2019年【创设计-课堂讲义】高中数学北师大版选修1-2练习：第四章 数系的扩充与复数的引入 习题课
高中数学(北师大版)选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入
第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2: 复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2= z2+z1,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i为虚数单位)等于( ).A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1++-)i=14.【答案】C3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2012+2013i)+(2013-2014i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.。
高中数学选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第1课时 数系的扩充和复数的概念
第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4:两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∵-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∵i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∵∵a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∵θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∈B=CB.∈S A=BC.A∩(∈S B)=∈D.B∩(∈S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∵∵-7<m<3.∵当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2019年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∵∵m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∵x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∵m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∵即∵m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∵②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∵③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∵∵∵a=-3,∵a2-1=8,∵复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈∈.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∵∵∵n=1或n=-,m+n=3n,∵m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∵∵λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∵0<2x<2π,∵2x=或2x=,∵x=或.。
2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入 章末整合提升4
9．已知复数 z 满足(z＋ z )－3z·z i＝1－3i，求复数 z.
[解析] 解法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 代入条件，得 2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
∴2－x＝3x12－3y2＝－3
，解得x＝12
y＝±
3 2
.
∴z＝12±
3 2 i.
解法二：∵z＋ z ∈R，z·z ∈R，
题型三 ⇨复数及其运算的几何意义
• 复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义充分体现了 数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研 究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平 面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形 转换来解决实际问题．
点是( D ) A．E C．G
若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋z i的
解得mm＝≠0－或3m且＝m1≠1 ，所以 m＝0. 所以 m＝0 时，z 为纯虚数． (3)由题意可得mm2m＋－2m1－＝32＝5 ， 解得mm＝＝2－或4m或＝m－＝12 ，∴m＝2. 所以当 m＝2 时，复数 z 为 2＋5i.
题型二 ⇨复数的运算
• 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除 ，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法 类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2 ＝－1.
题型五 ⇨共轭复数
• 只要掌握共轭复数的定义，会进行简单的运算即可，不必 在复数的模与其轭复数的性质上下功夫．
z 设 z 的共轭复数为 z ，若 z＋ z ＝4，z z ＝8，则 z 等于( D )
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
[解析] 设 z＝x＋yi(x、y∈R)，则 z ＝x－yi.
2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入
(3)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集，且 R∪{虚数}＝C，R∩{虚 数}＝∅.
(4)实数也是复数，但是复数不一定是实数，它也可能是虚数． 2．对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0 时， 它是实数 0；当 b≠0 时，叫作虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫作纯虚数．即
③一个复数等于零的充要条件是这个复数的实部与虚部均为零， a＝0，
即 a＋bi＝0⇔__b_＝__0_. (2)复数的大小 两个实数可以比较大小，但是两个复数至少有一个为虚数时，不可以比较大 小．如果两个复数可以比较大小，那么，这两个复数必定全是实数．
1．复数概念的几个注意点 (1)复数 z＝a＋bi(a、b∈R)的虚部是 b，而不是 bi. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示．
• 同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本 章的学习吧！
• 随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要 性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而 且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学 、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用 ，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立 巨大水电站提供了重要的理论依据.
(4)当kk22－ －35kk－ －46＝ ＝00 ，即 k＝－1 时，z 是零．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；
③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( B )
第四章
数系的扩充与复数的引入
我们知道，在实数范围内，解方程 x2＋1＝0 是无能为力的，只有把实数集扩 充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是 件容易的事．
北师大版数学选修1-2同步教学课件：第4章数系的扩充和复数的引入章末复习
题型探究
类型一 复数的概念 例 1 已知复数 z＝a2－a－6＋a2＋a22－a－4 15i，分别求出满足下列条件的实 数 a 的值：
(1)z 是实数； 解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3. 由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a2－4≠0，解得a≠±2. 由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，得a＝－5或a＝3， ∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.
x2－3x－3>0， 所以log2x－3＝0，
x－3>0， 解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
解答
(2)z为虚数.
解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
x2－3x－3>0， 所以log2x－3≠0，
x－3>0，
解得
3＋ x> 2
21 且
x≠4.
所以当
3＋ x> 2
21 且Biblioteka x≠4时，z为虚数.
纯虚数 ；各象限内的点都表示非纯虚数.
(5)复数的模：设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原 点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2 __ (a，b∈R).
2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi←―一――一―对――应―→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←―一――一―对――应―→ 平面向量O→Z.
解答
(2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y＝12x 上，求 θ 的值. 解 由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ). 由点 P 在直线 y＝12x 上，得－2sin2θ＝－12， ∴sin2θ＝14，又 θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此 sin θ＝12，∴θ＝π6或 θ＝56π.
2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入 2 第2课时
(2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成 立．如：①z∈R 时，|z|2＝z2，而 z∈C 时，|z|2∈R 时，而|z|2∈C，
∴|z|2≠z2. 如 z＝－2 时，|－2|2＝(－2)2. 而 z＝1＋i 时，|z|2＝|1＋i|＝2. z2＝(1＋i)2＝2i，显然|z|2≠z2. ②z1、z2∈R 时，z21＋z22＝0⇔z1＝0 且 z2＝0.
1．(2019·全国Ⅱ卷理，2)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z ＝－3－2i，故 z 对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选 C．
运算的实质是__分__母__实__数__化____.
1．虚数单位 i 的乘方的几个注意点： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1i ＝－i， 11＋ －ii＝i，11－＋ii＝－i，ab＋ －baii＝i， in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
2．重要等式 z·z ＝|z|2＝| z |2 的应用 z·z ＝|z|2＝| z |2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模 的平方． 此等式虽然结构很简单，但它将 z、z 、|z|、| z |紧密地联系在一起，并且等式 左→右具有实数化功能，右→左具有分解因式功能．
3．证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 z＝a＋bi，证明 a＝0 且 b≠0； (2)z2<0⇔z 为纯虚数； (3)若 z≠0，则 z＋ z ＝0⇔z 为纯虚数． 4．证明 z∈R 的方法 (1)设 z＝a＋bi(a、b∈R)，证明 b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0； (4)z∈R⇔|z|2＝z2.
高中数学北师大版选修1-2练习第四章 数系的扩充与复数的引入1.1-1.2 Word版含解析
数的概念的扩展
复数的有关概念
明目标、知重点.了解引入虚数单位的必要性，了解数集的扩充过程.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.理解复数的几何表示．
．复数的有关概念
()复数
①定义：形如＋的数叫作复数，其中，∈，叫作虚数单位．叫作复数的实部，叫作复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母表示，即＝＋ (，∈)．
()复数集
①定义：复数的全体组叫作复数集．
②表示：通常用大写字母表示．
．复数的分类及包含关系
()复数(＋，，∈)
()集合表示：
．两个复数相等
＋＝＋当且仅当＝且＝.
．复数的几何意义
()复数＝＋(，∈)一一,对应,复平面内的点(，)；
()复数＝＋(，∈)一一平面向量＝(，)．
．复数的模
复数＝＋(，∈)对应的向量为，则的模叫作复数的模或绝对值，记作，且＝.
[情境导学]
为解决方程＝，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如＝－这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程＝－在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一复数的概念
思考为解决方程＝，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程＋＝在实数系中无根的问题呢？
答设想引入新数，使是方程＋＝的根，即·＝－，方程＋＝有解，同时得到一些新数．。
北师大版选修1-2高中数学 《第四章 数系的扩充 数的概念的扩展》
【错因】 没有仔细审题，而是直接将x，t都作为实数来用 了．其实t是实数，x为纯虚数，故t2－t＋2tx不是实数，也就不 能作为复数的虚部．
【正解】 ∵x 是纯虚数，∴设 x＝bi(b∈R 且 b≠0)，
则(bi)2＋(t2－t＋2tbi)i＝0，
即(－b2－2tb)＋(t2－t)i＝0，
∴t－2－b2t－＝20t，b＝0，
1．两个虚数不能比较大小． 2．若两个复数能比较大小，则这两个复数一定全是实 数，
b＝0 即若 a＋bi>c＋di(a，b，c，d∈R)，则d＝0 .
a>c
◎已知x2＋(t2－t＋2tx)i＝0，x为纯虚数，求实数t的值． 【错解】 根据复数相等的充要条件得xt22－＝t0＋，2tx＝0， 解得 t＝0 或 t＝1.
数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问 题还不能解决，如从解方程的角度看，像x2＝－1这个方程在实 数范围内就无解，为了解决这个问题，需要把数的范围作进一 步的扩充，为此，人们引入一个新数i，叫虚数单位，且规定 (1)i2＝－1；
(2)i可与实数进行四则运的数，叫做复数，其 中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，显然i是－1的一个平 方根，即i是方程x2＝－1的一个解．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意 (1)a，b∈R，这是确定z的实部、虚部的前提，并可进一步 判定z是实数、虚数，不是纯虚数．
(2)设复数z时，要注明a，b的范围． 如z是纯虚数，可设为z＝bi(b∈R且b≠0)， z是虚数，可设为z＝a＋bi(a、b∈R且b≠0)．
[特别提醒] 形如bi的数不一定是纯虚数，只有b∈R且b≠0 时才是纯虚数．
① ②
由②得t＝0或t＝1. 当t＝0时，由①得b＝0，与b≠0矛盾，故舍去． 当t＝1时，由①得b＝－2或b＝0(舍去)． 综上可知，实数t的值为1.
高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章 拓展资料：数系扩充性质裁减
数系扩充 性质裁减随着数系的扩充，我们的学习进入了一个全新的领域，原来在实数中一些非常“风光”的性质或结论不再成立，不但性质没有扩充，反而“裁减”．如果解题时不注意对比分析，往往会出现错误．一、性质|x |＝±x ，对虚数x 不再成立例1 在复数范围内，方程2560x x -+=的解的个数为（ ）． （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 错解：由2560x x -+=，得(2)(3)0x x --=， 那么，2x =或3x =，从而2x =±或3x =±，选（B ）．剖析：在实数中我们经常用到22x x =，有时因为这种代换而产生巧解，但在复数中它是不成立的．还有及|a |＝±a 及 a 2＋b 2＝0⇔a ＝0，b ＝0，这此结论在虚数中也是不成立的．正解：设i()x a b a b =+∈R ，，那么原方程即为2(i)60a b +-=，得226020a b ab ⎧⎪--=⎨=⎪⎩，，故20a b =±⎧⎨=⎩，或30a b =±⎧⎨=⎩，或01.a b =⎧⎨=±⎩，所以正确答案为（C ）．二、性质()mn m n a a =(m 、n ∈Q )，对虚数a 不再适用例2求值2009122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．错解：∵3112⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，则2009200933112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝1．剖析：在复数集中，仅对*m n ∈N ，有()mn m n a a =．此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集．正解：200936692111222⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-∙- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝669321122⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+∙-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝1×212⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭＝－21i ． 例3 化简复数200911i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭．错解：由2009200920092009420094244444211(1)(2)1111(1)(2)i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫=====⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，选（A ）．剖析：在复数集中，仅对*m n ∈N ，有()mn m n a a =．此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集．正解：由于21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，则200920094502111i i i i i ⨯++⎛⎫=== ⎪-⎝⎭．三、虚系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c ∈C)有实根的充要条件，不再是b 2－4ac ≥0．例4 关于的方程有实根，求实数的范围。
高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章 典型例题：数系的扩充
“数系的扩充”例题精析例1 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+b i(a、b∈R)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.解: z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i.∵m∈R,∴z的实部为m2+5m+6,虚部为m2－2m－15.①要使z为实数，必有22150,R,m mmìï--=ïíïÎïî∴m=5或m=－3.②要使z为虚数，必有m2－2m－15≠0,∴m≠5且m≠－3.③要使z为纯虚数，必有22560,2150, m mm mìï++=ïíï--?ïî即32,35, m mm m或且ì=-=-ïïíï??ïî∴m=－2.④要使z对应的点在第三象限，必有225602150m mm mìï++<ïíï--<ïîÞ32,35,mmì-<<-ïïíï-<<ïî∴－3<m<－2.⑤要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m2+5m+6,m2－2m－15)满足方程x+y+4=0，∴(m2+5m+6)+(m2－2m－15)+4=0.解得m=－25或m=1.⑥要使z的共轭复数的虚部为12，则－(m2－2m－15)=12,∴m=－1或m=3.评注:复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z =a +b i(a 、b ∈R )的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.例2 已知复数z 1满足(z 1－2)i=1+i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求复数z 2.分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部. 解:由(z 1－2)i=1+i,得z 1=1i i++2=(1+i)(－i)+2=3－i. ∵z 2的虚部为2，∴可设z 2=a +2i(a ∈R ),z 1·z 2=(3－i)(a +2i)=(3a +2)+(6－a )i 为实数，∴6－a =0,即a =6.因此z 2=6+2i.评注: 掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.例3 复平面内点A 对应的复数是1,过点A 作虚轴的平行线l ,设l 上的点对应的复数为z ,求z1所对应的点的轨迹.分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A 的坐标为(1,0),l 过点A 且平行于虚轴,所以直线l 上的点对应的复数z 的实部为1,可设为z =1+b i(b ∈R ),然后再求z 1所对应的点的集合.解:如图.因为点A 对应的复数为1,直线l 过点A 且平行于虚轴,所以可设直线l 上的点对应的复数为z =1+b i(b ∈R ).因此111i z b =+2221i 1i 111b b b b b -==-+++. 设z 1=x +y i(x 、y ∈R ),于是x +y i=22111b b b-++i.根据复数相等的条件,有221,1.1x b b y b ìïï=ïï+ïíïï=-ïï+ïî消去b ,有x 2+y 2=22221()(1)1b b b+-++ =222221(1)(1)b b b +++=222211(1)1b b b+=++=x . 所以x 2+y 2=x (x ≠0),即(x －21)2+y 2=41(x ≠0). 所以z 1所对应的点的集合是以(21,0)为圆心,21为半径的圆,但不包括原点O (0,0).评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x ,y ).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x ,y )所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x 、y 的范围可由参数函数的值域来确定.。
北师大版数学高二-数学北师大版选修1-2练习 第四章 数系的扩充与复数的引入 (2)
习题课 复 数 明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例 1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋ (4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1 (1)已知z1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3i B ．1－3iC ．3＋iD ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ，∴a －b i 1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1答案 A 解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A. 题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3. 反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练 2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45. ∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例 3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12.解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i 2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．解 设方程的实数根为b (b ≠0)，代入方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0，化为b 2＋3b ＋(2b ＋3a )i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3b ＝0，2b ＋3a ＝0.已知b ≠0，解得b ＝－3，a ＝2. 故实数a 的值及方程的实数根分别为2和－3.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋i B ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1， 故z ＝34＋i. 4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________．答案 34 解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意． 5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i. 又z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15C ．－15iD ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 2．复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i答案 C3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．0答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0. 4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a ＝______. 答案 2解析 设1＋a i 2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2. 6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________.答案 13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →，∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ，∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．9.设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知复数z ＝5i 1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案 5 解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5. 11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.12.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1.故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.三、探究与拓展13.是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.。
北师大版数学选修1-2教案：第4章-典型例题：数系的扩充
“数系的扩充”例题精析例1 实数m 分别取什么数时，复数z=(1+i)m 2+(5－2i)m+6－15i 是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+bi(a 、b ∈R)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.解: z=(1+i)m 2+(5－2i)m+6－15i=(m 2+5m+6)+(m 2－2m －15)i.∵m ∈R ,∴z 的实部为m 2+5m+6,虚部为m 2－2m －15.①要使z 为实数，必有22150,R,m m m ìï--=ïíïÎïî∴m=5或m=－3. ②要使z 为虚数，必有m 2－2m －15≠0,∴m ≠5且m ≠－3.③要使z 为纯虚数，必有22560,2150,m m m m ìï++=ïíï--?ïî 即32,35,m m m m 或且ì=-=-ïïíï??ïî ∴m=－2.④要使z 对应的点在第三象限，必有225602150m m m m ìï++<ïíï--<ïîÞ32,35,m m ì-<<-ïïíï-<<ïî ∴－3<m<－2.⑤要使z 对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m 2+5m+6,m 2－2m －15)满足方程x+y+4=0，∴(m 2+5m+6)+(m 2－2m －15)+4=0.解得m=－25或m=1. ⑥要使z 的共轭复数的虚部为12，则－(m 2－2m －15)=12,∴m=－1或m=3.评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a 、b ∈R)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.例2 已知复数z 1满足(z 1－2)i=1+i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求复数z 2.分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部.解:由(z 1－2)i=1+i,得z 1=1i i++2=(1+i)(－i)+2=3－i. ∵z 2的虚部为2，∴可设z 2=a+2i(a ∈R),z 1·z 2=(3－i)(a+2i)=(3a+2)+(6－a)i 为实数，∴6－a=0,即a=6.因此z 2=6+2i.评注: 掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.例3 复平面内点A 对应的复数是1,过点A 作虚轴的平行线l,设l 上的点对应的复数为z,求z 1所对应的点的轨迹.分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A 的坐标为(1,0),l 过点A 且平行于虚轴,所以直线l 上的点对应的复数z 的实部为1,可设为z=1+bi(b ∈R),然后再求z1所对应的点的集合. 解:如图.因为点A 对应的复数为1,直线l 过点A 且平行于虚轴,所以可设直线l 上的点对应的复数为z=1+bi(b ∈R).因此111i z b =+2221i 1i 111b b b b b-==-+++. 设z 1=x+yi(x 、y ∈R),于是x+yi=22111b b b -++i. 根据复数相等的条件,有221,1.1x b b y b ìïï=ïï+ïíïï=-ïï+ïî消去b,有x 2+y 2=22221()(1)1b b b+-++ =222221(1)(1)b b b +++=222211(1)1b b b+=++=x. 所以x 2+y 2=x(x ≠0),即(x －21)2+y 2=41(x ≠0). 所以z 1所对应的点的集合是以(21,0)为圆心,21为半径的圆,但不包括原点O(0,0). 评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.。
北师大版数学高二选修1-2学案第四章第1节数系的扩充与复数的引入(第1课时)
1．1 数的概念的扩展1．了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用．2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数形式及复数的分类．1．把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，把i叫作________．根据解方程的需要，不断扩充数系．引入虚数之后，使得方程x2＋1＝0也有解．2．形如a＋b i的数叫作______(a，b是实数，i是虚数单位)．通常表示为z＝a＋b i(a，b ∈R)．【做一做1】对于实数a，b，下列结论正确的是()．A．a＋b i是实数B．a＋b i是虚数C．a＋b i是复数D．a＋b i≠03．对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的______与______，并且分别用______与______表示，即a＝______，b＝______.复数z＝a＋b i中，a∈R，b∈R时，a，b才分别为z的实部和虚部，否则不是，而且复数z的虚部是b，而不是b i，不要弄混．【做一做2】设复数z的实部为17，虚部为－8，则复数z＝__________.4．复数的全体组成的集合叫作________，记作C，显然，______.5．在z＝a＋b i中，当______时，z为实数；当______时，z为虚数；当________时，z 为纯虚数．复数包括实数与虚数，而虚数中又含有纯虚数．z为纯虚数时应满足两条，即实部为0，虚部不为0.【做一做3－1】“复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【做一做3－2】若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()．A．－1 B．1 C．±1 D．－1或－2答案：1．虚数单位2．复数【做一做1】 C3．实部 虚部 Re z Im z Re z Im z【做一做2】 17－8i4．复数集 R C5．b ＝0 b ≠0 a ＝0，b ≠0【做一做3－1】 A【做一做3－2】 B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0， 解得x ＝1.1．各数集之间有怎样的包含关系？剖析：数集在不断扩充，它们之间的关系为N Z Q R C .用图示表示如图所示．2．复数如何分类？剖析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).3．复数z 为0的条件是什么？剖析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为0的充要条件是a ＝b ＝0. 题型一 辨析实数、虚数、纯虚数【例题1】 指出下列各数中，哪些为实数，哪些为虚数，哪些为纯虚数？ 3＋2，79，13i,0，i,3i －2,10－14i ，(3－5)i ，πi 2，2－2i. 反思：正确把握复数的实部、虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义是作出正确的分类的关键．题型二 分清复数的实部和虚部【例题2】 以4i －3的虚部为实部，以7i －2i 2的实部为虚部的复数为( )．A ．4－2iB ．4＋2iC ．－3＋7iD ．4＋7i反思：一定要弄清一个复数的实部与虚部，在已知一个复数时，能写出它的实部和虚部；同样地，在已知复数的实部和虚部时，也要能写出这个复数．注意在判断复数z ＝a ＋b i 的实部、虚部时，必须在a ，b ∈R 的前提下判断，而且虚部是指b ，而不是b i.题型三 由实数、虚数、纯虚数的概念确定参数的取值【例题3】 实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？分析：根据复数的分类，弄清一个复数满足什么条件时分别为实数、虚数、纯虚数，必须要分清复数的实部、虚部．反思：由复数z 的实部、虚部的取值来确定复数z 是实数、虚数、纯虚数．在解题时关键是确定z 的实部、虚部，并要注意纯虚数的概念满足两条：实部为零，虚部不为零．题型四 实部、虚部有限定范围的复数的判定【例题4】 复数z ＝log 2(x 2－5x ＋4)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？分析：依照复数分类求解此题，但要注意对数函数本身的要求．反思：本题考查了复数的分类及对数函数的定义域，解决此类题时，既要注意复数概念的要求，又要注意实数x 的范围．答案：【例题1】 解：实数有3＋2，79，0，πi 2； 虚数有3i －2,10－14i ，2－2i ，13i ，i ，(3－5)i ； 纯虚数有13i ，i ，(3－5)i. 【例题2】 B 复数4i －3的虚部为4，实部为－3；复数7i －2i 2即2＋7i ，其实部为2，虚部为7，所以以4i －3的虚部为实部，以7i －2i 2的实部为虚部的复数为4＋2i.【例题3】 解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，复数z 为实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，复数z 为虚数．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0， ①②由①，得k ＝4或k ＝－1.由②，得k ≠6且k ≠－1，∴当k ＝4时，z 为纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 为零． 【例题4】 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋4>0，log 2(x －3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >4或x <1，x ＝4，此时无解． ∴不存在x 使z ∈R .(2)z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4>0，x －3>0，log 2(x －3)≠0. ∴⎩⎨⎧ x >4或x <1，x >3，x ≠4.∴x ＞4. ∴当x ＞4时，z 为虚数． (3)⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(x 2－5x ＋4)＝0，log 2(x －3)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋4＝1，x －3>0，x －3≠1， ①②③由①，得x ＝5＋132或x ＝5－132； 由②，得x ＞3；由③，得x ≠4.∴当x ＝5＋132时，z 为纯虚数．1复数1－i 的虚部是( )．A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案：B 分清复数的实部、虚部是解题的关键．2设全集I ＝{复数}，N ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( )．A ．M ∪N ＝IB ．∁I M ∪N ＝IC ．∁I M ∩N ＝ND ．M ∩∁I N ＝I答案：C 弄清数集的分类和集合之间的包含关系以及集合之间的交、并、补的运算． 3以23-i 的虚部为实部，以i i 232+的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．i 22+-D.i 22+ 答案：A 注意i 2＝－1，所以3i 2＋2i ＝－3＋2i ，其实部为－3，虚部为2；3i －2的虚部为3，实部为－2，故所求复数为3－3i.4以π＋3i 的实部为虚部，以2＋ei 的虚部为实部的复数为______．答案：e ＋πi π＋3i 的实部为π，2＋ei 的虚部为e ，则所求的复数为e ＋πi.5若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m ＋2)为纯虚数，求实数m 的值．答案：分析：利用复数的分类解题．解：根据纯虚数的定义，得⎩⎨⎧≠+=--.0)2(log ,0)33(log 222m m m ∴⎩⎨⎧≠+=--.12,1332m m m ∴m ＝4.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年北师大版精品数学资料习题课 复 数 明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 21b 2a 22＋b 22＋a 2b 11b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例 1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋ (4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋ (4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1 (1)已知z1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ，∴a －b i 1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1 答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A. 题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练 2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45. ∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例 3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． 因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12.解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i 2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．解 设方程的实数根为b (b ≠0)，代入方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0，化为b 2＋3b ＋(2b ＋3a )i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3b ＝0，2b ＋3a ＝0.已知b ≠0，解得b ＝－3，a ＝2. 故实数a 的值及方程的实数根分别为2和－3.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋i B ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1， 故z ＝34＋i. 4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________．答案 34解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意． 5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i. 又z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. [呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15C ．－15iD ．－15答案 B解析1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 2．复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i答案 C3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．0答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0. 4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a ＝______. 答案 2解析 设1＋a i 2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2. 6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________.答案 13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →，∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ，∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．9.设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知复数z ＝5i 1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案 5解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5. 11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.12.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1.故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.三、探究与拓展13.是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a . 消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在． 故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.。