最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》自我小测(第2课时)
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知复数2i 1i z =+(i 为虚数单位)，则z = ( )A ．3B ．2CD 2．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=3．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-4．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=5．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．12 6．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-37．已知复数1i z =-+，则22z z z +=+（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i8．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）A ．1 BC ．2D ．3 9．若复数(32)z i i =-，则z =（ ） A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i - 10．设复数3422i i z +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i 11．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆二、填空题13．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______.14．设复数z 满足12iz i =+，则复数z 的共轭复数为______________．15．设复数z 满足()()213z i i +=-，则z 的虚部为__________． 16．若复数2i 12ia -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 17．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.18．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．19．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.20．已知复数242(1)iz i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________．三、解答题21．已知方程21000x kx -+=，k C ∈.（1）若1i +是它的一个根，求k 的值；（2）若*k N ∈，求满足方程的所有虚数的和.22．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围； （3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由.23．已知复数2()z a ai a R =+∈，若z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ； （2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值.24．已知复数1()2ia z a =+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ； （II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.25．解答下面两个问题：（Ⅰ）已知复数12z =-+，其共轭复数为z ，求21()z z +； （Ⅱ）复数z 1＝2a ＋1＋（1＋a 2）i ，z 2＝1－a ＋（3－a ）i ，a ∈R ，若12z z +是实数，求a 的值．26．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.（1）求212z z ⨯的模；（2）求复数2z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 化简复2i 11iz i ==++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i 1i z ==+ ()()()21221112i i i i i i -+==++- ∴z=故选D.【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．2．C解析：C【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.3．A解析：A【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值．【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线． 复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ．【点睛】 本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．4．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题5．B解析：B【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题. 6．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】 ()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．7．A解析：A【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i i z z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi8．B解析：B【解析】分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .详解：由题()()()2121,111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题. 9．C解析：C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()2323223z i i i i i =-=-=+.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论. 详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．二、填空题13．【分析】由题可知再对开根号求的两个平方根即可【详解】由题故即故复数的两个平方根为与故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算运用即可联系与的关系属于基础题型解析：ai b -,ai b -+【分析】由题可知()2a bi z +=,再对z -开根号求z -的两个平方根即可.【详解】由题()2a bi z +=,故()()()()222222a bi z ia bi ai bi aib -+=-=+=+=-, 即()2z ai b -=-,故复数z -的两个平方根为ai b -与ai b -+故答案为：ai b -,ai b -+【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,运用21i =-即可联系z -与()2a bi z +=的关系,属于基础题型. 14．2+i 【分析】由得然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 则复数z 的共轭复数可求【详解】由得则复数的共轭复数故答案是【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算共轭复数的概念 解析：2+i【分析】由12iz i =+，得12i z i +=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则复数z 的共轭复数z 可求.【详解】由12iz i =+，得212(12)2i i i z i i i +-+===--， 则复数z 的共轭复数2z i =+，故答案是2i +.【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，共轭复数的概念，属于简单题目.15．-7【解析】分析：先求出复数z 再求z 的虚部详解：由题得所以z 的虚部为-7故答案为-7点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的实部解析：-7【解析】分析：先求出复数z,再求z 的虚部. 详解：由题得86(86)(1)214171(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-，所以z 的虚部为-7， 故答案为-7.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部为b ，不是bi. 16．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4解析：4【解析】 ∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a i i-+是纯虚数 ∴405a -=，即4a = 故答案为417．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5【分析】关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．【详解】解：α与β是方程240x x m ++=的两根由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由α与β为虚数根得： α，β=，则|||2αβ-==，解得5m =，经验证∆<0，符合要求，故答案为：5．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．18．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.【详解】由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+因此，1z i -+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>，所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.20．-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i 再利用复数的几何意义可得其对应的点代入直线x ﹣2y+m=0即可得出详解：∵复数z==所对应的点为（1﹣2）代入直线x ﹣2y+m=0可得1﹣2×（﹣解析：-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i ，再利用复数的几何意义可得其对应的点，代入直线x ﹣2y+m=0即可得出．详解：∵复数z=()2421i i ++=()24+22122i i i i i i i i i-++===--⋅所对应的点为（1，﹣2），代入直线x ﹣2y+m=0，可得1﹣2×（﹣2）+m=0，解得m=﹣5．故答案为-5.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、点与直线的位置关系，属于基础题．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.三、解答题21．（1）5149i -；（2）190.【分析】（1）先设出k 的代数形式，把1i +代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；（2）由方程由虚根的条件∆<0，求出k 的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．【详解】解：（1）设(,)k a bi a b R =+∈，1i +是21000x kx -+=的一个根，2(1)()(1)1000i a bi i ∴+-+++=，100(2)0b a a b i ∴-++--=，∴100020b a a b -+=⎧⎨--=⎩，解得51a =，49b =-，5149k i ∴=-， （2）方程21000x kx -+=有虚根，∴241000k ∆=-⨯<，解得2020k -<<， *k N ∴∈，1k ∴=，2，319⋯， 又虚根是成对出现的，∴所有的虚根之和为1219190++⋯+=．【点睛】本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．22．（1）(2,3)-；（2）[]10,15；（3）存在，复数1z i =+和1i z =--.【分析】（1）根据题意得到()812i i p +=+⋅，求出82312i p i i+==-+，从而可得出结果； （2）先由点P 在椭圆22194x y +=上，得到[]2,3p OP =∈，再由5z =，即可求出结果；（3）假设存在，先设(,)P x y ，求出经过变换后的点为(),Q ax by bx ay -+，再由曲线方程，即可求出结果.【详解】（1）根据题意，有()812i i p +=+⋅， 所以8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i i p i i i i ++--====-++-， 所以点P 的坐标为(2,3)-；（2）因为点P 在椭圆22194x y +=上， 所以[]2,3p OP =∈， 又345z i =+=，所以[]10,15OQ q p z ==⋅∈；（3）假设存在z a bi =+，(),a b ∈R ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动， 设(,)P x y ，所以()()q ax by bx ay i =-++，对应的点为(),Q ax by bx ay -+，因为(),Q ax by bx ay -+在双曲线1y x =上运动， 所以1bx ay ax by+=-，所以22221abx a xy b xy aby +--=， 即P 在曲线22221abx a xy b xy aby +--=上运动，所以有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，存在复数z 满足题意，分别为1z i =+和1i z =--.【点睛】本题主要考查复数的运算与复数的几何意义，熟记复数的四则运算，以及复数的几何意义与复数的运算法则即可，属于常考题型.23．(1)1z i =-.(2)1m =-.【解析】分析：（1）先根据z =和z 在复平面内对应的点位于第四象限求出a 的值，即得复数z.(2)直接根据纯虚数的定义求m 的值.详解：（1）因为z ，所以422a a +=，所以21a =.又因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以1a =-，即1z i =-.（2）由（1）得1z i =-，所以22z i =-，所以2222m m mz m m mi +-=++.因为22m m mz +-是纯虚数，所以2020m m m ⎧+=⎨≠⎩，所以1m =-. 点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了.24．（1）2z =；（2）()0,5.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得2555a a z i -=+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题（1）()225555a i a a z i i --=+=+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.25．（Ⅰ）122+;（Ⅱ）a ＝1，或a ＝－2． 【解析】 试题分析：(1)利用复数的运算法则可得：11z =，()212z =-+，则原式＝12+． (2)利用题意得到关于实数a 的方程，解方程可得a ＝1，或a ＝－2．试题（Ⅰ）因为12z =-，所以11122i z =--==． ()22112222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以原式＝11122-+=+． （Ⅱ）()()()22122111322z z a a i a a i a a a i +=++++---=+++- 因为12z z +是实数，所以a 2＋a －2＝0，解得a ＝1，或a ＝－2，故a ＝1，或a ＝－2．26．（1）8；（2）2)z i =±.【分析】（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出212z z ⨯的模；（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．【详解】（1）2221212128z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数2128z z i ∴⨯=,)22824i i z ==+，设复数()2,z a bi a b R =+∈，2222a b abi -+=+，2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴2)z i =±.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 2．已知i 是虚数单位，复数13i 1i +=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 3．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 4．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-3 5．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i - B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -- 6．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i +-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 7．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 8．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．若2131ai i i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．4 10．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知复数z 满足|12||2|z i z i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线 12．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i + 二、填空题13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．14．若复数z 满足i 12i 01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 15．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 16．若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）17．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．18．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.19．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 20．设复数z 满足(2)1z i i i +=-，其中i 为虚数单位，则z =__________．三、解答题21．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z z z z++为纯虚数，求z . 22．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围. 23．已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.24．已知复数3z bi =+，(b 为实数)，且z i -为实数.（1）求复数z ；（2）求复数z 的模||z .25．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，（其中i 为虚数单位）.（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在直线y x =上，求实数m 的值.26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈. （1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．A解析：A【详解】 因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i i i i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3．B解析：B【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 4．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】 ()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．5．B解析：B【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.6．B解析：B【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A9．A解析：A【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21ai i++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可. 详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i 2a a ++-=13i =--，所以212232a a +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩， 解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．C解析：C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z满足|122|z i z i ---++=i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为，故点Z 的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选 C ．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．12．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆2【分析】设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值.【详解】复数z 满足方程||2z i +=，设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2.【点睛】 本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题. 14．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2i iz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.15．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -16．【分析】设复数z 对应的点为Z 由知点Z 到点A （01）点B （0-1）的距离和大于|AB|由此可得结论求出方程即可【详解】设复数z 对应的点为Z 则表示点Z 到点A （01）的距离表示点Z 到点B 的距离又|AB|= 解析：22143y x += 【分析】设复数z 对应的点为Z ，由4z i z i ++-=，知点Z 到点A （0，1）、点B （0，-1）的距离和大于|AB |，由此可得结论，求出方程即可．【详解】设复数z 对应的点为Z ， 则z i -表示点Z 到点A （0，1）的距离，z i +表示点Z 到点B (0,1)-的距离， 又|AB |=2， 由4z i z i ++-=知点Z 到点A 、B 的距离和大于|AB |，z 在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a =4，c =1，则b =椭圆的焦点就是A ，B ，所以z 在复平面内对应的点的轨迹方程是：22143y x +=， 故答案为：22143y x += 【点睛】本题主要考查了复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于中档题．17．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值.【详解】设复数z x yi =+2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.18．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根 解析：13【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解.【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =.故答案为13.【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
(典型题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知i 是虚数单位，则21i i =-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i -- 2．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1- 4．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ）A ．若z 为实数，则z z =B ．若z z =，则z 为实数C ．若z z ⋅为实数，则z 为实数D ．若z 为实数，则z z ⋅为实数6．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．12 7．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i -- 8．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 9．已知复数z 满足(i−1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．i−1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i 10．设12i 1i z -=+，则z = A ．1322i - B ．1322i + C ．1322i -- D ．1322i -+11．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．1 12．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0二、填空题13．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.14．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______.15．若复数 1sin i z cos i θθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________.16．已知i 是虚数单位，则复数11i i+-的实部为______. 17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．若复数12i z =+，则3i z +=__________．19．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________．20．()()12i a i ++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =__________.三、解答题21．已知复数()112z m mi =++，()21z i =+，其中m R ∈，i 为虚数单位.（1）若复数12z z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）在复平面内，若复数12z z =对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 22．已知i 是虚数单位．（1）若复数12z =-，求z z +的值； （2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值． 23．已知复数z 满足z =261i i-+-﹣4． （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w =z +ai ，且|w |≤|z |，求实数a 的取值范围．24．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z . 25．复数()2132z i a a i =--++（a R ∈）， （Ⅰ）若z z =，求z ；（Ⅱ）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围．26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数12i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z <，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】 因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 2．B解析：B【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 3．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．C解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 5．C解析：C【分析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD 的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B 的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为z 可以是实数也可以是虚数，由此可判断C 的对错.【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，A ．因为z R ∈，所以0b =，所以z R =且z z a ==，正确；B ．因为z z =，所以0b =，所以z R ∈，正确；C ．z z ⋅为实数对z C ∀∈（复数集）均满足，所以z 可以是实数，也可是虚数，错误.D ．因为z 为实数，所以0b =，所以z 也是实数，所以z z ⋅为实数，正确.故选C.【点睛】复数判断的常用结论：（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数；（2）实数的共轭复数仍是实数；（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.6．B解析：B根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题. 7．B解析：B【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.8．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解：由(i−1)(z −3i )=2i(， 得()22(1)1211(1)i i i z i i i i i i ----=--+-+--＝＝， 则z 的共轭复数为12i + ．故选：B ．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D【解析】分析：利用复数的除法运算计算z ，进而得到z . 详解：()()()()12i 1i 12i 1313.1i 1i 1i 222i i z -⋅----====--++⋅- 13 .22z i ∴=-+ 故选D.点睛：本题考查复数的除法运算及共轭复数，属基础题.11．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．D解析：D【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】解：复数2(1i x i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．二、填空题13．【分析】计算出两个复数相等实部与实部相等虚部与虚部相等列方程组求解【详解】所以所以故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析需要熟练掌握复数的运算法则解析：8-【分析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.14．【分析】由题可知再对开根号求的两个平方根即可【详解】由题故即故复数的两个平方根为与故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算运用即可联系与的关系属于基础题型解析：ai b -,ai b -+【分析】由题可知()2a bi z +=,再对z -开根号求z -的两个平方根即可.【详解】由题()2a bi z +=,故()()()()222222a bi z ia bi ai bi aib -+=-=+=+=-, 即()2z ai b -=-,故复数z -的两个平方根为ai b -与ai b -+故答案为：ai b -,ai b -+【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,运用21i =-即可联系z -与()2a bi z +=的关系,属于基础题型.15．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助解析：12【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值.【详解】 ()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴==== =≤= 【点睛】 本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2x x +=，21cos2sin 2x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了. 16．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0【解析】 1i i 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -18．【解析】19．1【解析】∵复数z 满足满足故z 的虚部是1解析：1【解析】∵复数z 满足满足()12i z -=，()()()2122211112i i z i i i i ++∴====+--+， 故z 的虚部是1. 20．【解析】的实部与虚部相等解得故答案为解析：3-【解析】()()12i a i ++()212a a i =-++的实部与虚部相等，212a a ∴-=+，解得3a =-，故答案为3-.三、解答题21．（1）1m =.（2）()3,0-【分析】()1利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解；()2求出2z ，再由复数代数形式的加法运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【详解】（1）由()112z m mi =++，21z i =+得()()12131z z m m i =-+++，又12z z 为纯虚数，所以10m -+=，且310m +≠，所以1m =.（2）()1232z z m mi ==++，又复数12z z =对应的点在第四象限，所以30m +>，且20m ，所以m 的取值范围是()3,0-.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于中档题．22．（1）122-（2）-3 【分析】 （1）直接求出,||z z 即得解；（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，解不等式组得解.【详解】（1）由题得12z =--，112z z z =∴+=． （2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ， 3m ∴=-【点睛】本题主要考查复数模的计算和共轭复数，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．（1）82z i =--（2）﹣4≤a ≤0【分析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【详解】解：（1）261i z i -+=- (26)(1)482(1)(1)i i z i i i -++∴=-=-+-+， ∴82z i =--．（2）w z ai =+8(2)w a i ∴=-++，∴||z =||w ==||||w z ，则268468a a ++，240a a +，40a -，所以，实数a 的取值范围是：40a -．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．24．（1）1z =-±；（2）12z =-±； 【分析】 （1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z+，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z .【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈ 则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭ 4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意 当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =- b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++ ()2212a b m a ab mb ⎧-=+∴⎨=⎩22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩ 由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n a a b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-b ∴==122z ∴=-± 【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.25．（Ⅰ）0z =或6z =;（Ⅱ）11a -<<．【详解】试题分析：将复数化简得()22321z a a ai =-++-（1）中z z =，所以虚部为0，（2）中复数对应点为 ()2232,1a a a -+-，在第一象限得到不等式，求得a 范围试题()22321z a a a i =-++-，（1）由z z =知，210a -=，故1a =±．当1a =时，0z =；当1a =-时，6z =． （2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即22320{10a a a -+>->，即21{11a a a 或><-<<， 所以11a -<<．26．（1）132z i =+；（2）2πθ=或32πθ= 【分析】 （1）由错位共轭的概念可得()1112z i i ⎫-⋅-=⎪⎪⎝⎭，计算即可得解；（2）由题意结合虚数不能比较大小可得221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，根据三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由()1112z i i ⎫-⋅=⎪⎪⎝⎭得112222z i i -==+，所以1322z i =+. （2）()()2222cos sin cos sin 2sin cos z i i θθθθθθ=+=-+， ∵212z <， ∴221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，由2sin cos 0θθ=得sin 0θ=或cos 0θ=，当sin 0θ=时，所以cos 1θ=或cos 1θ=-，均不满足，当cos 0θ=时，所以sin 1θ=或sin 1θ=-，均满足，故2πθ=或32πθ=. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数不能比较大小的性质和三角函数的性质，属于中档题.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(答案解析)(1)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B ．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4- 3．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四4．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -5．已知复平面内的圆M ：21z -=，若11p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ）A ．必在圆M 外B ．必在M 上C ．必在圆M 内D ．不能确定6．i 是虚数单位，若复数()2421iz i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a的值等于（ ） A ．5B ．3C ．-5D ．-37．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π8．已知复数1i z =-+，则22z z z+=+（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i9．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16-B ．16C ．4-D ．410．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A ．1BC ．2D ．11．已知复数z 满足(1)||i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣7B ．17-C ．7D ．﹣7或17-二、填空题13．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 14．已知虚数αβ、满足221010p p ααββ++=++=、（其中p ∈R ），若1αβ-=，则p =_________. 15．已知方程的两个虚根为、，且，则实数______．16．已知复数z 和满足，且，则复数______．17．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．18．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 19．已知复数242(1)iz i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________． 20．复数i1iz =+，则z =______. 三、解答题21．设z C ∈. (1)若312iz i+=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值； (2)若4zz -是纯虚数,已知0z z =时,23z i +取得最大值,求0z ； (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率. 22．已知复数2()z a ai a R =+∈，若2z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值. 23．已知z 是复数，且z i +，2z1+i均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若z i 5a +=a 的值.24．已知复数13z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.（1）求212z z ⨯的模； （2）求复数2z .25．已知a R ∈，且以下命题都为真命题：命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，求实数a 的取值范围. 26．实数m 取什么值时，复数()2212z m m m i =-+--是 （1）纯虚数；（2）对应的点在直线22y x =-上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．B解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3．A解析：A 【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案. 【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．C解析：C 【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．A解析：A 【分析】设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可.【详解】由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆.若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++= 故()11x ayy x a -=-⎧⎨=+⎩,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有()111x a y x x ay y++==---,化简得221x y +=. 故复数p 对应的点P 的轨迹是221,(1)x y x +=≠-.则221,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.6．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值． 【详解】()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =- 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．7．B解析：B 【解析】 【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+，又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心， 所以事件A 的概率为12p =． 故选B ． 【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键.8．A解析：A【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解. 详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i iz z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 9．C解析：C 【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算． 详解：令1x =，得4256n =，4n =， ∴42(1)(2)4i i +==-． 故选C ．点睛：在二项式()()nf x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．10．B解析：B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 11．D解析：D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：因为(1)|i z i +=||2(1)11(1)(1)i i z i i i i -∴===-++-，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-在第四象限，故选：D . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．A解析：A 【分析】根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案. 【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ=所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A 【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.14．【分析】根据题意得到虚数满足方程利用求根公式求得两根结合列方程解方程求得的值【详解】依题意可知虚数满足的方程为且所以两根为故所以故填：【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根属于基础题 解析：3【分析】根据题意得到虚数αβ、满足方程210x px ++=，利用求根公式求得两根，结合1αβ-=列方程，解方程求得p 的值.【详解】依题意可知， 虚数αβ、满足的方程为210x px ++=，且240p -<.所以两根为24p p i -±-，故22441p i p αβ-=-=-=，23p =，所以3p =±.故填：3±. 【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根，属于基础题.15．5【分析】根据题意得出Δ<0然后求出方程x2-2x+p=0的两个虚根再利用复数的求模公式结合等式α-β=4可求出实数p 的值【详解】由题意可知Δ=4-4p<0得p>1解方程x2-2x+p=0即x-12 解析：【分析】 根据题意得出，然后求出方程的两个虚根，再利用复数的求模公式结合等式可求出实数的值.【详解】 由题意可知，，得.解方程，即，解得，.所以，，解得.故答案为. 【点睛】本题考查实系数方程虚根的求解，同时也考查了复数模长公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.16．1+i 或-1-i 【解析】【分析】本题首先可以设z=a+bi(ab ∈R)由|z|-z=41-i 可得a=0b=22则z=2i 令ω=m+ni(mn ∈R)代入ω2=z 再由复数相等的条件求解【详解】设z=a+解析：或【解析】 【分析】 本题首先可以设，由，可得，则，令，代入，再由复数相等的条件求解。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 2．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32iC ．32-D ．32i -3．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 4．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）． A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=5．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π 6．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A ．1B C ．2 D ．10．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知i 为虚数单位，则复数21i i -+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四12．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆二、填空题13．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．14．若复数z 满足210z z -+=，则z =__________．15．设复数z 1=1，z 2=23i 34i --∣∣，z=z 1+z 2，则z 在复平面内对应的点位于第__________ 象限． 16．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 17．2320111i i i i ++++⋯+=_______________.18．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题:(1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立；(3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.19．复数3z =-的实部是______．20．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________． 三、解答题21．已知复数()()21312i i z i-++=-，z ai ω=-(其中i 是虚数单位).(1)当ω为实数时，求实数a 的值； (2)当03a ≤≤时，求ω的取值范围.22．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=.（1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值.23．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.（1）求212z z ⨯的模；（2）求复数2z .24．已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2z i -为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.25．已知关于x 的实系数一元二次方程240x x p ++=的两个虚根是1x 、2x .（1）若1||5x =，求p 的值；（2）若12||2x x ，求p 的值.26．已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，且满足z =整数，记i 为虚数单位.（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）当z i +为实数时，若()24z z m ni +-=+，求实数 m 和n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．C解析：C【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】 ()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．C解析：C【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程.【详解】复数(),z x yi x y R=+∈对应的点(),x y在曲线220x xy y--=上设000z x y i=+可得:2000020x x y y--=复数z与i的乘积zi为复数z的“旋转复数∴()20000000iz i x y i x i y i y x i=+=+=-+┄①设z的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:0x yy x=-⎧⎨=⎩即0y xx y=-⎧⎨=⎩┄②将②代入①得:22()0y y x x--+=即:220y xy x++=故选: C.【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y-+，由于直线10x y--=过()2211x y-+=的圆心，概率为12【详解】由(1)iz x y=-+得到||1z=，22(1)1x y-+，又直线10x y--=过()2211x y-+=的圆心，所以事件A的概率为12p=．故选B．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y--=过()2211x y-+=的圆心是解题的关键. 6．C解析：C【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负.【详解】若m为实数，复数22()()26m m m m i---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.7．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A8．D解析：D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi10．D解析：D【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限， 选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．D解析：D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21i i-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要解析：[0,7)【分析】 根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围.【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<， 根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部， 数形结合可得07z <.故答案为：[0,7)【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.14．1【分析】设代入方程利用复数相等即可求解求模即可【详解】设则整理得：解得所以故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念复数的模复数方程属于中档题解析：1【分析】设z a bi =+，,a b ∈R ,代入方程利用复数相等即可求解z ，求模即可.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ,则2()()10a bi a bi +-++=，整理得：22(1)(2)0a b a ab b i --++-= 解得213,24a b ==，所以||1z ===， 故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.15．一【解析】由题意所以则则在复平面内对应的点为位于第一象限 解析：一【解析】由题意，223232334555i i z i i --===--，所以127255z z z i =+=-，则7255z i =+，则z 在复平面内对应的点为72(,)55位于第一象限． 16．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 17．0【分析】先利用等比数列的求和公式化简然后利用虚数单位的性质求解即可【详解】故答案为0【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质属于中档题解析：0【分析】先利用等比数列的求和公式化简，然后利用虚数单位的性质求解即可.【详解】()50342012232011111110111i i i i i ii i i---++++⋯+====---, 故答案为0.【点睛】 本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质，属于中档题.18．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误；对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-， 则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-，()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题． 19．-3【解析】由题中所给的复数结合相关定义可得：复数的实部是-3 解析：-3【解析】由题中所给的复数结合相关定义可得：复数3z =-的实部是-3.20．3【解析】由于为纯虚数则得故故答案为3解析：3【解析】由于()()21z m m i ++＝－为纯虚数，则20{10m m -=+≠，得2m =，3i z =， 故3z =，故答案为3.三、解答题21．(1)1；(2)1ω≤≤. 【解析】试题分析：(1)整理计算()11a i ω=+-，满足题意时，10a -=，即1a =.(2)由题意结合复数的模的定义和二次函数的性质可得ω的取值范围是1ω≤. 试题 (1)()()()()32233312222i i i i i z i i i i i ++-+++====+---+， 所以()111z ai i ai a i ω=-=+-=+-，当ω为实数时，10a -=，即1a =.(2)因为()11a i ω=+-，所以ω=又因为03a ≤≤，所以当1a =时，min 1ω=，当3a =时，max ω所以1ω≤≤.22．（1）1；（2）32+22-=m 且222-=n . 【解析】试题分析：（1）运用纯虚数的概念建立方程求解；（2）运用题设条件建立方程，再运用基本不等式求解.试题（1）令022=-+x x ，则2-=x 或1=x又0232≠++x x ，所以1=x（2）当0=x 时，Z(-2,2)，又Z 落在直线n mx y +-=上，所以22=+n m ，又0>mn ，所以223223)2)(11(11+≥++=++=+m n n m n m n m n m ，当且仅当222m n =时等号成立，又22=+n m ，所以22-=m 且222-=n .考点：复数的概念和运算．23．（1）8；（2）2)z i =±.【分析】（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出212z z ⨯的模；（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．【详解】（1）2221212128z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数2128z z i ∴⨯=,)22824i i z ==+，设复数()2,z a bi a b R =+∈，2222a b abi -+=+，2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴2)z i =±.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 24．（1）32a =-；3b =-；（2）34m << 【分析】（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2z i -，利用其为纯虚数，求得32a =-； （2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.【详解】 （1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-， 因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数， 所以32a =-． （2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限， 所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的分类，复数在复平面内对应点的位置，属于简单题目.25．（1）25p =；（2）5p =.【分析】（1）设12x bi =-+、22,x bi b R =--∈，1||5x =所以2425b +=，即可得到p ； （2）结合设出的根12||2x x ，22bi =，即可求得1b =±，结合21245p x x b ==+=.【详解】（1）由题关于x 的实系数一元二次方程240x x p ++=的两个虚根是1x 、2x .根据求根公式4x p => 12124,x x x x p +=-=所以可设12x bi =-+、22,x bi b R =--∈，1||5x =，所以2425b +=，212425p x x b ==+=（2）12||2x x ，22,1bi b ，21245p x x b ==+=.【点睛】此题考查在复数集内，根据二次方程的根的关系求解系数相关问题，关键在于熟练掌握复数相关运算法则准确求解.26．（Ⅰ）12z i =-或2z i =-.（Ⅱ）11m n =⎧⎨=⎩【分析】（Ⅰ）根据题意设复数(),z a bi a b Z =+∈，再利用 z =，解得即可；（Ⅱ）根据题意可得2z i =-，则()2z m m i -=-+，代入整理可得实数 m 和n 的值.【详解】（Ⅰ）设(),z a bi a b =+∈Z ，则 ()225,a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或 21a b =⎧⎨=-⎩，即12z i =-或2z i =-. （Ⅱ）当z i +为实数时，由（Ⅰ）知2z i =-，则()2z m m i -=-+由()24z z m ni +-=+，得 624m i ni -+=+， 所以6241m n -=⎧⎨=⎩，解得 11m n =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查复数的代数表示，复数相等的条件，属于基础题.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 3．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．3 5．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+ 6．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 7．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ）A ．16-B ．16C ．4-D ．48．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=A ．3B C ．D ．9．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( ) A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 10．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆12．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则y x 的范围为（ ） A ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____． 14．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）15．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 16．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 17．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．18．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__．19．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．20．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________．三、解答题21．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.22．已知复数2i α=-，i m β=-，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若αβ+是关于x 的方程2130()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.23．已知复数2()z a ai a R =+∈，若2z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ； （2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值.24．已知复数()221132z x x x i =-+-+，()232,z x x i x R =+-∈ （1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围.25．（1）已知121,2z i z i =+=-，且12111z z z =+，求z ； （2）已知32i --是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.26．设z 1是虚数，z 2＝z 111z +是实数，且﹣1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若ω1111z z -=+，求证ω为纯虚数； （3）求z 2﹣ω2的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 2．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．D解析：D【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆；（2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 5．C解析：C【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数.【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.6．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．7．C解析：C【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算．详解：令1x =，得4256n =，4n =，∴42(1)(2)4i i +==-．故选C ．点睛：在二项式()()n f x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．8．B解析：B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -.故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.9．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +, 选B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi10．D解析：D【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限， 选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩ 14．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误；②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取z i ，22z z ≠，⑦错误； ⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确.故答案为：⑧.【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.15．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．16．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 17．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣．【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．18．±3i 【分析】设然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件列出方程组求解即可得答案【详解】解：设为纯虚数解得故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念属于基础题 解析：±3i【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案．【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±， 3z i ∴=±．故答案为：3i ±．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．19．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.【详解】由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+因此，1z i -+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线2．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件 （3）方程20(0)x t t +=>的根是ti ±（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 3．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D ．24．已知下列4个命题：①若复数12z z ，的模相等，则12z z ，是共轭复数．②12z z ，都是复数，若12z z +是虚数，则12z z 不是的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z z =．（z 是z 的共轭复数）．④已知复数12312i,?1i,32i z z z =-+=-=-（i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC xOA yOB =+（x y R ∈，），则1x y +=. 则其中正确命题的个数为（ ）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图所示，在复平面内，OP 对应的复数是1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i7．已知21zi i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i +8．已知复数1i z =-+，则22z z z+=+（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i9．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．410．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ）A ．1 BC D 11．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2C D ．12．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．如果22120z z +=，那么120z z == B ．如果12=z z ，那么12=±z zC ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤D ．如果1z a =（a 为正实数），那么211z z a ⋅=二、填空题13．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.14．复数212iz i-=+的虚部为__________． 15．设复数z 满足345ii z+=，则||z =__________． 16．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 17．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= . 18．若复数z 满足(1)1z i i i -=-+，则z 的虚部为__________．19．复数3z =-的实部是______． 20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．设z C ∈. (1)若312iz i+=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值；(2)若4zz -是纯虚数,已知0z z =时,z +取得最大值,求0z ；(3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.22．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （I ）求复数z ；（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）. （1）设复数121m iz i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.24．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 25．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=. （1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值. 26．已知复数z 1=1+ai （其中a ＞0），且z 12为纯虚数． （Ⅰ）求复数z 1； （Ⅱ）若z 2=，求复数z 2的模|z 2|【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论. 【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠， 复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根，所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>， 所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<， 即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.2．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．3．D解析：D 【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可． 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．4．B解析：B 【分析】本道题结合复数的概念和向量的加减法，代入，即可． 【详解】1号可能复数相等，故错误．2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数．4号,a bi a bi +=-,计算得到b=0,故正确．3号，由题可知，()()()1,2,1,1,3,2A B C ---，建立等式,()()3,2,2x y x y -=-+-建立等式，得到3{22x y x y -+=-=-，解得1,4x y ==，故错误．故选B ．【点睛】本道题考查了复数的概念和向量坐标运算，代入，即可得出答案．5．D解析：D 【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求． 【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6．D解析：D 【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P =+，从而可求P 0对应的复数 【详解】因为00O P OP =，0OO 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．7．A解析：A 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z == 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A 【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解. 详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i iz z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 9．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．D解析：D 【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目.11．A解析：A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.12．D解析：D 【分析】对A,举出反例判断正误； 对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误； 对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可． 【详解】对于A,如果11z i =-,21z i =+,22120z z +=,所以120z z ==不正确。
(易错题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(包含答案解析)(2)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >-B ．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z = 2．已知i 是虚数单位，121z i z -=+，则||z 等于（ ）A ．1 BC D 3．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．直线D ．线段 4．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( )A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i -- 5．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 6．已知复数21i z i =+，则共轭复数z =( ) A ．1i -+ B ．1i - C ．1i + D ．1i -- 7．若复数()()12i 2i z =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=A ．3 BC ．D ．9．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5BCD ．1311．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ）A ．1B C D 12．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．1二、填空题13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）14．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．15．若复数z 满足i 12i 01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 16．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 17．已知i 是虚数单位，则复数11i i+-的实部为______. 18．2320111i i i i ++++⋯+=_______________.19．若2+1()i mi m R i=+∈,则m =________． 20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.22．已知关于x 的方程210x tx ++=的两个根是1x ､2x .（1）若12x i =+(i 为虚数单位)，求2x 与t 的值；（2）若t 是实数，且12||x x -=t 的值.23．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.24．已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值.25．设1z 是虚数，2112z zz =+是实数，且212z -≤≤. （1）求1z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1122z z ω-=+，求证：ω为纯虚数.26．已知i 为虚数单位，执行下面的程序框图.（1）若图中空白框中填入s s i =⨯，求输出的结果；（2）若图中空白框中填入n s s n i =+⨯，求输出的结果.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-， 满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，()()221212()444221620z z z z i i +-⋅=-+-=-B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+ ()()2222222222214z a b a b a b a b =-+=+=+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确. 故选：D. 2．A解析：A【解析】 因为121z i z-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，212(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 3．D解析：D【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F ，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=,又12||2F F ，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.4．B解析：B【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 则其共轭复数1z i =-.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D【解析】分析：利用复数的出发计算得到z ，即可得到结论.详解：()()12i 2i 24243,z i i i =-+=+-+=-故z 在复平面中对应的点位于第四象限.故选D.点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.8．B解析：B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -.故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.9．C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.11．D解析：D【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数， 所以21xi yi i +=+，即1yxi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目. 12．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误；②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取z i ，22z z ≠，⑦错误； ⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确.故答案为：⑧.【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要 解析：[0,7)【分析】 根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围.【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<， 根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部， 数形结合可得07z <.故答案为：[0,7)【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2i iz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.16．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 17．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0【解析】 1i i 1i+=∴- 实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi18．0【分析】先利用等比数列的求和公式化简然后利用虚数单位的性质求解即可【详解】故答案为0【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质属于中档题解析：0【分析】先利用等比数列的求和公式化简，然后利用虚数单位的性质求解即可. 【详解】()50342012232011111110111i i i i i i i i i---++++⋯+====---, 故答案为0.【点睛】 本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质，属于中档题.19．-2【解析】则考点：复数的运算解析：-2【解析】，则.考点：复数的运算. 20．【分析】先化简分母再分子分母同乘以从而可得结果【详解】故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部虚部的理解掌握纯虚数共轭复数复数的模这些重要概念复数的运算主要考 解析：i -【分析】先化简分母，再分子分母同乘以i ，从而可得结果.【详解】()222211211i i i i ii ====-+-+，故答案为i -. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.三、解答题21．（1）0a >；（2）1z i =-+【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）=， 由题意得 解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i --+---====--+-+++ 1.z i =-+22．（1）22i 5x -=，12455t i =--；（2）2±，6. 【分析】（1）利用韦达定理，分别求得2x 与t 的值；；（2）若t 是实数，利用求根公式，根据两个根是共轭复数，且可以为实根，可以为虚根，结合题中条件，列出等量关系式，从而求得结果.【详解】（1）根据121x x ⋅=，得22111222215i i x x i --====++， 利用12x x t +=-，所以2124(2)555i t i i -=-++=--， （2）根据题意，24t t x -±-=， 所以21242x x t -=-=当240t ->时，有26t =，6t =当240t -<242t i -=，即242t -=-，所以2t =±所以t 的值为2±，6.【点睛】该题考查的是有关在复数域内求一元二次方程的根的问题，涉及到的知识点有韦达定理，分类讨论的思想，属于中档题目.23．（1）2-；（2）4542]【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m 的值； （2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案【详解】（1）()()()()12212z m i i m m i =+-=++-．当20120m m +=⎧⎨-≠⎩时，即2m =-时，z 是纯虚数； （1）()()212z m m i =++-∴可设复数z 对应的点为(,)P x y ，则由212x m y m=+⎧⎨=-⎩，得250x y +-=， 即点P 在直线250x y +-=上， 又5z ≤， ∴点P 的轨迹为直线250x y +-=与圆2225x y +=相交的弦AB ，则z i -表示线段AB 上的点到(0,1)M 的距离PM ，由图象可知，当PM AB ⊥时，距离最小，即点M 到直线的距离，则min 2201545()21PM +-==+ 由2225025x y x y +-=⎧⎨+=⎩得05x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩(0,5)A ∴，(4,3)B -22max ()(40)(31)42PM BM ==-+--=，||z i ∴-的取值范围是45[,42]5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题．24．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25．（1）1z =1z 的实部的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析 【分析】（1）待定系数法设出1z a bi =+，代入到上式，利用共轭复数进行化简，由2z 是实数可求得222a b +=，且22z a =，故而1z =212z -≤≤，求得实部a 的范围；（2）直接将（1）中1z a bi =+代入，化简得ω=，由a ，b 范围可知0≠，故结论得证.【详解】（1）设1z a bi =+(,a b ∈R ，且0b ≠) 则22222222a b z a bi a b i a bi a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. ∵2z 是实数，0b ≠，∴222a b +=，即1z =22z a =.又∵212z -≤≤，∴122a -≤≤，即112a -≤≤， ∴1z 的实部的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()22222a b a b ω---====++. ∵1,12a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0b ≠，∴0≠，故ω为纯虚数. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，利用复数除法，求解相关参量的范围，要求学生会利用待定系数法，处理相关证明需要学生了解复数相关基础概念，为中等难度题目.26．（1）i -；（2）10091010i --【分析】（1）由程序框图得2019S i =，计算即可得解；（2）由程序框图可知232019123...2019S i i i i =+++++，设23201923...2019T i i i i =++++，利用错位相减法求得T 后即可得解.【详解】（1）由程序框图得2019S i =，∵41n i =，41n i i +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，∴201945043S i i i ⨯+===-，所以输出的结果S 为i -.（2）由程序框图得232019123...2019S i i i i =+++++，设23201923...2019T i i i i =++++，①则234202023...2019iT i i i i =++++，②②－①得()23201920201...2019i T i i i i i -=++++-，20202020120192019202011i i i i i i--=-=-=---， 所以2020101010101T i i-==---， 故输出的结果S 为10091010i --.【点睛】 本题综合考查了程序框图和复数的运算，考查了错位相减法的应用，属于中档题.。
(易错题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知复数2i 1i z =+(i 为虚数单位)，则z = ( )A ．3B ．2C D2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i4．已知i 是虚数单位，复数13i 1i +=+（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 5．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）． A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=6．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14 C ．12- D ．12 7．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D 8．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 9．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0或1D ．-110．若复数()()12i 2i z =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．复数z 11i i -=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．12．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ）A ．2i ±B ．2i -±C ．12i -±D ．12i ±二、填空题13．已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________.14．若复数z 满足112z i i i =-+-，则z 等于__________. 15．若复数i 2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 16．若复数2i 12i a -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 17．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．18．复数1323i i=+__________． 19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．20．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为_____________（结果用反三角函数值表示）三、解答题21．已知复数w 满足()1243w i i +=+（i 为虚数单位），52z w w=+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．22．已知复数()2113z i i =-++.（1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.23．设实部为正数的复数z ，满足1+3i ）z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数z + m 2(1 +i)-2i 十2m -5为纯虚数，求实数m 的值. 24．已知复数()()22431233a a z a a i a R a --=++-∈+. (1)若z z =，求a ；(2)a 取什么值时，z 是纯虚数.25．已知a R ∈，且以下命题都为真命题：命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，求实数a 的取值范围.26．实数m 取什么值时，复数()2212z m m m i =-+--是（1）纯虚数；（2）对应的点在直线22y x =-上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 化简复2i 11i z i ==++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i 1i z ==+ ()()()21221112i i i i i i -+==++- ∴z=故选D.【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．2．D解析：D【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D. 3．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 4．A解析：A【详解】因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i i i i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．5．C解析：C【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程.【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y x x y =-⎧⎨=⎩ ┄② 将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++=故选: C.【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.6．B解析：B【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.7．D解析：D【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可．【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．8．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.10．D解析：D【解析】分析：利用复数的出发计算得到z ，即可得到结论.详解：()()12i 2i 24243,z i i i =-+=+-+=-故z 在复平面中对应的点位于第四象限.故选D.点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.11．A解析：A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.12．D解析：D【分析】设出复数，代入方程进行求解即可.【详解】令(,)z a bi a b R =+∈，有2()2()50a bi a bi +-++=，整理为()2225(22)0a b a ab b i --++-=， 有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=±⎩， 则12z i =±.故选：D.【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.二、填空题13．3【分析】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆而表示的是圆上的点到点的距离因此其最大值求出即可【详解】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆∴即表示的是圆上的点到点的距离因此的最大 解析：3【分析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，而()22z x yi +=++表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离，因此其最大值OP R =+，求出即可．【详解】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=，故答案为3.【点睛】本题考查了复数形式的圆的方程及两点间的距离公式、点与圆上的点的距离的最大值问题，考查了推理能力，属于中档题．14．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题解析：1i +【分析】利用行列式展开法则a c ad bcb d =-和复数的性质进行求解．【详解】∵1z iz i i i =+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+，故答案为1i +．【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题. 15．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能解析：12【解析】 分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2a i i +-，又已知复数 2a i i+-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 详解：()()()()()2212212 222555a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+===+--+， 又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105 205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12． 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．16．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4解析：4【解析】 ∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a i i-+是纯虚数 ∴405a -=，即4a = 故答案为417．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.【详解】 由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+ 因此，1z i-+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18．【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算【详解】【点睛】首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：32i +【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】()131323322313i i i i i =-=++。
(压轴题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-=A ．24i +B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 3．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 4．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-35．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-36．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+ 7．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p 8．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 9．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．3iB ．3i -C ．3D ．3- 11．设复数3422i i z +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣7 B ．17- C ．7 D ．﹣7或17- 二、填空题13．已知复数()(()()3422312i iz i i +-=++，那么复数z 的模为______.14．设复数z 满足345i i z +=，则||z =__________． 15．设复数满足，则____________.16．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．17．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.18．若复数12i z =+，则3i z +=__________．19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．20．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．三、解答题21．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.22．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z z z z++为纯虚数，求z . 23．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.24．已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0．（1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值．25．已知a R ∈，且以下命题都为真命题：命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，求实数a 的取值范围. 26．已知i 为虚数单位，执行下面的程序框图.（1）若图中空白框中填入s s i =⨯，求输出的结果；（2）若图中空白框中填入n s s n i =+⨯，求输出的结果.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d=，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．B解析：B【解析】由题意可得：()()(),1210,2z iz i i ii i+=--+=-，即()()()121221222422i ii i izi i i-----====---，∴122iz=-+，则复数z对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B.4．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i=-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155133434342i ii iz ii i ii----====-++-+，所以复数z的虚部为3-，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a--=，即可求出a的值．【详解】()24242(42)(2)1 2.241i i i iz iii+++⋅====-+--复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a--=得， 5.a=-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．6．C解析：C【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数.【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.7．A解析：A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ，4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．8．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．D解析：D【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 10．C解析：C【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案.详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+故z 的共轭复数z 的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.11．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A解析：A【分析】 根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案.【详解】 34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ= 所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan 4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．【分析】由模长性质求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查模长的性质若则若则属于基础题型【分析】由模长性质求解即可.【详解】因为()34i z +=,故z ===. 【点睛】本题主要考查模长的性质,若12z z z =,则12z z z =.若12z z z =⋅,则12z z z =⋅.属于基础题型. 14．1【解析】∵∴∴故答案为1解析：1【解析】∵345i i z+=∴3434555i i z i +==-+ ∴2234155z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为115．【解析】试题分析：由题：得：考点：复数的概念和运算解析：2【解析】试题分析：由题：，得：11i z i i-==-+，221112z +=+= 考点：复数的概念和运算．16．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值.【详解】设复数z x yi =+2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.17．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||3z =>，所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.18．【解析】19．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1【详解】由题设得三点的坐标分别为()()()12,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.20．3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-22）为圆心1为半径的圆∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（22）解析：3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径，∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.三、解答题21．（1）2-；（2）4542] 【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m 的值； （2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案【详解】（1）()()()()12212z m i i m m i =+-=++-． 当20120m m +=⎧⎨-≠⎩时，即2m =-时，z 是纯虚数； （1）()()212z m m i =++-∴可设复数z 对应的点为(,)P x y ，则由212x m y m =+⎧⎨=-⎩，得250x y +-=， 即点P 在直线250x y +-=上， 又5z ≤， ∴点P 的轨迹为直线250x y +-=与圆2225x y +=相交的弦AB ，则z i -表示线段AB 上的点到(0,1)M 的距离PM ，由图象可知，当PM AB ⊥时，距离最小，即点M 到直线的距离， 则min 2201545()521PM +-==+ 由2225025x y x y +-=⎧⎨+=⎩得05x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩(0,5)A ∴，(4,3)B -22max ()(40)(31)42PM BM ==-+--=，||z i ∴-的取值范围是45[,42].【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题．22．（1）1,z =Rez 的取值范围为1(,1)2-；（2）1322z =+或1322z =-. 【分析】（1）先设出复数，结合1w z z=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z z z z++为纯虚数可求. 【详解】（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠，222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y =+=++=++-+++， 因为1w z z =+是实数，所以220y y x y -=+，解得221x y +=，所以1z ==；因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +=∈-+，即1(,1)2x ∈-； 所以Rez 的取值范围为1(,1)2-. （2）由（1）知221x y +=，()2222i i (2)i i i 2x y x y z z x y x xy y x y x y x z z++++-+++==++-+， 因为2z z z z ++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠， 联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩可得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =+或122z =-. 【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.23．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--.（2）存在，41n k =+，k ∈N .（3）10212+【分析】（1）根据()11n n z i z +=+⋅，依次代入1,2,3n =计算即可得到结果；（2）根据平行关系可知1n z z λ=⋅，从而得到()11n i λ-+=为实数，根据复数乘方运算可知1n -为4的倍数，进而得到结果；（3）由44n n z z +=-可知4416n n n n x y x y ++=，利用此特点化简所求式子，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）()()213417z i i i =++=-+；()()311786z i i i =+-+=-+； ()()4186142z i i i =+-+=--.（2）若1//n O Z Z O ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1n z z λ=⋅即()()11,,n n x y x y λ=又()11n n z i z +=+，故()111n n z i z -=+，即()11n i λ-+=为实数故1n -为4的倍数，即14n k -= 41n k ∴=+，k ∈N（3）()4414n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=- 4416n n n n x y x y ++∴= 又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =()()1122331001001122334455667788x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∴+++⋅⋅⋅+=+++++++()979798989999100100x y x y x y x y +⋅⋅⋅++++()25100116127482812116-=--+⨯=-- 又251001011011116122x y x y ==⨯，25100102102221672x y x y ==-⨯所以数列{}n n x y 的前102项之和为：100100100102121227212-+⨯-⨯=+【点睛】本题考查复数知识的综合应用问题，涉及到复数的乘法和乘方运算、复数运算的周期性、等比数列求和的问题；关键是能够灵活运用复数乘方运算的特点，将所求式子转化为类似周期运算的形式，从而将所求式子化简，利用等比数列求和的方法求得结果.24．（1）x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i （2）m ＝0，或m ＝8【分析】（1）根据求根公式可求得结果；（2）根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，根据韦达定理以及|x 1﹣x 2|＝2，可解得结果.【详解】（1）当m ＝2时，x 2﹣mx +（2m +1）＝x 2﹣2x +5＝0，∴x 22±=∴x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ． ∴方程E 在复数范围内的解为x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ；（2）方程E 有两个虚数根x 1，x 2，根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，∴x 1+x 2＝2a ＝m ，221221x x a b m =+=+，∴221214b m m =-++ ∵|x 1﹣x 2|＝|2bi |＝2，∴b 2＝1，∴212114m m -++=， ∴m ＝0，或m ＝8．【点睛】 本题考查了求根公式，考查了实系数多项式虚根成对定理，考查了韦达定理，属于中档题.25．(1⎤⎡--⋃⎦⎣【分析】 220x ax ++=的两根都是虚数，说明该方程在实数范围内无实根，由命题q 为真，可知复平面上的圆224x y +=和圆()221x a y ++=有公共交点，从而可得结果.【详解】由命题p 为真，可得(280a a ∆=-<⇒∈-，又224x y +=表示以()0,0为圆心，以2为半径的圆， 而()221x a y ++=是以(),0a -为圆心，以1为半径的圆； 因为存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，所以224x y +=与()221x a y ++=有公共点， 可得实数[][]3,11,3a ∈--⋃，故两个命题同时为真的实数a 的取值范围是(1a ⎤⎡∈--⋃⎦⎣.【点睛】本题主要考查复数的几何意义、圆圆的位置关系，属于中档题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi --表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r --=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.26．（1）i -；（2）10091010i --【分析】（1）由程序框图得2019S i =，计算即可得解；（2）由程序框图可知232019123...2019S i i i i =+++++，设23201923...2019T i i i i =++++，利用错位相减法求得T 后即可得解.【详解】（1）由程序框图得2019S i =，∵41n i =，41n i i +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，∴201945043S i i i ⨯+===-，所以输出的结果S 为i -.（2）由程序框图得232019123...2019S i i i i =+++++，设23201923...2019T i i i i =++++，①则234202023...2019iT i i i i =++++，②②－①得()23201920201...2019i T i i i i i -=++++-，20202020120192019202011i i i i i i--=-=-=---， 所以2020101010101T i i-==---， 故输出的结果S 为10091010i --.【点睛】 本题综合考查了程序框图和复数的运算，考查了错位相减法的应用，属于中档题.。
(压轴题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四2．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3- B ．3C ．13-D ．133．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14-B ．14C ．12-D ．124．i 是虚数单位，若复数()2421iz i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a的值等于（ ） A ．5B ．3C ．-5D ．-35．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 6．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D7．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知i 是虚数单位，复数212iz i+=-，则复数z =（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ．i 9．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-10．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．如果22120z z +=，那么120z z == B ．如果12=z z ，那么12=±z zC ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤D ．如果1z a =（a 为正实数），那么211z z a ⋅=二、填空题13．已知|z |=1，则|1|z -+的取值范围是__． 14．若121aii i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 15．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________． 16．若复数2i12ia -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______．17．已知复数z x yi =+，且2z -=yx的最大值为__________． 18．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z =______. 19．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x 、n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n OZ OZ ； （3）求数列{}n n x y ⋅的前100项之和.22．已知z C ∈，0Imz >，且2||()i 52i z z z ++⋅=+． （1）求z ；（2）若,i m z m ω∈=⋅+R ，求证：1ω≥．23．已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a R =-∈（其中i 是虚数单位），若121z z ->，求a 的取值范围．24．已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）． （1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部；（2）求复数5z z+的模． 25．设1z 是虚数，2112z z z =+是实数，且212z -≤≤. （1）求1z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若ω=ω为纯虚数.26．已知i 为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为 （1）设复数z 的共轭复数为z，求|z +的值；（2）已知,a b ∈R，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案. 【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3．B解析：B 【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.4．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值． 【详解】()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =- 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．5．B解析：B 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．D解析：D 【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可． 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．7．D解析：D 【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求． 【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．D解析：D 【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果.详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i iz i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.10．A解析：A 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．A解析：A 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】对A,举出反例判断正误； 对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误； 对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可． 【详解】对于A,如果11z i =-,21z i =+,22120z z +=,所以120z z ==不正确。
(易错题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11ii+=-（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i2．已知i 是虚数单位，121zi z-=+，则||z 等于（ ） A ．1BCD3．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）． A ．110B ．1110C ．2110 D．2110-4．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32- D ．32i -5．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=6．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 8．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞- D ．()2,0-9．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 10．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0或1D ．-111．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）14．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.15．若复数z 满足24z z i +=-（i 为虚数单位），则z 的最小值为__________． 16．已知i 是虚数单位，则复数11ii+-的实部为______. 17．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.18．若复数z 满足(1)1z i i i -=-+，则z 的虚部为__________． 19．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z =______. 20．如果复数z =421ii-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________．三、解答题21．已知2z i =+，a ，b 为实数. （1）若2312z z ω=+-，求ω； （2）若522az bzi z+=--，求实数a ，b 的值. 22．已知复数2()z a ai a R =+∈，若2z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值.23．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=- (i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2，且12·z z 是实数. (1)求1z 及1z ；(2)求2z 及12z z +. 24．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．25．已知a R ∈，且以下命题都为真命题：命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，求实数a 的取值范围. 26．已知关于x 的实系数一元二次方程240x x p ++=的两个虚根是1x 、2x . （1）若1||5x =，求p 的值； （2）若12||2x x ，求p 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项.2．A解析：A 【解析】 因为121zi z-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，212(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 3．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．4．C解析：C 【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．D解析：D 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题6．C解析：C 【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1mm m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.7．A解析：A 【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解． 【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-．∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．9．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．B解析：B 【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.11．B解析：B 【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案.【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=-3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故选：D 【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧ 【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误； ②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取zi ，22z z ≠，⑦错误；⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确. 故答案为：⑧. 【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14．【分析】计算出两个复数相等实部与实部相等虚部与虚部相等列方程组求解【详解】所以所以故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析需要熟练掌握复数的运算法则 解析：8-【分析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解. 【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8 【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.15．【分析】由复数的几何意义可得满足题意的复数对应的点P 到复数-2和4对应点A(-20)B(04)距离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线则的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解【详解】如图所示设复数- 解析：355【分析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数-2和4i 对应点A(-2,0),B(0,4)距离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则z 的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解. 【详解】如图所示,设复数z ,-2,4i 对应的点分别为P (),x y ,A(-2,0),B(0,4),由题意24z z i +=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:230x y +-=,且由z =所以z 的最小值即为原点O 到直线l 的距离,则由d OP ==, z .故答案为: 【点睛】本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题.16．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0 【解析】1ii 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi17．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根解析：13 【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【解析】分析：利用复数的运算法则虚部的定义即可得出详解：复数满足则故的虚部为点睛：题考查了复数的运算法则虚部的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 详解：复数z 满足()11z i i i -=-+，则)()()()111.11122i i i z i ii i ⋅+===+--⋅+故z点睛：题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数然后根据复数模的公式进行求解即可详解：即答案为点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数模的计算同时考查计算能力属基础题【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数z ，然后根据复数模的公式进行求解即可． 详解：()()()2212,i i iz i z i i i +⋅-+===-∴=⋅-点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力，属基础题．20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3 【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案. 【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3- 【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将522az bz i z+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，从而可得结果. 详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-. ∴2312z z ω=+- ()()2232123i i i =++--=-+，∴ω==（2）∵2z i =+，∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()222i a b a b i a b a b ii i ⎡⎤++-++-⎣⎦==--()252b a a b i i =-++=-.∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩， ∴a ，b 的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分22．(1)1z i =-.(2)1m =-. 【解析】分析：（1）先根据z =和z 在复平面内对应的点位于第四象限求出a 的值，即得复数z.(2)直接根据纯虚数的定义求m 的值.详解：（1）因为z ，所以422a a +=，所以21a =.又因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以1a =-，即1z i =-.（2）由（1）得1z i =-，所以22z i =-，所以2222m m mz m m mi +-=++.因为22m m mz +-是纯虚数，所以2020m m m ⎧+=⎨≠⎩，所以1m =-. 点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了.23．（1）112i,2i z z =-=+；（2）242i z =+，126z z i +=+=【解析】试题分析：（1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简和共轭复数的概念得答案；(2)根据题意可设22z a i ＝＋，根据虚部为0可得a 的值，故而可求得结果. 试题（1） (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ， 12z i =+ （2）设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i ， 126z z i +=+=24．（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y i i i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=，所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->， 解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-25．(1⎤⎡--⋃⎦⎣【分析】 220x ax ++=的两根都是虚数，说明该方程在实数范围内无实根，由命题q 为真，可知复平面上的圆224x y +=和圆()221x a y ++=有公共交点，从而可得结果. 【详解】由命题p 为真，可得(280a a ∆=-<⇒∈-，又224x y +=表示以()0,0为圆心，以2为半径的圆， 而()221x a y ++=是以(),0a -为圆心，以1为半径的圆； 因为存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，所以224x y +=与()221x a y ++=有公共点， 可得实数[][]3,11,3a ∈--⋃，故两个命题同时为真的实数a 的取值范围是(1a ⎤⎡∈--⋃⎦⎣.【点睛】本题主要考查复数的几何意义、圆圆的位置关系，属于中档题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi --表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r --=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.26．（1）25p =；（2）5p =.【分析】（1）设12x bi =-+、22,x bi b R =--∈，1||5x =所以2425b +=，即可得到p ； （2）结合设出的根12||2x x ，22bi =，即可求得1b =±，结合21245p x x b ==+=. 【详解】（1）由题关于x 的实系数一元二次方程240x x p ++=的两个虚根是1x 、2x .根据求根公式4x p => 12124,x x x x p +=-=所以可设12x bi =-+、22,x bi b R =--∈，1||5x =，所以2425b +=，212425p x x b ==+=（2）12||2x x ，22,1bi b ，21245p x x b ==+=.【点睛】此题考查在复数集内，根据二次方程的根的关系求解系数相关问题，关键在于熟练掌握复数相关运算法则准确求解.。
(压轴题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i 2．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 4．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）． A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --= 5．已知复平面内的圆M ：21z -=，若11p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ） A ．必在圆M 外 B ．必在M 上C ．必在圆M 内D ．不能确定 6．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 9．已知复数1i z =-+，则22z z z +=+（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i 10．若复数(32)z i i =-，则z =（ ） A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i - 11．设12i 1i z -=+，则z = A ．1322i - B ．1322i + C ．1322i -- D ．1322i -+12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________. 14．已知i 是虚数单位，则复数11i i +-的实部为______. 15．若02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，则0z 的取值范围是________. 16．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．17．已知复数131i z i +=-（i 是虚数单位），则z ____________． 18．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________． 19．若复数z 满足3i z i +=（其中i 是虚数单位），则z =__________. 20．如果复数z =421i i-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________． 三、解答题21．在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）.（1）若复数z 为实数，求a 的值；（2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．22．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2. （1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.23．已知复数()0,z a i a a R =+>∈，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数． （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数()2m z +对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 24．已知复数z 满足()1z i m i -=+(其中i 是虚数单位).(1)在复平面内，若复数z 对应的点在直线50x y +-=上，求实数m 的值；(2)若1z ≤，求实数m 的取值范围.25．已知z 是复数，2iz +为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=．（1）求复数z ；（2）若i 5z m -<，求实数m 的取值范围.26．已知复数3z bi =+，(b 为实数)，且z i -为实数.（1）求复数z ；（2）求复数z 的模||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 2．B解析：B【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 3．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．C解析：C【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程.【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y x x y =-⎧⎨=⎩ ┄② 将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++=故选: C.【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.5．A解析：A【分析】设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可.【详解】由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆. 若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++= 故()11x ay y x a -=-⎧⎨=+⎩,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有 ()111x a y x x ay y++==---,化简得221x y +=. 故复数p 对应的点P 的轨迹是221,(1)x y x +=≠-. 则221,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外.故选：A【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型. 6．C解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 7．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A8．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i i z z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi10．C解析：C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()2323223z i i i i i =-=-=+.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．D解析：D【解析】分析：利用复数的除法运算计算z ，进而得到z . 详解：()()()()12i 1i 12i 1313.1i 1i 1i 222i i z -⋅----====--++⋅- 13 .22z i ∴=-+ 故选D.点睛：本题考查复数的除法运算及共轭复数，属基础题.12．A【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故 解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值.【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，所以z =(),x y 到原点()0,0的距离； 当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3.【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.14．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：01i i 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi15．【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于的条件再解不等式得的取值范围【详解】因为表示的动点的轨迹是椭圆所以复数所对应点距离小于4即故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义考查综合分析求解 解析：[)0,6【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于0z 的条件，再解不等式得0z 的取值范围.【详解】因为02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，所以复数02,i z 所对应点距离小于4，即0000|2|4||||2||44||242||6z i z i z z -<∴-<∴-<-<∴-<< 00||00||6z z ≥∴≤<故答案为：[)0,6【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.16．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值. 【详解】由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+因此，1z i -+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．【分析】由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可【详解】由题意结合复数的求模公式和性质可得：【点睛】本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：5 【分析】 由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可. 【详解】 由题意结合复数的求模公式和性质可得：1313105112i i z i i ++====++. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．2【解析】分析：先化z 为代数形式再根据纯虚数概念得a 最后根据复数模的定义求结果详解：因为z=(a+i)2=a2-1+2ai 是纯虚数所以a2-1=02a≠0∴a=±1所以|z|=(a2+1)2=a2+解析：2 【解析】分析：先化z 为代数形式，再根据纯虚数概念得a ，最后根据复数模的定义求结果. 详解：因为是纯虚数，所以， 所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 19．【解析】∴故答案为:点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算可将含有虚数单位的看作一类同类项不含的看作另一类同类项分别合并即可（2）复数的除法 10【解析】313i i z i+==-，13i z =+，∴1910z =+=， 故答案为: 10点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案.【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3-【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=，所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩， 所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩ 解不等式组得，24a <<，即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.23．（1）1i +；（2）()0,∞+.【分析】（1）将z a i =+代入2z z+，利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，由复数的虚部为零求出实数a 的值，可得出复数z ； （2）将复数z 代入复数()2m z +，并利用复数的乘方法则将该复数表示为一般形式，由题意得出实部与虚部均为正数，于此列不等式组解出实数m 的取值范围.【详解】（1）()0z a i a =+>，()()()2222221a i a i z a i a i a i z a i a i a i a --∴+=++=++=++++-+2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由于复数2z z +为实数，所以22101a -=+，0a >，解得1a =，因此，1z i =+； （2）由题意()()()()()()222211121221m z m i m m i m m m i +=++=+-++=+++， 由于复数()2m z +对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得0m >. 因此，实数m 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，并利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．(1)5m =.(2)11m -≤≤.【解析】试题分析：（1）把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 对应的点的坐标，再结合已知条件计算得答案；（2）直接利用复数模的公式列不等式，解不等式即可得答案.试题(1)()112m m iz -++=，∴z 对应的点是11,22m m -+⎛⎫⎪⎝⎭， ∴115022m m -++-=， ∴5m =. (2)∵1z ≤，∴2211122m m -+⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴11m -≤≤.25．（1）42i z =+;（2） ()1,5-．【分析】（1）设2iz += a ,可得2i z a a =+，则2i z z a -=，结合4i z z -=，从而可得2a =，从而可得结果;（2）结合（1），利用复数模的公式列不等式求解即可.【详解】 （1）由2i z +是实数，可设2iz +=a ，R a ∈， 故()2i 2i z a a a =+=+， 所以2i z z a -=，又4i z z -=，可得24a =，即2a =，所以42i z =+．（2）由i 5z m -<，可得()42i 5m +-<，又R m ∈，∴5< 即()216225m +-<，解得15m -<<，所以实数m 的取值范围是()1,5-．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.26．（1）3i z =+（2【分析】（1）根据复数的类型确定b 的值，即可得出复数z ；（2）由模长公式求解即可.【详解】（1）33(1)z i bi i b i -=+-=+-z i -为实数10b ∴-=，则1b =3z i ∴=+（2）由（1）可知3i z =+，则||z ==【点睛】本题主要考查了根据复数的类型求参数以及求复数的模，属于中档题.。
(易错题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(有答案解析)(3)
一、选择题1．定义运算,,a bad bc c d=-，则符合条件,10 ,?2z i i i+=-的复数 z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 3．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四4．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件 （3）方程20(0)x t t +=>的根是ti ± （4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 7．若(1)()5(,)ai b i i a b R ++=∈，则+a b 的值为（ ）A ．25±B ．25C ．4±D ．48．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图所示，在复平面内，OP 对应的复数是1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i10．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 11．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则yx的范围为（ ） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞12．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．如果22120z z +=，那么120z z == B ．如果12=z z ，那么12=±z zC ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤D ．如果1z a =（a 为正实数），那么211z z a ⋅=二、填空题13．设α和β是关于x 的方程220x x m ++=的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m =_______________. 14．设复数z 满足345ii z+=，则||z =__________． 15．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= . 16．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__． 17．已知复数z 和满足，且，则复数______．18．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．19．已知虚数z 满足等式，则z=________20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z zz z++为纯虚数，求z .22．已知复数12215523,(2)iz i z i -=-=+，求下列各式的值：(Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z 23．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.24．已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位，m R ∈）. （1）若z 是实数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.25．已知z C ∈，0Imz >，且2||()i 52i z z z ++⋅=+． （1）求z ；（2）若,i m z m ω∈=⋅+R ，求证：1ω≥． 26．已知复数3z bi =+，(b 为实数)，且z i -为实数. （1）求复数z ； （2）求复数z 的模||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i+=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 2．C解析：C 【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+， 若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在， 当0b =时，220z a =>即0a ≠， 所以若20>z ，则z 是非零实数； 若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.3．A解析：A 【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案. 【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个．故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．5．D解析：D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b 值，即可． 【详解】()()()115ai b i b a ab i i ++=-++=,所以015b a ab -=⎧⎨+=⎩,解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩所以4a b +=±,故选C. 【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等． 8．A解析：A 【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A9．D解析：D 【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P =+，从而可求P 0对应的复数 【详解】因为00O P OP =，0OO 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．10．D解析：D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i iz i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11．C解析：C 【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,yk y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴设yk y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故yx 的范围为[ 故选：C 【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】对A,举出反例判断正误； 对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误； 对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可． 【详解】对于A,如果11z i =-,21z i =+,22120z z +=,所以120z z ==不正确。
(易错题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i +B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>3．已知i 是虚数单位，复数13i1i+=+（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --4．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3- B ．3C ．13-D ．135．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p7．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线9．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．410．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）A ．1B C ．2D ．3 11．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-12．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____． 14．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________．15．设复数z 满足345ii z+=，则||z =__________． 16．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.17．已知复数2,i m i αβ=-=-，其中i 是虚数单位，m R ∈. （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，求实数m 与n 的值.18．已知132i ω=-+（i 是虚数单位），2015()x ωω+的展开式中系数为实数的项有_______项19．设复数()1233,3,3sin 3cos 2z i z i z i θθ=--=+=++，则12z z z z -+-的最小值为__________． 20．已知虚数z 满足等式，则z=________三、解答题21．已知2z i =+，a ，b 为实数. （1）若2312z z ω=+-，求ω； （2）若522az bzi z+=--，求实数a ，b 的值. 22．已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z. (2)求|z-4|的取值范围.23．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=. （1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值. 24．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤. （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数； （3）在（2）的条件下，求22z ω-的最小值.25．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，（其中i 为虚数单位）. （1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在直线y x =上，求实数m 的值.26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数122i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z<，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．C解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ． 【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．A解析：A 【详解】 因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i ii i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．4．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1mm m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限. 故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案． 【详解】 ∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ， 4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3． 故选A ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．7．D解析：D 【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求． 【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．9．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．B解析：B 【解析】分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .详解：由题()()()2121,111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.11．C解析：C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.12．D解析：D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1 【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩14．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求解析：4 【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+-()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =， 0,0a b >>，24a b ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15．1【解析】∵∴∴故答案为1解析：1 【解析】 ∵345ii z+= ∴3434555i i z i +==-+∴1z == 故答案为116．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实解析：5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -17．(1)；(2)或【分析】(1)先写出的表示然后将模长关系表示为对应的不等式即可求解出的取值范围；(2)根据是关于的方程的一个根先求出方程的根根据复数相等的原则即可求解出实数与的值【详解】(1)因为所解析：(1) ()6,2-；(2) 36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩. 【分析】(1)先写出αβ+的表示，然后将模长关系2αβα+<表示为对应的不等式，即可求解出m 的取值范围；(2)根据β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，先求出方程的根，根据复数相等的原则即可求解出实数m 与n 的值. 【详解】(1)因为()22m i αβ+=+-，2αβα+<，所以24820m m ++<，所以()()620m m +-<，所以()6,2m ∈-；(2)因为β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，所以方程有两个虚根，所以2n x ±=， 因为m i β=-是方程的一个根，所以21n m ⎧=⎪⎪=，所以63n m =⎧⎨=⎩或63n m =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查复数模长的计算以及有关复数方程的解的问题，难度一般.(1)已知z a bi =+，则z =(2)若两个复数相等，则复数的实部和实部相等，虚部和虚部相等. 18．672【分析】由二项式定理得出通项的系数再利用复数的运算得出哪些系数是实数【详解】系数为（）只要考虑是实数即可则（）是3的整数倍即可由于这样的有共672个∴展开式中系数为实数的项的672项故答案为：解析：672 【分析】由二项式定理得出通项的系数，再利用复数的运算得出哪些系数是实数． 【详解】20152015120152015()()()r r r r r r r r T C x C x ωωωω--+==，系数为20152015()rr r C ωω-，（02015,r r N ≤≤∈）只要考虑20151()r r r a ωω-+=是实数即可，12ω=-+，则331,()11ωωωω===，，20152015211()r rr r a ωωω--+==， 201522013323r r r k -=-++=（k Z ∈），2r +是3的整数倍即可，由于02015,r r N ≤≤∈，这样的r 有1,4,7,,2014共672个，∴展开式中系数为实数的项的672项． 故答案为：672． 【点睛】本题考查二项式定理，考查复数的运算．解题关键是由二项展开式通项公式得出项的系数，然后利用ω的性质分析系数为实数的项有哪些．19．【解析】分析：复数分别对应点经过AB 的直线方程为设复数则复数对应的点的轨迹为圆其方程为判断选择和圆的位置关系可得到的最小值详解：复数分别对应点经过AB 的直线方程为设复数则复数对应的点的轨迹为圆其方程解析：2+【解析】分析：复数123,,z z i =-=分别对应点()3,,A B - 经过A,B的直线方程为,y x =设复数)2x yi,z i θθ=++=+(),x y R ∈,则复数z对应的点的轨迹为圆，其方程为()2223x y +-= ，判断选择和圆的位置关系可得到12z z z z -+-的最小值.详解：复数123,,z z i =-=分别对应点()3,,A B - 经过A,B的直线方程为,y x =设复数)2x yi,z i θθ=++=+(),x y R ∈,则复数z对应的点的轨迹为圆，其方程为()2223x y +-=，圆心()0.2到直线,y x =的距离为d == 即直线和圆相切，则12z z z z -+-的最小值即为线段AB 的长，2AB ==+即答案为2+点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题..20．【解析】试题分析：设则所以即考点：复数的相等 解析：12i +【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则22()()316z z a bi a bi a bi i -=+--=+=+，所以1{36a b ==，12a b =⎧⎨=⎩，即12z i =+．考点：复数的相等．三、解答题21．（1；（2）-3，2 【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将522az bz i z+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，从而可得结果. 详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-. ∴2312z z ω=+- ()()2232123i i i =++--=-+，∴ω==（2）∵2z i =+，∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()222i a b a b i a b a b ii i ⎡⎤++-++-⎣⎦==--()252b a a b i i =-++=-.∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩， ∴a ，b 的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分22．（1）z=2+3i 或z=2-3i ；（2）(1,5).【解析】试题分析：（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠，根据2z -为纯虚数求得x 的值，再由92z z +-为实数求出y 的值，即可得到复数z ； （2）由92z z +-为实数且0y ≠可得22(2)9x y -+=，由此求得x 的范围，根据复数的，从而求得范围.试题(1)设z=x+yi(x,y ∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+9z 2-=2+yi+9yi =2+9y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭i ∈R,得y-9y =0,y=±3,所以z=2+3i 或z=2-3i.(2)因为z+9z 2-=x+yi+9x yi 2+-=x+()229x 2(x 2)y --++229y y (x 2)y ⎡⎤-⎢⎥-+⎣⎦i ∈R, 所以y-229y (x 2)y -+=0, 因为y≠0,所以(x-2)2+y 2=9,由(x-2)2<9,得x ∈(-1,5),所以==(1,5).点睛：本题主要考查了复数的基本概念，复数的乘法与除法运算及复数的模等知识点，其中解答中熟记有关复数的实部、虚部、复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，此类问题的解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算.23．（1）1；（2）32+22-=m 且222-=n . 【解析】试题分析：（1）运用纯虚数的概念建立方程求解；（2）运用题设条件建立方程，再运用基本不等式求解.试题（1）令022=-+x x ，则2-=x 或1=x又0232≠++x x ，所以1=x（2）当0=x 时，Z(-2,2)，又Z 落在直线n mx y +-=上，所以22=+n m ，又0>mn ，所以223223)2)(11(11+≥++=++=+m n n m n m n m n m ，当且仅当222m n =时等号成立，又22=+n m ，所以22-=m 且222-=n .考点：复数的概念和运算．24．（1）11z =， 11[,]22-；（2）证明见解析；（3）1.【分析】（1）设出复数1z ，写出2z 的表示式，进行复数的运算，把2z 整理成最简形式，再根据所给2z 的范围，得到2z 的虚部为0，实部属于这个范围，得到1z 的实部的范围； （2）根据设出的1z ，整理ω的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到ω是一个纯虚数；（3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-，再利用基本不等式即可求得结果【详解】解：（1）由1z 是虚数，设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则21222222111()a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -=+=++=++=++-++++， 因为2z 为实数，所以220b b a b-=+且0b ≠，所以221a b += 所以11z =，此时22z a =， 因为211z -≤≤，所以121a -≤≤，得1122a -≤≤ （2）因为122111()[(1)][(1)]11()(1)z a bi a bi a bi z a bi a b ω--+--+-===+++++，且221a b +=， 所以1b i aω=-+， 因为0b ≠，1122a -≤≤，所以ω为纯虚数 （3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-， 由1122a -≤≤，得1(1)21a a ++≥+， 故当且仅当111a a +=+，即0a =时，22z ω-有最小值1 【点睛】此题考查复数的代数形式的运算，运算量比较大，考查了运算能力，属于中档题. 25．（1）12m =-,（2）=2m ± 【分析】 （1）复数z 是纯虚数，其实部为0，虚部不为0，解方程与不等式组222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩即可求得答案；（2）依题意，可得2223232m m m m --=-+，解出即可求得实数m 的取值．【详解】（1）由题意有222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩①②时，解①得12m =-或2m =，解②得 1 m ≠且2m ≠， 综合可得12m =-时，复数为纯虚数. （2）由题意复数z 对应的点在直线y x =上， 则有：2223232m m m m --=-+，解得：=2m ±， 所以当=2m ±时，复数对应的点在y x =上.【点睛】本题考查复数的概念及几何意义，解题关键是根据复试的几何意义列出不等式及等式求解，属于中等题.26．（1）13322z i =+；（2）2πθ=或32πθ= 【分析】 （1）由错位共轭的概念可得()131122z i i ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，计算即可得解；（2）由题意结合虚数不能比较大小可得221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，根据三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由()131122z i i ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭得131231z i i i -==+-， 所以1332z i =. （2）()()2222cos sin cos sin 2sin cos z i i θθθθθθ=+=-+，∵212z <， ∴221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，由2sin cos 0θθ=得sin 0θ=或cos 0θ=，当sin 0θ=时，所以cos 1θ=或cos 1θ=-，均不满足，当cos 0θ=时，所以sin 1θ=或sin 1θ=-，均满足，故2πθ=或32πθ=. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数不能比较大小的性质和三角函数的性质，属于中档题.。
人教课标版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》章末达标测评
《数系的扩充与复数的引入》章末达标测评(满分：150分；时间：120分钟）―、选择题（每小题5分，共60分）1.复数z 是实数的充分而不必要条件为( ) A.z z = B.z z = C.2z 是实数 D.z z +是实数2.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i +，2i -+，0，则第四个顶点对应的复数为( ) A.3i + B.3i - C.13i - D.13i -+3.复数2017z i =(i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ) A.i - B.i C.1- D.14.在复平面内，复数cos3sin3z i =+(i 为虚数单位），则z 为( ) A.1 B.2 C.3 D.45.复数()()213z a a i =++-(i 为虚数单位），若0z <，则实数a 的值是（ ）B.1C.1-D.6.若(z a ai =+为纯虚数，其中a R ∈，则71a i ai+=+( )A.iB.1C.i -D.1-7.已知3()1f x x =-，设i 是虚数单位，则复数()f i i的虚部为( ) A.1- B.1 C.i D.08.若复数z 满足()11z i i i -=-+，则z 的实部为( )A.121 C.1D.129.复数212ii+-的共扼复数是( ) A.35i -B.35iC.i -D.i10.在复平面内，O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为2i -+，32i +，15i +，那么BC 对应的复数为（ ) A.47i +B.13i +C.44i -D.16i -+11.设i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i+=+∈-，则ab 的值是( ) A.15- B.3 C.3- D.1512.已知复数z 的共扼复数为z，若()31522z z ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题（每小题5分，共20分）13.复数()()32i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是_____. 14.设32z i =+，z 和z 在复平面内对应的点分别为A 和B ，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为_____.15.已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，R θ∈，则12z z ⋅的实部最大值为____，虚部最大值为_____.16.设i是虚数单位，122w i =-+，则使得()1niw =成立的最小正整数n 为_____.三、解答题（共70分）17.(12分)设复数()()22lg 2232z m m m m i =--+++，当m 为何值时， (1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？18.(14分)计算下列各题.(1)()()33+÷-；(2))()()()245541i i i +-+.19.(14分）已知复数()()22815918z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，则实数m 取什么值时： (1)复数z 为实数？ (2)复数z 为纯虚数？(3)点A 位于复平面的第三象限？20.(15分）设复数z满足42z z i +=，1sin cos z i θθ=-，R θ∈，求z 及1z z -的取值范围.21.(15分）已知复数()211z i i =+.(1)求1z 及1z ；(2)当复数z 满足341z i +-=，求1z z -的最大值与最小值.参考答案 一、选择题1.答案：A解析：z z z =⇒为实数，但z 为实数z z ⇒=，例如11-≠-. 2.答案：D解析：设第四个顶点对应的坐标为(),C x y ，已知三点的坐标为()0,0O ，()1,2A ，()2,1B -，由题意可知BC OA =，即()()2,11,2x y +-=，1x ∴=-，3y =.∴第四个顶点C 对应的复数为13i -+. 3.答案：D解析：()504201720164z i i i i i i ==⋅=⋅=，故其虚部为1.4.答案：A解析：1z ==，故选A. 5.答案：D解析：由题意得210,30,a a +<⎧⎨-=⎩解得a =故选D.6.答案：C解析：z 为纯虚数，a R ∈，a ∴=，71313i a i ii ai +-∴====-+. 7.答案：B 解析：()311f i i i =-=--，()2111f i i i i i i i ----∴===-+-，则复数()f i i的虚部为1，故选B.8.答案：A解析：由()11z i i i -=-+，得)()()()11111122i i iz i i i i +===+--+，故z 的实部为12，故选A. 9.答案：C 解析：因为()()()22212122i i i ii i i i i i+++===--+，所以它的共扼复数为i -，选C. 10.答案：C解析：因为OA ，OC ，AB 对应的复数分别为2i -+，32i +，15i +，()BC OC OB OC OA AB =-=-+，所以BC 对应的复数为()()3221544i i i i +--+++=-⎡⎤⎣⎦. 11.答案：C 解析：()()172171325i i i i i +++==-+-，1a ∴=-，3b =，3ab =-. 12.答案：A解析：设(),z a bi a b R =+∈，则3222z z a bi +=+，故21a bi +==，故12a =，b =则在复平面内，复数z所对应的点的坐标为12⎛ ⎝，位于第一象限.二、填空题13.答案：见解析解析：()()321z m m i =-+-，其对应点()32,1m m --在第三象限内，故320m -<且10m -<，23m ∴<. 14.答案：见解析解析：z 和z 在复平面内对应的点如图所示，则14362AOB S ∆=⨯⨯=.15.答案：见解析解析：()()()()12cos sin cos sin 1cos sin z z i i i θθθθθθ⋅=-⋅+=⋅++-，实部13cos sin 11sin 222θθθ⋅+=+≤，最大值为32，虚部cos sin 224πθθθ⎛⎫-=+≤ ⎪⎝⎭2.16.答案：见解析解析：解法一：132w =-+，312iw i ∴=，()2132iw =，()3iw i =-，，()121iw =，可知n 的最小值是12.解法二：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，132w =-，2132w =-，31w =，()()()34121212431iw i w i w ∴=⋅=⋅=.可知使()1niw =成立的最小正整数是12.三、解答题17.答案：见解析解析：（1)要使复数z 为实数，需满足22220,320,m m m m ⎧-->⎪⎨++=⎪⎩解得2m =-或1-.即当2m =-或1-时，z 是实数.(2)要使复数z 为纯虚数，需满足22221,320,m m m m ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩解得3m =.即当3m =时，z 是纯虚数.18.答案：见解析解析：(1)()()2333++÷-==229898ii++=-11171717+==+.(2)原式()()()()()()()4454544142254154112i i i iii i i i i+----=====-+-+-++.19.答案：见解析解析：（1)当29180m m-+=，即3m=或6m=时，z为实数.(2)当28150m m-+=，且29180m m-+≠，即5m=时，z为纯虚数.(3)228150,9180,m mm m⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩35,36,mm<<⎧∴⎨<<⎩∴当35m<<时，z的对应点位于第三象限.20.答案：见解析解析：设(),z a bi a b R=+∈，则z a bi=-，代入42z z i+=，得()()42a bi a bi i++-=.621,ab⎧=⎪∴⎨=⎪⎩即1,2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z i∴=+.()11sin cos2z z i iθθ∴-=--===1sin16πθ⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭，022sin46πθ⎛⎫∴≤--≤⎪⎝⎭，102z z∴≤-≤.21.答案：见解析解析：复数()()221112122z i i i i i=+=+-==-.(1)12z=-，12z=.(2)设复数(),z x yi x y R =+∈，341z i +-=，()()341x y i ∴++-=，()()22341x y ∴++-=，它表示圆心为()3,4P -，半径为1的圆，画出图形，如图所示，1z 所对应的点为()2,0A -.则圆心P 到点A 的距离为()223+2+4=17PA =-因为1z z -表示圆P 上的点到点A 的距离，所以1z z -的最大值为+1=17+1PA ，最小值为1=171PA -.。
人教课标版高中数学选修1-2单元测试：数系的扩充与复数的引入2
《数系的扩充与复数的引入》单元测试一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，D ．（C ）中线段PQ ，但应除去原点3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）A ．{}M =实数B ．{}M =虚数C ．{}{}M 实数复数D ．{}M ϕ=4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ）A ．1b <-或1b >B ．11b -<<C ．1b >D ．0b >5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ）A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -+ D ．13i +－7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ）A ．9iB ．93i +C ．9i -D ．93i - 9．复数2()12mi A Bi m A B i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）AB ．23 C ．23- D ．210．(32)(1)i i +-+表示（ ）A ．点(32)，与点(11)，之间的距离B ．点(32)，与点(11)--，之间的距离C ．点(32)，与原点的距离D ．点(31)，与点(21)，之间的距离 11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）A11B ．3和1 C．D312．已知1z ，2z ∈C，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）A ．1B ．12 C ．2 D二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ．16．若n 是整数，则6(1)(1)n n i i -+-=· ． 三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++⎪++⎝⎭． （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ ，2OZ 的值．20．已知z 是复数，2z i +与2z i -均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．参考答案1~12 A C A B A A B B C A A D 13. 19172626i -14必要条件，但不是充分条件15.直角16.8±或8i ±17. 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120b a b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴． 18. 解：226(815)5m m z m m i m +-=++++． （1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，， 解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19. 解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a +=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴． 则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2(11)OZ =-，． 1258OZ OZ =∴·． 20. 解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴． 211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21. 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32iC ．32-D ．32i - 3．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π 4．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i - B ．1i -+ C ．1i +D ．1i -- 5．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞- D ．()2,0- 6．i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20182017i -+B ．10081008i -C ．10101009i -+D ．10101009i - 7．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3- 8．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( ) A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 10．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．111．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆12．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________．14．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；15．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于__________. 16．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z= . 17．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.18．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．19．已知复数242(1)i z i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________．20．若复数z 满足11z -=，则z 的最大值为________．三、解答题21．已知i 是虚数单位．（1）若复数122z =-+，求z z +的值； （2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值．22．已知复数212z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值.23．已知复数||z =z 是z 的共轭复数，且2()z 为纯虚数，z 在复平面内所对应的点Z 在第二象限，求2018. 24．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）.（1）设复数121m i z i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围. 25．已知z 是复数，2z i +与2z i -均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．26．已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为（1）设复数z 的共轭复数为z ，求|z +的值；（2）已知,a b ∈R ，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D. 2．C解析：C【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】 ()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C.【点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+， 又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，所以事件A 的概率为12p =． 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键. 4．B解析：B 【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.【详解】 ()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限， 24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误． 6．C解析：C【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，进而即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n ii i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+，两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i i i i i --=++++-=--()112018120191i i i i +=+=-+- 所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.7．C解析：C【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案.详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+故z 的共轭复数z 的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.8．C解析：C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则：2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +, 选B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi10．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．D解析：D【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查 解析：4【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++=所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离 所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误解析：④【分析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断.【详解】当0a b 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.故答案为：④【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.15．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题解析：1i +【分析】 利用行列式展开法则a c ad bcb d =-和复数的性质进行求解．【详解】 ∵1z iz i i i =+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+，故答案为1i +．【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题. 16．【分析】求出复数利用复数的除法运算法则：分子分母同乘以分母的共轭复数化简复数从而可得结论【详解】∵复数z 的实部为-1虚部为2∴ ∴= 故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的 解析：2i -【分析】求出复数12z i =-+．利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数5i z，从而可得结论. 【详解】 ∵复数z 的实部为-1，虚部为2，∴12z i =-+， ∴5512i i z i-+ =5(12)(1)(12)w i i i ---+-- 2i =-，故答案为2i -．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>，所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.18．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=，所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 19．-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i 再利用复数的几何意义可得其对应的点代入直线x ﹣2y+m=0即可得出详解：∵复数z==所对应的点为（1﹣2）代入直线x ﹣2y+m=0可得1﹣2×（﹣解析：-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i ，再利用复数的几何意义可得其对应的点，代入直线x ﹣2y+m=0即可得出．详解：∵复数z=()2421i i ++=()24+22122i i i i i i i i i-++===--⋅所对应的点为（1，﹣2），代入直线x ﹣2y+m=0，可得1﹣2×（﹣2）+m=0，解得m=﹣5．故答案为-5.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、点与直线的位置关系，属于基础题．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.20．2【解析】分析：首先根据题中的条件结合复数的几何意义可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆取最大值时就是圆上的点到原点的距离的最大值结合原的性质其为圆心到原点的距离加半径求得结果详解：依题 解析：2【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数z 对应点的轨迹是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，z 取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数,(,)z x yi x R y R =+∈∈， 因为11z -=，所以有22(1)1x y -+=，由复数的几何意义，可知z 对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，因为z = 所以z 的最大值为112+=，所以答案为2.点睛：该题考查的是有关复数z 的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.三、解答题21．（1）122-（2）-3 【分析】 （1）直接求出,||z z 即得解；（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，解不等式组得解.【详解】（1）由题得1i 22z =--，1122z z z =∴+=-． （2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ， 3m ∴=-【点睛】本题主要考查复数模的计算和共轭复数，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）1m n ==；（2）4.【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；（2）化简()12z a i z =-，由实部为0且虚部不为0求出a 的值，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】（1）213144212z =--=-⎛⎫=-⎪⎪⎝ ⎭是一元二次方程210mx nx ++=的一个虚根，则122-+是一元二次方程210mx nx ++=的另一个虚根， 111122m ⎛⎫⎛⎫∴=--+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =， 1112222n i m ⎛⎫⎛⎫-=--+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1n =， 因此，1mn ==；（2）()()1112212222z a i z a i a a i ⎛⎫⎛⎫⎛=-=---=-+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭是纯虚数， 则10210a ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，即a =-224a i i +=-==.【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.23．i -【解析】【分析】设z a bi =+，根据题意列出关于a b 、的方程组求解，再结合所对应的点Z 在第二象限，即可求出z【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z ==，∴222a b += 又z a bi =-，()()22222z a bi a b abi =-=--.∴22020a b ab ⎧-=⎨-≠⎩，联立22222a b a b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =±⎧⎨=±⎩ 又Z 在第二象限，∴11a b =-⎧⎨=⎩，即1z i =-+∴2018 ()10092018210091009i i ⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()252252414i i i i ⨯+=-=-⨯=-故答案为i -【点睛】本题考查了复数的相关定义，设出复数z 的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>2．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10 ,?2z i i i+=-的复数 z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是 （4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段5．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A ．4B ．1C ．2D ．36．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14-B ．14C ．12-D ．127．i 是虚数单位，若复数()2421iz i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a的值等于（ ） A ．5B ．3C ．-5D ．-3 8．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-9．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16-B ．16C ．4-D ．410．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）． A ．1B ．2C ．2D ．2211．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．112．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________． 14．若复数2i12ia -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 15．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 16．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．17．已知复数z 满足1z =，且负实数a 满足2220z az a a -+-=，则a 的值为___________. 18．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．19．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________． 20．若是实系数一元二次方程的一个根，则_______.三、解答题21．已知关于x 的方程210x tx ++=的两个根是1x ､2x . （1）若12x i =+(i 为虚数单位)，求2x 与t 的值； （2）若t 是实数，且12||2x x -=t 的值. 22．已知i 是虚数单位． （1）若复数1322z =-+，求z z +的值； （2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值．23．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （I ）求复数z ；（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.24．（1）已知121,2z i z i =+=-，且12111z z z =+，求z ； （2）已知32i --是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.25．已知复数1z bi =+（b 为正实数），且2(2)z -为纯虚数． （Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若2izω=+，求复数ω的模||ω． 26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈. （1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ． 【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．B解析：B【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i+=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 3．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．4．D解析：D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.6．B解析：B 【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值． 【详解】()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =- 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．8．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．9．C解析：C 【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算． 详解：令1x =，得4256n =，4n =， ∴42(1)(2)4i i +==-．故选C ．点睛：在二项式()()nf x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．10．B解析：B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 11．D解析：D 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限，即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++= 所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4 【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4解析：4 【解析】∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a ii-+是纯虚数 ∴405a -=，即4a = 故答案为415．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-.16．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣． 【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．17．【分析】由设代入后利用复数相等的定义求解【详解】因为故可设则即所以或若则时不是负数舍去时无实解则（舍去）故答案为：【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程常常设代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程 解析：152【分析】由1z =，设cos sin ()z i R ααα=+∈，代入后利用复数相等的定义求解． 【详解】因为1z =，故可设cos sin ()z i R ααα=+∈，则22222(cos sin )2(cos sin )0z az a a i a i a a αααα-+-=+-++-=， 即222(cos sin 2cos )2sin (cos )0a a a a i ααααα--+-+-=，所以2222sin (cos )0cos sin 2cos 0a a a a ααααα-=⎧⎨--+-=⎩， 2sin (cos )0sin 0a ααα-=⇒=或cos a α=，若sin 0α=，则cos 1α=±，cos 1α=时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-2310a a =-+=，352a =，不是负数，舍去．cos 1α=-时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-210a a =++=，35a ±=，无实解．cos a α=，则22222222cos sin 2cos (1)210a a a a a a a a a a ααα--+-=---+-=--=， 152a （152a +=舍去）． 故答案为：152-． 【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程，常常设(,)z m ni m n R =+∈，代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程求解．18．2【解析】分析：先化z 为代数形式再根据纯虚数概念得a 最后根据复数模的定义求结果详解：因为z=(a+i)2=a2-1+2ai 是纯虚数所以a2-1=02a≠0∴a=±1所以|z|=(a2+1)2=a2+解析：2 【解析】分析：先化z 为代数形式，再根据纯虚数概念得a ，最后根据复数模的定义求结果. 详解：因为是纯虚数，所以，所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为19．1【解析】∵复数z 满足满足故z 的虚部是1解析：1 【解析】∵复数z 满足满足()12i z -=，()()()2122211112i i z i i i i ++∴====+--+， 故z 的虚部是1.20．0【解析】因为是实系数一元二次方程的一个根所以也是方程的根；由跟与系数的关系得即则考点：实系数一元二次方程的根与系数的关系解析：0 【解析】 因为是实系数一元二次方程的一个根，所以也是方程的根；由跟与系数的关系，得，即，则.考点：实系数一元二次方程的根与系数的关系.三、解答题21．（1）22i 5x -=，12455t i =--；（2），. 【分析】 （1）利用韦达定理，分别求得2x 与t 的值；；（2）若t 是实数，利用求根公式，根据两个根是共轭复数，且可以为实根，可以为虚根，结合题中条件，列出等量关系式，从而求得结果.【详解】（1）根据121x x ⋅=，得22111222215i i x x i --====++， 利用12x x t +=-，所以2124(2)555i t i i -=-++=--， （2）根据题意，x =，所以12x x -==当240t ->时，有26t =，t =当240t -<=，即242t -=-，所以t =所以t的值为，.【点睛】该题考查的是有关在复数域内求一元二次方程的根的问题，涉及到的知识点有韦达定理，分类讨论的思想，属于中档题目.22．（1）12-（2）-3 【分析】 （1）直接求出,||z z 即得解；（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，解不等式组得解.【详解】（1）由题得12z =--，112z z z =∴+=． （2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ， 3m ∴=-【点睛】本题主要考查复数模的计算和共轭复数，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．（Ⅰ）2z i =--（Ⅱ）a =【分析】（I ）设()0,0z c di c d =+<<,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出2019111z z +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再求a 的值.【详解】解；（Ⅰ）设()0,0z c di c d =+<<，则()2222234z c di c d cdi i =+=-+=+， 223,24,c d cd ⎧-=∴⎨=⎩解得2,1c d =-⎧⎨=-⎩或2,1c d =⎧⎨=⎩（舍去）. 2z i ∴=--.（Ⅱ）2z i =-+，∴()211111112i z i i i z i i ++--+====+-+- ∴201920192016311z i i z ++⎛⎫== ⎪+⎝⎭()50450443431i i i ⨯+==⋅=-，∴2a i -==，∴a =【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 24．（1）z =;（2）12,26p q ==. 【解析】试题分析：（1）把12,z z 代入12111z z z =+，利用复数除法化简，可得113z i =+，所以z =（2）由于32i --是方程的一个根，所以把32i --代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得()()3102420p q p i -+++-=，即31002420p q p -++=⎧⎨-=⎩可解得,p q . 试题 （1）由12111z z z =+，得()()()()123111233i i i z i i i +-+===+++-，所以z =. （2）由于32i --是方程220x px q ++=一根，则()()2232320i p i q --+--+=即：()()3102420p q p i -+++-=，所以，31002420p q p -++=⎧⎨-=⎩， 解得，12,26p q ==.【点睛】对于复数方程根的问题，已知一复数根时，一般把复数代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得两个等式，可解参数。
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自我小测
1．对于下列四个命题：
(1)任何复数的模都是非负数；
(2)如果复数1z =，2z =，3z =，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆；
(3)|cos θ＋isin θ|0；
(4)在复平面内，x 轴是实轴，y 轴是虚轴．
其中正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．与x 轴同方向的单位向量e 1和与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是
( )
A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数i
B ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数i
C ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－i
D ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i
3．若a ，b ∈R ，z ＝a ＋b i ，我们称复数－a －b i 为z 的相反复数，则( )
A ．复平面上表示z 和它的相反复数的点关于虚轴对称
B ．复平面上表示z 的共轭复数z 的点与表示z 的相反复数的点关于虚轴对称
C ．z 的共轭复数z 的相反复数是z
D ．z 的相反复数与z 不相等
4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面内的对应点为Z ，则满足条件－2≤y ≤1的点Z 的几何图形是( )
A ．一个圆环区域
B ．两条平行线
C ．一条线段(包括两个端点)
D ．两条平行线间的区域(包括这两条平行线)
6．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为________．
7．若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足||z |－1|＝1－|z |，则点Z (a ，b )的轨迹方程是________．
8．设(sin θ－1)＋(sin θ－cos θ)i(θ∈R )对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________．
9．已知x ，y ∈R ，若x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z .
10．在复平面内画出复数z 1＝1，212z =-+，312z =-对应的向量1OZ ，2OZ ，3OZ (O 为坐标原点)，并求出各复数的模．
参考答案
1. 答案：D (1)正确，因为若z ∈R ，则|z |≥0，若z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，则
||0z =>；
(2)正确，因为1||z 2||z ==，3||z =，4||z =
(3)错误，因为|cos θ＋isin θ|1为定值，最大、最小值都是1；
(4)正确．
2. 答案：A
3. 答案：B
4. 答案：D ∵π2
＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限，故选D.
5. 答案：D
6. 答案：13 z 在复平面内对应的点为(－5，－12)，该点到原点的距离为
13=.
7. 答案：a 2＋b 2≤1 ∵||z |－1|＝1－|z |，
∴|z |－1≤0.∴|z |≤1.
又z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴a 2＋b 2≤1.
8. 答案：
12
由已知，(sin θ－1)＋(sin θ－cos θ)i 对应的点(sin θ－1，sin θ－cos θ)在直线x ＋y ＋1＝0上，即sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，故tan θ＝12. 9. 答案：分析：根据共轭复数的定义求出x ，y 的值，从而求出复数z 及z . 解：若两个复数a ＋b i 与c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是共轭复数，则a ＝c 且b ＝－d ，
由此可得到关于x ，y 的方程组：223,21,
x x x y x y ⎧+=⎨+=+⎩
解得0,1x y =⎧⎨=⎩或1,0.x y =⎧⎨=⎩
所以z ＝i 或z ＝1.当z ＝i 时，1z =-；当z ＝1时，1z =.
10. 答案：分析：由1OZ ＝(1,0)
，212OZ ⎛=- ⎝⎭
，31,2OZ ⎛=- ⎝⎭ 可作图．由复数的模的计算公式|z |＝|a ＋b i|
a ，
b ∈R )求模．
解：向量1OZ ，2OZ ，3OZ 在复平面内的位置如图所示．
1OZ ＝(1,0)，|1OZ |＝1，
所以|z 1|＝
1.
212OZ ⎛=- ⎝⎭
，
|2OZ |＝1，
所以|z 2|＝
1.
31=2OZ ⎛-- ⎝⎭
，，|3OZ |＝1. 所以|z 3|＝1.。