高中数学人教A必修4课件：3.1.2.1两角和与差的正弦、余弦公式.pptx
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
2
.
则 tan θ= (������又称为辅助角).
������ ������
∴asin α±bcos α= ������2 + ������ 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
������ 2 + ������ 2 sin(������ ± ������). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本 题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
������������������ α -������������������ β 1+������������������ α������������������ β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin������ ±
������ ������2 +������2
cos������ ,
∵
������ ������2 + ������2
.
则 tan θ= (������又称为辅助角).
������ ������
∴asin α±bcos α= ������2 + ������ 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
������ 2 + ������ 2 sin(������ ± ������). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本 题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
������������������ α -������������������ β 1+������������������ α������������������ β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin������ ±
������ ������2 +������2
cos������ ,
∵
������ ������2 + ������2
人教A版高中数学必修四课件第三章3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
.
S(α－β)：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
.
前置学习
3．两角互余或互补 π
(1)若 α＋β＝ 2 ，其 α、β 为任意角，我们就称 α、β 互余．例 如：π4－α 与 π4＋α 互余，π6＋α 与 π3－α 互余．
解 ∵α∈0，2π，β∈－2π，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.
∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－ 102＝
解析
f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－3π.
∴f(x)∈[－2,2]．
前置学习
4．已知锐角
α、β
满足
sin
α＝2 5 5，cos
β＝
1100，则
3π α＋β＝__4___.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
∴cos α＝ 55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
B．－2 5 5
C．
5 5
D．－
5 5
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝
2 2 (cos
B＋
1－cos2B)
＝
22×
1100＋3
10 10
＝2
高中数学人教A必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
题型一
题型二
题型三
题型三
M 目标导航
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
利用角的变换求值
【例 3】 已知 cos(α+β)=
π
2π,
2
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
4
, cos(
5
− ) =
4 3π
− ,
5 2
< + <
< − < π, 求 cos 2的值.
-13-
3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
题型一
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
1
3
π
2
,
2
3
2.
解:∵cos α= , ∈ 0,
∴sin α=
Z 知识梳理
1-cos2
IANLI TOUXI
题型四
4 3π
,
5 2
∴sin(α+β)=− 1-
< + < 2π,
4 2
5
=
3
− .
5
4 π
∵cos(α-β)=− 5 , 2 < − < π,
∴sin(α-β)= 1-
4 2
5
3
5
= .
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
题型二
题型三
题型三
M 目标导航
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
利用角的变换求值
【例 3】 已知 cos(α+β)=
π
2π,
2
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
4
, cos(
5
− ) =
4 3π
− ,
5 2
< + <
< − < π, 求 cos 2的值.
-13-
3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
题型一
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
1
3
π
2
,
2
3
2.
解:∵cos α= , ∈ 0,
∴sin α=
Z 知识梳理
1-cos2
IANLI TOUXI
题型四
4 3π
,
5 2
∴sin(α+β)=− 1-
< + < 2π,
4 2
5
=
3
− .
5
4 π
∵cos(α-β)=− 5 , 2 < − < π,
∴sin(α-β)= 1-
4 2
5
3
5
= .
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 人若有志，万事可为。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件 新人教A版必修4
思路点拨：由已知求 sin(α－β)，cos(α＋β)―→2α＝(α－β) ＋(α＋β)，cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]展开代入求值．
解：∵π2<β<α<34π， ∴－34π<－β<－π2. ∴0<α－β<π4，π<α＋β<32π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11232＝153， cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－ 1－－352＝－45.
1．化简或求值： (1)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)；
sinα＋β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cosα＋β. 解：(1)设 α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－ 3cos α ＝12sin α＋ 23cos α＋ 23cos α－12sin α－ 3cos α＝0.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
• 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式及 两角和的余弦公式，并能利用公式进行化简求值．(重点)
• 2．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征和符号规 律．(易混点)
• 3．能正用、逆用、变形用公式进行化简求值．(难点)
∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)] ＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) ＝1123×－45－153×－35＝－3635， 即 cos 2α＝－3635.
(2)牢记公式并能熟练地将左、右两边互化．例如化简 sin 20°cos 50°－sin 70°cos 40°，能迅速观察出此式等于 sin(20°－ 50°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.
解：∵π2<β<α<34π， ∴－34π<－β<－π2. ∴0<α－β<π4，π<α＋β<32π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11232＝153， cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－ 1－－352＝－45.
1．化简或求值： (1)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)；
sinα＋β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cosα＋β. 解：(1)设 α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－ 3cos α ＝12sin α＋ 23cos α＋ 23cos α－12sin α－ 3cos α＝0.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
• 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式及 两角和的余弦公式，并能利用公式进行化简求值．(重点)
• 2．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征和符号规 律．(易混点)
• 3．能正用、逆用、变形用公式进行化简求值．(难点)
∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)] ＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) ＝1123×－45－153×－35＝－3635， 即 cos 2α＝－3635.
(2)牢记公式并能熟练地将左、右两边互化．例如化简 sin 20°cos 50°－sin 70°cos 40°，能迅速观察出此式等于 sin(20°－ 50°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.
3.1.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 课件(人教A版必修4)
（A） 6 （B） 3 2 （C） 3 5 （D） 6
)
3 3 5 3.已知 ＜＜3 ， 0＜＜ ，cos( ＋)＝－ ，sin( ＋)＝ ， 4 4 4 4 5 4 13
求sin(α ＋β )的值．
10 3 10 【解析】1.选D. cosB＝ , sinB＝ ， 10 10
2.选A. sin75°= sin(45°+30°)= sin45°cos30°+
2 3 2 1 6 2 cos45°sin30° . 2 2 2 2 4 sincos ＋cossin －2sincos 3.原式＝ 2sinsin ＋coscos －sinsin
1.cos(α +β )与cosα +cosβ 相等吗？ 提示：一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候. 例如,当α=0°，α=60°时，cos(0°+60°)=cos0°+cos60°. 2.sin(α +β )=sinα +sinβ 一定不成立吗？ 提示：不一定，如α=0，β∈R或α∈R，β=0时， sin(α+β)= sinα+sinβ成立.
2.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式 sin(α +β )= sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )= sinα cosβ -cosα sinβ
使用条件
两角和 的正弦
两角差 的正弦
S (α +β ) ________
α , β ∈R
S (α -β ) ________
α ,β ∈R
【典例训练】
1.在△ABC中，A＝ ，cosB＝ 10 ，则sinC＝(
)
3 3 5 3.已知 ＜＜3 ， 0＜＜ ，cos( ＋)＝－ ，sin( ＋)＝ ， 4 4 4 4 5 4 13
求sin(α ＋β )的值．
10 3 10 【解析】1.选D. cosB＝ , sinB＝ ， 10 10
2.选A. sin75°= sin(45°+30°)= sin45°cos30°+
2 3 2 1 6 2 cos45°sin30° . 2 2 2 2 4 sincos ＋cossin －2sincos 3.原式＝ 2sinsin ＋coscos －sinsin
1.cos(α +β )与cosα +cosβ 相等吗？ 提示：一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候. 例如,当α=0°，α=60°时，cos(0°+60°)=cos0°+cos60°. 2.sin(α +β )=sinα +sinβ 一定不成立吗？ 提示：不一定，如α=0，β∈R或α∈R，β=0时， sin(α+β)= sinα+sinβ成立.
2.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式 sin(α +β )= sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )= sinα cosβ -cosα sinβ
使用条件
两角和 的正弦
两角差 的正弦
S (α +β ) ________
α , β ∈R
S (α -β ) ________
α ,β ∈R
【典例训练】
1.在△ABC中，A＝ ，cosB＝ 10 ，则sinC＝(
人教A版高中数学必修4课件：3-1-2-1角和与差的正弦、余弦公式
系列丛书
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式
RJA版·数学·必修4
进入导航
第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
1．两角和与差的正弦公式与余弦公式有什么区别？ 答：余弦公式右边函数名的排列顺序为：余· 余± 正· 正，左右两边加减运算符号相反． 正弦公式右边函数名的排列顺序为：正· 余± 余· 正，左 右两边加减运算符号相同．
RJA版·数学·必修4
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
重点难点
重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式； 难点：灵活运用公式化简三角函数式和求值
RJA版·数学·必修4
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
预习篇01
新知导学
RJA版·数学·必修4
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第三章·3.1·3.1.2·
RJA版·数学·必修4
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
通法提炼 观察所给角之间的关系，从形式上凑出公式，再利用 已知的特殊角的三角函数值来求值.
RJA版·数学·必修4
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
(1)sin7° cos37° －sin83° sin37° 的值为(பைடு நூலகம்3 A．－ 2 1 C. 2 1 B．－2 3 D. 2
RJA版·数学·必修4 进入导航
第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
课堂篇02
合作探究
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
公式的简单应用
【例1】
化简求值：
(1)cos44° sin14° －sin44° cos14° ； (2)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ； (3)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋ x)．
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第2课时)
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.2(一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共30张PPT)
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 能够摄取必要营养的人要比吃得很多的人更健康，同样地，真正的学者往往不是读了很多书的人，而是读了有用的书的人。 失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。 相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 驾驭命运的舵是奋斗。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 在所阅读的书本中找出可以把自己引到深处的东西，把其他一切统统抛掉，就是抛掉使头脑负担过重和会把自己诱离要点的一切。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马ห้องสมุดไป่ตู้被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！ 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。
数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4)
两角和与差的正弦、 3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 余弦、
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问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些 两角差的余弦公式是什么 基本变式？ 基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
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思考5 正切函数与正弦、 思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系， 出发， 存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
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理论迁移
3 是第四象限角， 例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
4
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求下列各式的值： 例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与 差的三角系列公式的基础， 在联系，就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式 与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算 的结构相同， 符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
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问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些 两角差的余弦公式是什么 基本变式？ 基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
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思考5 正切函数与正弦、 思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系， 出发， 存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
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理论迁移
3 是第四象限角， 例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
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求下列各式的值： 例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与 差的三角系列公式的基础， 在联系，就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式 与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算 的结构相同， 符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:02:45 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:02:45 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(人教A版必修4)
tan α－tan β 1＋tan αtan β 3 练习：5. 3
思考应用 3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 π kπ＋ (k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 2 π 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋ ；同除 cos α、cos β， 2 π π 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋ ，cos β≠kπ＋ .cos x≠0， 2 2 保证了 tan x 有意义． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想 到韦达定理．
π D．2sin α－3
)
3 1 解析：sin α－ 3cos α＝2 sin α－ cos α 2 2 π α － ＝2sin 3. 答案：D
3－tan 18° 4．逆用两角差的正切公式求 的值等于( 1＋ 3tan 18° A．tan42° B．tan3° C．1 D．tan24°
sin αcos β－cos αsin β 6＋ 2 练习：3. 4 6－ 2 4. 4
思考应用 2．两角和与差的正弦公式的适用范围及公式的 特征有哪些？ 解析：(1)适用范围：没有限制条件，α、β、α ＋β、α－β均为任意角，可以是数、字母和代数式． (2)公式特征：“异名同号”——异名：两异名 三角函数相乘；同号：公式左右加减号相同．
2．sin 7° cos 37° －sin 83° cos 53° 的值为( 1 1 3 3 A．－ B. C. D．－ 2 2 2 2
)
解析：解法一：原式＝sin 7° cos 37° －cos 7° sin 37° －37° )， ＝sin(7° 1 )＝－sin 30° ＝sin(－30° ＝－ ，故选 A. 2 解法二：原式＝cos 83° cos 37° －sin 83° sin 37° ＋37° )， ＝cos(83° 1 ＝cos 120° ＝－cos 60° ＝－ ，故选 A. 2 答案：A
思考应用 3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 π kπ＋ (k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 2 π 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋ ；同除 cos α、cos β， 2 π π 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋ ，cos β≠kπ＋ .cos x≠0， 2 2 保证了 tan x 有意义． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想 到韦达定理．
π D．2sin α－3
)
3 1 解析：sin α－ 3cos α＝2 sin α－ cos α 2 2 π α － ＝2sin 3. 答案：D
3－tan 18° 4．逆用两角差的正切公式求 的值等于( 1＋ 3tan 18° A．tan42° B．tan3° C．1 D．tan24°
sin αcos β－cos αsin β 6＋ 2 练习：3. 4 6－ 2 4. 4
思考应用 2．两角和与差的正弦公式的适用范围及公式的 特征有哪些？ 解析：(1)适用范围：没有限制条件，α、β、α ＋β、α－β均为任意角，可以是数、字母和代数式． (2)公式特征：“异名同号”——异名：两异名 三角函数相乘；同号：公式左右加减号相同．
2．sin 7° cos 37° －sin 83° cos 53° 的值为( 1 1 3 3 A．－ B. C. D．－ 2 2 2 2
)
解析：解法一：原式＝sin 7° cos 37° －cos 7° sin 37° －37° )， ＝sin(7° 1 )＝－sin 30° ＝sin(－30° ＝－ ，故选 A. 2 解法二：原式＝cos 83° cos 37° －sin 83° sin 37° ＋37° )， ＝cos(83° 1 ＝cos 120° ＝－cos 60° ＝－ ，故选 A. 2 答案：A
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第1课时)
sin cos[
( )] cos[(
) ]
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
上述公式就是两角和的正弦公式，记作 。
S ( )
那
sin(－ ) ?
3 解：∵sinα＝5，90° <α<180° ， 4 sinα 3 ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－5，tanα＝cosα＝－4. 12 又 cosβ＝13，270° <β<360° ， 5 sinβ 5 ∴sinβ＝－ 1－cos β＝－13，tanβ＝cosβ＝－12.
cos(α+β) = cosαcosβ－ sinαsinβ 上述公式就是两角和的余弦公式，记作 。
c( )
cos 75 cos(30 45 )
cos30 cos 45 sin 30 sin 45
思考：如何求
6 2 4
sin( ).
2 2 cos cos sin sin 2 2
1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式．
2．会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、
化简、计算等．
-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ cos( cos(α ) cos cos sin sin .
上述公式就是两角差的余弦公式，记作 在差角的余弦公式中， 时要注意角的变换，如 式形式的选择. 已经学了两角和与两角差的正弦、余弦公式，今天继续推导两角 。
上述公式就是两角差的正弦公式，记作 。
S ( )
2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件：3.1.2.1 两角和与差的正弦、余弦公式
第十五页，编辑于星期五：十六点 七分。
故co1s A＋co1s C＝cos601°＋α＋cos601°－α
＝
1
＋
1
1 2cos
α－
3 2 sin
α
1 2cos
α＋
3 2 sin
α
＝14cos2cαo－s α34sin2α＝cocso2αs －α 34.
由题设有cocso2αs －α 34＝－cos2B＝－2 2，
[提出问题]
问题 1：由公式 C(α＋β)或 C(α－β)可求 sin 75°的值吗？
提示：可以，因为 sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)． 问题 2：由公式 C(α±β)可以得到 sin(α＋β)的公式吗？ 提示：可以，sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β
＝cosπ2－α－β＝sin αcos β＋cos αsin β. 问题 3：能利用上述公式把 sin(α－β)用 sin α，cos α，sin β，
给角求值问题
[例 1] (1)csions 2200°°·cos 10°＋ 3sin 10°tan 70°－2cos 40°
＝________.
(2)求值：(tan 10°－
cos 10° 3) sin 50°.
[解] (1)2
(2)原式＝(tan
10°－tan
60°)csions
10° 50°
＝csions
第二十七页，编辑于星期五：十六点 七分。
课时达标检测见课时达标检测(二十六)
第二十八页，编辑于星期五：十六点 七分。
cos β 表示吗？ 提示：能．
第四页，编辑于星期五：十六点 七分。
[导入新知]
两角和与差的正弦公式
故co1s A＋co1s C＝cos601°＋α＋cos601°－α
＝
1
＋
1
1 2cos
α－
3 2 sin
α
1 2cos
α＋
3 2 sin
α
＝14cos2cαo－s α34sin2α＝cocso2αs －α 34.
由题设有cocso2αs －α 34＝－cos2B＝－2 2，
[提出问题]
问题 1：由公式 C(α＋β)或 C(α－β)可求 sin 75°的值吗？
提示：可以，因为 sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)． 问题 2：由公式 C(α±β)可以得到 sin(α＋β)的公式吗？ 提示：可以，sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β
＝cosπ2－α－β＝sin αcos β＋cos αsin β. 问题 3：能利用上述公式把 sin(α－β)用 sin α，cos α，sin β，
给角求值问题
[例 1] (1)csions 2200°°·cos 10°＋ 3sin 10°tan 70°－2cos 40°
＝________.
(2)求值：(tan 10°－
cos 10° 3) sin 50°.
[解] (1)2
(2)原式＝(tan
10°－tan
60°)csions
10° 50°
＝csions
第二十七页，编辑于星期五：十六点 七分。
课时达标检测见课时达标检测(二十六)
第二十八页，编辑于星期五：十六点 七分。
cos β 表示吗？ 提示：能．
第四页，编辑于星期五：十六点 七分。
[导入新知]
两角和与差的正弦公式
人教A版高中数学必修四课件：3.1.1两角差的余弦公式.pptx
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第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所 示, 在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为 60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°, ∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度.
D
60 45°
C
A
15° B
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以 直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°， 210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一 些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同 时也为三角恒等变换提供理论依据.zxxk
1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程.(难点） 2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公 式进行简单三角函数式的化简、求值.(重点） 3.掌握“变角”和“拆角”的方法.(重点、难点）
-1
y
1
P1
A
C
法三（几何法）
P
O
B
M1
x
+
对于任意角
差角的余弦公式
一句话要诀：“余余正正符号反”
课堂探究 2 公式的运用
完成本题后，你会求
把非特殊角变为 特殊角,把未知角 变为已知角.
的值吗？
利用同角的三角 函数关系式求值 时，要注意角的 范围.
【提升总结】 先求两角的正、余弦值，再代入差角的余弦公式求值.
如
，
等.
同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意 正向、逆向和变式形式的选择.
公式的逆用:
利用差角公式求值时，常常进行角的拆分与 组合.即公式的变形应用.
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第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所 示, 在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为 60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°, ∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度.
D
60 45°
C
A
15° B
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以 直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°， 210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一 些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同 时也为三角恒等变换提供理论依据.zxxk
1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程.(难点） 2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公 式进行简单三角函数式的化简、求值.(重点） 3.掌握“变角”和“拆角”的方法.(重点、难点）
-1
y
1
P1
A
C
法三（几何法）
P
O
B
M1
x
+
对于任意角
差角的余弦公式
一句话要诀：“余余正正符号反”
课堂探究 2 公式的运用
完成本题后，你会求
把非特殊角变为 特殊角,把未知角 变为已知角.
的值吗？
利用同角的三角 函数关系式求值 时，要注意角的 范围.
【提升总结】 先求两角的正、余弦值，再代入差角的余弦公式求值.
如
，
等.
同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意 正向、逆向和变式形式的选择.
公式的逆用:
利用差角公式求值时，常常进行角的拆分与 组合.即公式的变形应用.