高中数学第二章2.3.1直线与平面垂直的判定练习新人教A版必修2

2.3.1 直线与平面垂直的判定
【选题明细表】
知识点、方法题号
线面垂直的定义及判定定理的理解1,2,3,5
线面垂直的判定及证明4,6,8,9
直线与平面所成的角7
综合问题10,11,12
1.(2018·甘肃兰州二十七中高二上期末 )设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是( A )
(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m
(C)若l⊥m,m⊂α,则l⊥α(D)若l∥α,m∥α,则l∥m
解析:易知A正确.
B.l与m可能异面,也可能平行.
C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,
D.l与m可能平行、异面或相交.
2.(2018·广西桂林期末)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( C )
(A)若m∥α,n∥α,则m∥n
(B)若m⊥α,m⊥n,则n∥α
(C)若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
(D)若m∥α,m⊥n,则n⊥α
解析:对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或者异面;故A错误;
对于B,若m⊥α,m⊥n,则n与α可能平行或者n在α内;故B错误;
对于C,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;故C正确;
对于D,若m∥α,m⊥n,则n⊂α,或n与α相交;故D错误.
故选C.
3.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是( D )
(A)(B)2(C)3(D)4
解析:如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD.
因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥CD.
所以CB⊥平面PAD,
所以AD⊥BC.
在△ACD中,AC=5,CD=3,
所以AD=4.
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
所以PD==4.
故选D.
4.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,则H为△ABC的( B )
(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心
解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.
5.(2018·唐山高二期末)△ABC所在平面α外一点P到三角形三顶点的距离相等,那么点P 在α内的射影一定是△ABC的( A )
(A)外心 (B)内心
(C)重心 (D)以上都不对
解析:由题意PA=PB=PC,PO⊥平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,所以由HL定理知Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC.于是OA=OB=OC,所以O为三边中垂线的交点,O是三角形的外心,故选A.
6.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( D )
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
解析:⇒
⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,
所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故选D.
7.(2018·浙江杭州月考)如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.
解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO 为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.
答案:45°
8.(2018·陕西西安高一期末)在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证:
(1)PA∥平面DEB;
(2)PB⊥平面DEF.
证明:(1)连接AC,BD,交于O,连接EO.因为底面ABCD是正方形,
所以点O是AC的中点.所以在△PAC中,EO是中位线,所以PA∥EO,
因为EO⊂平面DEB,且PA⊄平面DEB,
所以PA∥平面DEB.
(2)因为PD⊥底面ABCD,且BC⊂底面ABCD,所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形,
所以DC⊥BC,可得BC⊥平面PDC.
因为DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.
又因为PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC.所以DE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC,所以DE ⊥PB.
又因为EF⊥PB,且DE∩EF=E,
所以PB⊥平面DEF.
9.如图甲所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图乙所示,那么,在四面体A EFH中必有( A )
(A)AH⊥△EFH所在平面(B)AG⊥△EFH所在平面
(C)HF⊥△AEF所在平面(D)HG⊥△AEF所在平面
解析:根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,所以AH⊥平面EFH,故
选A.
10.如图,四棱锥S ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是.
解析:连接SO,如图所示,
因为四棱锥S ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.
因为SD⊥底面ABCD,
所以SD⊥AC,
因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,
因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;
因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,
所以AB∥平面SCD,则②正确;
因为SD⊥底面ABCD,
所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,
因为AD=CD,SD=SD,
所以∠SAD=∠SCD,则③正确;
因为AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,
所以AC⊥SO,则④正确.
答案:①②③④
11.(2018·宁夏石嘴山第三中学高二上期末)侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
(1) 求证:MN∥平面A′ACC′;
(2) 求证:A′N⊥平面BCN;
(3) 求三棱锥C MNB的体积.
(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
因为四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
所以AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,
又点N为B′C′的中点,所以MN∥AC′,
又MN⊄平面A′ACC′,且AC′⊂平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)证明:因为A′B′=A′C′=2,点N为B′C′的中点,
所以A′N⊥B′C′.
又BB′⊥平面A′B′C′,所以A′N⊥BB′,
所以A′N⊥平面BCN.
(3)解:由图可知=,
因为∠BAC=90°,所以BC==2,
S△BCN=×2×4=4.
由(2)及∠B′A′C′=90°可得A′N=,
因为M为A′B的中点,
所以M到平面BCN的距离为,
所以==×4×=.
12.如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).
(1)求证:DE∥平面A1CB;
(2)求证:A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.
(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB,
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D,DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC,
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD,
所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.
理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.。