最新人教版八年级数学下册第十七章_勾股定理导学案(全章)
八年级数学下册 17.1.3 勾股定理导学案 (新版)新人教版
八年级数学下册 17.1.3 勾股定理导学案 (新版)新人教版17、1、3勾股定理预习案一、学习目标1、利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等、2、利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点、3、进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题、二、预习内容1、阅读课本第26-27页2、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么：（或）变形：（或）（或）3、对应练习：(1)、①在Rt△ABC，∠C=90，a=3，b=4，则c= 。
②在Rt△ABC，∠C=90，a=5，c=13，则b= 。
(2)、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC= 。
三、预习检测1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。
2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。
3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，这个等腰三角形的面积为____________。
4、将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A、16B、32C、8πD、64 探究案一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行先自主学习再合作探究、讨论。
【探究一】XXXXX：运用勾股定理证明全等判定方法：斜边直角边（HL）已知：如图，在中和中，，求证：≌、【探究二】XXXXX：如何在数轴上画出表示的点？点拨：①：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可、②长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?设c ＝，两直角边为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2即a2＋b2＝13、若a，b为正整数，则13必须分解为两个正整数的平方和，即13＝2＋2、所以长为的线段是直角边为、的直角三角形的斜边、请在数轴上完成作图、二、合作、交流、1、例1：已知：如图，△ABC中，AB=4，∠C=45，∠B=60，根据题设可求出什么？【点拨】如何添加辅助线将一般三角形的问题转化为直角三角形的计算问题呢？2、例2：已知：如图，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，CD=2、求：四边形ABCD的面积、【点拨】如何将四边形的问题转化为三角形问题求解，如何添加辅助线？3、问题：根据勾股定理，你能做出哪些长为无理数的线段呢?欣赏下图，你会得到什么启示?每小组口头或利用投影仪展示,一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）交流内容展示小组（随机）点评小组（随机）____________第______组第______组____________第______组第______组三、归纳总结这节课我们学习了（1）勾股定理的应用；（2）分类、转化、方程思想、你能说说具体内容吗?四、课堂达标检测1、△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
八年级数学下册 第十七章 勾股定理导学案(新版)新人教版
八年级数学下册第十七章勾股定理导学案（新版）新人教版班别姓名课题17、1勾股定理(一)课型：预习+展示课学习目标掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
导学过程一、知识链接1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若∠B=30，则∠B的对边和斜边的关系是：二、自主学习1、阅读课本22页到24页。
2、（1）、一个直角三角形两直角边分别为3cm和4cm的，斜边长为5cm。
（2）一个直角三角形两直角边分别为5cm和12cm 的直角△ABC，斜边长为13cm、问题:你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，任意的直角三角形也有这个性质。
即勾股定理文字表述：几何表述：三、合作探究：阅读证明勾股定理的方法看哪个组给同学讲的清楚明白方法1、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：证明：4S△+S小正=S大正=根据的等量关系：由此我们得出方法2、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________右边S=_______________左边和右边面积相等，即化简可得：四、课后反思：我今天学会了五、达标测试：1、课本24页练习第1题★2、同步学习xxxx学年度八年级数学科导学案主备人：邓冰复备人：审批人：编号班别姓名课题17、1勾股定理(三)课型：预习+展示课学习目标：会用勾股定理解决简单的实际问题。
学习重点：勾股定理的应用。
学习难点：实际问题向数学问题的转化。
导学过程：一、知识链接填空: 在Rt△ABC，∠C=90，⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
八年级数学下册 第十七章 勾股定理 17.1勾股定理(一)导学案(新版)新人教版
17.1勾股定理〔一〕二、答疑解惑我最棒〔约8分钟〕 甲： 乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑 三、合作学习探索新知〔约15分钟〕 1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?〔1〕直角三角形叫Rt △〔2〕两锐角互余∠A+∠B=90°〔3〕三角形的面积s=21ab=21hc〔4〕30°所对的直角边等于斜边的一半〔5〕证明两个直角三角形全等有“HL 〞◆毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500•年前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只有毕达哥拉斯学习活动 设计意图却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？〔见课件〕问题：大正方形的面积与两个小正方形的面积有什么关系？学习活动设计意图◆在约公元前1100年，我国古算书?周髀bì算经?记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾长的直角边叫做股斜边叫做弦．四、归纳总结稳固新知〔约15分钟〕1、知识点的归纳总结：〔1〕经过证明被确认正确的命题叫做定理〔2〕勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。
2、运用新知解决问题：〔重点例习题的强化训练〕◆， Rt △ABC 中，a ，b 为的两条直角边，c 为斜边，求：⑴： a ＝3， b ＝4，求c⑵： c ＝10，a ＝6，求b◆课本P24页练习◆课本P28页习题17.1第1题学习活动 设计意图五、课堂小测〔约5分钟〕 1．Rt ∆ABC 的两条直角边a=3, b=4，那么斜边c= .2．：如图在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为在△ABC 外作三个正方形分别表示这三个正方形的面积， 那么的边长为〔 〕A.6B.36C.64D.83 ．假设直角三角形两直角边分别为12，16，那么此直角三角形的周长为〔 〕A.28B.36C.32D.484 ．直角三角形的三边长分别为3，4，x ，那么x 2等于〔 〕A.5B.25C.7D.25或7六、独立作业我能行 1、预习课本P25-26页，思考预习提纲222a b c +=。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元教学设计
1.关注学生对勾股定理概念的理解，引导他们从几何角度和代数角度去认识、理解勾股定理。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以一个与勾股定理相关的实际问题导入新课，激发学生的兴趣和思考。
-提问：同学们，你们知道如何测量学校旗杆的高度吗？
-引导学生思考：如果我们知道旗杆底部到某一点的距离和该点到旗杆顶部的垂直距离，能否计算出旗杆的高度？
-揭示：今天我们就来学习一个与直角三角形有关的定理，它可以帮助我们解决这类问题，这就是勾股定理。
-通过课堂提问、课后作业、小测验等方式，了解学生的学习进度和掌握程度；
-给予学生积极的评价，鼓励他们克服困难，不断提高。
6.结合实际情境，开展课外实践活动，让学生在实际操作中感受勾股定理的魅力。
-例如，组织学生测量学校内的直角三角形物体，如楼梯、窗户等，将所学知识应用于实际，提高他们的数学应用能力。
1.勾股定理的理解与运用：学生需从几何和代数两个角度理解勾股定理，并将其应用于解决实际问题。
2.证明方法的掌握：学生需要掌握几何法、代数法等多种证明勾股定理的方法，提高逻辑思维和创新能力。
3.空间想象能力的培养：通过丰富的实例和操作活动，帮助学生建立直角三角形的空间概念。
教学设想：
1.采用情境导入法，以实际问题引入勾股定理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理的综合运用教案
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示勾股定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
举例：求直角三角形的斜边长度，已知直角边长度分别为3和4，求斜边长度。
（2）勾股定理逆定理的掌握：使学生理解并掌握勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
举例：判断三角形ABC是否为直角三角形，已知AB=5，BC=12，AC=13。
（3）勾股数的识别与运用：教授勾股数的概念，即满足勾股定理的整数三角形三边长。通过实例让学生学会找出勾股数，并能应用于解决相关问题。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理及其逆定理的学习，使学生能够运用逻辑推理解决直角三角形的性质和相关问题。
2.提高学生的空间想象能力：通过勾股定理在二维和三维图形中的应用，激发学生对图形的观察和想象，培养空间想象能力。
3.增强学生的数学应用意识：将勾股定理应用于解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的价值，提高数学应用意识。
五、教学反思
在本次教学活动中，我发现学生们对勾股定理及其综合运用表现出很大的兴趣。他们在课堂上积极参与讨论，提出自己的想法，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到在一些环节中，部分学生还存在一定的困难。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案(全章)
第十七章勾股定理课题：17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理2 •培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明学习过程：、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC用刻度尺量出AB的长。
（勾3,股4,弦5）以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC用刻度尺量AB的长。
你是否发现3 +4与5的关系，5 +12和13的关系，即3 +4 ___________ 5，5 +12 ____ 13，那么就有______ 2+ ____ 2= ___ 。
（用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述:几何表述:二、交流展示例1、已知：在厶ABC中, Z C=90°，/ A、/ B、/ C的对边为a 、b、c。
求证：a2+ b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S"S小正=S大正即4X 1X +〔〕2= c2,化简可证2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在厶ABC 中，/ C=90°，/ A 、/ B 、/ C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2 + b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理(教案)
举例：
a)难点突破：通过动画或实体模型展示勾股定理的证明过程，帮助学生形成直观认识，再逐步引导到数学证明上。
b)问题解决：设计不同类型的题目，如直角三角形的不定方程问题，或斜边、腰长中有一个未知数的题目，指导学生如何应用勾股定理求解。
关于学生小组讨论环节，我认为这是一个很好的互动学习方式。学生们能够在这个过程中相互启发、共同进步。但在讨论过程中，我也发现有些学生过于依赖同伴，自己的思考不够独立。为了培养学生的独立思考能力，我将在以后的讨论中适当引导，鼓励他们提出自己的观点和解决方案。
最后，在总结回顾环节，我对学生们掌握的知识点进行了梳理，也解答了他们的一些疑问。但我认为，仅仅依靠课堂上的总结回顾还不够，还需要在课后加强学生的巩固练习，让他们在实际操作中不断巩固所学知识。
4.通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队合作意识和沟通能力，增强数学表达与交流素养。
5.引导学生从不同角度思考问题，灵活运用勾股定理及其相关知识，提高学生的创新意识和数据分析素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的概念及其表达形式，即直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。
-学会运用勾股定理解决实际问题，如求直角三角形的斜边长或判断一个三角形是否为直角三角形。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册第17章勾股定理，主要包括以下内容：
1.勾股定理的概念：理解直角三角形的特征，掌握勾股定理的内容及其表达形式。
2.勾股定理的证明：通过几何图形和数学推导，掌握勾股定理的证明方பைடு நூலகம்。
3.勾股定理的应用：学会运用勾股定理解决实际问题，如求直角三角形的斜边长、判断一个三角形是否为直角三角形等。
最新人教版初二数学八年级下册《第十七章勾股定理》导学案
17.1勾股定理 导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解勾股定理的由来 经历探索勾股定理的过程2、理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用 【重点难点】重点：理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法 难点：勾股定理的证明 知识概览图新课导引如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知AB =17米，AC =5米， ∠ACB =90°，如何求这个三角形的BC 边的长呢？教材精华知识点1 有关勾股定理的历史古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股4、弦5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.知识点2 勾股定理的探索让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.观察图18-1，正方形A 中有9个小方格，即A 的面积是9个单位面积.正方形B 中有9个小方格，即B 的面积是9个单位面积.正方形C 中有18个小方格，即C 的面积是18个单位面积.可以发现，C 的面积=A 的面积+B 的面积.知识点3 勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【拓展】 （1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了.（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典范. （3）勾股定理的证明.证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼图法）：所以面积为2()a b +，证法1：如图18-2所示，因为大正方形的边长是a+b ，而中间小正方形的面积为c 2,周围四个直角三角形面积和为4×12ab ，故有22()a b c +=+4×12ab ，整理得222a b c +=.证法2：如图18-3所示，图为大正方形的边长是a+b ，所以它的面积为2()a b +，又因为该正方形的边长与如图18-2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.故有22a b ++4×12ab =c 2+4×12ab ，整理得222a b c +=.证法3：如图18-4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的.∵S 梯形211()()()22a b a b a b =++=+，S 梯形12ab =×2+212c =ab +212c ,∴2211()22a b ab c +=+，整理得222a b c +=. 证法4：如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.∵以c 为边的大正方形面积是c 2，而4个直角三角形的面积和为4×12ab ，且中间的小正方形的面积是2()b a -.∴c 2=4×12ab +（b-a ）2,整理得222a b c +=.知识点4 勾股定理的应用（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长.（2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由222a b c +=可以得到如下关系：①222a c b =-；②222b c a =-；③c =a =b = 课堂检测基础知识应用题1、在△ABC 中，∠C =90°. （1）若a =5，b =12，求c ； （2）若c =26，b =24，求a .2、在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20 m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高?综合应用题3、如图18-10所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=15 cm，AC=24 cm，求BC 的长.4、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.探索创新题5、已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a,b,c，设△ABC的面积为S，周长为l.(1)请你完成下面的表格；（2）仔细观察上Array表中你填定的数据规律，如果a,b,c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么S= （用含m的代数式表示）；l（3）请说明你写的猜想的推理过程.体验中考1、图18-19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26C．47 D．942、如图18-20所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 与点C 的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A ．B ．25C ．10D ．35 学后反思【解题方法小结】（1）求不规则图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形. （2）四边形中常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.（3）点到线的最短距离是垂线段的长度，在同一题中可能反复应用勾股定理.附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、解析 利用勾股定理222a b c +=来求未知边长.【解题方法】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理原式还是变式.解：在△ABC 中，∠C =90°，所以222a b c +=. （1）因为222a b c +=，a =5,b =12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=，所以c =13. （2）因为222a b c +=，c=36,b=24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=.所以a=10.2、解析 如图18-9所示,设A 为树根,D 为树顶,B 为猴子所在处,则AB =10 m,C 为池塘,设BD =x m,已知两只猴子走过的路程相等,即DB+CD=AB+AC ,就可以应用勾股定理求出CD ,继而求出树高AD .解:如图18-9所示,B 为猴子初始位置,则AB =10 m,C 为池塘,则AC =20 m.设BD =x m,则树高AD =(10+x )m. ∵BD+CD=AB+AC ,∴x+CD =20+10. ∴CD =(30-x )m.在Rt △ACD 中,∠A =90°,由勾股定理得222AC AD CD +=, ∴202+（10+x ）2=(30-x ) 2,∴x =5. ∴树高AD =10+5=15(m).3、解析 本题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知∠A =60°，因此作AB 边上的高或AC 边上的高，运用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解. 解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ， 所以∠ADC =90°.因为∠A =60°，所以∠ACD =30°. 所以AD =12AC =12×24=12（cm ）. 又因为AB =15 cm,所以BD=AB-AD =15-12=3（cm ）.在Rt △ADC 中，222222412432CD AC AD =-=-=.在Rt △BCD 中，22224323441BC DC BD =+=+=.所以BC =21（cm ）.4、解析 若最省钱只需AO+BO 最小，可将A ，O ，B 放在一条线段上考虑，故只需找到点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于O ，则水厂建在O 点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.解：作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于点O ，则O 点就是水厂的位置. 过A ′作A ′H ∥CD 交BD 延长线于H ， ∴△A ′HB 为直角三角形. 在Rt △A ′HB 中，A ′H=CD =3， BH=BD+DH=BD+A ′C=BD+AC =1+3=4，由勾股定理得A ′B ， ∴总费用为2000×5=10000（元）.5、解：（1）表格中左栏从上至下依次填2，4，6，右栏从上至下依次填12，1，32. （2）4m（3）推理过程如下： 因为222a b c +=，所以()22111()()444lm a b c a b c a b c ⎡⎤=+++-=+-⎣⎦=2222221111(2)(2)24442a ab bc a b c ab ab ab ++-=+-+=⨯=. 又因为S =12ab ，所以14S lm =，即4m ml =.体验中考1、C 解析 由正方形面积和勾股定理可得E 的面积为（32+52）+（22+32）=47.2、B 解析 空间为AB A.17.2 勾股定理的逆定理知识精点1．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式222c b a =+，则这个三角形是直角三角形．2．勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形． 3．用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．重、难、疑点重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直． 难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题． 疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题．典例精讲例1 试判断：三边长分别为)0(122,12,2222>++++n n n n n n 的三角形是不是直角三角形？ 方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断． 解：∵01)22()122(22>=+-++n n n n ，)0(02)12()122(22>>=+-++n n n n n ，∴1222++n n 为三角形的最大边．又∵14884)122(23422++++=++n n n n n n ，14884)12()22(234222++++=+++n n n n n n n ，∴22222)12()22()122(+++=++n n n n n ．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和．若是则是直角三角形，反之不是．举一反三 试判断：三边长分别为)0(,2,2222>>+-n m n m mn n m 的三角形是不是直角三角形？解：∵m>n>0，∴222222,2n m n m mn n m ->+>+． ∴22n m +为三角形的最大边，又∵224224222242)2()(n m n n m m mn n m ++-=-，22422422242)(n m n n m m n m ++-=+，∴2222222)()2()(n m mn n m +=+-．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．例2 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CD CF 41=．求证：△AEF 是直角三角形．方法指导：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证222AF EF AE =+即可． 解：证明：设正方形ABCD 的边长为a ，则21==CE BE ，a CF 41=，A DF 43=． 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22222245)21(a a a BE AB AE =+=+=．同理在Rt △ABE 中，由勾股定理得：2222221625)43(a a a DF AD AF =+=+=．在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222222165)41()21(a a a CF CE EF =+=+=．∴222EF AE AF +=． ∴△AEF 是直角三角形．方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．举一反三 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求∠DAB 的度数．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=4，∴∠BAC=45°，321616222=+=+=BC AB AC ．在△ADC 中，22236324CD AC AD ==+=+， ∴△ADC 是直角三角形，∠DAC=90°． ∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．例3 如图，△DEF 中，DE=17cm ，EF=30cm ，EF 边上的中线DG=8cm ，求△DEF 的面积．方法指导：利用勾股定理的逆定理解题． 解：∵EF=30cm ，∴cm EF EG 1521==， ∵2891722==DE ，64822==DG ，2251522==EG ， ∴222EG DG DE +=．∴△DGE 是直角三角形，即DG ⊥EF ， ∴212021cm DG EF S DEF =⋅=∆． 方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直．举一反三 已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6，求四边形ABCD 的面积．解：延长AD 、BC 交于点E ．在Rt △ABE 中，∠B=90°，∠A=60°，AB=10， ∴AE=20． 由勾股定理可得：31022=-=AB AE BE ， ∴3503101021=⨯⨯=∆ABE S ． 在Rt △CDE 中，∠CDE=90°，∠E=30°，CD=6，∴36,1222=-==CD CE DE CE ． ∴31836621=⨯⨯=∆CDE S ． ∴四边形ABCD 的面积为：332318350=-．例4 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状． 方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．解：∵44222b a c b c a -=-2， ∴))(()(2222222b a b a c b a -+=-． ∴0))((22222=+-+b a c b a ． ∴0222=-+c b a 或022=-b a ． 当0222=-+c b a 时，有222c b a =+．由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形； 当022=-b a 时，有a=b ，此时三角形是等腰三角形． 综上，△ABC 是直角三角形或等腰三角形．方法总结：此题易犯的错误是由))(()(2222222b a b a c b a -+=-得0222=-+c b a ，漏掉022=-b a 这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．举一反三 若△ABC 的三边满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断△ABC 的形状．解：∵c b a c b a 262410338222++=+++， ∴0262410338222=---+++c b a c b a ． ∴0)13()12()5(222=-+-+-c b a ． ∴a=5，b=12，c=13．∴222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．例5 如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题． 解：∵在Rt △BCD 中，BC=4，CD=3， ∴由勾股定理得：253422222=+=+=CD BC BD ， 即BD=5．在△ABD 中，∵BD=5，AB=13，AD=12， ∴222BD AD AB +=，由勾股定理逆定理知：△ABD 是直角三角形， 且∠ADB=90°，∴AD ⊥BD ．方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形．举一反三 如图，在△ABC 中，AD ⊥BD ，垂足为D ，AB=25，CD=18，BD=7，求AC ． 解：在Rt △ADB 中，AB=25，BD=7，由勾股定理得：57672522222=-=-=BD AB AD ． ∴AD=24．在Rt △ADC 中，∵AD=24，CD=18， ∴3018242222=+=+=CD AD AC ．例6 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB DC BD AD =⋅+．方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件．解：过点A 作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，∴BE=EC ．又∵AE ⊥BC ，∴222BE AE AB +=，222ED AE AD +=．∴2222ED BE AD AB -=-BD CD ED BE ED EC ED BE ED BE ⋅=-+=-+=))(())((．∴22AB DC BD AD =⋅+.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形．在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用．举一反三 如图所示，DE=m ，BC=n ，∠EBC 与∠DCB 互余，求22CE BD +．知识网络学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．同步练习一1．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为正整数），则这个三角形是__________三角形，理由是__________．2．若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=__________时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边．3．在△ABC 中，a=2，b=5，则当____________2=c 时，∠C=90°．4．如果一个三角形的三条边长分别是a ，b ，c ，当4:3:1::222=c b a 时，那么这个三角形是__________三角形．5．已知△ABC 中，AB=k ，AC=2k —1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°．6．我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m 、n 是正整数，m<n ，设三个勾股数中的最大一个是22m n +．（1）用含n ，m 的代数式表示前两个勾股数是__________、__________．（2）如a ，b ，c 是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称为基本勾股数．例如“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”．请再写出一组不同于这三例的基本勾股数：__________．7．如果线段a ，b ，c 能组成一个直角三角形，那么2,2,2cb a （ ）A ．也能组成一个直角三角形B ．只能组成一个锐角三角形C ．不能组成三角形D ．无法确定8．以下列长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cmB ．2cm ，1.5cm ，2.5cmC ．7cm ，8cm ，10cmD ．cm cm cm 2225,4,39．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组数据，其中不是直角三形的是（ ） A ．1：1：2B ．1：3：4C ．9：25：26D ．25：144：16910．下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a=1.5，b=2，c=3 B ．a=7，b=24，c=25 C ．a=6，b=8，c=10D ．a=3，b=4，c=511．三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形12．给出下列几组数：（1）5，6，7；（2）8，15，6；（3）)(,2,2222m n m n mn m n >+-；（4）1,2,122+-n n n ．其中能作为直角三角形的三条边长的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ）（1）51,41,31===c b a ；（2）a=b ，∠A=45°；（3）∠A=32°，∠B=58°；（4）a=7，b=24，c=25；（5）a=2．5，b=2，c=3．14．一个三角形三边的长分别是15cm ，20cm ，25cm ，这个三角形最长边上的高是（ ） A ．12cmB ．10cmC ．cm 2112D ．cm 211015．如图18.2-4，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积．16．已知：如图18.2-5，在△ABC 中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC 边上的高AD ．17．初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min ，第二组的速度是40m/in ，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m ．（1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？18．如图18．2-6，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E ，F 分别在AB ，BC 上，且BE=BF=1．问△EFD 是否是直角三角形？并说明理由．19．先阅读下列文字，然后按要求回答问题：如图18.2-7，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且AD BD CD ⋅=2，∠A ，∠B 都是锐角．在Rt △ABC 中，222AD AC CD -=．所以AD BD AD AC ⋅=-22，即AD BD AD AC ⋅+=22，AB AD BD AD AD AC ⋅=+=)(2．如果在Rt △BDC 中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可得到△ABC 是什么形状的三角形？同步练习二1．如图，长方形ABCD 的长AB=12，宽CB=10，E 是BC 的中点．那么AE=_________． 2．如图，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长是3，那么______________2=AC ，__________2='C A ．3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．4．工人师傅常用如下方法来检验电线杆是否垂直于地面．现测得拉线AB=10m，BD=8m，AD=6m．问此时电线杆是否与地面垂直？_____________，因为___________________．5．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_____________．6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．如图，正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD；EF，GH，IJ都垂直于AO．如已知IJ=1．求BD的长．8．△ABC 中，AB=m —5，AC=m+11，BC=24，则当m=_____________时，∠B=90°．9．△ABC 中，三边a ，b ，c 满足)2()(222c b c a c b c ++=++，那么△ABC 是_________三角形．10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=90°，AD=3cm ，AB=4cm ，BC=5cm ，CD=6cm ．（1）连接BD ，判别△CBD 的形状．（2）求四边形ABCD 的面积．11．（1）如图（1），一个梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙根C 距离为1.5m ，梯子滑动手停在DE 的位置上，如图（2）所示，测得BD 的长为0.5m ，问梯子顶端A 下落的距离是否也为0.5m ？为什么？（2）如图（3）梯子AB 靠在墙上，梯子底端A 到墙根O 的距离是2m ，梯子顶端B 到地面的距离是7m ．现将梯子的底端A 向左移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′；①等于1m ；②大于1m ；③小于1m ．其中正确结论的序号是__________．参 考 答 案同步练习一1．直角；勾股定理的逆定理 2．14 3．29 4．直角 5．2．5 222BC AC AB +=，即9)12(422+-=k k ，则9144422++-=k k k ，解得k=2．5． 6．（1）mn m n 2;22-因为42242222)(m n m n m n ++=+，而42222224)(m n m n m n +-=-，2224)2(n m mn =，所以2222222)2()()(mn m n m n +-=+．（2）20，21，29 7．A 设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ 8．B 要注意D 中的2225,4,3，即9，16，25三边不能组成直角三角形的三边，因为22225169≠+ 9．B 10．A 11．B 12．B 13．B 14．A15．连接AC ，则AC=5，可证△ACD 为直角三角形．36125214321=⨯⨯+⨯⨯=ABCD S 16．1360=AD 17．（1）第一组行走m 9003030=⨯，第二组行走m 12003040=⨯．因为22215001200900=+，所以行走方向成直角．（2）设再经过xmin 相遇，则（30+40）x=1500，故min 7150=x ． 18．是．在Rt △AED 中204222222=+=+=AD EA ED ．同理求得2,182==EF DF 。
最新课标RJ人教版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第十七章 勾股定理 (第17章全单元 导学案)
第十七章勾股定理一、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A ，B 和C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1) 4.正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想. 证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”要点归纳： 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.公式变形： a b c探究点2：利用勾股定理进行计算 例1如图，在Rt △ABC 中， ∠C =90°. （1）若a =b =5,求c ; （2）若a =1,c =2,求b .ABC C （1）若a =15，b =8，则c =_______. （2）若c =13，b =12，则a =_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm 、一条直角边长15cm 的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B =45°，∠C =30°，AD =1，求△ABC 的周长．能力提升：7.如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，求△ABE 及阴影部分的面积.第十七章勾股定理2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)．例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？2.若已知圆柱体高为12 c m ，底面半径为3 c m ，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.例3 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例4 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？杆底部B 的距离是（ ） A .24m B .12m C m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm 3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm ，其横截面周长为36cm ，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？第十七章勾股定理...你能在数以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.为线段,形成如图所示的数学海螺.例1如图，数轴上点A所表示的数为a ，求a 的值.1.如图，点A 表示的实数是 （ ）2.A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）3.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.再用面积法求高.的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.求四边形ABCD的面积．1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.252.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_ ______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．分△AFC的面积.图①图②______=_______,∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝14CB，试判断AF 与EF的位置关系，并说明理由.1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是( ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.例4 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 探究点3：互逆命题与互逆定理想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a 2+b 2=c 2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？2.两个命题的条件和结论有何联系？要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.；标注有用信息,明确已反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？1.A、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 在B 地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC＝8m ，AD＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用例3 如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求四边形ABCD 的面积.分析：连接AC ，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD 是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 变式题1 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD=3cm ，AB=4cm ，CD=12cm ，BC=13cm ，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC ＝12 cm ，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，求△ABC 的面积.东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O 出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4. 如图，在△ABC 中，AB=17，BC=16，BC 边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A 、B ．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O 出发，以12海里/时的速度向着目标B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A 、B ．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6. 如图，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向 点以每秒2cm 的速度移动，点Q 从点C 沿CB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ 的长．。
人教版八下数学第17章勾股定理17.1《勾股定理》教案
-勾股定理在实际问题中的灵活运用；
-通过勾股定理的学习，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
举例解释：
-重点一：学生需要掌握勾股定理的表达式（a² + b² = c²），并能够识别直角三角形中的勾股数，理解其在三角形中的应用；
-重点二：学生应理解并能够复述勾股定理的几何法和代数法的证明过程，包括如何通过图形或代数公式推导出定理；
在总结回顾环节，我发现大部分同学能够掌握勾股定理的基本概念和应用，但仍有少数同学对某些知识点存在疑问。为了确保每位同学都能跟上教学进度，我决定在课后设置一个答疑环节，鼓励同学们提问，并及时解答他们的疑惑。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作直角三角形模型，测量边长，验证勾股定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点二：面对非标准直角三角形问题，学生可能不知道如何将问题转化为勾股定理的应用，需要教师提供多样的解题策略和技巧；
-难点三：学生可能难以将勾股定理与实际生活和其他学科知识联系起来，教师应通过跨学科案例和实际情境来加深学生的理解。
人教版数学八年级下册导学案：(勾股定理)勾股定理(导学案)
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第1课时 勾股定理一、导学1.导入课题在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并探索出了勾、股、弦之间的关系（即直角三角形三边之间的关系），这种关系是怎样的关系呢？又把这种关系叫做什么呢？2.学习目标（1）了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用拼图验证勾股定理的方法.（2）知道勾股定理的内容.3.学习重、难点重点：勾股定理内容的条件与结论.难点：勾股定理的几何验证方法.4.自学指导（1）自学内容：探究：直角三角形三边之间存在怎样的等量关系.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手拼图，思考面积关系.（4）探究提纲：①投影家中地板砖铺成的地面图案，并框定某一个直角三角形.a.右图中正方形ABFG 、正方形ACDE 和正方形BMNC 的面积之间有何关系？b.如果设AB=a ，AC=b ，BC=c,那么由a.可得到a 2+b 2=c 2.c.猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②根据下面拼图，验证猜想的正确性.拼成的正方形面积等于4个直角三角形面积+小正方形面积，即()22142c ab a b =⨯+-，化简得222c a b =+ .二、自学结合探究提纲进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究中存在的问题.(2)差异指导：指导学生运用面积法找到等量关系.2.生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难.四、强化1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.五、评价1.学生的自我评价：小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、合作探究的成绩和不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本节课通过向学生介绍勾股定理的悠久历史，让学生了解古代劳动人民在数学方面的成就，感受数学文化是人类文化的重要组成部分.本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.(15分)在Rt△ABC中，两直角边长分别为35，则斜边长为14.2.(15分)在Rt△ABC5，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为1.3.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=8.4.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知6，∠A=60°，求b，c.()()22222221251520260,90,2,2,22 2.a c b A C c b a b c b c b =-=-=∠=︒∠=︒∴=+====解：；，代入得：二、综合运用(20分)5.已知直角三角形的两边长分别为3，2，求另一条边长.解：当斜边的长为3时，另一条边长22325=-=；当两条直角边长分别为3、2时，斜边长 223213=+= .三、拓展延伸(20分)6.如图，已知长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于E ，AD=8，AB=4，求DE 的长. 解：∵∠A=∠C ′=∠C=90°,∠AEB=∠C ′ED,AB=C ′D,∴△AEB ≌△C ′ED.∴AE=C ′E,∴C ′E=AD-ED=8-ED.又在Rt EC D ' 中，222ED C E C D ='+'∴()222845ED ED ED =-+=，解得.。
最新人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理导学案(全章)
第十七章勾股定理导学案第一课时17.1 勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
八年级数学下册 第17章 勾股定理小结导学案(新版)新人教版
《勾股定理》一、学习目标1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．二、学习重难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、课前预习1．在R tΔABC中，∠C=90 ，AB=c，BC=a，AC=b⑴若a=3,b=4,则c=______________；⑵若a=8,c=17,则b=_____________；⑶若a：b=3:4,c=15则a=_________ b=________。
2．如图,求图中字母M所代表的正方形的面积.3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有4.将直角三角形的三边长同时扩大2倍，得到的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定5.“如果两个实数是正数，它们的积是正数。
”的逆命题是___________________________________这个逆命题_______________（填成立或不成立）四、课内探究考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在数轴上作出表示10的点．考点二、利用列方程求线段的长1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，C B=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有2..如图1，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2⋅=，求证：△ABC 为直角三角形。
最新人教版初二下册数学第十七章《勾股定理》导学案
探索勾股定理-（1）（第1课时）学生姓名：学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。
重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。
4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主探究：探究一：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边关系为。
探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形 等于；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
三、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积12米处。
旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？四、课后反思第4题BC A探索勾股定理-（2）（第2课时）学生姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。
能运用勾股定理解决一些实际问题。
重难点：勾股定理的应用。
学习过程： 一、知识回顾：1、直角三角形的勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长二、自主探究：利用拼图验证勾股定理活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×12ab . 化简可得：活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理(4)》导学案
新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理（4）》导学案学习目标知识目标：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
能力目标：通过旧知识进行探究新的知识，更好的理解和掌握新的内容，提高解决问题的能力情感目标：发展学生探索知识的能力．在探索中找到快乐。
重点掌握勾股定理的逆定理及证明。
难点勾股定理的逆定理的证明。
预习导引情境引入：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
思考：（1）你知道哪个角是直角吗？（2）在其它结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？（3）这其中包含了什么数学道理？二．自主学习：1.用尺规画△ABC，使（1）a=6,b=8,c=10 (2) a=5,b=12,c=13测量出∠C的值。
观察以上结果，你有什么发现？2、猜想：如果三角形的三边满足＿＿＿＿＿＿，那么此三角形就是直角三角形。
3.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互为逆命题？（2）什么叫互为逆定理？（3）任何一个命题都有____，但任何一个定理未必都有__．疑惑的问题问题导学例1说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两条直线平行。
（2）如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
例2判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15,b=8,c=17;（2）a=13,b=14,c=15;温馨提示（1）用两个短边的平方和与长边的平方进行比较．（2）解题过程要规范1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
（）⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》导学案3
cbaDC AB新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》导学案学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。
学习过程：活动一 动手做一做1、画出Rt△A B C 令∠C = 90°，直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________ （2）计算：2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系：_______________________活动二 毕达哥拉斯的发现1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ，则三个正方形 面积之间的关系：____________________________2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ，斜边为c ，则 图中等腰直角三角形三边长度之间的关系：_____________________活动三 探索与猜想观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1)1（1）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。
（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________活动四 认识赵爽弦图活动五 证明猜想已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边 分别为a 、b ，斜边为c 全等的直角三角形，求证： 222a b c +=A 的面积B 的面积C 的面积 左图右图 A B C CBA __________,_____,222===AB BC AC证明：根据同一个图形的面积相等得： 所以 ______________ + ________________________ = ____________ ______________ + ________________________ = _____________________ + ________ = __________勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________活动六 证法积累利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（美国第20任总统茄菲尔德的证法）已知，如图， Rt △A D E 和R t △B C E 是两个全等的直角三角形， 其直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，这两个直角三角形围成了直角边 为c 的Rt △A B E ， 求证： 222a b c +=证明：活动七 活学活用1、如右图，在直角三角形中，X ＝______，y ＝______2、在Rt△A B C 中，∠C = 90°， （1）若a = 2，b = 3， 则c = _________ （2）若c = 5，b = 4 ，则 a =3、在Rt △A B C 中，∠A = 90°，a = 7，b = 5，则 c = ___________4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________________活动八 学习反馈x 86135y大正小正＝S S S Rt +∆4bcca EBABCD BEC Rt ADE Rt ABE Rt S S S S 梯形=++∆∆∆说说你的收获！。
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理(3)》导学案1
新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理（3）》导学案一、学习目标：1．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想。
2．会用勾股定理解决简单的实际问题。
二、学习重难点：运用勾股定理解决数学和实际问题；勾股定理的综合应用。
三、学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 四、知识链接：1、（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。
（2）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=5，c=13，则b= 。
2、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，则它的对角线AC= 。
五、学习内容：思考：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数你能在数轴上画出表示13的点吗？a) 分析：如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示13的点。
容易知道，长为2的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。
长为13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____， _____的直角三角形的斜边。
b) 作法：在数轴上找到点A ，使OA=_____，作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB=_____，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示13点。
c) 利用勾股定理，可以作出长为2，3，5，…的线段。
按照同样的方法，可以在数轴上画出表示1，2，3，4，5…的点。
d) 在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）例1、你能在数轴上找出表示8的点吗？请作图说明AB CD2113451111 3 4LA• B213•C例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
例3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高. ⑵求S △ABC 。
六、归纳小结：(本节要掌握什么？)如何勾股定理在数轴上画出表示无理数的点？ 七、达标检测：1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ）A . 4cm B . 34cm C . 6cm D . 36cm2．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 333．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A . 9分米B . 15分米C . 5分米D . 8分米4. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .5. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．6. 已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。
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第十七章 勾股定理导学案 第一课时17.1 勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程： 一、自主学习画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容 文字表述： 几何表述： 二、交流展示例1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为 a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________ 右边S=_____________ 左边和右边面积相等，即_________________________ 化简可得_______________________ 三、合作探究1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。
（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。
（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。
（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。
3．△ABC 的三边a 、b 、c ，（1）若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； （2）若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； （3）若满足b2＜c 2＋a2，则∠B 是 角。
四、达标测试1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( ) 2．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为203．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）bbbbaaA ．4B ．8C ．10D ．124．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．1380 D ．1360 5、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求CF CEDE图1-1-5B第十七章 勾股定理导学案第二 课时17.1 勾股定理（2）学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
重难点：1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
一、自主学习1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系： ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边的关系： ； ⑷三边之间的关系： 。
二、交流展示例1、在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知_________边，求________边,直接用_______定理。
⑵⑶已知_____边和_______边，求__________边，用勾股定理的变形式。
⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计DBAA算。
让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
三、合作探究例3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高. ⑵求S △ABC 。
分析：勾股定理的使用范围是在_________三角形中，因此注意要 创造_______三角形，作____是常用的创造______三角形的辅助线做法。
欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中。
四、达标测试 1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
3．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，Array AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
B第十七章 勾股定理导学案第三课时17.1 勾股定理（3）学习目标：1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
重点： 勾股定理的应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
学习过程： 一、自主学习填空: 在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= 。
二、交流展示例1（教材P25页例1）分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。
⑵探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。
⑸小结深化数学建模思想，激发兴趣。
三、合作探究例2（教材P25页例2）如图，一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．如果梯子的顶端A 沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B 也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）分析：要求出梯子的底端B 是否也外移0.5米，实际就是求BD 的长，而BD =OD -OB四、达标测试1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是ABCACB P Q米，水平距离是 米。
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
2题图 3题图 4题图 5题图4．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米。
6．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
7．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。
（精确到1米）ABDEFCD第十七章 勾股定理导学案第四课时17.1 勾股定理（4）学习目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
重难点1．重点：勾股定理的综合应用。
2．难点：勾股定理的综合应用。
一、自主学习例4（教材P26页探究）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
（变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点。
）二、交流展示例1：已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°， CD=3，求线段AB 的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题， “双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
三、合作探究1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？分析：(1)若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为2．因此在数轴上能表示2的点．那么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）2、如图：螺旋状图形是由若干个直角 三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。