离散数学 第3讲 同余关系和商代数

三、商代数和同态象的关系
下图描述了同态象与同态映射诱导的商代数间的同构关系：
同态映射f 同态象
A=〈S,*,Δ ,k〉
f 诱导的A上的同余关系～
A’=〈f(S),*′,Δ ′,k′〉
f 诱导的S上的自然等价关
系～，
规 范 映 射 g
自 然 同 态
同构映射h
a~b当且仅当h(a) = h(b)
A/～=〈S/～,*″,Δ ″,［k］〉
′[b]=[a*b], Δ′[a]=[Δa]。S/～表示等价关系～下S的商集，即等价关系～
的等价类的集合。 为证明A/～是一个代数必须证明*′和Δ′都是良定的, 即运算*′和Δ′的结 果不依赖于参加运算的等价类中的表示元素。
(1) 证明S/～关于运算*′和Δ′是封闭的。
(2) 证明Δ′是良定的, 即证明如果[a]=[b], 那么Δ′[a]=Δ′[b]。 (3) 证明*′是良定的,即证明如果[a]=[b]和[c]=[d], 那么[a]*′[c]=[b]*′[d]。
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(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
=f(x2),则x1～x2, [x1]=[x2]。h: S/～→f(S)是满射：f(S)上的任一元素均可 写成f(x),于是存在[x]∈S/～使h([x])=f(x)。 (3) 证明h保持运算。h([x]*″[y])=h([x*y])=f(x*y)=f(x)*′f(y)=h([x])*′h([y]) h(Δ″[x])=h([Δx])=f(Δx)=Δ′f(x)=Δ′h([x])。 (4) 证明常数对应。h([k]) = f(k) = k′。 所以, h是一同构。
二、商代数
证明：
(1) 证明S/～关于运算*′和Δ′是封闭的。显然。 (2) 证明Δ′是良定的, 即证明如果[a]=[b], 那么Δ′[a]=Δ′[b]。 如果[a]=[b], 那么a~b。因为~是同余关系, Δa~Δb, 所以[Δa]=[Δb]。由Δ′的定义 知Δ′[a]=[Δa]和Δ′[b]=[Δb], 这得出Δ′[a]=Δ′[b]。这样, 运算Δ′是良定的。
商代数 规范映射h: S→S/～，h(a)=[a](a∈S)
作业：P186 习题6.4 3、6 P191 习题6.5 1
谢谢同学们!
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一、同余关系
代数A上的同余关系定义:
设～是代数A=<S , * , △>的载体S上的等价关系，对一切元素a、 b、c∈S，若 (1) 若a～b, 则ac～bc 和 ca～cb , (2) 若a～b, 则△a～△b , 都满足, 则～称为代数A上的同余关系。～的等价类叫做关系～的 同余类。
注意：S上的等价关系～是代数A的同余关系当且仅当～关于A
三、商代数和同态象的关系
定理2：设f是从A=<S,*, Δ, k>到A′=<S′,*′,Δ′,k′>的同态,～是A上由f诱导的同余关系 , 那么, 从A/～=<S/～,*″,Δ″,[k]>到<f(S),*′,Δ′,k′>存在同构h。 证明：定义h: S/～→f(S), h([x])=f(x) (1) 证明h是良定的。如果[x]=[y],那么x ～ y, 所以,f(x)=f(y)。因为h([x]) =f(x)和h([y])=f(y),所以h([x])=h([y])。 h是良定的。
二、商代数
商代数的运算和常数保留了许多原代数的性质:
(1) 代数A中如果运算*是可交换的, 那么A/～中 *′也是可交换的； (2) 如果*是可结合的, *′也是可结合的；
该定理说明一个同余 (3) A中如果k是关于*的么元,那么 A/～中[k]是关于*′的么元； 关系可以导出一 个同态。 (4) 如果k是关于*的零元, 那么[k]是关于*′的零元。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(3) 证明*′是良定的,即证明如果[a]=[b]和[c]=[d], 那么[a]*′[c]=[b]*′[d]。
如果 [a]=[b] 和 [c]=[d], 那么 a~b 和 c~d, 因为 ~ 是一同余关系 , a*c~b*d 。所以 , [a*c]=[b*d]。由*′的定义知因为[a]*′[c]=[a*c]和[b]*′[d]=[b*d], 得[a]*′[c]=[b]*′[d] 。所以, *′是良定的。 综上所述, Δ′和*′都是S/~上良定的运算, 因此A/~是具有与A相同构成成分的代 数。 证毕。
离散数学（二）
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同余关系和商代数
主要内容:
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同余关系 商代数 商代数和同态象的关系
重点和难点 :
重点: 同余关系 难点: 商代数和同态象的关系
一、同余关系
关于运算的同余关系：
设～是代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系,任取a,b,c∈S， (1) 当a～b时, 若有ac～bc和ca～cb, 那么我们说等价关系～在运算* 下具有置换性质，或者说等价关系～在运算*下仍能保持，称～ 是关于运算*的同余关系； (2) 当a～b时, 若有△a～△b, 那么我们说等价关系～在运算△下具 有置换性质, 或者说等价关系～在运算△下仍能保持，称~是关 于运算△的同余关系。
证明：①先证R是等价关系。对任意a、b∈S，
∵ h(a)=h(a), ∴aRa， ∴R自反； ∵若aRb, 则h(a)=h(b),有h(b)=h(a), ∴bRa，∴R对称； ∵若aRb, bRc, 则有h(a)=h(b),h(b)=h(c), ∴ h(a)=h(c), ∴aRc,∴R传递。 综上所述，R是等价关系。 ②再证该等价关系R是A上的同余关系。[证明见下页] 由①和②知R是A上的同余关系。
定理1：如果～是代数A=<S,*,Δ, k>上的同余关系, 那么规范映射h: S→ S/～，h(a)=[a](a∈S),是从代数A到商代数A/～=<S/～,*′,Δ′, [k]>的同态,称 为与～相关的自然同态。 证明: (1) 代数A与A/~是具有与A相同构成成分; (2)设h是从S到S/～的规范映射, 根据商代数的定义有[a]*′[b]=[a*b]和Δ′ [a]=[Δa], 因而h(a*b)=[a*b]=[a]*′[b]=h(a)*′h(b); h(Δa)=[Δa]=Δ′[a]=Δ′h(a),即h保 持了A的运算。 (3)根据规范映射的定义有h(k)=[k]。因此, h是从A到A/～的同态。
二、商代数
回忆：设R是非空集合S上的等价关系,称划分{[a]R｜a∈S}为S关于R 的商集，记为S/R。即S/R={[a]R｜a∈S}。 商代数的定义 设～是代数A=<S, *, Δ, k>上的同余关系, A的关于～的商代数定义为A/ ～=<S/～, *′, Δ′, [k]>,其中运算*′和Δ′的定义如下:对所有[a]、[b]∈S/～, [a]*
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
定理1：等价关系～关于二元运算*是一个同余关系当且仅当对 任意a、b、c、d∈S, a～b和c～d 时有ac～bd。
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
证明： (a)容易看出R是I上的等价关系； (b)下面只需证明对任意a,b,c∈I，若aRb,则(a· c)R(b· c)和(c· a)R(c· b)。 设aRb, 即存在n∈I使得a-b=kn。于是(a· c)-(b· c)=tn, 因此(a· c)R(b· c) 。又乘法是可交换, 有(c· a)R(c· b) 。所以, R是关于· 的同余关系。
一、同余关系
定理2：设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
证明：②再证该等价关系R是A上的同余关系。
对任意a、b、c、d∈S， i）如果aRb，则h(a)=h(b), ∴ △′h(a)= △′h(b),
的每一运算是同余的。
一、同余关系
例3：A={a,b,c,d}, 运算表(a)为在A上定义的*运算，表(b)为A
上的等价关系R，判断R是不是关于运算*的同余关系。
从上述表中可以看出cRd, b*c=d, b*d = a, 但是d与a不等价，即b*c与 b*d不等价，所以R不是关于运算*的同余关系。
一、同余关系
所以～关于运算*是一同余关系。
一、同余关系
自然等价关系: h是 A到A′的任一个同态, h：S→S′可诱导出一个S上的自然等价关系, 这 一关系定义如下: a、b∈S, a~b当且仅当h(a) = h(b)。 定理2: 设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在 A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
一、同余关系
例2：给定代数A=<I, △>，I：整数集合，I上的一元运算△定义为：
z∈I, △(z) = z2(mod m)(m>0)，I上的模m相等关系R为: z1Rz2 当且仅当
z1≡z2(mod m)，问：R是关于运算△的同余关系吗？
证明：
(a)容易看出R是I上的等价关系,
(b)因此只需证明对任意z1, z2∈I，若z1Rz2, 则△(z1)R△(z2)。 若z1Rz2, 即z1≡z2(mod m),设z1=m· a1+r, z2=m· a2+r(0≼r≼m-1, a1,a2∈I), △(z1) = (z1)2(mod m)= (m· a1+r)2(mod m) = ((a1)2m2+2ma1+r2) (mod m) = r2 (mod m) △(z2) = (z2)2(mod m)=(m· a2+r)2(mod m) = ((a2)2m2+2ma2+r2) (mod m) = r2 (mod m) 所以，△(z1)≡△(z2)(mod m), 即△(z1)R△(z2)。