集合,简单逻辑,函数的易错点及典型例题

集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。

已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}，求M ∩N;以及M={x ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2x ∈R},Q={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},求M ∩N ，M ∩Q ，Q ∩N 的区别。

3．区别∅与{∅}。

∅:表示空集，{∅}：不是空集，是指含∅的一个元素。

4．集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，注意“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合子集B A ⊆时否忘记∅. eg. ()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 范围，讨论了a ＝2情况了吗？5．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个 6． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 7． 两集合之间的关系。

},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==(C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ⊆⇒； 8.可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p 、q 形式的复合命题的真值表:p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假9.命题的四种形式及其相互关系逆互 互互 为 互 否 逆 逆 否否 否原命题 若p 则q 逆命题若q 则p否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题若﹃ｑ则﹃ｐ原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 注意区别否命题与命题的否定。

10.对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？11.函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f --=+或f （2a-x ）=-f （x ），那么函数()x f y =的图象关于点（a,0）对称.③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．⑤若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑥函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13.求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14.含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。

若函数y =a sin 2x +2cos x -a -2(a ∈R )的最小值为m , 求m 的表达15.函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则①若a ∈A,则a=f -1 [f(a)]; 若b ∈C,则b=f[f -1 (b)]; ②若p ∈C,求f -1 (p)就是令p=f(x),求x.(x ∈A) 即()().b f 1a b a f=⇔=-互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称,16.互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x fy 1-=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．17. 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;18.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。

19.知道函数()0>+=a xax y 的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！20.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.21.对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b abb a n ac c a n log log ,log log log ==） 22.还记得对数恒等式吗？（b a b a =log ）23.“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？24.c bx ax x f ++=2)(,区别f(x)恒大于0，与f(x)能取大于0的全体数情况。

25.函数值的求法（1）直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数的值域。

解：∵ ∴显然函数的值域是：例2. 求函数的值域。

解：∵ 故函数的值域是：（2）配方法x1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y x 3y -=0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]（3）判别式法例4. 求函数的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程（1）当时， 解得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域为例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1） ∵ ∴解得： 但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x 的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

（4） 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数值域。

]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=4)1x (y 2+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =22x 1x x 1y +++=0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆23y 21≤≤0x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21)x 2(x x y -+=0y x )1y (2x 222=++-R x ∈0y 8)1y (42≥-+=∆21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤0≥∆0y x )1y (2x 222=++-0≥∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,212x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴]2,0[22222x 41∈-+=22222x 41-+=]21,0[+6x 54x 3++解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：（5） 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：∵ ∴解得： 故所求函数的值域为例8. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：即∵ ∴即解得：故函数的值域为（6）函数单调性法例9. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数 当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例10. 求函数的值域。

解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数3y 5y 64x --=3x 5y64y --=53x ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,1e 1e y xx +-=1y 1y e x -+=0e x>01y 1y >-+1y 1<<-)1,1(-3x sin xcos y -=y 3x cos x sin y =-y3)x (x sin 1y 2=β++1y y 3)x (x sin 2+=β+R x ∈11y y 312≤+≤-]1,1[)x (x sin -∈β+42y 42≤≤-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-1x log y ,2y 325x 1-==-21y ,y 21y y y +=8112log 2y 33min =-+=-339log 2y 35max =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,811x 1x y --+=1x 1x 2y -++=1x y ,1x y 21-=+=21y ,y ],1[+∞所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为（7） 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。