、、满足什么条件时，直线只与轴相交：（）系数、、满足什么条件时，直线为轴．．中点公式（）证明：点，（）的中点坐标为．。
人教版高中数学必修二导学案：第三章第二节直线的一般式方程
第三章第二节直线一般式方程三维目标1．掌握直线方程一般式形式特征；2．会把直线方程一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3．会把直线方程点斜式、两点式化为一般式；4. 学会用分类讨论思想方法解决问题，学会用联系观点看问题.________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1*问题1.到目前为止，我们已经学习了直线方程哪些形式？试写出相应直线方程。
问题2.在平面直角坐标系中，是否每一条直线都可以用一个关于y x ,二元一次方程来表示呢？试说明理由.问题3.在平面直角坐标系中，是否每一个关于y x ,二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线呢？为什么？问题4.什么叫直线一般式方程？问题5.在学习了直线方程点斜式、斜截式、两点式、截距式基础上我们今天学习了直线方程一般式，请思考（1）和直线其它方程形式相比，一般式方程具备怎样特点？（2）在一般式方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）中，当A,B,C 为何值时，方程表示直线①平行于x 轴 ②平行于y 轴 ③与x 轴重合 ④与y 轴重合【学做思2】1. 把直线l 一般式方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 斜率以及它在x 轴与y 轴上截距，并画出图形.2. 设直线l 方程为22(23)(21)620m m x m m y m --++-+-=，请分别根据下列条件求字母m 值：（1）l 在x 轴上截距是-3; （2）l 斜率为1.【变式】直线l 过P (－6,3)，且它在x 轴上截距等于它在y 轴上截距一半，其方程是_____．3.已知直线1l :ay ＋6＝0，直线2l ：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0（1）若1l //2l ，求a 值． （2）若1l ⊥2l ，求a 值．达标检测1.已知直线Ax ＋By ＋C ＝0横截距大于纵截距，则A 、B 、C 应满足条件是( )A ．A ＞B B ．A ＜B C.C A ＋C B ＞0 D.C A －C B＜0 2.直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．±1D ．－323.直线l 1:ax －y ＋b ＝0，l 2:bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)图像只可能是下图中( )4.与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1直线l 方程是____________.5.纵截距为－4，与两坐标轴围成三角形面积为20直线一般式方程为___________．。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程导学案(4)
讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x -=≠-.2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式12PP =原点()0,0O 与任一点(),x y P的距离OP =6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax Cd A +=（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By Cd B+=（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y CB+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩典型例题例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B．－7 C．7D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PBPA+的值为最小.例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π4，则m的值是（）A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A、1B、2C、3D、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）A 、(a －b,a ＋b)B 、(a ＋b, a －b)C 、(2a,0)D 、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A 、[]010， B 、(0，10)C 、13313，⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为 （ ）A 、x-2y-4=0B 、x-2y+4=0C 、2x-y+4=0D 、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0C 、C ≠0D 、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）A 、互补B 、互余C 、相等D 、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为π4，则m 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-252x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1B 、0＜k ＜21C 、k ＜21D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52B 、6C 、- 52D 、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。
新课标人教A版高中数学必修2第三章《直线与方程》复习课程案例
分析：直接利用公式求解.
解：直线AB的斜率kAB
12 1; 43 7
B
直线BC的斜率
kBC0 1( 1 4)421 2;
y
A
O C
x
直线CA的斜率 kCA0132 3 31.
已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等
于( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
解：选C.因为 k A B=7 4- -3 5=2 , k A C=- 又x 1 - - A5 3 ，=- Bx ，4 -5 C, 三点共线，
1
中点坐标公式
x0
y
0
x1 x 2
2 y1 y 2
2
l2:x-2y=4. l2:3x+2y-12=0.
( 2 ) ( 2 ,3 )
5、3种距离
（1).两点距离公式 |A B |(x1x2)2(y1y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
d| Ax0 By0 C| A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
直线的交点个数与直线位置的关系
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
求下列各对直线的交点坐标
(1)l1:2x+3y=12, (2)l1:x=2,
答案：( 1 ) ( 3 6 ,4 ) 77
人教A版高中数学必修二 第三章 直线与方程复习 导学案
直线与方程学习目标：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系． 4．能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交． 5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 知识点回顾： 1、直线的倾斜角直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．．．. 指出：(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。
根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.即αtan =k 。
经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式: )(211212x x x x y y k ≠--=2、直线方程的5种形式：①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因为直线上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b注意：当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用斜截式表示。
此时直线方程是y 轴。
③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x 注意：当21x x =时，方程为1x x =。
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§ 3.2.1直线的点斜式方程 【学习目标】理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确求直线方程； 【学习过程】一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论）1．经过两点)),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中（斜率公式为=k . 2．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则 ；如果12l l ⊥，则 .3．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 .4．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标5．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学：探究一：设点),(000y x P 为直线上的一定点,那么直线上不同于0P 的任意一点),(y x P 与直线的斜率k 有什么关系？（请和你的小组交流你写的结果，并把下面的内容补充完整.）1、直线的点斜式方程：已知直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)p x y 为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，00y y k x x -=- 即： ⑴ . 点斜式方程是由直线上 及其 确定。
（自学课本P92－P93，小组讨论：）（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1）（2）适合方程（1）的任意一组解),(y x 为坐标的点是否都在直线l 上？（3）方程⑴能不能表示过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 的方程？思考：①x 轴所在直线的方程是______ ____; y 轴所在直线的方程是____________ __； ②经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是______________； ③经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是______________；④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.探究二：已知直线l 的斜率为k ，l 且与x 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
请写出你的求解过程.2、直线的斜截式方程：直线l 与y 轴交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的 ,方程b kx y +=是由直线的 与它在 确定，所以把此方程叫做直线的斜截式方程。
思考：①截距是距离吗？②能否用斜截式表示平面内的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.③直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论？ ④直线b kx y +=中k 的几何意义是 ，b 的几何意义是 .三、合作探究例1：一条直线经过点)3,2(1-P ，倾斜角为o 45，求这条直线的点斜式方程，并在坐标系中画出相应直线的图形.学法指导：要抓住应用点斜式求直线方程的两个条件：直线上的已知点和直线的斜率来解题.变式：⑴直线过点)3,2(1-P ，且平行于x 轴的直线方程 ；⑵直线过点)3,2(1-P ，且平行于y 轴的直线方程 ；⑶直线过点)3,2(1-P ，且过原点的直线方程 .例2：见课本P94例2学法指导：本题从两条直线平行和垂直的判定条件方面考虑即可。
自学课本后，合上书，看能不能写出来。
四、交流展示1. 自主完成课本P95练习1、2，写在课本上即可.2.完自主成课本P95练习3、4，写在课本空白处即可.3. 求直线48=+与坐标轴所围成的三角形的面积.y x五、达标检测1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（）.A20+++=yy++- B360C．x+=x-= D．40402. 已知直线的方程是21+=--，则（）.y xA．直线经过点(2,1)--，斜率为1-，斜率为1- B．直线经过点(2,1)C．直线经过点(1,2)-，斜率为1---，斜率为1- D．直线经过点(1,2)3. 直线130-+-=，当k变化时，所有直线恒过定点（）.kx y kA．(0,0) B．（3，1） C．(1,3) D．(1,3)--4.求经过点(1,2)，且与直线23=-平行的直线方程.y x§ 3.2.2直线的两点式方程【学习目标】掌握直线方程的两点式、了解直线的截距式的形式特点及适用范围；【学习过程】一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论）1．直线的点斜式方程．．．．是．．．．．是__________________；直线的斜截式方程__________________．2．直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 .3．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为 .4．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.5．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学： 探究一：设直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P ，其中2121,y y x x ≠≠，则直线l 斜率是什么？结合前面学过的点斜式写出直线l 的点斜式方程. （写完后可对照课本P95，检查自己写的结果是否正确）思考：由一个点和斜率可以确定一条直线的方程，通过对上述问题的解决你能不能想到还有什么条件可以确定一条直线的方程吗？ 考虑后完成下列内容.1、两点式方程的概念：方程 表示经过两点),)(,(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程， 简程两点式（two-point form ）.方程是由直线上 确定。
（自学课本P95－P96，小组讨论：）（1）、两点式适用范围是什么？（2）、若点),(),,(222111y x P y x P 中有21x x =，或21y y =，此时过这两点的直线方程分别是什么？探究二：已知直线l 与x 轴的交点为)0,(a A ，与y 轴的交点为),0(b B ，其中0,0≠≠b a .求l 的方程.（写出你的解题过程后再对照课本P96页例3，看你写的对不对）学法指导：直线与x 轴的交点)0,(a 的横坐标a 叫做直线在x 轴的截距，简称横截距；此时直线在y 轴上的截距是b ，简称纵截距.2、直线的截距式方程：方程 由直线l 在两个坐标轴上的截距 与 确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称截距式。
思考：（1）、截距式的适用范围是什么？截距式方程的特点是什么呢？（2）、两点式与截距式有什么关系呢？（3）、方程 x a + y b= 1 中的a ，b 是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？（4）、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？三、合作探究例1：求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（结果化成斜截式）。
上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程，结果如何？学法指导：要抓住应用点斜式求直线方程的两个条件：直线上的已知点和直线的斜率来解题.变式：⑴直线过点)3,2(1-P ，且平行于x 轴的直线方程 ；⑵直线过点)3,2(1-P ，且平行于y 轴的直线方程 ；⑶直线过点)3,2(1-P ，且过原点的直线方程 .例2：已知三角形的三个顶点A （－5,0），B （3，－3），C （0,2）求BC 、AC 所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.（自己写完后对照课本P96页例4检查自己写得是否正确）说明：本题要用到同学们初中学习过的中点坐标公式.已知两点),(),,(222211y x P x x P ，且线段21P P 的中点坐标是),(y x M ，则⎩⎨⎧==y x .此公式为线段21P P 的中点坐标公式.四、交流展示1.自主完成课本P97练习1、2、3，写在课本上即可.2. 求出下列直线的方程，并画出图形.⑴ 倾斜角为045，在y 轴上的截距为0；⑵在x 轴上截距是－3，与y 轴平行；⑶在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.五、达标检测1. 直线l过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b在l上，则b的值为（）.A．2003 B．2004 C．2005 D．20062.直线y ax b=+（0+=）的图象是( )a b3. 在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3-的直线方程 .4. 直线21y x=-关于x轴对称的直线方程，关于y轴对称的直线方程，关于原点对称的方程 .§ 3.2.3直线的一般式方程【学习目标】明确直线方程一般式的形式特征；会把一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；会把点斜式、两点式化为一般式.【学习过程】一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论）1．直线的点斜式方程．．．．是．．．．．是__________________；直线的斜截式方程_________________；直线的两点式方程．．．是．．．．．是__________________；直线的截距式方程_________________ ．2．已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程 .3．在x 轴上截距为1-，在y 轴上的截距为3的直线方程 .4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程 .二、新课导学：探究：任意一个二元一次方程：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）是否表示一条直线？平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示吗？1、直线与二元一次方程的关系（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于y x ,的___________表示；（2）每个关于y x ,的二元一次方程都表示为__ _________ ______．2、直线的一般方程：把关于y x ,的二元一次方程_____________叫做直线的一般式方．．．．程．，简称一般式．．．，其中系数A 、B 满足____________． 讨论：问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？ 问题2：当0≠B 时，直线0=++C By Ax 的斜率是 ，直线在y 轴上的截距为 .问题3：在方程 Ax + By + C = 0 中， A , B , C 为何值时，方程表示的直线： ①平行于x 轴； ②平行于 y 轴；③与x 轴重合； ④与y 轴重合；⑤过原点； ⑥与x 轴、y 轴都相交（重合不算）：三、合作探究例1：已知直线经过点(6,4)A -，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2：把直线l 的一般式方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.四、交流展示1. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -； ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-； ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --.2.已知直线02045=++y x ，则此直线在x 轴上的截距是______，在y 轴上的截距是______，直线的斜率为 ，化成斜截式方程为 .3.求下列直线的斜率和在y 轴上的截距，并画出图形⑴350x y +-=；⑵145x y -=；⑶20x y +=；⑷7640x y -+=；⑸270y -=.五、达标检测1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --=2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（ ）.A ．1A ≠B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠3. 若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是________4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += .5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m = .。