江西省南昌市高三数学第一次模拟考试试题理
2020年南昌市高三第一次模拟测试卷理科数学
R A { x | 4 ≤ x ≤ 2}, R A B { x | 0 x 2}
2. 在复平面内, 复数z i对应的点为Z, 将向量OZ绕原点
5.已知a, b, b (1, 3), 且a在b方向上的投影为 1 , 则a b 2
等于( B )
A. 2
B. 1
C. 1
D. 0
2
a在b方向上的投影为 a cos a b a b 1 , a b 1
b 22
a
b
6.
函数f
(x)
ln
x
1 x
,
x1 的图象大致是(
A)
ecos
B. 1
C. 1
D. 1
4
2
如图, F (1, 0), 设P(t 2 , 2t), 则Q(0, 2t),
Q
所以PQ PF (t 2 , 0) (1 t 2 , 2t)
t 2 (1
t2)
t4
t2
t2
1 2
2
1 4
≥1 4
O
P F
9. 已知双曲线C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
D.四面体FA1C1B的体积不为定值 D1
设AC BD O, 连接EO,过点B1作
B1M BD1 , 垂足为M ,
A1
C1 B1
因为BD1 / / EO,所以B1M EO,
EM
又因为AC 平面BB1D1D,
所以AC B1M , 又AC EO O,
D
C
所以B1 M
江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(理科)试题
南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（理科）命题人： 审题人： 说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49. 已知函数()2log ,1,,1,x x f x x x ξ≥⎧=⎨+<⎩在R 上单调递增的概率为12，且随机变量()~,1N u ξ．则()01P ξ<≤等于（ ）[附：若()2~,Nξμσ，则()0.6827P x μσμσ−≤≤+=， ()220.9545P x μσμσ−≤≤+=．] A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.341310. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 4B. 12C. 4D. 211. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( ) A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________. 14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 ．15. 将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 . ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53； ③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2；④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.的17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23122n S n n =−． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的正弦值．19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13.调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读． (1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?K 2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()e 1ln x f x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.（1）当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹； （2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.。
南昌市高三数学第一次模拟测试卷(理)
2008-2009学年度南昌市高三第一次模拟测试卷数学（理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}0,1,M x x x Ry y y R =≠∈≠∈,集合{0P xx =<或01x <<或}1,x x R >∈，则之间的关系是Ａ． M P Ø Ｂ．P M Ø Ｃ． P M = Ｄ．M P =∅2．已知1ab =，函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是3．数列{}n a 中，12i a =，*1(1i)(1i)()n n a a n N ++=-∈，则10a 的值为A ．2B ．-2C ．2iD ．1 024i4．设,,αβγ是三个互不重合的平面，m ，n 是直线，给出下列命题 ①若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥； ②若//,m αββ⊂，则//m α；③若ｍ，ｎ在γ内的射影互相垂直，则m n ⊥；④若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．设()cos sin f x x x =-，把()f x 的图象按向量a =（m ，0）（m>0）平移后，图象恰好为函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为 A ．4π B ．34π C ．π D ．2π 6．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2S =10，555=S ，则过点P （n a n ,）和 Q （2,2++n a n ）（*N n ∈）的直线的一个方向向量的坐标可以是 A （2，4） B （34,31--） C （1,21--） D （1,1--）7．设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ,若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为A ．150-B ．150C ．500-D ．5008．设函数()ln(f x x x =++， 则对于任意的实数a 和b ， 0a b +> 是()()0f a f b +>的A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件． 9．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则 A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-10．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程是A ．22(2)(1)5x y -+-=B ．22(4)(2)20x y -+-=C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(4)(2)20x y +++=11如图，在棱长为4的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别 是AD ，A ′D ′的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A ′B ′C ′D ′上运动，则线段MN 的 中点P 的轨迹（曲面）与二面角A —A ′D ′—B ′所围成的几何体的 体积为 A ．34π B ．32π C ．3π D ． 6π 12．若()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，且(1)1f =，则(1)(2)(2009)f f f ++⋅⋅⋅+等于 A ．200921- B ．201021- C ．200922010- D ．201022011-二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为 14．一对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0，0，2，8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为16．不等式组0,0,(1)4x y k y kx k≥⎧⎪≥>⎨⎪≤-+⎩所表示的平面区域为D ，若D 的面积为S ，则1kS k -的最小值为 。
2021届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解一元二次不等式简化集合M，再由对数的运算性质求出N，再由交集的运算求出（∁M）∩N．R【详解】∵x2﹣4＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴M＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵logx＜1，∴0＜x＜2，2∴N＝（0，2），∴∁M＝[﹣2，2]，RM）∩N＝（0，2）．∴（∁R故选：B．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法、对数的运算性质，属于基础题．2．已知复数的实部等于虚部，则( )A．B．C．-1 D．1【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出a的值．【详解】∵z的实部等于虚部，∴，即a＝﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知抛物线方程为，则其准线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】抛物线x2＝-2y的准线方程为：y，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，熟记抛物线的简单几何性质是关键，是基本知识的考查．4．已知为等差数列，若，，则( )A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】}为等差数列，,∵{an∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+12＝2．故选：B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．如图所示算法框图，当输入的为1时，输出的结果为( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．【详解】当x＝1时，x＞1不成立，则y＝x+1＝1+1＝2，i＝0+1＝1，y＜20不成立，x＝2，x＞1成立，y＝2x＝4，i＝1+1＝2，y＜20成立，x＝4，x＞1成立，y＝2x＝8，i＝2+1＝3，y＜20成立，x＝8，x＞1成立，y＝2x＝16，i＝3+1＝4，y＜20成立x＝16，x＞1成立，y＝2x＝32，i＝4+1＝5，y＜20不成立，输出i＝5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得，则该几何体的体积为；故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的形状与三视图的对应关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题.7．2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A．B．C．D．【答案】D【解析】基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题. 8．已知，，：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先作出不等式：“|x|1”，“x2+y2≤r2”表示的平面区域，再结合题意观察平面区域的位置关系即可得解【详解】“|x|1”，表示的平面区域如图所示:平行四边形ABCD及其内部，“x2+y2≤r2”，表示圆及其内部由p是q的必要不充分条件，则圆心O（0，0）到直线AD：2x+y﹣2＝0的距离等于，则0，故选：A．【点睛】本题考查不等式表示的平面区域及图象之间的位置关系，熟练运用直线与圆的位置关系是关键，属中档题．9．已知在上连续可导，为其导函数，且，则( )A．B．C．0 D．【答案】C【解析】根据条件判断函数f（x）和f′（x）的奇偶性，利用奇偶性的性质进行求解即可．【详解】函数f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣e x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．【点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题. 10．已知平面向量，，，，若对任意的实数，的最小值为，则此时( )A．1 B．2 C．D．【答案】D【解析】由题知，终点分别在圆上，画出图形，由最小值，确定，的夹角，再利用模长公式求解即可.【详解】由题知，终点分别在以2和1为半径的圆上运动，设的终点坐标为A(2,0),的终点为单位圆上的点B，最小时即过A做单位圆切线切点为B时，此时AB=,所以，的夹角为，此时=故选：D【点睛】本题考查向量的模，向量的几何意义，数形结合思想，准确确定取最小值时，的夹角是关键，是中档题.11．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设P（），则Q（2，），当≠0时，求出两直线方程，解交点的横|范围，得|x|范围，当＝0时，求得|x|＝1即可求解.坐标为，利用|x【详解】设P（），则Q（2，2），当≠0时，k AP ，kPM，直线PM：y﹣（x﹣），①直线QB：y﹣0（x），②联立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，两直线交点问题，准确计算交点坐标是关键，属中档题．12．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，2n﹣1，则杨辉三角形的前n项和为Sn若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，，则Tn可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S＝218﹣1，18﹣35﹣17＝218﹣53，则此数列前135项的和为S18故选：A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．二、填空题13．设函数，则的值为__________．【答案】【解析】利用函数的性质得f （5）＝f（2）＝f（﹣1），由此能求出f（5）的值．【详解】∵函数，∴f （5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】作出符合题意的图形P﹣ABC，取底面中心O，利用直角三角形POC容易得解．【详解】如图，正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，不妨设PC＝1，∵侧面为等腰直角三角形，∴BC，∴OC，∴OP，∴sin∠PCO，故答案为：．【点睛】此题考查了直线线与平面所成角，熟练运用线面关系找到所求角，准确计算是关键，是基础题．15．已知锐角满足方程，则__________．【答案】【解析】化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得sinA 的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【详解】∵锐角A满足方程3cosA﹣8tanA＝0，可得：3cos2A＝8sinA，∵cos2A+sin2A＝1，∴3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得：sinA，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2．故答案为：．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式的应用,二倍角公式，一元二次方程的解法，熟记三角函数基本公式，准确计算是关键，属于基础题．16．定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．【答案】【解析】画出几何图形，运用边的关系转化为求周长的最值，结合正余弦定理及基本不等式求解即可.【详解】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故故答案为【点睛】本题考查正余弦定理，基本不等式，善于运用数形结合思想运用几何关系转化问题是关键，是难题.三、解答题17．函数（，）的部分图像如下图所示，，，并且轴.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数过A，C两点，代入进行求解即可．（2）根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）由已知，又，所以，所以（3分）由，即，所以，，解得，，而，所以.（2）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k+1，由图可知，．所以，所以，所以．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．18．如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）推导出⊥BD．BD⊥AC．从而BD⊥平面AC，由此能证明．（2）如图，设AC交BD于点O，以O为原点，OA、OB、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴1建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值．【详解】证明：（1）因为⊥底面ABCD，所以⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．＝C，所以BD⊥平面A．又AC∩CC1又由四棱台ABCD﹣知，，A，C，四点共面．所以BD⊥．（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，∥OC且＝OC，所以O∥C，且O＝C．所以O⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．1则，（）．由，得B1的中点，所以E（）,所以（），（﹣2，因为E是棱BB10，0）．设（x，y，z）为平面的法向量，则，取z＝3，得（0，4，3），平面的法向量（0，1，0），又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，则cosθ，所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.【答案】（1）；（2）应选择A型节能灯.【解析】（1）由频率分布直方图可知用频率估计概率，得m型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为，从而一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，由此能求出一年内5支恰好更换了2支灯的概率．（2）共需要安装5支同种灯管，选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10﹣3＝870元；选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，一年共需花费元，由此能求出该商家应选择A型节能灯．【详解】（1）由频率分布直方图可知，B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.2，用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为.所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，.所以一年内支恰好更换了支灯的概率为..（2）共需要安装支同种灯管，若选择A型节能灯，一年共需花费元；若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，故一年需更换灯的支数的期望为支，故一年共需花费元.因为，所以该商家应选择A型节能灯.【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，熟记频率分布直方图性质，准确计算是关键，是中档题．20．如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．【详解】（1）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：（2）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，所以，所以．由得，，解得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l的方程为1．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21．已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【解析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可．【详解】（1），令，则f'（x）＝e x g（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，所以．由h（x1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．【详解】（1）由参数方程，得普通方程，所以极坐标方程.（2）设点对应的参数分别为，将代入得得所以,直线l（t为参数）可化为，所以.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．已知函数.（1）求证：；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由绝对值不等式性质得即可证明；（2）由去绝对值求解不等式即可.【详解】（1）因为，所以.,即（2）由已知，①当m≥-时，等价于,即，解得所以②当m<-时，等价于，,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式恒成立问题，熟练运用零点分段取绝对值，准确计算是关键，是中档题.。
江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试数学(理)试卷
江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试数学（理）试卷一、选择题1.已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则R ()A B ⋂=（ ） A. []4,2-B. [)4,2-C. ()4,2-D. ()0,22.在复平面内,复数i z =对应的点为Z ,将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转π6,所得向量对应的复数是( )A.12-+B.1i 2+C.12-D.1i 2- 3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是( )A.16B.12C.8D.64.由实数组成的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“98S S >”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知向量,a b ，2b =，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于( )A.2B.1C. 12D.06.函数cos 1ln(),1(),1x x x f x xe x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A. B. C. D.7.根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量,x y 进行回归分析，设ln u y =，2(4)v x =-，利用最小二乘法，得到线性回归方程为0.52u v =-+，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A.e B. 2e C. ln2 D. 2ln28.已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅的最小值为( )A. 14-B. 12- C. 1- D.19.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若||||OA OF = ，则双曲线的离心率为( )C.2110.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）.控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术.一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点,E F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点,E F 处的目标球，最后停在点C 处，若50cm AE =，40cm,30cm EF FC ==，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为( )A. cmB. cmC. 50cmD. cm11.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点,F M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则（ ）A.在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB.在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.四面体11FAC B 的体积不为定值12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π03ϕ<<）满足(π)()f x f x +=，π()112f =，则π()12f -等于（ ）A. C.12-D.12二、填空题13.曲线2()()ln f x x x x =+在点(1,(1))f 的切线方程为______________. 14.已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++，则2a =_____________.15.已知函数22,0()2,0xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则11(lg )(lg )(lg 2)(lg5)52f f f f +++的值为____________.16.如图所示，一列圆222:()n n n C x y a r +-=（0,0n n a r >>）逐个外切，且均与曲线2y x =相切，若11r =，则1a =_________，n r =__________三、解答题17.如图，D 是在ABC △边AC 上的一点，BCD △与ABC △面积比为2， 22CBD ABD θ∠=∠= .（1）若π6θ=，求sin sin A C的值；（2）若4,BC AB ==，求边AC 的长18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，1π2,3AC BC CBB ==∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E .（1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值.19.已知函数2()x f x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点.（1）求实数k 的取值范围； （2）证明()f x 的极大值不小于1.20.已知圆2221:(1)(13)F x y r r ++=≤≤，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-. （1）证明：圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（2）过点2F ，斜率为k 的直线与1中轨迹E 相交于,M N 两点，点(,0)(0)Q m m <，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由21.某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为14，11,24，工人乙生产一件零件A ，是--等品、二等品、三等品的概率分别为111,,333.已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元（1）试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏：（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产--件零件A ，如果一方生产的零件A 品级优于另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A 品级一-样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜，i 4(4,3,2,,4)P i +=---，表示甲总分为i 时，最终甲获胜的概率. ①写出08,P P 的值； ②求决赛甲获胜的概率22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C 的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程； （2）设射线π(0)6θρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于,A B 两点，求AB 的值. 23.已知0,0,2a b a b >>+=. （1）求111a b ++的最小值； （2）证明2a b b a ab+≥参考答案1.答案：D解析：依题意，R[4,2]A =-，(0,2)B =，则R ()(0,2)A B ⋂=2.答案：A解析：i z =在复平面内对应的点为(0,1)Z ,所以(0,1)OZ =,旋转后所得向量1'2OZ ⎛=- ⎝⎭,所以所得向量'OZ 对应的复数是12-+.3.答案：B解析：由题意可知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，∴侧面积32212S =⨯⨯= 4.答案：C解析：81919800a a a q S S >⇔=>⇔>. 5.答案：B解析：1||||cos 212a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯=6.答案：A解析： 7.答案：B解析：依题意，,x y 模拟函数为20.5(4)2e x y --+=，所以最大值为2e 8.答案：A解析：因为(1,0)F ，设点2(,2)P m m ，则(0,2)Q m ，则2(,0)PQ m =-，2(1,2)PF m m =--，则2422111()244PQ PF m m m ⋅=-+=--≥-9.答案：B解析：设双曲线左焦点为F '，因为OA OF OF c '===，所以90FAF '∠=︒，设点4(,)3A m m ，则2163()()95m c m c m m c =+-⇒=，所以点34(,)55A c c ，所以222291612525c ca b -=，所以224222216e 9e 259e 9e 16e 25e 25e 1-=⇒--=--422229e 50e 250(9e 5)(e 5)0e 5e ⇒-+=⇒--=⇒=⇒=10.答案：D解析：作EG 与FC 平行且相等，得到AGC △，依题意，80cm AG =，40cm GC =，60AGC ∠=︒，由余弦定理可以求得AC =，从而边长为11.答案：C 解析： 12.答案：C 解析：13.答案：220x y --= 解析： 14.答案：84- 解析： 15.答案：4 解析：16.答案：54;n 解析：当圆221()1x y a +-=与2y x =相切时，消去x 可得方程2211(12)10y a y a +-+-=，由0=△可得154a =.当圆222()n n x y a r +-=与2y x =相切时，消去x 可得方程222(12)0n n n y a y a r +-+-=，由0=△可得214n n r a =-，从而21114n n r a ++=-，两式相减得2211n n n n r r a a ++-=-，而因为圆1n C +与圆n C 外切，故11n n n n a a r r ++-=+，从而221111n n n n n n r r r r r r +++-=+⇒-=，即{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2211,44n n n r n a r n ==+=+ 17.答案：（1）π2CBD ABD ∠=∠=，所以1π1πsin 2sin 2326BC BD BA BD ⋅=⨯⋅，所以sinsin BC A BA C =⇒==（2）11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos 2θθθθ⨯=⨯⇒=， 所以π3π,344ABC θθ=∠==，所以216824(40AC =+-⨯⨯=，所以边AC =解析：18.答案：（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，π3EBC ∠=，所以CE =，因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形.（2）如图，以E 为原点，1,,EC EB EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),A A B C .平面1EB C 的法向量(0,0,1)m =，设平面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，由130n CB y y ⊥⇒-+=⇒=，由110n B A y z ⊥⇒+=，令1x y z =⇒==(1,3,n =，所以cos ,7m n -<>==，所以二面角11E B C A --的余弦值是解析：19.答案：（1）()2x f x e x k '=--，由()02x f x e x k '=⇒-=，记()2x g x e x =-，()2x g x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞；ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞.（2）由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x k e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)t t h t te t t e '=-+=-，因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20t e ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增，所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1.解析：20.答案：因为12(1,0),(1,0)F F -，所以12||2F F =，因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ≤≤，所以|4|2r r --≤，即12|4|||r r F F --≤，所以圆1F 与圆2F 有公共点.设交点为P ，因此12||||4PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，所以24,12,a c a b ==⇒==E 的方程为22143x y +=. （2）设过点2F 点且斜率为k 的直线方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =-，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得到2222(43)84120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，因为121212,y y k k x m x m ==--，所以121212()()y y k k k k x m x m +=+=-- 2212121221121212(1)(1)(1)(1)(1)()(1)()[][]()()k x k x x x x x m x x m k k k x m x m x m x m x m x m ------+--+=+==------21212212122(1)()2()x x m x x m k x x m x x m -+++-++，将①式代入整理得212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，因为0m <，所以当23120m -=时，即2m =-时，12()1k k k +=- 解析：21.答案：记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元，随机变量,X Y 的分布列所以10524242EX =⨯+⨯+⨯=，10523333EY =⨯+⨯+⨯=，所以EX EY <，即乙的技术更好.（2）①0P 表示的是甲得-4分时，甲最终获胜的概率，所以080,P P =表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以81P =.②每轮比赛甲得1分的概率111111()433233⨯++⨯=，甲得0分的概率为11111114323433⨯+⨯+⨯=，甲得-1分的概率为111111()234333⨯+⨯+=，所以当1,2,3,4,5,6,7n =时，11111112333n n n n n n n P P P P P P P -+-+=++⇒=+，所以{}n P 是等差数列，则084122P P P +==，即决赛甲获胜的概率是12解析：22.答案：（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=， 2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=.（2）令π(0)6θρ=>，则1π(,)6A ρ，2π(,)6B ρ， 则222222ππ2cos 3sin 6066ρρ+-=，即22924ρ=，所以2OB ρ==，1π2cos 6OA ρ==AB OA OB =-= 解析： 23.答案：（1）11111114()[(1)]2131313b a a b a b a b a b ++=+++=++≥+++（），当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即31,22a b ==时，111a b ++的最小值为43.（2）要证明2a b b a ab+≥，由0,0a b >>，也即证222a b +≥.因为2a b +≤a b =1≥，即222a b +≥解析：。
江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．已知函数的周期为π，若f （α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．+118．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．已知函数的周期为π，若f （α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．×2×【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n，利用并项求和法和等差数列的前n项和+1公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣4（1+2+3+4+…+2n﹣1+2n）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则：，，，，，，．∴X的分布列为X0100002000030000400005000060000P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t ﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣3月15日。
江西省南昌市实验中学2022届高三第一次模拟考试数学(理)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知的展开式中的常数项为，则其展开式中的系数为（ ）A．B．C．D．2. 已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A．B．C．D．4. 等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C在第一象限，且，O为坐标原点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为A．B．C．D．6. 已知集合，，则集合（ ）A．B．C．D．7. 下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过（）A．点B．点C．点D．点8. 已知函数的大致图象如图所示，则（）A．B．C．D．9.如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则（ ）江西省南昌市实验中学2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题(1)江西省南昌市实验中学2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题A ．三点共线B ．的长度为1C ．直线与平面所成角的正切值为D ．的面积为10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．的图象是轴对称图形B ．的极大值为0C．的所有极值点之和为D．的极小值之积为11. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（）A ．直线与平面所成的角为B．直线平面C ．异面直线与所成的角的余弦值为D．球上的点离球托底面的最大距离为12.已知数列满足，且，等差数列的前n 项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（ ）A ．－36B ．－54C ．－81D ．－10813.函数的最大值为_________，所有零点之和为_________.14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围________.15.已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为_____________.（用数字作答）16. 单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U 型池世界杯分站比赛成绩如下表：运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩分站第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70(1)从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；(2)设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；(3)甲5站的比赛成绩的平均值为，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为，比较与的大小（直接写出结果）.17. 已知函数，其中常数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.18. 如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，．(1)证明：平面平面；(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．19. 已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．(1)求k的值；(2)求数列的通项公式．20. 已知等差数列的前项和为，且，．（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：．21. 已知函数，记.(1)当时，求在区间上的最大值；(2)当时，试判断的零点个数.。
江西省南昌市2023届高三第一次模拟测试数学(理)试题(3)
一、单选题二、多选题1. 关于函数，下面4个判断的有（ ）①函数的图象是中心对称图形；②函数的图象是轴对称图形；③函数在单调递增；④函数在单调递减；A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④错误2.若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（ ）A．B．C．D．3.已知A．B．C．D．4. 设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．7. 下列四组数据中，中位数等于众数的是（ ）A ．1，2，4，4，1，1，3B ．1，2，4，3，4，4，2C ．1，2，3，3，4，4，4D ．1，2，3，4，2，2，38.已知数列的前n 项和为，且满足，则下列命题错误的是（ ）A．B．C．D．9. 已知．则下列说法正确的有（ ）A ．函数有唯一零点江西省南昌市2023届高三第一次模拟测试数学（理）试题(3)江西省南昌市2023届高三第一次模拟测试数学（理）试题(3)三、填空题四、解答题B．函数的单调递减区间为C ．函数有极大值D ．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是10. 若正数，满足，则（ ）A．的最大值是B．的最小值为C ．当时，D．的最小值为11.已知函数，则（ ）A ．的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C ．当时，函数在上单调递增D ．若函数在上存在零点，则a的取值范围是12. 边长为的正三角形ABC 三边AB ､AC ､BC 的中点分别为D ､E ､F ，将三角形ADE 沿DE 折起形成四棱锥，则下列结论正确的是（ ）A ．四棱锥体积最大值为B ．当时，平面平面PEFC ．四棱锥总有外接球D．当时，四棱锥外接球半径有最小值13. 已知函数，，则的解集是______.14.已知点、点，直线过点，若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是__________.15. 任意实数a ，b ，定义，设函数，正项数列是公比大于0的等比数列，且，则=____．16. 如图，一张平行四边形的硬纸片中，，．沿它的对角线把△折起，使点到达平面外点的位置．（Ⅰ）△折起的过程中，判断平面与平面的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）当△为等腰三角形，求此时二面角的大小．17. 已知O 为坐标原点，双曲线C ：的渐近线方程为．(1)求C 的标准方程；(2)过点的直线l 交C 于M ，N 两点，交x 轴于Q 点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18. 已知函数．(1)若函数在区间上恰有两个极值点，求a的取值范围；(2)证明：当时，在上，恒成立．19. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，PA⊥底面．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD．(2)若E在棱AD上，且，求PE与平面PBD所成角的正弦值．20. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角的大小；（2）若面积为，，求的周长.21. 已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.。
江西省南昌市2022届高三第一次模拟测试数学(理)试题(含答案解析)
江西省南昌市2022届高三第一次模拟测试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合20x A x x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}220B x x x =+->，则A B =（ ） A ．(),2-∞B ．()2,2-C ．()1,2D ．(),1-∞2．已知i z z ⋅=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点一定在（ ） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一､三象限的角平分线上D ．第二､四象限的角平分线上3．根据分类变量x 与y 的观察数据，计算得到2 2.974K =，依据下表给出的2K 独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）A ．有95%的把握认为变量x 与y 独立B ．有95%的把握认为变量x 与y 不独立C ．变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D ．变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%4．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm 的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ）A ．20cm 3B ．15cmC ．D ．20cm5．已知()1,0,0xy A x y x y ⎧⎫=⎧=⎨⎨⎬>>⎩⎩⎭，(){},2B x y x y =+≥，则“P A ∈”是“P B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，m n m n a a a +=，则6S =（ ） A ．12B ．721-C ．72D ．722-7．已知()3,0,0,x x f x x +≤⎧⎪=>若()()32f a f a -=+，则()f a =（ ）8．纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（ ）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,469．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3b =，2c =，ABC 的面积为2sin B ，则cos A =（ ）A ．13B ．23C D ．3410．已知在边长为6的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的点，且2AE BF ==.将四边形ABFE 沿EF 翻折，当折起后得到的几何体AED BFC -的体积最大时，下列说法：①AD EF ⊥；①BC ∥平面ADE ；①平面DEFC ⊥平面ABFE ；①平面ADE ⊥平面ABFE ，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知函数()()32,,R f x x ax bx c a b c =+++∈，若不等式()0f x >的解集为{},x x m x n >≠且，且1n m -=，则函数()f x 的极大值为（ ）A ．1B ．4 C ．0D ．412．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） ABCD二、填空题13．已知中心在原点的双曲线E 的离心率为2，右顶点为A ，过E 的左焦点F 作x 轴的垂线l ，且l 与E 交于M ，N 两点，若AMN 的面积为9，则E 的标准方程为___________.14．1e ，2e 是互相垂直的单位向量，12a e e =+，1234b e e =+，则a 在b 上的投影为___________.15．从()531x +的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是___________. 16．已知数列{}n a ，{}n b ，12a =，21a =-，()()11211,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩()11nn b =+-，n S 是数列{}n n a b 的前n 项和，则1000S =___________.三、解答题17．已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点A 和点B 分别从初始位置()1,0和()2,0处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.(1)当点A 运动的路程为23π时，求线段AB 的长度； (2)记()11,A x y ，()22,B x y ，求12x y +的最大值.18．如图，三棱锥P ABC -的底面为直角三角形，E 为斜边AB 的中点，顶点P 在底面的投影为D ，CD AB ∥，EC PB ⊥，22PD AB BC ===.(1)求CD 的长；(2)求二面角D PC E --的余弦值.19．为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易､中､难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；①答对得分，答错不得分；①四轮答题中，每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题､两个中等题､一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望. 20．已知函数()()cos 0,f x ax x x a R π=+≤≤∈. (1)当12a =时，求()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M ，m ，求证：322M m -≥.21．已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为1,23x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. (1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 在直角坐标系第一象限交于点A ，点B 的极坐标为4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，求AOB 的面积.23．已知函数()()222f x ax x a a =-++≥. (1)当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集； (2)0R x ∃∈，使得()0132f x a ≤+，求a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】解不等式，求出集合A 和B ，进而求出交集. 【详解】20x x-<，解得：02x <<，所以()0,2A =，220x x +->，解得：1x >或2x <-，故()(),21,B =-∞-+∞，故A B =()1,2故选：C 2．C 【解析】 【分析】设出i z a b =+，从而得到i+i a b a b =+，即a b =，得到复数z 在复平面内所对应的点在第一､三象限的角平分线上. 【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()i i i a b a b ⋅-=+，即i+i a b a b =+，从而()i a b a b -=-，故a b =，所以复数z 在复平面内所对应的点在直线y x =上，即第一､三象限的角平分线上.故选：C 3．C 【解析】 【分析】根据独立性检验的概率含义可得. 【详解】因为2 2.974 2.706K =>，所以变量x 与y 相互独立的概率为为0.1，即变量x 与y 相互独立这个结论犯错误的概率不超过10%. 故选：C 4．B 【解析】 【分析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积, 水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r ,列出方程即可得到答案. 【详解】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积. 设玻璃球的半径为r ，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r 则玻璃球的体积为343r π，圆柱的底面面积为2r π若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r所以()3242103r r r ππ=-，解得()15r cm = 故选：B 5．A 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出集合A 和集合B 表示的区域，再根据充分条件、必要条件即可得到结果. 【详解】集合A 表示函数1y x=在第一象限的图象，集合A 和集合B 表示的区域如图所示：由图可知，集合A 和集合B 的真子集，所以“P A ∈”是“P B ∈”的充分不必要条件. 故选：A. 6．D 【解析】【分析】取1m =，可知{}n a 为等比数列，然后可解. 【详解】因为m n m n a a a +=，取1m =，则有112n n n a a a a +==，所以{}n a 是首项、公比都为2的等比数列，所以6762(12)2212S -==--.故选：D 7．B 【解析】 【分析】由题意()f x 在(],0-∞,()0,∞+上分别单调递增，由条件即3020a a -≤⎧⎨+>⎩，从而得出a =.【详解】作出函数()f x 的图像，()f x 在(],0-∞,()0,∞+上分别单调递增. 由()()32f a f a -=+，若3020a a -≤⎧⎨+>⎩，即23a -<≤，此时()333f a a a -=-+=，()2f a +所以a =22a a =+，解得2a =或1a =-（不满足a =此时2a =满足题意，则()f a 若3020a a ->⎧⎨+≤⎩，此时不存在满足条件的a 故选：B8．B 【解析】 【分析】根据对数运算，对x 进行化简，从表格数据入手，得到()()2log 20211226131452044,46⨯∈，进而求出答案.【详解】()()421log 202112261314520log 2021122613145202x =⨯=⨯，设202112262m =，13145202n =，由表格得知：2021048576=，2122097152=，24216777216=，25233554432=，所以2425m <<，2021n <<，所以()44,46m n +∈，()()2log 20211226131452044,46⨯∈，则()()21log 20211226131452022,232x =⨯∈故选：B 9．D 【解析】 【分析】首先由面积公式求出a ，再用余弦定理计算可得； 【详解】解：因为3b =，2c =，ABC 的面积为2sin B ，所以1sin 2sin 2ABC S ac B B ==△，所以2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-即222232232cos A =+-⨯⨯， 解得3cos 4A =； 故选：D 10．B 【解析】 【分析】先平面//CFB 平面ADE ，先判断出①①，过点D 作DH EF ⊥交EF 于H ，过H 作HG AB ⊥交AB 于点G 过点C 作CN EF ⊥交EF 的延长线于N ，过N 作NM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，得出三棱柱CNM DHG -为直三棱柱，且几何体AED BFC -的体积与三棱柱CNM DHG -体积相同，当NM CN ⊥时CNMS面积最大值，从而判断出①①【详解】将四边形ABFE 沿EF 翻折,得到几何体AED BFC -在几何体AED BFC -中，//,DE CF CF ⊂平面CFB ，DE ⊄平面CFB 所以//DE 平面CFB//,AE BF BF ⊂平面CFB ，AE ⊄平面CFB所以//AE 平面CFB 又AEDE E =,所以平面//CFB 平面ADEBC ⊂平面CFB ,所以//BC 平面ADE ，故①正确.过点D 作DH EF ⊥交EF 于H ，过H 作HG AB ⊥交AB 于点G过点C 作CN EF ⊥交EF 的延长线于N ，过N 作NM AB ⊥交AB 的延长线于点M 则四棱锥C BFNM -与D AEHG -是全等的两个四棱锥.由NM AB ⊥，则NM EF ⊥,CN EF ⊥，MN CN N ⋂=，所以EF ⊥平面CMNEF ⊥平面DHG ,D ∈平面DHG , A ∉平面DHG ,则AD 与EF 不垂直，故①不正确 三棱柱CNM DHG -为直三棱柱.几何体AED BFC -的体积与三棱柱CNM DHG -体积相同. 三棱柱CNM DHG -的体积为CNMV SNE =⋅在直角三角形DEH 中,4,30DE EDH =∠=︒，所以2EH = 所以628NE =+= 当CNMS面积最大值时，几何体AED BFC -的体积最大.当NM CN ⊥时CNMS 面积最大值. 由NM NE ⊥, NE CN N ⋂=，则NM ⊥平面CFED又NM ⊂平面FBAE ，所以平面FBAE ⊥平面CFED ; 故①正确. 若平面ADE ⊥平面ABFE ，由面ADE 平面ABFE AE = 过D 作DH AE '⊥交AE 于点H '，则DH '⊥平面ABFE则过点D 有两条直线,DH DH '与平面ABFE 垂直，这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾. 所以①不正确. 故选：B11．B 【解析】 【分析】根据三次函数的图象特征，确定大致图象，进而设出()()()()()221f x x m x n x m x m =--=--+⎡⎤⎣⎦，利用导函数求出极大值点，进而求出极大值.【详解】()()32,,R f x x ax bx c a b c =+++∈为三次函数，其图象可能情况有如下5种：不等式()0f x >的解集为{},x x m x n >≠且，且1n m -=，故其具体图象为图1类，如下图：()()10f m f m =+=，由于x n =为()0f x =的二重根，故可设()()()()()221f x x m x n x m x m =--=--+⎡⎤⎣⎦，()()()()()()21211122f x x m x m x m x m x m x m '=-++---=----+-⎡⎤⎣⎦()()1331x m x m =----，令()0f x '=，解得：1x m =+，或13x m =+，且当1,3x m ⎛⎫∈-∞+ ⎪⎝⎭或()1,x m ∈++∞上，()0f x '>，当1,13x m m ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故13x m =+是()f x 的极大值点，故极大值为()21114133327f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B 12．D 【解析】 【分析】设(),P m n ，分别表示出4AB =，AP PB =由余弦定理得到：cos APB ∠sin APB ∠.【详解】设(),P m n ，则2245m n +=，其中m n -≤-≤ 因为()1,0A -，()3,0B ，所以4AB =.AP PB ===由余弦定理得：222cos 2AP BP AB APB AP BP+-∠====⨯，因为m -≤cos 0APB ∠>.所以sin APB ∠记(2245,14207m y m m m -+=-≤--+. 则()()()()22222221715143246301420714207m m m m y m m m m ---+'==--+--+所以令0y'>，解得：157m -<；令0y '<，解得：157m <≤所以min sin APB ∠==故选：D 【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ①代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值. 13．2213y x -=【解析】 【分析】算出通径，然后根据三角形面积和离心率列方程组可解.设双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>令x c =-，则22221c ya b -=，得2b y a=±，所以22b MN a=， 易知AF a c =+，所以2112()922AMNb SMN AF a c a==⨯⨯+=…①， 又222+=a b c …①，2c a =…①，联立①①①求解得：12a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以双曲线方程为：2213y x -=.故答案为：2213y x -=14．75##1.4【解析】 【分析】求出b 及a b ⋅的值，利用公式a b b⋅求出a 在b 上的投影.【详解】因为1e ，2e 是互相垂直的单位向量，所以120e e ⋅=，则()2222121122349241625b e e e e e e =+=+⋅+=，所以5b =，而()()2212112122343747b e e e e e e a e e =⋅+=⋅++⋅+= 所以a 在b 上的投影为75a b b ⋅= 故答案为：7515．815【解析】 【分析】首先写出二项式的展开式，即可得到各项系数有4个奇数、2个偶数，再根据古典概型的概率公式计算可得；解：()531x +展开式的通项为()5153rr r T C x -+=，所以()()()()()()()55432101234555555531333333x C x C x C x C x C x C x +=+++++543224340527090151x x x x x =+++++，即()531x +的展开式各项的系数中，有4个奇数、2个偶数，现从中任取两个一共有2615C =种取法，其和为奇数的有11248C C =种结果； 故其和为奇数的概率815P = 故答案为：81516．674 【解析】 【分析】先得出当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，2n b =；当8n ≥时，{}n a 是以1,1,0进行周期循环，则当8n ≥时，数列{}n n a b 每3项的和为2，然后分前8项和从8项以后分别求和即可. 【详解】()11nn b =+-,则当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，2n b =12a =，21a =-，()()11211,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++⎧->⎪=⎨-<⎪⎩3123a a a =-=，4324a a a =-=，5431a a a =-=，6453a a a =-=7652a a a =-=，8671a a a =-=，9781a a a =-=，10980a a a =-=119101a a a =-=，1211101a a a =-=，1312110,a a a =-=当8n ≥时，{}n a 是以1,1,0进行周期循环.当8n ≥时，数列{}n n a b 每3项的和为2，余下的再单独相加.()()10002244668899100010002S a b a b a b a b a b a b =++++++100072862126626743-=-+++⨯=+=故答案为：674 17．(2)32【解析】 【分析】（1）通过A 点运动的路程，求出AOB ∠的大小，再借助余弦定理求AB 边长. （2）设出角度，分别表示1x 和2y ，借助倍角公式转化成二次函数的最值问题. (1)因为点A 运动的路程为23π，1OA =，所以23AOx π∠=，又2OB =，所以3BOx π∠=，3AOB π∠=，由余弦定理2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠，所以AB (2)设2,AOx α∠=则BOx α∠=，所以(cos 2,sin 2)A αα，(2cos ,2sin )B αα，则212cos 22sin 2sin 2sin 1x y αααα+=+=-++2132sin 22α⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2α=时，12x y +取得最大值32.18．(1)1；. 【解析】 【分析】(1)连接BD ，证明EC ①平面P AB 得EC ①BD ，根据边长和角度关系可得CD ＝BE ； (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. (1)连接BD 交EC 于F ：①顶点P 在底面的投影为D ，①PD ①平面ABCD ，①EC ⊂平面ABCD ，①PD ①EC ， 又①EC ①PB ，PD ∩PB ＝P ，①EC ①平面P AB ，①BD ⊂平面P AB ，①EC ①B D. ①①ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，E 是AB 中点，①EC ＝EB ＝EA ＝BC ＝1，①三角形BEC 是等边三角形，①F 是EC 中点， 又①BE ①CD ，①易知①CDF ①①EBD ，①CD ＝BE ＝1； (2)连接AD ，则由(1)易知四边形ABCD 是等腰梯形，①ACB ＝①ADB ＝90°，故可以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0D ，()002P ,,，12C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则()0,0,2DP =，12DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，122PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11120102m DP z m DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11y =，则()3,1,0m =，设平面EPC 的法向量为()222,,n xy z=，则22222212021202n PC x y z n PE x y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取24y =，则(0,4,3n =，设二面角D －PC －E 的平面角为α， 则cos cos ,31m n m n m nα⋅====⋅+. 19．(1)选择容易题进行答题，理由见解析； (2)()172E X = 【解析】 【分析】（1）依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：即都选择容易题，都选择难题，选择一个容易题、一个难题，分别求出总得分不低于10分的概率，即可判断；（2）依题意X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，求出所对应的概率，即可得到分布列，再求出数学期望即可； (1)解：依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案： 方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.60.60.36P =⨯=； 方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=； 方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为30.60.30.18P =⨯=；因为132P P P >>，所以后两轮应该选择容易题进行答题； (2)解：依题意X 的可能取值为3、7、8、11、12、16， 则1177(3)221040P X ==⨯⨯=，1177(7)2221020P X ==⨯⨯⨯=，1133(8)221040P X ==⨯⨯=，1177(11)221040P X ==⨯⨯=，1133(12)2221020P X ==⨯⨯⨯=，1133(16)221040P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：所以()777177811121640204040204023333E X +⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯= 20．(1)单调递增区间为(0,)6π、5(,)6ππ，递减区间为5(,)66ππ；(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可. (1) 当12a =时，()()'11cos sin 22f x x x f x x =+⇒=-， 当(0,)6x π∈时，()()'0,f x f x >单调递增，当5(,)66x ππ∈时，()()'0,f x f x <单调递减，当5(,)6x ππ∈时，()()'0,f x f x >单调递增， 所以函数的单调递增区间为(0,)6π、5(,)6ππ，递减区间为5(,)66ππ；(2)()()'cos sin f x ax x f x a x =+⇒=-，因为函数()f x 恰有两个极值点，所以方程()'sin 0f x a x =-=有两个不相等的实根，设为12,x x 且12x x <，因为函数sin y x =当0x π≤≤时图象关于直线2x π=对称，所以12x x π+=，即12sin sin x x a ==， 因为0x π≤≤，所以(0,1)a ∈，当1(0,)x x ∈时，()()'0,f x f x >单调递增，当12(,)x x x ∈时，()()'0,f x f x <单调递减，当2(,)x x π∈时，()()'0,f x f x >单调递增，所以12,x x 分别是函数的极大值点和极小值点， 即111()cos M f x ax x ==+，222()cos m f x ax x ==+，于是有112222(cos )(cos )M m ax x ax x -=+-+，因为12x x π+=，所以21x x π=-， 所以11233cos M m ax x a π-=+-，而1sin x a =， 所以111123sin 3cos sin M m x x x x π-=+-设11111()23sin 3cos sin h x M m x x x x π=-=+-，102x π<<，'11()(3)cos h x x x π=-，当103x π<<时，'11()0,()h x h x <单调递减， 当132x ππ<<时，'11()0,()h x h x >单调递增，所以当13x π=时，函数有最小值，即1min 3()()32h x h π==， 因此有13()2h x ≥，即322M m -≥. 【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键. 21．(1)1(2)229620x y x y +---= 【解析】 【分析】（1）根据面积求出等边三角形的边长，进而求出点A 的坐标，从而求出p 的值；（2）在第一问基础上，设出切线方程，联立后由根的判别式求出切线方程，从而得到切点坐标，设出外接圆方程，待定系数法求出答案. (1)如图，不妨设点A 在第一象限，由题意得：AC OC ⊥，且C 为AB ，设正三角形ABO 边长为a ，则12AC a =，OC ，则212OABSAB OC =⋅==a =所以(6,A ，将其代入抛物线方程，1212p =，解得：1p =(2)设过点()1,2P -的抛物线E 的切线方程为：()12x k y +=-，与抛物线22y x =联立得：22420y ky k -++=，由()244420k k ∆=-+=，解得：2k =2k =2y =5x =+2k =2y =5x =-(5M +，(5N -，设PMN 的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则有((((((((222214205252052520D E F D E F D E F ⎧+-++=⎪⎪++++++=⎨⎪⎪-++-++=⎩，解得：962D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以PMN 的外接圆的方程为：229620x y x y +---=.22．cos sin 60θρθ+-=，2y x(2)【解析】【分析】（1）消去参数，可得直线l 的直角坐标方程，再根据cos sin x y 将其化为极坐标即可；对2cos sin ρθθ=两边同时乘以ρ，在根据cos sin x y 即可求出曲线C 的普通方程；（2）由260y y x +-==⎪⎩求出)A，将其转化为极坐标3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据点B 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据几何意义，利用面积公式，即可求出AOB 的面积. (1)解：由1,23x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）60y +-=， 所以直线lcos sin 60θρθ+-=，由2cos sin ρθθ=，得到()2cos sin ρθρθ= ，所以曲线C 的普通方程2y x ； (2)解：由260y y x +-==⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 由于直线l 与曲线C 在直角坐标系第一象限交于点A，所以点)A，将点)A转化为极坐标为3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以=OA 由于点B 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4OB =，366AOB πππ∠=-=所以11sin 4sin 226OAB SOA OB AOB π=⋅⋅∠=⋅⋅= 23．(1)33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (2)[]2,4【解析】【分析】（1）依题意可得113x x -++≤，再利用零点分段法分类讨论，分别计算可得； （2）将函数化为分段函数，画出函数草图，即可得到函数的最小值，依题意()min 312f x a ≤+， (1)解：当2a =时，()2222f x x x =-++，则()6f x ≤等价于113x x -++≤；则1113x x x ≥⎧⎨-++≤⎩或1113x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩或11113x x x -<<⎧⎨-+++≤⎩， 解得312x ≤≤或312x -≤≤-或11x -<< 综上可得3322x -≤≤，即原不等式的解集为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)解：因为2a ≥，所以()()()()222,222,222,2a x a x a a f x a x a x a a a x a x ⎧++-≥⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪-++-≤-⎪⎩，函数图形如下所示：所以当2a ≥时，()min 24f x f a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由题意可知，问题转化为()min 312f x a ≤+，即4132a a a +≤+，因为，即26802a a a-+≤，解得24a ≤≤或0a <（舍去）， 综上所述：[]2,4a ∈；。
2019-2020学年江西省南昌市高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案
第一次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x N y =∈=，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =I ( ) A.(],4-∞B.{}1,3C.{}1,3,5D.[]1,32.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，3x i e 表示的复数位于复平面中的( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知角α的终边经过点()sin 47,cos 47P °°，则()sin 13α-=°( ) A.12C.12-D. 4.已知奇函数()'f x 是函数()()f x x R ∈是导函数，若0x >时()'0f x >，则( ) A.()()()320log 2log 3f f f >>- B.()()()32log 20log 3f f f >>- C.()()()23log 3log 20f f f ->>D.()()()23log 30log 2f f f ->>5.设不等式组3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( ) A.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.平面内直角三角形两直角边长分别为,a b，间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为123,,S S S则三棱锥顶点到底面的距离为( )7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )A.33 64+ B.152C.63+ D.88.执行如图程序框图，则输出的n等于( )A.1B.2C.3D.49.函数()()()2sinx xe e xf x xeππ-+=-≤≤的图象大致为( )A B C D10.已知具有线性相关的五个样本点()10,0A，()22,2A，()33,2A，()44,2A，()56,4A，用最小二乘法得到回归直线方程1:l y bx a=+，过点1A，2A的直线方程2:l y mx n=+，那么下列4个命题中，①,m b a n>>；②直线1l过点3A；③()()552211i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑④5511i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑.(参考公式()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y ybx nx x x====---==--∑∑∑∑，a y bx=-)正确命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.设函数()1,121,1x ax af xx a x a-⎧⎛⎫<+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-≥+⎩，若()f x的最大值不超过1，则实数a的取值范围为( )A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭C.5,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.35,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭12.已知椭圆22:12412x yE+=，O为坐标原点，,A B是椭圆上两点，,OAOB的斜率存在并分别记为OAk、OBk，且12OA OBk k⋅=-，则11OA OB+的最小值为( )A.2B.13C.2D.2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()3121xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中的常数项为________________.14.平面向量()1,a m=r，()4,b m=r，若有()()20a b a b-+=r r r r r，则实数m=________________.15.在圆224x y+=上任取一点，则该点到直线220x y+-=的距离[]0,1d∈的概率为________________.16.已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的200公里处，若()24cos25αβ-=，则v=__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，满足4421S a=-，3321S a=-.(1)求{}n a的通项公式；(2)记()21logn n nb a a+=⋅，数列{}n b的前n项和为n T，求证：121112nT T T+++<….18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望.19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，124y y =-.(1)求抛物线方程；(2)点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD △面积的最小值及此时直线AD 的方程.21.已知函数()()ln f x ax bx =+在点()()1,1f 处的切线是0y =. (1)求函数()f x 的极值；(2)当()()210x mx e f x x m e e-≥+<恒成立时，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数).22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 的极坐标方程；(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()2=3R πθρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN △的面积.23.已知()223f x x a =+.(1)当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2)对于任意实数x ，不等式()212x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.第一次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二.13．4 14. 2± 15.1316.100 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=, 所以432a a =， 所以2q =. 又因为3321S a =-， 所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =. 所以12n n a -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1212log ()log (22)21n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以21(21)2n n T n n +-==， 所以22212111111111+++1121223(1)n T T T n n nL L L +++=<++++创- 11111111222231n n n=+-+-++-=-<-L .18.（Ⅰ）依题意得2240(12202820) 3.333 2.70640403248K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”（Ⅱ）从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中抽人数分别为2，3，2… 依题意随机变量X 的所有可能取值为0123，，，2134343377418(0),(1),3535C C C P X P X C C ======1234333377121(2),(3)3535C C C P X P X C C ====== 所以18121459()123353535357E X =???= 19. 【解析】（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD AO ==，所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====，同理13CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥PA ， 所以HO EO ⊥，1HO =，所以13EH PB ==，同理，223FG PA ==，过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则GH ==【法二】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î, 平面PAB I 平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ， 因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∽D D ，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE D ∽AOF D ，AF BE =,所以2BEEC =， 同理2AF FD =,2PG GD =，123,233EF AB EH PB FG AP ====== 如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ==I I 所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =, 在PMN D 中,所以MN ==，所以GH =（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系(3,0,0),(0,2,0),(3,2,0),(2,2,1)B F E H ,(1,2,1),(2,0,1)BH FH =-=u u u r u u u r , 设平面BFH 的法向量为(,,)n x y z =r, 2020n BH x y z n FH x z ìï?-++=ïíï?+=ïîr u u u r r u u u r ,令2z =-，得3(1,,2)2n =-r , 因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量(0,1,0)m =u r3cos ,||||m nm n m n ×===u r ru r r u r r ，二面角B FH E -- 20.【解析】（Ⅰ）依题意(,0)2pF ， 当直线AB 的斜率不存在时，2||4,2AB p p =-=-= 当直线AB 的斜率存在时，设:()2p AB y k x =-由22()2y pxpy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2220p y y p k --= 由124y y =-得24p =，2p =，所以抛物线方程24y x =.（Ⅱ）设00(,)D x y ，2(,)4t B t ，则(1,)E t -，又由124y y =-，可得244(,)A t t-因为2EF t k =-，AD EF ⊥，所以2AD k t =，故直线2424:()AD y x t t t+=- 由2248240y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 化简得2216280y ty t ---=，所以10102162,8y y t y y t +==--. 所以10|||AD y y =-==设点B 到直线AD 的距离为d，则22222816|4||8|t t t d ---++== 所以1||162ABD S AD d ∆=⋅=≥，当且仅当416t =，即2t =± 2:30t AD x y =--=时，, 2:30t AD x y =-+-=时，.21. 【解析】（Ⅰ）因为()ln()f x ax bx =+，所以1()a f x b b ax x¢=+=+， 因为点(1,(1))f 处的切线是0y =，所以(1)10f b ¢=+=，且(1)ln 0f a b =+= 所以,1a e b ==-，即()ln 1f x x x =-+（(0,)x ??） 所以11()1xf x x x-¢=-=，所以在(0,1)上递增，在(1,)+?上递减 所以()f x 的极大值为(1)ln 10f e =-=，无极小值.（Ⅱ）当21()x mx ef x x ee-?(0)m <在(0,)x ??恒成立时, 由（Ⅰ）()ln 1f x x x =-+， 即ln 112x mx x e x e+?+(0)m <在(0,)x ??恒成立， 【法一】设ln 11(),()2e e x mx x g x h x x +==+-，则(1)()e x m x g x -'=，2ln ()xh x x '=-， 又因为0m <，所以当01x <<时，()0,()0g x h x ''<>；当1x >时，()0,()0g x h x ''><. 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)emg x g ==； ()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 1()(1)1eh x h ==-.所以(),()g x h x 均在1x =处取得最值，所以要使()()g x h x ≥恒成立， 只需min max ()()g x h x ≥，即11e em ≥-，解得1e m ≥-，又0m <， 所以实数m 的取值范围是[10)e ，-. 【法二】设ln 11()2x x mx g x x e e +=--+（(0,)x ??），则2ln (1)()xx m x g x x e --¢=+当01x << 时，ln 0x ->，10x -<，则2ln 0x x ->，(1)0xm x e->，即()0g x ¢> 当1x > 时，ln 0x -<，10x ->，则2ln 0x x -<，(1)0xm x e-<，即()0g x ¢< 所以()g x 在(0,1)x Î上单调递增，在(1,)x ??上单调递减. 所以max 1()(1)120m g x g e e ==-+-?，即11m e e?，又0m < 所以实数m 的取值范围是[10)e ，-. 22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=+⎩2，得普通方程22(2)4x y -+=，所以极坐标方程2222cos sin 4sin 0r q r q r q +-=，即4sin r q =. （Ⅱ）直线()1π:R 6l q r =?与曲线C 的交点为,O M ，得||4sin 26M OM pr ===，又直线()22π:R 3l q r =?与曲线C 的交点为,O N ，得2||4sin 3N ON pr ===且2MON π∠=，所以11||||222OMN S OM ON D ==创. 23. 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-?，0223x x x ì<ïïíï-+-?ïî 得13x ?；02223x x x ì＃ïïíï+-?ïî 得12x ＃；2223x x x ì>ïïíï+-?ïî 得2x >，所以()|2|2f x x +-?的解集为1(,][1,)3-?+?U . （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立， 又因为222|21||23||2123||31|x x a xx a a +-+?--=-，要使原不等式恒成立，则只需2|31|2a a -<，当0a <时，无解；当03a＃时，2132a a -<，解得133a <?；当3a >时，2312a a -<，解得13a <<. 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.。
2023年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则( )A. 2B.C.D.3. 如图，一组数据，，，…，，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，4.已知，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. “米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线：，：构造了一个类似“米“字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点P在抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，若，则( )A. 2B. 3C. 4D. 66. 执行如图所示的程序框图，则输出a的结果为( )A.B.C.D.7. 已知，，，则( )A. B. C. D.8.圆锥的底面半径为1，母线长为2，是圆锥的轴截面，F是OA的中点，E为底面圆周上的一个动点异于A，B两点，则下列说法正确的是( )A. 存在点E，使得B. 存在点E，使得C. 平面D. 三棱锥体积最大值为9. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为( )A. B. C. D.10. 已知一艘圆：，直线l：是它们的一条公切线，则( )A. B. 1 C. D. 211. 已知函数，若对于任意的，不等式恒立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.12. 如图，一块三角形铁片ABC，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D，，如果过点D作一条直线分别交AB，AC于点E，F，并沿直线EF截掉，则剩下的四边形EFCB面积的最大值为( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则______ .14. 双曲线C：的渐近线方程为______ .15. 在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，点M在侧棱PC上，点Q在侧棱AP上运动，若三棱锥的体积为定值，则______ . 16. 潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻单位：小时与对应水深单位：米的函数关系式为某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度船底与水面的距离为7米，船底与海底距离不小于米时就是安全的，该船于2点开始卸货一次最长时间不超过8小时，同时吃水深度以米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为______ .17. 已知正项数列满足，，，且求k的值；求数列的通项公式.18. 已知直四棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点E为的中点.证明：平面；求二面角的余弦值.19. 已知函数若时，函数有3个零点，求b的取值范围；若，，方程有解，求a的取值范围.20. 某班准备购买班服，确定从A，B两种款式中选出一种统一购买，现在全班50位同学赞成购买A，B款式的人数分别为20，30位，为了尽量统一意见，准备在全班进行三轮宣传，每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他赞成款式的理由，假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞成该同学所选款式的同学会有5位改变意见，赞成该同学所选款式.计算第二轮选到的同学赞成A款式的概率.设经过三轮宣传后赞成A款式的人数为X，求随机变量X的期望.21. 已知椭圆E：过，，，四个点中的三个点.求椭圆E的方程；过点的直线与椭圆E交于P，Q两点，直线AP，AQ分别交椭圆E于M，N两点，求直线MN的斜率.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：当时，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.直线l与曲线C交于A，B两点，若，求的值.23. 已知，且求证：；求的最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，B，由此能求出本题考查交集运算，考查了对数及二次函数的性质，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以，故故选：根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的运算公式进行求解即可．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义和复数模的运算公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得：，则，故，，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故故选：根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断．本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当，时，，当且仅当时取等号，由可得，即，若，则不一定成立，例如，时，充分性不成立，当时，即，此时，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：由已知结合基本不等式及对数运算性质分别检验充分性及必要条件即可判断．本题以充分必要条件为载体，主要考查了基本不等式及对数的运算性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：过点P 作于点M ，，，则，又点P 在抛物线：上，，则，在中，，，，故选：过点P 作于点M ，根据题意得到，代入抛物线：，得到，利用勾股定理即可求解．本题考查了抛物线的性质，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：，，第一个循环：，，第二个循环：，，第三个循环：，，此时跳出循环，输出，故选：根据程序框图进行循环，直到符合输出a，再由二倍角公式计算求值．本题考查程序框图，考查三角函数中的二倍角公式的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：，故，，，，，，，故故选：根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A，因为AB为底面圆的直径，所以，假设存在点E，使，因为，所以平面AEF，所以，又因为底面圆，所以，且，所以平面，所以平面平面，这显然不成立，假设错误，即选项A错误；对于B，因为是AB的中点，F是OA的中点，所以，若，则，这与矛盾，所以BO与EF不平行，选项B错误；对于C，因为是AB的中点，F是OA的中点，所以，又因为平面，所以平面，选项C正确；对于D，因为的面积最大值是，所以三棱锥体积的最大值为，所以选项D错误．故选：A 中，假设存在点E，使，可证明平面AEF，平面，得出平面平面，由此判断假设错误；B中，假设，由中位线定理得出，可证明，由此判断假设错误；C 中，由可证明平面，判断选项C正确；D中，求出的面积最大值，即可求出三棱锥体积的最大值．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：，故选：变形，然后根据题意，计算即可得解．本题考查二项式定理的应用，近视值的估算，属基础题．10.【答案】A【解析】解：由圆：，知圆心，半径为，由题意圆心到直线l：的距离，则，对任意恒成立，则，解得，，故故选：由题意圆心到直线l：的距离，则，对任意恒成立，列式求解即可．本题主要考查了直线与圆的位置关系，属中档题．11.【答案】D【解析】解：因为函数，且不等式，所以，即，所以，所以，即，所以不等式在上恒成立，得，所以实数a的取值范围是故选：根据函数解析式得出不等式可化为，由幂函数的性质得出，由此求出a的取值范围．本题考查了幂函数的性质与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．12.【答案】A【解析】解：因为，则，因为，，可得，而，于是，可得，所以，时取等号，所以，，时取等号，即剩下的四边形EFCB面积的最大值为故选：由题意可得，根据已知利用三角形的面积公式可求，利用三角形面积公式，二次函数的性质可得，时取等号，进而即可求解剩下的四边形EFCB面积的最大值．本题考查了三角形的面积公式以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：因为，，所以，，因为，所以，解得故答案为：求出向量、的坐标，利用平面向量的模长公式可得出关于m的等式，解之即可．本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意，令，解得，即双曲线C：的渐近线方程为故答案为：由即可求解渐近线方程．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由于三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值转换顶点，而Q在AP上运动，所以AP上的点到平面BDM的距离都相等，所以平面BDM，记平面PAC与平面BDM的交点为O，由平面BDM，平面BDM，平面PAC，所以，故，由于，所以∽，所以，所以故答案为：利用等体积得到三棱锥的体积为定值转换顶点，平面BDM，记平面PAC与平面BDM的交点为O，利用∽即可求解．本题考查了三棱锥体积的应用，属于中档题．16.【答案】6【解析】解：船底与海底距离等于水深减去吃水深度，设距离为，则，，可得，所以，，，所以，，使得，，，，，所以在，单调递增，单调递减，又，，，所以时，，则该船第一次停止卸货的时刻为6点．故答案为：设距离为，由题意可求，，求导可得，可得在，单调递增，单调递减，又，，，即可求解该船第一次停止卸货的时刻为6点．本题主要考查三角函数知识的应用问题，解决本题的关键在于求出函数解析式，考查了函数思想，属于中档题．17.【答案】解：当时，，当时，；因为，所以，则，令，所以，则是等比数列，因为，，所以，所以，则【解析】运用代入法进行求解即可；通过换元法、等比数列的定义，结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前n 项和公式进行求解即可．本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：连接AC 交BD 于点F ，连接，在直四棱柱中，，四边形为平行四边形，，，底面ABCD 为棱形，点F 为AC 的中点，点E 为的中点，即点E 为的中点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面方法一：取AE 的中点G ，连接EF ，BG ，FG ，在直棱柱中，平面ABCD，，，平面，则，在中，，且点F为BD的中点，，又，而点G为AE的中点，，平面BFG，即，则为二面角的平面角，在等腰直角三角形AEF中，，在直角三角形BFG中，，即二面角的余弦值为方法二：如图，以FA，FB，FE分别为分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，在中，，且点F为BD的中点，，则，，，，，，设为平面BAE的法向量，则，令，得，平面CAE的法向量，设二面角为，则【解析】连接AC交BD于点F，连接，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面法一：取AE的中点G，连接EF，BG，FG，推导出为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．法二：以FA，FB，FE分别为分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面平行的判定与性质、二面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：若时，，函数有3个零点，即有3个根，也即有3个根，即与的图象有三个交点，，由，解得，由，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，时，，作出函数的大致图象，如图所示：数形结合可得，即b的取值范围是若，，方程有解，则有解．设，则，设，则恒成立，故在R单调递增，因为，，所以存在唯一的，使得，所以，且时，，时，，即在单调递减，在单调递增，时，，时，，故要使有解，只需，故，故，解得，而在上单调递增，故，又因为，所以，即a的取值范围为【解析】由有3个零点，可得与的图象有三个交点，结合导数分析函数的单调性，可得函数的大致图象，数形结合即可得解；由已知可得有解，设，则，设，利用导数可得在R单调递增，结合，，可得，可得函数的单调性，由即可求解a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数解决函数零点与方程根的问题，考查运算求解能力，属于难题．20.【答案】解：记第i轮宣传选中的同学是赞成A款式的事件为，第i轮宣传选中的同学是赞成B款式的事件为，设第二轮选到的同学赞成A款式的概率为，，，；经过三轮宣传后赞成A款式的人数X所有可能取值为5，15，25，35，则，，，，所以分布列为X 5 15 25 35P期望为【解析】利用概率的乘法公式计算出第二轮选到的同学赞成A款式的概率；求出经过三轮宣传后赞成A款式的人数X所有可能取值，分别计算其概率，可列出分布列求出期望．本题考查概率的乘法公式，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.【答案】解：根据椭圆的对称性可知，椭圆一定过，，若过点，则，将代入椭圆的方程可得，解得，这时椭圆的方程为：；若过点，则，将代入椭圆的方程可得，，解得，与矛盾，综上所述：椭圆的方程为：；设，，，，当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，因为点在该直线上，则有，设直线AP的方程为，联立，整理可得：，可得，同理可得，所以，，所以直线MN的斜率，所以直线MN的斜率为【解析】由椭圆的对称性可知，在椭圆上，再分别讨论A，在椭圆上的情况，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，设直线AP的方程，与椭圆的方程联立，可得M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率的表达式，整理可得直线MN的斜率．本题考查求椭圆的方程及椭圆的对称性的性质的应用，直线与椭圆的综合应用，直线斜率的求法，属于中档题．22.【答案】解：当时，直线l的参数方程为为参数，消去参数t得，即直线l的普通方程为，，，，，，故曲线C的直角坐标方程为；将直线l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程中得，化简得，设A，B两点对应的参数为，，则，，，解得【解析】根据加减消元法，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；根据直线参数方程参数的意义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．23.【答案】证明：因为，且，所以，故，即，当且仅当时等号成立；解：因为，，且，所以，则，，所以，当且仅当时，即当时等号成立，所以M最小值为【解析】由已知条件可得出，等式两边平方，并结合基本不等式可证得结论成立；分析可知，，可得出，展开后利用基本不等式可求得M的最小值．本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．。
2020届江西省南昌市第一次模拟测试数学(理)试题(解析版)
解：将u=lny，v=(x 4)2代入线性回归方程 = 0.5v+2得：
，即 ，
当 时， 取到最大值2，
因为 在 上单调递增，则 取到最大值 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.
8．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（）
【详解】
解：由x2+2x-8>0，得x＜-4或x＞2，
∴A={x|x2+2x-8>0}＝{x|x＜-4或x＞2}，
由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，
∴B={x|log2x<1}＝{x|0＜x＜2}，
则 ，
∴ .
故选：D.
【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.
∴ ＝(0，1)，将 绕原点O逆时针旋转 得到 ，
设 ＝(a，b)， ，
则 ，
即 ，
又 ，
解得： ，
∴ ，
对应复数为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
3．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）
A．16B．12C．8D．6
【答案】B
【解析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题(图片版)
NCS20190607 项目第一次模拟测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案BCCBCDDACDAA二、填空题 : 本大题共 4 小题 , 每小题 5 分，满分 20 分．13． 114.3 15. 716.332392三．解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题 -21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 题、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．【解析】（Ⅰ）由已知 f (0) 2 sin3 ，又 | |，所以，所以 f ( x)2 sin( x) ⋯⋯⋯ 3 分233由 f (2)0 ，即 2sin(2) 0 ，所以 23k ， kZ ，k3解得， kZ ，而 0，所以.⋯⋯⋯ 6 分2362（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f ( x)2 sin(x ) ， 令 f ( x) 3 ，3 32得x 2k或 x2kZ ，33 ， k3 333所以 x6k 或 x 6k 1 ，由图可知，B(1, 3) .⋯⋯⋯ 8 分 所以 CA ( 2,3), CB( 1, 3) ，所以 | CA |7, |CB | 2 ，⋯⋯⋯ 10 分所以 cosACBCA CB 55 7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分.|CA || CB |2 7 1418．【解析】（Ⅰ）证明：因为 CC 1 底面 ABCD ，所以 CC 1BD .因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD AC .又 AC CC 1 C ，所以 BD平面 ACC 1 .⋯⋯⋯ 3 分又由四棱台 ABCDA 1B 1C 1D 1 知， A 1 , A, C, C 1四点共面 .所以 BDAA 1 .⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）如图，设AC 交 BD 于点 O ，依题意， A 1C 1 // OC 且 A 1C 1 OC ，所以 A 1O // CC 1 ，且 A 1OCC 1 . 所以 A 1O底面 ABCD .以 O 为原点， OA,OB,OA 1 所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 .则 A(2 3,0), A 1 (0,0,4), C 1( 2 3,0,4), B(0,2,0) ，由 A 1B 11AB 得， B 1 ( 3,1,4) .因为 E 是棱 BB 1 的中点，所以 E(3 , 3 ,2) .⋯⋯⋯ 8 分22 2所以 EA 1 ( 3,3,2), A 1C 1 ( 2 3,0,0) .n 1x y z ) 为平面 EA 1C 1n 1 A 1C 10, ，即2 3x 0,设 的法向量，则3 3 ，( , ,n 1 EA 1xy 2z 02 2取 z3 ，则 n 1 ( 0,4,3) .又因为 n 2(0,1,0) 为平面 A 1C 1C 的法向量，所以 cosn 1, n 2n 1 n 24E A 1C 1 C 为锐二面角，| n 1 || n 2 | ， 又由图可知，二面角5所以二面角 EA 1C 1 C 的余弦值为4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5B 型节能灯使用寿命超过3600 小时的频率为 0.2 ，19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，用频率估计概率，得B 型节能灯使用寿命超过3600 小时的概率为 1.4 ，.5所以一年内一支 B 型节能灯在使用期间需更换的概率为⋯⋯⋯ 3 分5所以一年内 5 支恰好更换了支灯的概率为2421 3322 C 5 ( 5 )( 5 ) 625 ..⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）共需要安装 5 支同种灯管，若选择 A 型节能灯，一年共需花费 5 120 3600 5200.75 103870 元；⋯⋯⋯ 7 分若选择 B 型节能灯，由于B 型节能灯一年内需更换服从二项分布B(5, 4) ，545故一年需更换灯的支数的期望为4 支，⋯⋯⋯ 9 分5故一年共需花费 (545) 25 3600 5 55 0.75 10 3967.5 元 .⋯⋯⋯ 11 分5因为 967.5 870 ，所以该商家应选择 A 型节能灯 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20．【解析】（Ⅰ）椭圆 E 与圆 O ： x y 1b 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22相切，知2又椭圆 E 上动点与圆 O 上动点间距离最大值为26，即椭圆中心 O 到椭圆最远距离为6 ，22得椭圆长半轴长 a6 ，即 a23 ；22所以轨迹 E 的方程为2x 2y21 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分3（Ⅱ）①当 l 1 与 x 轴重合时， l 2 与圆相切，不合题意 .②当 l 1x 轴时， M ( 1,0) ， l 1 : x1 ， | AB |3 ，此时 S ABM1 2 3 2 2 323 .⋯ 6 分3③当 l 1 的斜率存在且不为0 时，设 l 1 : xmy 1， m 0 ，则 l 2 : x1 y1，x my1, m设 A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，由 2x2y2 1 得， (2m23) y24my1 0 ，所以 | AB | 1 m2| y 2y 1 | 2 3 m2 1 2m 21 .2m 23由x111) y2 20 ，解得 y M2m⋯⋯⋯⋯ 9 分2 my 1,得， (2ym 2，x y 21mm1所以 | MN | 11 | y M |21 ，m 2m2所以 S ABM1| AB || MN | 1 2 3 m 2 1 2m 2 1222 2m 23 m 212 3 2m 2123，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2m 2322 12m2m21因为 2m2221 1， 所以 2m 12m 22 2 ，1当且仅当 m2时取等号 .所以 S ABM6 2 362（ 2 ）23综上， ABM 面积的最大值为6，此时直线 l 1 的方程为 x2 y 1.⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21221．【解析】（Ⅰ） f ( x) e x(ln x x a 1) ，⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分1 x令 g(x) ln x x a 1, x (1, e) ，则 f ( x) e xg ( x) ，xg (x) x 2 x 1 0 恒成立，所以 g(x) 在 (1, e) 上单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分x 20 ，所以 f ( x) 0 在 (1, e) 内无解 .所以 g( x) g(1) a 1所以函数 f ( x) 在区间 (1, e) 内无极值点 .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）当 aln 2 时， f ( x) e x( x ln x ln 2) ，定义域为 (0,) ，f ( x)e x(ln xx1 ln2 1) ，令 h( x) ln x x 1 ln 2 1，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 x h( 1) 1 x由（Ⅰ）知， h( x) 在 ( 0, ) 上单调递减，又 0 ， h(1) ln 2 1 0 ，(1,1) ，使得 h(x 1 ) 2 2所以存在 x 1 0 ，且当 x (0, x 1) 时， h(x) 0 ，即 f ( x) 0 ，2当 x (x 1, ) 时， h( x) 0 ，即 f (x) 0 .⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 所以 f (x) 在 (0, x 1 ) 上单调递增，在 ( x 1, ) 上单调递减，所以 f (x) max f ( x 1 )e x1( x 1ln x 1 ln 2) .⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分由 h(x 1 )0 得 ln x 1 x 11ln 2 1 0 ，即 ln x 1 x 1ln 2 11，所以 f (x 1) ex 1(11) ， x 1 ( 1,1)⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分x 12令 r (x) e x(11), x ( 1,1) ，则 r ( x) e x( 121 1) 0 恒成立，所以 r (x) 在 ( 1,1) 上x 2x x 2单调递增，所以er ( 1) r (x) r (1)0 ，所以 f ( x)max0，⋯⋯⋯ 11 分2111e又因为 f (e 2(ln 2 ln 2)1 ，) 2 22所以 1 f (x )max 0 ， 所以若 f ( x) k (k Z ) 恒成立，则 k 的最小值为 0 . ⋯12 分22．【解析】（Ⅰ）由参数方程x 4 2 cos，得普通方程 (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 ，y 3 2 sin所以极坐标方程 r2- 8r cosq-6r sin q + 21= 0 .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 （Ⅱ）设 点 A, B 对应的参数分别为t 1 、 t 2 ， 将x 2 t ,y 1 代入得 ( x - 4)2 + ( y - 3)2= 43tt2( 3 1)t1 0 ， 所以 t 1t 21，⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分x1x 2 t ,2(2t),2直线 l:（ t 为参数）可化为，13y3ty 1(2t )2所以 | MA | | MB || 2t 1 || 2t 2 | 4| t 1t 2 | 4 .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分23．【解析】（Ⅰ）因为 f ( x) = | x + m 2 | + | x - 2m- 3|? | ( x m 2) - ( x - 2m - 3)|， 所以 f (x) | m 22m 3| (m1)22 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）由已知，f(2)m 22| 2 1 |，m①当 m1 时， f (2) ￡16 等价于 m 22m 316 ，即 (m 1)214 ，2解得 141m14 1 ，所以1 m14 1；⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分21②当 m时， f (2) ￡16 等价于 m 22m 1 16 ，2解得 3 m 5，所以 3 m1 .⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分2综上，实数 m 的取值范围是 [ 3, 14 1] .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分。
江西省南昌市高三数学第一次模拟考试试题 理(扫描版)
NCS20170607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 C C D D C B B DB A D A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．120; 14. 32; 15. (32)π+; 16.3102三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=，------- 2分即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =．------------ 4分 ∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．------------ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.------------ 7分∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦------------ 9分22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=--．------ 12分 18.【解析】（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）．------------ 4分 （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，------------ 6分则：3464(0)()5125P X ===，1231424(10000)()105125P X C ==⨯⨯=221233141410827(20000)()()()()105105500125P X C C ==⨯⨯+⨯⨯==31132111449(30000)()10101051000P X C C ==+⨯⨯⨯⨯=222233111427(40000)()()10101051000P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=223113(50000)()10101000P X C ==⨯⨯=311(60000)()101000P X ===．∴ X 的分布列为X0 10000 20000 30000 40000 50000 60000P64125 24125 27125 491000 271000 31000 11000 ------------ 10分64482749273101000020000300004000050000600001252501251000100010001000EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯9000=（元）．------------ 12分 19.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ， 如图所示：有1,3,23AE DE BD ===∴在ABD ∆中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .---5分 （Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件2AD DC BC ===，则1AE DE ==，3PE =，23BD =． 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,23,0)B ，(1,0,3)P ．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示： 则在Rt CDF ∆中，有3CF =，1DF =，∴(1,3,0)C -．------- 7分 （另解:可不做辅助线，利用2AB DC =求点C 坐标）∴(1,3,0)CD =-，(1,0,3)PD =--，设平面PDC 的法向量1111(,,)n x y z = 则1111113030n CD x y n PD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取13x =，则11y =，11z =-， ∴面PDC 的法向量1(3,1,1)n =-．------- 9分同理有(0,0,3)PE =-，(1,23,3)PB =--，设平面PBE 的法向量2222(,,)n x y z = 则222222302330n PE z n PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ， 取21y =，则223x =，20z =，∴面PBE 的法向量2(23,1,0)n =．--10分 设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，∴123231765cos cos ,65311121n n θ⨯+=<>==++⨯+． 即平面PEB 与平面PDC 所成二面角的余弦值为76565．------- 12分 20.【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ①又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ②联立方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为22143y x +=．------- 5分 （Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上．假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为34430x y +-=，此时点N 833(,)55，则联立直线1:32230A M l x y -+=和直线2:332630A N l x y +-=可得点33(1,)2G 据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明： ------- 7分设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*）------- 9分因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N yl y x x =--，联立两直线方程得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证：1212322y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+，即证1212410()160x x x x -++= ------- 11分将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++ 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．------- 12分 方法二：设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N 三点共线，所以221222121222221212123(1)3(1)4444(4)(4)(4)(4)x x y y y y x x x x x x --=⇒=⇒=------， 整理得：121225()80x x x x -++= ------- 8分 又1,,A M G 三点共线，有：313122y yx x =++ ①又2,,A N G 三点共线，有：323222y yx x =-- ② 将①与②两式相除得：222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===-------- 即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++，------- 10分 将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得：2332()92x x +=- 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．------- 12分 方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y .由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.------- 7分设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，2212121221214||()4,34k x x x x x x k --=+-=+由1,,A M G 三点共线，有：313122y yx x =++ ①由2,,A N G 三点共线，有：323222y y x x =-- ②①与②两式相除得：32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====------++-+------- 10分 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．------- 12分 21.【解析】（Ⅰ）'()2(24)2(2)(22)2(2)x x x f x e x e a x x e a x =+-++=-++，依题意：当0x >时，函数'()0f x ≥恒成立，即(22)22xx e a x -≥-+恒成立，记(22)()2xx e g x x -=+，则22(2)(22)'()(2)x x xe x x e g x x +--==+22(222)0(2)x x x e x ++>+，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=-，所以21a -≤-，即12a ≥；--- 6分 （Ⅱ）因为['()]'220x f x xe a =+>，所以'()y f x =是(0,)+∞上的增函数，又'(0)420f a =-<，'(1)60f a => ，所以存在(0,1)t ∈使得'()0f t = 且当0a →时1t →，当12a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)．------- 8分 又当(0,)x t ∈，'()0f x <，当(,)x t ∈+∞时，'()0f x >， 所以当x t =时，2min()()(24)(2)tf x f t t e a t ==-++．且有(1)'()02tt e f t a t -=⇒=-+ ∴2min ()()(24)(1)(2)(2)t t t f x f t t e t t e e t t ==---+=-+-．------- 10分记2()(2)t h t e t t =-+-，则22'()(2)(21)1)t t th t e t t e t e t t =-+-+-+=--（-0<，所以(1)()(0)h h t h <<，即最小值的取值范围是(2,2)e --．------- 12分 22.【解析】（Ⅰ）曲线1C 参数方程为212x a t y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，------- 2分由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t ，联解24212y xx a t y t ==+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得2222140t t a -+-=要有两个不同的交点，则2(22)42(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有12122142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ------- 7分 ∴当122t t =时，有21222123211036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意．------- 8分 当122t t =-时，有212221221442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=-=-⋅=-=⎩，符合题意．------- 9分 综上所述，实数a 的值为136a =或94．------- 10分 23.【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112ax x -+-≤． 而由绝对值的几何意义知||1|1|22aa x x -+-≥-，------- 2分 由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤． ∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a< ∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------- 7分如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a+∞单调递增，∴min ()()1322a af x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 10分。
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江西省南昌市2018届高三数学第一次模拟考试试题理
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B. C.
D.
2.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C.
D.
4.已知奇函数是函数是导函数，若时，则( )
A.
B.
C.
D.
5.设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实
数的取值范围为( )
A. B. C.
D.
6.平面内直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为( )
A. B.
C. D.
7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )
A. B. C.
D.8
8.执行如图程序框图，则输出的等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
9.函数的图象大致为( )
A B C
D
10.已知具有线性相关的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程，过点，的直线方程，那么下列4个命题中，
①；②直线过点；③
④.(参考公式，
)
正确命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11.设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为
( )
A. B. C.
D.
12.已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )
A. B. C.
D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.展开式中的常数项为________________.
14.平面向量，，若有，则实数
________________.
15.在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为
________________.
16.已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的200公里处，若，则
__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等比数列的前项和为，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：.
18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.
(1)完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；
(2)从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中
选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.
19.如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，，
，，，过点作平面平行于平面，平面与棱，，，分别相交于点，，，.
(1)求的长度；
(2)求二面角的余弦值.
20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于
，两点，.
(1)求抛物线方程；
(2)点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.
21.已知函数在点处的切线是.
(1)求函数的极值；
(2)当恒成立时，求实数的取值范围(为自然对数的底数).
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点
为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.
23.已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A C C C B C A B A C
13． 14. 15. 16.
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.【解析】（Ⅰ）设的公比为，由得，,
所以，所以. 又因为，
所以，所以. 所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，
所以
.
18.（Ⅰ）依题意得
有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”
（Ⅱ）从乙班分数段中抽人数分别为2，3，2…
依题意随机变量的所有可能取值为
N z
y
x
O
D C
B A
P E
F
G
H
M
N
z
y
x
E
O H C
D
B A
F
G P
所以
19. 【解析】（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为
平面，平面
平面
， ，平面
平面
，所以
，同理
，
因为∥
，
所以∽，且， 所以，
，
同理， 连接，则有
∥
， 所以，，所以，同理，
，
过点
作∥
交
于
，则
【法二
】因为平面，平面平面
，
,
平面
平面
，
根据面面平行的性质定理，所以，同理
， 因为,所以，且
,
又因为∽，
,所以
，
同理
,
，
如图：作,
所以
，
故四边形为矩形，即,
在中,所以，所以. （Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系,
, 设平面的法向量为,
,令，得,
因为平面平面，所以平面的法向量
，二面角的余弦值为
20. 【解析】（Ⅰ）依题意，
当直线的斜率不存在时，
当直线的斜率存在时，设
由，化简得
由得，，所以抛物线方程.
（Ⅱ）设，，则，又由，可得
因为，，所以，故直线
由，化简得，所以
.
所以
设点到直线的距离为，则
所以，当且仅当，即
, .
21. 【解析】（Ⅰ）因为，所以，
因为点处的切线是，所以，且
所以，即（）
所以，所以在上递增，在上递减
所以的极大值为，无极小值.
（Ⅱ）当在恒成立时, 由（Ⅰ），
即在恒成立，
【法一】设，则，，
又因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，；
在上单调递增，在上单调递减，.
所以均在处取得最值，所以要使恒成立，
只需，即，解得，又，
所以实数的取值范围是.
【法二】设（），则
当时，，，则，，即
当时，，，则，，即
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，即，又
所以实数的取值范围是.
22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程，得普通方程，
所以极坐标方程，即.
（Ⅱ）直线与曲线的交点为，得，
又直线与曲线的交点为，得，
且，所以.
23. 【解析】（Ⅰ）当时，，
得；得；得，
所以的解集为.
（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，
又因为，
要使原不等式恒成立，则只需，
当时，无解；当时，，解得；当时，，解得.
所以实数的取值范围是.。