高三数学一轮复习必备精品9：空间几何体的表面积和体积 【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免

第9讲 空间几何体的表面积和体积备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一．【课标要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．【命题走向】近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2010年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．【要点精讲】名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全)体 积(V)棱 柱棱柱 直截面周长×lS 侧+2S 底S 底·h=S 直截面·h直棱柱 ch S 底·h棱 锥棱锥 各侧面积之和S 侧+S 底31S 底·h 正棱锥 21ch ′ 棱 台棱台各侧面面积之和S 侧+S 上底+S 下底 31h(S 上底+S 下底+下底下底S S )正棱台21 (c+c ′)h ′ 表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。

名称圆柱 圆锥 圆台 球 S 侧 2πrl πrl π(r 1+r 2)lS 全2πr(l+r) πr(l+r)π(r 1+r 2)l+π(r 21+r 22)4πR 2Vπr 2h(即πr 2l)31πr 2h 31πh(r 21+r 1r 2+r 22) 34πR 3表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径四．【典例解析】题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积图1 图2解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。

作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。

由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。

∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。

（2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23∴AO=4cosπAM =223。

又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=。

题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D 。

PAB C DO E点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。

∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。

最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型3：锥体的体积和表面积例5． 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.223π+B. 423π+C.2323π+ D. 2343π+【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为()21232333⨯⨯=所以该几何体的体积为2323π+. 答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.（2009四川卷文）如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是A. AD PB ⊥B. PAB 平面PBC 平面⊥C. 直线BC ∥PAE 平面22侧(左)视图22 2正(主)视图D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°【答案】D【解析】∵AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，所以A 不成立，又，平面PAB ⊥平面PAE ，所以PAB 平面PBC 平面⊥也不成立；BC ∥AD ∥平面PAD, ∴直线BC ∥PAE 平面也不成立。

在PAD Rt ∆中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°. ∴D 正确（2009全国卷Ⅱ文）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于47π，则球O 的表面积等于 × 答案：8π解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由.8)14474(4422πππππ===R S例61.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD ⊥平面PEG 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --== （３）如图,连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又BD HF BD ∴⊥平面PEG ；例7．ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 的距离？解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG 。

设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22，CO ＝344232×=。

GO CO GC =+=+=+=222232218422()。

而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2。

由V V B EFG G EFB --=，得16EF GO h ··=13S EFB △· 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。

构造以点B为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

例8．2009年上海卷理）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.【答案】12323S S S += 【解析】2114R S π=，112R S π=，同理：222R S π=332R S π=，即R 1＝π21S ，R 2＝π22S ，R 3＝π23S ，由32132R R R =+得12323S S S +=例9．（2009安徽卷文）（本小题满分13分）如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ， 和是平面ABCD 内的两点，和都与平面ABCD 垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD ：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF 的体积。

【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想【解析】(1)由于EA=ED 且'''ED ABCD E D E C ⊥∴=面∴点E '在线段AD 的垂直平分线上,同理点F '在线段BC 的垂直平分线上. 又ABCD 是四方形∴线段BC 的垂直平分线也就是线段AD 的垂直平分线 即点E 'F '都居线段AD 的垂直平分线上. 所以,直线E 'F '垂直平分线段AD.(2)连接EB 、EC 由题意知多面体ABCD 可分割成正四棱锥E —ABCD 和正四面体E —BCF 两部分.设AD 中点为M,在Rt △MEE '中,由于ME '=1, 3'2ME EE =E V ∴—ABCD 21142'2233S ABCD EE =⋅⋅=⨯四方形 又E V —BCF=V C －BEF=V C －BEA=V E －ABC 211122'223323ABCS EE =⋅=⨯⨯= DBAOCEF∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABC D ＋V E —BCF=22例10．（1）（2009浙江卷理）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ． 答案：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面ADB ，即有CB BD ⊥，对于2,1,3CD BC BD ==∴=，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有12t =，因此t 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭例11．3.（2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为18例12．2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。