苏教版版高考数学一轮复习第二章函数指数与指数函数教学案

１．根式

（１）n次方根的概念

１若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞１且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

２a的n次方根的表示

x n＝a⇒

（２）根式的性质

１（错误!）n＝a（n∈N*，n＞１）．

２错误!＝错误!

２．有理数指数幂

（１）幂的有关概念

３0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．

（２）有理数指数幂的运算性质

１a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）；

２（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；

３（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．

３．指数函数的图象与性质

y＝a x a＞１0＜a＜１

图象

定义域R

值域（0，＋∞）

性质

过定点（0,１）

当x＞0时，y＞１；

当x＜0时，0＜y＜１

当x＞0时，0＜y＜１；

当x＜0时，y＞１在R上是增函数在R上是减函数

错误!

１．指数函数图象的画法

画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!.

２．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数（１）y＝a x，（２）y＝b x，（３）y＝c x，（４）y＝d x的图象，底数a，b，c，d与１之间的大小关系为c＞d＞１＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x（a ＞0，a≠１）的图象越高，底数越大．

３．指数函数y＝a x（a＞0，a≠１）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞１与0＜a ＜１来研究．

[答案]（１）×（２）×（３）×（４）×

二、教材改编

１．函数f（x）＝２１—x的大致图象为（）

A B C D

A[f（x）＝２１—x＝错误!错误!，又f（0）＝２，f（１）＝１，故排除B，C，D，故选Ａ．]２．若函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点P错误!，则f（—１）＝________.

错误![由题意知错误!＝a２，所以a＝错误!，

所以f（x）＝错误!错误!，所以f（—１）＝错误!错误!＝错误!.]

３．化简错误!（x＜0，y＜0）＝________.

[答案] —２x２y

４．已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是________．c＜b＜a[∵y＝错误!错误!是减函数，

∴错误!错误!＞错误!错误!＞错误!错误!，

则a＞b＞１，

又c＝错误!错误!＜错误!错误!＝１，

∴c＜b＜a.]

考点１指数幂的运算

指数幂运算的一般原则

（１）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．

（２）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

（３）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．（４）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点２指数函数的图象及应用

（１）与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．

（２）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．（１）函数f（x）＝a x—b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）

Ａ．a＞１，b＜0

Ｂ．a＞１，b＞0

Ｃ．0＜a＜１，b＞0

Ｄ．0＜a＜１，b＜0

（２）若曲线y＝|３x—１|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．

（１）D（２）（0,１）[（１）由f（x）＝a x—b的图象可以观察出，函数f（x）＝a x—b在定义域上单调递减，所以0＜a＜１．函数f（x）＝a x—b的图象是在f（x）＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0．故选Ｄ．

（２）曲线y＝|３x—１|的图象是由函数y＝３x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|３x—１|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是（0,１）．]

[母题探究]

１．（变条件）若本例（２）条件变为：方程３|x|—１＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．

（0，＋∞）[作出函数y＝３|x|—１与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是（0，＋∞）．

]

２．（变条件）若本例（２）的条件变为：函数y＝|３x—１|＋m的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________．

（—∞，—１] [作出函数y＝|３x—１|＋m的图象如图所示．

由图象知m≤—１，即m∈（—∞，—１]．]

应用指数函数图象的技巧

（１）画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!.

（２）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．（３）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a与１的大小关系不确定时应注意分类讨论．

１．函数f（x）＝１—e|x|的图象大致是（）

A B

C D

A[f（x）＝１—e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥１，∴f（x）≤0，符合条件的图象只有Ａ．]

２．函数y＝a x—b（a＞0，且a≠１）的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围是________．（0,１）[因为函数y＝a x—b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝a x—b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0—b＝１—b，由题意得错误!解得错误!故a b∈（0,１）．]

３．已知实数a，b满足等式２0１9a＝２0２0b，下列五个关系式：１0＜b＜a；２a＜b＜0；３0＜a＜b；４b＜a＜0；５a＝b.其中不可能成立的关系式有________（填序号）．