2.3 等差数列求和

2.3 等差数列的前n 项和1.等差数列前n 项和公式等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2________＝na 1＋n (n －1)2d _____________. 破疑点：(1)等差数列前n 项和公式的推导方法“倒序相加法”，是解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…特征的数列求和．(2)若已知数列的首项a 1、末项a n 及项数n ，则用公式S n ＝n (a 1＋a n )2来求和．这里a 1＋a n 2是a 1与a n 的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质．(3)公式S n ＝n (a 1＋a n )2中涉及四个量：S n 、n 、a 1、a n ；公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 中也涉及四个量：S n 、n 、a 1，d 、结合等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，对于等差数列中的五个量：S n 、n 、a 1、a n 、d ，已知其中的三个可以求另外的两个量．练习：已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2，解得a 8＝39， 又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.2．等差数列前n 项和的有关性质(1)等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也构成等差数列，且公差为m 2d .(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{S n n }是等差数列，且首项为a 1，公差为d 2.(3)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a n b n ＝S 2n －1S ′2n －1. 练习：(1)等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A ．130B ．170C ．210D ．260(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n 、T n ，且S n T n＝2n ＋3n ＋3，则a 5b 5＝________. [答案] (1)C (2)53[解析] (1) ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴S m ＋S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )，∴30＋S 3m －100＝2(100－30)，∴S 3m ＝210.(2)∵a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. 3．数列的项a n 与前n 项和S n 的关系a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2). 破疑点：(1)利用S n 与a n 的关系求数列通项公式的方法称为前n 项和法，它适应于所有数列．(2)应用a n 与S n 的关系求a n ，分三个步骤：第一步：n ＝1时，计算a 1＝S 1；第二步：n ≥2时，计算a n ＝S n －S n －1；第三步：检验a 1＝S 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)．a 1适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)时，通项公式可合并成一个式子，即a n ＝S n －S n －1；否则，通项公式应写成分段函数的形式，即a n ＝⎩⎨⎧ S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2). 练习：试求分别满足下列条件的数列{a n }的通项公式：(1)S n ＝n 2＋n (n ∈N *)；(2)S n ＝n 2－n ＋1(n ∈N *)．[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ＋1－(n －1)2＋(n －1)－1＝2n －2.又a 1＝1不满足上式，∴a n ＝⎩⎨⎧1(n ＝1)2n －2(n ≥2). 考点一：有关等差数列的前n 项和的基本运算例1、已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝12，S 4＝20，求S 6；(2)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(3)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .[解析] (1)S 4＝4a 1＋4(4－1)2d ＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20，∴d ＝3.故S 6＝6a 1＋6(6－1)2d ＝6a 1＋15d ＝3＋15d ＝48.(2)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2(－12)＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，∴a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1022，解得n ＝4. 又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.跟踪练习：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，得6＝3a 1＋12×3×2×d ，又a 1＝4，解得d ＝－2.考点二：等差数列前n 项和性质的应用例2、等差数列{a n }与{b n }的前n 项和之比为(5n ＋13) (4n ＋5)，求a 10b 10的值． [解析] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为S ′n .由于等差数列的性质，得a 10b 10＝a 1＋a 19b 1＋b 19＝192(a 1＋a 19)192(b 1＋b 19)＝S 19S ′19. 由题意得S 19S ′19＝5×19＋134×19＋5＝43，所以a 10b 10＝43. 跟踪练习：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( )A ．12B ．18C ．24D ．42[答案] C[解析] ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，∴2(10－2)＝2＋S 6－10，∴S 6＝24.考点三：等差数列前n 项和公式的实际应用例3、某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？[解析] 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }．则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，∴a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1) (1≤n ≤20，n ∈N )．∴{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列，∴a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.∴S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．跟踪练习：“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1min 内通过的路程为2km ，以后每min 通过的路程增加2km ，在到达离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )A ．10minB ．13minC ．15minD ．20min[答案] C[解析] 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，∴n min 内通过的路程为S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ＝n (n ＋1)． 检验选项知，n ＝15时，S 15＝240km.考点四 a n 与S n 关系的应用例4、 已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，求a n .[分析] 注意观察条件等式左边可以发现，各项具有相同的构成规律，如果令b n ＝na n ，则左端就是数列{b n }的前n 项和．[解析] 令b n ＝na n ，则{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋1)(n ＋2)， ∴b 1＝S 1＝6，n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)·n ·(n ＋1)＝3n (n ＋1)．当n ＝1时也适合，∴b n ＝3n (n ＋1)，∴a n ＝3(n ＋1)．跟踪练习：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－8，求通项公式a n .[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－7；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－8－(n －1)2＋8＝2n －1.又a 1＝－7不满足上式，∴a n ＝⎩⎨⎧ －7(n ＝1)2n －1(n ≥2). 例5、 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列．[错解] ∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2. a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)，∴数列{a n }是等差数列．[辨析] a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证．[正解] a 1＝S 1＝6，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2，∴a n ＝⎩⎨⎧6 n ＝12n ＋2 n ≥2， 显然a 2－a 1＝4－6＝－2，a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．2.3.2 等差数列的前n 项和公式的性质1.等差数列前n 项和的最值求法(1)由于S n ＝An 2＋Bn ＝A (n ＋B 2A )2－B 24A ，利用二次函数求最值． (2)由⎩⎨⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，求得等差数列{a n }前n 项和S n 的最小值时n 的取值． 由⎩⎨⎧ a n ≤0a n ＋1≥0，求得等差数列{a n }前n 项和S n 取最小值时n 的取值． 练习：在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，试求其前n 项和S n 的最大值．[解析] 解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋12n (n －1)·(－2)＝－(n －13)2＋169，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.解法二：先求出d ＝－2(同解法一)．∵a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2(n －1)≥0a n ＋1＝25－2n ≤0， 得1212≤n ≤1312，∴当n ＝13时，S n 有最大值．2．裂项相消法求和常见的裂项有：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； 1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)； 1n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等． 练习：求数列{1n (n ＋1)}的前n 项和S n . [解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 考点一：等差数列前n 项和的最值问题例1、等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项的和最小？[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×8·d ＝12a 1＋12×12×11·d∴a 1＝－10d ，∵a 1<0，∴d >0，∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122－4418d . ∵d >0，∴S n 有最小值．又∵n ∈N *，∴n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法二：同解法一，由S 9＝S 12得a 1＝－10d ，设⎩⎨⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，∴⎩⎨⎧ －10d ＋(n －1)d ≤0－10d ＋nd ≥0， ∵a 1<0，∴d >0，解得10≤n ≤11.∴n 取10或11时，S n 取最小值．解法三：∵S 9＝S 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，∴3a 11＝0，∴a 11＝0.∵a 1<0，∴前10项或前11项和最小．跟踪练习：首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前________项和最大？[答案] 7[解析] 由S 3＝S 11，有3a 1＋3×(3－1)d 2＝11·a 1＋11×(11－1)2·d ，得d ＝－213a 1<0.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－113a 1n 2＋1413a 1n ＝－113a 1(n －7)2＋4913a 1.故当n ＝7时，S n 最大，即前7项和最大.考点二：含绝对值的数列的前n 项和例2、在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和．[解析] 等差数列{a n }的公差d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63.由a n <0，得3n －63<0，即n <21.∴数列{a n }的前20项是负数，第21项及以后的项都为非负数． 设S n ，S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项之和，当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－[－60n ＋n (n －1)2×3]＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋n (n －1)2×3－2×(－60×20＋20×192×3)＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和S ′n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋1232n (n ≤20)32n 2－1232n ＋1 260(n >20).跟踪练习：在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .[解析] (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴{a n }是等差数列，又∵a 4＝a 1＋3d ＝8＋3d ＝2，∴d ＝－2，∴a n ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2)令10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，a n ≥0，当n ≥6时，a n <0.∴n ≤5时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋9n .当n ≥6时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2×(－52＋9×5)－[8n ＋n (n －1)2×(－2)] ＝n 2－9n ＋40.∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n (n ≤5，n ∈N *)n 2－9n ＋40 (n ≥6，n ∈N *).考点三 裂项求和例3、 求数列{1(2n ＋1)(2n ＋3)}的前n 项和． [分析] 通项的分母是两项的积，且这两项相差2，所以可将其拆分为两项之差，即1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)． [解析] a n ＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋3)] ＝12(13－12n ＋3)＝n 6n ＋9.[点评] 形如：1(an ＋b )(cn ＋d )的式子，若可拆分为A an ＋b －B cn ＋d的形式，一般可用此法进行求解．练习：已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n . [解析] (1)∵对任意的正整数n,2S n ＝a n ＋1①恒成立，当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，即(a 1－1)2＝0，∴a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a n －1＋1.②①2－②2得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)∵a n ＝2n －1，第 11 页 共 11 页 ∴b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 例4、 求数列{1n (n ＋2)}的前n 项和． [错解] ∵1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)， ∴数列{1n (n ＋2)}的前n 项和 S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12＋1n －1n ＋2)＝34＋1n (n ＋2). [辨析] 错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．[正解] ∵1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)， ∴数列{1n (n ＋2)}的前n 项和S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝34＋2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).。