高一数学 必修五 1.2 应用举例 教案
人教版高中数学必修(五)1.2应用举例教案(3)
1.2应用举例（一）学习目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际问题。
通过解三角形的应用的学习，提高应用转化思想解决实际问题的能力，并体会数学的应用价值。
学习过程：课前完成(1)====∆AB AC C A ABC ，中，在2,45,60所用知识点 理由(2)====∆B A c a ABC ,30,10,25 中，已知在所用知识点 理由(3)====∆AC B AB BC ABC ,150,32,9 中，所用知识点 理由(4)=∠===∆C c b a ABC 则中，在.132,8,6所用知识点 理由课前完成1.AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
可使用工具：卷尺，测角仪器） A2.解应用问题的基本步骤：例1例1 如图，A、B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，B不可到达，设计一种测量A、B两点间的距离的方法。
（可用测量工具：卷尺、测角仪器）BA例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
（可使用工具：卷尺，测角仪器）A B解与三角形有关应用题的基本步骤是什么？1．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向。
已测得隧道两端的两点A 、B 到某一点C 的距离a,b 及α=∠ACB ，求A 、B 两点之间的距离A C2. A 、 B 两小岛相距１０ 海里,从Ａ岛望Ｃ岛与Ｂ岛角)60BAC (60 =∠ １．巩固本节课所学内容2. 为了测量河的宽度，，在一岸边选定两点A,B ，望对岸的标记物线C ，测得 则河的宽度是,m 120AB ,75CBA ,30CAB ==∠=∠3.隔河可以看到两个目标Ａ、Ｂ，但不能到达，在岸边选取相距3km 的 C,D 两点，并间的距离为则角（岛成岛和岛望从C ,B ),45ACB 45A B C =∠测得D C B A ADB ADC BCD ACB ,,,,45,30,45,75 =∠=∠=∠=∠ 在同一个平面，求两目标A 、 B 间的距离。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_14
1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）教学设计一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第一课时，测量一点或两点不可到达的距离问题. 力于让学生学习应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.本节课的教学重点：1.通过对实际问题的解决，体会解三角形在生活中的广泛应用；2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题.二、教学目标解析：（一）教学目标：1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关一点或两点不可到达的测量问题；3.在试验报告中测量角度、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力. （二）目标解析：1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；2.本节的例题是有关有关一点或两点不可到达的距离问题．由于不可到达，常常需要建构多个三角形，转化为一个或两个可到达的点所构成的三角形．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要数学测量工具皮尺、经纬的使用与限制，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.三、学情分析：1.学生学习背景：我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力.2.学生知识储备：学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡.教学难点：从实际问题出发，在有限的工具下自行设计方案解决问题四、教学策略分析：本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识.五、教学过程：引入：古有嫦娥奔月，那嫦娥“奔”了多远？古人没有去探究。
高中数学人教B版必修五第一章《1.2 应用举例》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版必修五第一章《1.2 应用举例》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能目标:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语,同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
2、过程与方法:通过解决“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题,初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法,进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力,提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3、情感、态度与价值观:通过解决“测量”问题,体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题,培养学生的数学应用意识和探索问题、解决问题的能力,学习用数学的思维方式去解决问题,认识世界。
2学情分析
本节课是普通高中新课程人教B版《必修5》第一章1.2第一课时的内容 ,是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程,本节课主要介绍了正弦定理和余弦定理在测量距离中的应用。
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的理论基础,让学生掌握建立“数学模型”的基本思想是本节课的重中之重。
通过对解斜三角形在实际中应用的讲解,让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要的作用。
同时培养学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力,提高学生解决实际问题的能力。
激发学生学习数学的兴趣,并让学生体会数学的应用价值。
3重点难点
重点:如何将实际问题转化为数学问题,并利用解斜三角形的方法予以解决。
难点:如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。
4教学过程。
高中数学必修5高中数学必修5《1.2应用举例(一)》教案
1.2解三角形应用举例 第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
3、 新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
高中数学必修5高中数学必修5《1.2应用举例(四)》教案
1.2解三角形应用举例 第四课时一、教材分析《解三角形应用举例》是人教版新课标教材高中数学必修五第一章《解三角形》第2节的内容，是学完了正弦定理和余弦定理后对定理的应用，共四课时，本节课为第四课时。
本节课重点是推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目，运用正、余弦定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识。
二、学生学习情况分析本节课的学生情况分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：⑴学生是棉城中学高一级学生；⑵学生已经熟练掌握利用正、余弦定理解三角形的解法；⑶学生对生活中的数学问题兴趣浓厚，有多次小组合作解决实习作业的体验；⑷学生数学建模的能力还不强。
三、设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会，为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识三角形模型，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程。
在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过例题、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
四、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验五、教学重点、难点重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题六、教具：多媒体七、教学方法：引导、探究式八、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
高中数学 1.2 应用举例教案 新人教B版必修5
1.2 应用举例整体设计教学分析本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．三维目标1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．重点难点教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．思路 2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．推进新课新知探究提出问题1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？5解决实际问题的一般程序是什么？活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？图1图2教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．讨论结果：(1)～(4)略．(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．应用示例例1(教材问题1)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3 m的误差，可让学生分析误差产生的原因．变式训练如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)解：如下图，在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α. 根据正弦定理，BC sin α－β＝AB sin 90°＋β， 所以AB ＝BCsin 90°＋βsin α－β＝BCcosβsin α－β. 解Rt△ABD，得BD ＝ABsin∠BAD＝BCcosβsinαsin α－β.将测量数据代入上式，得 BD ＝27.3cos50°1′sin54°40′sin 54°40′－50°1′＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177(m)， CD ＝BD －BC≈177－27.3≈150(m)．答：山的高度约为150 m.例2(教材问题2)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？变式训练如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b答案：C解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．解：在△ABC 中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sinA ＝AB sinC ，BC ＝ABsinA sinC ＝5sin15°sin10°≈7.452 4(km)， CD ＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m)．答：山的高度约为1 047 m.点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．知能训练1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A 和B ，观测对岸标记C 点，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB ＝120 m ，则河宽为__________ m.答案：20(3＋3)解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，知AB sin∠ACB ＝AC sin75°， ∴AC＝sin75°sin60°·120＝20(32＋6)． 在Rt△ACD 中，CD ＝ACsin45°＝20(3＋3)，即河的宽为20(3＋3) m.2．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________.答案：156米解析：在△DBC 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得CD sin∠CBD ＝BC sin∠BDC， ∴BC＝30sin30°sin135°＝15 2. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC·tan60°＝152×3＝156(米)，即塔高为156米．课堂小结先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．作业课本本节习题1—2A 组1、2、3.设计感想本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点，不在一些细枝末节上浪费时间．通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师要在规范步骤等方面加以关注．备课资料一、拓展资源1．利用余弦定理证明正弦定理在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，求证：a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴sin 2A ＝1－cos 2A ＝1－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc 2－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc ＋b 2＋c 2－a 22bc －b 2－c 2＋a 24b 2c 2＝b ＋c ＋ab ＋c －a a ＋b －c a －b ＋c 4b 2c 2.∴a 2sin 2A ＝4a 2b 2c 2a ＋b ＋c －a ＋b ＋c a ＋b －ca －b ＋c . 记该式右端为M ，同理可得b 2sin 2B ＝M ，c 2sin 2C＝M ， ∴a 2sin 2A ＝b 2sin 2B ＝c 2sin 2C. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC . 2．如图，P 为△ABC 内的一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，求证：1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C.证明：在△PAC 中，由正弦定理，得AP sinθ＝b sin∠APC. ∴∠APC＝180°－θ－(A －θ)＝180°－A.∴AP sinθ＝b sinA. 从而S △PAB ＝12c·APsinθ＝12c·bsinθsinA ·sinθ＝12bcsinA·sin 2θsin 2A ＝S △ABC ·sin 2θsin 2A .同理可得S △PBC ＝S △ABC ·sin 2θsin 2B ，S △PCA ＝S △ABC ·sin 2θsin 2C .相加后即得S △ABC ＝S △ABC (sin 2θsin 2A ＋sin 2θsin 2B ＋sin 2θsin 2C )．∴1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C. 二、备用习题1．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则塔高为( )A ．20(1＋33) m B ．20(1＋3) m C ．10(6＋2) m D ．20(6＋2) m2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，β3．如图，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于 ( )A.asinαsinβcosβ－αB.asinαsinβsinβ－αC.asinαcosβsinβ－αD.acosαcosβcosβ－α4．如图，有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A．5 m B．10 m C．10 2 m D．10 3 m5．如下图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)6．如下图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得A点的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB.参考答案：1．B 解析：如图，AB为楼，CD为塔，AM为水平线，则有AB＝20.∠DAM＝45°，∠CAM＝60°， ∴MD＝20，AM ＝20，CM ＝20 3. ∴CD＝20(1＋3)(m)．2．D 解析：由α，β，b 可利用正弦定理求出BC. 3．B 解析：在△ABC 中，CD ＝a ，∠DAC＝β－α， 由正弦定理，得a sin β－α＝ACsinα，∴AC＝asinαsin β－α.在Rt△ABC 中，AB ＝AC·sinβ＝asinα·sinβsin β－α.4．C 解析：在△ABC 中，由正弦定理，可知x sin45°＝10sin30°，∴x＝10 2 m.5．解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD ＝6 000 m ，∠ACD＝45°， 由正弦定理，有AD ＝CDsin45°sin60°＝63·CD.同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD ＝6 000，∠BCD＝30°. 由正弦定理，有BD ＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°， 根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝632＋222·CD＝426CD ＝1 00042 m. 答：炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.6．解：设AB 的高为x.∵AB 与地面垂直， ∴△ABM，△ABN，△ABP 均为直角三角形．∴BM＝x·cot30°＝3x ，BN ＝x·cot45°＝x ，BP ＝x·cot60°＝33x. 在△MNB 中，BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN·BN·cos∠MNB， 在△PNB 中，BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP·BN·cos∠PNB， 又∵∠BNM 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， ∴3x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠MNB，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠PNB.② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，∴x＝2506(m)．答：塔高AB 为250 6 m.第2课时导入新课思路 1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．思路 2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．推进新课新知探究 提出问题1回忆前面是如何测量距离和高度的？2在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？ 3回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.4日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．讨论结果： (1)～(4)略．应用示例例1(教材问题3)活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解决．变式训练有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．解：如图所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记为CE →、CF →，重力记为CG →.由C 为绳子的中点，知|CE →|＝|CF →|. 由CE →＋CF →＝CG →，知四边形CFGE 为菱形． 又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋0.22≈0.02，∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos∠FCG ＝8.90.02＝445，即绳子所受的张力为445 N.例2如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0. 1°，距离精确到0.01 n mile)活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．解：在△ABC 中，∠ABC＝180°－ 75°＋ 32°＝137°，根据余弦定理， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB×BC×cos∠ABC ＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15.根据正弦定理， BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB＝BCsin∠ABC AC ＝54.0sin137°113.15≈0.325 5，所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．变式训练如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31 n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20 n mile 后到D 处，测得CD 为21 nmile ，问此时轮船离港口A 还有多远？解：由条件知∠CAD＝60°，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△BCD 中，由余弦定理，得 cosβ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD·BD ＝－17.∴sinβ＝1－cos 2β＝437.∴sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝5314.在△ABC 中，由正弦定理，得CD sin∠CAD ＝ADsinα，∴AD＝CD·sinαsin∠CAD ＝15 n mile.答：此时轮船离港口还有15 n mile.例3(教材问题4)活动：为降低难度，本题已经给出了平面示意图，教学时，可先不让学生看这个图形，让学生通过阅读题意自己画出图形，然后对照题目给出的图形，以便找出偏差．或者教师以幻灯片的形式打出题意，稍后再出示示意图，留给学生足够的思考空间．点评：(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练．在教材图116中，延长PQ 到Q′，使∠AQQ′＝40.3°，台风沿PQ 方向过点Q′时，则台风终止侵袭A 城．侵袭A 城的时间为台风经过Q 到Q′所用的时间．解△AQQ′，求出Q 与Q′的距离，然后除以台风移动的速度就可得到侵袭A 城的时间．(2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法．在解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．知能训练1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m⊥n ，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B＝__________.2．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？答案： 1.π6解析：由题意，得3cosA －sinA ＝0，即tanA ＝ 3. 又∵0＜A ＜π，∴A＝π3.由正弦定理，得sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin 2C ，即sinC ＝sin 2C. ∵sinC≠0，∴sinC＝1. 又∵0＜C ＜π，∴C＝π2.∴B＝π－(π2＋π3)＝π6.2．解：在△ABC 中，BC ＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠A＝15°.由正弦定理，知AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)，∴A 到BC 所在直线的距离为AC×sin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)． ∵40.98海里＞38海里，∴船继续向南航行，没有触礁的危险．课堂小结先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，熟悉有关角的概念；回顾在本节实际问题的探究中，是怎样画出方位角的，是如何将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理的．通过本节利用物体受力情况和航海、台风侵袭等实际问题，我们感受到数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．作业课本本节习题1—2A 组4；习题1—2B 组3.设计感想本教案是根据课程标准，学生的认知特点，内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经有了举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成；只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图，涉及到方位角，学生对图形难以把握，特别从空间的视角去审视的时候有些困难．因此教师应充分利用多媒体课件演示，让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在，教师不要怕在此浪费时间．本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活；数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值．备课资料一、备用习题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系是( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°3．如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY 上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行．(1)起初，两人的距离是多少？(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候两人的距离最短？4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．(角度精确到1°)5．如图，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最近？6．在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？7．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°，且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度；(单位：海里/时)(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 参考答案： 1．B2．B 解析：由题意可画出平面示意图，如图，则∠ACB＝80°， ∵AC＝BC ， ∴∠ABC＝50°.因此灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.3．解：(1)∵甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA·OBcos60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，∴起初两人的距离是7千米．(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，当0≤t≤34时，PQ 2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°＝48t 2－24t ＋7；当t ＞34时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t)2－2(4t －3)(1＋4t)cos120°＝48t 2－24t ＋7，∴PQ＝48t 2－24t ＋7.(3)PQ 2＝48t 2－24t ＋7＝48(t －14)2＋4，∴当t ＝14时，即在第15分钟末，PQ 最短．答：在第15分钟末，两人的距离最短． 4．解：连结BC ，由余弦定理，得。
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例课程设计
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例课程设计一、课程目标1.了解应用举例在解决问题中的重要作用；2.掌握应用举例的基本方法和技巧；3.能够独立运用应用举例解决具体问题。
二、教学内容与方法1. 教学内容(1) 应用举例的概念和作用•应用举例的概念和定义；•应用举例在解决实际问题中的应用。
(2) 应用举例的基本方法和技巧•应用举例的基本步骤；•应用举例需注意的技巧和方法。
(3) 应用举例的运用•基于不同学科领域的实际问题，进行应用举例操作；•工程和科技领域中的应用举例实践。
2. 教学方法通过讲解、演示、讨论、练习等方式，从理论到实践，使学生掌握应用举例的基本概念和技能，能够独立运用应用举例解决各种实际问题。
三、教学过程1. 教学环节序号教学环节时间（分钟）1 课堂导入 52 概念及作用介绍153 基本方法和技巧204 应用举例的实践405 课堂总结102. 教学详细过程（1）课堂导入教师通过提问、小组讨论等方式，让学生了解应用举例的重要性和应用范围，引导学生进入课堂氛围。
（2）概念及作用介绍教师介绍应用举例的概念，解释其作用和应用范围，通过实例引导学生理解。
（3）基本方法和技巧教师介绍应用举例的基本方法和技巧，讲解应用举例的步骤和注意事项，并通过例子演示。
（4）应用举例的实践教师提供具体的学科领域问题，带领学生进行应用举例实践，让学生熟练运用方法和技巧。
（5）课堂总结教师对本节课的内容进行总结，并对学生的成果进行评价和鼓励。
四、教学评估教师可以通过讨论、练习、测试等方式对学生的掌握程度进行评估。
五、教学反思本课程设计充分考虑学生的实际需求和能力水平，通过理论讲解和实践操作相结合的方式，使学生掌握应用举例的基本方法和技巧，并能够独立应用。
但在实践环节中，需要教师提供更加具体、实用的例子，帮助学生更好地理解和应用。
同时，在评估方面，需要多种形式的评估，更好地了解学生的掌握情况。
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例课程设计 (2)
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例课程设计一、课程目标通过本次课程的学习，学生将能够：1.理解什么是应用举例；2.掌握应用举例的基本方法和技巧；3.意识到应用举例在学习和生活中的重要性和价值。
二、课程内容本次课程将介绍应用举例的概念、基本方法和技巧，并通过案例分析和实践训练，让学生深入理解应用举例的本质和作用。
具体内容如下：1. 应用举例的概念1.定义：应用举例是指通过实例来说明一个概念、原理或现象的方法；2.特点：具有生动形象、易于理解、符合实际的特点；3.应用范围：在学习和生活中广泛应用。
2. 应用举例的基本方法和技巧1.理清概念：在选择实例时，要确保实例与要说明的问题具有相关性；2.具体化实例：要选择具体、生动、有代表性的实例，以便更好地说明问题；3.适量运用：要在说明问题的过程中适度运用举例方法，不要过度依赖；4.注意多角度：要从不同角度、不同侧面进行举例说明，以便更全面、更深刻地理解问题。
3. 应用举例的实践训练1.分析案例：以实际案例为例，进行分析和解决，学生积极参与；2.运用技巧：学生运用所学技巧，从多个角度和侧面进行案例分析，提高知识的深度和广度；3.综合评价：通过对学生的表现和实际案例的解决过程进行评价，提高学生应用举例的能力和水平。
三、课程布置和反馈1. 课程布置1.预习：学生在上课前预习本次课程的相关内容，提前了解应用举例的概念、方法和技巧；2.上课：老师在上课中讲解和演示应用举例的基本知识和技能，并进行案例分析和实践训练；3.课后作业：要求学生将所学的知识和技能运用到生活实践中，例如：以身边事例为例，运用举例法进行分析和解决。
2. 学生反馈1.针对学生的认知、应用能力和学习兴趣等方面进行调查和评价；2.根据反馈结果做出相应的优化和改进，提高课程质量和效果。
四、课程评价1.教师评价：本次课程着重培养学生的应用举例能力，让学生通过实际案例的分析和解决，掌握应用举例的基本方法和技巧，并在生活实践中得到应用和提高。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_10
任课教师
课题
正弦余弦定理的习题课
授课班级
3.7
授课时间
三维目标
知识与技能：掌握正余弦定理并能熟练应用正余弦定理
过程与方法：通过三角形形状的判断进一步理解正余弦定理中边角的关系
情感、态度与价值观：培养学生利用所学知识解决问题的能力
教学
重点、难点
利用正余弦定理判断三角形的形状
教学关键
熟练掌握正余弦定理
3
27人正确
4
20人正确
5
16人正确
6
14人正确
7
24人正确
8
21人正确
9
（1）12人正确（2）2人正确
10
3人答题
四．典型题讨论分析，学生板演
五．归纳判断三角形形状的方法
六．课堂跟踪训练
七．小结
八．作业：优化方案76页跟踪训练2
板书设计
正余弦定理的习题课
1.学生黑板板演解题过程2.归纳判断三角形形状的规律
年份
题型
考查内容
2012
填空
解答
正余弦定理
三角恒等变换三角函数性质
2013
选择
解答
三角函数性质
解三角形正余弦定理
2014
填空
解答
三角函数周期性
正余弦定理
2015
填空
解答
解三角形，正余弦定理
三角恒等变换三角函数性质
2016
选择
填空
三角函数性质
正余弦定理
三．正余弦定理学生检测卷评测分析
1
28人正确
2
25人正确
教学方法
探讨式教学
教
学
过
人教版高中数学必修(五)1.2应用举例教案(8)
课题: §2.2解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力●教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题●教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件●教学过程Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。
由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得AC = )sin(sin βαβ-aAB = AE + h= AC αsin + h= )sin(sin sin βαβα-a + h例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。
已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD 边。
人教版高中数学必修(五)1.2应用举例教案(12)
解三角形应用举例目标认知学习目标：初步运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度和测量高度、距离以及航海等的实际问题，了解常用的测量相关术语.重点：根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系，应用正、余弦定理解斜三角形，解决实际问题.难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化，灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 学习策略：解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.知识要点梳理知识点一：实际问题中的一些名词、术语1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2. 坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。
坡比是坡角的正切值。
3. 方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。
方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点B 的方位角是0135α=。
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西060方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转060）；如图为北偏东030方向（指从正北开始向正东方向旋转030）.东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；知识点二：解三角形应用题的一般步骤(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.知识点三：常见应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1. 测量高度问题；2. 测量距离问题；3. 测量角度问题；4. 计算面积问题；5. 航海问题；6. 物理问题等.规律方法指导1.应用正弦定理、余弦定理解应用题主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，并将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，再利用边角关系对已知条件进行变形、转化，从而使问题得以解决.2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
【优质文档】必修5教案《1.2应用举例(二)》
生：需求出 BD边。 师：那如何求 BD边呢？ 生：可首先求出 AB 边，再根据 BAD= 求得。
解 : 在 ABC中 , BCA=90 + , ABC =90 - ,
BAC= -
, BAD = . 根据正弦定理 ,
BC =
AB
sin( ) sin(90 )
所以 AB= BC sin(90 ) = BCcos 在 Rt ABD中 , 得 BD =ABsin
sin( ) sin( )
BAD=BCcos sin sin( )
将测量数据代入上式 , 得 BD = 27.3cos501 sin54 40 = 27.3cos501sin5440 ≈ 177 (m)
1.2 解三角形应用举例
第二课时
一、教学目标
1、 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
2、 巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。
3、 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
二、教学重点、难点
重点： 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
1、 作业：《习案》作业五
DBC≈ BC tan8 ≈ 1047(m) , 要懂得从所给的背景资
AB
的方法。
分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE中，如
能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由
C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE的长。
解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、 B 三点在同
一条直线上。 由在 H、G两点用测角仪器测得 A
高中数学必修五教案-1.2 应用举例(3)-人教A版
1.2 应用举例【课题】：1.2.3解三角形在三角形面积计算上的应用【学情分析】:在学习本节之前学生能解决直角三角形以及已知三角形的一边和这边上的高的三角形面积计算问题。
学生学了正弦定理和余弦定理并积累了一些解三角形的知识后，对三角形的面积的计算就可以向学生提出更高的要求了。
因此，在学生已掌握了正弦定理、余弦定理的基础上，让学生探讨解决“已知二边及夹角和已知三边求三角形面积”的问题，就有了可能。
【教学目标】：（1）知识与技能:使学生掌握在“已知二边及夹角”和“已知三边”的条件下求三角形面积的方法；提高计算和使用计算工具的能力；进一步领会方程的思想，提高解决问题尤其是实际问题的能力（2）过程与方法：通过合作与探究，加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高方程思想在实际中的运用能力（3）情态与价值：体验探求的乐趣，体会正弦定理、余弦定理的结构美，激发并提高学生学习数学的热情和兴趣【教学重点】：（1）公式的发现和它的灵活应用（2）方程思想的运用【教学难点】：在不同的条件下灵活的应用公式【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：2a=基础练习：1、在△ABC 中，a=2，A=030，C=045，则△ABC 的面积是_________________ 解：由正弦定理sin sin a bA B=有 0sin 2sin1052(31)sin sin 30a Bb A ===+ ∴ 112sin 22(31)3122ABC S ab C ∆==⋅⋅+⋅=+ 2、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C 的对边，且tan tan 33tan tan A B A B ++=⋅，灵活应用例2：如图，在某市进行环境建设中，要把一个三角形的区域改造成 市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68cm ,88cm ， 127cm ，这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm 2)例1，2是在不同条件下求三角形的面积问题，归根到底是灵活运用正弦定理和余弦定理，应让学生归纳总结方法并提高计算能力 练一练1.在△ABC 中，A=600，b=1，3ABCS=，则△ABC 外接圆的半径是_________________.2.在 △ABC 中，AB=2，BC=5，4ABCS=，则cos ∠ABC=_______.3.在△ABC 中，已知B=600，cosC=13,AC=36，求△ABC 的面积. 通过练习进一步熟悉公式，灵活地针对不同的条件解决问题，从而增加学生学好数学的信心 课堂小结布置作业1.课堂小结 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 2. 作业(1)课后阅读：课本第25页[阅读与思考] (2)书面作业教材第21页1，2题(3)在△ABC 中，2sin cos 2A A +=，AC=2，AB=3，求△ABC 的面积.巩固与深化课堂所学，形成知识链络a=4，b+c=5，则△ABC 的面积为________________________35. 3 C.D.222A解：由tan tan tan A B A B ++=⋅得tan tan1tan tan A BA B+=-⋅∴ A+B=23π C=3π又 ∵ 22222cos 1645c a b ab C b bb c ⎧=+-=+-⎨+=⎩∴ b=32113sin 4sin 2223ABCS ab C π==⋅⋅⋅= ∴选C3、在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦是2，则△ABC 的面积是____________________解：由已知可知A 是最大角，所以sin A =A=0060120或 又 222(4)(2)2(2)cos c c c c c A +=++-⋅⋅+当A=0120时，上式化为260c c --=，解得c=3或c=-2（舍去） 当A=060时，上式无意义∴ 11sin 532224ABCSbc A ==⋅⋅⋅=4、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C 的对边的长，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5,S=,求c 的长度。
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例教学设计 (2)
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例教学设计一、教材简介《人教版高中必修5(B版)》是适用于高中二年级学生的教材，主要包括语文、数学、英语、物理、化学、生物、地理等多个学科。
本文以该教材中的数学部分的第一章第二节作为教学对象，进行教学设计。
二、教学目标本节课的主要目标是学生能够通过实例理解线性规划的基本思想和方法，掌握如何列出数学模型并解决线性规划问题。
具体目标：1.了解线性规划的基本概念和解题思路；2.掌握线性规划模型的建立方法；3.能够通过现实问题进行线性规划模型的建立，并解决问题。
三、教学内容1. 基本概念介绍线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行解集、最优解等。
2. 解题思路介绍线性规划的解题思路，包括先画出可行域，再确定目标函数在可行域内的最优解。
3. 线性规划模型的建立通过实例来讲解线性规划模型的建立方法，包括确定决策变量、列出目标函数和约束条件等。
4. 实例分析通过几个实际问题，让学生应用线性规划模型来解决问题，如：生产问题、销售问题、调度问题等。
四、教学重点以线性规划模型的建立和列出目标函数和约束条件为重点。
五、教学难点学生对于线性规划模型的建立和列出目标函数和约束条件的理解和掌握。
六、教学方法1. 讲授法通过在黑板上讲解线性规划的基本概念和解题思路，让学生掌握线性规划的基本知识。
2. 练习法通过一些练习，让学生掌握线性规划模型的建立方法。
例如，通过实例来让学生列出目标函数和约束条件。
3. 案例法通过一些实际问题的案例，让学生学会如何应用线性规划模型来解决问题。
七、教学资源1.课本：《人教版高中必修5(B版)》；2.PPT：包括线性规划基本概念和解题思路，线性规划模型的建立方法和应用实例等。
八、教学评估1.课堂测试：通过解决一些类似于教学内容的问题来评估学生的掌握程度；2.课后作业：布置一些与课堂上所学内容相关的作业来巩固学生的知识。
九、教学计划1.课前10分钟：介绍课程的目标和内容，讲解线性规划的基本概念和解题思路；2.课前40分钟：讲解线性规划模型的建立方法，并通过实例进行演示；3.课后40分钟：通过一些实际问题的案例，让学生应用线性规划模型来解决问题；4.课后10分钟：课堂测试和总结。
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课题: §2.2解三角形应用举例
第一课时
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得
ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55=)7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒= ︒
︒54sin 75sin 55≈ 65.7(m)
答:A 、B 两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：2a km
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，
∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得
AC =
)](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )
sin()sin(δγβδγ+++a
BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a
计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
●授后记。