二次根式的求值技巧2
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
二次根式求值简便方法
二次根式求值简便方法二次根式的求值是初中数学中比较基础的知识，而在解题时，经常需要使用一些简便方法来快速求出其结果。
下面就来介绍一下二次根式的求值简便方法。
一、化简二次根式化简是求解二次根式的关键，只有化简后的二次根式才能进行计算。
若是求解 $ \sqrt{16a^2b^4} $，可以将其化为 $ 4ab^2 $，利用$ \sqrt{a^2b^2} = ab $ 的特性，将式子中的平方项提出来即可：$$ \sqrt{16a^2b^4} = \sqrt{(4a)^2b^4} = 4ab^2 $$同样，假如需要求解 $ \sqrt{50}-\sqrt{18} $，则可以将其中的根式进行化简，得到：$$ \begin{aligned} \sqrt{50}-\sqrt{18} & = \sqrt{25\times2}-\sqrt{9\times2} \\ & = 5\sqrt{2}-3\sqrt{2} \\ & = 2\sqrt{2}\end{aligned} $$二、配方法在求解包含二次根式的方程时，常使用配方法来消去根号。
例如，求解 $ \sqrt{3x+1} + 2 = 5 $，可以使用配方法来解得：$$ \begin{aligned} & \qquad \sqrt{3x+1} + 2 = 5 \\ &\Rightarrow \sqrt{3x+1} = 3-2 \\ & \Rightarrow \sqrt{3x+1} = 1 \\ & \Rightarrow 3x+1 = 1 \\ & \Rightarrow 3x = 0 \\ &\Rightarrow x = 0 \end{aligned} $$三、分离因式对于某些稍微复杂的二次根式，有时候需要将其分离为简单的因式，再进行计算。
例如，求解 $ \sqrt{12}-\sqrt{48} $：$$ \begin{aligned} \sqrt{12}-\sqrt{48} & = 2\sqrt{3}-4\sqrt{3} \\ & = -2\sqrt{3} \end{aligned} $$这里就将二次根式 $ \sqrt{12} $ 和 $ \sqrt{48} $ 分别分离为$ 2\sqrt{3} $ 和 $ 4\sqrt{3} $，再将其合并计算即可。
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧在有理数中学习的法则、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，对于二次根式化简有些通过常规的方法计算比较麻烦，那有没有什么做题技巧呢？接下来老师来分享一下常见二次根式化简求值的九种技巧，很多同学都没见过。
技巧1：估算法问题思路分析：可通过估算法算出这三个数分别在哪两个整数之间，然后算出答案，本题比较简单。
技巧2：公式法问题思路分析：可根据多项式乘以多项式的法则轻松得到答案，这也是课上老师常练的计算题。
技巧3：拆项法问题思路分析：根据提示把上面的分子进行替换，然后再把式子拆成两项，什么时候用拆项法呢?当式子之间有联系（可以拆成有关系的式子）时，本题的具体答案如下：技巧4：换元法问题思路分析：如果直接把n的值代入计算量会很大并且计算易出错，那我们可以用换元法来做，因数学符号不好打，本题的具体答案如下（当然可以用其他的换元法）：技巧5：整体代入法问题思路分析：先把所求的式子进行化简，再利用完全平方公式进行化简整体代入，请同学们自己动手做一下，做完后对一下下面的答案：技巧6：因式分解法问题思路分析：把分母因式分解后，再和分子约分后化简，本题分母因式分解比较难，请同学们认真，本题的具体答案如下：技巧7：配方法问题思路分析：先根据二次根式的定义求得a的取值范围，然后对所求的式子进行化简，其中可以用配方法求得本题的答案，具体答案如下：技巧8：辅元法问题思路分析：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值，请同学们按照上述老师说的方法自己动手做一下，具体答案如下：技巧9：先判后计算问题思路分析：先根据已知条件判断a和b的符号，然后再化简求值，希望同学们一定要动脑自己尝试去做一下，本题的具体答案如下：上面就是老师讲的常见二次根式化简求值的九种技巧，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法。
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「初中数学」常见二次根式化简求值的几种
技巧
二次根式的化简求值是初中数学的重要内容，也是中考试题中的常见题型，对于特殊的二次根式的化简，除了掌握基本的概念和运算法则外，还应根据根式的具体结构特征，灵活一些特殊的方法和技巧，现就几种常用的方法和技巧举例说明如下:
一.巧用乘法公式
由于平方差公式:(a+b)(a一b)=a²一b²的结构特征的优越性，在根式的化简求值中简捷明了.
1.化简:(√2+√3+√5)(3√2+2√3一√30).
关键:对第二个因式提取√6后，发现与第一个因式的数量关系.
解:原式=(√2+√3+√5)√6(√3+√2一√5)=√6[(√2+√3)+√5][(√2+√3)一√5]=√6[(√2十√3)²一(√5)²]=√6(2+2√6+3一5)=√6×2√6=12.
2.化简:(√5+√6+√7)(√5+√6一√7)(√5十√7一√6)(√6十√7一√5).
解:原式=[(√5+√6)²一(√7)²][(√7)²一(√6一√5)²]=(4+2√30)(2√30一4)=(2√30)²一4²=104.
二.巧运逆运算
三.巧拆项
四.巧换元
五.巧因式分解
六.巧配方
七.巧平方
八.巧添项
九.巧取倒数
十.巧用1”代换
【总结】二次根式的化简求值题型多变，有较强的灵活性、技巧性、综合性。
在求解的过程中应根据根式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，不仅可以化难为易，迅捷获解，而且对于培养和提高同学们的数学思维能力，激发学习兴趣是大有帮助的。
二次根式化简求值的六种技巧
专题训练(一) 二次根式化简求值的六种技巧► 技巧一 利用二次根式的性质a 2＝|a |化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a |，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1的值为( )A ．1－ 3 B.3－1C ．3－ 3 D.3－32．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|＝________．4．已知三角形两边的长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－14c 2－4c ＋16.► 技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( )A ．－a bB ．a －bC ．－a －bD ．a b6．化简：(1)（－5）2×（－3）2＝________；(2)（－16）×（－49）＝________；(3) 2.25a 2b ＝________；(4)－25－9＝________；(5)9a 34＝________． ► 技巧三 利用隐含条件求值7．已知实数a 满足（2018－a ）2＋a －2019＝a ，则a －12018＝________． 8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x的值．► 技巧四 巧用乘法公式计算9．计算：(1)(－4－15)(4－15)；(2)(2 6＋3 2)(3 2－2 6)；(3)(2 3＋6)(2－2)；(4)(15＋4)2018(15－4)2019.► 技巧五 巧用整体思想进行计算10．已知x ＝5－2 6，则x 2－10x ＋1的值为( )A ．－30 6B ．－18 6－2C ．0D ．10 611．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，则x 2－xy ＋y 2＝________．12．已知a ＝2＋3，b ＝2－3，则(a ＋2)2(b ＋2)2＝________．► 技巧六 巧用倒数法比较大小13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a详解详析1．[解析] B a 2－2a ＋1＝|a －1|.因为a －1＝(2－3)－1＝1－3＜0，所以|a －1|＝－(1－3)＝3－1.故选B.2．[答案] －1a[解析] 原式＝（2a －1）2a （2a －1）＝|2a －1|a （2a －1）. 当a ＜12时，2a －1＜0，所以|2a －1|＝1－2a . 所以原式＝1－2a a （2a －1）＝－1a . 3．[答案] －a －8[解析] 当a ＜－8时，a ＋4＜－4＜0，a ＋8＜0，∴|a ＋4|＝－(a ＋4)，|a ＋8|＝－(a ＋8)，∴原式＝|－(a ＋4)－4|＝|－a －8|＝|a ＋8|＝－(a ＋8)＝－a －8.4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c ＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．解：由三角形三边关系定理，得2＜c ＜8. ∴原式＝（c －2）2－（12c －4）2＝c －2－(4－12c )＝32c －6. 5．[解析] A 由ab ＜0，可知a ，b 异号且a ≠0，b ≠0.又因为a 2≥0，且a 2b ≥0，所以a ＜0，b >0.所以原式＝－a b .[点评] 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时，关键是注意法则成立的条件，还要注意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致． 6．[答案] (1)15 (2)28 (3)3a 2 b (4)53(5)3a 2a [解析] (1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15.(2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.(3)原式＝ 2.25×a 2·b ＝1.5a ·b ＝3a 2 b . (4)原式＝259＝259＝53. (5)原式＝9a 34＝3a 2 a . 7．[答案] 2019[解析] 依题意可知a －2019≥0，即a ≥2019.所以（2018－a ）2＋a －2019＝a 可转化为a －2018＋a －2019＝a ，。
部编数学八年级下册专题2二次根式化简求值技巧(解析版)含答案
专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一a|化简典例1（2022春•郯城县期末）化简二次根式―AB C．D．思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．解：由题意可知，x＜0，原式＝﹣x因此选项A是正确的，应选：A．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．变式训练1．已知a=1，求思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．解：∵a====2―∴a﹣1＝2――1＝1―0，∴原式=＝|a﹣1|＝﹣（a﹣1）=―1．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．（1）当a＜0（2）实数a，b思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．解：（1）当a＜0a1aa(a1)=―1a；（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，+＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）＝0．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．类型二含有隐含条件的化简求值典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么+A．B．﹣C．±D．思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（2，代入xy＝3，最后再开方即可．解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，所以（2=x2⋅yx+y2⋅xy+2xy=xy+xy+2xy＝4xy，∵xy＝3，所以4xy＝12，即（+2＝12．∵x与y是同号，所以原式＝±故选：C．总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在此条件下解答不会漏解．变式训练1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式+思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x 、y 同号，并且都是负数，化简所求式子，代值即可．解：∵x +y ＝﹣6，xy ＝8，∴x 、y 同号，并且都是负数，∴=―＝﹣（y x +xy ）=―=―(6)22×88＝﹣总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a ＝3时，求a +小红的答案是5．小明却认为：原式=a +a +(1―a )=1．即：无论a 取何值，a 1．你认为小明说得对么？为什么？思路引领：根据题意得到1﹣a ＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．解：小明的解答是错误的，理由如下：∵a ＝3，∴1﹣a ＝﹣2＜0，∴原式＝a +a ﹣1＝2a ﹣1，当a ＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，∴小明的解答是错误的．总结提升：=|a |是解题的关键．类型三 利用整体思想进行求值典例3 已知x ＝5﹣y ＝3x 2+5xy +3y 2的值．思路引领：先计算出x +y 与xy 的值，再利用完全平方公式得到3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x ＝5﹣y ＝∴x +y ＝10，xy ＝25﹣24＝1，∴3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ＝3×102﹣1＝299．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．变式训练1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x y （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x +xy +2．思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x 2+y 2和xy 的值，（1）直接代入即可求得；（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．解：∵x y =∴xy 32，x ―y =―1，又∵（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ，∴x 2+y 2=(x ―y )2+2xy =1+2×32=4，（1）x 2﹣xy +y 2＝x 2+y 2﹣xy =4―32=52．（2）y x +x y +2=y 2x 2xy +2=432+2=83+2=143．总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二次根式的性质和乘法公式求得x 2+y 2和xy 的值是解题关键．2．（1）已知：x =1，y =1．求2x 2+2y 2﹣xy 的值；（2）已知x ，求x 3x 1x 3的值．思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；（2）由x 2x =+1，可得2x ﹣1=4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，x +1＝x 2，利用整体代入的思想解决问题．解：（1）x2―y ＝2+所以原式＝2（2―2+2（2+2﹣（2―（2+＝14﹣―1＝27；（2）∵x =∴2x +1，∴2x ﹣1=∴4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，∴x +1＝x 2，∴原式=x 3x 2x 3=x 2(x 1)x 3=x 4x 3=x 总结提升：本题考查二次根式的化简求值，分母有理化等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．类型四 化简二次根式比较大小典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．变式训练1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题+1）1）＝1，+1，+1…（1）观察上面规律，计算下面的式子1+1+1+⋯+1（2）利用上面的规律思路引领：（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；（2―解：（1++⋯+=1)+++⋯+―=―1+―⋯=1＝10﹣1＝9；（2==1，=∴1＞1，――总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问题．第二部分专题提优训练1．（2021春•上城区校级期中）已知a=b=ab的值为 ．思路引领：a=b=ab＝1即可．解：a=b=∴ab+3﹣2＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．2．（2018春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），则|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是 ．思路引领：直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简得出答案．解：∵一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），∴1＜m＜5，|1﹣3m|+3＝2m+1﹣（3m﹣1）+3＝﹣m+5，当m＝2时，﹣m+5＝3，当m＝3时，﹣m+5＝2，当m＝4时，﹣m+5＝1，故所有结果的和是：1+2+3＝6．故答案为：6．总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确得出m 的取值范围是解题关键．3．（2021春•“＞”或“＝”或“＜”）．思路引领：根据分母有理化分别化简，即可得出答案．解：∵14=11+1，∴11，故答案为：＜．总结提升：本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．4．（2022春• ＞ 12（填“＞”“＜”“＝”）．思路引领：决问题．1＞1，＞12．故填空结果为：＞．总结提升：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n 次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a 满足|2020﹣a |a ，那么a ﹣20202+1的值是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件得出a ≥2021，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．解：由题意得：a ﹣2021≥0，解得：a ≥2021，则a ﹣2020a ，=2020，∴a ﹣2021＝20202，∴a ﹣20202＝2021，∴原式＝2021+1＝2022，故答案为：2022．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a ＝9时，求a +甲的解答为：原式＝a =a +（1﹣a ）＝1；乙的解答为：原式a =a +（a ﹣1）＝2a ﹣1＝17．两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 ．思路引领：利用二次根式的性质化简即可；解：∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式＝a +a +a ﹣1＝2a ﹣1＝17．∴甲错误，故答案为甲，没有注意到1﹣a ＜0．总结提升：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本公式，注意公式的应用条件．7．（2010秋•=5―2；16请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出1的结果为 ．（2）利用上面所提供的解法，求值：1+1+1+⋯+1 ．思路引领：（1）直接利用分母有理化化简得出答案；（2）直接将原式化简，进而计算得出答案．解：（1）1（2）原式=―1+―...―=1．1．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2022春•彭州市校级月考）已知x=1，y=1，求值：（1）xy；（2）x2+3xy+y2．思路引领：（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．解：（1）xy=11=1 75=1 2；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy2+122+122+12＝7+12＝712．总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2―b=1，求思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．解：∵b===2+a＝2―∴a ﹣b ＝2――（2+2―2――0，=总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a =，b =1．（1）求ab 的值；（2）求a 2+b 2的值．思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据二次根式的加法法则求出a +b ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．解：（1）∵a +1，b 1，∴ab 1）1）＝3﹣1＝2；（2）∵a =+1，b =―1，∴a +b 1）+1）＝∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（2﹣2×2＝8．总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．11．（2022•南京模拟）计算：（1）已知x =，y =1，试求x 2﹣xy +y 2的值．（2）先化简，再求值：a 21a 2a ÷(2+a 21a)，其中a 思路引领：（1）先计算出x ﹣y ＝2，xy ＝1，再将所求代数式变形为（x ﹣y ）2+xy ，然后整体代入计算即可；（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x 值代入化简式计算即可．解：（1）∵x =，y =1，∴x ﹣y ＝2，xy ＝1，∴x 2﹣xy +y 2＝（x ﹣y ）2+xy ＝22+1＝5；（2）a 21a 2a ÷(2+a 21a )=(a 1)(a 1)a (a 1)÷a 22a 1a=(a1)(a1)a(a1)⋅a(a1)2=1a1，当a原式=―1．总结提升：本题考查代数式求值，逆用完全平方公式，分式化简求值，二次根式运算，熟练掌握完全平方公式与分式混合运算法则是解题的关键．12．（2022春•a=思路引领：先分母有理化，再利用二次根式的性质化简得到原式＝1）a﹣|a﹣1|，接着利用a=＞1去绝对值，合并得到原式+1，然后把a=+1）a+1）a﹣|a﹣1|，∵a1，+1）a﹣（a﹣1）=+1，当a=1＝3．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．13．已知a=b＝2―c=2，比较a，b，c的大小．思路引领：先求出a0.318，b＝2―0.268，c=2≈0.236，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．解：∵a=≈0.318，b＝2―≈0.268，c=2≈0.236，0.318＞0.268＞0.236，∴a＞b＞c．总结提升：考查了实数大小比较，关键是求出a，b，c的大小．14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x﹣1|+x＝9．小明同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+10﹣x＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？思路引领：根据二次根式的性质判断即可．解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．15．（2021春•五华区期中）阅读下列简化过程：1=1―11（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．（2）计算1+1+1+⋯⋯1．（3）设a=1，b=1，c=1比较a，b，c的大小关系．思路引领：（1）观察题目可得分母上的数相差1，即可得出结论；（2）利用（1）中的规律先化简，随后进行加减即可；（3）先将a，b，c按照题目中的形式化简，再进行比较即可．解：（1）∵分母上的每个数都含有根号，根号内的数相差为1，分子为1，==（2⋯⋯+⋯⋯=―1+⋯⋯+=1．（3）∵ab=c=∴ab 2c2，∴a ＜b ＜c ．总结提升：本题考查二次根式的化简，平方差公式，分母有理化，实数的大小比较，涉及的知识点比较多，本题的难点在于通过题干得出计算规律，运用规律即可解决问题．16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像=3=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．==3+解答下列问题：（1（2（3）应用：当n ―思路引领：（1）根据有理化因式的定义求解；（2）把分子分母都乘以（3―，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（3）利用分母有理化得1，1，然后比较与1的大小即可．解：（1+（2）原式98﹣（31，=1，++0，总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．。
二次根式化简求值的常用技巧
二次根式化简求值的常用技巧陈开金二次根式(常见的有分式型,复合二次根式型,无限循环型或混合型)的化简求值,是中考及各级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法——约分法、裂项法、取倒法、配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考.一、约分法:对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的. 例1 化简1015142157--+-23231)57)(23(57)23(5)23(757：-=+=-+-=+-+-=原式解二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.例2 2004200320032004132231221++++++ 化简 解:因为1n n n )1（n 1+++,1n 1n 1)1n (n n 1n )n 1n ()1n (n 1+-=+-+=+++=.10025011200411）2004120031（）3121（）211（-=-=-++-+-= 所以原式三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再用第二种方法解决. 例3 .12232236+++++化简.213131,131223121231x 1,x )12()23()12)(23(:+=-=-=-+-=+++==+++++=所以原式则设原式解四、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得.，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+= 例4 化简.5614- 解：原式=55329+⨯⨯- .53)53(2-=-=例5 化简)(212172232等于-+-（A ）245- (B)124-（C ）5（D ）1.1223222)223()12(2822329112222212172232:22=-+-=-+-=⨯⨯⨯-++⨯⨯-=-+-解五、公式法：对于,2ka 2k ab a ,k b a ,0k ＞,0b ＞,0a ＞,b a 22-±+=±=-±则使得且存在若这可以利用算术平方根的定义进行证明。
二次根式化简求值
二次根式化简求值1. 什么是二次根式化简？二次根式是指含有平方根的表达式，形如√(a + b√c)，其中a、b、c为实数。
二次根式化简是指将一个二次根式表达式转化为最简形式的过程。
最简形式指的是将二次根式中的平方根项和非平方根项分开，并且使得其中不含有相同的根式。
2. 二次根式的化简规则二次根式的化简可以通过以下规则进行：2.1 合并同类项合并同类项是指将二次根式中的相同根号项合并在一起。
例如，√2 + 3√2可以合并为4√2。
2.2 分离平方根项和非平方根项将二次根式中的平方根项和非平方根项分离开来。
例如，√3 + 2可以分离为√3+ 2√1。
2.3 化简平方根项将平方根项中的根号内的数化简。
例如，√4可以化简为2。
2.4 化简非平方根项将非平方根项中的数化简。
例如，2√1可以化简为2。
3. 二次根式的求值求二次根式的值是指计算二次根式的数值结果。
对于已经化简的二次根式，可以直接求值。
3.1 求值的方法求值可以通过以下方法进行：3.1.1 代入数值将二次根式中的变量用具体的数值代入，然后进行计算。
例如，对于√(2 + √3)，可以将其中的√3用具体的数值代入，如√(2 + 1.732)。
3.1.2 使用近似值如果二次根式中的数值较复杂，无法精确求解，可以使用近似值进行计算。
近似值可以通过计算器或数值计算方法获得。
3.2 求值的注意事项在进行二次根式的求值时，需要注意以下事项：3.2.1 考虑正负号二次根式中的根号项可以有正负两种情况。
在求值时，需要根据具体的问题确定根号项的正负号。
3.2.2 注意精度在使用近似值进行计算时，需要注意计算精度。
精确度越高，计算结果越准确。
4. 示例下面通过几个示例来演示二次根式的化简和求值过程：4.1 示例1化简和求值√(2 + √3)。
首先，我们将√3作为一个整体，得到√(2 + √3) = √(2 + √3)。
然后，我们将√3展开，得到√(2 + √3) = √(2 + 1.732)。
解答二次根式问题的几点注意
学习二次根式概念“四注意”一、注意：二次根式的定义（a≥0）叫做二次根式，理解这个概念时，要抓住三个要点：（1）从形式上看而次根式必须有二次根号3=，3显然就不是二次根式，因此，二次根式是指某种式子的“外在形态”．（2）被开方数a可以是数，也可以是但是，若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代没有意义，故a≥0要抓住两个非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；≥0．（3）二次根式是一种代数式，二次根式是由于开平方运算得到的，当被开方数为常数时，它是一个实数，能开得尽方的为有理数，不能开得尽方的为无理数。
当被开方数中含有字母时，它就是我们以后将要接触到的无理式，因此，虽说二次根式为代数式，但其可能为有理式，也可能为无理式，它是代数式中的一部分．二、注意：定义是判断一个式子是否为二次根式的依据，判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号；（2）被开方数大于等于0，只要同时民主这两个7，它就是二次根x≥1）（x＜0＝就不是二次根式．三、注意：怎么确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围由二次根式的定义可知，当a≥0a＜0方数中字母的取值范围问题，的式子有意义，或无意义的条件，列出不等式，在实数范围内有意义，必须使3x-1≥0，即x≥13．确定自变量的取值范围是本节的重点也是难点，所以一定要高度重视，我们学过的内容不外乎以下几种类型：根据函数解析式确定自变量取值范围应从以下几个方面考虑：① 整式型：若函数解析式是整式时，则自变量取值范围为一切实数；② 分式型：若函数解析式是分式时，则分母不为零；③ 二次根式型：若函数解析式是二次根式时，则被开方数为非负数；④ 指数型：若函数解析式用零次幂表示时，则应考虑底数不为零；⑤ 综合型：若函数解析式是整式型、分式型、二次根式型、指数型的综合，则自变量取值范围是它们各自取值范围的公共部分．四、注意：二次根式的简单性质a ≥0）是一个非负数，又因为开平方运算与平方运算是互逆运算，因而有：2a =（a ≥0），由此可得二次根式的两个简单性质：（1a ≥0）是一个非负数；（2）2a =（a ≥0）．是3的算术平方根，3的平方根，而222,(3==．二次根式的乘法运算应注意的问题(1)进行二次根式的乘法运算时，应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解，不可机=a ≥0，b ≥0)，盲目地把被开方数相乘．×3×3=．(2)进行二次根式的乘法运算时，不一定非得把二次根式先化成最简二次根式，然后再相乘，但最后结果必须是最简二次根式．例如，最好先把二次根式化成最简二次根式，再进行乘法计算，=153⨯=用乘法法则运算来得简便．2312(3)如果被开方数中含有小数，应把小数化成分数，然后再进行乘法运算，切不可直接就进行小数的乘法运算．(4)进行二次根式的乘法运算时，对于类似于多项式与多项式相乘的题型，要认真观察题目的结构特点，充分利用乘法公式简化计算过程．学习二次根式注意挖掘隐含条件0)a≥的式子叫二次根式，这里a≥0是二次根式的隐含条件，不可忽视．一、应用隐含条件确定字母的取值范围：例1．=，则a的取值范围是（）A．0a≤B．0a<C．01a<≤D．0a>解析：，成立的条件是：0,0a b>≥，而且当0a≥a=；所以==10aa-⎧⎨⎩≥＞，即01a<≤，故此应选C．温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约．二0)a ≥非负性的应用例2．若20x y -=，则2()xy -的值为（ ） A ．64 B ．64- C ．16 D ．16-解析：0)a ≥可以认为表示的是a2x y -表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即2x y -＝00=，所以2y =，24x y ==，因此2()xy -＝2(42)-⨯＝64，故选A ．温馨提示0≥、a 0≥、2a 0≥，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0．0)a ≥，隐含条件a ≥0的应用．例3．已知x 、y为实数，且满足12y =求521x y +-解析：因为x 为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数． 依题意得10210.2x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥，≥解得：12x =，所以110022y =++=，又因为22211y y y -+-＝（）所以521x y +-＝1152122⨯+⨯- 2 温馨提示a ＝0．例4．已知a解析： 由于a 为实数，被开方数均为非负数，所以2208400a a a ⎧+⎪-⎨⎪-⎩≥≥≥，由20a -≥可得a ＝0，．温馨提示：因为20a ≥，若要20a -≥，则a ＝0．在解这类问题时一定要深入的挖掘题目中字母的内在含义．二次根式的运算“四注意”二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点：一、注意运算顺序问题二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．例1(2+．解：原式==33=．说明：计算时注意运算顺序，另外，除法没有分配律，(21+=就错了．二、注意运算法则问题在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式可以看作“多项式”，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式等）在二次根式的运算中仍然适用．例2． 计算：（2+3―6）（2―3―6）．解：原式=〔（2―6）＋3〕〔（2―6）―3〕=（2―6）2―（3）2=8―23―3=5―23．三、注意熟练进行二次根式计算和化简在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧．１．因式分解法例４．化简：y y++χχ+χχχy y y+2解：原式=y y ++χχ+()y y y +χχχ2=y y y +++χχχ2=y y ++χχ2)(=χ+y２．观察法 例５． 设等式y a a x a y a a x a -+-=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ,x ,y 实数，则22223y xy x y xy x +--+的值为（ ）． 解：由二次根式定义知：a －y ≥0,x －a ≥0,a (x －a )≥0,a (y －a )≥0, ∴a ≥0且a ≤0∴a =0∴已知等式可化为o y x =-，∴x = -y . ∴222222)()(3y y y y y y ++----=223y y =31． ３．凑零法例６． 已知χ=132- 求2χ+1+χ的值． 解：由χ=132-=13+，得31=-χ，两边平方后整理得0222=--χχ,∴原式=34313003)22(2=+++==-+--χχχ．４．倒数法例７． 当32-=χ时，求代数式3)32()347(2++++χχ的值． 解：由32-=χ，得321+=χ，∴原式=323113113)32()32(2222+=++=+⋅+⋅=+++⋅+χχχχχχ．５．整体代入法例８． 已知2323-+=χ，2323+-=y ，求代数式22)()(y y y y +-++χχχχ的值． 解：由已知得625+=χ，625-=y ，∴10=+y χ，1=y χ， ∴原式=9910110110122-=-+． ６．换元法 例９．已知11122=-+-a b b a ，求22b a +的值． 解：设=-21a χ＞0，则122χ=-a ，由已知得χb b a -=-112两边平方得222221χχb b b a a +-=-，)(212222χχ++--a b b a =0，0222=+-∴b b χχ，0)(2=-χb ，b =χ,b a =-∴21,122=+∴b a ．四、探索与思考：１．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”． ①322322=+（ ） ②833833=+（ ） ③15441544=+（ ） ④24552455=+（ ） （2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n 的式子将其规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．２．如图１，所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．３．细心观察如图２，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+ S 1=21； A 2 A 4 A 3 A 51 S 3 1 图１31)2(2=+ S 2=22； 41)3(2=+ S 3=23…… （1）请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长．（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．４．先将23222xx x x x -÷--化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值． 答案与提示：１．答案为①∨②∨③∨④×．（2）、（3）略。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧下面是二次根式化简求值的十种技巧：技巧一：分解因式当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。
例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3技巧二：有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。
例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。
技巧三：配方当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。
例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。
技巧四：合并同类项当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。
例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。
技巧五：有理数与二次根式相乘当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。
例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2技巧六：有理数与二次根式相除当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。
例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。
技巧七：分子和分母进行有理化当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。
例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3技巧八：提取公因式当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。
例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。
二次根式化简求值技巧
二次根式化简求值技巧二次根式是数学中常见的一种形式，它可以通过化简来简化计算和理解。
本文将介绍一些二次根式化简求值的技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、二次根式的定义和性质二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式有以下几个重要的性质：1. 二次根式的值是非负实数，即√a ≥ 0。
2. 当a和b都是非负实数时，有√(ab) = √a * √b。
3. 当a和b都是非负实数时，有√(a/b) = √a / √b（当分母不等于0）。
二、化简二次根式的基本方法1. 提取因子法：如果二次根式中的数可以分解成两个数的乘积，可以使用提取因子法进行化简。
例如，√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3。
2. 合并同类项法：如果二次根式中含有相同的根式，可以使用合并同类项法进行化简。
例如，√7 + √7 = 2√7。
3. 有理化分母法：如果二次根式的分母是一个二次根式，可以使用有理化分母法进行化简。
例如，1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (2 - 3) = -(√2 - √3)。
三、求值二次根式的常用技巧1. 使用近似值计算：二次根式有时难以精确计算，可以使用近似值来估算结果。
例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈2.236。
2. 使用特殊值计算：对于一些特殊的二次根式，可以直接使用已知的特殊值进行计算。
例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4。
3. 使用平方公式计算：对于一些复杂的二次根式，可以使用平方公式进行化简。
例如，(√3 + √5) ^ 2 = (√3) ^ 2 + 2 * (√3) * (√5) + (√5) ^ 2 = 3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15。
四、例题解析现在我们来看几个例题，通过化简求值的技巧来解答：例题1：化简并求值√12 + √27 - √48。
二次根式的求值技巧
二次根式的求值技巧作者：李新云来源：《初中生之友·中旬刊》2014年第03期二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。
解答时必须考虑利用一些解题技巧。
下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、利用二次根式的定义例1 已知x、y为实数，且满足■-（y-1）■=0，则x2013-y2013=___。
分析由二次根式的定义，得■≥0，■≥0，则有y-1≥0。
又1-y≥0，则可以求出y的值，从而x的值也可以求出。
解已知等式即为■=（y-1）■。
因为■≥0，■≥0，所以y-1≥0，即1-y≤0。
因为1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。
把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。
则原式=（-1）2013-12013=-2。
点评若■有意义，则■中隐含着两个非负数：一个是被开方数a≥0，另一个是■≥0。
二、利用倒数关系例2 已知a=2+■，b=2-■，试求■-■的值。
分析由ab=1，得a和b互为倒数，那么■=a，■=b。
解由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。
则原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。
点评如果ab=1，那么a和b互为倒数，即有■=a，■=b。
解题时我们要注意利用这一性质。
三、利用平方法例3 若m=■，则m5-2m4-2013m3的值是______。
分析因为m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。
解因为m=■=■+1。
所以m-1=■，（m-1）2=2014。
所以m2-2m-2013=0。
所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。
点评对于m=■+b的多项式求值问题，应先将这个条件变形为m-b=■，然后两边平方，从而解决问题。
四、利用非负数和为零例4 若■+（b-2）2=0，则a2+■-b=______。
分析从已知等式出发，看看能否确定a2+■的值及b的值。
浅谈初中二次根式求值的技巧
技法点拨浅谈初中二次根式求值的技巧■孙洪亮摘要：二次根式求值的题型多种多样，运算起来纷繁复杂，那么让学生能掌握二次根式求值运算技能技巧，首先学生要掌握二次根式的性质和运算的法则；第二，多动脑筋，学会深层次思考问题，学会发现数学模块知识体系之间密切关联；第三，鼓励学生打破二次根式的常规套路，激励学生用发散思维、开放思维、创新思维去寻求解题技巧；第四，借助于其他数学知识体系的“阶梯”，采用“剥洋葱”方法理清解题思路、解题技巧，并且使学生在解答类似题型中能够举一反三，做到触类旁通，使学生在灵活巧妙的运算中事半功倍地提高学习效果。
关键词：初中数学；二次根式；技能技巧关于初中二次根式的求值运算，除了熟记运算法则、公式、顺序外，还要巧用二次根式的有关概念，机动灵活求字母或代数式的值，或者根据整式性质和运算规律，开动脑筋，仔细观察，寻找运算技巧，先化简再求值，这样不仅能省时，而且更加准确得出答案，事半功倍，高效提高学习效果，同时还能开阔学生的眼界，拓展学生的创新思维。
当学生能够掌握这些技能技巧时，还会使学生在混合运算时做到举一反三，实现触类旁通的效果。
一、利用二次根式的性质巧妙求值根据二次根式性质，即a≥0时，a=a，可以巧妙化解学生认为所谓“深题”“难题”“怪题”。
例如，我出了一道二次根式探究题：已知y=4x-8+8-4x-2，求4xy的值。
当学生一看到这个题目时，有的学生感觉不解，一下子懵掉了，还有的非常吃惊，开始面面相觑，还有的感觉很奇怪，这个二次根式怎么能与4xy相联系起来呢？此时我神秘地露出一个不屑笑容，怪怪地说一句：“这道题是个纸老虎。
假如你要发现它的解题窍门轻松可以化解。
”于是开始启发提问，当a满足何种条件时，a= a？学生异口同声回答：a≥0。
那么你们怎么巧妙利用二次根式的性质呢？此时学生醍醐灌顶，脑洞大开，都迅速行动起来，根据a≥0时，a=a的性质所知，4x-8≥0→x≥2，同理8-4x≥0→x≤2，因此得知x=2，y=-2，那么4xy=4×2×（-2）=-16。
二次根式运算的技巧
二次根式运算的技巧
在二次根式运算中，有很多学生感到厌烦。
步骤复杂，用了很长时间，结果又不对，原因之一他们没有找到运算中的技巧。
不妨参考一下。
一、巧移因式，避繁就简
例1. 计算分析:将根号外的因式移到根号内，然后运用平方差公式计算比较简便；或先把化简，然后利用平方差公式计算。
解：原式
二、巧提公因数，化难为易
例2. 计算分析：因为，所以中有公因数、提公因数后，可用平方差公式计算。
解：原式
三、巧分组，出奇制胜
例3. 计算分析：两个括号里的三项式中，有两项完全相同：；有一项互
为相反数；与如果把两个完全相同的项结合在一起即则可以用平方差公式计算。
解：原式
四、巧配方，独占鳌头
例4. 计算分析：因为都有意义，所以
所以所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例5. 已知，求下列各式的值。
（1）（2）分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为所以
（1）
（2）
（也可以将变为来求）
六、巧换元，干净利索
例6. 计算
分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，
则原式而
原式解：设则
所以原式
例7. 计算分析：有两种方法，一种换元，一种配方。
解法1：设
两边平方
因为
所以
即
解法2：原式。
二次根式求值
二次根式求值二次根式是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的计算题型。
在解题过程中，我们需要了解如何将二次根式进行化简，以便进行求值。
首先，让我们回顾一下二次根式的定义。
二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个实数且a≥0。
在二次根式中，√表示一个非负的平方根，即结果必须大于等于0。
如果a=0，那么√0=0。
接下来，我们将讨论二次根式的化简方法。
化简二次根式的目的是为了将复杂的二次根式简化为较为简单的形式，以便进行求值。
下列是一些常用的化简二次根式的方法：1. 约分：如果二次根式中的被开方数可以被约分，我们可以将其进行简化。
例如：√35 = √(5×7) = √5×√7 = √5√72. 合并同类项：如果二次根式中含有多个相同的项，我们可以将它们合并为一个项。
例如：√8+√2 = √(4×2)+√2 = 2√2+√2 = 3√23. 有理化分母：如果二次根式的分母是一个二次根式，我们可以通过有理化分母的方法将其化简。
有理化分母的目的是为了将分母中的二次根式转化为有理数。
例如：1/√3 = 1/√3 × √3/√3 = √3/34. 求平方：有时，我们可以通过将二次根式进行平方来化简。
平方后的结果需要仍然是一个二次根式。
例如：(√2+√3)² = (√2+√3)(√2+√3) = 2+2√6+3 = 5+2√6以上是一些常用的化简二次根式的方法，实际解题过程中还可能会有更多的情况需要考虑。
现在，我们通过一些例题来演示如何求解二次根式的值。
例1：求√75的值。
解：首先，我们可以将75进行因数分解，得到75=3×5×5。
然后，我们可以将√75进行化简：√75 = √(3×5×5) = √3×√5×√5 = √3×5 = 5√3例2：求(√2+√3)²的值。
解：根据公式(a+b)²=a²+2ab+b²，我们可以展开方程：(√2+√3)² = (√2+√3)(√2+√3) = 2+2√6+3 = 5+2√6通过以上两个例题，我们可以看到，二次根式的求解过程往往涉及到因数分解、有理化分母和合并同类项等操作，需要有一定的数学基础和逻辑思维能力。
专题训练二次根式化简求值有技巧(含答案)(2)(K12教育文档)
专题训练二次根式化简求值有技巧(含答案)(2)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（专题训练二次根式化简求值有技巧(含答案)(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题训练(一)二次根式化简求值有技巧（含答案) ►类型之一利用二次根式的性质错误!＝|a｜化简对于a2的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式，即｜a｜，然后再根据a 的符号进行化简．即a2＝｜a｜＝错误!1．已知a＝2－错误!，则错误!＝( ）A．1－错误!B.错误!－1 C．3－错误!D.错误!－32．当a＜错误!且a≠0时，化简：错误!＝________．3．当a＜－8时，化简：|错误!－4｜.4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：错误!－错误!.►类型之二逆用二次根式乘除法法则化简5．当ab＜0时,化简错误!的结果是（）A．－a错误!B．a错误!C．－a错误!D．a错误!6．化简：（1)（－5）2×（－3）2；（2)错误!；（3）错误!; （4）错误!；（5）错误!。
►类型之三利用隐含条件求值7．已知实数a满足（2016－a）2＋错误!＝a，求错误!的值．8．已知x＋y＝－10，xy＝8，求错误!＋错误!的值．►类型之四巧用乘法公式化简9．计算:(1)(－4－错误!）(4－错误!）；（2)（2错误!＋3错误!）(3错误!－2错误!)；（3）（2错误!＋错误!)（2－错误!)； (4)(错误!＋4）2016(错误!－4）2017.►类型之五巧用整体思想进行计算10．已知x＝5－2错误!，则x2－10x＋1的值为( ）A．－30错误!B．－18错误!－2C．0 D．10611．已知x＝错误!(错误!＋错误!)，y＝错误!（错误!－错误!)，求x2－xy＋y2的值．12．已知x＞y且x＋y＝6，xy＝4，求错误!的值．►类型之六巧用倒数法比较大小13．设a＝错误!－错误!，b＝2－错误!,c＝错误!－2，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．b＞c＞a_详解详析1．[解析］B错误!＝|a－1｜.因为a－1＝（2－错误!）－1＝1－错误!＜0,所以|a－1｜＝－(1－错误!）＝错误!－1。
初中常见二次根式化简求值的九种技巧
常见二次根式化简求值的九种技巧
1.估值法
例题1：估计184
132+⨯的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间
例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。
2.公式法
例题3：计算)3225()65(-⨯+
3.拆项法
例题4：计算
)
23)(36(23346++++ 提示：)23(3)36(23346+++=++
0 1 2 3 4
例题5：已知12+=
n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。
5.整体代入法
例题6：已知2231-=
x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。
6.因式分解法
例题7：计算
15106232++++
例题8：计算
y
xy x x y y x +++2
例题9：若a, b 为实数，153553+-+-=
a a
b ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。
8.辅元法
例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ） 求
y x z x y x 2++++的值。
9.先判后算法
例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简b
a a a
b b +并求值。
巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题 例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等， 求2
22
23y xy x y xy x +--+的值。
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第3讲 二次根式的求值技巧（2课时）
1、受限制求值法
（1）b a b a ,(2)22(2+=+为有理数），求b a +的值。
（2）b a b a ,(3263+⨯=
+为有理数），求b a -的值。
（3）实数a 满足a a a =-+
-20162015，求22015-a 的值。
（4）已知x 、y 为实数，且214114+-+-=
x x y ，求xy 的值。
（5）已知x 、y 为实数，而319922-+-+-=
x x x y ，求y x 65+的值。
【练习】设m 、n 为实数，且2
24422-+-+-=
m m m n ，求mn 的值。
2、几个非负数和为0求值法
非负数有：平方结果、绝对值结果、算术平方根结果。
【例题】
（1）已知04122=+
-+-y y x ，求y x -+11的值。
（2）已知3224112-+-=--+
+b a c b a ，求c b a 212-+的值。
【练习】
（1）若0123)2(2=-+++-z y x ，求z y x +-2的值。
（2）若014222=-++
-b a a ，求ab b a -+的值。
3、探索规律求值法
【例题】 )12015)(201420151
......341231121(
+++++++++
4、公式变形求值法
【归纳】2
2b a +、2)(b a +、2)(b a -、ab 之间的关系。
（1）2)()(2)(2)(2
22
222b a b a ab b a ab b a b a -++=+-=-+=+ （2）ab b a ab b a b a 4)(2)(2222+-=++=+
（3）ab b a ab b a b a 4)(2)(2222-+=-+=-
（4）4
)()(2))((2)()(2
2222222b a b a b a b a b a b a ab --+=-+=+-+= 【例题】
（1）25+=
a ，25-=
b ，求722++b a 的值。
（2）251-=
a ，251+=
b ，求2++a b b a 的值。
（3）257+=
x ，2
57-=y ，求22y xy x +-的值。
（4）20142013)23()23(+⋅-
8、隐含条件的挖掘再求值。
（1）,8,8=-=+ab b a 求b a a a b b +的值。
（2）3=xy ，求y x y x y x
+的值
（3）0>xy ，化简2x y x -。
（4）求16的算术平方根。