商不变的规律
数学教案-商不变的规律
数学教案－商不变的规律引言商是数学中的一个常见概念，它描述了两个数相除的结果。
在实际生活中，我们经常会遇到商不变的规律。
这个规律指的是，如果我们在分子和分母中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。
本文将介绍商不变的规律的概念和应用，并提供一些相关的例子和练习。
商不变的规律的概念商不变的规律是数学中的一个基本原理，也是我们运用除法操作时常常利用到的一条性质。
简而言之，商不变的规律指的是，如果我们在被除数和除数中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。
换句话说，我们可以对被除数和除数同时进行相同的乘（或除）操作，而不会改变最终的商。
商不变的规律的应用商不变的规律在解决实际问题中起到了重要的作用。
以下是一些常见的应用场景：比例问题在比例问题中，我们常常需要求解未知的比例关系。
这时，我们可以利用商不变的规律来简化问题。
例如，如果一辆车以每小时60公里的速度行驶，那么3小时行驶的距离是多少？我们可以通过将速度和时间都除以3，得到车辆每小时20公里的速度。
然后再将新的速度乘以行驶的小时数3，即可得到结果，即60公里。
这个例子展示了商不变的规律在求解比例问题中的应用。
分配问题在一些分配问题中，商不变的规律能够帮助我们简化计算。
例如，如果某个项目需要花费8000元，而这个项目的费用将由三个人平分。
我们可以通过将项目的费用8000元除以参与人数3，得到每个人平分的费用为2666.67元。
这个例子再次展示了商不变的规律在解决分配问题中的应用。
比较问题商不变的规律还可以用来比较不同数值的大小。
例如，如果我们需要比较两个小数的大小，我们可以将两个小数的分子和分母都乘以同样的数，使得两个小数的分母相等。
然后，我们只需要比较两个小数的分子大小即可判断它们的大小关系。
这个方法通过利用商不变的规律，简化了比较问题的计算。
示例与练习示例1：比例问题某个果汁店每瓶果汁售价为10元，一天能卖出100瓶果汁。
那么两天能够卖出多少瓶果汁？解法：我们可以利用商不变的规律来解决这个问题。
四年级上册数学商不变的规律
四年级上册数学商不变的规律数学是一个广阔的领域，商不变的规律是数学中非常重要的一个概念。
商不变的规律是指在一个乘法算式中，如果被乘数和乘数的乘积不变，那么被除数和除数的商也不变。
商不变的规律在数学中有很多应用，特别是在代数、几何和实际问题中。
它是数学中一个非常重要的基本概念，可以帮助我们更好地理解数学知识和解决问题。
商不变的规律可以通过具体的例子来理解。
比如，我们可以考虑一个简单的乘法算式：2 × 3 = 6。
在这个算式中，被乘数是2，乘数是3，它们的乘积是6。
如果我们将这个算式改写成一个除法算式：6÷ 3 = 2，我们会发现被除数是6，除数是3，它们的商也是2。
这就是商不变的规律：在一个乘法算式中，如果被乘数和乘数的乘积不变，那么被除数和除数的商也不变。
商不变的规律在解决代数问题时特别有用。
比如，我们可以考虑一个代数方程式：3x = 9。
在这个方程式中，如果我们将3除到等号的另一边，我们会得到x = 3。
这就是因为商不变的规律：等号两边的商不会改变。
这样，我们就可以利用商不变的规律来解代数问题。
商不变的规律也在几何中有重要的应用。
比如，我们可以考虑一个三角形和它的相似三角形。
如果两个三角形是相似的，它们的对应边的比例是相等的。
这就是因为对应边的比例是它们的商，根据商不变的规律，它们的比例是不变的。
商不变的规律还在实际问题中有很多应用。
比如，我们可以考虑一个购物问题：如果一种商品的价格是原来的2倍，但是打了5折，那么最终的价格是多少？我们可以利用商不变的规律来解决这个问题：原来的价格和打折后的价格的商是不变的。
总的来说，商不变的规律是数学中非常重要的一个概念，它有很多应用。
在代数、几何和实际问题中，商不变的规律可以帮助我们更好地理解问题，解决问题。
通过学习和理解商不变的规律，我们可以提高数学的能力，更好地应用数学知识。
希望通过不断的学习和实践，我们可以更好地掌握商不变的规律，更好地解决数学问题。
北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇
北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇《商不变的规律》是义务教育课程标准北师大版四年级数学上册第五单元“除法”中的的内容。
编者意图是在学生学会三位数除以两位数的基础上，引导学生探索、构建“商不变的规律”这一知识模型，下面是小编为大家整理的北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇，希望大家能有所收获!北师大版四年级上册数学商不变的规律教案1教学目标：(1) 知识与技能：能运用商不变的规律口算有关除法。
(2)过程与方法：让学生经历探索的过程，学会并用类比迁移的方法探索新知，通过观察、分析、交流、合作总结被除数和除数同时发生变化，商不变的规律。
培养学生观察、比较、猜想、概括以及发现规律、探索新知的能力。
(3) 情感、态度与价值观：引导学生经历探索过程，体验数学知识的探索性，体验发现乐趣，增强成功体验。
教学重点：(1) 引导学生自己发现规律，掌握规律;(2) 通用简单的语言表述规律;(3) 利用商不变的规律进行简便计算。
教学难点：(1) 引探讨发现规律的过程;(2) 用语言正确表述变化的规律。
学生情况：兴趣是的老师。
而且课标明确指出：“数学学习活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
”四年级的小学生具有好动、好奇的心理特点，喜欢探究新的知识内容。
学生之前已分别掌握了被除数不变，商随除数的变化而变化的情况和除数不变，商随被除数的变化而发生变化的情况。
有了这些认识基础，再利用知识的迁移，他们一定能经过探索，发现并总结规律。
教学方法：根据本课教学内容的特点和学生的思维特点，我选择了引导发现法为主，辅以谈话法、小组合作等方法的优化组合。
充分调动学生各种感官参与学习，发挥学生的主观作用与老师的点拨作用，体现“学生是课堂的主体、教师是课堂的主导”，利用引人入胜的问题情境，生动有趣的故事激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性，引导他们去发现规律、分析规律、解决实际问题、获取知识，从而达到训练思维、培养能力的目的。
商不变规律应用
商不变规律应用商业世界变化万千，但有一些规律是永恒不变的。
了解和应用这些规律可以帮助企业更好地发展和取得成功。
本文将介绍一些常见的商不变规律并探讨如何应用它们。
1. 顾客至上顾客是企业最重要的资源，顾客满意度直接影响企业的长期发展。
因此，企业应始终将顾客放在首位，了解他们的需求和喜好，并通过提供优质的产品和服务来满足顾客的要求。
2. 创新驱动不断创新是企业保持竞争力的关键。
商业世界变化迅速，企业必须不断寻求新的方法和解决方案，以满足市场需求并保持领先地位。
创新可以是产品创新、流程创新或者商业模式创新，企业应注重在各个方面的创新。
3. 效益至上企业的目标是实现长期盈利和可持续发展。
因此，企业应该注重效益，控制成本，提高生产效率，并寻求利润最大化的机会。
同时，企业也应该关注企业社会责任，维护良好的企业形象。
4. 合作共赢商业领域是一个互相依存的系统，企业之间的合作可以实现共赢。
通过与供应商、合作伙伴和其他利益相关者建立良好的合作关系，企业可以共同发展，分享资源和风险，并获得更多的机会。
5. 适应变化商业环境常常充满不确定性和变化，企业应该具备适应能力以应对挑战和机遇。
企业应该保持灵活性，及时调整策略和战略，以适应市场的变化和竞争的压力。
6. 优质品牌品牌是企业的重要资产，可以给企业带来竞争优势。
企业应该注重塑造和维护优质的品牌形象，通过提供高品质的产品和服务来赢得顾客的认可和信任。
结论商不变规律是企业成功的基石。
了解并应用这些规律可以帮助企业在竞争激烈的商业环境中取得成功。
企业应当遵循顾客至上、创新驱动、效益至上、合作共赢、适应变化和塑造优质品牌等规律，并灵活调整策略以适应不断变化的商业环境。
只有通过不断学习和应用这些规律，企业才能在商业竞争中立于不败之地。
商不变和积不变的规律
商不变和积不变的规律积的变化规律有三条：1.一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
2.一个因数扩大（或缩小）多少倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。
3.一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。
积不变的规律在乘法中：一个乘数扩大多少倍，另一个乘数缩小相同的倍数，积不变。
例如：2.3×5=23×0.5商的变化规律有三条：1.被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。
2.被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。
除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
3.除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。
被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
商不变的规律在除法中：被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数（0除外），商不变。
例如：1.8÷0.3=18÷3例题1：根据32×16=512，直接写出下面各式的积。
320×160=（）320×1600=（）32×160=（）1600×160=（）16×8=（）0.32×16=（）答案：320×160=（51200 ）解析：两个因数同时扩大10倍，积扩大10×10=100倍。
320×1600=（512000 ）解析：积扩大10×100=1000倍。
32×160=（ 5120 ）解析：积扩大10倍。
1600×160=（ 256000 ）解析：32扩大50倍，16扩大10倍，积扩大50×10=500倍。
16×8=（ 128）解析：32缩小2倍，16缩小2倍，积缩小2×2=4倍。
0.32×16=（ 5.12 ）解析：32缩小100倍，积缩小100倍。
四年级上商不变的规律
四年级上商不变的规律在我们四年级的数学学习中，有一个非常重要的规律叫做“商不变的规律”。
这个规律就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们更轻松地解决很多数学问题。
那什么是商不变的规律呢？咱们先来举个例子。
比如说，我们有 12 个苹果，要平均分给 3 个人，每个人能得到 4 个苹果，算式就是 12÷3 ＝ 4。
那如果现在有 24 个苹果，平均分给 6 个人，每个人能得到几个苹果呢？算一下，24÷6 ＝ 4。
你看，虽然被除数从 12 变成了 24，除数从 3 变成了 6，但商还是 4，没有变化。
再比如，60÷15 ＝ 4，那 120÷30 呢？答案还是 4。
通过这些例子，我们就能发现商不变的规律啦：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。
为什么 0 要除外呢？这是因为 0 不能做除数呀，如果除数是 0，这个算式就没有意义了。
那商不变的规律有什么用呢？用处可大啦！比如说，我们要计算 700÷25，直接算可能有点麻烦。
但我们可以根据商不变的规律，把被除数和除数同时乘 4，就变成了（700×4）÷（25×4）＝ 2800÷100 ＝ 28，这样是不是就简单多啦？再比如，我们计算 5600÷400，同样可以利用商不变的规律，被除数和除数同时除以 100，变成 56÷4 ＝ 14。
商不变的规律还能帮助我们检验计算的结果是否正确。
比如我们计算 36÷9 ＝ 4，那如果被除数和除数同时乘 2，变成 72÷18，按照商不变的规律，商也应该是4，如果我们算出来不是4，那就说明可能算错啦。
同学们在运用商不变的规律时，一定要注意同时乘或除以相同的数，而且这个数不能是 0。
为了更好地掌握商不变的规律，我们可以多做一些练习题。
比如：1、填空：（1）36÷9 ＝（）÷3 （2）480÷80 ＝（）÷82、简便计算：（1）800÷25 （2）9000÷125通过这些练习，我们就能更加熟练地运用这个规律，提高我们的计算能力和解题速度。
四年级上册数学商不变的规律笔记
四年级上册数学商不变的规律笔记一、概述在四年级的数学学习中，商不变的规律是一个非常重要的概念。
通过商不变的规律，我们可以更好地理解和运用乘法的相关知识，进而在解决实际问题时更加得心应手。
本文将从商不变的概念、规律的应用以及相关练习等方面展开讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分知识。
二、商不变的概念商不变的概念指的是，在一个乘法运算中，无论先算乘法式中的哪两个数，最后得到的积是相同的。
对于乘法式3×4=12，不论先算3×4还是4×3，最终得到的积都是12，这就是商不变的规律。
在实际生活中，商不变的规律也有着广泛的应用。
我们去商场购物时，商品的价格和数量构成了乘法式，而不管我们是先看价格再看数量，还是先看数量再看价格，最终要支付的金额都是相同的，这就符合了商不变的规律。
三、商不变的规律及运用1. 乘法交换律商不变的规律与乘法交换律有着密切的关系。
乘法交换律是指，两个数相乘，交换两数的位置所得的积是相等的。
这也是商不变的规律的一个体现。
对于乘法式2×6=12，根据乘法交换律，也可以写成6×2=12。
而根据商不变的规律，不论是先算2×6还是6×2，最终得到的积都是12。
2. 商的分配律商不变的规律还与商的分配律有着密切的通联。
商的分配律是指，在一个乘法运算中，可以按照加法的性质把一个数分成几部分，然后分别与其他数相乘，最后将这些积相加得到的结果是相同的。
对于乘法式3×（4+2），按照商的分配律，可以得到3×4+3×2=12+6=18。
而根据商不变的规律，无论是先算3×4+3×2还是先算3×（4+2），最终得到的结果都是相同的。
3. 解决实际问题商不变的规律在解决实际问题时也非常有用。
小明去超市买了3斤苹果，每斤苹果6元，那么他一共需要支付多少钱呢？按照商不变的规律，我们可以先算3×6=18，也可以先算6×3=18，最终得到的结果都是18元，这就是商不变的规律在实际问题中的应用。
苏教版数学四年级上册+商不变的规律
商的性质
商的性质包括：商总是非负的，即如 果一个数除以另一个数的结果是负数 ，那么这个结果被称为“负商”，这 在数学中是不合法的。此外，任何非 零数除以自己都等于1，即a÷a=1（ a≠0）。
VS
例如，如果一个数x除以它自己得到 的结果是2，那么这个数是它的平方 根，即x÷x=2，x=√2。
与商不变规律相关的数学定理
在乘法中的应用
总结词
快速得出答案
详细描述
在乘法中，如果两个数的商是一个已知的数，那么可以利用商不变规律快速得 出答案。例如，当两个数相乘时，如果它们的商是10，那么直接将一个数乘以 10就可以得到另一个数。
在乘法中的应用
总结词：验证答案
详细描述：在乘法中，如果两个数的商不是整数，那么可以利用商不变规律来验证答案的正确性例 如，当两个数相乘时，如果它们的商是一个小数，那么可以通过将小数点移动来验证答案的正确性。
列举
总结词：难度有所提升，考 查学生的推理和问题解决能
力。
01
02
03
根据商不变的规律，推导并 证明以下等式：
a÷(b÷c)=(a÷b)÷c。
给出以下等式：a÷b=c，当 a和b同时扩大n倍时，求新
的商是多少？
04
05
思考题：如果一个除法的被 除数扩大10倍，除数缩小10
倍，商会如何变化？
综合练习题
03 总结词
解决实际问题
04
详细描述
利用商不变规律可以帮助我们解 决一些实际问题。例如，在制作 食品时需要按照一定的比例进行 配料，如果能够利用商不变规律 来计算比例关系，就可以保证食 品的质量和口感。
03
商不变规律的证明
通过乘法证明商不变规律
商不变规律的公式
商不变规律的公式在我们的数学世界里，有一个非常神奇且重要的规律，那就是商不变规律。
这规律就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。
先来说说商不变规律的公式到底是啥。
简单来讲，就是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。
这看起来好像挺简单的，可别小瞧它，里面的学问大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我在黑板上写下了一组算式：6 ÷ 2 = 3，然后我问同学们，如果被除数乘以 3，除数也乘以 3，商会怎么样呢？大家都皱着眉头思考，这时候有个调皮的小男孩儿举起手说：“老师，我觉得商会变大！”我笑了笑，让他说说为啥这么想。
他一脸认真地说：“因为乘的数变大了呀！”其他同学听了有的点头，有的则露出疑惑的表情。
我没有直接否定他的想法，而是按照他说的，在黑板上写下了（6×3）÷（2×3）= 18÷6 = 3。
然后我问大家：“你们看，商变了吗？”同学们这才恍然大悟，原来商并没有改变。
咱们再深入地理解一下这个公式。
比如说，80÷20 = 4，如果被除数和除数同时乘以 5，那就变成了（80×5）÷（20×5）= 400÷100 = 4，商依然是 4。
反过来，如果被除数和除数同时除以 10，也就是（80÷10）÷（20÷10）= 8÷2 = 4，商还是不变。
商不变规律在我们解决实际问题的时候，可太有用啦！比如，在计算一些比较复杂的除法运算时，我们可以利用这个规律把被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，让计算变得更简单。
假设我们要计算 3600÷900，如果直接算，可能会觉得有点麻烦。
但是我们根据商不变规律，把被除数和除数同时除以 100，就变成了36÷9 = 4，是不是一下子就简单多啦？再比如说，在比较两个除法算式的大小时，如果商相同，我们就可以利用商不变规律把被除数或者除数转化成相同的数，这样比较起来就容易多了。
商不变规律例子
商不变规律例子以商不变规律为题，列举以下10个例子，说明商业领域中的一些常见规律和现象。
1. 市场需求规律：根据经济学的供需关系，市场上的商品或服务需求量与价格成反比，即价格上升时需求量下降，价格下降时需求量上升。
这个规律在商业中被广泛应用，企业可以通过调整价格来控制市场需求。
2. 品牌溢价规律：知名品牌的产品通常比普通品牌的产品价格高出一定比例，这是因为消费者对品牌的认知和信任度使得他们愿意为品牌付出更高的价格。
这个规律也可以解释为品牌溢价。
3. 消费者心理规律：消费者在购买商品时，通常会受到一些心理因素的影响，比如价格的奇偶性、价格的相对大小、打折优惠等，这些心理规律被商家广泛利用来引导消费者进行购买。
4. 网络效应规律：在某些商业领域中，用户数目的增加会带来更多的用户参与，从而形成网络效应。
比如社交媒体平台，用户数目的增加会吸引更多的用户加入，进一步增加平台的价值。
5. 波动周期规律：在金融市场中，股票、商品等资产价格会出现周期性的波动，这是由于市场供求关系、投资者情绪等因素的影响。
投资者可以利用这个规律进行交易策略的制定。
6. 消费者购买决策规律：消费者在购买商品时通常会经过一系列的决策过程，包括需求识别、信息搜索、评估和选择等。
商家可以通过了解并满足消费者的购买决策规律来提高销售额。
7. 季节性需求规律：某些商品或服务的需求量会随着季节的变化出现周期性的波动，比如冬季的暖气设备、夏季的冰淇淋等。
商家可以根据这个规律进行季节性促销活动，提高销售量。
8. 价格弹性规律：不同商品对价格变化的敏感程度不同，即价格弹性不同。
一般来说，生活必需品的价格弹性较小，而奢侈品的价格弹性较大。
商家可以根据商品的价格弹性来制定定价策略。
9. 成本效益规律：企业在生产过程中通常会面临成本和效益之间的权衡。
在一定范围内，成本的增加会带来效益的增加，但超过一定程度后，成本的增加可能会导致效益的减少。
商家需要在成本和效益之间寻找平衡点。
运用“商不变的规律”巧解数学问题
运用“商不变的规律”巧解数学问题□王凤菊小朋友，你知道商不变的规律吗？运用这个规律，可以解决以下问题：被除数和除数同时变，且变化相同，商的变化；被除数和除数同时变，且变化相同，余数的变化；被除数和除数仅一方变，商的变化；被除数和除数同时变，且变化不同，商的变化。
在学习时，你要注意掌握一些运算技巧和解决问题的策略方法，发展思维，提高计算能力、分析能力和解决问题的能力。
我是这样解的16406404024240竖式1一、被除数和除数同时变，且变化相同时，商的变化例1.计算：640÷40。
利用“商不变的规律”，可以简化整十、整百的数除以整十数的计算。
把被除数和除数同时除以10，商不变（如竖式1）。
例2计算：240÷5。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成10来计算。
因为除数是5，把被除数和除数同时乘2，商不变。
240÷5＝（240×2）÷（5×2）＝480÷10＝48例3.计算：300÷25。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成100来计算。
因为除数是25，把被除数和除数同时乘4，商不变。
300÷25＝（300×4）÷（25×4）＝1200÷100＝12例4.计算：750÷125。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成1000来计算。
因为除数是125，把被除数和除数同时乘8，商不变。
750÷125＝（750×8）÷（125×8）＝6000÷1000＝6我是这样解的我是这样解的二、被除数和除数同时变，且变化相同时，余数的变化例5.计算：650÷40。
利用“商不变的规律”，计算过程中，被除数和除数的末尾同时划掉一个0（如竖式2），也就是同时除以10，商不变，但余数发生变化。
商不变的规律
1、 除数不变，被除数乘几或除以几 ，商也乘几或除以几。
2、 被除数不变，除数乘几或除以几（0除
外）， 商就除以几或乘几。
二、探究新知
先从上往下观察，再从下 往上观察，你发现了什么？ （3）计算并观察下面的题。
6 60 600 ÷ ÷ ÷ ÷ 3 30 300 ＝ ＝ ＝ ＝
被除数 除 商 数
14 2
140 20
280 40
560 80
5600 800
通过今天的学习， 你有哪些收获？ 快告诉大家吧！
四、布置作业
作业：第89页练习十七，第1题、第4题。 第90页练习十七，第5题。
（36×4）÷（12 ÷ 4）………………… （ × （36×6）÷（12 ÷ 6）………………… （ × （36＋12）÷（12＋12）……………… （ × （36×5）÷（12×5）………………… （ √ （36 ÷ 2）÷（12 ÷2）……………… （ √
） ） ） ） ）
4、 填一填。
（1）在除法里，除数乘8，被除数乘8，商（不变 ），被除 数除以70，除数除以70，商（ 不变 ）。 （2）在除法里，被除数不变，除数乘20，商（除以20）， 除数除以12，商（乘12 ） （3）在除法里，被除数和除数同时乘15，商（ 不变 ）。 （4）如果被除数和除数都扩大100倍，那么商就( 不变 )。
2
2 2 2
6000
3000
被除数和除数都乘或除以一个 相同的数（0除外），商不变 。
二、探究新知
通过观察上组题，我们有了这个 发现，你能举例验证这发现吗？
被除数和除数都乘或除以一个相同的数 （0除外），商不变。
×7 20 140 ÷7 ÷ ÷ ×7 10 ＝2 ÷7 70 ＝2
《商不变的规律》ppt
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
商不变规律ppt
商不变规律是数学教育中一个 重要的知识点，是学生学习除 法运算的基础。
商不变规律的应用场景
在解决实际问题的过程中，如工 程、经济、科技等领域，常常需 要使用商不变规律来简化计算过
程。
在数学题目的解答中，商不变规 律也经常被用来简化复杂的除法
运算。
在学习其他数学知识点时，如乘 法分配律、分数的约分等，商不
变规律也是重要的基础。
02
商不变规律的证明
证明的思路
引入商不变规律的概念
商不变规律是指在除法运算中，如果被除数和除数同时扩 大或缩小相同的倍数，商保持不变。
确定证明方法
为了证明商不变规律，可以采用举例法和演绎推理相结合 的方法。首先通过具体的例子来直观理解规律，然后运用 数学推导来证明其正确性。
被除数和除数都不能为0，否则不符 合数学的基本定义和规则。
商不变规律的推广
指数法则
在高等数学中，商不变规律可以 推广为指数法则，即当底数相同 时，指数相加或相减保持不变。
矩阵运算
在矩阵运算中，当两个矩阵同时 进行相似变换时，它们的行列式 值保持不变，这也与商不变规律
有一定的联系。
分式运算
在分式运算中，如果两个分数的 分子和分母同时扩大或缩小相同 的倍数，分数值保持不变，这也
符合商不变规律的原理。
04
商不变规律的应用
在数学中的应用
简化计算
商不变规律可以用于简化计算，例如在除法中，如果被除数和除 数同时乘以或除以同一个非零数，商不变。
解决数学问题
商不变规律是数学中解决一些问题的重要工具，例如在分数的加减 法中，可以通过商不变规律进行分母的通分。
数学证明
商不变规律在数学证明中也有广泛应用，例如在证明一些等式或不 等式时，可以利用商不变规律进行推导。
使用商不变的规律
通过商不变规律，我们可以简化分数的加减法运算， 提高计算效率。
与比例关系综合运用
01
比例关系中，两组数的比值是 相等的，而商不变规律可以确 保在运算过程中比值保持不变 。
02
通过综合运用商不变规律和比 例关系，我们可以解决复杂的 比例问题，如比例分配、比例 缩放等。
03
在解决比例问题时，商不变规 律可以帮助我们快速找到等价 的比例表达式，从而简化问题 求解过程。
04
数学表达式与符号
数学表达式
如果被除数为a，除数为b，商为c，则有 a ÷ b = c。根据商不变规律，有 (a × k) ÷ (b × k) = c 或 (a ÷ k) ÷ (b ÷ k) = c，其中k为非零数。
符号
在数学表达式中，通常使用字母来表示未知数或变量，如a、b、c等。同时，使 用÷表示除法运算，×表示乘法运算。
05 总结归纳与拓展延伸
关键知识点回顾总结
商不变的规律定义
在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。
商不变的规律应用
利用商不变的规律，可以进行简便运算，解决一些实际问 题。
注意事项
在应用商不变的规律时，需要注意被除数和除数必须同时 扩大或缩小相同的倍数，且倍数不能为0。
拓展延伸：探索更广泛应用领域
在数学领域
商不变的规律不仅适用于整数除法，还可以推广到小数除法、分数除法等更广泛的数学领域中。
在实际生活中的应用
利用商不变的规律，可以解决一些实际问题，如分配问题、比例问题等。通过灵活运用商不变的 规律，可以提高解决问题的效率。
在其他学科中的应用
商不变的规律还可以应用到其他学科中，如物理、化学等。在这些学科中，可以利用商不变的规 律进行一些计算和分析。
商不变的规律
商不变的规律及扩展一、被除数与商的关系。
【图1】①被除数扩大6÷2=360÷2=30600÷2=300【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)扩大多少倍，商(也扩大)相同的倍数。
②被除数缩小600÷2=30060÷2=306÷2=3【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)缩小多少倍，商(也缩小)相同的倍数。
【强调】:不能扩大或缩小零倍。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，除数不变，被除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商也扩大(或缩小)相同的倍数。
【结论】:商与被除数同向变化。
二、除数与商的关系①除数扩大800÷2=400800÷20=40800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)扩大多少倍，商(反而缩小)相同的倍数。
②除数缩小800÷200=4800÷20=40800÷2=400【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)缩小多少倍，商(反而扩大)相同的倍数。
【强调】:0除外。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，被除数不变，除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商反而缩小(或扩大)相同的倍数。
【结论】:商与被除数反向变化。
三、商不变的规律①同时扩大8÷2=480÷20=4800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大)多少倍(0除外)，商(不变)。
②同时缩小800÷200=480÷20=48÷2=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
③商不变的规律【总结】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大或缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
【结论】:被除数与除数【同向变化】——商不变。
四、商不变的应用1，【图2】填空。
2，如果A÷B=12，下面各式应该是多少？【图3】3，①、填空。
积商变与不变的规律
积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。
积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。
一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。
除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。
7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。
4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。
9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（）。
10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。
11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。
12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。
13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。
14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。
商变化的规律和商不变的规律经典题
商变化的规律和商不变的规律经典题商变化的规律和商不变的规律，这话说起来可有意思了。
先说说商变化的规律。
简单来说，就是当你把一个数去除以另一个数的时候，商是会随着被除数和除数的变化而变化的。
比如说，你吃西瓜，一刀切下去，西瓜就变成了好几块。
这就好比商的变化，西瓜的大小不同，块数就不同。
这种变化就像小朋友的调皮捣蛋，一会儿乖乖地坐着，一会儿又跑来跑去，让人应接不暇。
再说说商不变的规律。
这就有点意思了，假设你有一大块蛋糕，无论你怎么切，只要你用的刀还是那把，切的方式没变，蛋糕的整体就还是那个蛋糕。
这就是商不变的意思。
简单点说，商不变就像是你一边吃蛋糕一边喝可乐，虽然蛋糕在减少，可乐却一直陪伴着你，这种感觉简直是太爽了。
生活中也常常能见到这种情况，就像朋友聚会，虽然时间在变，但那份开心的心情永远都在。
这些数学概念就像小孩子的玩具，变来变去，真是让人哭笑不得。
大家都知道，数与数之间的关系不是一成不变的，就像我们每个人的心情一样，有时高兴得像小鸟，有时又像被雨淋湿的小猫。
举个简单的例子，你买了一大包糖，里面有各种各样的糖果。
当你分享给朋友的时候，糖的数量在变化，但大家的笑声是不会变的。
这就让我想到了分享的乐趣。
数学虽然严肃，但有时候也可以是很欢乐的。
如果我们来具体分析一下商变化的情况，拿一场足球赛来比喻。
在比赛中，球队的得分就像被除数，时间就像除数。
随着时间的推移，比分在变化，观众的心情也是起伏不定。
有时候一球进了，观众们欢呼雀跃，仿佛要飞起来一样；有时候被对手进球，心情瞬间跌入谷底。
正因为这变化，比赛才充满了悬念，就像数学题的答案也常常让人意想不到。
而商不变的情况就像我们的梦想。
大家都希望能实现自己的理想，虽然实现的过程会有很多变化，但最终的目标却始终未变。
就像你每天努力学习，不管遇到多少挫折，只要心中有那个梦想，商就不会变。
这种坚持和努力，真的是人生的一部分，让我们的人生更加丰富多彩。
有趣的是，商的变化和不变之间的关系就像生活中的许多事情，充满了矛盾却又和谐。
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（√ ） （ ）
（√ ） （ √）
下面是淘气计算“ 下面是淘气计算“400÷25”的过 ÷ 的过 仔细观察计算的每一步， 程，仔细观察计算的每一步，你受到 什么启发？ 什么启发？ 400÷25 ÷ =（400 × 4）÷（25 × 4） （ ） ） =1600 ÷100 =16
你能用这个方法计 算下面各题吗？ 算下面各题吗？ 150÷25 ÷ =(150 ×4 )÷(25 ×4) ÷ =600 ÷100 =6
B、
540÷90=（540÷1）÷（90×1） ÷ （ ÷ ） × ） 是运用了商不变性质。 是运用了商不变性质。 （× ）
选择： 选择：
1、 两个数相除的商是 ，如果被除数和除数都乘以 、 两个数相除的商是20， 8，那么商是（ B ） ，那么商是（ A、160 B、20 C、16 D、200 、 、 、 、 2、 被除数缩小 倍，要使商仍是 ，除数应该（ A ） 、 被除数缩小5倍 要使商仍是80，除数应该（ A、缩小 倍 B、乘以 、缩小5倍 、乘以5 C、扩大 倍 D、减少 、扩大5倍 、减少5 3、 a÷c=（ C ） 、 ÷ （ A、（ ÷b）÷（c÷b） 、（a÷ ） 、（ ÷ ） B、（ ×b）÷（c÷b） 、（a× ） 、（ ÷ ） C、（ ×b）÷（c×b）（ 、（a× ） ）（b≠0） 、（ × ）（ ）
判断，对的在括号里打√，错的打× （1）如果被除数和除数同时扩大或缩小 相同的倍数，商不变。 （ × ） （2）如果被除数和除数同时扩大8倍， 商也扩大8倍。 （ × ） （3）甲数除以乙数商是7，如果甲乙 两数都扩大100倍，商是700。 （ × ）
对！数字变了，但桃 数字变了， 子个数与小猴只数之间的 倍数关系没有变。 倍数关系没有变。我们可 不能被表面现象所迷惑， 不能被表面现象所迷惑， 要透过现象看本质。 要透过现象看本质。
（1）800÷25＝（800×4）÷（25×4） （2）48÷24＝（48÷4）÷（24÷2） （3）32800÷400＝328÷4 （4）30×4＝（30÷2）×（4÷2）
用简便方法计算下面各题。
（1）2400÷50 （2）13000÷125 （3）210÷5
（4）1100÷25 （5）1500÷20 （6）200 × 25
“花果山风景秀丽，鸟语花香。 花果山风景秀丽，鸟语花香。 花果山风景秀丽 桃树上挂满了桃子，桃树下坐着一 桃树上挂满了桃子， 群猴子，它们在等猴王来分桃子。 群猴子，它们在等猴王来分桃子。 猴王准时来到。猴王说： 给你6个 猴王准时来到。猴王说：‘给你 个 桃子，平均分给3只小猴吧 只小猴吧。 桃子，平均分给 只小猴吧。’小猴 子听了，连连摇头： 太少了， 子听了，连连摇头：‘太少了，太 少了！’猴王就说：‘那好吧，给 少了！ 猴王就说： 那好吧， 个桃子， 只小猴， 你60个桃子，平均分给 只小猴， 个桃子 平均分给30只小猴 怎么样？ 小猴子得寸进尺， 怎么样？’小猴子得寸进尺，挠挠 头皮，试探地说： 大王， 头皮，试探地说：‘大王，请您开 开恩，再多给点行不行啊？ 开恩，再多给点行不行啊？’猴王 一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子： 一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子： 那好吧，给你600个桃，平均分 个桃， ‘那好吧，给你 个桃 个小猴， 给300个小猴，你总该满意了 个小猴 ？！’这时，小猴子笑了， 吧？！’这时，小猴子笑了，猴王 也笑了。 也笑了。
打“√”，不相等的打“×” ” 不相等的打“
1、 、 2、 、 3、 、 4、 、 5、 、 （450÷3）÷（15÷3） ÷ ） ÷ ） （450÷3）÷（15×3） ÷ ） × ） （450＋3）÷（15＋3） ＋ ） ＋ ） （450×3）÷（15×3） × ） × ） （450－3） （ √ ） （× ）
同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？ 同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？ 第一次：6 第二次：60 第三次：600 3 30 300
小猴子的笑是聪明的一笑， 小猴子的笑是聪明的一笑，因为越来越 多的小猴子分到桃子了。 多的小猴子分到桃子了。
猴王的笑是聪明的一笑。因为猴王利用商 猴王的笑是聪明的一笑。 不变的规律把小猴子给骗了， 不变的规律把小猴子给骗了，每只小猴子 还是分的2个桃子 个桃子。 还是分的 个桃子。
80÷20＝4 ÷ ＝
）＝4 （80×100）÷（20×100）＝ × ） × ）＝
小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4 ） ）＝
小刚
）＝4 （80×0）÷（20×0）＝ × ） × ）＝
小红
）＝4 （80×0）÷（20×0）＝ × ） × ）＝
讨论：看看小红说 讨论： 的这个算式是等于 4吗？ 吗 不等于4。 不等于4
那么， 那么，我们刚才总 结的规律应该有什么补 充？
被除数和除数同时扩大或缩小 相同的倍数（ 除外 除外） 商不变。 相同的倍数（0除外），商不变。
下列各题怎样算简便就怎样算
4000÷125
5400÷300 600÷25 6300÷210
判断
A、哪些算式与“450÷15”相等（相等的 、哪些算式与“ ÷ 相等 相等（