(四年级数学上) 第一讲几何中的计数问题(一)c

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《仁华学校奥林匹克数学课本(小学四年级)》

《仁华学校奥林匹克数学课本(小学四年级)》
上册
第1讲速算与巧算（三）
第2讲速算与巧算（四）
第3讲定义新运算
第4讲等差数列及其应用
第5讲倒推法的妙用
第6讲行程问题（一）
第7讲几何中的计数问题（一）
第8讲几何中的计数问题（二）
第9讲图形的剪拼（一）
第10讲图形的剪拼（二）
第11讲格点与面积
第12讲数阵图
第13讲填横式（一）
第14讲填横式（二）
第15讲数学竞赛试题选讲
下册
第1讲乘法原理
第2讲加法原理
第3讲排列
第4讲组合
第5讲排列组合
第6讲排列组合的综合应用
第7讲行程问题
第8讲数学游戏
第9讲有趣的数阵图（一）
第10讲有趣的数阵图（二）
第11讲简单的幻方及其他数阵图
第12讲数字综合题选讲
第13讲三角形的等积变形
第14讲简单的统筹规划问题第15讲数学竞赛试题选讲。

小学数学四年级上册《认识更大的数》教学案例

小学数学四年级上册《认识更大的数》教学案例1.学习内容北师大版小学数学四年级上册第一单元中的《数一数》《认识更大的数》，主要是认识更大的计数单位十万及数位顺序表，进一步体会十进位制计数法。

2.学习目标（1）学科性目标①认识更大的计数单位十万及数位顺序表。

②进一步体会十进位制计数法。

（2）教育性目标在四学活动中培养学生合作学习、敢于表达、勇于质疑的学习品质。

（3）创新性目标能用不同的方法表示大数的意义，培养学生的发散思维。

【学习重点】借助几何直观建立十进制计数法的联系，进一步发展数感。

3.学习过程我们根据学时课的课堂教学模式开展教学，其流程如图所示：图2：小学数学学时课教学流程图（1）前测引入，明确方向①师生谈话引入：通过单元课的学习，大家对《认识更大的数》这一单元的内容有了初步的认识，接下来我们一起走进学时课的学习。

②前测引入10个一千是（）。

8个千和3个一组成了（）。

6个千再加（）个千就是一万。

10个一万是（）。

③明确方向师：刚才的练习，哪些题目是我们之前没有练习过的？这就课就让我们一起来认识更大的数。

【评析】通过练习既巩固了旧知，有增加了新知识的内容，用学生已有的知识经验进行迁移学习，激发学生学习的兴趣和进一步探究的欲望，为新知的学习做好准备。

（2）运用四学，探究新知探究1：大数的十进制关系准备计数器，按要求拨一拨，你发现了什么？在千位上每次拨一颗珠子，拨十次是多少？在万位上每次拨一颗珠子，拨十次是多少？在十万位上每次拨一颗珠子，拨十次是多少？以此类推拨下去？你发现了什么？①首学，自主操作，得出发现②互学，交流结果，分享发现③群学，展示成果，分享发现生1：我发现不管是哪个数位，满了十就要在高一位拨一颗。

生2：就是说大数和我们之前学习的数一样都是满十进一。

④共学，师生对话，建构意义师：其实不管是我们之前学习的万以内的数还是我们现在学习的更大的数，每两个相邻计数单位之间的进率都是十，也就是我们说的满十进一，这是整数不变的计数法则。

人教版小学四年级上册数学重要知识点总结

人教版小学四年级上册数学重要知识点总结第一单元：大数的认识本单元的重点知识包括：1.数位和数级：数位是指在数字中，每个计数单位按照一定的顺序排列起来所占的位置。

而数级则是按照我国的计数惯，每四个数位为一级。

个位、十位、百位、千位为个级；万位、十万位、百万位、千万位为万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位为亿级。

2.亿以内数的读法和写法：读法是先读万级，再读个级；万级的数按照个级的读法来读，再在后面加上一个“万”字。

每级末尾不管有几个，都不读，其他数位有一个或连续几个，都只读一个“零”。

写法是先写万级，再写个级。

哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写。

3.亿以内数的大小比较：位数不同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位比起，最高位的数大的那个数就大。

如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较出大小为止。

4.整万的数改写成用“万”作单位的数：去掉末尾的4个，再加上一个“万”字。

5.不是整万的数改写成“万”作单位的近似数：要将“千位”上的数四舍五入，然后再加上“万”字。

此外，还有一个重要的概念——四舍五入法。

如果要求一个数的近似数，先看省略的尾数部分的最高位是小于5，还是等于或大于5.如果小于5，就把它和后面的尾数全部舍去；如果等于或大于5，就先向前一位进1，再把它和后面的尾数全部舍去。

这种求近似数的方法叫做四舍五入法。

数是应人们生产生活的需要而产生的。

最初有实物记数、结绳记数、刻道记数。

后出现了记数符号，即数字。

阿拉伯数字是现今世界通用的数字，它是印度人发明的。

自然数是表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……都是自然数。

最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

在计数单位方面，个(一)、十、百、千、万……亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位。

每相邻两个计数单位间的进率都是10，这是十进制计数法的基础。

2.亿以上数的读写与改写方法十进制计数法是一种每相邻两个计数单位之间进率都是十的计数方法。

人教版四年级上册数学全册教材分析

人教版小学四年级上册数学教材分析各位老师早上好！今天我和大家交流的是人教版四年级上册数学教材内容。

学情分析：本册是第二学段教学的开始。

本学段的学生有了一定的知识和能力，思维水平有了发展——开始由直观形象思维向抽象逻辑思维过渡。

因此教学内容在编排上也开始注意由具体直观向抽象概括过渡。

本册教材的总体分析：我们先从整体上来分析本册教材的内容结构。

老师们平时可能比较习惯从目录中了解教材的主要内容。

从目录中我们可以看到本册教材共有9个单元，分别是:第一单元大数的认识、第二单元公顷和平方千米、第三单元角的度量、第四单元三位数乘两位数、第五单元平行四边形和梯形、第六单元除数是两位数的除法、第七单元条形统计图、第八单元数学广角与第九单元总复习。

其中，大数的认识、角的度量、三位数乘两位数、平行四边形和梯形、除数是两位数的除法是本册的重点教学内容。

本册教材的主要内容，也与其他各册相似，均包括了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合实践活动四大部分，详见如下：(一)数与代数领域第一部分多位数的认识内容分布在第一单元“大数的认识”。

第二部分乘法和除法部分这一部分的知识内容主要分布在“三位数乘两位数”和“除数是两位数的除法”这两个单元。

(二)图形与几何领域第三部分图形与几何的内容分布在第二单元“公顷和平方千米”、第三单元“角的度量”和第五单元“平行四边形和梯形”(三)统计与概率领域统计部分的内容分布在第七单元，教学条形统计图。

（四）综合和实践应用这一部分内容对学生初步形成一些重要的数学思想力法，感受数学独特的魅力是有很重要的作用，教材之所以要安排一些有弹性教学目标的内容就是为了满足不同层次学生的学习需求，落实不同的学生有不同的数学的目标。

除上面的内容外，本册还安排了两个综合应用活动"，1亿有多大”和“你寄过贺卡吗?”让学生1.通过对具体数量的感知和体验，进一步理解数的意义，建立数感。

2.经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。

(完整版)四年级奥数第一讲_图形的计数问题

第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右图中总合有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），因此∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：图中总合有10 个角。

方法 2：用公式计算：边数×（边数—1）÷ 25 ×（ 5-1 ）÷ 2=10练一练：数一数右图中总合有多少个角？例（ 2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看 BC、MN、 GH 这 3 条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ ABC中，被 GH和 MN分红了三层，每一层的三角形同样多，因此只需算出一层三角形个数就能够了。

(5 ×4÷2)×3=30(个)答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。

练一练：图中共有多少个三角形？例（ 3）数一数图中长方形的个数解析：长边线段有：6× 5÷ 2=15宽边线段有： 4 ×3÷2=6共有长方形： 15×6 = 90（个）答：共有长方形90 个。

小学思维数学讲义：计数之归纳法-带详解

计数之归纳法前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．【例 1】如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。

【考点】计数之归纳法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分【解析】边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格【答案】9【例 2】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n =()12n n ++1个部分．方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k +1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k +1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．一般的有k 条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k =()12k k ++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．例题精讲教学目标【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】假设用a k 表示k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k ＝0，1，2，……a 0＝1a 1=a 0+1＝2 a 2=a 1＋2=4 a 3=a 2＋3=7 a 4=a 3+4＝11 ……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例 3】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k 个圆最多能将平面分割成k a 个部分．141312111098765432187652134431221从图中可以看出，12a =，24221a ==+⨯，38422a ==+⨯，414823a ==+⨯，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-．实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k 个圆与前面()1k -个圆共产生2(1)k ⨯-个交点，如下图：这2(1)k ⨯-个交点把第k 个圆分成了2(1)k ⨯-段圆弧，而这2(1)k ⨯-段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k ⨯-个部分．所以，()121k k a a k -=+-．那么，10987292829272829a a a a =+⨯=+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=12122...272829a =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ ()2212...78992=+⨯+++++=．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【例 4】 10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】设n 个三角形最多将平面分成n a 个部分．1n =时，12a =；2n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯．3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯． …… 一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故()()222343213224213332n a n n n n ⎡⎤=+⨯+⨯++-⨯=++++-⨯=-+⎣⎦；特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例 5】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】n 个图形最多可把平面分成部分数：直线：()112n n ⨯++；圆：()21n n +⨯-；三角形：()231n n +⨯⨯- ；长方形：()241n n +⨯⨯-．【答案】26【例 6】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分? 【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【答案】32【例7】在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑每一次切割能增加多少瓜皮片．当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第2刀时，由于切割线相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有()n-个交点．这21些交点将第n条切割线分成()21n-，所以21n-段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了()在西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成11212223242532++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=片．【答案】32【例8】在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】题目相当于6个平面能将空间划分为多少个部分．通过找规律来寻找递推关系，显然的1个平面能将空间划分成2块，2个平面能将空间划分成4块，3个平面能将空间划分成8个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的8个部分中的其中几个划分．如图：注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第四个平面分割成7个部分，而每一部分将原来三个平面划分的8个空间中的7个划分成两份，所以4个平面能将空间划分成+=个部分．8715同样的第五个平面与前四个平面分别相交成4条直线，这四条直线能将第5个平面分割成++++=个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区1123411域增加到151126+==个部分．当增加到6个平面时，第六个平面共被划分成11234516+++++=个部分，所以第6个平面能将空间中的区块数增加到261642+=个部分．所以6刀能将面包切成42块．【答案】42。

几何图形的计数(基本图形)

几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。

有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。

如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。

例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。

线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。

学而思-希望杯四年级决赛第1讲图形计数与几何教师版

E
F
C
D
E
F
C
D
E
F
C
【分析】平面几何，巧求面积。（方法一）过点 F 作 FG // AD ，交 AB 于点 G ；
S ABCF − SΔADF = S BCFG + SΔAFG − SΔADF = S BCFG = FC × AE ；
所以 FC = ( S ABCF − SΔADF ) ÷ AE = 14 ÷ 7 = 2 平方厘米。（方法二）过点 C 作 CH // AF ，交 AB 于点 H ；
1 + 2 + LL + n =
n ( n + 1)
n(n − 1) 条。 2
③网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。 ④一般的，一个长方形的长被分成 n 份，宽被分成 m 份（ n ≥ m ，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为： mn + ( n − 1)( m − 1) + ( n − 2 )( m − 2 ) + LL + ( n − m + 1) × 1 。
S ABCF − SΔADF = S AFCH + SΔBCH − SΔADF = S AFCH = FC × AE ；
所以 FC = ( S ABCF − SΔADF ) ÷ AE = 14 ÷ 7 = 2 平方厘米。
希望杯思维训练
小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级决赛辅导班第 1 讲教师版 page 4 of 14
例题精讲
【例 1】（ 2009 年 4 月 12 日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第 2 试第 4 题）如图是由 25 个面积等于 1 的小正方形组成的大正方形，图中面积是 6 的长方形有 ________ 个。

奥数讲座(4年级-上)(14讲)

四年级奥数讲座（一）目录第一讲速算与巧算（三）第二讲速算与巧算（四）第三讲定义新运算第四讲等差数列及其应用第五讲倒推法的妙用第六讲行程问题（一）第七讲几何中的计数问题（一）第八讲几何中的计数问题（二）第九讲图形的剪拼（一）第十讲图形的剪拼（二）第十一讲格点与面积第十二讲数阵图第十三讲填横式（一）第十四讲填横式（二）第一讲速算与巧算（三）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？习题一解答1.利用凑整法解.899998＋89998＋8998＋898＋88＝（899998＋2）＋（89998＋2）＋（8998＋2）＋（898＋2）（88＋2）－10 ＝900000＋90000＋9000＋900＋90-10＝999980.2.利用凑整法解.799999＋79999＋7999＋799＋79＝800000＋80000＋8000＋800＋80-5＝888875.3.（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）＝1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2-1-3-5…－1983－1985－1987＝（1988-1987）＋（1986-1985）＋…＋（6-5）＋（4-3）＋（2－1）＝994.4.1－2＋3—4＋5－6＋…＋1991-1992＋1993＝1＋（3-2）＋（5-4）＋…＋（1991-1990）＋（1993－1992）＝ 1＋1×996＝997.5.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝13×6＝78（下）.6.1＋2＋3＋…＋24＋25＝（1＋25）＋（2＋24）＋（3＋23）＋…＋（11＋15）＋（12＋14）＋13＝26×12＋13＝325.7.解法1：1000＋999—998—997＋996＋995—994－993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101＝（1000＋999—998—997）＋（996＋995—994－993）＋…＋（108＋107—106—105）＋（104＋103—102—101）解法 2：原式＝（1000—998）＋（999—997）＋（104—102）＋（103—101）＝2 × 450＝900.解法 3：原式＝1000＋（999—998—997＋996）＋（995—994 －993＋992）＋…＋（107—106—105＋104）＋（103—102—101＋100）－100＝1000—100＝900.9.（125×99＋125）×16＝125×（99＋1）×16＝ 125×100×8×2＝125×8×100×2＝200000.10.3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9＝ 3×（999＋1）＋8×（99＋1）＋2×（9＋1）＋9＝3×1000＋8×100＋2×10＋9＝3829.11.999999×78053＝（1000000—1）×78053＝78053000000—78053＝78052921947.12.1111111111×9999999999＝1111111111×（10000000000—1）＝11111111110000000000—1111111111＝11111111108888888889.这个积有10个数字是奇数.第二讲速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 × 250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？习题二解答1.先按图意将方格填好，再仔细观察，找出格中数字的规律进行巧算.解法1：先算每一横行中的偶数之和：（12＋14＋16＋18）×6＝360.再算每一竖列中的奇数之和：（11＋13＋15＋17＋19）× 5＝375最后算30个数的总和＝10＋360＋375＝745.解法2：把每格的数算出填好.先算出10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＝145，再算其余格中的数.经观察可以列出下式：（23＋37）＋（25＋35）× 2＋（27＋33）×3＋（29＋31）× 4＝60 ×（1＋ 2＋ 3＋4）＝600最后算总和：总和＝145＋600＝745.2. ① 98765 × 98769＝ 98765 ×（98768＋ 1）＝98765 × 98768＋98765.② 98766 × 98768＝（98765＋1）× 98768＝98765 × 98768＋ 98768.所以②比①大3.3.同上题解法相同：568×764＞567×765.4.根据“若保持和不变，则两个数的差越小，积越大”，则1996×1996＝3984016是最大的得数.5.85÷5＝17为中数，则五个数是：13、15、17、19、21最大的是21，最小的数是13.6.45÷5＝9为中数，则这五个数是：3，6，9，12，15.7.观察已框出的六个数，10是上面一行的中间数，17是下面一行的中间数，10＋17＝27是上、下两行中间数之和.这个中间数之和可以用81÷3＝27求得.利用框中六个数的这种特点，求方框中的最大数.429÷3＝143（143＋7）÷2＝75 75＋1＝76最大数是76.第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a ＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3解出x＝2.③这个运算有交换律和结合律吗？的观察，找到规律：例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三计算：① 10*6 ② 7*（2*1）.如果1△2=2，则2△9=？7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：9.规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？10.我们规定：符号。

小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析

几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。

巧数图形

第一讲巧数图形数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。

数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。

几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。

通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。

要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。

一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。

因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。

例1、数一数，图中有多少条线段？分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条；以B点为共同端点的线段有：BC BD BE BF 4条；以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条；以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条；以E点为共同左端点的线段有：EF 1条；总数为：5+4+3+2+1=15条。

用图示法表示更为直观明了，如右图。

想一想：①由例1可知，一条线段AF上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。

由此猜想如下规律（见右图）：……………………还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.②如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。

基本线段数线段总条数……………………是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。

(四年级数学上)-第一讲-几何中的计数问题(一)c

第一讲几何中的计数问题（一）（四年级数学上）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1 数一数下列图形中各有多少条线段.分析要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A 为左端点的线段有AB、AC两条，以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE 上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.② 3＋2＋1＝6（条）.③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，最大的加数是基本线段的条数.二、数角例2 数出右图中总共有多少个角.分析在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB 内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，最大的加数是基本角的个数（或角分线的条数加1）.例3 数一数右图中总共有多少个角？解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形例4 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中基本小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是基本小三角形（或三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数）.例5 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.例6 如右图中，共有多少个角？分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n（n-1）+1.四、数长方形例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB 上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有m条基本线段，另一边上有n条基本线段，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.所以共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.图形计数(一)一、数线段例1.数出下列每条线段上线段的总条数。

四年级数学上册第一课

四年级数学上册第一课四年级数学上册第一课：认识数学数学是一门非常重要的学科，它通过数字、符号和公式来研究量、结构、空间以及变化等问题。

学好数学不仅可以提高我们的逻辑思维能力，还可以培养我们的分析和解决问题的能力。

在四年级的数学上册第一课中，我们将会学习一些基础的数学概念和技巧。

下面，我将详细介绍本课的内容。

第一节：数的认识本节课我们将首先认识数。

数是用来计数、比较大小以及进行数学运算的工具。

最基本的数包括0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数字。

我们可以将它们组合成更大的数，比如10、11、12等等。

我们通过观察读数螺旋板，学习了从0到100之间的数，并能准确地读出它们。

掌握了基本的数字和计数的方法后，我们就可以进行加法和减法运算了。

第二节：加法运算加法是数学中最基本的运算之一。

通过本节课的学习，我们将学会使用竖式的方式进行简单的加法运算。

首先，我们要掌握加法运算的规则：加法运算中，两个或多个数字相加，得到的结果叫做和。

我们要从个位数开始逐位相加，如果相加的结果大于9，就要进位，将进位的数加到下一位上。

本课我们主要学习两位数与一位数相加的竖式加法运算。

第三节：减法运算减法是加法的逆运算，也是数学中基本的运算。

在减法运算中，我们要找到一个被减数、一个减数和一个差。

我们将学习两位数减一位数的竖式减法运算，要注意遇到需要退位的情况时要进行退位操作。

减法是一个非常重要的运算方法，它涉及到了我们日常生活中很多实际的应用问题，比如找零钱、计算时间等。

第四节：比较大小在生活中，我们常常需要比较不同的东西的大小。

在数学中，我们学习了比较整数的大小。

通过本节课的学习，我们将学会使用比较符号（>、<、=）表示大小关系。

我们要学会仔细观察数的大小，通过比较数的大小来判断大小关系。

第五节：数的顺序数的顺序就是按照一定的规则将数排列起来。

通过本节课的学习，我们将掌握自然数的顺序。

我们会学习使用数字列和数字填空来练习数的顺序。

2023年人教版数学四年级上册十进制计数法教案与反思(推荐3篇)

人教版数学四年级上册十进制计数法教案与反思（推荐３篇）〖人教版数学四年级上册十进制计数法教案与反思第【1】篇〗教学目标：1．了解数的产生。

2．初步认识自然数。

3．认识亿级的数和计数单位亿、十亿、百亿、千亿，掌握千亿以内的数位顺序表和十进制计数法。

教学重难点：重点：认识亿级的数和计数单位。

难点：掌握千亿以内数位顺序和十进制计数。

教学过程：一、教学十进制计数法1、教学计数单位。

（1）复习万以内数的计数单位。

我们在前三年多里学的整数，都是万以内的数。

万以内数的计数单位有哪些？（指板书的个、十、百、千、万）想一想，这些计数单位之间有怎样的关系？提问：根据上面的关系，相邻两个计数单位间的进率是多少？（2）教学万以上的计数单位。

①说明：在日常生活和生产中，还经常要用到比万大的数，从今天起，我们要学习比万大的`多位数。

老师举出一些比万大的数的例子。

②从以前学习的一万开始，还可以继续数下去。

出示计数器，拨上一万。

提问：现在计数器上表示多少？我们可以一万一万地数下去。

追问：10个一万是多少万？现在我们一起十万十万地数。

追问：10个十万是多少万？一百万一百万地数。

10个一百万是多少万？怎样拨珠？现在万位是“1”，是1个多少？接下去一千万一千万地数。

数到10个一千万时，说明向前一位亿位上进1，是一亿。

这时计数单位是什么？提问：刚才数数时，有哪些计数单位？每位满几就向前一位进1？③我们还可以这样数下去。

师生共同一亿一亿地数到十亿。

提问：10个一亿是多少亿？十亿十亿地数到一百亿。

提问：l0个十亿是多少亿？（3）说一说，这里数数时有哪些计数单位？①小结：现在，你能按顺序说出有哪些计数单位吗？让学生看着计数器的数位按顺序说--说有哪些计数单位。

2、说明十进制计数法。

刚才我们数数时，每一位上的计数单位满几就要向前一位进l？想一想，每相邻两个计数单位之间的关系是怎样的？说明：相邻的两个计数单位之间都是十进关系。

像这样每相邻的两个计数单位之间的进率是10的计数方法，叫做十进制计法。

四年级数学上册思维训练全

第一讲方阵问题（一）学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

方阵的基本特点是：①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。

③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。

例1：有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。

解：以10米为一段，公路全长可以分成900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）练习与作业1.四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的方阵。

这个方阵里有多少同学？2.用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚？3.有1764棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。

这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？4.576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？5.棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少？6.在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共装彩灯多少盏？第二讲方阵问题（二）例3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。

问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。

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第一讲几何中的计数问题（一）（四年级数学上）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1 数一数下列图形中各有多少条线段.分析要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条，以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C 把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.② 3＋2＋1＝6（条）.③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，最大的加数是基本线段的条数.二、数角例2 数出右图中总共有多少个角.分析在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，最大的加数是基本角的个数（或角分线的条数加1）.例3 数一数右图中总共有多少个角？解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形例4 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中基本小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是基本小三角形（或三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数）.例5 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC 中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.例6 如右图中，共有多少个角？分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.四、数长方形例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有m条基本线段，另一边上有n条基本线段，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.所以共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.图形计数(一)一、数线段例1. 数出下列每条线段上线段的总条数。

① ②③诀窍为: 例2.图中共有几条线段,你能准确数出来吗?例3.图中共有多少条线段?二、数三角形例1.右图中共有( )个三角形。

例2.下图中共有( )个三角形。

例3.下图中共有( )条射线。

A B AB D E F GC A B CDE A 19 … A 21 A 20 A 4A 3A 2 A 1三、数长方形例1.下图中共有( )个长方形。

例2.下图中共有( )个长方形,你能总结规律吗?数长方形诀窍是: 方法拓展1.在一次联欢会上，有六位同学参与表演，每两人合唱一首歌，联欢会上他们共唱多少首歌？2. 某人从甲地到乙地，可以乘飞机，火车，汽车或轮船。

飞机每日三班，火车每日三班，汽车每日十班，轮船每日五班。

那么此人选择旅行方式有几种？3. 王老师从10篇作文中选取两篇共有多少种选法？4.小亮有6本故事书、3本童话本、4本作文书，他想送一本书给小强。

共有多少种选择？5.把钥匙和7把锁，但是被放乱了。

不知道哪把钥匙配哪把锁，最多要试几次就能把锁和钥匙搭配起来？小练习: 1.数一数，右图中有（）条线段。

3. 数一数，右图中有（）个三角形。

①数一数下图中共有（）条线段。

A B C D A B CD②数一数，右图中有（）个角。

③数一数，下图中有（）个长方形。