高中数学大一轮复习讲义(文科)第八章专题四

2018-2019学年高考数学(文科)一轮复习通用版：第八单元数列

第八单元数列教材复习课“数列”相关基础知识一课过1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[小题速通]1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21的值为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A.12 B ．3 C ．－12D.23解析：选D由a1＝3，a n＋1＝a n－1a n，得a2＝a1－1a1＝23，a3＝a2－1a2＝－12，a4＝a3－1a3＝3，……，由上可得，数列{a n}是以3为周期的周期数列，故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝2 3.3．已知数列{a n}满足a n＝32n－11(n∈N*)，前n项的和为S n，则关于a n，S n的叙述正确的是()A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值解析：选A①∵a n＝32n－11，∴当n≤5时，a n<0且单调递减；当n≥6时，a n>0，且单调递减．故当n＝5时，a5＝－3为a n的最小值；②由①的分析可知：当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.故可得S5为S n的最小值．综上可知，a n，S n都有最小值．4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.解析：依题意得a n＋1－a n＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：25[清易错]1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．1．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则()A．3不是数列{a n}中的项B．3只是数列{a n}中的第2项C．3只是数列{a n}中的第6项D．3是数列{a n}中的第2项或第6项解析：选D令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．2．已知数列{a n}的前n项和为S n＝3＋2n，则数列{a n}的通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥21．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题速通]1．在等差数列{a n }中，已知a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，若a 4>a 2，则a 2 018＝( )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．2 015解析：选A 因为a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，且a 4>a 2，所以a 2＝2，a 4＝4，则公差d ＝1，所以a 1＝1，则a 2 018＝2 018.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C ∵等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3，解得a 3＝1，∴S 5＝52(a 1＋a 5)＝5a 3＝5.3.正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＋a 10－a 27＋15＝0，则S 13＝( )A ．－39B ．5C ．39D ．65解析：选D ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 4＋a 10－a 27＋15＝0，∴a 27－2a 7－15＝0，解得a 7＝5或a 7＝－3(舍去)， ∴S 13＝132(a 1＋a 7)＝13a 7＝13×5＝65. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3＝a 6＋4.若S 5<10，则a 2的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 3＝a 6＋4， ∴3(a 2＋d )＝a 2＋4d ＋4，可得d ＝2a 2－4.∵S 5<10，∴5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝5(2a 2＋2d )2＝5(3a 2－4)<10，解得a 2<2.∴a 2的取值范围是(－∞，2)．5．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 [清易错]1．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．(2018·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C 由a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52D.54解析：选C 由2a n ＋1＝1＋2a n ，可得a n ＋1－a n ＝12，即数列{a n }是以－2为首项，12为公差的等差数列，则a n ＝n －52，所以数列{a n }的前10项的和S 10＝10×⎝⎛⎭⎫－2＋522＝52.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)都是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题速通]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.3．设数列{a n }是等比数列，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72解析：选A 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝154. 4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16，则数列{a n }的前2 018项的和为( )A ．8 064B ．4C ．－4D ．0解析：选D ∵等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16， ∴a 3a 5＝a 2a 6＝16，∴a 3，a 5是方程x 2－8x ＋16＝0的两个根，解得a 3＝a 5＝4， ∴4q 2＝4，∵q ≠1，∴q ＝－1，∴a 1＝a 3q 2＝4，∴数列{a n }的前2 018项的和为 S 2 018＝4[1－(－1)2 018]1－(－1)＝0.5．(2018·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0，所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22.[清易错]1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．设数列{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 解析：当q ≠1时，由题意，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，即1－q 3＝3q 2－3q 3，整理得2q 3－3q 2＋1＝0，解得q ＝－12.当q ＝1时，S 3＝3a 3，显然成立．故q ＝－12或1.答案：－12或1一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3da 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.13×(46－1) D.14×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n＝n n ＋1，则a 5b 5等于( )A.34B.56C.910D.1011解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5， ∴a 5b 5＝S 9T 9＝910. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1，所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，解得q ＝－1或±2，当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .答案：a n ＝13n10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列，故a n ＝2n －1.答案：2n －111．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ，由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46. 答案：4612．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________.解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：1213三、解答题13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值．解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)∵b n ＝(－1)n a n 2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1，∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析][典例] (1)设S n n 1S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．5C ．7D ．8(2)(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.①求b 1，b 11，b 101；②求数列{b n }的前1 000项和．[解析] (1)法一：由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎡⎦⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36，解得n ＝8.法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8.答案：D(2)①设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. ②因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]等差数列运算的解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．[即时演练]1．已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 6＝4S 3，则a 10＝( ) A.172 B.192 C.910D.89解析：选B ∵S 6＝4S 3，公差d ＝1. ∴6a 1＋6×52×1＝4×⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×1，解得a 1＝12.∴a 10＝12＋9×1＝192.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 4－S 2S 5－S 3的值为( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3解析：选D 设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，可得a 1＝－4d ，所以S 4－S 2S 5－S 3＝a 3＋a 4a 4＋a 5＝－3d－d＝3. 3．(2018·大连联考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[典例] 已知{a n 11n 2n ，且b 4＝17. (1)求证：数列{b n }是以－2为公差的等差数列； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值．[思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{b n }是以－2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可． [解] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，则b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q ，因此数列{b n }是等差数列．又b 11＝log 2a 11＝3，b 4＝17，所以等差数列{b n }的公差d ＝b 11－b 47＝－2，故数列{b n }是以－2为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝25－2n ，则S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (23＋25－2n )2＝n (24－n )＝－(n －12)2＋144，于是当n ＝12时，S n 取得最大值，最大值为144. [方法技巧]等差数列判定与证明的方法1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[典例] (1)n 3610a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)已知数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n ＋22n ，则a 7b 7＝( )A.4126 B.2314 C.117D.116(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，即a 8＝8，m ＝8.(2)因为{a n }，{b n }为等差数列，且S n T n＝3n ＋22n ，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13＋22×13＝4126.(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60. [答案] (1)A (2)A (3)60 [方法技巧]等差数列的性质(1)项的性质在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . [即时演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝5－12. 3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝________.解析：∵数列{a n }和{b n }都是等差数列，∴a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝a 10＋a 11b 9＋b 12＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝7×2020＋3＝14023. 答案：14023等差数列前n 项和的最值等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[典例] 等差数列{a n n 1311n n 的值为________．[解析] 法一：用“函数法”解题由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大．法二：用“通项变号法”解题由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． [答案] 7 [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时演练]1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选B 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3， ∴S n ＝－26n ＋n (n －1)2×3＝32n 2－552n ＝32⎝⎛⎭⎫n －5562－3 02524， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.3．已知{a n }是各项不为零的等差数列，其中a 1>0，公差d <0，若S 10＝0，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n ＝________.解析：由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0，可得a 5＋a 6＝0，∴a 5>0，a 6<0，即数列{a n }的前5项和为最大值，∴n ＝5. 答案：51．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7＝( )A.109 B.1110 C.1211D.1312解析：选D 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312.2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，有下列命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是S n中的最大项；③若S7>S8，则必有S8>S9；④若S7>S8，则必有S6>S9.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝14(a1＋a14)2＝0，所以①正确；对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是S n中的最大项，所以②正确；对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列{}a n中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290 B．300C．580 D．600解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝20(a1＋a20)2＝10(a2＋a19)＝300.5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为()A．18 B．19C．20 D．21解析：选D因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n(a1＋a n)2＝n(a5＋a n－4)2＝n 2×32＝16n ＝336，解得n ＝21. 6．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．故选C.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．|a 7|>|a 8|B ．|a 7|<|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0解析：选B 因为(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，所以(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)<0，因为{a n }为等差数列，所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，所以a 7(a 7＋a 8)<0，所以a 7与(a 7＋a 8)异号．又公差d >0，所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B.二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，可得1a n ＋1－1a n＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．所以1a n＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5，所以a 20＝2115. 答案：21159．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列，故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12n ，即a n ＝n ·2n －1. 答案：a n ＝n ·2n －1 10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________. 解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时，由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，解得λ＝2.答案：2三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12.(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，由(1)知a n ＝2n －1，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，求b n 的前n 项和S n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －1)＝3. 又a 1＝4，∴a 1－2＝2，故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，∴a n ＝2n ＋3n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n ＋3n －12n ＝1＋3n －12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋⎝⎛⎭⎫1＋522＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝⎛⎭⎫22＋522＋…＋3n －12n ，令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ，①则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12n ＋1，＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， ∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ； (3)求n 的所有取值，使S n a n∈N *，说明你的理由．解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25.(2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋1， ∴a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝1，故λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1. ∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2， ∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋1＋2＋n . (3)S n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋1n ·2n ＋1，结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2恒成立， ∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S n a n<2.当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1＝1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S n a n∉N *. 综上可得n ＝1.高考研究课(二)等比数列的3考点——基本运算、判定和应用[全国卷5年命题分析][典例] (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －1 (2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；②若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52， (ⅰ)a 1q ＋a 1q 3＝54， (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入(ⅰ)得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 答案：D(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ)①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. ②由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6.[方法技巧]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. [即时演练]1．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7解析：选A 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1. 由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝316，得⎩⎨⎧ a 1＝14q ＝－12，∴a n ＝14·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1. 由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512，得m ＝8.2．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9.解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.[典例] (1)n 12n ＋2n ＋1n N *，对数列{a n }有下列命题：①数列{a n }是等差数列；②数列{a n ＋1－a n }是等比数列；③当n ≥2时，a n 都是质数；④1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2，n ∈N *，则其中正确的命题有( )A ．②B ．①②C．③④D．②④(2)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．①求a2，a3的值；②求证：数列{S n＋2}是等比数列．[解析](1)∵an＋2＝3a n＋1－2a n，∴a n＋2－a n＋1＝2(a n＋1－a n)，∴数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝2为首项、2为公比的等比数列，∴a n－a n－1＝2n－1，a n－1－a n－2＝2n－2，…a2－a1＝21，累加得：a n－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝2(1－2n－1)1－2＝2n－2，∴a n＝2n－2＋a1＝2n－1.显然①②③中，只有②正确，又∵1a n＝12n－1<12n－1(n≥2)，∴1a1＋1a2＋…＋1a n<1＋12＋122＋…＋12n－1＝1－12n1－12<2，故④正确；综上所述，①③错误，②④正确．答案：D(2)[思路点拨]①令n＝1,2,3，即可求出结论；②当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，与已知式相减，再利用a n＝S n－S n－1(n≥2)，化简整理，即可得出结论．解：①∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.②证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，(ⅰ)∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)·S n－1＋2(n－1)．(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，。

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第八章 8.4

§8.4垂直关系1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. (×)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. (√)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. (×)(5)a⊥α，aβ⇒α⊥β. (√) 2．(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故D正确．3．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是() A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，aα，bβC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案 C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.4．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC. 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若mβ，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，mα，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的序号是________．答案②③解析根据题意若mβ，α⊥β，则mα＝P或m∥α，故①错误；若α∥β，mα，则m∥β，故②正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故③正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β＝l，故④不正确.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪第(1)问通过DC⊥平面P AC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪(1)平面P AD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证P A⊥底面ABCD；(2)由BE∥AD可得线面平行；(3)证明直线CD⊥平面BEF.证明(1)∵平面P AD∩平面ABCD＝AD.又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD.∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面P AD，AD平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥平面ABCD，则P A⊥CD，∴CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF .∴平面BEF ⊥平面PCD . 思维升华 (1)判定面面垂直的方法： ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积． (1)证明因为DE ⊥EF ，CF ⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形．由GD ＝5，DE ＝4，得GE ＝GD 2－DE 2＝3. 由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5.在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2，所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .又EG 平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)解如图，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF ，所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.题型三直线、平面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．思维启迪 (1)因为两平面垂直与M 点位置无关，所以在平面MBD 内一定有一条直线垂直于平面P AD ，考虑证明BD ⊥平面P AD . (2)四棱锥底面为一梯形，高为P 到面ABCD 的距离． (1)证明在△ABD 中， ∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， BD 平面ABCD ，∴BD ⊥平面P AD .又BD 平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面P AD . (2)解过P 作PO ⊥AD ， ∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.思维升华垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用． (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．(1)证明过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则 BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2. 在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1，所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解三棱锥E －A 1B 1C 1的体积 V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32， A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3. 故S △A 1C 1E ＝3 5.设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ，则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·S △A 1C 1E ＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105.立体几何证明问题中的转化思想典例：(12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点．求证：(1)AN ∥平面A 1MK ；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思维启迪(1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K. [4分]∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，∴AN∥平面A1MK. [6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1. [8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C. [10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [12分]温馨提醒(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．方法与技巧1．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2．证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 3．证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a α，a ⊥β⇒α⊥β. 4．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是() A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α答案 C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.2．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PCB．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC答案 C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故P A＝PB＝PC.3．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是() A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β答案 D解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 是假命题．综上所述，选D.4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于() A．A′C′B．BD C．A′D′D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5．如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案 B解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．二、填空题6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案 3解析如图所示．∵P A⊥PC、P A⊥PB，PC∩PB＝P，∴P A⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴P A⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．答案 ①②解析如图，∵P －ABC 为正三棱锥，∴PB ⊥AC ；又∵DE ∥AC ，DE 平面PDE ，AC ⃘平面PDE ，∴AC ∥平面PDE .故①②正确．8．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m α；④α∥β.当满足条件_____时，有m ⊥β.(填所选条件的序号)答案 ②④解析若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝BE ＝7，△DCE 是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC ⊥平面BDE ；(2)求点A 到平面BDE 的距离．(1)证明因为四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，所以BD ＝13，又因为BC ＝7，CD ＝6，所以根据勾股定理可得BD ⊥CD ，因为BE ＝7，DE ＝6，同理可得BD ⊥DE .因为DE ∩CD ＝D ，DE 平面DEC ，CD 平面DEC ，所以BD ⊥平面DEC .因为BD 平面BDE ，所以平面DEC ⊥平面BDE .(2)解如图，取CD 的中点O ，连接OE ，因为△DCE 是边长为6的正三角形，所以EO ⊥CD ，EO ＝33，易知EO ⊥平面ABCD ，则V E －ABD ＝13×12×2×3×33＝33，又因为直角三角形BDE 的面积为12×6×13＝313，设点A 到平面BDE 的距离为h ，则由V E －ABD ＝V A －BDE ，得13×313h ＝33，所以h ＝33913，所以点A 到平面BDE 的距离为33913.10．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .证明 (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又AD 平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE 平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD 平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F 平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD 平面ADE ，A 1F 平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直答案 C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a 平行，则有m 与之垂直．但却不一定在β内有与m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在．2． (2012·江苏)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3.答案 6解析连接AC 交BD 于O ，在长方体中，∵AB ＝AD ＝3，∴BD ＝32且AC ⊥BD .又∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又DB ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322. ∵S 矩形BB 1D 1D ＝BD ×BB 1＝32×2＝62，∴VA －BB 1D 1D ＝13S 矩形BB 1D 1D ·AO ＝13×62×322＝6(cm 3)．3．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面P AE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．答案 ①④解析由P A ⊥平面ABC ，AE 平面ABC ，得P A ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面P AB ，又PB 平面P AB ，∴AE ⊥PB ，①正确；∵平面P AD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD 平面P AD ，BC ⃘平面P AD ，∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 也不成立，③错；在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确．4．如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝2，等边三角形ADB 以AB 为轴转动．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD 的长；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解(1)取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.5．如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2所示．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．(1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.(2)解设AO∩BD＝H.因为∠DAB＝60°，所以△BDC为等边三角形．故BD＝4，HB＝2，HC＝2 3.设PO＝x，则OH＝23－x，OA＝43－x.连接PH，OB，由OH⊥BD，得OB2＝(23－x)2＋22.又由(1)知PO⊥平面BFED，则PO⊥OB.所以PB＝OB2＋OP2＝(23－x)2＋22＋x2＝2(x－3)2＋10.当x＝3时，PB min＝10，此时PO＝3＝OH，所以V四棱锥P－BDEF＝13×S梯形BDEF×PO＝13×(34×42－34×22)×3＝3.。

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)，所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |，即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2，解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三易得直线l 过定点(1，1)，把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4，所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°，所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2，两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆，所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163，故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。

人教版高考文科数学复习课件第八章平面解析几何-第4节

点兵
搏
·
预测 2016 年高考将会进一步将圆与圆锥曲线的
核心
考向
突
知识相融合，综合考查学生分析问题和解决问
课时
破
预测
提
题的能力.
升练
菜单
高三总复习·数学（文）
提
素
养
研
·
动
考向一直线与圆的位置关系
满
向
分
·
指
考纲
[典例剖析]
导
考
向
演
【例 1】
(1)设直线 kx－y＋1＝0 被圆 O：x2＋y2＝4 所
场点兵
搏 ·
圆 O2 的方程．
核
心
课
突
时
破
提
升
练
菜单
高三总复习·数学（文）
提
素
养
研
·
动
满
向
分
· 考
【思路点拨】
(1)求出两圆的圆心坐标和半径长，利用
指导
纲
考几何法求解．
向
演
(2)①根据两圆外切求出圆 O2 的半径，便可写出圆 O2 的
实战
·
方程；
沙场
切脉
点
②设出圆 O2 方程，求出直线 AB 的方程，根据点 O1 到直兵
【答案】 B
切脉搏 · 核心突破
菜单
高三总复习·数学（文）
提素养 · 满分指导
演实战 · 沙场点兵
课时提升练
高三总复习·数学（文）
提
素
养
研
·
动向
考查角度[圆与圆的位置关系]

最新-2021版高考数学大一轮人教A版文科复习课件：第八章立体几何 82 精品

3
上,且AB=3,BC= ,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,则棱锥EABCD的体积为
.
-25考点1
考点2
考点3
答案: (1)C
(2)B
(3)2 3
解析: (1)由△AOB 面积确定,若三棱锥 O-ABC 的底面 OAB 上
的高最大,则其体积才最大.
因为高最大为半径 R,所以
故S
1
VO-ABC=3
×
1 2
R ×R=36,解得
2
R=6,
=4πR2=144π.
(2)由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面
相切.
球
设球的半径为 R,易得△ABC
R≤2.
因为
所以
3
2R≤3,即 R≤2,
4π
3 3
Vmax= ×
3
2
=
6+8-10
的内切球的半径为 2 =2,则
9π
,故选
2
B.
-26考点1
考点2
8 .2
空间几何体的表面积与体积
-2知识梳理
双基自测
自测点评
1 2 3 4
1.多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就
所有侧面的面积之和
是
,表面积是侧面积与底面面积之和.
-3知识梳理
双基自测
自测点评
1 2 3 4
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱锥圆台
圆
1
V=2× ×π×(
3
2)2× 2 =
关闭
4 2π
.
3
解析
答案
-16考点1
考点2

2019年高考数学(文科)一轮复习通用版：第八单元数列

第八单元数列教材复习课“数列”相关基础知识一课过1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[小题速通]1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21的值为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A.12 B ．3 C ．－12D.23解析：选D由a1＝3，a n＋1＝a n－1a n，得a2＝a1－1a1＝23，a3＝a2－1a2＝－12，a4＝a3－1a3＝3，……，由上可得，数列{a n}是以3为周期的周期数列，故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝2 3.3．已知数列{a n}满足a n＝32n－11(n∈N*)，前n项的和为S n，则关于a n，S n的叙述正确的是()A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值解析：选A①∵a n＝32n－11，∴当n≤5时，a n<0且单调递减；当n≥6时，a n>0，且单调递减．故当n＝5时，a5＝－3为a n的最小值；②由①的分析可知：当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.故可得S5为S n的最小值．综上可知，a n，S n都有最小值．4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.解析：依题意得a n＋1－a n＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：25[清易错]1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．1．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则()A．3不是数列{a n}中的项B．3只是数列{a n}中的第2项C．3只是数列{a n}中的第6项D．3是数列{a n}中的第2项或第6项解析：选D令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．2．已知数列{a n}的前n项和为S n＝3＋2n，则数列{a n}的通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥21．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题速通]1．在等差数列{a n }中，已知a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，若a 4>a 2，则a 2 018＝( )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．2 015解析：选A 因为a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，且a 4>a 2，所以a 2＝2，a 4＝4，则公差d ＝1，所以a 1＝1，则a 2 018＝2 018.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C ∵等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3，解得a 3＝1，∴S 5＝52(a 1＋a 5)＝5a 3＝5.3.正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＋a 10－a 27＋15＝0，则S 13＝( )A ．－39B ．5C ．39D ．65解析：选D ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 4＋a 10－a 27＋15＝0，∴a 27－2a 7－15＝0，解得a 7＝5或a 7＝－3(舍去)， ∴S 13＝132(a 1＋a 7)＝13a 7＝13×5＝65. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3＝a 6＋4.若S 5<10，则a 2的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 3＝a 6＋4， ∴3(a 2＋d )＝a 2＋4d ＋4，可得d ＝2a 2－4.∵S 5<10，∴5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝5(2a 2＋2d )2＝5(3a 2－4)<10，解得a 2<2.∴a 2的取值范围是(－∞，2)．5．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 [清易错]1．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．(2018·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C 由a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52D.54解析：选C 由2a n ＋1＝1＋2a n ，可得a n ＋1－a n ＝12，即数列{a n }是以－2为首项，12为公差的等差数列，则a n ＝n －52，所以数列{a n }的前10项的和S 10＝10×⎝⎛⎭⎫－2＋522＝52.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)都是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题速通]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.3．设数列{a n }是等比数列，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72解析：选A 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝154. 4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16，则数列{a n }的前2 018项的和为( )A ．8 064B ．4C ．－4D ．0解析：选D ∵等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16， ∴a 3a 5＝a 2a 6＝16，∴a 3，a 5是方程x 2－8x ＋16＝0的两个根，解得a 3＝a 5＝4， ∴4q 2＝4，∵q ≠1，∴q ＝－1，∴a 1＝a 3q 2＝4，∴数列{a n }的前2 018项的和为 S 2 018＝4[1－(－1)2 018]1－(－1)＝0.5．(2018·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0，所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22.[清易错]1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．设数列{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 解析：当q ≠1时，由题意，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，即1－q 3＝3q 2－3q 3，整理得2q 3－3q 2＋1＝0，解得q ＝－12.当q ＝1时，S 3＝3a 3，显然成立．故q ＝－12或1.答案：－12或1一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3da 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.13×(46－1) D.14×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n＝n n ＋1，则a 5b 5等于( )A.34B.56C.910D.1011解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5， ∴a 5b 5＝S 9T 9＝910. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1，所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，解得q ＝－1或±2，当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .答案：a n ＝13n10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列，故a n ＝2n －1.答案：2n －111．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ，由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46. 答案：4612．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________.解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：1213三、解答题13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值．解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)∵b n ＝(－1)n a n 2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1，∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析][典例] (1)设S n n 1S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．5C ．7D ．8(2)(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.①求b 1，b 11，b 101；②求数列{b n }的前1 000项和．[解析] (1)法一：由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎡⎦⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36，解得n ＝8.法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8.答案：D(2)①设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. ②因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]等差数列运算的解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．[即时演练]1．已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 6＝4S 3，则a 10＝( ) A.172 B.192 C.910D.89解析：选B ∵S 6＝4S 3，公差d ＝1. ∴6a 1＋6×52×1＝4×⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×1，解得a 1＝12.∴a 10＝12＋9×1＝192.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 4－S 2S 5－S 3的值为( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3解析：选D 设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，可得a 1＝－4d ，所以S 4－S 2S 5－S 3＝a 3＋a 4a 4＋a 5＝－3d－d＝3. 3．(2018·大连联考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[典例] 已知{a n 11n 2n ，且b 4＝17. (1)求证：数列{b n }是以－2为公差的等差数列； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值．[思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{b n }是以－2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可． [解] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，则b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q ，因此数列{b n }是等差数列．又b 11＝log 2a 11＝3，b 4＝17，所以等差数列{b n }的公差d ＝b 11－b 47＝－2，故数列{b n }是以－2为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝25－2n ，则S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (23＋25－2n )2＝n (24－n )＝－(n －12)2＋144，于是当n ＝12时，S n 取得最大值，最大值为144. [方法技巧]等差数列判定与证明的方法1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[典例] (1)n 3610a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)已知数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n ＋22n ，则a 7b 7＝( )A.4126 B.2314 C.117D.116(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，即a 8＝8，m ＝8.(2)因为{a n }，{b n }为等差数列，且S n T n＝3n ＋22n ，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13＋22×13＝4126.(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60. [答案] (1)A (2)A (3)60 [方法技巧]等差数列的性质(1)项的性质在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . [即时演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝5－12. 3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝________.解析：∵数列{a n }和{b n }都是等差数列，∴a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝a 10＋a 11b 9＋b 12＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝7×2020＋3＝14023. 答案：14023等差数列前n 项和的最值等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[典例] 等差数列{a n n 1311n n 的值为________．[解析] 法一：用“函数法”解题由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大．法二：用“通项变号法”解题由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． [答案] 7 [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时演练]1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选B 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3， ∴S n ＝－26n ＋n (n －1)2×3＝32n 2－552n ＝32⎝⎛⎭⎫n －5562－3 02524， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.3．已知{a n }是各项不为零的等差数列，其中a 1>0，公差d <0，若S 10＝0，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n ＝________.解析：由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0，可得a 5＋a 6＝0，∴a 5>0，a 6<0，即数列{a n }的前5项和为最大值，∴n ＝5. 答案：51．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7＝( )A.109 B.1110 C.1211D.1312解析：选D 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312.2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，有下列命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是S n中的最大项；③若S7>S8，则必有S8>S9；④若S7>S8，则必有S6>S9.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝14(a1＋a14)2＝0，所以①正确；对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是S n中的最大项，所以②正确；对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列{}a n中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290 B．300C．580 D．600解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝20(a1＋a20)2＝10(a2＋a19)＝300.5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为()A．18 B．19C．20 D．21解析：选D因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n(a1＋a n)2＝n(a5＋a n－4)2＝n 2×32＝16n ＝336，解得n ＝21. 6．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．故选C.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．|a 7|>|a 8|B ．|a 7|<|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0解析：选B 因为(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，所以(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)<0，因为{a n }为等差数列，所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，所以a 7(a 7＋a 8)<0，所以a 7与(a 7＋a 8)异号．又公差d >0，所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B.二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，可得1a n ＋1－1a n＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．所以1a n＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5，所以a 20＝2115. 答案：21159．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列，故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12n ，即a n ＝n ·2n －1. 答案：a n ＝n ·2n －1 10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________. 解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时，由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，解得λ＝2.答案：2三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12.(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，由(1)知a n ＝2n －1，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，求b n 的前n 项和S n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －1)＝3. 又a 1＝4，∴a 1－2＝2，故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，∴a n ＝2n ＋3n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n ＋3n －12n ＝1＋3n －12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋⎝⎛⎭⎫1＋522＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝⎛⎭⎫22＋522＋…＋3n －12n ，令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ，①则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12n ＋1，＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， ∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ； (3)求n 的所有取值，使S n a n∈N *，说明你的理由．解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25.(2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋1， ∴a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝1，故λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1. ∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2， ∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋1＋2＋n . (3)S n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋1n ·2n ＋1，结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2恒成立， ∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S n a n<2.当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1＝1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S n a n∉N *. 综上可得n ＝1.高考研究课(二)等比数列的3考点——基本运算、判定和应用[全国卷5年命题分析][典例] (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －1 (2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；②若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52， (ⅰ)a 1q ＋a 1q 3＝54， (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入(ⅰ)得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 答案：D(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ)①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. ②由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6.[方法技巧]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. [即时演练]1．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7解析：选A 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1. 由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝316，得⎩⎨⎧ a 1＝14q ＝－12，∴a n ＝14·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1. 由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512，得m ＝8.2．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9.解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.[典例] (1)n 12n ＋2n ＋1n N *，对数列{a n }有下列命题：①数列{a n }是等差数列；②数列{a n ＋1－a n }是等比数列；③当n ≥2时，a n 都是质数；④1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2，n ∈N *，则其中正确的命题有( )A ．②B ．①②C．③④D．②④(2)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．①求a2，a3的值；②求证：数列{S n＋2}是等比数列．[解析](1)∵an＋2＝3a n＋1－2a n，∴a n＋2－a n＋1＝2(a n＋1－a n)，∴数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝2为首项、2为公比的等比数列，∴a n－a n－1＝2n－1，a n－1－a n－2＝2n－2，…a2－a1＝21，累加得：a n－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝2(1－2n－1)1－2＝2n－2，∴a n＝2n－2＋a1＝2n－1.显然①②③中，只有②正确，又∵1a n＝12n－1<12n－1(n≥2)，∴1a1＋1a2＋…＋1a n<1＋12＋122＋…＋12n－1＝1－12n1－12<2，故④正确；综上所述，①③错误，②④正确．答案：D(2)[思路点拨]①令n＝1,2,3，即可求出结论；②当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，与已知式相减，再利用a n＝S n－S n－1(n≥2)，化简整理，即可得出结论．解：①∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.②证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，(ⅰ)∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)·S n－1＋2(n－1)．(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，。

高考数学(文科,新课标版)一轮总复习课件+训练手册+阶段测试卷：第8章+平面解析几何(17份)新课标

x2 y2 （4）椭圆a2＋b2＝1（a＞0，b＞0）的长轴长为 a.（）
解析：（1）错误.∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴点 M 的轨迹是线段 F1F2. （2）正确.椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. （3）错误.椭圆离心率 e 的取值范围是（0，1）. （4）错误.若 a＜b，则长轴长为 2b.
25 16 代入得 a2 ＋b2＝1
c5
c2 a2－b2 1
又离心率 e＝a＝ 5 ⇒e2＝a2＝ a2 ＝5，解得 a2＝45，b2＝
36，
x2 y2 故椭圆的方程为45＋36＝1.
x2 5、椭圆25＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另—个焦点的距离为 .
解析：∵a＝5，|PF1|＝2，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2×5 －2＝8.故答案为 8.
x2 y2 已知椭圆 C：＋＝1（a＞b＞0）与抛物线
a2 b2 y2＝4x
有共同的焦点 F，且两曲线在第一象限的交 5
点为 M，满足|MF|＝ . 3
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 y＝kx－2 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且O→P＝13O→A，O→N＝23O→B，若原点 O 在以 PN 为直径的圆外，求实数 k 的取值范围.
是
.
思路点拨：分别求出 a，c 的值，得出离心率.（2）得到关
于 a，c 的不等关系，得出离心率的范围.
91
规范解答：由题意知＋＝1，设椭圆左、右焦点为 a2 b2
F1
（－c，0），F2（c，0）∴P→F1＝（－c－3，－1），P→F2＝（c －3，－1）.∴9－c2＋1＝－6.∴c2＝16，即 a2－b2＝16.又 9 ＋ 1 ＝1，∴a2＝18，b2＝2. a2 b2

精编2019年高考数学(文科)一轮复习通用版：第八单元数列

第八单元数列教材复习课“数列”相关基础知识一课过1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[小题速通]1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21的值为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A.12 B ．3 C ．－12D.23解析：选D由a1＝3，a n＋1＝a n－1a n，得a2＝a1－1a1＝23，a3＝a2－1a2＝－12，a4＝a3－1a3＝3，……，由上可得，数列{a n}是以3为周期的周期数列，故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝2 3.3．已知数列{a n}满足a n＝32n－11(n∈N*)，前n项的和为S n，则关于a n，S n的叙述正确的是()A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值解析：选A①∵a n＝32n－11，∴当n≤5时，a n<0且单调递减；当n≥6时，a n>0，且单调递减．故当n＝5时，a5＝－3为a n的最小值；②由①的分析可知：当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.故可得S5为S n的最小值．综上可知，a n，S n都有最小值．4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.解析：依题意得a n＋1－a n＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：25[清易错]1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．1．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则()A．3不是数列{a n}中的项B．3只是数列{a n}中的第2项C．3只是数列{a n}中的第6项D．3是数列{a n}中的第2项或第6项解析：选D令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．2．已知数列{a n}的前n项和为S n＝3＋2n，则数列{a n}的通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥21．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题速通]1．在等差数列{a n }中，已知a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，若a 4>a 2，则a 2 018＝( )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．2 015解析：选A 因为a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，且a 4>a 2，所以a 2＝2，a 4＝4，则公差d ＝1，所以a 1＝1，则a 2 018＝2 018.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C ∵等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3，解得a 3＝1，∴S 5＝52(a 1＋a 5)＝5a 3＝5.3.正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＋a 10－a 27＋15＝0，则S 13＝( )A ．－39B ．5C ．39D ．65解析：选D ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 4＋a 10－a 27＋15＝0，∴a 27－2a 7－15＝0，解得a 7＝5或a 7＝－3(舍去)， ∴S 13＝132(a 1＋a 7)＝13a 7＝13×5＝65. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3＝a 6＋4.若S 5<10，则a 2的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 3＝a 6＋4， ∴3(a 2＋d )＝a 2＋4d ＋4，可得d ＝2a 2－4.∵S 5<10，∴5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝5(2a 2＋2d )2＝5(3a 2－4)<10，解得a 2<2.∴a 2的取值范围是(－∞，2)．5．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 [清易错]1．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．(2018·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C 由a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52D.54解析：选C 由2a n ＋1＝1＋2a n ，可得a n ＋1－a n ＝12，即数列{a n }是以－2为首项，12为公差的等差数列，则a n ＝n －52，所以数列{a n }的前10项的和S 10＝10×⎝⎛⎭⎫－2＋522＝52.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)都是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题速通]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.3．设数列{a n }是等比数列，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72解析：选A 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝154. 4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16，则数列{a n }的前2 018项的和为( )A ．8 064B ．4C ．－4D ．0解析：选D ∵等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16， ∴a 3a 5＝a 2a 6＝16，∴a 3，a 5是方程x 2－8x ＋16＝0的两个根，解得a 3＝a 5＝4， ∴4q 2＝4，∵q ≠1，∴q ＝－1，∴a 1＝a 3q 2＝4，∴数列{a n }的前2 018项的和为 S 2 018＝4[1－(－1)2 018]1－(－1)＝0.5．(2018·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0，所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22.[清易错]1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．设数列{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 解析：当q ≠1时，由题意，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，即1－q 3＝3q 2－3q 3，整理得2q 3－3q 2＋1＝0，解得q ＝－12.当q ＝1时，S 3＝3a 3，显然成立．故q ＝－12或1.答案：－12或1一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3da 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.13×(46－1) D.14×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n＝n n ＋1，则a 5b 5等于( )A.34B.56C.910D.1011解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5， ∴a 5b 5＝S 9T 9＝910. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1，所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，解得q ＝－1或±2，当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .答案：a n ＝13n10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列，故a n ＝2n －1.答案：2n －111．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ，由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46. 答案：4612．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________.解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：1213三、解答题13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值．解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)∵b n ＝(－1)n a n 2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1，∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析][典例] (1)设S n n 1S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．5C ．7D ．8(2)(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.①求b 1，b 11，b 101；②求数列{b n }的前1 000项和．[解析] (1)法一：由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎡⎦⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36，解得n ＝8.法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8.答案：D(2)①设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. ②因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]等差数列运算的解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．[即时演练]1．已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 6＝4S 3，则a 10＝( ) A.172 B.192 C.910D.89解析：选B ∵S 6＝4S 3，公差d ＝1. ∴6a 1＋6×52×1＝4×⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×1，解得a 1＝12.∴a 10＝12＋9×1＝192.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 4－S 2S 5－S 3的值为( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3解析：选D 设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，可得a 1＝－4d ，所以S 4－S 2S 5－S 3＝a 3＋a 4a 4＋a 5＝－3d－d＝3. 3．(2018·大连联考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[典例] 已知{a n 11n 2n ，且b 4＝17. (1)求证：数列{b n }是以－2为公差的等差数列； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值．[思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{b n }是以－2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可． [解] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，则b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q ，因此数列{b n }是等差数列．又b 11＝log 2a 11＝3，b 4＝17，所以等差数列{b n }的公差d ＝b 11－b 47＝－2，故数列{b n }是以－2为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝25－2n ，则S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (23＋25－2n )2＝n (24－n )＝－(n －12)2＋144，于是当n ＝12时，S n 取得最大值，最大值为144. [方法技巧]等差数列判定与证明的方法1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[典例] (1)n 3610a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)已知数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n ＋22n ，则a 7b 7＝( )A.4126 B.2314 C.117D.116(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，即a 8＝8，m ＝8.(2)因为{a n }，{b n }为等差数列，且S n T n＝3n ＋22n ，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13＋22×13＝4126.(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60. [答案] (1)A (2)A (3)60 [方法技巧]等差数列的性质(1)项的性质在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . [即时演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝5－12. 3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝________.解析：∵数列{a n }和{b n }都是等差数列，∴a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝a 10＋a 11b 9＋b 12＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝7×2020＋3＝14023. 答案：14023等差数列前n 项和的最值等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[典例] 等差数列{a n n 1311n n 的值为________．[解析] 法一：用“函数法”解题由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大．法二：用“通项变号法”解题由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． [答案] 7 [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时演练]1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选B 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3， ∴S n ＝－26n ＋n (n －1)2×3＝32n 2－552n ＝32⎝⎛⎭⎫n －5562－3 02524， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.3．已知{a n }是各项不为零的等差数列，其中a 1>0，公差d <0，若S 10＝0，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n ＝________.解析：由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0，可得a 5＋a 6＝0，∴a 5>0，a 6<0，即数列{a n }的前5项和为最大值，∴n ＝5. 答案：51．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7＝( )A.109 B.1110 C.1211D.1312解析：选D 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312.2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，有下列命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是S n中的最大项；③若S7>S8，则必有S8>S9；④若S7>S8，则必有S6>S9.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝14(a1＋a14)2＝0，所以①正确；对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是S n中的最大项，所以②正确；对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列{}a n中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290 B．300C．580 D．600解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝20(a1＋a20)2＝10(a2＋a19)＝300.5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为()A．18 B．19C．20 D．21解析：选D因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n(a1＋a n)2＝n(a5＋a n－4)2＝n 2×32＝16n ＝336，解得n ＝21. 6．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．故选C.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．|a 7|>|a 8|B ．|a 7|<|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0解析：选B 因为(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，所以(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)<0，因为{a n }为等差数列，所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，所以a 7(a 7＋a 8)<0，所以a 7与(a 7＋a 8)异号．又公差d >0，所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B.二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，可得1a n ＋1－1a n＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．所以1a n＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5，所以a 20＝2115. 答案：21159．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列，故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12n ，即a n ＝n ·2n －1. 答案：a n ＝n ·2n －1 10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________. 解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时，由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，解得λ＝2.答案：2三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12.(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，由(1)知a n ＝2n －1，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，求b n 的前n 项和S n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －1)＝3. 又a 1＝4，∴a 1－2＝2，故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，∴a n ＝2n ＋3n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n ＋3n －12n ＝1＋3n －12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋⎝⎛⎭⎫1＋522＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝⎛⎭⎫22＋522＋…＋3n －12n ，令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ，①则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12n ＋1，＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， ∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ； (3)求n 的所有取值，使S n a n∈N *，说明你的理由．解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25.(2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋1， ∴a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝1，故λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1. ∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2， ∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋1＋2＋n . (3)S n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋1n ·2n ＋1，结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2恒成立， ∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S n a n<2.当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1＝1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S n a n∉N *. 综上可得n ＝1.高考研究课(二)等比数列的3考点——基本运算、判定和应用[全国卷5年命题分析][典例] (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －1 (2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；②若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52， (ⅰ)a 1q ＋a 1q 3＝54， (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入(ⅰ)得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 答案：D(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ)①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. ②由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6.[方法技巧]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. [即时演练]1．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7解析：选A 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1. 由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝316，得⎩⎨⎧ a 1＝14q ＝－12，∴a n ＝14·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1. 由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512，得m ＝8.2．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9.解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.[典例] (1)n 12n ＋2n ＋1n N *，对数列{a n }有下列命题：①数列{a n }是等差数列；②数列{a n ＋1－a n }是等比数列；③当n ≥2时，a n 都是质数；④1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2，n ∈N *，则其中正确的命题有( )A ．②B ．①②C．③④D．②④(2)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．①求a2，a3的值；②求证：数列{S n＋2}是等比数列．[解析](1)∵an＋2＝3a n＋1－2a n，∴a n＋2－a n＋1＝2(a n＋1－a n)，∴数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝2为首项、2为公比的等比数列，∴a n－a n－1＝2n－1，a n－1－a n－2＝2n－2，…a2－a1＝21，累加得：a n－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝2(1－2n－1)1－2＝2n－2，∴a n＝2n－2＋a1＝2n－1.显然①②③中，只有②正确，又∵1a n＝12n－1<12n－1(n≥2)，∴1a1＋1a2＋…＋1a n<1＋12＋122＋…＋12n－1＝1－12n1－12<2，故④正确；综上所述，①③错误，②④正确．答案：D(2)[思路点拨]①令n＝1,2,3，即可求出结论；②当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，与已知式相减，再利用a n＝S n－S n－1(n≥2)，化简整理，即可得出结论．解：①∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.②证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，(ⅰ)∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)·S n－1＋2(n－1)．(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，。

高三数学第一轮的复习讲义

高三数学第一轮的复习讲义一.复习目标：1.了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率;2.会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率.二.知识要点：1.相互独立事件的概念： .2.是相互独立事件，则 .3.次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是 .三.课前预习：1.下列各对事件 (1)运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”， (2)甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”， (3)甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， (4)甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 (1)，(3) .相互独立事件的有 (2) .2.某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是;②他恰好击中目标次的概率是; ③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ .3.件产品中有件次品，从中连续取两次，(1)取后不放回，(2)取后放回，则两次都取合格品的概率分别是、.4.三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 ( )5.口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 ( )甲多乙多一样多不确定四.例题分析：例1.某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的)，假定工厂之间的选择互不影响.(1)求个工厂均选择星期日停电的概率;(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. 解：设个工厂均选择星期日停电的事件为.则.(2)设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为.则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为，. 小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件.例2.某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格;否则，就认为该盒产品不合格.已知某盒产品中有件次品.(1)求该盒产品被检验合格的概率;(2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率.解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为答：该盒产品被检验认为是合格的概率为;两次检验得出的结果不一致的概率为.例3.假定在张票中有张奖票()，个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，(1)分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，(2)求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率.解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则(1)，，(2)小结：因为≠，故A与B是不独立的.例 4. 将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现(即点的面向上)多少次的概率最大?解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∴，∵由，得，即当时，，单调递增，当时，，单调递减，从而最大.五.课后作业：1.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具)先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2.已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的`概率为： ( )3.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是 ;4.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。

2021高考北师版(文科)数学一轮复习讲义：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d ＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r2－r1|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交〞的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，那么两圆相交．()(4)假设两圆相交，那么两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2021·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，那么b 的值是( )【导学号：66482384】A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555 [圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2021·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，假设|AB |＝23，那么圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝⎛⎭⎪⎫|0－a＋2a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]直线与圆的位置关系(1)(2021·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)假设点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，那么该圆在点P处的切线方程为__________．(1)A(2)x＋2y－5＝0[(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m| m2＋1<1< 5.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.∵k OP＝2，∴切线的斜率k＝－1 2.由点斜式可得切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直〞等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进展求解．[变式训练1](1)(2021·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，那么该切线的方程为()【导学号：66482385】A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2021·全国卷Ⅲ)直线l：x －3y＋6＝0与圆x2＋y 2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，那么|CD|＝__________.(1)B(2)4[(1)依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为1 2.因此切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r＝2 3.∴圆心(0,0)到直线x－3y＋6＝0的距离d＝61＋3＝3，|AB|＝212－32＝2 3.过C作CE⊥BD于E.如下图，那么|CE|＝|AB|＝2 3.∵直线l的方程为x－3y＋6＝0，∴k AB＝33，那么∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.∴|CD|＝|CE|sin 60°＝|AB|sin 60°＝2332＝4.]圆与圆的位置关系(2021·山东高考)圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，那么圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．假设两圆相交，那么两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．假设两圆相交，那么两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 假设⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，那么线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，那么两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.又∵|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5.又A，B关于OO1对称，∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．又∵12·OA·O1A＝12OO1·AC，得AC＝2.∴AB＝4.]直线与圆的综合问题(2021·江苏高考改编)如图8-4-1，在平面直角坐标系xOy中，以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．图8-4-1(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l 的方程．[解]圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5. 1分(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1. 4分因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1. 5分(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，那么圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. 12分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)． [变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)假设圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．[解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，那么r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 5分(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.那么圆心O到直线MN的距离d＝|m|5. 7分由垂径分弦定理，得m25＋(3)2＝22，即m＝±5. 10分所以直线MN的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0. 12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系表达了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，假设仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．。

2019年最新高考数学(文科)一轮复习通用版：第八单元数列

第八单元数列教材复习课“数列”相关基础知识一课过1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[小题速通]1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21的值为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A.12 B ．3 C ．－12D.23解析：选D由a1＝3，a n＋1＝a n－1a n，得a2＝a1－1a1＝23，a3＝a2－1a2＝－12，a4＝a3－1a3＝3，……，由上可得，数列{a n}是以3为周期的周期数列，故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝23.3．已知数列{a n}满足a n＝32n－11(n∈N*)，前n项的和为S n，则关于a n，S n的叙述正确的是()A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值解析：选A①∵a n＝32n－11，∴当n≤5时，a n<0且单调递减；当n≥6时，a n>0，且单调递减．故当n＝5时，a5＝－3为a n的最小值；②由①的分析可知：当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.故可得S5为S n的最小值．综上可知，a n，S n都有最小值．4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.解析：依题意得a n＋1－a n＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：25[清易错]1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．1．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则()A．3不是数列{a n}中的项B．3只是数列{a n}中的第2项C．3只是数列{a n}中的第6项D．3是数列{a n}中的第2项或第6项解析：选D令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3＋2n －(3＋2n －1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥21．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题速通]1．在等差数列{a n }中，已知a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，若a 4>a 2，则a 2 018＝( )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．2 015解析：选A 因为a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，且a 4>a 2，所以a 2＝2，a 4＝4，则公差d ＝1，所以a 1＝1，则a 2 018＝2 018.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C ∵等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3，解得a 3＝1，∴S 5＝52(a 1＋a 5)＝5a 3＝5.3.正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＋a 10－a 27＋15＝0，则S 13＝( )A ．－39B ．5C ．39D ．65解析：选D ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 4＋a 10－a 27＋15＝0， ∴a 27－2a 7－15＝0，解得a 7＝5或a 7＝－3(舍去)， ∴S 13＝132(a 1＋a 7)＝13a 7＝13×5＝65.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3＝a 6＋4.若S 5<10，则a 2的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 3＝a 6＋4， ∴3(a 2＋d )＝a 2＋4d ＋4，可得d ＝2a 2－4.∵S 5<10，∴5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝5(2a 2＋2d )2＝5(3a 2－4)<10，解得a 2<2.∴a 2的取值范围是(－∞，2)．5．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 [清易错]1．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．(2018·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C 由a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52D.54解析：选C由2a n ＋1＝1＋2a n ，可得a n ＋1－a n ＝12，即数列{a n }是以－2为首项，12为公差的等差数列，则a n ＝n －52，所以数列{a n }的前10项的和S 10＝10×⎝⎛⎭⎫－2＋522＝52.等比数列1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)都是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题速通]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.3．设数列{a n }是等比数列，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72解析：选A 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝154. 4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16，则数列{a n }的前2 018项的和为( )A ．8 064B ．4C ．－4D ．0解析：选D ∵等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16， ∴a 3a 5＝a 2a 6＝16，∴a 3，a 5是方程x 2－8x ＋16＝0的两个根，解得a 3＝a 5＝4， ∴4q 2＝4，∵q ≠1，∴q ＝－1，∴a 1＝a 3q 2＝4，∴数列{a n }的前2 018项的和为 S 2 018＝4[1－(－1)2 018]1－(－1)＝0.5．(2018·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0，所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22.[清易错]1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．设数列{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 解析：当q ≠1时，由题意，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，即1－q 3＝3q 2－3q 3，整理得2q 3－3q 2＋1＝0，解得q ＝－12.当q ＝1时，S 3＝3a 3，显然成立．故q ＝－12或1.答案：－12或1一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3da 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( )A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.13×(46－1) D.14×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n＝n n ＋1，则a 5b 5等于( )A.34 B.56 C.910D.1011解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5，∴a 5b 5＝S 9T 9＝910. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1，所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，解得q ＝－1或±2，当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .答案：a n ＝13n10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列，故a n ＝2n －1. 答案：2n －111．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ，由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46. 答案：4612．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________.解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：1213三、解答题13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值．解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴n ＝5时，S n 取得最大值．14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，两式相减得a n2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)∵b n ＝(－1)n a n 2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1，∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n ＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析][典例] (1)设S n n 1S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．5C ．7D ．8(2)(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.①求b 1，b 11，b 101；②求数列{b n }的前1 000项和．[解析] (1)法一：由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36，解得n ＝8.法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8.答案：D(2)①设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.②因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]等差数列运算的解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．[即时演练]1．已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 6＝4S 3，则a 10＝( ) A.172 B.192 C.910D.89解析：选B ∵S 6＝4S 3，公差d ＝1. ∴6a 1＋6×52×1＝4×⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×1，解得a 1＝12.∴a 10＝12＋9×1＝192.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 4－S 2S 5－S 3的值为( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3 解析：选D 设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，可得a 1＝－4d ，所以S 4－S 2S 5－S 3＝a 3＋a 4a 4＋a 5＝－3d －d＝3.3．(2018·大连联考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[典例] 已知{a n 11n 2n ，且b 4＝17. (1)求证：数列{b n }是以－2为公差的等差数列； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值．[思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{b n }是以－2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可． [解] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，则b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q ，因此数列{b n }是等差数列．又b 11＝log 2a 11＝3，b 4＝17，所以等差数列{b n }的公差d ＝b 11－b 47＝－2，故数列{b n }是以－2为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝25－2n ，则S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (23＋25－2n )2＝n (24－n )＝－(n －12)2＋144，于是当n ＝12时，S n 取得最大值，最大值为144. [方法技巧]等差数列判定与证明的方法1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[典例] (1)n 3610a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)已知数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n ＋22n ，则a 7b 7＝( )A.4126 B.2314 C.117D.116(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，即a 8＝8，m ＝8.(2)因为{a n }，{b n }为等差数列，且S n T n＝3n ＋22n ，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13＋22×13＝4126.(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60. [答案] (1)A (2)A (3)60 [方法技巧]等差数列的性质(1)项的性质在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . [即时演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝5－12.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝________.解析：∵数列{a n }和{b n }都是等差数列，∴a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝a 10＋a 11b 9＋b 12＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝7×2020＋3＝14023. 答案：14023等差数列前n 项和的最值等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[典例] 等差数列{a n n 1311n n 的值为________．[解析] 法一：用“函数法”解题由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．法二：用“通项变号法”解题由法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． [答案] 7 [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时演练]1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选B 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3，∴S n ＝－26n ＋n (n －1)2×3＝32n 2－552n ＝32⎝⎛⎭⎫n －5562－3 02524， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.3．已知{a n }是各项不为零的等差数列，其中a 1>0，公差d <0，若S 10＝0，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n ＝________.解析：由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0，可得a 5＋a 6＝0，∴a 5>0，a 6<0，即数列{a n }的前5项和为最大值，∴n ＝5. 答案：51．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：(1)设{a n}的公差为d.由题意，a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故a n＝－2n＋27.(2)令S n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7＝( )A.109 B.1110 C.1211D.1312解析：选D 设等差数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312.2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2.由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列命题：①若S 3＝S 11，则必有S 14＝0；②若S 3＝S 11，则必有S 7是S n 中的最大项； ③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9； ④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 对于①，若S 11－S 3＝4(a 1＋a 14)＝0，即a 1＋a 14＝0，则S 14＝14(a 1＋a 14)2＝0，所以①正确；对于②，当S 3＝S 11时，易知a 7＋a 8＝0，又a 1>0，d ≠0，所以a 7>0>a 8，故S 7是S n 中的最大项，所以②正确；对于③，若S 7>S 8，则a 8<0，那么d <0，可知a 9<0，此时S 9－S 8<0，即S 8>S 9，所以③正确；对于④，若S 7>S 8，则a 8<0，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，即S 6>S 9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列{}a n 中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．600解析：选B 由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，得a 2＝1. 由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝87，得a 19＝29，所以S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 2＋a 19)＝300.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n ＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选D 因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21. 6．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．故选C.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( ) A ．|a 7|>|a 8| B ．|a 7|<|a 8| C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0解析：选B 因为(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，所以(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)<0，因为{a n }为等差数列，所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7， a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，所以a 7(a 7＋a 8)<0，所以a 7与(a 7＋a 8)异号．又公差d >0，所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B. 二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n1＋3a n ，a 1＝2，可得1a n ＋1－1a n＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．所以1a n ＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5，所以a 20＝2115.答案：21159．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ， ∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列，故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12n ，即a n ＝n ·2n －1. 答案：a n ＝n ·2n －110．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________. 解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时，由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列， ∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)， ∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，解得λ＝2. 答案：2 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12. (1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n最大值是多少？解：(1)设{a n }的公差为d ， ∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，由(1)知a n ＝2n －1，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4.13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)．(1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n2n ，求b n 的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －1)＝3. 又a 1＝4，∴a 1－2＝2，故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， ∴a n ＝2n ＋3n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n＋3n －12n ＝1＋3n －12n ，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋⎝⎛⎭⎫1＋522＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋522＋…＋3n －12n ，令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ，①则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12n ＋1，＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1，∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n .已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3；(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ；(3)求n 的所有取值，使S na n∈N *，说明你的理由．解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25. (2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋1， ∴a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝1，故λ＝－1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1. ∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋1＋2＋n . (3)S n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋1n ·2n ＋1，结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2恒成立，∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S na n <2.当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1＝1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列， ∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S na n ∉N *. 综上可得n ＝1. 高考研究课(二)等比数列的3考点——基本运算、判定和应用 [全国卷5年命题分析][典例] (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； ②若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， (ⅰ)a 1q ＋a 1q 3＝54， (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入(ⅰ)得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1. 答案：D(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ) ①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. ②由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6. [方法技巧]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.[即时演练]1．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7解析：选A 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝316，得⎩⎨⎧a 1＝14q ＝－12，∴a n ＝14·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1. 由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512，得m ＝8.2．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.[典例] (1)n 12n ＋2n ＋1n N *，对数列{a n }有下列命题：①数列{a n }是等差数列； ②数列{a n ＋1－a n }是等比数列； ③当n ≥2时，a n 都是质数； ④1a 1＋1a 2＋…＋1a n <2，n ∈N *，则其中正确的命题有( ) A ．② B ．①② C ．③④D ．②④(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． ①求a 2，a 3的值；②求证：数列{S n ＋2}是等比数列． [解析] (1)∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项、2为公比的等比数列， ∴a n －a n －1＝2n －1， a n －1－a n －2＝2n －2， …a 2－a 1＝21，累加得：a n －a 1＝21＋22＋…＋2n －1＝2(1－2n －1)1－2＝2n－2，∴a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1. 显然①②③中，只有②正确，又∵1a n ＝12n －1<12n －1(n ≥2)，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋12＋122＋…＋12n －1＝1－12n1－12<2，故④正确；综上所述，①③错误，②④正确．答案：D(2)[思路点拨] ①令n ＝1,2,3，即可求出结论；②当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，与已知式相减，再利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，化简整理，即可得出结论．解：①∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. ②证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，(ⅰ)∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)·S n －1＋2(n －1)．(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2.。

2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第8章立体几何 8-4

图2
图3
考纲原文下载
命题规律分析
知识梳理整合
挖教材赢高考
高频考点透析
直通高考2020 第21页
第二十一页，编辑于星期日：一点四十二分。
经典品质/超越梦想
高考总复习/新课标版
【证明】 (1)∵D1D⊥面 ABCD，且 BD⊂面 ABCD， ∴D1D⊥BD. 又∵AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得 BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵AD∩D1D＝D， ∴BD⊥面 ADD1A1. 又 AA1⊂面 ADD1A1，∴AA1⊥BD.
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．
(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．
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命题规律分析
知识梳理整合
挖教材赢高考
高频考点透析
直通高考2020 第10页
第十页，编辑于星期日：一点四十二分。
经典品质/超越梦想
第十七页，编辑于星期日：一点四十二分。
经典品质/超越梦想
高考总复习/新课标版数学·文
6．判定线面垂直的常用方法：①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；③利用“一条直线垂直于两平行平面
中的一个，则与另一个也垂直”；④利用面面垂直的性质定理．
(1)如图 1 所示，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝ 90°.将△ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，构成三棱锥 A—BCD，则在三棱锥 A—BCD 中，有平面 ADC⊥平面________．

2020高考文科数学总复习课件：第八章立体几何8.4

a∥α,a⊂β,α∩β=b
a∥b
第二页，编辑于星期日：一点三十八分。
第八章
8.4
直线、平面平行的判定与性质
必备知识·预案自诊
必备知识·预案自诊
知识梳理
-3-
关键能力·学案突破
考点自诊
2.面面平行的判定与性质
判
定
定义
图形
条件
结论
α∩β=⌀
α∥β
定理
性
质
a⊂β,b⊂β,a∩b=P,
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=bα∥β,a⊂β
知识梳理
-7-
关键能力·学案突破
考点自诊
3.(2018黑龙江哈尔滨师范大学附属中学三模,11)棱长为2的正方体
ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD中点,过点B1,且与平面A1BE平行的正方
体的截面面积为(
) C
A.5
B.2√5
C.2√6
D.6
解析:取 BC 中点 M,取 A1D1 中点 N,
则四边形 B1MDN 即为所求的截面,根据正方体的性质,
直线、平面平行的判定与性质
必备知识·预案自诊
必备知识·预案自诊
知识梳理
-5-
关键能力·学案突破
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这
个平面. (
)×
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任
ABCD是矩形,平面PAB⊥平面ABCD,点E,F分别为BC、AP中点.
(1)求证:EF∥平面PCD;
(2)若AD=AP=PB=
AB=1,求三棱锥P-DEF的体积.

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