生存分布理论寿命与生存分布-银河统计学
第一章生存分布理论基础
一、寿命的概率分布与生存函数 新生儿在x岁之前死亡的概率
F (x) Pr( X x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1)F (0) 0;
(2)F(w) 1.
寿命的生存函数 随机变量X 的生存函数
S(x) Pr( X x) 1 F (x), x 0.
e0 0 S(t)dt
例.已知 S (x) (1 x ) 0 x 100 计算： 100
（1）（30）岁的人在60岁内死亡的概率； （2）（40）岁的人至少还能再活10年的概率； （3）（30）岁的寿命在60岁到80岁之间的概率； （4）（30）岁的平均寿命。
三、 整数年龄的概率分布 (x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
假定寿命极限为w，满足：
(1)S(0) 1;
(2)S(w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr(x X z) S(x) S(z)
寿命的密度函数
f (x) F(x) S(x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；
满足属性：
(1) f (x) 0;
x
w
二、余命的概念分布与生存函数
x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x) . 剩余寿命分布函数
FT (t) Pr(T (x) t) t qx , t 0.
t qx Pr(T (x) t) Pr( X x t X x)
S(x) S(x t) S(x)
寿命变量和剩余寿
命变量的区别？
前者是无条件概率，后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ; (3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x)
寿险第一章
特性：1、S0 0 1 S0 0
2、 是S0关t于t的递减函数；一般还是
关于t的连续函数
生存函数
定义
Sx (t) Pr[T x f t]
意义：x至少活到 x 岁 t的概率。
与分布函数的关系： Sx (t) 1 Fx (t)
与密度函数的关系： fx (t) Sx (t)
与 S0的t 关系：
Sx t Pr T x f t Pr T 0 f x t T 0 f x
Pr T 0 f x t S0 x t
Pr T 0 f x
S0 x
即 S0 x t S0 xSx t Sx u t Sx tSxt u
精算符号
q 分布函数： t x
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
整数年龄生命函数的计算
t
px
lxt lx
t qx1lx源自 lxn m qxq mn x
n qx
n
px
mn
px
lxn
lxnm lx
n 1 qx
n
qx
lxn
lxn1 lx
dxn lx
例2.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
t
px y
S0x y t S0x y
S0xSx y t S0xSx y
px yt
pxy
t px
etu
uxt ln( px )
Balducci假定(调和插值)
1
1t
t
S0 x t S0 x S0 x 1
t qx
tqx
1 1 t qx
生存分析统计学
生存分析统计学是一种重要的研究方法，用于评估个体或群体在给定时间内存活或发生某种特定事件的概率。
该方法广泛应用于医学、流行病学、生态学、环境科学和社会科学等领域。
本文将讨论的一些基础知识和常见应用。
基础知识通常用于评估人群或疾病谱的存活时间和风险因素。
该方法涉及多个概念术语，其中最基础的是生存分布函数（SDR）和风险函数（RF）。
SDR 描述了人群中在一定时间内生存的比例，而RF 描述了在给定时间内发生特定事件（例如死亡、复发或某种治疗响应）的概率。
另一个重要的概念是生存曲线。
生存曲线是SDR 的图形表示。
它显示了在给定时间段内生存下来的个体比例，通常用 Kaplan-Meier（KM）方法计算。
应用领域广泛运用于医学领域，用于评估药物疗效、预测疾病进展以及评估手术后的患者生存率。
例如，当新的抗癌药物被开发出来时，生存分析可用于评估该药物对患者生存期的影响。
同样，它也可用于评估某种疾病的患者存活率和死亡率，以便医生能够更好地了解疾病的自然进程和患者生存期。
也应用于流行病学，以评估风险因素对疾病发生和生存期的影响。
例如，一项流行病学研究可能使用生存分析来评估某种化学物质的暴露与罕见疾病的发生之间的关系。
生态学和环境科学也使用生存分析研究生物群落的动态和生物多样性的变化。
还可用于社会学和金融学，用于预测人口或投资组合的预期寿命和风险。
例如，一家保险公司可以通过生存分析计算每个年龄和性别组中的平均寿命和出现意外事故的风险。
金融企业可以使用生存分析将预测到的客户寿命纳入其投资组合的风险因素。
总结可用于评估个体或群体存活时间和风险因素，涉及多个基本概念。
该方法被广泛应用于医学、流行病学、生态学、环境科学和社会科学等领域。
皆可使用不同的方法，例如 KM、Cox 比例风险模型、Parametric 模型等。
研究人员需要根据具体研究问题，选择合适的方法，以获得准确、有用的信息。
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
寿险精算第一章资料
uxt
整值剩余寿命
定义：(x未) 来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
1
S0x t S0x
S0
x S0x S0x
t
精算符号
剩余寿命的生存函数 t p：x
t px Pr T x
t
Sx
t
S0 x S0
t x
1
t
qx
特别：
x p0 S0 x
精算符号
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概
率
px 1 px
qx
：x岁的人将q在x 11年qx内死亡的概率
t u qx
剩余寿命的期望与方差
完全平均余寿：(x)剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
整值剩余寿命的期望与方差
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
分布函数
定义
F0 (t) Pr[T 0 t]
意义：新生儿在 t岁之前死亡的概率。
定义： Fx (t) PrT x t
意义：x在 年t 之内死亡的概率。
定义：密度函数 f (x) F(x)
De Moivre模型(1724)
生存分布与生命表课件
保险是实现风险转移最为有效的方式。
自愿、自由、公平地进行风险转移是一件非常复杂 的事情。保险人首先对风险进行分类，识别可保风险 ；然后运用统计、经济、社会学、金融学、计算机、 法律等一系列专业知识进行消费者行为分析、可行性 分析、资金需求分析、未来投资收益分析等一系列综 合考虑，并采用恰当的数学模型厘定公平的费率；最 后还要保证有足够的偿付能力履行预定的损失赔付责 任。这一系列复杂的工作就催生了保险精算学这一专 业学科的产生与发展。
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
例1-10 已知下面的选择终极生命表： 求：以投保2年的（36）活到40岁的概率。
生存分布与生命表课件
作业 P27 23 作业 P26 7，8，11，16，19
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
保险分为财产保险和人身保险两大类。 财产保险是以财产及其相关利益为保险标的，保 险事故是财产的损失。广义上包括财产损失保险 （有形损失）、责任保险、信用保险。 人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险， 保险事故是人的生、老、病、死、残等。广义上包 括人寿保险、健康保险和人身意外伤害险等。
生存分布与生命表课件
课程相关及考核
课程相关： （1） 要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式， 在练习的过程中加深理解和记忆 （2） 计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不 能用手机代替计算器 （3） 教材：寿险精算 中国精算是协会组编 中国财政 经济出版社 （4） 参考书：寿险精算数学 王燕 中国人民大学出版社 （5） 提前预习，上课认真听讲，复习看笔记，认真完 成练习 （6） 概率基础很重要，注意温习
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法主要包括以下几种：
1. 描述性分析：根据样本生存资料估计总体生存率及其他有关指标（如中位生存时间等）。
常采用Kaplan-Meier法（乘积极限法）进行分析。
对于频数表资料则采用寿命表法进行分析。
计算生存率需要考虑时间顺序。
2. 非参数检验：检验分组变量各水平所对应的生存曲线是否一致，对生存时间的分布没有要求，并且检验危险因素对生存时间的影响。
3. 半参数横型回归分析：在特定的假设之下，建立生存时间随多个危险因素变化的回归方程，这种方法的代表是Cox比例风险回归分析法。
4. 参数模型回归分析：已知生存时间服从特定的参数横型时，拟合相应的参数模型，更准确地分析确定变量之间的变化规律。
5. 典型相关分析：相关分析一般分析两个变量之间的关系，而典型相关分析是分析两组变量（如3个学术能力指标与5个在校成绩表现指标）之间相关性的一种统计分析方法。
以上信息仅供参考，具体使用哪种方法需要根据研究目的和数据类型来决定。
保险精算模型寿险精算---熊福生
生命表
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表
l0 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
lx l0 பைடு நூலகம் s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1, K (x)
整数余命K的概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
t
px
寿命与生存分布
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t)
s(x t) s(x)
Sx (t)
特别： S0 (x) x p0 s(x)
寿命与生存分布
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总 体分布假定（非参数方法）
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
第一章
生存分布 理论基础
生存分析在统计学中的应用
生存分析在统计学中的应用生存分析是统计学中的一个重要分析方法，用于研究个体在特定时间段内存活或发生某一事件的概率。
它被广泛应用于医学、生物学、经济学等领域，帮助研究人员了解个体的生存情况和预测事件发生的可能性。
本文将介绍生存分析的基本概念、常用的统计模型以及其在实际应用中的案例。
一、生存分析的基本概念生存分析关注的是时间发生的概率，即个体从某一起始时间点到达终止时间点之间是否发生了感兴趣的事件，比如生存、死亡、失业等。
在生存分析中，有几个重要的概念需要了解：1. 生存时间（Survival time）：个体从起始时间至终止时间的时间间隔。
2. 生存函数（Survival function）：描述了个体在某一时刻仍然存活下来的概率。
3. 风险函数（Hazard function）：描述了在给定时间下，个体在下一时间点发生事件的概率。
4. 生存率（Survival rate）：个体在某一时刻存活下来的概率。
这些概念为后续的统计模型提供了基础。
二、常用的统计模型生存分析中常用的统计模型有Kaplan-Meier方法、Cox回归模型和Weibull分布等。
1. Kaplan-Meier方法：适用于研究单一因素对个体生存时间的影响。
通过计算生存函数来估计群体的生存概率。
2. Cox回归模型：可以考虑多个因素对生存时间的影响，并估计各个因素的风险比。
它是一种半参数模型，常用于生存分析中的预测与推断。
3. Weibull分布：常用于描述时间的分布情况，包括生存时间和失效时间。
它的概率密度函数可以适应不同的生存曲线形状，是生存分析中常用的分布模型之一。
三、生存分析的实际应用案例1. 医学领域：生存分析在医学研究中的应用非常广泛，比如针对某种疾病的治疗效果进行评估。
研究人员可以通过生存曲线比较不同治疗方案的优劣，并利用Cox回归模型考虑其他因素的影响。
2. 经济学领域：生存分析被用于评估企业的生命周期、预测市场存货销量等。
生存分析中确定两种寿命分布的方法
H ( t) = (
α
t
)β ] L n H ( t) ( 7)
分别利用表 1 中的相关数据进行线性拟合 , 拟合 方程和图形见表 2 、 图 1 和图 2 。比较图 1 和图 2 , 可以 发现 , 该样本数据更加适合 Weibull 分布 。这个结论 可以从表 2 中的相关检验数据得到支持 。假定该数据 服从 Weibull 分布时 R 2 = 0198 , 高于服从指数分布时 的 0187 。因此 , 我们可以认为该数据符合 Weibull 分 布 , 并可以此为基础进行进一步的分析 。
通过样本的信息 , 可以分别估计出 S ^ ( t) 和 H ^
( t ) , 从而可以利用有关的数据分别拟合服从指数分布
指数分布
H ^ ( t) = 01005058 ×t L nH ^ ( t) = - 31404430
0187
和 Weibull 分布的两条直线 :
H ^ ( t) = - L n ( S ^ ( t) ) = λ ^t H ^ ( t) = ( ( 8)
( t ) , 如果总体数据是符合指数分布或者是 Weibull 分
布的 , 那么就应该分别存在式 ( 6 ) ( 7 ) 这两条直线 。它 们就是判别寿命分布是否符合指数分布或 Weibull 分 布的两条理论直线 。
61 样本推断总体
回归系 数检验
T = 14178 P < 01001 T = 38134 P < 01001
Weibull 分布
t β ) ^ ] L nH ^ ( t ) = L n ( - L n^ S ( t) ) = α ^ α ) ( 9) a + b ×L nt = β ^ ( L nt - L n^
统计学中的生存分析
统计学中的生存分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在许多领域都有着广泛的应用。
其中，生存分析是统计学中的一项重要内容，专注于研究和预测个体在特定时间内生存或发生某个事件的概率。
本文将介绍生存分析的基本概念、应用领域以及常用的生存分析方法。
一、生存分析的基本概念生存分析，又称事件分析、时间数据分析或生命表分析，是一种用于研究个体在某个时间段内生存或发生特定事件的概率的统计方法。
在生存分析中，个体可以是人、动物、物体或其他单位，而事件可以是死亡、失业、疾病复发等。
生存分析通过观察一组个体在不同时间点上的生存状态，从而推断他们发生特定事件的可能性。
生存时间（Survival time）是生存分析中的重要概念，它指的是个体从某一特定起始时间到达结束时间（观测终点）的时间间隔。
有时，个体在观测终点前可能已经发生了感兴趣的事件，这种情况下，我们称之为“截尾”（Censored）观测，即观测的结束并非由于事件发生，而是由于某种原因无法继续观测。
二、生存分析的应用领域生存分析在医学、生物学、经济学、工程学等许多领域都有着广泛的应用。
在医学领域，生存分析可以用于疾病治疗的疗效评估，例如研究一种新药物对患者的生存时间是否有显著延长作用。
通过生存分析，我们可以比较治疗组和对照组的生存曲线，评估治疗效果。
在生物学研究中，生存分析可以用于评估不同基因型对个体寿命的影响，以及环境因素对生物生存的影响。
生存分析方法可以帮助研究人员了解遗传和环境因素对个体生存能力的作用机制。
在经济学领域，生存分析可以用于客户流失分析、产品寿命分析、市场竞争分析等。
通过生存分析，我们可以估计产品的寿命分布，预测客户的生命周期价值，从而制定合理的经营策略。
在工程学中，生存分析可以用于评估设备的可靠性和寿命，以及故障检测和预测。
通过生存分析，工程师可以确定设备的有效寿命，并及时采取维修或更换措施，以确保设备的正常运行。
三、常用的生存分析方法生存分析涉及到许多复杂的统计方法，下面介绍其中两种常用的生存分析方法：卡普兰-迈尔估计和考克斯模型。
寿命数据统计分析
统计分析方法
对于非截尾的(完全)寿命数据，可以应用一般的统计分析方法；对于截尾寿命数据，则必须用特殊的分析方 法，常用的有如下方法。
①基于次序统计量（见统计量）的分析方法 如果寿命分布的类型已知，则对于定时或定数截尾的寿命数据， 根据次序统计量的统计推断方法可以对有关分布参数或寿命特征量进行估计或检验,例如对指数分布,不论何种截 尾形式，也不论试验有无替换,平均寿命θ的最大似然估计都为=S/r，式中r为试验中出现的失效数，S为所有试 验样品的试验时间的总和。还可进一步对θ进行区间估计。对其他的寿命分布，其参数或寿命特征量的估计与检 验，要比指数分布复杂得多。例如威布尔分布，为求参数的最大似然估计，必须用迭代法解似然方程组。为此发 展了许多线性估计方法，使用方便，但需用大篇幅的图表。
发展简史
很早以来人们就有一些处理寿命数据的方法。寿命表就是最早应用的一种统计分析的工具，它的使用可追溯 到300多年前。由于人口统计学的发展,特别是人寿保险数学的发展，寿命数据的分析逐渐采用现代统计理论和方 法，且寿命的概念也逐渐从人和生物体的寿命扩大到工业产品的寿命。W.韦布尔发现Ⅱ型极值分布可以广泛地拟 合各类寿命数据以后，寿命数据分析的手段就更为有效。特别是在第二次世界大战期间，由于复杂武器及电子设 备的发展使产品可靠性问题愈来愈突出，因而产生了可靠性这个综合了工程、物理、数学和统计学内容的边缘性 学科（见可靠性数学理论），并在战后得到迅速发展。从可靠性统计中发展起来的寿命数据分析方法又反过来应 用于医学和生物学，从而又促使生存分析的发展。由于生命过程更为复杂，个体差异更大，因此必须考虑某些更 为复杂的模型，而这些模型及其处理方法又可应用到可靠性问题中去。在这个意义上说，可靠性和生存分析是两 个既有又各具特点的分支学科。它们所研究的具体对象不同，所考虑的模型也有区别，但它们的统计分析是有共 性的。
生存分析方法
生存分析方法生存分析是一种统计方法，旨在研究个体在给定时间范围内发生某一事件（比如死亡、疾病复发等）的概率。
在医学、流行病学、生态学、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍生存分析的基本概念、常用方法及其在实际研究中的应用。
1. 生存曲线生存曲线是生存分析的基本图形，通常用Kaplan-Meier曲线绘制。
该曲线能够展示在研究时间内个体存活下来的概率。
在曲线上，横轴表示时间，纵轴表示生存概率。
曲线下降的越快，表示事件发生的风险越高。
研究者可以通过比较不同曲线来判断处理组和对照组之间的差异是否显著。
2. 生存分布函数生存分布函数（Survival Function）是描述个体在给定时刻仍然存活的概率。
通常用S(t)表示，其中t为时间点。
生存曲线就是基于生存分布函数绘制而成。
生存分布函数可以根据研究者的需要来选择不同的统计模型，比如指数分布、Weibull分布等。
3. 风险因素分析生存分析方法还可以用来分析不同因素对事件发生的影响程度。
通过协变量的加入，可以计算不同因素的危险比（Hazard Ratio），从而确定某些因素是否与事件发生有关。
例如，在癌症生存分析中，病人的年龄、性别、病情严重程度等因素都可能影响其存活率。
4. 应用领域生存分析方法在医学领域有着广泛的应用。
比如在临床试验中，可以通过生存分析来评估新药的疗效；在流行病学中，可以研究某种疾病的传播方式；在经济学领域，可以分析公司的倒闭率等。
总之，生存分析方法可以帮助研究者更全面地了解事件的发生规律，从而制定更有效的预防和干预措施。
总结生存分析方法是一种强大的统计工具，能够帮助研究者预测在给定时间内事件发生的概率，分析不同因素对事件的影响，并在不同领域中得到广泛的应用。
熟练地掌握生存分析方法，有助于提高研究的深度和准确性，为决策提供科学依据。
希望本文能为读者提供一些关于生存分析方法的基本知识，并激发对该领域更深入研究的兴趣。
生存分析基础知识
生存分析基础知识生存分析是一种统计学方法，用于研究个体在一定时间内生存或发生某事件的概率。
在医学、生物学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍生存分析的基础知识，包括生存函数、生存曲线、危险函数等概念，帮助读者更好地理解和应用生存分析方法。
### 1. 生存函数生存函数（Survival Function）是生存分析中的重要概念，通常用S(t)表示。
生存函数描述了一个个体在时间t内存活下来的概率，即在时间t内不发生事件（比如死亡、故障等）的概率。
生存函数的取值范围是0到1，随着时间的增加逐渐减小。
### 2. 生存曲线生存曲线（Survival Curve）是生存函数的图形表示，横轴表示时间，纵轴表示生存概率。
生存曲线通常是一个递减的曲线，随着时间的增加，生存概率逐渐降低。
生存曲线的形状可以反映出不同群体或不同因素对生存时间的影响。
### 3. 生存率生存率（Survival Rate）是生存函数的导数，表示在某一时刻存活下来的概率。
生存率可以用来比较不同群体或不同处理方式对生存时间的影响。
生存率的计算通常使用生存函数来推导得到。
### 4. 危险函数危险函数（Hazard Function）是生存分析中另一个重要的概念，通常用λ(t)表示。
危险函数描述了在给定时间t内发生事件的概率密度，即在时间t到t+Δt内发生事件的概率与Δt的比值。
危险函数的倒数称为平均寿命函数。
### 5. 生存分析方法生存分析常用的方法包括Kaplan-Meier方法、Cox比例风险模型等。
Kaplan-Meier方法用于估计生存函数，适用于右偏分布的生存数据。
Cox比例风险模型用于探讨影响生存时间的因素，可以同时考虑多个危险因素对生存时间的影响。
### 6. 应用领域生存分析在临床医学中常用于评估治疗效果、预测患者生存时间等。
在生物学领域，生存分析可用于研究生物体的寿命、疾病发生率等。
在工程学中，生存分析可用于评估设备的可靠性、寿命分布等。
数学统计中的生存分析方法
数学统计中的生存分析方法生存分析是一种用于研究事件发生时间的统计方法，广泛应用于医学、生物学、工程学等领域。
通过生存分析，我们可以评估不同因素对事件发生时间的影响，预测未来事件的发生概率，并为决策提供科学依据。
本文将介绍数学统计中常用的生存分析方法。
一、生存函数和生存概率生存函数是生存分析的基础概念，用于描述事件发生时间的分布情况。
在给定时间点上，生存函数表示的是截至该时间点，事件尚未发生的个体比例。
生存函数通常用S(t)表示，其取值范围为0到1。
生存概率是生存函数的补数，即表示事件在给定时间点上发生的概率。
生存概率通常用P(t)表示，其取值范围也为0到1。
二、Kaplan-Meier估计Kaplan-Meier估计是生存分析中最常用的非参数方法之一，用于估计生存函数。
该方法适用于样本中有部分观测值未发生事件或失去随访的情况。
Kaplan-Meier估计基于观测到的事件发生时间数据，通过计算每个时间点上的生存概率，得到生存函数的估计值。
该估计方法考虑了观测到的事件和失去随访的情况，能够有效地应对右侧截尾样本或交叉失访的情形。
三、Cox比例风险模型Cox比例风险模型是生存分析中常用的半参数方法，用于评估不同因素对事件发生时间的影响。
该模型假设不同个体的风险函数之间存在比例关系，通过估计比例风险比来评估各因素的影响程度。
Cox比例风险模型的优势在于对基线风险函数的形式没有约束，可以处理不同个体的时间尺度不同、风险函数非比例等问题。
同时，该模型还可以估计不同因素的风险比值和置信区间，便于进行统计推断。
四、生存分析在医学中的应用生存分析在医学领域有着广泛的应用。
临床试验中常用的终点事件如生存时间、复发时间等，可以通过生存分析方法进行分析，评估不同治疗方案的效果。
此外，生存分析还可以用于研究疾病的预后因素、预测患者的存活时间和事件发生时间等。
通过对各种因素的分析，可以得出结论，以指导临床治疗和制定个体化的治疗方案。
生存分析基础知识
生存分析基础知识生存分析是一种统计方法，用于研究个体在特定时间段内生存的概率和生存时间的分布。
它广泛应用于医学、生物学、社会科学等领域，帮助研究人员了解个体的生存状况和预测生存时间。
本文将介绍生存分析的基础知识，包括生存函数、生存率、危险比和生存曲线等概念。
一、生存函数和生存率生存函数是描述个体在特定时间点存活的概率。
通常用S(t)表示，其中t为时间点。
生存函数的定义为：S(t) = P(T > t)其中T表示个体的生存时间，P(T > t)表示个体的生存时间大于t的概率。
生存函数的取值范围为0到1，随着时间的增加，生存函数逐渐减小。
生存率是描述个体在特定时间段内存活的概率。
通常用s(t)表示，其中t为时间段的起始点。
生存率的定义为：s(t) = P(t ≤ T < t + Δt)其中Δt表示时间段的长度。
生存率可以通过生存函数计算得到：s(t) = S(t) - S(t + Δt)生存率的取值范围也是0到1，随着时间的增加，生存率逐渐减小。
二、危险比危险比是用来比较两组个体生存风险的相对大小。
通常用hazardratio（HR）表示，定义为：HR = h1(t) / h2(t)其中h1(t)和h2(t)分别表示两组个体在时间点t的危险函数。
危险函数描述了个体在特定时间点发生事件（如死亡）的概率密度。
如果HR 大于1，表示第一组个体的生存风险高于第二组；如果HR小于1，表示第一组个体的生存风险低于第二组；如果HR等于1，表示两组个体的生存风险相等。
三、生存曲线生存曲线是描述个体在不同时间点的生存概率的曲线。
通常用Kaplan-Meier曲线表示，该曲线基于生存函数估计得到。
生存曲线可以直观地展示个体的生存状况和生存时间的分布。
在生存曲线上，横轴表示时间，纵轴表示生存概率，曲线上的每个点表示该时间点的生存概率。
四、生存分析方法生存分析有多种方法，常用的包括Kaplan-Meier方法和Cox比例风险模型。
生存分布理论寿命与生存分布-银河统计学
人寿保险是以人的生命为保险标的， 以被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金给付条 件。因此，被保险人的寿命分布状况，也就是被保险人能存活多久，他在各年龄段上的死亡 率有多大的是保险人所关心的问题。 从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建 立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分 布理论。研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
X 表示一个0岁的人将来的寿命， F ( x) 可以理解为0岁的人在 x 之前死亡的概率。 率。 在此，
显然有： F (0) 0
， F () 1 。
2、寿命的生存函数
寿命随机变量 X 的生存函数为： S ( x) Pr ( X x) ， x 0 在此， X 表示一个0岁的人将来的寿命， S ( x) 可以理解为0岁的人能活过 x 岁的概率。或者 说一个人寿命大于 x 岁的概率。 生存函数与分布函数具有如下补函数关系： S ( x) Pr ( X x) 1 Pr ( X x) 1 F ( x) 显然有： S (0) 1
x
0
x
0
2t (1 t p x )dt 2
x
0
tt p x dt
即， Var[T ( x)] 2
x
0
tt p x dt (e x ) 2
0
【例2.4】已知 S ( x) (1
x
) 2 ， 0 x 。计算 (50) 剩余寿命的期望和方差。
3、剩余寿命的密度函数 记 f x (t ) 为 T ( x) 的密度函数，根据密度函数和分布函数之间的关系，有，
f x (t ) Fx (t ) S x (t )
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人寿保险是以人的生命为保险标的， 以被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金给付条 件。因此，被保险人的寿命分布状况，也就是被保险人能存活多久，他在各年龄段上的死亡 率有多大的是保险人所关心的问题。 从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建 立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分 布理论。研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
Pr (30 X 60) S (30) S (60) Pr ( X 30) S (30)
(1
30 60 ) (1 ) 100 100 3 ； 30 7 1 100
3、寿命的密度函数 对分布函数求导，就得到密度函数： f(x ) 了某人在 x 岁死亡的可能性。 密度函数具有如下性质：
第一节 寿命与生存分布
寿险公司的承保对象是数以万计的保险人，如此众多的人的生存（死亡）率，必定存在着某 种统计规律，这就是所谓“大数法则”。寿险精算就是要利用这种大数法则，从概率论和数 理统计的角度来研究和揭示这些统计规律性，用以解决寿险精算中的实际问题。
一、寿命的分布函数、生存函数和密度函数 1、寿命的分布函数
x
105
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
x2
2 105
|105 0 52.5
0
x 2f(x ) dx
105
x2
0
105
dx
x3
3 105
|105 0 3675
D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2 5512.5 52.52 918.75 。
二、剩余寿命 这里记 ( x) 为 x 岁的人， ( x) 还能继续存活的时间称为 ( x) 的剩余寿命，简记为 T ( x) 。 从统计分析的角度而言，剩余寿命是条件概率问题。对于寿险业务而言，最关注的是被保险 人投保之后的寿命分布规律，也就是说寿险精算学中主要研究剩余寿命的分布规律。 1、剩余寿命的分布函数 记 Fx (t ) 为 ( x) 的剩余寿命分布函数， 它表示 x 岁的人在将来的 t 年内去世的概率。 换言之， 它描述一个能够获到 x 岁的人活不过 x t 岁的概率。用概率可表示为：
第二章 生存分布理论
学习重点： 掌握生存函数及其相互关系、 了解三种常用非整数年存活函数估计方法和几个死 亡时间的解析分布、掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
“如果算命先生能算出人的寿命，那么还要精算师干什么？” “既然‘天有不测风云、人有旦夕祸福’，那么精算师能算出人的寿命吗？” “算一个人的寿命‘不可能’，算一群人的寿命‘可能’”
Fx (t ) PT (T ( x) t ) Pr ( X x t | X x)
Pr ( x X x t ) S ( x) S ( x t ) Pr ( X x) S ( x)
为了区别于无条件寿命分布，这里引入国际通用精算符号，其中 Fx (t ) 记为 t q x 。此后，我 们用 t q x 表述已经活到 x 岁的人活不过 x t 岁的概率。特别地有， I、 II、 III、 IV、
一个人的寿命是从出生到死亡的时间长度， 它是无法事先确定的， 这在概率论中称为随机变 量，记为 X ( X 0) 。人的寿命总是有限的，假设人的寿命极限为 ，则 0 X 。 寿命随机变量 X 的分布函数为： F ( x) Pr ( X x) ， x 0
F ( x) 在统计中称为累积分布函数， 它的概率意义是随机变量 X 小于等于一个给定值 x 的概
X 表示一个0岁的人将来的寿命， F ( x) 可以理解为0岁的人在 x 之前死亡的概率。 率。 在此，
显然有： F (0) 0
， F () 1 。
2、寿命的生存函数
寿命随机变量 X 的生存函数为： S ( x) Pr ( X x) ， x 0 在此， X 表示一个0岁的人将来的寿命， S ( x) 可以理解为0岁的人能活过 x 岁的概率。或者 说一个人寿命大于 x 岁的概率。 生存函数与分布函数具有如下补函数关系： S ( x) Pr ( X x) 1 Pr ( X x) 1 F ( x) 显然有： S (0) 1
50 1 ) ； 100 2
II、 Pr ( X 80) S (80) 1
80 1 ； 100 5
III、 Pr (60 X 70) S (60) S (70) (1 IV、
60 70 1 ) (1 ) ； 100 100 10
Pr (60 X | X 30)
F '(x ) [1 S(x )]' S '(x )，它体现
dx F(x )； f(x ) dx S(x )； f ( x) 0 ； f(x )
0
x
x
0
dx E(X ) f(x ) dx 1 ； xf(x )
0
其中， E ( X ) 为人寿随机变量 X 的数学期望值，即平均寿命。同时可用 D( X ) 表示人类寿 命方差。由数理统计知识可知， D( X ) E ( X ) [ E ( X )] 。
2 2
【例2.2】假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 差 D( X ) 。 解： f ( x) S ( x) '
x ， 0 x 105 ，求平均寿命 E ( X ) 及方 105
1 （密度函数为均匀分布）； 105
105
E(x )
E(x 2 )
105
0
xf(x ) dx
， S () 0 。
x ， 0 x 100 ，求； 100
【例2.1】假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 I、一个新生婴儿活不到50岁的概率； II、一个新生婴儿的寿命超过80岁的概率； III、一个新生婴儿在60-70岁间死亡的概率； IV、一个活到30岁的人活不到60岁的概率； 解： I、 Pr ( X 50) F (50) 1 S (50) 1 (1