离散数学第三版课后习题答案

所以，x∈A，xB∪C，即x∈A\（B∪C），由此可见（A\B）\CA\（B∪C）。
反之，对任一元素x∈A\（B∪C），则x∈A，且xB∪C，也就是说xA，xB，xC。所以x∈（A\B）\C，由此可见A\（B∪C）（A\B）\C。
因此A\（B\C）。
2）方法一：（A\B）\C
=A\（B∪C）（根据1））
5）{，{{a，b}}}
7．给定自然数集合N的下列子集：
A={1，2，7，8}
B={x|x2＜50}
C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}
D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6}
列出下面集合的元素：
1）A∪B∪C∪D
2）A∩B∩C∩D
3）B\（A∪C）
4）（A′∩B）∪D
[解]因为B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此
2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧BC，但AC。
3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而AB∧B∈C，但AC。
4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而AB∧B∈C，但AC。
6．求下列集合的幂集：
3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈C，但A∈C。
5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果A∈B∧BC，则A∈C。
2）如果A∈B∧BC，则AC。
3）如果AB∧B∈C，则A∈C。
3）如果AB∧B∈C，则AC。
[解] 1）真。因为BCx（x∈Bx∈C），因此A∈BA∈C。
1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，30，32，64}
2）A∩B∩C∩D=
3）B\（A∪C）={4，5}
4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}
8．设A、B、C是集合，证明：
1）（A\B）=A\(B\C)
=A\（C∪B）（并运算交换律）
=A\（（C∪B）∩Ⅹ）（0—1律）
=A\（（C∪B）∩（C∪C′））（0—1律）
=A\（C∪（B∩C′）（分配律）
=（A\C）\（B∩C′）（根据1）
=（A\C）\（B∩C）（差集的定义）
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，xB，xC，x∈A\C。又由xB，xB\C，x∈（A\C）\（B\C）\（B\C）。所以（A\B）\C（A\C）\（B\C）。
=（A\C）\B（根据1））
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，xB，xC。由为x∈A，xC，所以，x∈A\C。又由xB，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B（A\B）\C。
9.设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
2）∈
3）{}
4）∈{}
5）{a，b}∈(a，b，c，{a，b，c})
7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}}
8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}
[解]1）真。因为空集是任意集合的子集；
2）假。因为空集不含任何元素；
3）真。因为空集是任意集合的子集；
2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）
3）（A\B）\C=(A\C)\B
[证明]1）方法一：（A\B）\C
=（A∩B′）∩C′（差集的定义）
=A∩（B′∩C′）（交运算的结合律）
=A∩（B∪C）′（deMorgan律）
=A\（B∪C）（差集的定义）
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，则xC，同时，x∈A\B，x∈A，xB，
1）{a，b，c}
2）{a，{b，c}}
3）{}
4）{，{}}
5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}
[解]1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}
2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}}
3）{，{}}
4）{，{}，{{}}，{，{}}}
反之，对任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，xB\C。由x∈A\C，可知x∈A，xC。又因为xB\C及xC，可知xB。所以，x∈（A\B）\C。因此（A\B）\C（A\B）\C。
由此可得（A\B）\（B\C）（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
4）真。因为是集合{}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4.对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果AB∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A∈C。
(1)先证ABA′∪B=X；
方法一：A′∪B=A′∪(A∪B)（因为条件AB及定理4）
2.用谓词法表示下列集合：
1）{奇整数集合}
2）{小于7的非负整数集合}
3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}
[解]1）{nnI(mI)(n=2m+1)}；
2）{nnIn0n<7}；
3）{ppNp>2p<30(dN)(d1dp(kN)(p=kd))}。
3.确定下列各命题的真假性：
1）
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
离散数学习题解答
习题一（第一章集合）
1.列出下述集合的全部元素：
1）A={x|x∈N∧x是偶数∧x＜15}
2）B={x|x∈N∧4+x=3}
3）C={x|x是十进制的数字}
[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}
2）B=
3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}