华东师大版九年级上册数学23.3.3 相似三角形的性质课堂练习含答案
华师大版数学九年级上册23.3《相似三角形》同步练习
相似三角形●随堂练习1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似三角形是相似多边形的一种. △ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ；假设EFBCDF AC DE AB ===k ,那么k 叫做这两个相似三角形的 . 2、如图，△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，那么对应角为________，对应边为________.3、如图，DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，那么ABAD=________=________.4、如果△ABC ∽△'''A B C ，BC =3，''B C ，那么△'''A B C 与△ABC 的相似比为( ) A .5∶3B .3∶2C .2∶3D .3∶55、如图,△ABC ∽△ADE ，AE =50 cm,EC =30 cm, BC =70 cm,∠BAC =45°,∠ACB =40°，求:〔1〕∠AED 和∠ADE 的度数；〔2〕DE 的长.BA ED C●拓展提高1、△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，那么△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________.2、五边形ABCDE∽五边形'''''A B的长分别为50A B C D E，假设对应边AB与''厘米和40厘米，那么五边形'''''A B C D E与五边形ABCDE的相似比是( )A.5:4B.4:5C.5:25D.25:53、△ABC中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一个与它相似的△'''A B C 的最长边为40 cm，求△'''A B C的其余两边的长.4、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.5、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是cm，求该草坪其他两边的实际长度.6、如图，，∠ACD=∠ECD，∠A+∠ACD=900 ,且2,证明:CD DE DB△ADC∽△CDB参考答案随堂练习1、∽△DEF ，相似比2、∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC3、AC AE ,BCDE4、解：因为△ABC ∽△'''A B C ，所以△'''A B C 与△ABC 的相似比为'' 1.83.35B C BC == 所以选D5、解：〔1〕因为△ABC ∽△ADE .所以由相似三角形对应角相等，得∠AED =∠ACB =40°. 在△ADE 中，∠AED +∠ADE +∠A =180°即40°+∠ADE +45°=180°,所以∠ADE =180°－40°－45°=95°. 〔2〕因为△ABC ∽△ADE ，所以由相似三角形对应边成比例，得BC DE AC AE =,即70305050DE =+，所以DE =30507050+⨯〔cm 〕. 点评：利用相似三角形的性质可以计算边的长度，还可以求角的度数以及线段成比例等. 拓展提高：1、解：因为△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，所以11112222255(1),(2),(1)(2).346A B AB AB A B A B A B ==⨯=得 所以△ABC ∽△A 2B 2C 2相似比为652、注意相似比的顺序选B .3、解：因为两个三角形相似，所以对应边成比例，每个三角形中的最长边和最长边是对应边设另外两条边是xcm 、ycm ， 可得30201580,,20.403x cm y cm x y ==∴== 4、〔1〕33223020==48x ,所以x =32.〔2〕n =55，m =80,y a a 1023=，得y=320.5、 草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1.设其他两边的实际长度都是x cm ，那么14005.3=x .x =3.5×400=1400〔cm 〕=14〔m 〕，所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m . 6、证明：∠A+∠ACD=900∴∠ADC=900=∠EDC ∠ACD=∠ECD, DC=CD∴△ADC ≌△EDC (ASA) ∴AD=DE 又2CD DE DB =2CD AD DB ∴= CD DBAD CD∴= ∴△ADC ∽△CDB。
华师大数学九年级上《23.3.1相似三角形》同步练习含答案解析
华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.1相似三角形同步练习一、选择题1、若△ABC∽△A′B′C′且＝，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）cm.A、18B、20C、D、2、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）.A、19B、17C、24D、213、如图，△ADE∽△ABC ，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）.A、1：2B、1：3C、2：3D、3：24、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）A、72B、18C、12D、205、平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=-图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q ．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）.A、1个B、2个C、3个D、4个6、△ABC∽△A′B′C′，且∠A=68°，则∠A′=（）.A、22°B、44°C、68°D、80°7、如图，若△ACD∽△ABC ，以下4个等式错误的是（）.A、B、C、CD2=AD•DBD、AC2=AD•AB8、△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么它们的周长比是（）A、B、C、D、9、点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，AD=2，DB=8，AC=5．若△ADE与△ABC相似，则AE的长为（）.A、1.25B、1C、4D、1或410、如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E ．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（）.A、16B、14C、16或14D、16或911、如图，Rt△ABC∽Rt△DEF ，∠A=35°，则∠E的度数为（）.A、35°B、45°C、55°D、65°12、如图，已知△ACD∽△ABC ，∠1=∠B ，下列各式正确的是（）A、＝＝B、＝＝C、＝＝D、＝＝13、若△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，那么△ABC的最长边是（）A、4cmB、9cmC、4cm或9cmD、以上答案都不对14、若△ABC∽△A΄B΄C΄，∠A=40°，∠B=110°，则∠C΄=（）.A、40°B、110°C、70°D、30°15、如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF ，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（）.A、5B、10C、D、二、填空题16、已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，则EF：BC=________．17、若两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为60°、50°，则另一个三角形的最小的内角为________度．18、已知△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，则∠A的对应角∠A′=________度．19、如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限．20、已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为________cm．三、解答题21、如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为，试求AD、AE的长．22、一个三角形三边长分别为5cm，8cm，12cm，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm，求另外两边长．23、已知：如图，△ABC∽△ADE ，∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．24、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长．25、如图，在△ABC中，AB=6cm ， AC=12cm ，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t ，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、选择题1、【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′ ，∴= =∴= = ，∵△ABC的周长为15cm，∴△A′B′C′的周长为20cm．故选B ．【分析】根据比例的等比性质可得相似三角形周长的比等于相似比，可得= = ，由△ABC的周长为15cm ，即可求得△A′B′C′的周长．2、【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】设另一个三角形的最短边为x ，第二短边为y ，根据相似三角形的三边对应成比例，知＝＝，∴x=9，y=15，∴x+y=24．故选C ．【分析】根据相似三角形的性质三边对应成比例作答即．3、【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵AD=1，BD=2，∴AB=AD+BD=3．∵△ADE∽△ABC ，∴AD：AB=1：3．∴△ADE与△ABC的相似比是1：3．故选B ．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的相似比等于对应边的比．4、【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】设△DEF最短的一边是x ，∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，∴= ，解得：x=18．故选B ．【分析】设△DEF最短的一边是x ，由相似三角形的性质得到= ，即可求出x ，得到△DEF最短的边．5、【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵点P是反比例函数y=- 图象上，∴设点P（x ， y），当△PQO∽△AOB时，则＝，又PQ=y ， OQ=-x ， OA=2，OB=1，即＝，即y=-2x ，∵xy=-1，即-2x2=-1，∴x=± ，∴点P为（，- ）或（- ，）；同理，当△PQO∽△BOA时，求得P（- ，）或（，- ）；故相应的点P共有4个．故选：D ．【分析】可以分别从△PQO∽△AOB与△PQO∽△BOA去分析，首先设点P（x ， y），根据相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P的坐标，即可求得答案．6、【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】因为△ABC∽△A′B′C′，则∠A与∠A′是对应角，根据相似三角形的性质得到∠A=∠A′=68°，故选C ．【分析】根据相似三角形的对应角相等即可求得∠A′的度数．7、【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵△ACD∽△ABC ，∴＝＝；A. = ⇒＝，故A正确；B. ＝⇒＝，故B正确；C.CD2=AD•DB⇒＝，与相似三角形所得结论不符，故C错误；D.AC2=AD•AB⇒＝，故D正确；故选C ．【分析】可根据相似三角形的对应边成比例来进行判断．8、【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为2：3，∴它们的周长比是2：3．故选A ．【分析】根据相似三角形性质，相似三角形周长的比等于相似比可求．9、【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】①若∠AED对应∠B时，= ，即＝，解得AE=4；②当∠ADE对应∠B时，= ，即= ，解得AE=1．故选D ．【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．10、【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】本题分两种情况：①△ADE∽△ACB∴∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=16；②△ADE∽△ABC∴∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=9．故选D【分析】本题应分两种情况进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长.11、【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵Rt△ABC∽Rt△DEF ，∠A=35°，∴∠D=∠A=35°．∵∠F=90°，∴∠E=55°．故选C ．【分析】由Rt△ABC∽Rt△DEF ，∠A=35°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠D的度数，又由∠F=90°，即可求得∠E的度数．12、【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】解答：∵△ACD∽△ABC ，∴＝＝．故选B ．分析：根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例作答．13、【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，∴△ABC的最长边：△DEF的最长边=3：2，即△ABC的最长边是9cm．故选B ．【分析】根据相似三角形的相似比的概念，即对应边的比即为相似比，进行求解．14、【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=110°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-110°=30°又∵△ABC∽△A΄B΄C΄，∴∠C΄=∠C=30°．故选D ．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可解答．15、【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】从图中可以看出△ABC的三边分别是2，，，要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是，所以这两，相似三角形的相似比是: = :5△ABC的面积为2×1÷2=1，所以△DEF的最大面积是5．故选A ．【分析】要让△ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．二、填空题16、【答案】2：1【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF ，∠A=∠D ，∠C=∠F ，∴＝＝，∵AB：DE=1：2，∴EF：BC=2：1，故答案为2：1．【分析】利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比．17、【答案】50【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵一个三角形的两个角分别为60°、50°，∴另一个角为180°-（60°+50°）=70°，∴三角形的最小的内角为50°．∵两个三角形相似，∴相似的另一个三角形的最小的内角为50°．【分析】先求出三角形的另一个角，比较后得出三角形的最小的内角为50°．再根据相似三角形的性质得出结论．18、【答案】50【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，∴∠A′=50度．【分析】根据相似三角形的对应角相等解答．19、【答案】；一、二、三【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】k= = = ，∴=k ，∴c=（a+b）k ，b=（a+c）k ，a=（c+b）k ，相加得：（a+b+c）=2k（a+b+c），当a+b+c=0时，k= = =-1，∵相似比是k ，∴k=-1舍去；当a+b+c≠0时，k= ，此时y= x+ 图象经过一、二、三象限；故答案为：，一、二、三．【分析】根据相似比的定义得出=k ，推出c=（a+b）k ， b=（a+c）k ， a=（c+b）k ，求出k的值，即可求出答案．20、【答案】12【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】设△A′B′C′的最短的边是x，根据相似三角形的对应边的比相等，得到x：20=3：5，解得：x=12cm．它的最短边长为12cm．【分析】设△A′B′C′的最短的边是x ，根据相似三角形的性质，可得x：20=3：5，解方程即可．三、解答题21、【答案】解答：当△ABC∽△ADE时，相似比为，＝＝，即：＝＝，解得：AD=2，AE=1.5；当△ABC∽△AED时，＝＝，即：＝＝，解得：AD=1.5，AE=2．【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】利用三角形相似的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论即可求得AD、AE的长．22、【答案】解答：设另一个三角形的两边长是xcm，ycm，由题意，得：x：5=y：8=4.8：12，解得x=2cm，y=3.2cm．因此另两条边的边长为2cm，3.2cm．【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】根据两个相似三角形的最长边的值，可求出它们的相似比，由此可求出另两条边的长．23、【答案】解答：∵△ABC∽△ADE ，∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°．【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】由△ABC∽△ADE ，∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数．24、【答案】解答：①若∠AED对应∠B时，= ，即= ，解得AE= ；②当∠ADE对应∠B时，= ，即= ，解得AE=2．所以AE的长为2或．【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．25、【答案】解答：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6），①当MN∥BC时，△AMN∽△ABC ，则＝，即＝，解得t=3；②当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC ，则＝，即= ，解得t=4.8；故所求t的值为3秒或4.8秒．【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．。
华师大版初中数学九年级上册《23.3.2 相似三角形的判定》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《23.3.2 相似三角形的判定》同步练习卷一．选择题（共4小题）1．如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OC=OB：OD=1：2，则此四个三角形的关系，下列叙述何者正确（）A．甲丙相似，乙丁相似B．甲丙相似，乙丁不相似C．甲丙不相似，乙丁相似D．甲丙不相似，乙丁不相似2．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④3．如图，点D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法中，错误的是（）A．EF与AD互相平分B．EF=BCC．AD平分∠BAC D．△DEF∽△ACB4．如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，则图中一定相似的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对二．填空题（共15小题）5．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果BE=EC，CD=4CF，那么与△AEF相似的三角形是（只需写出一个）．6．在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线L，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L有条．7．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．满足这样条件的直线最多有条．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB，DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，请你写出图中所有的相似三角形．9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点M，则图中与△ABM相似的三角形有．10．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP=∠B；②AC2=AP•PB；③∠APC=∠ACB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC∽△ACB的条件是．11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=12cm，AD=5cm，E为AD的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF=cm．12．如图，BC平分∠ABD，AB=9，BD=25，当BC=时，△ABC∽△CBD．13．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC 交于点F，此图中的相似三角形共有对．14．如图，方格纸中的△ABC与△DEF的关系是．15．已知△ABC是直角三角形，C为直角，AC≠BC，若点P是△ABC所在平面上的点（P≠A，B，C），使得P，B，C三点构成的三角形和△ABC相似，则这样的点P最多有个．16．如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是；一对相似三角形是．17．有人说“学习相似三角形的判定要类比三角形全等的判定，这样便于理解它们之间的联系与区别，易于记忆，方便应用．”你认为如何？能试着总结这个问题吗？请你填一填：全等三角形的判定方法有：，，，，直角三角形除此之外再加．相似三角形的判定除了可以运用相似三角形的定义外，我们还学习了一种简单的方法：对应相等的两个三角形相似．18．一般相似三角形的判定方法有哪几种？如何灵活选用？请你填一填，补充完成这份小结．相似三角形的判定一共有四种方法：（1）（定义法）对应角相等，对应边的两个三角形相似．（2）两角的两个三角形相似．（3）两边对应且夹角相等的两个三角形相似．（4）三边对应的两个三角形相似．从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，一般不利用．如果已知条件只涉及角，就用第种判定方法；如果已知条件只涉及边，就用第种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第种方法判断．19．如图，AB∥DE，∠AFC=∠E，则图中相似的三角形共有对．三．解答题（共27小题）20．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E在BC上，BD=DE=EC=AC，指出图中哪两个三角形相似，并证明你的结论．21．如图，将一副三角板按图叠放，则△ADE与△BCE相似吗？请说明理由．22．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD（如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．23．在△ABC中，BD、CE分别为三角形的两条高交于点O．（1）问图中有对相似三角形；（2）连接DE，△ADE与△ABC是否相似，如果相似请给予证明；若不相似请说明理由．24．如图在四边形ABCD中，DE∥BC，交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使△FCB∽△ADE，并给出证明．25．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC、BD切半圆O于A、B，CD 切半圆O于E．请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、两个三角形相似等四个正确的结论．26．如图，在△ABC中，AD、CE是两条高，连接DE．如果BE=2，EA=3，CE=4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论（要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等），并对其中一个结论给予证明．27．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．28．已知：如图AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，（1）证明图中的相似三角形；（2）若AB=3，CD=1，AC=2，求AP的长．29．如图，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的角平分线，且==．图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并证明．30．在△ABC中，∠ACB=90°，CQ是斜边AB上的中线，AC=6，AB=10，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，当BP为何值时，△PNC与△ABC相似，并证明你的结论．31．如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AD的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．求证：△ABE∽△DBC．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？说明理由．（2）△AEF与△ABC相似吗？说说你的理由．33．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4．（1）△ABD与△CBE相似吗？请说明理由．（2）△ABC与△DBE相似吗？请说明理由．34．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB ＞AE），△AEF∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD 为矩形呢？35．已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．（1）求证：BE=CD；（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN是等腰三角形；（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．36．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC，交AB于点F，连接CF．（1）图中的哪些三角形相似？请证明你的判断；（2）当矩形ABCD满足什么条件时，图中所有的三角形都两两相似？请说明理由．37．（1）填空：如图1，在正△ABC中，M、N分别在BC、AC上，且BM=CN，连AM、BN交于点O，则∠AON=°（2）填空：如图2，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=°．（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°．以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．（4）在（1）的条件下，把直线AM平移到图4的直线EOF位置，①写出所有与△BOF相似的三角形：②若点N是AC中点，（其它条件不变）试探索线段EO与FO的数量关系，并说明理由．38．如图，在△ABC，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°．（1）请写出图中的两对相似三角形；（不另外添加字母和线）．（2）任选其中一对进行证明．39．已知两个不相似的直角三角形ABC和A′B′C′中∠C=∠C′=90°，能否将这两个三角形各分割成两个小三角形，使它们分别相似？你能想出几种分割方法？能否将这个问题推广到有一个角相等的两个任意三角形？40．如图，在△ABC中，AB=AC，三条内角平分线交于点D，过点D作AD垂线，分别交AB、AC于点M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性．41．如图，在⊙O中，∠AOB=120°，PT与⊙O切于T点，A、B、P共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT于C、D，求证：△ACD∽△CDB．42．已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．43．△ABC中，∠1=∠2=∠3，图中有相似三角形吗？请说明理由．44．观察图中的甲、乙两图，回答下列问题．（1）请简述由图甲变成图乙的形成过程，以D点为旋转中心，图甲中的△A′DF 绕点D顺时针旋转90°得到图乙．（2）在图乙中，若AD=3，DB=4，则△ADE和△BDF面积的和为．45．已知：D，E分别为△ABC的边CA，BA延长线上的点，且，F为AB 上一点，且FG∥BC交AC于G．求证：△ADE∽△AGF．46．如图，已知在矩形ABCD中，AB：BC=1：2，点E在边AD上，且3AE=ED．求证：△ABC∽△EAB．华师大新版九年级上学期《23.3.2 相似三角形的判定》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OC=OB：OD=1：2，则此四个三角形的关系，下列叙述何者正确（）A．甲丙相似，乙丁相似B．甲丙相似，乙丁不相似C．甲丙不相似，乙丁相似D．甲丙不相似，乙丁不相似【分析】根据已知及相似三角形判定定理，对四个三角形的关系进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：在△OAB和△OCD中，OA：OC=OB：OD，又∠AOB=∠COD∴△OAB∽△OCD即甲丙相似；无法证明△OAD相似△OCB，乙丁不相似．故选：B．【点评】此题考查了学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．2．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC∴DB=BE，BE=DE∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∵∠BHE=∠DHF∴∠EBH=∠CDE∴△BEH≌△DEC∴∠BHE=∠C，BH=CD∵▱ABCD中∴∠C=∠A，AB=CD∴∠A=∠BHE，AB=BH∴正确的有①②③故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．3．如图，点D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法中，错误的是（）A．EF与AD互相平分B．EF=BCC．AD平分∠BAC D．△DEF∽△ACB【分析】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，易得四边形AEDF 为平行四边形，那么EF与AD互相平分；EF=BC；△DEF∽△ACB．【解答】解：A、∵D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，∴EF∥BC且EF=BC，EF与AD互相平分；B、由中位线的性质可知EF=BC；C、不能证明；D、∵EF=BC，DE=AC，DF=AB，∴△DEF∽△ACB．故选：C．【点评】主要考查的是三角形中位线的性质，是中学阶段的常规题目．4．如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，则图中一定相似的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠DCE=∠ABE，∠CDE=∠BAE∴△CDE∽△BAE同理，△AED∽△BEC∵∠P=∠P，∠CDB=∠BAC∴△PDB∽△PAC∵∠DCB+∠BCP=180°，∠DCB+∠DAB=180°∴∠BCP=∠DAB∵∠P=∠P∴△PCB∽△PAD∴共有4对故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．二．填空题（共15小题）5．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果BE=EC，CD=4CF，那么与△AEF相似的三角形是△ABE（或△ECF）（只需写出一个）．【分析】首先由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，又由BE=EC，CD=4CF，易证得△ABE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，即可证得△AEF∽△ABE，则可得△AEF∽△ABE∽△ECF．【解答】解：与△AEF相似的三角形是△ABE或△ECF．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，∵BE=EC，CD=4CF，∴，∴△ABE∽△ECF，∴，∠BAE=∠CEF，∴，即，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠AEF=∠B，∴△AEF∽△ABE，∴△AEF∽△ABE∽△ECF．故答案为：△ABE或△ECF．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线L，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L有4条．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可【解答】解：作DE∥AB，DF∥BC，可得相似作∠CDG=∠B，∠ADH=∠B，也可的相似三角形．所以可作4条．【点评】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．7．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．满足这样条件的直线最多有4条．【分析】过点P作BC的平行线，作AC的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得公共角的两边对应成比例，则AP：AC=AF：AB，可得△APF∽△ACB，同理截BC边也可得相似三角形．【解答】解：过P作PE∥BC，则△APE∽△ABC；同理：△BPG∽△BAC；过P作PF使得PA：AC=AF：AB，则△APF∽△ACB；同理：△BPH∽△BCA；所以共有4条满足条件的直线．故答案为：4．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB，DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，请你写出图中所有的相似三角形△EBC∽△EDA；△FDC∽△FBA．【分析】根据圆内接四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【解答】解：∵∠EBC=∠ADE，∠E=∠E∴△EBC∽△EDA同理：△FDC∽△FBA．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质以及相似三角形的判定方法的理解及运用．9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点M，则图中与△ABM相似的三角形有△ABM∽△FAM，△ABM ∽△FBA．【分析】根据正方形的性质，运用SAS证明△ABF≌△DAE，再由全等三角形的性质可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°．∵CE=DF，∴AF=DE．在△ABF与△DAE中，∵，∴△ABF≌△DAE（SAS）．∴AE=BF；∴∠AFB=∠AED．∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠AFB+∠DAE=90°，∴∠AOF=90°，即AE⊥BF．∵∠BAF=90°，∴∠AFB+∠ABF=90°．∵∠ABF+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠AFM，∴△ABM∽△FAM．同理，△ABM∽△FBA．故答案为：△ABM∽△FAM，△ABM∽△FBA．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP=∠B；②AC2=AP•PB；③∠APC=∠ACB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC∽△ACB的条件是①②③．【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠A=∠A∴①∠ACP=∠B，③∠APC=∠ACB时都相似；∵AC2=AP•AB∴AC：AB=AP：AC∴②相似；④此两个对应边的夹角不是∠A，所以不相似．所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=12cm，AD=5cm，E为AD的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF=cm．【分析】根据△CBF∽△CDE，相似三角形对应边的比相等，求得BF，就可求得AF的长．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB=12cm，AD=5cm，E为AD的中点．则BC=AD=5cm．DE=2.5cm．CD=AB=12cm．∵△CBF∽△CDE∴=．即=，∴BF=∴AF=AB﹣BF=12﹣=cm．故答案是：．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，两组对边分别相等，以及相似三角形的性质，对应边的比相等．12．如图，BC平分∠ABD，AB=9，BD=25，当BC=15时，△ABC∽△CBD．【分析】由BC平分∠ABD，可得当=时，△ABC∽△CBD，继而求得答案．【解答】解：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠CBD，∵当=时，△ABC∽△CBD，∴=，∴BC=15．故答案为：15．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．13．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC 交于点F，此图中的相似三角形共有6对．【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；∵AD∥BC，∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD∴图中相似三角形有6对．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．14．如图，方格纸中的△ABC与△DEF的关系是相似．【分析】设每个小三角形的边长为1，求出两个三角形的三边长，继而可判断△ABC与△DEF的关系．【解答】解：设每个小三角形的边长为1，则AB=AC=，BC=2，DE=DF=，EF=2，∵==，∴△ABC∽△DEF．故答案为：相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理．15．已知△ABC是直角三角形，C为直角，AC≠BC，若点P是△ABC所在平面上的点（P≠A，B，C），使得P，B，C三点构成的三角形和△ABC相似，则这样的点P最多有11个．【分析】这样的点有11个，分为三大类，第一类，若P，B及C构成的三角形与原三角形全等，满足题意的点P有3个位置，如图所示；第二类若P，B，及C构成的直角三角形，∠CPB为直角，即BC为斜边，满足题意的点P有4个位置，如图所示；第三类若∠PCB或∠PBC为直角，即PB或PC为斜边，满足题意的点P有4个位置，如图所示，综上，得到满足题意的P最多有11个位置．【解答】解：这样的P最多有11个，如图所示：分为三大类：①若P，B及C构成的三角形与原三角形全等，有三种情况：P5，P6，P7，如图；②若∠BPC=90°时，有四种情况：P1，P2，P3，P4，如图；③若∠PCB或∠PBC为直角，共有4种情况：P8，P9，P10，P11，如图．故答案为：11．【点评】此题考查了相似三角形的判定，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，要求学生借助图形，根据P，B及C构成的直角三角形的直角顶点的不同，以及对应边的不同，抓住问题的关键，分情况得出所有满足题意的P点．做题注意不要遗漏解．16．如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是△AED和△AFD；一对相似三角形是△AED和△DFC．【分析】根据角对角线的性质可以求得∠DAE=∠DAF，易证△AED≌△AFD，得∠AED=∠DFC，再求得∠FDC=∠DAE即可判定△AED∽△DFC，即可解题．【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（ASA），∴∠AED=∠DFC，∵∠FDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∠DAC=∠DAE，∴∠FDC=∠DAE，∴△AED∽△DFC（AA），故答案为△AED≌△AFD、△AED∽△DFC．【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中证明△AED≌△AFD是解题的关键．17．有人说“学习相似三角形的判定要类比三角形全等的判定，这样便于理解它们之间的联系与区别，易于记忆，方便应用．”你认为如何？能试着总结这个问题吗？请你填一填：全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL．相似三角形的判定除了可以运用相似三角形的定义外，我们还学习了一种简单的方法：两角对应相等的两个三角形相似．【分析】此题较简单根据全等三角形的判定方法及相似三角形的判定方法将空白的填写完整即可．【解答】解：相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（AA）③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（SAS）④如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（SSS）⑤对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形（用定义证明）．全等三角形的判定方法有：①三组对应边分别相等的两个三角形全等（SSS或“边边边”）；②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）；③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）；④有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）；⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或“斜边，直角边”）．因此本题的答案为：ASA，AAS，SAS，SSS，HL，两角．【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法及相似三角形的判定方法的掌握情况．18．一般相似三角形的判定方法有哪几种？如何灵活选用？请你填一填，补充完成这份小结．相似三角形的判定一共有四种方法：（1）（定义法）对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．（2）两角对应相等的两个三角形相似．（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（4）三边对应成比例的两个三角形相似．从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，一般不利用．如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；如果已知条件只涉及边，就用第四种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第三种方法判断．【分析】根据相似三角形的定义和判定填则可，（1）是相似三角形的定义，（2）（3）（4）是相似三角形的判定定理．【解答】解：（1）成比例；（2）对应相等；（3）（4）都填成比例，最后三个空分别填二，四，三．【点评】本题考查了相似三角形的定义和判定定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比，适合哪条定理条件就运用哪条定理判定．19．如图，AB∥DE，∠AFC=∠E，则图中相似的三角形共有3对．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，△ABC∽△EDC，因为∠AFC=∠E，则△AFC∽△DEC，再根据相似三角形的传递性有△AFC∽△ABC，共3对．【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC．∵∠AFC=∠E，∠ACF=∠ECD，∴△AFC∽△DEC．∵△AFC∽△DEC，△ABC∽△EDC，∴△AFC∽△ABC．所以共3对相似三角形．【点评】考查相似三角形的判定定理及其性质．三．解答题（共27小题）20．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E在BC上，BD=DE=EC=AC，指出图中哪两个三角形相似，并证明你的结论．【分析】△ADE与△AEB相似，证明如下：由∠C=90°，且AC=EC，得到△AEC为等腰直角三角形，且得到BE等于2AB，同时可得出∠AEC=45°，根据锐角三角函数定义表示出关系式，得出AE与AC的关系，即为AE与DE的关系，求出AE与DE的比值，由BE为AC的2倍，求出BE与AE的比值，可得出两比值相等，再根据夹角为公共角，利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可得出△ADE与△AEB相似，得证．【解答】解：△AED∽△BEA，…（2分）证明如下：在△AED和△BEA中，∵△ABC中，∠C=90°，BD=DE=EC=AC，∴△AEC为等腰直角三角形，BE=BD+DE=2BD=2AC，∴∠AEC=45°，即sin∠AEC=，∴AE==AC，∴===，…（3分）∵∠AED=∠BEA，…（4分）∴△AED∽△BEA．…（5分）【点评】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．21．如图，将一副三角板按图叠放，则△ADE与△BCE相似吗？请说明理由．【分析】△ADE∽△BCE．由于∠DAC=∠ACB=90°，于是有∠DAC+∠ACB=180°，进而可得AD∥BC，从而有△ADE∽△BCE．【解答】解：△ADE∽△BCE．∵∠DAC=∠ACB=90°，∴∠DAC+∠ACB=180°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△BCE．【点评】本题考查了平行线的判定、平行线分线段成比例定理的推论．解题的关键是证明AD∥BC．22．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD（如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°，求出∠ABE=∠DBC，证△ABE≌△DBC，推出AE=DC；（2）根据全等得出∠EAB=∠CDB，证△AMB≌△DNB，推出∠ABM=∠DBN，求出∠DBN+∠MBD=60°即可；（3）根据全等三角形的判定和相似三角形的判定定理，结合图形即可得出答案．【解答】（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE=DC，∵M、N分别为AE、CD的中点，∴AM=AE，CN=DC∴AM=CN；（2）解：∵△ABE≌△DBC，∴∠EAB=∠CDB，在△AMB和△DNB中∴△AMB≌△DNB（SAS），∴∠ABM=∠DBN，∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°，∴∠DBN+∠MBD=60°，即∠MBN=60°；（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用．23．在△ABC中，BD、CE分别为三角形的两条高交于点O．（1）问图中有6对相似三角形；（2）连接DE，△ADE与△ABC是否相似，如果相似请给予证明；若不相似请说明理由．【分析】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形互为相似相似三角形，两组对边对应成比例，以及夹角相等的两个三角形，互为相似三角形．（2）连接DE，先证明△AEC∽△ADB，证明出两组对边成比例，且夹角是公共角，从而求出△ADE∽△ABC．【解答】解：（1）图中有△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△COD∽△ACE，△COD∽△ABD，△BOE∽△BDA，△BOE∽△CAE，6对三角形相似．故答案为：6．（2）证明：∵∠A=∠A，∠AEC=∠ADB=90°，∴△AEC∽△ADB，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质练习华东师大版(20
2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.3 相似三角形的性质同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.3 相似三角形的性质同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.3 相似三角形的性质同步练习（新版）华东师大版的全部内容。
23。
3。
3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.错误!∶错误!2．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ）A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2,BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝________,则错误!＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB,AC上的点，且DE∥BC。
若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________.图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5,它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B.错误!∶错误! C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39,D，E分别为△ABC的边AB,AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( ）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911。
2018年九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.1相似三角形同步练习华东师大版
23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念1．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝6 cm，其对应边A′B′＝4 cm，则相似比为________．2．已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比是23，则△A′B′C′与△ABC的相似比是( )A. 23B.32C.49D.943．如图23－3－1，Rt△ADC∽Rt△DBC，AC＝3，BC＝4，试求△ADC与△DBC的相似比．图23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝35°，则与△ABC相似的三角形三个角的度数分别为( )A．35°，45°，45° B．45°，105°，35°C．45°，35°，110° D．45°，35°，100°5．已知△ABC与△DEF相似，且∠A＝50°，∠B＝70°，∠C＝60°，∠D＝60°，∠E ＝70°，则( )A．∠F＝50°，AB与DE是对应边B．∠F＝50°，AB与EF是对应边C．∠F＝50°，AB与DF是对应边D．AB与DE，AC与DF，BC与EF是三组对应边图23－3－26．如图23－3－2，△AED∽△ABC，且∠1＝∠B＝50°，∠C＝70°，则∠2＝________°，AD （）＝（）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．图23－3－712．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为________．13．已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和 3.若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在?ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 3 22. B3．解：∵Rt△ADC∽Rt△DBC，∴ACDC＝DCBC，即3DC＝DC4，∴DC2＝12，则DC＝2 3，∴△ADC与△DBC的相似比为32 3＝32.4．D ．5．B6．70 AC ED7．解：(1)ADAB＝AEAC＝DEBC.(2)AOA′O＝BOB′O＝ABA′B′.(3)ADAB＝AEAC＝DEBC.8．解：(1)∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝153°.(2)∵△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD.又∵AC＝4，BC＝6，∴CD＝4×４6＝83.9．C [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴△ADE∽△EFC，共3对．故选 C.10．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．11．解：(1)∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，∴ADAB＝412＝13.(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB.∵DE＝3，∴3BC＝13，∴BC＝9.12 2∶５[解析] ∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5.设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.13． 214．2∶５15．∵AB∥GH∥DC，∴△CGH∽△CAB，△BGH∽△BDC，∴GHAB＝CHCB，GHDC＝BHBC，∴GHAB＋GHDC＝CHCB＋BHBC＝1.∵AB＝2，DC＝3，∴GH2＋GH3＝1，∴GH＝65.16．4 317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论．设另外两条边的长分别为x，y(x<y)．根据题意，得5 x＝6y＝73或5x＝63＝7y或53＝6x＝7y，所以x＝157，y＝187或x＝52，y＝72或x＝185，y＝215.故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
华东师大版九年级数学第23章 相似三角形的性质与判定的综合题专题练习(含答案,教师版)
华东师大版九年级数学第23章 相似三角形的性质与判定的综合题专题练习一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为(B)A ．18 B.1095C.965D.2532．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780～1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845～1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQ ＝(D) A ．5B ．4C ．3＋ 2D ．2＋ 23．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DC AB 等于(B) A.23B.14C.13D.354．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G.若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF 的值是(C)A.43B.54C.65D.765．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连结AB 并延长到C ，连结CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为(B) A ．(1，52)B ．(43，83) C ．(5，25)D ．(3，23)6．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连结BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF ＝4，则下列结论：①AF FD ＝12；②S △BCE ＝36；③S △ABE ＝12；④△AEF ∽△ACD ，其中一定正确的是(D) A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③7．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连结BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①BE ＝2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③△PFD ∽△PDB ；④DP 2＝PH ·PC.其中正确的是(C) A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④二、填空题8．如图，在▱ABCD中，AB＝8，P，Q为对角线AC的三等分点，延长DP交AB于点M，延长MQ交CD于点N，则CN＝2．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝3．10．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是135°.11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝110°.12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE∶EC＝2∶1，EF∥CD，交对角线。
最新华东师大版初中数学九年级上册专题练习23.3.3 相似三角形的性质
23.3.3 相似三角形的性质一、选择题1．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）A． m B． m C． m D． m2．已知△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，△ABC的周长为30cm，并且△A′B′C′的三边比为4：5：6，则△A′B′C′的最长边为（）A．44cm B．40cm C．36cm D．24cm3．若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．1：4．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D． a5．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A．B．C．D．二、填空题6．已知△ABC∽△A′B′C′，对应中线的比为2：，且BC边上的高是5，则B′C′边上的高为______．7．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为______．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为______．9．若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为35cm，则较小的三角形的周长为______．10．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为______．11．在一张比例尺1：3 000的图中，有一块三角形的草坪，草坪的面积S=2.5平方厘米，则草坪的实际面积是______平方米．12．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为______．13．如图，平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，S△AEF=6cm2，则S△CBF等于______．14．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是______．三、解答题15．如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于B，AH交DE于G．已知DE=10，BC=15，AG=12，求GH的长．16．如图，△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是48．求△DEF的周长和面积．17．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．18．如图所示，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶点刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再走行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是多少？19．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．答案一、1．C 2．D 3．B 4．C 5．B；二、6．7.5 7．3：4 8． 9．15cm 10．9：1 11．225012．3 13．54cm2 14．144三、15． 616．17．18．30 m 19．。
华东师大版九年级数学上册第23章23.3.3 相似三角形的性质 同步练习题
华东师大版九年级数学上册第23章23.3.3 相似三角形的性质 同步练习题一、选择题1．若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高的比为(A) A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶92．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为(B) A ．2∶1B ．1∶2C ．4∶1D ．1∶43．如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么这两个相似三角形的面积比是(C) A ．2∶1B ．1∶ 2C ．1∶2D ．1∶44．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为(D) A ．8B ．12C ．14D ．165．如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)A.BC DF ＝12 B.∠A 的度数∠D 的度数＝12C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝126．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则ADAB为(D)A.12B.24C.14D.227．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ，AD ＝12DB.若S △ADE ＝3，则S 四边形DBCE＝(C)A ．12B ．15C ．24D ．27二、填空题8．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝4，A ′B ′＝12，则它们对应边上的高的比为1∶3，若BC 边上的中线AD ＝1.5，则B ′C ′边上的中线A ′D ′＝4.5．9．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15 cm ，那么较大三角形的周长为25cm.10．如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比35进行缩小，得到的直角三角形的面积是9．11．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为16．12．如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S△BDE∶S 四边形DECA 的值为1∶15．三、解答题13．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝4 cm ，A ′B ′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条角平分线，AE ＝4.8 cm.求△A ′B ′C ′中对应角平分线A ′E ′的长． 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴AE A ′E ′＝AB A ′B ′，即 4.8A ′E ′＝410. ∴A ′E ′＝12 cm.14．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD ＝∠B ，若AC ＝2，AD ＝1. (1)求DB 的长；(2)求△ACD 与△ABC 的面积的比．解：(1)∵∠B ＝∠ACD ， ∠BAC ＝∠CAD ， ∴△ABC ∽△ACD. ∴AB AC ＝AC AD. ∴AB ＝AC2AD ＝4.∴DB ＝AB －AD ＝4－1＝3.(2)∵△ACD 与△ABC 的相似比为AD ∶AC ＝1∶2，∴△ACD 与△ABC 的面积的比为1∶4.15．如图，在▱ABCD 中，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝2∶3，线段DE 与AC 交于点F. (1)求△AEF 和△CDF 的周长比； (2)若S △AEF ＝8 cm 2，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∵AE ∶EB ＝2∶3， ∴AE ∶AB ＝2∶5. ∴AE ∶CD ＝2∶5.∵AB ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF. ∴△AEF 和△CDF 的周长比为2∶5. (2)∵△AEF ∽△CDF ， ∴S △CDF ∶S △AEF ＝25∶4. ∵S △AEF ＝8 cm 2， ∴S △CDF ＝50 cm 2.16．如图，在△ABC 中，AB ＝14 cm ，AD BD ＝59，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12 cm.求△ADE 的周长．解：∵AB ＝14 cm ，AD BD ＝59，∴AD ＝5 cm ，BD ＝9 cm ， AD AB ＝514. ∵CD ⊥AB ，∴CB ＝BD 2＋CD 2＝15 cm ，AC ＝AD 2＋CD 2＝13 cm. ∴△ABC 的周长为42 cm. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴C △ADEC △ABC＝AD AB ＝514.∴△ADE 的周长为15 cm.17．如图，分别延长▱ABCD 的边CD ，AB 到E ，F ，使DE ＝BF ＝12CD ，连结EF ，分别交AD ，BC于G ，H ，连结CG ，AH.(1)求证：四边形AGCH 为平行四边形； (2)求△DEG 和△CGH 的面积比．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∠ADC ＝∠ABC ，BC ＝AD ，AG ∥CH. ∴∠E ＝∠F ，∠EDG ＝∠FBH. 又∵DE ＝BF ，∴△DEG ≌△BFH(ASA)． ∴DG ＝BH.∴AD －DG ＝BC －BH ，即AG ＝CH. 又∵AG ∥CH ，∴四边形AGCH 为平行四边形． (2)∵DE ＝12CD ，∴DE ＝13CE ，S △DGES △CGD ＝12.∵DG ∥BC ， ∴△EDG ∽△ECH.∴S △DGES △CHE＝(DE CE )2＝(13)2＝19.∴S △DEGS △CGH ＝16.18．定义：将“三角形角的顶点与该角的外角平分线与该角对边交点之间的连线叫做三角形的外角平分线．”如图中的AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的外角平分线．我们知道：两个相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应角的外角平分线之比是否等于相似比呢？例如：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，AD ，A ′D ′分别是△ABC ，△A ′B ′C ′的外角平分线，那么AD A ′D ′＝k 是否成立？如果结论不成立，请说明理由；如果结论成立，请证明．解：AD A ′D ′＝k 成立．证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，∠C ＝∠C ′，AB ∶A ′B ′＝k. ∴∠EAB ＝∠E ′A ′B ′.∵∠ABD ＝∠BAC ＋∠C ，∠A ′B ′D ′＝∠B ′A ′C ′＋∠C ′， ∴∠ABD ＝∠A ′B ′D ′.∵AD ，A ′D ′分别是△ABC ，△A ′B ′C ′的外角平分线， ∴∠BAD ＝12∠BAE ，∠B ′A ′D ′＝12∠B ′A ′E ′.∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.∴△BAD∽△B′A′D′.∴AD∶A′D′＝AB∶A′B′＝k，即ADA′D′＝k.。
华师大版初中数学九年级上册《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。
华东师大版 初三数学23章 相似三角形典型例题(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C 叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
九年级数学上册 24.3.3 相似三角形的性质精品同步作业 华东师大版
24.3.3 相似三角形的性质 ◆随堂检测 1、已知△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，且C A AC ''=23，B′D′=4，则BD 的长为.2、已知△ABC ∽△A′B′C′,AD 和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8 cm, A′D′=3 cm.，则△ABC 与△A′B′C′对应高的比为 .3、两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为 ．4、把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍.◆典例分析如图，在△ABC 中EF ∥BC 且EF=32BC=2 cm ，△AEF 的周长为10 cm ，求梯形BCFE 的周长. 分析：由平行条件可以知道两个三角形相似，再利用相似三角形周长的比等于相似比即可求出此题.解∵EF=32BC ，∴32=BC EF ， ∵EF ∥BC ∴△AEF ∽△ABC ，32==∆∆BC EF ABC AEF 周长周长， ∴3210=∆周长ABC ，∴△ABC 周长=15 （cm ），∴梯形BCF 的周长=△ABC 的周长－△AEF 的周长+2EF=15－10+4=9 （cm ）.点拨：相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，两者一定要分清、记牢. ◆课下作业●拓展提高1、 若△ABC ∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A′B′C′的周长是________.2、已知△ABC 的三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与三角形相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边.那么另两边的长度（单位：cm ）分别为（ ）A 、10，25B 、10，36或12，36C 、12，36D 、10，25或12，363、 如图，在平行四边形ABCD 中，延长AB 到E ，使BE=21AB ，延长CD 到F ，使DF=DC ，EF 交BC 于G ，交AD 于H ，求△BEG 与△CFG 的面积之比.4、 如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ∶EC=3∶1，S △FBE=18,求S △FDA.5、 如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.（1）则图中有几对相似三角形;（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD;（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.6、如图，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm ×3．5 cm ，放映屏幕的规格为2 m ×2 m ，若放映机的光源S 距胶片20 cm ，那么光源S 距屏幕多少米时，放映的图象刚好布满整个屏幕?7、某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图所示)，他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元／m 2的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用?并说明理由．●体验中考1、（2009年某某市）在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ）A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．４，62、（2009年某某某某）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DO AO等于（ ）A ．352B ．31C ．32D ．213、(2009年某某)已知△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ）A.1：2B.1：4C.2：1D.4：14、（2009年某某）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为．5、（2009年凉山州）已知ABC A B C '''△∽△且1:2ABC A B C S S '''=△△:，则:AB A B ''= ．参考答案：随堂检测：1、解：因为△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，3 6.''''42BD AC BD BD B D A C ==∴=即2、解：根据对应角平分线的比、对应高的比等于相似比，可得对应高的比为 38.3、解：设大三角形的周长是x,根据周长比等于相似比可得225,75.3x x x -==75，根据面积比等于相似比的平方可得两个三角形面积比为4∶9 .4、解：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22，所以边长应缩小到原来的22倍. 拓展提高：1、2∶5 37.5205060205060205060;(2);(3);30303010,25,3560,12,36,4860,90,75,16560,.x y x y x y y x x y x y x y x y x y x y D ========+=<==+=<==+=>2.根据题意可设另外两边为和，则(1)解（1）得符合题意；解（2）得符合题意；解（3）得不符合题意，所以选222,,,,1,,,21()12.16(2)BEGCFG ABCD AB CD ABC C AB CD E F BEGCFG BE AB DF CD AB SBE S DF AB ∴=∠=∠∴∠=∠∴∆∆==⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭3、解：四边形是平行四边形，224,,,().:1:3:1:4,:1:4,1().16EBF ADF EBF ADF ABCD AD BC AD BC S BE ADF EBF S ADBE EC BE BC BE AD S BE S AD ∆∆∆∆∴=∴∆∆∴==∴=∴=∴==、解：四边形是平行四边形，5、（1）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°. 在△ADC 和 △ACB 中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A ，∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB.∴△ADC ∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD ∽△CBD ，∴BD CD CD AD =，即BD 669=，∴BD=4 （cm ）.（3）∵△CBD ∽△ABC ，∴BC BD BA BC =.∴152515BD =，∴BD=251515⨯=9 （cm ）.6．解：设光源S 距屏幕x 米，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得20 3.580,.27x x ==解7．不够，理由：由2101204AMD BMC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，△AMD 地带种满花花了500元，△BMC 地带种满花需花2 000元，所以剩余资金为2000一500=l500(元)<2000(元)． 体验中考： 1、根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.2、1,.2AO AE DAO DEA DO AD ∴==由题意可知△△所以选D. 3、根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求，所以B4、根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求相似比为2:55、根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求:AB A B ''=。
23、3、3 相似三角形的性质 同步练习 21-22学年华东师大版数学九年级上册
23.3.3 相似三角形的性质一、单选题1．已知'''ABC A B C ∽，且''3cm A C =，5cm =BC ，4cm AC =，7cm AB =，则'''A B C 的周长为（ ）A ．12cmB ．13cmC ．14cmD ．15cm2．如图，在ABC 中，//DE AB ，且34AD BD =，则AE AC的值为（ ）A ．37B ．43C ．47D ．343．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt △ABC 来测量操场旗杆MN 的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC 与旗杆顶点M 在同一直线上，已知AC ＝0.8米，BC =0.5米，目测点A 到地面的距离AD ＝1.5米，到旗杆的水平距离AE ＝20米，则旗杆MN 的高度为（ ）A ．12米B ．12.5米C ．14米D ．15米4．如图，在Rt ABC 中，90,,4,9C CD AB AD BD ∠=︒⊥==，则CD 的长是（ ）．A ．365B ．6C ．94D 5．如图所示，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，3,4AB BC ==，在Rt MPN 中，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ．当2PE PF =时，AP 的值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图所示，O 为四边形ABCD 的边AB 的中点，,9,8A DOC B AD BC ∠=∠=∠==，则AB 的长是（ ）．A ．B ．6C ．D ．177．如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处．已知4,9CE AB ==，则BF =（ ）A ．13B ．12C ．11D ．108．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点．若2,3,90AG BF GEF ==∠=︒，则AE 的长为（ ）．A ．2B ．5CD 9．如图，在ABCD 中，//,:2:3,4EF AB DE EA EF ==，则CD 的长为（ ）．A ．163B ．8C ．10D ．1610．如图，Rt △ABC 中，CD △AB 于D ，下列结论中：△△1＝△A ；△△2+△B ＝90°；△CD 2＝AD •BD ；△BC 2＝BD •AD ，一定成立的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．在ABC 中，点D ，F ，E 分别在边BC ，AB ，AC 上，BE 与DF 交于点G ，//AB DE ，//AC DF ，3CD BD =．则下列结论错误的是（ ）A ．14DG CE =B ．AF EC AB AC = C ．116BDF BCA S S =△△D ．DG BF FG AF = 12．如图，▱ABCD 中，点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，连接BE 、CF 相交于点O ，若△COE 的面积为1，则△ABCD 的面积为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．22二、填空题13．如图所示，D 为AB 边上一点，:3:4AD DB =，//DE AC 交BC 于点E ，则:BDE AEC S S =________．14．在ABC 中，AB AC =，D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且290BED CED BAC ∠=∠=∠=︒，则DB 与DC 的数量关系为____________．15．两个等边三角形ABC 和ADE ，点D 在BC 上，AC 与DE 交于点F ，BD =4，CD =2，则AF 的长为________．16．如图1，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且//DE BC ，把ADE 绕点A 逆时针旋转（如图2），则BD CE的值为______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD▱BC ．BC ＝2AD ，若S △AOD ＝1，则S △ABC ＝___．三、解答题18．如图，在ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD AE DE =，延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF BD CF CE=19．ABC 中，△ACB =90°，AC BC =，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN CP ⊥，交AC BC 、于M 、N ，求证：::PA PB CM CN =．20．如图,已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上,顶点D ,G 分别在边AB ,AC 上,AH △BC 于H ．BC ＝15,AH ＝10．求正方形DEFG 的边长和面积．21．如图，矩形OABC 中，AO ＝4，AB ＝8，点E ，F 分别在边AB ，OC 上，且AE ＝3，将矩形的部分沿直线EF 翻折，点A 的对应点A '恰好落在对角线AC 上，求OF 的长．22．如图，AE 是ABC 的角平分线，延长AE 至D ，连结CD ，使AC CD =．（1）求证：ABE DCE ∽；（2）若2AC AB =，3BC =，求BE 的长．参考答案1．A解：△△ABC △△A ′B ′C ′，△△A ′B ′C ′的周长 △△ABC 的周长=A ′C ′：AC ，△A ′C ′=3cm ，BC =5cm ，AC =4cm ，AB =7cm ，△△A ′B ′C ′的周长△（5+4+7）=3：4，△△A ′B ′C ′的周长为12cm ，故选：A ．2．A解：△//DE BC△,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，△ADE ABC ∽ △34AD AE BD EC == △37AE AC = 故选A3．C解：由题意可知：90ACB MEA ADN AEN END ∠=∠=∠=∠=∠=︒， △四边形ADNE 为矩形△ 1.5EN AD ==又△BAC MAE ∠=∠△ACB AEM △∽△ △AC BC AE ME= △0.52012.50.8BC AE ME AC ⨯⨯=== 14MN ME EN ME AD =+=+=故答案为C ．4．B解：△如图，在Rt △ABC 中，△C ＝90°，CD △AB ，△△A +△ACD =△ACD +△BCD =90°，△△A =△BCD ，又△△ADC =△CDB =90°，△ADC CDB ∽△△， △BD CD CD AD=， △CD 2＝BD •AD =9×4＝36，△CD ＝6（舍去负值）．故选：B ．5．C解：△在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，3,4AB BC ==，△AC = 5=，过P 作PH △BC 于H ，PQ △AB 于Q ，则△PQB =△PHB =△B =90°，△四边形PQBH 是矩形，△PH=BQ ，△QPH =90°=△MPN ，PQ △BC ，△△EPH +△QPE =△EPH +△HPF =90°，△△QPE =△HPF ，△△PQE △△PHF ， △PQ PE PH PF=，又PE =2PF ， △PQ =2PH =2BQ ，△PQ △BC ，△△AQP △△ABC ， △AQ PQ AP AB BC AC==， 设BQ =x ，则AQ =3﹣x ，PQ =2x ， △32345x x AP -==， 解得：65x =，AP =3， 故选：C ．6．C解：△DOC B∠=∠，△B+△BCO=△AOC=△DOC+△AOD，△△BCO=△AOD，又△A B∠=∠，△BCO AOD∽，△BC BOAO AD=，即：89BOAO=△O为边AB的中点，△AO2=8×9=72，△AO，△AB故选C．7．B解：△在矩形ABCD中，AB=CD=9，由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝9−4＝5，△在Rt△CEF中，EF＝5，CE＝4，△CF3，△△B=△C=90°，△AFE=90°，△△BAF+△AFB=△AFB+△EFC=90°，△△BAF=△EFC，△BAF CFE∽，△AB BFFC CE=，即：934BF=，解得：BF=12．故选B．8．D解：△四边形ABCD 是正方形，△△A =△B =90°，△△AGE +△AEG =90°，△△GEF =90°，△△AEG +△BEF =90°，△△AGE =△BEF ，△△AGE △△BEF ，,AG AE BE BF∴= △E 为AB 的中点，△AE =BE ，△23AG BF ==，,23AE AE ∴=解得：AE故选：B9．C解：△EF △AB ，△△DEF =△A ，△DFE =△DBA ，△DEF DAB ∽．△:2:3DE EA =，△::2:5EF AB DE DA ==，又△4EF =，△10AB =．△在ABCD 中，10CD AB ==．故选：C ．10．B解：△△ABC 是直角三角形，△ACB =90°，CD △AB 于D ， △△1+△2=90°，△2+△A =90°△△1＝△A ，故△正确；△△A +△B =90°，△2+△A =90°，△△2=△B ，故△错误；△△1＝△A ，△CDB =△ADC =90°△△CDB △△ADC △=CD BDAD CD△CD 2＝AD •BD ，故△正确；△△1＝△A ，△CDB =△ACB =90°△△CDB △△ACB △BCBDBA BC =△BC 2＝BD •AB ，故△错误；故选C ．11．D解：△3CD BD =△4BC BD =A . △//AC DF△BDG BEC ∆∆ △144DGBDBDCE BC BD ===△选项A 正确，不符合题意；B .△//AB DE△EDC ABC ∆∆ △3344ECCD BD AC BC BD ===△//AC DF△BDF BCA ∆∆ △14BD BFBC BA == △34AFAB = △AFECAB AC =故选项B 正确，不符合题意；C .△BDF BCA ∆∆△14BD BC = △2211()()416BDF BCA S BD S BC ===△△ △选项C 正确，不符合题意；D .△//AB DE ，//AC DF ，△四边形AFDE 是平行四边形△DE =AF△//AB DE ，△BGFEGD ∆∆ △DG FG F DE B = △DG FG FAF B = 故选项D 错误，本选项符合题意，故选D ．12．C解：延长CF 交BA 的延长线于点G ，如图所示：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB △CD ，△COE GOB ∽，CDF GAF ∽，△F 是AD 的中点， △1AF DF=，△CDF GAF ≌，△AG CD =，△点E 是CD 的中点， △1124CE CD GB ==， △2116COE GOB S CE S GB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， △1COE S =， △16BOG S =，△CDF GAF ≌，△CDF GAF S S =，△16CDF ABOF S S +=四边形， △+15CDF OEC ABED ABOF S S SS =-=四边形四边形， △点E 是CD 的中点，△11543BCE ABCD ABDE SS S ===四边形， △4520ABCD S =⨯=；故选C ．13．16：21解：△DE △AC ，△△BDE △△BAC ，且AD ：DB =3：4，△BD ：AB =DE ：AC =4：7，S △BDE ：S △BAC =16：49， △S △BDE ：S 四边形DECA =16：33，△DE ：AC =4：7，△ADE 与△ACE 的高相等，△S △ADE ：S △ACE =4：7=12：21，△S △BDE ：S △AEC =16：21，故答案为：16：21．14．=2DB DC解：如图，作CK AD ⊥，交AD 于点K ，△290BED CED BAC ∠=∠=∠=︒△ABE BAE ∠+∠=90°，CAK BAE ∠+∠=90°，45CED ∠=︒,即45CEK ∠=︒ △ABE ∠=∠CAK△AB AC AEB AKC =∠=∠，，△BEA △≌△AKC△BE =AK ，AE =CK△CK AK ⊥，45CEK ∠=︒△CK =EK△AE EK =，△AK AE EK =+，△2AK AE =，△2BE CK =△90CK AD BED ⊥∠=︒，，△//BE CK ，△EBD KCD ∠=△EBD KCD △∽△ △2BD BE DC CK== △BD =2DC故答案为：=2DB DC ．15．143解：△ABC 和ADE 都是等边三角形，BD =4，CD =2， △AB =AC =BC =6，△B =△C =△ADF =60°，△△ADB +△BAD =△ADB +△CDF =120°，△△BAD =△CDF ，△ABD DCF ∽， △CF CD BD AB=，即246CF =， 解得43CF =， △414633AF AC CF =-=-=， 故答案为：143．16解：△ABC 是等腰直角三角形，//DE BC ，△△AED 是等腰直角三角形，△AD ，AB ，△把ADE 绕点A 逆时针旋转，△△DAE =△BAC =45°，△△EAC ＝△DAB ，又△AB AD AC AE== △△DAB △△EAC ，△BD CE =AB AC=17．6解：△四边形ABCD 中，AD //BC .△△AOD △△COB .△AD = 2BC .△AD ：BC =1：2，△OD ：OB =AD ：BC =1：2，S ▱BOC =4 S △AOD =4△S △AOD ：S △AOB =1：2，即S △AOB =2△S △ABC ＝S △BOC + S △AOB =4+2=6．故填6．18．见解析解：过点B 作//BH AC ，交ED 延长线于点H ， △FCE FBH △∽△△BFBHCF CE =又△AD AE =△BDH ADE AED ∠=∠=∠又△//BH AC△AED H ∠=∠△H BDH ∠=∠△BD BH = △BFBDCF CE =19．见解析解：过P 作PE AC ⊥于E ，PF CB ⊥于F ，△△ACB =90°，△CEPF 为矩形△//PF EC ，PF =EC△45A B ∠=∠=︒．△Rt AEP Rt BFP △AP PEBP PF =△EC PF =， △PA PE PEPB PF EC ==△，△在ECP △和CNM 中，CP MN ⊥于Q ，△90QCN QNC ∠+∠=︒又△90QCN QCM ∠+∠=︒，△MCQ CNQ ∠=∠，△Rt PEC Rt MCN ∽， △EP EC CM CN = △EP CM EC CN=△ 由△△得PA CM PB CN = △::PA PB CM CN =．20．正方形DEFG 的边长是6,面积为36．解：设AH 与DG 交于点M ,正方形DEFG 的边长为x , △AH △BC ,正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上, △MH DE x == ,△AH =10,△10AM x =- ,△//DG EF ,△//DG BC ,△ADG ABC △△ , △DG AM BC AH= , 又△BC =15,DG =x , △101510x x -= ,解得:6x = , △正方形DEFG 的面积为2636= ．21．OF =1解：过点F 作FD △AB 交AB 于D ，则四边形ADFO 为矩形 △AO =BC =DF =4，AD =OF△EF 是折痕△EF △AC△△DEF +△DFE =△AEF +△BAC =90°△△BAC =△DFE△△ABC △△FDE △AB BC FD DE= △AO =4，AB =8 △844DE= △2DE =又△AE =3△AD =AE -DE =1 △OF =122．（1）见解析；（2）1． （1）证明△AE 是ABC 的角平分线 △△BAE =△CAE △AC CD =△△CDA =△CAE △△BAE =△CDA △△CED =△BEA （对顶角相等） △ABE DCE ∽； （2）△2AC AB =，AC =CD △CD =2AB ,即12AB CD = △3BC =△EC =BC -BE △ABE DCE ∽△BE AB CE CD =,即132BE BE =-,解得BE =1．。