高二上学期数学期末考试试卷
河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。
2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷含答案
永春一中20221-2023学年（上）期末考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()()11,0,1,0,2a b ==- ，，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．15C ．35D ．752．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（）A ．4093B ．4094C ．4095D ．40963．已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11AC 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1A G =（）A ．73B ．279C ．273D．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．355D ．526．设等差数列{}n a 的前n 项的和为527,9,16n S a a a =+=，则下列结论不正确的是（）A ．21n a n =-B ．3616a a +=C ．2n S n n=+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 和为21nn +7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆22:49O x y +=，直线l 过点(2,6)N ，且交圆O 于,P Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A ．点M 的轨迹是圆B ．||PQ 的最小值为6C ．若圆O 上仅有三个点到直线l 的距离为5，则l 的方程是43100x y -+=D ．使||PQ 为整数的直线l 共有16条10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121nin i aa a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（）A ．934a =B ．()2233n n n a a a n -+=+≥C ．20212202120221i i aa a ==⋅∑D ．201920211ii aa ==∑11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率是22B ．线段AB 长度的取值范围是(0,32+C ．ABF △面积的最大值是)9214+D ．OAB 的周长不存在最大值12．在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AD AA P ∠====为1CC 中点，点Q 满足][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦.下列结论正确的是（）A ．若12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若AQ 平面1A BP ，则1AQ C Q +10310+C ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B A O ⋅为定值2D ．若17A Q =，则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题，第一空答对得2分，共20分．13．在空间直角坐标系O xyz -中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________.14．设函数()3221f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()y f x '=的图象的顶点的横坐标为12-，且()10f '=，则ba的值为__________.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆交C 于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第三象限，若113AF BF ≤，则C 的离心率的取值范围是__________.16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n n x x x ++++=的实根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =_____；若πsin 2n n n b a =⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，则2022S =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知曲线31:C y x =和22:2,(R)C y ax x a =+-∈.(1)若曲线1C ､2C 在1x =处的切线互相垂直，求a 的值；(2)若与曲线1C ､2C 在0x x =处都相切的直线的斜率大于3，求a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点),(1,0)(1,2A B -.(1)若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||3MN =l的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得222||||1PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，PC ⊥底面ABCD ，且1,PC BC E ==是棱PB 上动点.(1)若过C ，D ，E 三点的平面与平面PAB 的交线是l ，证明：//CD l(2)线段PB 上是否存在点E ，使二面角P AC E --的余弦值是23？若存在，求PE PB 的值；若不存在，请说明理由.20．（本题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中，*N n ∈.(1)若12a =，2nn b =.①求数列{}n a 的通项公式；②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？21．（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线C 上一点，12121cos ,24F PF PF PF ∠==，且焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 为双曲线C 的左顶点，点(),0B t 为x 轴上一动点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,M N 两点，直线,AM AN 分别交直线2a x =于,S T 两点，若π02SBT ∠<<，求t 的取值范围.22．（本题满分12分）已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N，其中1x 为正实数．(1)用n x 表示1n x +；(2)若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式．(3)若14,2n n x b x ==-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：3n T <．。
北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案
海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
新疆阿克苏市实验中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
新疆阿克苏市实验中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知点()()0,1,3,1,2,3A B -，则AB =u u u r （ ）A ．(2,1,3)-B ．()1,2,3C ．()1,3,0-D ．()1,3,0 2．抛物线24x y =的准线方程为( )A ． 1x =-B ． 1x =C ． 1y =-D ．1y = 3．已知1，a ，9成等差数列，则实数a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．若直线20x y +=与直线50mx y -+=垂直，则m =( )A ．1B ．2C ．1-D ．2-5．在等差数列{}n a 中，234+=a a ，568a a +=，则4a =（ ）A ．4B ．72C ．3D ．26．已知等差数列{}n a 的公差为2，n S 为其前n 项和，若57S S =，则1a =（ ） A ．9 B ．9- C ．11 D ．11-7．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 8．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥B ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥二、多选题9．已知圆M 般方程为22+-8+6=0x y x y ，则下列说法正确的是（ ）A ．圆M 的圆心为（4，3）B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8C ．圆M 的半径为5D ．圆M 被y 轴截得的弦长为610．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ）A ．12a =-B ．4d =-C ．46n a n =-D ．224n S n n =-11．过点(4,3)A -作圆22(3)(1)1x y -+-=的切线，所得切线方程为（ ）A ．4x =B ．158360x y +-=C ．=3y -D ．81530x y --= 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）A ．1//BC 平面1ACDB ．直线1BC 与直线1AD 为异面直线C ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90︒D ．1B D ⊥平面1ACD三、填空题13．设向量()1,2,4AB =u u u r ，(),1,1CD m =u u u r ，AB CD ⊥u u u r u u u r ，则实数m =.14．直线:10l x y +-=被圆22:6430C x y x y ++--=截得的弦长为.15．双曲线22163x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为． 16．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S a =，212a a -=，则5a =．四、解答题17．已知数列{}n a 满足*111,2,N n n a a a n +==+∈.(1)由递推关系写出数列{}n a 的前五项；(2)求数列{}n a 的通项公式.18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，37a =，651S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)写出数列{}n a 的前n 项和n S .19．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程. 20．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1.（1）求证：AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值.21．已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，*N n ∈.(1)写出数列{}n a 的通项公式.(2)证明：数列{}n a 是等差数列；22．已知椭圆C 的焦点为F 1（0，-2）和F 2（0，2），椭圆C 与y 轴相交于,M N 两点，且MN =设直线y =x +2交椭圆C 于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求弦AB 的中点坐标及|AB |.。
天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
B．方程 f x g x 有两个实数根
C．若直线 y a 与函数 g x 交于点 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，与函数 f x 交于点
B x2 , y2 ， C x3, y3 ，则 x1x3 x22
(2)若 f (x) 在 (1,1) 上单调递增，求实数 a 的取值范围．
19．记
Sn
为数列 an 的前
n
项和，已知
a1
1,
Sn an
是公差为
1 3
的等差数列．
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明：
1 a1
1 a2
1 an
2．
20．在① a3 5，a2 a5 6b2 ；② b2 2，a3 a4 3b3 ；③ S3 9，a4 a5 8b2 ，这三个
一个解答计分．
21．已知抛物线 C : y2 2 px p 0 上的点 M 到焦点 F 的距离为 5，点 M 到 x 轴的距离
为 6p ．
(1)求抛物线 C 的方程； (2)若抛物线 C 的准线 l 与 x 轴交于点 Q，过点 Q 作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，设直 线 FA，FB 的斜率分别为 k1 ， k2 ．求 k1 k2 的值．
C． x2 y2 1 144 25
D． x2 y2 1 25 144
3．曲线
f
x
x
cos
x
在点
π 2
,
f
π 2
处的切线斜率为（
）
A．0
B．1
C．-1
D．2
4．已知数列 an 满足
2an1Biblioteka 2an1 ，其中a8
福建省南平市2023-2024学年高二上学期期末数学试题
福建省南平市2023-2024学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．经过((),3,0A B 两点的直线的倾斜角为（ ）A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π32．已知直线l 的一个方向向量为()1,0,1u =r ，平面α的一个法向量为()0,1,1n =-r ，则l 与α所成角的正弦值为（ ）A ．12 B C D ．13．下列求导运算正确的是（ ）A ．ππsin sin cos sin 66x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭B ．()2(31)231x x '⎡⎤+=+⎣⎦C ．()22x x '= D ．()21log ln2x x '=4．已知椭圆22:16x y C m m +=+，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程280x x m -+=两根，若3543a a a =，则m 的值为（ ）A ．3B ．9C ．9-D ．3- 6．已知正数,x y 满足()ln xy x =，则2xy x -的最小值为（ ）A ．1ln22B ．22ln2-C ．1ln22-D ．2ln2+7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,P 为双曲线左支上一点，若直线b y x a=垂直平分线段2PF ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B C ．2 D 8．若圆()2221:2100C x y ax a a +-+-=≥与圆()2222:2400C x y by b b +++-=≥外切，）A ．[]4,64B ．[]28,C ．[]52,64D ．⎡⎤⎣⎦二、多选题9．已知直线1:4330l x y --=，直线()()()2:210l m x m y m m +-++=∈R ，则（ ） A ．当1m =-时，12l l ⊥B ．当2m =时，1l //2lC ．当1l //2l 时，1l 与2l 之间的距离为1D ．直线2l 过定点()2,110．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，则（ ）A ．2PF Q △的周长为4B ．1PF 的取值范围是[]1,3C ．PQ 的最小值是3D ．若线段PQ 中点为()1,1，则直线l 的斜率为34- 11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 为等边三角形，G 为111A B C △的重心，112BP PA =u u u r u u u r ，若111π,13BAA CAA AB AA ∠∠====，则（ ）A ．1112333PG AB AC AA =-++u u u r u u u r u u u r u u u r B ．1AA BC ⊥u u u r u u u rC ．PG u u u r //1BC u u u u rD ．PG =u u u r 12．已知函数()21ex x x f x +-=，其中x ∈R ，则（ ） A ．函数()f x 的极大值点为2B ．若关于x 的方程()f x k =有且仅有两个实根，则k 的取值范围为()e,0-C ．方程()()1f f x =-共有4个实根D ．关于x 的不等式()f x ax ≤不可能只有1个整数解三、填空题13．已知向量()()2,,1,2,1,4a b λ=-=-r r ，若a b ⊥r r ，则λ=.14．已知函数()ln 21f x x x =-+在1x =处的切线为l ，则直线l 的方程为.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为C 上一点且121260,2F PF PF PF ∠==o ，则该双曲线渐近线的斜率为.16．《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题，将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每一层比下一层少1根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放层.四、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，25a =且5940a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．已知圆C 的圆心在直线1:30l x y --=上且圆C 与x 轴相切于点()2,0M .(1)求圆C 的方程；(2)已知直线2:210l x y +-=与圆C 相交于,A B 两点，求ABC V 的面积.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，BC ⊥平面,PAB AD P 1,12BC AB AD BC ===，π,2ABP E ∠=为PC 的中点.(1)证明：2PC DE =；(2)若平面ADE 与平面PCDPB 的长. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*n ∀∈N 都有不等式169n n T a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.21．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点()0,1F 的距离比它到直线=2y -的距离少1，记动点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程； (2)将曲线C 按向量()2,1m =r 平移得到曲线1C （即先将曲线C 上所有的点向右平移2个单位，得到曲线C '；再把曲线C '上所有的点向上平移1个单位，得到曲线1C ），求曲线1C 的焦点坐标与准线方程；(3)证明二次函数2y ax bx c =++的图象是拋物线.22．已知函数()()()22ln 1,cos 22x x f x x g x x =++=+. (1)当[)0,x ∈+∞时，比较()f x 与x 的大小；(2)若()2e 1(0,0)a f g b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，比较()21f b +与()1g a +的大小.。
西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ， 则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。
福建省莆田第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
第 1 页共 4 页莆田一中2022-2023学年第一学期期末试卷高二数学第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知f (x )=alnx −12x 2+x ，且f ′(1)=3，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．直线l 1:ax +y −1=0，l 2:(a −2)x −ay +1=0，则“a =−2”是“12//l l ”的（ ）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．已知圆的方程为2260x y x +−=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的最短弦长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列{a n }中，公差12d =，且1359960a a a a ++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．145B ．150C ．170D ．1205．在正项等比数列{a n }中，a 3、a 7是函数f (x )=13x 3−4x 2+4x −1的极值点，则a 5＝（ ） A ．2−或2B ．2−C．D ．26．已知1F 、2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．47．已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>第 2 页 共 4 页8．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆2222x y a b +=+，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆()22:()()4R C x a y a −+=∈上存在点P ，使得过点P 可作两条互相垂直的直线与椭圆2213x y +=相切，则实数a 的取值范围为（ ）A ． []0,4B ．[]4,4−C ．[]0,2D ． []22−,二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a 的通项公式为a n =(−1)n ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列数列一定成等比的有（ ） A ．数列{}1n n a a ++ B ．数列{}2n a C ．232,,n n n n n S S S S S −−D ．数列{}1n n a a +⋅10．任取一个正整数，若是奇数，将该数乘以3再加上1；若是偶数，将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如：取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：数列{a n }满足：1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时.若a 2=m （m 为正整数），a 6=1，则m 所有可能的取值为（ ） A ．2B ．5C ．16D ．3211．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，则下列说法错误．．的是（ ）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4 B ．椭圆C 的离心率为12C ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3D ．椭圆C 上不存在点P ，使得120PF PF ⋅=第 3 页共 4 页12．已知函数()2ln 2f x x x mx =−，则下列说法正确．．的是（ ） A ．当0m ≤或12em =时，()f x 有且仅有一个零点 B ．当0m ≤或14m =时，()f x 有且仅有一个极值点 C ．若()f x 为单调递减函数，则14m > D ．若()f x 与x 轴相切，则12em =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点P (2,−2)，其纵截距为正，且纵截距比橫截距大1，则直线l 的方程为 ．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，1290F PF ∠=，且点P 在椭圆上．则椭圆C 的离心率=e __________．15．点P 是曲线x x y ln 2−=上任意一点,且点P 到直线y =x +a 的距离的最小值是√2，则实数a 的值是 ．16．已知点(,)P m n 在圆22:(2)(2)9C x y −+−=上运动，则m +n 的最大值为 ，的取值范围为 ．四､解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1) 已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++−=：．证明圆1C 与圆2C 相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；(2) 求圆心既在第一象限又在直线3x −y =0上，与x 轴相切，且被直线x −y =0截得的弦长为2√7的圆的方程．第 4 页 共 4 页18．(12分) 设函数f(x)=x +ax 2+blnx ，曲线y =f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2．(1) 求a 、b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2．19．(12分) 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a 、3a 的等差中项．(1) 求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．20． (12分) 设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足_________． 条件①：111n n a a n n +=++； 条件②：23n nn S a +=； 条件③：12n n n n T a T n ++=． 请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列13n n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和34nM <． （参考公式．．．．：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++）21．(12分) 已知点A(−2,0)、B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为43−．记M 的轨迹为曲线C ．(1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2) 经过点P(−1,0)的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点. 记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值．22．(12分) 已知函数()e 1,R x f x ax a =−−∈． (1)求函数()f x 的极值；(2)若1是关于x 的方程()()2R f x bx b =∈的根，且方程2()f x bx =在(0,1)上有实根，求b 的取值范围．莆田一中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学姓名： 班级： 考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
2023-2024学年高二上学期南京一中期末数学试卷【教师版】
南京市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学考试时间：120分钟满分：120分一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．）1．已知，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）．充要条件必要而不充分条件充分而不必要条件既不充分也不必要条件【答案】【解析】斜率不存在时，则当时，两直线为与，此时两直线垂直．当，即时，两直线为与，此时两直线相交不垂直．斜率存在时，当且时，两直线的方程为与．两直线的斜率为与，所以由得，所以或时两直线垂直，所以是两直线垂直的充分不必要条件，故选：．2．若数列满足，，则（ ）【答案】【解析】数列满足，，，，，，，m R ∈1m =-()2120mx m y +--=330x my ++=A ．B ．C ．D ．C0m =2y =-31x =-210m -=12m =4x =31230x y ++=0m ≠12m ≠21221y m m x m =--+-33y mx m =--21m m --3m -2131m m m --⨯-=-1m =-0m =1m =-1m =-C {}n a 12a =11n n n a a a +=-2044a =A ．12B ．2C ．3D ．1-C{}n a 12a =11n n n a a a +=-111n na a +∴=-211122a ∴=-=3121a =-=-()4112a =--=511122a =-=是周期为的周期数列，而，故．故选：．3．已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）．在区间上单独递减的一个增区间为的一个极大值为的最大值为【答案】【解析】结合图象：时，递增，故错误，正确；时，递减，故是的极大值点，是函数的一个极大值，但不一定是最大值，即错误；是函数的一个极小值，即错误；故选：．4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）．【答案】【解析】由题意可得，解得，{}n a ∴3202436742=⨯+2024212a a ==C ()f x R ()f x '()f x 'A ．()f x ()0,1B ．()f x (1,1)-C ．()f x (1)f -D ．()f x ()1f B(1,1)x ∈-()0,()f x f x '>A B (1,3)x ∈()0,()f x f x '<1x =()f x (1)f ()f x D (1)f -()f x C B {}n a {}n b 1599a a a ++=258b b b =28281a a b b +=+A ．2BCD ．32C15953258539a a a ab b b b ++==⎧⎪⎨==⎪⎩553a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以．故选：．5．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）【答案】【解析】由题意，，在圆中，点在圆上，线段的中点为，设，则，，即：．故选：．6．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（ ）【答案】【解析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，所以有，，又因为，，285228526311132a a ab b b +===+++C (2,0)P Q 221x y +=PQ M A ．()2211x x -+=B ．()2211x y +-=C ．()224141x y -+=D ．()224411x x +-=C(2,0)P 221x y +=Q PQ M (,)M x y (22,2)Q x y -22(22)(2)1x y ∴-+=224(1)41x y -+=C 2070n n a nb55n a =n b =A ．34B ．35C ．88D ．89C112n n n a a b --=+11n n n b a b --=+10a =11b =所以，，，，，，，，，，，．故选：．7．三个数，，的大小顺序为（ ）【答案】【解析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序．解：设，，时，，在上单调递减，又，，，且，．故选：．8．已知，分别为双曲线左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率是（ ）【答案】【解析】由，结合正弦定理得，因为，所以，，又，即，则，所以．21a =21b =33a =22b =48a =45b =521a =513b =655a =634b =7144a =789b =D 22a e =ln 22b =ln 33c =A ．b c a <<B ．b ac <<C ．c a b<<D ．a b c <<Dln ()x f x x =21ln ()x f x x '-=()f x (,)e +∞()2a f e =(4)b f =(3)c f =a b c ln ()x f x x =21ln ()x f x x '-=x e ∴>()0f x '<()f x ∴(,)e +∞2222ln e a e e==ln 2ln 424b ===ln 33c =243e >>()2(4)(3)f e f f ∴<<a b c ∴<<D 1F 2F ()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F C M N 1221sin 2sin 3NF F NF F ∠=∠()220MF MN NF +⋅= C A B C D B 1221sin 2sin 3NF F NF F ∠=∠1223NF NF =122NF NF a -=16NF a =24NF a =()220MF MN NF +⋅= ()()220MF MN MF MN +⋅-= 2220MF MN -=2||MF MN =设，则，又，则，解得，所以，，所以是正三角形，从而，在中，由，得，得，所以二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）9．已知圆和圆交于，两点，则（ ）．两圆的圆心距两圆有条公切线直线的方程为圆上的点到直线的最大距离为【答案】【解析】根据题意，圆，即，其圆心，半径；圆，即，其圆心，半径；依次分析选项：对于，两圆的圆心距，所以错误；对于，由于，两圆相交，有条公切线，错误；对于，两个圆的方程作差可得，即，故直线的方程为，正确；对于，圆到直线的距离则圆上的点到直线的最大距离为正确．故选：．10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ）．2||MF MN m ==16MF a m =-212MF MF a -=(6)2m a m a --=4m a =2||4MF MN a ==12MF a =2MF N △12120F MF ︒∠=12MF F △2221212122cos120F F MF MF MF MF ︒=+-⨯⨯⨯222(2)(2)(4)224cos120c a a a a ︒=+-⨯⨯⨯227c a =e =221:230O x y x +--=222:210O x y y +--=A B A ．122Q Q =B ．3C ．AB 10x y -+=D ．1O AB 2CD221:230O x y x +--=22(1)4x y -+=(1,0)2R =222:210O x y y +--=()2212x y y +-=(0,1)r =A 12O O ==A B 1222O O -<<+2B C 2220x y -+-=10x y -+=AB 10x y -+=C D 1O AB d =1O AB 2R d +=+D CD {}n a n S d 312a =120S >70a <时，的最小值为最大时，【答案】【解析】根据题意，依次分析选项：对于，由，则，又，则，故正确；对于，结合选项知，，，又，所以，解得，故错误；对于，结合选项知，又，所以时，的最小值为，故正确；对于，结合选项和知，当时，，当时，，所以当最大时，，故错误．故选：．11．抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是（ ）．抛物线的方程为存在直线，使得、两点关于对称的最小值为当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切【答案】【解析】对于，当运动到时，，由抛物线的定义可知，，所以，故抛物线的方程为，即错误；A ．60a >B ．43d -<<-C ．0n S <n 13D ．n S 7n =A CA 120S >()()6711212121222a a a a S +⨯+⨯==()6760a a =+>70a <60a >A B A 60a >70a <670a a +>312a =6767123012402470a d a d a a d =+>⎧⎪=+<⎨⎪+=+>⎩2437d -<<-B C A ()113137131302a a S a +⨯==<120S >0n S <n 13C D A B 16n ……0n a >7n …0n a <n S 6n =D AC 22(0)y px p =>F P P (2,)t ||4PF =l A B (4,1)M A ．28y x =B ．l A B 60x y +-=C ．||||PM PF +6D ．l F AF y B DA P (2,)t ||4PF =44222p px =-=-=4p =28y x =A对于，过点作垂直抛物线的准线，则，当且仅当、和三点共线时，等号成立，即正确；对于，因为、两点关于对称，所以直线的斜率为，设直线的方程为，，的坐标为，，联立，得，所以所以，且，即的中点坐标为，因为、两点关于对称，所以点一定在直线上，于是，解得，与相矛盾，故不存在直线满足题意，即错误；对于，设的坐标为，因为，所以的中点坐标为，而以为直径的圆的半径为，与的中点的横坐标相同，所以正确．故选：．12．已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（ ）取最小值时的值为的最小值为取最小值时的值为B P PP '||||||PM PF PM PP MP ''++ (4262)M px =+=+=P 'P M B C A B 60x y +-=l 1l y x m =+A B ()11,x y ()22,x y 28y x m y x=+⎧⎨=⎩22(28)0x m x m +-+=122122282,(28)40x x m x x mm m +=-⎧⎪=⎨⎪∆=-->⎩2m <121228y y x x m +=++=AB (4,4)m -A B 60x y +-=(4,4)m -60x y +-=4460m -+-=2m =2m <l C D A ()11,x y (2,0)F AF 112,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭AF 11211||2222x p r AF x +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭AF D BD ()11,x y 111ln 20x x y --+=()22,x y 22242ln 20x y +--=()()221212D x x y y =-+-A ．D B ．D 2x 125C ．D 45D ．D 2x 65【答案】【解析】将表示为函数图象上的点到直线上的点的距离的平方，利用导函数与函数切线的关系即可求解．【详解】由，得：，的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的平方的最小值，由得：，与直线平行的直线的斜率为，则令，解得:，切点坐标为，到直线的距离．即函数上的点到直线．所以的最小值为过与垂直的直线为，即．由，解得：，即当最小时，．故选：．三、填空题：（本题共4小题，共20分．）13．在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______．【答案】【解析】直线的一方向的量为BC()()221212D x x y y =-+-ln 2y x x =-+242ln 20x y +--=111ln 20x x y --+=1ln 112y x x =-+()()221212D x x y y =-+-ln 2y x x =-+242ln 20x y +--=ln2y x x =-+11y x'=-242ln 20x y +--=12-1112x -=-2x =∴(2,ln 2)∴(2,ln 2)242ln 20x y +--=d ==ln 2y x x =-+242ln 20x y +--=()()221212D x x y y =-+-245d =(2,ln 2)242ln 20x y +--=ln 2y x x =-+24ln 20x y --+=242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩125x =D 2125x =BC xOy ()()1122,,P x y Q x y l l PQl l (-l 60︒l (-直线倾斜角为．14．已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，做垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则______．【解析】椭圆的左焦点为，把代入中，得，15．设函数的导数为，且，则______．【答案】．【解析】因为，所以，令，则，即解得，所以，所以．故答案为：．30x k ∴-+=3x k =-y ∴=k ∴=∴l 60︒22120x y k+=8AB ||AB =()1,0-1x =-221204x y +=2195y =y =AB ∴==()f x ()f x '()sin cos 3f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭56f π⎛⎫'=⎪⎝⎭1()sin cos 3f x f x x π'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()cos sin 3f x f x x π''⎛⎫=- ⎪⎝⎭3x π=cos sin 3333f f ππππ''⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1323f f ππ''⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin f x x x '=-5551sin 16662f πππ'⎛⎛⎫=-=-= ⎪ ⎝⎭⎝116．已知数列满足，，则数列的通项公式为______，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为______．【答案】①②【解析】在数列中，，由得：，而，于是得数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，所以数列的通项公式为；显然，，则，由得：，即，令，则，即数列是递增数列，由，得，而，因此，，从而得，，所以满足不等式的的最小值为．故答案为：；．四、解答题：（本题共6小题，共70分．）17．（10分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的解集．【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，函数的定义域为，{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a (1)(2)n a n n ⎧⎫⎨++⎩⎭n n S 30n S ≥n 12n n a n +=⋅6{}n a 14a =12(1)n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭42142n n a n -=⋅12n n a n +=⋅{}n a 12n n a n +=⋅121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++32435412122222222222223243541212n n n n n n S n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n nb n b n ++=>+{}n b 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =30n S ≥n 612n n a n +=⋅62()ln f x x x =-()y f x =()()1,1f ()0f x '<y x =⎛ ⎝2()ln f x x x =-(0,)+∞且，，，因此，曲线在点处的切线方程为，即；（2）依题意，函数的定义域为，且，令且，，故不等式的解集为18．（12分）在数列中，，（1）证明：数列是等比数列．（2）求数列的前项和．【答案】（1）是首项为，公比为的等比数列（2）【解析】（1）证明：由，得．又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）)可知，所以数列的通项公式为，所以数列的前项和．19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】1()2f x x x'=-2(1)1ln11f ∴=-=(1)211f '=-=()y f x =(1,(1))f 11y x -=-y x =2()ln f x x x =-(0,)+∞1()2f x x x'=-()0f x '<0x >221000x x x x ⎧-<⎪⇒<<⎨⎪>⎩()0f x '>⎛ ⎝{}n a 12a =()1431n n a a n n ++=-+∈N {}n a n -{}n a n n S 1441(1)32n n n n S -+=+1431n n a a n +=-+()*1(1)4,n n a n a n n +-+=-∈N 111a -={}n a n -1414n n a n --={}n a 14n n a n -=+{}n a n 41(1)32n n n n S -+=+C 30x y -=()1,3A -()1,5B C ()2,1P l C M N ||MN =l【解析】（1）设圆的方程为，则，，，联立解得，，，圆的方程为，即．（2）直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，满足．直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，由题意可得，解得，直线的方程为，即．综上可得直线的方程为：，．20．（12分）已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】【解析】（1）设等差数列的公差为．由，得．因为，所以．220x y Dx Ey F ++++=3022D E ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭19 3 0D E F +-++=125 5 0D E F ++++=2D =-6E =-6F =∴C 222660x y x y +--+=22(1)(3)4x y -+-=l l 20x -==||MN =l l 1(2)y k x -=-120kx y k -+-=(1,3)C l d ==224-=34k =-l 31(2)4y x -=--34100x y +-=l 20x -=34100x y +-=0{}n a 12a =124111,,a a a {}n a {}n b 21123222n n n b b b b a -++++= {}n nb n n T {}n a d 2214111a a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()()21113a d a a d +=+0d ≠12d a ==所以．（2）．①．②②-①得：．．当时，，．上两式相减得：．．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值．【答案】【解析】（1）由椭圆的定义可知三角形的周长为，所以，又离心率，所以，则，所以椭圆的方程为；2n a n =1123242n n n b b b b a -++++= 1123112422n n n n n b b b b b a -+++++++= 122n n b +⋅=112n n b -+∴=1n =112b a ==22n n b -∴=10121232222n n n T --=+++⋅⋅⋅+0121112322222n n n T -=+++⋅+0122111111111222122222222n n n n n n n T ----⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+⋅-- ⎪⎝⎭2282n n n T -+∴=-()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F C A B 1F AB △8C P C C M N P MN PMN △1F AB 48a =2a =12c e a ==1c =2223b a c =-=22143x y +=（2）①当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，，，代入椭圆方程可得：，则设与平行且与椭圆相切的直线方程为，代入椭圆方程可得：，则解得，则点到的最大距离为两平行线间的距离，，所以三角形的面积的最大值为②若直线与轴垂直时，则在长轴顶点时三角形的面积取得最大值，且此时的面积为，综上，三角形的面积的最大值为．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在不相等的实数，，使得，证明：．【答案】【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；MN x y kx =(,)M x y (,)N x y --221234x k =+2221234k y k =+||MN ===MN y kx m =+()2223484120k x mkx m +++-=()()2222644344120m k k m ∆=-+-=2234m k =+PMN max d ===PMN max max 11||22S MN d =⋅=⨯=MN x PPMN 122S b a =⨯⨯=PMN ()ln ()f x x m x m =-∈R ()f x 1x 2x ()()12f x f x =120m x x <<+()f x (0,)+∞()1m x m f x x x'-=-=0m …()0f x '>()f x (0,)+∞当时，由得，所以在上单调递增；由得，所以在上单调递减；故当时，所以在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：，，由（1）可知，当时，在上是增函数，故不存在不相等的实数，，使得，所以．由得，即，不妨设，则，则，要证，只需证，即证，只需证，令，则只需证，即证，令，则，所以在上是增函数，所以，从而，故．0m >()0f x '>x m >()f x (,)m +∞()0f x '<0x m <<()f x (0,)m 0m …()f x (0,)+∞0m >()f x (,)m +∞(0,)m ()ln ,0f x x m x x =->()1m x m f x x x'-=-=0m …()f x (0,)+∞1x 2x ()()12f x f x =0m >()()12f x f x =1122ln ln x m x x m x -=-()2121ln ln m x x x x -=-120x x <<21ln ln 0x x ->21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-212112ln ln x x x x x x -<-+2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 01t t t -->+1()ln ,(1)1t g t t t t -=->+222121()0(1)(1)t g t t t t t '+=-=>++()g t (1,)+∞()(1)0g t g >=1ln 01t t t -->+120m x x <<+。
重庆市主城区七校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2022—2023学年（上）期末考试 高2024届数学试题（答案在最后） 考试说明：1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：4页一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2040S =，则30S =（ ）． A ．90 B ．80 C ．60D ．30 2．若(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则a b ⋅等于（ ） A ．5 B ．5- C ．7 D ．1-3．已知抛物线214y x =的焦点为F ,()1,0D -则FD 为（ ） A ．B ．2C ．1716D4．已知点,,A B C 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，若,A B 两点关于原点对称，AC 过右焦点F ，且0,3||||FB AC AF CF ⋅==，则双曲线的离心率为（ ） ABCD．15．等比数列{}n a 为递减数列，若7146a a ⋅=，4175a a +=，则518a a =（ ） A ．32B ．23C ．16D ．66．已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为（ ） A ．1＋3 B．12+ CD7．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 7=（ ）A ．110B ．128C ．144D ．898．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．直线l 与OM 一定不垂直；B ．若直线l 方程为22y x =+，则AB =C ．若直线l 方程为1y x =+，则点M 坐标为1233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程l 为230x y --=二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知动直线:10l kx y k --+=与圆22:40C x y y +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 过定点()11，B ．圆C 的圆心坐标为()02-，C ．直线l 与圆 C的相交弦的最小值为 D ．直线l 与圆 C 的相交弦的最大值为410．已知椭圆221:1169x y C +=与双曲线()222:1916169x y C k k k+=<<--，下列关于两曲线的说法正确的是（ ）A ．1C 的长轴长与2C 的实轴长相等B ．1C 的短轴长与2C 的虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率不相等11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，那么下列选项正确的是（ ） A ．数列{1}n a +是等比数列 B ．数列{}n a 的通项公式为21n n a =- C ．2n n S n =- D ．1n T <12．已知1111ABCD A B C D -为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E ，F 分别为1,1AA BB 的中点．则下列说法错误的是（ ）A ．直线1AD 与平面11DCC DB ．平面11AB D ⊥平面1BDCC ．直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为D ．以D为球心，11BCC B 的交线长为23π 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.以(1,3)为圆心，且与直线x +2y +8=0相切的圆的标准方程是___________________. 14.线段AB ,其中A(2,5),B(5,1)，过定点P(1,2)作直线l 与线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是___________.15.数列{a n }满足下列条件：a 1=1,且∀n ∈N ∗,恒有a 2n =a n +n −1,则a 256=__________. 16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E （如右图）是由椭圆C 1:x 28+y 24=1和双曲线C 2:x 23−y 2=1在y 轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C 1上一点P 0出发，经过点F 2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1,P2,P3,P4,…若P0,P4重合，则光线从P0到P8所经过的路程为_________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=5，S6=0.（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最大值.18.（12分）已知点D(−2,2),直线l:ax−2y+3=0圆C:x2+y2−2x−6y+5=0. （1）若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值；（2）若点P为x轴上一动点，求|PC|+|PD|的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标.19.（12分）在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M,N,O,P分别为BC,CC′,C′D′,AA′的中点.（1）求证：MO∥平面BDD′（2）求异面直线BN与PB′所成角的余弦值.20.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足条件2S n+3=3a n，其中n∈N∗.（1）求{a n}的通项公式3，又b1b3+b2b4+⋯+（2）设数列满足b n=log anb n b n+2<M，对一切n∈N∗恒成立，求M的取值范围.21.（12分）已知四棱锥P −ABCD （如图），四边形ABCD 为正方形，面PAB ⊥面ABCD,PA =PB =AB =2,M 为AD 中点. （1）求证:PC ⊥BM ;（2）求直线PC 与平面PBM 所成角的余弦值.22.(12分)椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别为1F ，2F ，椭圆与y 轴正半轴交于点2)Q ，122QF F S ∆=. （1）求曲线C 的方程；（2）过椭圆C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆C 交于E G 、两点，求PEG ∆的面积PEG S ∆的取值范围.2022—2023学年（上）期末考试 高2024届数学试题参考答案及评分标准一、1-8单选择题 二、9-12多选题13.()()221+345x y --= 14.[−14,3] 15.248 16.16√2−8√3 四、解答题 17.解： (1)由S 6=0得6(S 1+S 6)2=0, .................1分从而S 1+S 6=0,即2S 1+5S =0, .................3分 又因为S 1=5，所以S =−2,所以S S =5−2(S −1)=7−2S， .................5分 (2)S S =S (S 1+S S )2=S (12−2S )2=−S 2+6S =−(S −3)2+9，.................8分所以S =3时S S 有最大值9，.................10分18.解：（1）圆S :(S −1)2+(S −3)2=5,∴S (1,3),∴S SS =13,S S =S2，.................4分∵S ⊥SS ,∴S SS ∙S S =13∙S2=−1,∴S =−6，.................5分（2）点S (−2,2)关于S 轴的对称点为S ′(−2,−2)，................7分则|SS |+|SS |=|SS |+|SS ′|≥|SS ′|=√(1+2)2+(3+2)2=√34， (9)分当且仅当S、S、S ′三点共线时等号成立，此时，S SS ′=53,则直线方程为：S +2=53(S +2),即S =53S +43，.................11分 令S =0,得S =−45，所以S (−45,0)，.................12分 19.解：（1）取SS 中点S ,连接SS ,SS ′,则SS =12SS ,SS ∥SS ∥SS ′，.................2分 又因为SS ′=12S ′S ′=12SS ，所以SS ∥SS ′,且SS =SS ′， 所以四边形SSS ′S 为平行四边形，所以SS ∥SS ′，.................4分 又因为SS ′⊆平面BDD ′,所以SS ∥平面BDD ′，.................5分（2）以S 为原点，SS、SS、SS ′分别为S、S、S 轴，建立空间直角坐标系 设S (2,2,0),S ′(2,2,2),S (2,0,1),S (0,2,1)，.................7分 设直线SS 与SS ′所成角为S所以SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),，.................9分所以SSSS=|SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5∙√5=15，.................11分所以异面直线SS与SS′所成角的余弦值为15，.................12分20.（1）∵2S S+3=3S S,∴2S S+1+3=3S S+1,两式相减得2S S+1=3S S+1−3S S,∴S S+1=3S S，.................3分又2S1+3=3S1,S1=S1,∴S1=3，.................5分∴数列{S S}是以首项为3，公比为3的等比数列∴S S=3∙3S−1=3S，.................6分（2）由（1）知，S S=logS S 3=1S，.................7分∴S S S S+2=1S(S+2)=12(1S−1S+2)设S S=S1S3+S2S4+⋯+S S S S+2,∴S S=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1S−2−1S)+(1S−1−1S+1)+(1S−1S+2)]，.................9分∴S S=12(1+12−1S+1−1S+2)<12∙(1+12)=34，.................11分又S S<S对一切S∈S∗恒成立∴S≥34,S的取值范围为[34,+∞)，.................12分21.（1）证明：取SS中点S,连接SS,并过点S作SS的平行线SS,交SS于S,则SS⊥SS，.................1分∵SS=SS=SS，∴△SSS为等边三角形，又∵S为SS中点，∴SS⊥SS,，.................2分又∵面SSS⊥面ABCD，面SSS∩面ABCD=AB∴SS⊥面ABCD，∴SS⊥SS，.................3分以S为原点，SS,SS,SS所在直线分别为S,S,S轴建立如图空间直角坐标系，因为SS=SS=2则S(1,0,0),S(0,0,√3),S(−1,1,0),S(1,2,0)SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，.................5分所以SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(−2)+2×1+(−√3)×0=0所以SS⊥SS，.................6分（2）SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√3),SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2−√3)设平面SSS的一个法向量为S⃗⃗⃗⃗ =(S,S,S)，则有{SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ =0SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ =0,即{−S +S −√3S =0−2S +S =0令S =1,得S ⃗⃗⃗⃗ =(1,2,√33)，.................8分设直线SS 与平面SSS 所成角为S ，则SSSS =|SSS <SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,S ⃗⃗⃗⃗ >|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|S ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|1×1+2×2+√3×(−√3)|√1+4+13×√1+4+3=√64，.................10分所以直线SS 与平面SSS 所成角的余弦值为√1−(√64)2=√104，.................12分22(1)12222,2,142QF F x y b S bc c a ∆===∴==∴+=椭圆的方程为，.................4分(2)22000000(,),:()()0,1,:1P x y OP x x x y y y O x y CD x x y y -+-=+=+=设以为直径的圆又圆：两式相减，.................5分()0022222222000000002222200014240,164(2)(24)248(412)x x y y x y x x x y x x y y x y y x y +=⎧+-+-=∴=-+-⎨+=⎩=-+由得到2222220000000841(4)24(1),y x x y x EG⎡⎤=-+-=+==⎣⎦22P EG d -=PEG S∆=.................7分)220131PEGt t S t ∆+==+)1t ⎡=∈⎣.................8分21322113313333PEGt t t s t t t t t ∆⎛⎫+⎪⎫=+=+- ⎪⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭.................9分又131s t t⎡=+⎣在上递增，所以4s ⎡∈⎢⎣ 又2+43s y s ⎡=⎢⎣在上递增，所以1321133t t y t t+⎡=+⎣+在上递增所以213221131333PEGt t t s t t t t t ∆⎫+⎪⎫+=+-⎪⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭，在1⎡⎣上递增............10分所以PEG S ∆∈⎣⎭ .................12分。
长春市博硕学校(原北京师范大学长春附属学校)2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案
北师大长春附属学校2022—2023学年度上学期高二年级期末考试 数学学科试卷考试时间： 120分钟 满分： 150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．重合2．已知F （4，0）是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，椭圆短轴长为6，则椭圆的离心率为（ ）A ．2√1313B ．23C ．34D ．453. 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数 f （x ）在开区间（a ，b ）内的极值点共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－6，则该数列的公差是（ ） A. 3B.41C. －4D. －145.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －2＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为( ) A. 2B. 4C. 8√55D. √5556. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px （p >0）的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为81π，则p ＝（ ） A.6B. 8C. 10D. 127．已知函数f (x )＝3x ＋4ln x －x －a －2在区间(0，2)上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，4ln 3－2)C ．(2，4ln 2－12)D ．[0，＋∞)8．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1 －a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则aa 2022aa 2020＝( )A ．4×2 0202－1B ．4×2 0202C ．4×2 0192－1D ．4×2 0192二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列函数的求导正确的是（ ）A ．211x x′ = B ．()sin cos x x ′=C ．()1ln 22′=x xD ．()()'e 1e x x x x =+10．已知点()1,0F ，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.则下列结论中正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程是2243x y +=B ．点（2,1）在点P 的轨迹内部C ．平面上有一点()1,1A −，则2PA PF +的最小值为4.D ．点P 的轨迹与圆C ：2220x y x +−=有交点 11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”. “三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋯，以此类推. 设从上到下各层球数构成一个数列{}n a ，则（ ） A ．aa 4=10B ．11n n a a n +−=+C ．aa 10=54D ．1121ni i na n ==+∑12．函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)的图象如图所示，设ff ′(xx )是函数ff (xx )的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．ff ′(xx )>0的解集是（2,5）B ．3aa +2bb +cc =0C ．x =2时，ff ′(xx )取得最大值D ．ff (xx )⋅ff ′(xx )>0的解集是(,1)(1,2)(3,5)−∞−三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分）13. 曲线y ＝lnx 在点（e ，1）处的切线方程为________.14．数列{a n }的通项公式是a n =2n -41，{aa nn }的前n 项和为SS nn ，则S n 取得最小值时,n = .15. 设F 1，F 2是双曲线C ：2222by a x −＝1（a >0，b >0）的两个焦点，P 是C 上一点. 若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的渐近线方程为 .16．已知函数f (x )＝xe x (e 是自然对数的底数)，则函数f (x )的最大值为________；若关于x 的方程[f (x )]2＋2tf (x )＋2t －1＝0恰有3个不同的实数解，则实数t 的取值范围为________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等差数列{}n a 满足：110a =，且210a +，38a +，46a +成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 的通项公式为bb nn =1(aa nn −8)(aa nn −6)，求数列{bb nn }的前n 项和SS nn ．18．（12分）某校在2022年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人都“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前22%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？19．（12分）已知函数ff(xx)=xxxx xx xx+aaxx−4，满足ff′(1)=2．(1)求实数a的值；f x的极值．(2)求()20.（12分）若数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，aa 1=2，aa 2aa 3=32(1)求{}n a 的通项公式；(2)若bb nn =xx ll ll 2aa nn ，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．21.（12分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点A(18,mm )在抛物线上，且OAF△的面积为pp 28（O 为坐标原点）．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点（0，1）直线l M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过O 点，求直线l 的方程22．（12分）已知函数()ln f x x ax a −+． (1)若a >0,试讨论()f x 的单调性； (2)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的值．北师大长春附属学校2022—2023学年度上学期高二年级数学期末考试参考答案一、单选题（每小题5分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACDDA二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案BDADABDBC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分） 13. y=1eex 14. 20 15. y =±√2x 16. 1e ； ( e －12e ，12 )16题【解析】f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝1－xe x ，故f (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 所以f (1)是f (x )的极大值也是最大值．所以最大值为f (1)＝1e . 当x >0时f (x )>0，当x ＝0时，f (x )＝0，当x <0时，f (x )<0.由[f (x )]2＋2tf (x )＋2t －1＝0，即[f (x )＋2t －1]·[f (x )＋1]＝0，由上述分析可知f (x )＋1＝0， f (x )＝－1有一个解x 1. 故需f (x )＋2t －1＝0，f (x )＝1－2t 有两个不同的解，由上述分析可知： 0<1－2t <1e ，解得e －12e <t < 12.所以实数t 的取值范围是(e －12e ，12 ). 四、解答题（共70分）17题【详解】（1）等差数列{}n a 的首项110a =，公差设为d ， 由210a +，38a +，46a +成等比数列， 则()()()23248106a a a +=+⋅+，即()()()2111281036a d a d a d ++++⋅++， 2分即()()()218220163d d d +=+⋅+，解得2d =， 3分所以()1128n a a n d n =+−=+. 5分 1111SS nn =14�1−12+12−13+⋯+1nn−1nn+1� 3分化简得：SS nn =nn4(nn+1)5分18题【详解】(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为：1(8085)82.52+= 3分(2)“良好”的学生频率为(0.010.07)50.4+×=，“优秀”学生频率为10.40.6−=； 由分层抽样可得“良好”的学生有50.42×=人，“优秀”的学生有3人， 4分 将三名优秀学生分别记为A ，B ，C ，两名良好的学生分别记为a ，b ，则这5人中选2人的基本事件有：,,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab 共10种， 5分 所以都“优秀”的概率是P =310 7分(3)由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02)54025400.022n m n m +××=××⇒+=，① 又由（2）知(0.02)50.6n m ++×=，② 由①②可得0.04,0.06m n == 9分 第五组人数频率为0.0250.110%×==，第四、五组人数的频率为(0.020.04)50.330%+×==， 10分 故初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第四组，设至少得x 分能进入面试，则 (95-x )×0.04+0.02×5=0.22， 11分 解得x =92，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到92分才能直接进入复试． 12分 19题【详解】（1）由题意，()ln 1f x x a ′=++， 2分 解得a =1. 4分（2）由（1）ff (xx )=xxxx xx xx +xx −4，且ff ′(xx )=xx xx xx +2为增函数. 5分令ff ′(xx )=0可得xx =ee −2， 6分故当0<xx <ee −2时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当xx >ee −2时，()f x 单调递增. 8分 故()f x 在xx =ee −2处有极小值， 10分 极小值为ff （ee −2）=-ee −2-4，无极大值. 12分 20（1）因为数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，aa 1=2，aa 2aa 3=32，所以0n a ≠.所以数列{}n a 为等比数列， 2分设其公比为q （0q ≠）.所以aa 2aa 3=aa 12qq 3，解得：q=2. 4分所以{}n a 的通项公式为aa nn =2nn . 6分（2）由（1）可知：bb nn =xx ，所以aa nn bb nn =xx 2nn ，所以SS nn =1×21+2×22+⋯+xx 2nn ① 8分 2SS nn =1×22+2×23+⋯+xx 2nn+1 ② 9分②−①得：SS nn =(2xx −1)2nn +1 12分21题【详解】(1)解：由题意得�mm 2=2pp ×1812×pp 2×|mm |=pp 28，解得p =1，所以抛物线方程为y 2=2x ； 4分(2)解：若K 不存在，M(1,√2) N(1,- √2),则以MN 为直径的圆不过O 点，不合题意 5分 显然k ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2），联立212y kx y x=+ = ，消去y ，得k 2x 2+2(k -1)x +1=0， 6分 ()224140k k ∆=−−>，解得k <12， 1212222(1)1,k x x x x k k −+==， 7分 因为以MN 为直径的圆经过点O ，所以OM ⊥ON ，x 1x 2+y 1y 2=0， 8分 因为y 1=kx 1+1，y 2=kx 2+1，所以y 1y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=2k， 10分2k +21k=0，k = -12， 11分 所以直线l 的方程为y =-12x +1． 12分 22题【详解】（1）解：由题意，函数ff (xx )=xx xx xx −aaxx +aa 的定义域为(0,+∞)，则()11axa x xf x −==′−， 2分 当0a >时，当10,x a∈时，()0f x >′，当1,x a ∈+∞时，()0f x <′， 4分 所以()f x 在10,a 上单调递增，在1,a+∞上单调递减 5分（2）解：当0a ≤时，由（1）知，ff (xx )在(0,+∞)上单调递增，所以当1x >时，()()10f x f >=，不合题意 6分 当0a >时，由（1）知，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a==−+=−+−， 7分因为()0f x ≤对0x ∀>成立，所以()max 0f x ≤，即ln 10a a −+−≤， 8分 令()()ln 10g a a a a =−+−>，则()111a g a a a−′=−+=， 9分所以()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()min10g a g ==， 所以()()10g a g ≥=， 11分 所以不等式ln 10a a −+−≤的解为1a =，综上可得，实数a 的值为1. 12分。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试卷
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测
试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A ．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B ．若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则有//a c r r
C ．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D ．若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 为空间的一组基底，且OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，
D 四点共面
10．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（ ）.
A ．这组数据是近似对称的
B ．数据中可能有极端大的值
C ．数据中可能有异常值
D ．数据中众数可能和中位数相同
11．某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100
名，并对其性别（M （男）、F （女））及消费金额（A （消费金额
>400），B （200<消费金额≤400），
C （
0<消费金额≤200）进行调查分析，得到如
人数统计表，则下列选项正确的是（ ）
）得曲线M 的方程为24y x =.设(),A x y ，(),B x y .。
高二数学-湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过点()1,0且与直线220x y +-=垂直的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y --=D ．210x y +-=2．已知数列{}n a ，则“2415a a a a +=+”是“{}n a 为等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．圆22:1O x y +=与圆22:2270M x y x y ++--=的位置关系为（）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含4．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求直线EF 与直线1OB 夹角的余弦值是（）A ．13B ．223C ．13-D ．223-5．已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则M 点到y 轴的距离为（）A ．23B ．22C ．2D ．16．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则18a =（）A ．161B ．171C ．181D ．1917．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（）A ．10724B ．724C ．14912D ．14938．已知双曲线2222:1(0,b 0)x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，若直线l 与双曲线C 的另一条渐近线交于点N ，且34ON OM OF +=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A ．32B ．33C ．233D ．62二、多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和()2*29N n S n n n =-+∈，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是等差数列B ．78>a a C ．n S 的最大值为10D ．230a a +=11A B 的中点，则（）长度的取值范围是6,22⎡⎤⎣⎦的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的分别相交于,A B 和,C D ，直线,AD BC 的倾斜角分别为,αβ四、解答题(1)证明：EF AD ⊥；(2)若四棱锥P ABCD -的体积为求PGPB的值；若不存在，请说明理由22．已知抛物线2:2(C y px p =>(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()2,0的直线l 与抛物线C 个交点为B ，试问在x 轴上是否存在一定点由.。
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一，选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．计算1－2sin222.5°的结果等于（ ） A.122．已知直线l 的倾斜角为45，下列可以作为直线l 方向向量的是 （ ） A. (2,1) B. (2,2) C.D.3．已知函数221,1,()[(0)]4,1,x x f x f f ax ax x ⎧+<⎪==⎨+≥⎪⎩若，则实数a 等于（ ）A ． 12 B. 45C. 2D. 94．在∆ABC 中．C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤.则A 的取值范围是( )A. (0，6π]B. [ 6π，π)C. (0，3π]D. [ 3π，π) 5．)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) A.()()0f x f x -+= B.()()2()f x f x f x --=-C.()()0f x f x -≤D.()1()f x f x =--6．若曲线b ax x y ++=2在点()b ,0处的切线方程是01=+-y x ，则（ ） A ．1,1==b a B ．1,1=-=b a C ．1,1-==b a D ．1,1-=-=b a7．设变量,x y 满足线性约束条件：30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A ． 2B ．-2C ． 6D ． 88．若PQ 是圆22x 9y +=的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是（ ） A ．230x y +-= B ．250x y +-= C ．240x y -+=D ．20x y -=9．设{na }为等差数列，公差d = -2，nS 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A. 18B. 20C. 22D. 24 1053==，如果a ∥b ，则b a ⋅ =（ ）A ． 15B ．15-C ． 15±D ． 以上均不对11．已知函数()()32120f x x ax x a a=++>，则()2f 的最小值为A． B ．16 C ．288a a ++D ．1128a a ++12．已知点O 为ABC ∆的外心，且||4AC = ,||AB =2,则AO BC ⋅= （ ）A ．2B ．4C ．6D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。
13．设G 是ABC ∆的重心（即三条中线的交点），,AB a AC b == .试用,a b 表示AG=________ 14．与直线04=--y x 和圆02222=-++y x y x 都相切的半径最小的圆的方程是 ．15．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________。
16．若函数⎩⎨⎧<≥+=)0()()0(2)(2x x g x x x x f 为奇函数，则((1))f g -=______________.三、解答题(本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)设圆822=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为过点P 的直线。
(1) 当直线AB 的倾斜角为43π时，求弦AB 的长；(2) 当点P 为弦AB 的中点时，求直线AB 的方程18．(本题满分12分)已知△ABC 的顶点()()3,0,0,3B A ，()ααsin ,cos C ，其中０＜α＜π．=，求角α的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为27=∆A B C S ，求ααcos sin -的值19.(本题满分12分)已知向量()(1,cos ,sin m x n x ωω== ()0ω>，函数()f x m n=⋅ ，且()f x 图象上一个最高点的坐标为,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，与之相邻的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 是角A 、B 、C 所对的边，且满足222a cb ac +-=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围.20. （本题满分12分）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2,(0)1f x f x x f +-==且。
（1）求函数的解析式； （2）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在2y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围。
21．(本题满分12分)已知数列}{n a 满足243,3711+-==+n a a a n n （*N n ∈）（1）求32,a a 的值；（2）证明数列}2{n a n -是等比数列，并求出数列}{n a 的通项公式；（3）若数列}{n b 满足n a b b nn n =+21（*N n ∈），求数列}{n b 的前n 项和n S22．（本题满分12分）已知函数322()1,a f x x x =++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值.高二数学（文）参考答案一，选择题1、B2、B3、C4、 C5、 D6、 A7、B8、B9、B 10、C ．11、 B 12、 C 二、填空题13、b a 3131+ 14、22(1)(1)2x y -++= 15、2)322sin(--=πx y 16、-15三、解答题17、(1)143tan-==πA B K ，所以直线AB 的方程为：01=-+y x又22=r ∴弦2182222-=-=d r AB =30\………… ……5分（2）∵P 是AB 中点，AB OP ⊥∴；又21,2=∴-=A B OP k k故直线AB 的方程为：052=+-y x ……10分 18、20，（1）由()10=f，得1=c,由()()()xbaaxxfxf221=++=-+,得1,1-==ba,所以()12+-=x x x f …………………5分（2）由题意可知：[]1,1,212-∈+>+-x m x x x 即132+-<x x m ，m in 2)13(+-<x x m ……………………8分 设()[]1,1,132-∈+-=x x x x g 在为单调减函数 所以()()11m in -==g x g所以1-<m …………………12分21、解：（1）524373214312=+-⨯=+⨯-=a a .............1分92853224323=+-⨯=+⨯-=a a ...............2分（2）由2431+-=+n a a n n （*N n ∈）可得)2(3)1(21n a n a n n -=+-+...............4分又312,3711=-=a a ，所以数列}2{n a n -是首项为31，且公比为3的等比数列...............6分∴2133312--=⋅=-n n n n a 于是数列}{n a 的通项公式为n a n n 232+=-，（*N n ∈）...............8分（3）由nn n a b b b n n n n n 2321212+==+=+-，得)(3*2N n n b n n ∈=-...............9分∴22133433123-+++++=n n nS ①于是1223313332131--+-++++=n n n n n S ②...............10分 由①－②得12233131311332---+++++=n n n n S 13311])31(1[3----=n n n 132])31(1[9---=n n n232431127-⋅-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n n S …………12分22、解：()()0,22223323≠-=-='x x a x x a x x f ................2分（I ）由题意可得()()01213=-='a f ，解得1=a ，....3分 此时()41=f ，在点()()1,1f 处的切线为4=y ，与直线1=y 平行.故所求a 值为1........4分（II ）由()0='x f 可得0,>=a a x ，，...... 5分当10≤<a 时，()0>'x f 在(]2,1上恒成立 所以()x f y =在[]2,1上递增，所以()x f y =在[]2,1上的最小值为()2213+=a f ........6分 ②当21<<a 时，由上表可得()x f y =在[]2,1上的最小值为()132+=a a f ...........8分③当2≥a 时，()0<'x f 在[)2,1上恒成立，所以()x f y =在[]2,1上递减 ..........9分所以()x f y =在[]2,1上的最小值为()523+=a f . ........10分 综上讨论，可知：当10≤<a 时，()x f y =在[]2,1上的最小值为()2213+=a f ； 当21<<a 时，()x f y =在[]2,1上的最小值为()132+=a a f ；当2≥a 时，()x f y =在[]2,1上的最小值为()523+=a f . ........12分。