数学北师大版九年级下册圆周角和圆心角的关系.4
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A A
A
O
B C B
.
O C B
.
O
C
.
圆周角
A C
F
B
●
O
E
A ●
●
O
B●
●C
观察图中的∠ABC ,它的顶点在圆上,它的两边分 别与圆另有一个交点.像这样的角,叫做圆周角.
满足条件： ⑴顶点在圆上
⑵角的两边分别和圆相交
做一做
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
图１
不是
图２
不是
图３
一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义。 2、圆周角定理、推论及其应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明， 渗透了“由特殊到一般”的思想方法和分类 讨论的思想方法。 三、思想上渗透踏实、守信。情操上要有团 队精神。
达标测试
1． 如图，在直径为AB的半圆 中，O为圆心，C、D为半圆上的两 30° 点，∠COD=60°，∠CAD=______ 。 2. 如图，AB是⊙O的直径， ∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角， 若∠BCD=25°，则∠AOD= 130° .
（四）定理应用
例1． 已知：AC = BD， 求证：AB∥CD．
A B
⌒ ⌒
C
D
（四）定理应用
例2：如图，△ABC的顶点A、B、C都在
⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 求⊙O的半径。
解: ∵∠C=30 ° ∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2 即⊙O半径为2。
是
不是
不是
图４ 图５
探索2:
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关 系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有什么关系.
A
●
B
O
C
做一做：如图,∠AOB=80°（1）请你在学案上画出几个 ⌒ AB 所 对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？改变圆心角 ∠A0B的度数，上述结论还成立吗？ A B
C O A D B
3． 在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角 20° ． 分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_______
布置作业：
必做题：习题3.4的1、2题； 选做题：习题3.4的3、4题。
C A
2
B
1
8
7
3
4
5
6
D
理论联系实际
3.为什么电影院的座位排列（横排）呈弧形，说 一说这设计的合理性。
答：这样设计的理由是尽量保证同排的 观众视角相等。
抢答
1.求圆中角X的度数
D C 120 ° O X B
O A
. O
A
C
.
70°
x
B
B C
A
35°
120°
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= 130°
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
B A C
●
O
你能写出这个命题吗?
圆周角和圆心角的关系
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周
角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提 示: 能 否 转 化 为 1 的 情 况?
A C
●
A C B
●
O
O
B
圆周角定理
圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心 角度数的一半
1 即：∠ABC = ∠AOC. 2
圆心在圆周角的边上 A C
●
圆心在圆周角内 A D C
●
圆心在圆周角外 A C
B
●
O
O
O
B
B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
联系实际：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置 对球门AC分别形成三个圆周角∠B,∠D,∠E.这三 个角大小有什么关系? 连接AO、CO,
●
圆周角和圆心角的关系
A B
●
A B C
●
O
O
O
C C
教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？请先在 学案上用量角器测量，再用各组小白板画出几种不同位置关系的 图形展示。
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 解：∵OA=OB， 理解并掌 握这个模 ∴∠A=∠B. 型. ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∴∠AOC=2∠B. 即
A
A E B D
C
E
●
O
B D
C
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
学以致用
1、如图,在⊙O中，∠BOC=50°， ∠A= 25° 。
A
B
C
●
O
2、找一找，如图，点A、B、C、D在同一个圆上， 连接四边形ABCD的对角线，图中有那些圆周角？ 这些角中哪些是相等的角？
由同弧来找相等的圆周角．
∠1 = ∠4 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6 ∠5 = ∠8
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.4 圆周角和圆心角的关系 （ 第1课时）
辽宁省锦州市第十八中学 王丽
一 .温 故 知 新
1、圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
2、在上图中，若弧AB的度数是85°，则 ∠AOB是多少度？为什么？ 85° 圆心角的度数等于它所对弧的度数。
二.新课引入
当角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:
A
O
B C B
.
O C B
.
O
C
.
圆周角
A C
F
B
●
O
E
A ●
●
O
B●
●C
观察图中的∠ABC ,它的顶点在圆上,它的两边分 别与圆另有一个交点.像这样的角,叫做圆周角.
满足条件： ⑴顶点在圆上
⑵角的两边分别和圆相交
做一做
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
图１
不是
图２
不是
图３
一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义。 2、圆周角定理、推论及其应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明， 渗透了“由特殊到一般”的思想方法和分类 讨论的思想方法。 三、思想上渗透踏实、守信。情操上要有团 队精神。
达标测试
1． 如图，在直径为AB的半圆 中，O为圆心，C、D为半圆上的两 30° 点，∠COD=60°，∠CAD=______ 。 2. 如图，AB是⊙O的直径， ∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角， 若∠BCD=25°，则∠AOD= 130° .
（四）定理应用
例1． 已知：AC = BD， 求证：AB∥CD．
A B
⌒ ⌒
C
D
（四）定理应用
例2：如图，△ABC的顶点A、B、C都在
⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 求⊙O的半径。
解: ∵∠C=30 ° ∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2 即⊙O半径为2。
是
不是
不是
图４ 图５
探索2:
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关 系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有什么关系.
A
●
B
O
C
做一做：如图,∠AOB=80°（1）请你在学案上画出几个 ⌒ AB 所 对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？改变圆心角 ∠A0B的度数，上述结论还成立吗？ A B
C O A D B
3． 在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角 20° ． 分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_______
布置作业：
必做题：习题3.4的1、2题； 选做题：习题3.4的3、4题。
C A
2
B
1
8
7
3
4
5
6
D
理论联系实际
3.为什么电影院的座位排列（横排）呈弧形，说 一说这设计的合理性。
答：这样设计的理由是尽量保证同排的 观众视角相等。
抢答
1.求圆中角X的度数
D C 120 ° O X B
O A
. O
A
C
.
70°
x
B
B C
A
35°
120°
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= 130°
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
B A C
●
O
你能写出这个命题吗?
圆周角和圆心角的关系
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周
角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提 示: 能 否 转 化 为 1 的 情 况?
A C
●
A C B
●
O
O
B
圆周角定理
圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心 角度数的一半
1 即：∠ABC = ∠AOC. 2
圆心在圆周角的边上 A C
●
圆心在圆周角内 A D C
●
圆心在圆周角外 A C
B
●
O
O
O
B
B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
联系实际：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置 对球门AC分别形成三个圆周角∠B,∠D,∠E.这三 个角大小有什么关系? 连接AO、CO,
●
圆周角和圆心角的关系
A B
●
A B C
●
O
O
O
C C
教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？请先在 学案上用量角器测量，再用各组小白板画出几种不同位置关系的 图形展示。
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 解：∵OA=OB， 理解并掌 握这个模 ∴∠A=∠B. 型. ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∴∠AOC=2∠B. 即
A
A E B D
C
E
●
O
B D
C
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
学以致用
1、如图,在⊙O中，∠BOC=50°， ∠A= 25° 。
A
B
C
●
O
2、找一找，如图，点A、B、C、D在同一个圆上， 连接四边形ABCD的对角线，图中有那些圆周角？ 这些角中哪些是相等的角？
由同弧来找相等的圆周角．
∠1 = ∠4 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6 ∠5 = ∠8
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.4 圆周角和圆心角的关系 （ 第1课时）
辽宁省锦州市第十八中学 王丽
一 .温 故 知 新
1、圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
2、在上图中，若弧AB的度数是85°，则 ∠AOB是多少度？为什么？ 85° 圆心角的度数等于它所对弧的度数。
二.新课引入
当角的顶点发生变化时,我们得到几种情况: