人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
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高中数学必修 5 解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5 分，共 60 分〕1．在 VABC 中， AB 3, A 45 , C 75 ，那么 BC=A ．33B ．2 C ．2D ．332．以下关于正弦定理的表达或变形中错误 的是．．A ．在 VABC 中 ,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ． VABC 中 ,a=bsin2A=sin2B a =b+cC ． VABC 中,sinAsinB+sinCD ． VABC 中 , 正弦值较大的角所对的边也较大sin Acos B B 的值为 3． VABC 中 , 假设 a,那么bA ．30B ． 45C ． 60D ． 90ab c，那么 VABC 是4． 在VABC 中，假设 =cosCcosA cosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当 a=4,b=5,A= 30 时，三角形有一解。
B ．当 a=5,b=4,A= 60 时，三角形有两解。
（ A 〕（ B 〕（ B 〕〔 B 〕D ．等腰直角三角形（ D 〕C ．当 a= 3 ,b= 2 ,B= 120 时，三角形有一解。
D ．当 a=3 6 ,A= 60 时，三角形有一解。
2 ,b=26． ABC 中 ,a=1,b=3 , ∠A=30 °,那么∠ B 等于〔 B 〕A ． 60°B ． 60°或 120°C ． 30°或 150°D ． 120°7 ． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔D〕A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 °C ． a=1,b=2, ∠ A=100 °D ． b=c=1, ∠ B=45 °8 ． 假设 (a+b+c)(b+c－a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC是 〔B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， A=,a= 3 ,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3 －1(D)3uur10 ． 〔 2021 重庆理〕设ABC 的 三 个 内 角 A, B, C ， 向 量 m( 3 sin A,sin B) ，ruur r1 cos( AB) ，那么 C =〔n (cos B,3 cos A) ，假设 m gn C 〕A ．B ．2 5C ．D ．66 3 311．等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍，那么顶角 A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ． 3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图： D,C,B 三点在地面同素来线上 ,DC=a, 从 C,D 两点测得A 点仰角分别是β ,α (α <β ),那么 A 点离地面的高度 AB 等于〔 A 〕Aa sin sina sin sin A ．) B ．)sin(cos(a sin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBDC题号 123 4567891011 12答案二、填空题：〔每题 5 分，共 20 分〕13．a2 ，那么a b c _______2_______sin Asin Bsin A sin C14．在ABC 1 (a 2+b 2－ c 2),那么角∠ C=______.中，假设 S ABC =4415．〔广东 2021 理〕点 A, B, C 是圆 O 上的点， 且AB 4, ACB450 ，那么圆 O 的面积等于8．rrr rr r 16． a2, b4, a 与b 的夹角为3，以 a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 2 3 ________三、解答题：〔 17 题 10 分，其余小题均为 12 分〕17． 在ABC 中 ， c 2 ,b2 3 , B 450 ，解三角形 ABC 。
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题有答案
高二周末测试（一）第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一 选择题：（本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分。
在每题的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1. 已知△ ABC 中， A 30o ， C 105o ， b 8 ，则等于 （）A 4B4 2C4 3D4 52. △ ABC 中， B 45o， C 60o，c1，则最短边的边长等于（）6613A3B2C 2D23. 长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( ) A 90 ° B 120 ° C 135° D 150°ab c4. △ABC 中， cos Acos BcosC ，则△ ABC 必定是（）A 直角三角形B钝角三角形 C等腰三角形D 等边三角形5. △ABC 中，B 60o ， b 2ac，则△ ABC 必定是（）A 锐角三角形B 钝角三角形 C等腰三角形D等边三角形6. △ ABC 中，∠ A=60°, a= 6 , b=4,那么知足条件的△ ABC ( )A 有 一个解B有两个解C无解D不可以确立7.△ABC 中， b8 ， c8 3 ，SV ABC16 3 ，则A 等于 （）A 30oB60oC30o 或 150oD60o 或 120oa b c8.△ ABC 中，若 A 60o， a 3 ，则 sin Asin B sin C 等于（）13A 2B 2C 3D 29. △ABC 中， A :B 1: 2，C 的均分线 CD 把三角形面积分红 3: 2 两部分，则 cosA （）A1B1 C3 D32410. 假如把直角三角形的三边都增添相同的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增添的长度决定11 在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 米B.米C. 200米D. 200米12海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C岛和 A 岛成75°的视角，则 B、C 间的距离是 ()海里海里 C. 56海里3海里第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.在△ABC中，假如 sin A :sin B :sin C 2:3: 4 ，那么 cosC 等于。
高中数学必修5解三角形测试题及答案
8高中数学必修5解三角形测试题及答案、选择题：(每小题5分，共60分)1 .在 L ABC 中，AB =、3, A = 45 , C = 75，则 BC=D . 3 .3在 LI ABC 中,a:b:c 二sinA:sinB:sinC|_|ABC 中,a=b = si n2A=s in2BLABC中，盒= s^SnCLI ABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大a=、一3 ,b=2 ,B= 120 时，三角形有一解。
B .等边三角形 D .等腰直角三角形D .当 a =[2,b =GA=60时，三角形有一解。
6. A ABC 中,a=1,b=/ A=30 °，则/ B 等于 60° B . 60° 或 120°符合下列条件的30° 或150 ° 形有且D . 120° 有一a=1,b=2 ,c=3 a=1,b= .2，/ A=30 ° C . a=1,b=2, / A=100 ° 若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且b=c=1, / B=45 °sin A=2s in BcosC,ABC(B . ,2 2. F 列关于正弦定理的叙述或变形中 错误的是3. sin A cosBABC 中,若-aB . 304. 在LI ABC 中，若 b 45a,则.B 的值为C . 60 b c —，则L ABC 是D . 90 A .直角三角形 5.下列命题正确的是A .当B .当 cosA cosB cosCB .等边三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形(a=4,b=5,A= 30时，三角形有一解。
a=5,b=4,A= 60时，三角形有两解。
C .当 A .直角三角形 C .等腰三角形317.在厶 ABC 中 ，已知 c 二■ 2,bB = 45°，解三角形 ABCjr .—9.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A 二二,a=. 3 ,b=1,3则 c=( B)(A)1(B)2(C) '.3 — 1(D) .310 . ( 2009 重庆理)设 ABC 的三个内角 A, B, C ,向量 m = (、、3sin A,sin B),n = (cos B, .. 3 cos A)，若 m|_n = 1 cos(A B)，则 C = ( C )二 二2 二 5 二A .B .C .D .6 3 3 611.已知等腰△ ABC 的腰为底的2倍，则顶角 A 」2题号12345678910 11 12答案13.已知—=2，则 -------------- a +b-------------- = _______ 2 ______sin A si nA sin B si n C—1 2 22応14 .在△ ABC 中，若 S A ABC = — (a +b — c ),那么角/ C=_— ________ .4415.(广东2009理)已知点 代B,C 是圆0上的点， 且AB = 4, • ACB = 45°，则圆0的 面积等于—8二.16.已知a =2, b =4, a 与b 的夹角为孑，以a,b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的 两条对角线中较短的一条的长度为 ______ 2 J3 _______ 三、解答题：（17题10分，其余小题均为12分）A 的正切值是12 .如图：D,C,B 三点在地面同一直线上 ，DC=a,从3C,D 两点测得C .a sin _：sin : a sin ： sin : cosC --) a sin ： cos :acos ： sin : cos 程壯)A 点仰角分别是 3,已知 a = 2、. 3, c = . 6 2, B = 45,求 b 及A 。
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题有答案
高二周末测试〔一〕第一卷〔选择题共60分〕一选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.△ABC中，A30o，C105o，b8，那么等于〔〕A4B42C43D 4 52.△ABC中，B45o，C60o，c1，那么最短边的边长等于〔〕6613 3B2C2D23 .长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()A90°B 120°C135°D150°a b c4.△ABC中，cosAcosBcosC，那么△ABC一定是〔〕A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形5.△ABC中，B60o，b2ac，那么△ABC一定是〔〕A 锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形6.△ABC中，∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC()A 有一个解B有两个解C无解D不能确定7 .△ABC中，b8，c83，S VABC163，那么A等于〔〕A30o B60o C30o或150o D60o或120obc8.△ABC中，假设A60o，a3，那么sinAsinB sinC等于〔〕1A2B23D29 .△ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两局部，那么cosA〔〕A1B13D032410.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为〔〕A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定11在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，那么塔高为〔〕12 A.米 B. 米米米13海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B、C间的距离是()海里海里C.56 海里 3 海里第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC等于。
高一必修5解三角形练习题及答案 必修5_新课标人教版
第一章 解三角形一、选择题1．在ABC ∆中，a =,03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ∆中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ）A ； BC D4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中，5=a ，60A =， 15=C ，则此三角形的最大边的长为 ．7．在ABC ∆中，已知3=b ，，30=B ，则=a _ _．8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 上的高为10. 在中，（1）若，则的形状是 .ABC △A A B C 2sin )sin(sin =-+ABC △（2）若的形状是 .三、解答题11. 已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=,c =求ABC ∆的面积. 解:12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：ABC △13．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题有答案
高二周末测试（一）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ）A 4B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 3B 2C 12 D 23.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°4. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5. △ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定7. △ABC 中，8b =，c =，ABCS=A ∠等于 （ ）A 30B 60C 30或150D 60或1208.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12 C 29. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A.3400米 B.33400米 C. 2003米 D. 200米12 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )A.10 海里B.5海里C. 56 海里D.53 海里第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。
必修5解三角形第一单元测试题 (含答案)
数学必修5解三角形单元测试题（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1.在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A. B A > B. B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 2. 在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（ ）A ．3B ．123C ．3或23D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=2，b=4，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（ ）A ．41-B ．41 C ．32-D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392C ．338D ．2396．（2013年高考湖南卷）在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b 若2sin 3,a B b A =则角等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()8,10 C ． ()10,8D ．()10,88.在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°或120° B.60° C. 45° D.120° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60°11. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．15C ． 142D ．15212.（2013年高考陕西卷）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定 二、填空题（每小题5分，满分20分）13.（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=______. 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的 周长是 .15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的 度数等于________.16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=_______．三、解答题（70分）17. (本题满分10分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及三角形面积．18. （本题满分12分）在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.19. （本题满分12分）在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-。
高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)
高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。
高中数学必修五解三角形测试题及答案
高中数学必修五解三角形测试题及答案1.在三角形ABC中，如果C=90度，a=6，B=30度，那么c-b的值是多少？选项：A。
1 B。
-1 C。
2/3 D。
-2/32.如果A是三角形ABC的内角，那么下列函数中一定取正值的是什么？选项：A。
XXX3.在三角形ABC中，角A和角B都是锐角，并且cosA>sinB，那么三角形ABC的形状是什么？选项：A。
直角三角形 B。
锐角三角形 C。
钝角三角形 D。
等腰三角形4.在等腰三角形中，一条腰上的高为3，这条高与底边的夹角为60度，那么底边的长度是多少？选项：A。
2 B。
3 C。
3/2 D。
2/35.在三角形ABC中，如果b=2sinB，那么角A等于多少？选项：A。
30度或60度 B。
45度或60度 C。
120度或60度 D。
30度或150度6.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是多少？选项：A。
90度 B。
120度 C。
135度 D。
150度填空题：1.在直角三角形ABC中，如果C=90度，那么sinAsinB 的最大值是1/4.2.在三角形ABC中，如果a=b+bc+c，那么角A的大小是60度。
3.在三角形ABC中，如果b=2，B=30度，C=135度，那么a的大小是2.4.在三角形ABC中，如果5.在三角形ABC中，如果AB=2(6-2)，C=30度，那么AC+BC的最大值是5.解答题：1.在三角形ABC中，如果acosA+bcosB=ccosC，那么三角形ABC是等腰三角形。
2.在三角形ABC中，证明：b-a/c = c-b/a。
3.在锐角三角形ABC中，证明：XXX>XXX。
4.在三角形ABC中，如果a+c=2b，A-C=π/3，那么sinB 的值是1/2.1.在△ABC中，若 $\log(\sin A) - \log(\cos B) - \log(\sin C) = \log 2$，则△ABC的形状是（）A。
直角三角形 B。
高中必修5解三角形习题与答案
解三角形【知识点】1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b RB =，sin 2cC R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①假设222a b c +=，则90C =； ②假设222a b c +>，则90C <；③假设222a b c +<，则90C >． 【例题讲解】例1. 在△ABC 中，假设B a b sin 2=，则A 等于〔 〕 A 006030或 B 006045或C 0060120或 D 0015030或例2. 在△ABC 中，假设=++=A c bc b a 则,222_________例3 在△ABC 中，假设,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________例4 在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+==则z y x ,,的大小关系是___________________________例5 在△ABC 中，假设ac b =2，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________例6 在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++例7 在△ABC 中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值例8.在锐角△ABC 中，求证：tan tan tan >⋅⋅C B A例9.在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++【课堂练习】1. 在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是〔 〕A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形2 在△ABC 中，假设1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是〔 〕 A 51- B 61- C 71- D 81-3 在△ABC 中，假设,900=C 则三边的比cb a +等于〔 〕A 2cos 2B A + B 2cos 2B A -C 2sin 2B A +D 2sin 2BA -4. 在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则以下各式中正确的选项是〔 〕A sin cos A A >B sin cos B A >C sin cos A B >D sin cos B B >5 在△ABC 中，假设)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=〔 〕A 090 B 060 C 0120 D 01506 在△ABC 中，假设22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是〔 〕 A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形7 在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________8.在△ABC 中，假设,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？9 在△ABC 中，假设=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________10 在锐角△ABC 中，假设2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________11.在△ABC 中，假设0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a12. 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=-求△ABC的面积的最大值13 (c4在△ABC 中，假设()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=+AB 边上的高为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长【课后作业】1. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是〔 〕A 090 B 0120 C 0135 D 01502 在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________3. 在△ABC 中，假设sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________ 4 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于〔 〕A 1:2:3B 3:2:1C 2D 25 在△ABC 中，假设角B 为钝角，则sin sin B A -的值〔 〕 A 大于零 B 小于零 C 等于零 D 不能确定6 在△ABC 中，假设B A 2=，则a 等于〔 〕A A b sin 2B A b cos 2C B b sin 2D B b cos 27 在△ABC 中，假设,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A 090 B 060 C 0135 D 01508. 在△ABC 中，假设,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________〔对或错〕9 假设在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠==则CB A cb a sin sin sin ++++=_______10 假设,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1〔填>或<〕11 在△ABC 中，假设,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________12..在△ABC 中，0120,,ABCA c b a S =>=，求c b ,13 在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-解三角形答案【例题答案】例1. D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150例2.0120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-= 例3.直角三角形21(1cos 21cos 2)cos ()1,2A B A B +++++= Cos2A+cos2B+cos2(A+B)+1=0Cos2A+cos2B+cos2Acos2B-sin2Asin2B+1=0 (cos2A+1)(cos2B+1〕=sin2Asin2B cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)=0cosAcosBcos(A+B)=0,所以cosAcosBcosC=0例4. z y x << ,,sin cos ,sin cos ,22A B A B A B B A y z ππ+<<-<<<,sin sin sin ,,c a b C A B x y x y z <+<+<<< 例5. 1 22,sin sin sin ,b ac B A C ==B B C A 2cos cos )cos(++-2cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B =+++-cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++-cos cos sin sin cos 1A C A C B =-++cos()cos 11A C B =+++=例6. 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++例7.解：839sin ,8/5cosB 432B sin ,2cos 2sin 42cos 3,sin 2)2-3sin()232sin(,sin 2sin sinA 2,23232A =====+-=+=+-=-=B B B B B B B BC b c a BC B ，可得展开，整理得得由，由题可得：ππππ例8.证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B CA B C A B C A B C>>∴1tan tan tan >⋅⋅C B A得证带入等式由例,sin sin A sin )sin(sin A sin sin cos cos sin sin sin )cos 1(sin )cos 1(sin 2cos 2sin 2cos 42cos 2sin 2cos 42cos 2cos 2cos 4,2sin 2cos 2cos 2sin )22sin()2cos(2cos.922C B B A B B A B A B A A B B A A B B B A A C B A B A B A B A B A C ++=+++=+++=+++=+=+=+=--=π【课堂练习答案】 1.C cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>2. C 2222cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7B =- 3. Bsin sin sin sin sin a b A BA B c C++==+ B,2A 4)4cos(2cos sin 代入，可得，又BA B A +=-=+=ππ4. D 090A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==，0045,A <<sin cos A A <，04590,sin cos B B B <<>5 C 2222221,,cos ,1202a cb bc b c a bc A A -=++-=-=-=6 B22sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B AA AB B A B B A B⋅=== sin 2sin 2,2222A B A B A B π==+=或 7. 4,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC ABB AC B A C+===+AC BC + 4)26c )sin()26(]sin )32([cos )]3cos([sin 2)]65sin([sin 2)sin (sin 2=+=++=++=-+=-+=+（所以，最大值ϕππA c A A c A A c A A c B A c8.解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=。
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。
高中数学必修5第一章--解三角形检测题及答案汇编
学习-----好资料第一章解三角形则A ，C 两地的距离为（aAcos — 2 bBcos2 c Ccos2等于（\3 : 2，贝U sin A : sin B : sin C =(C . 1 : 2 :5. 如果△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于厶A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则 （ ）.A. △ A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是锐角三角形B. △ A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是钝角三角形C . △ A 1B 1C 1是钝角三角形，△ A 2B 2C 2是锐角三角形D . △ A 1B 1C 1是锐角三角形，△ A 2B 2C 2是钝角三角形 6. 在厶 ABC 中，a = 2叮'3，b = 2^2，/ B = 45 ° 则/ A 为（ ）.A . 30 或 150 °B . 60 °C . 60。
或 120 °D . 30 °7. 在厶ABC 中，关于x 的方程（1 + x 2）sin A + 2xsin B + （1 — x 2） sin C = 0有两个不等的实、选择题1.已知A , B 两地的距离为10 km , B ,C 两地的距离为20 km ， 现测得/ ABC = 120 °A . 10 km10.3 kmC . 10 5 km10 一 7 kmA •等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形3•三角形三边长为 a ，b ，c ,且满足关系式(a + b + c)( a + b — c) = 3ab ,则c 边的对角A . 15 °45°C . 60°120 °4.在△ ABC 中，三个内角/ A ,Z B ，/ C 所对的边分别为a ， b ，c ，且2 .在△ ABC 中，若 ，则△ABC 是（根，贝U A为（）.A . 锐角B .直角C. 钝角 D.不存在&在厶ABC中，AB = 3, BC=、13,AC= 4,则边AC上的高为( ).A . 3、2B . 33C.3D.3、、3 2229. 在厶ABC中，3 3 3a +b —c 2—c,sin A • sinB= 3，则△ ABC.宀曰/定是（) a + b —c4A . 等边三角形B.等腰三角形C . 直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10. 根据下列条件解三角形：①/ B= 30° a= 14, b= 7;②/ B = 60°a = 10,b = 9.那么，下面判断正确的是（）.A .①只有一解，②也只有一解.B .①有两解，②也有两解.C. ①有两解，②只有一解.D.①只有一解，②有两解.二、填空题11. ______________ 在厶ABC中，a, b分别是/ A和/ B所对的边，若a= 73 , b = 1，/ B = 30 °则Z A的值是_______ .12. _________________________________________________________ 在厶ABC中，已知sin Bsin C= cos2 -，则此三角形是________________________________________ 三角形.213. ___________________________ 已知a, b, c是厶ABC中Z A,Z B,Z C的对边，S是厶ABC的面积.若a = 4, b= 5, S= 5 3，求c的长度.14. A ABC中，a+ b = 10,而cos C是方程2x2—3x—2 = 0的一个根，求△ ABC周长的最小值___________ .15. 在△ ABC 中，Z A, Z B, Z C 的对边分别为a, b, c,且满足sin A : sin B : sin C =2 : 5 : 6.若△ ABC的面积为主竺，则△ ABC的周长为416. 在△ ABC中，Z A最大，Z C最小，且Z A = 2Z C, a+ c= 2b,求此三角形三边之比为________ .此三角形.18•如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为15°向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°建筑物的高 CD 为三、解答题17.在△ ABC 中，已知/ A = 30° a , b 分别为/ A ，/ B 的对边，且a = 4=二\解50米.求此山对于地平面的倾斜角 -学习-----好资料19.在△ ABC 中，/ A，/ B，/ C 的对边分别为a, b, c,若bcos C= (2a —c) cos B, (I )求/ B的大小;(n )若b = .../7 , a+ c = 4,求厶ABC 的面积.20•在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,求证：c sin( A - B) sin C一、选择题 1. D解析：AC 2 = AB 2+ BC 2— 2AB • BCcos Z ABC =102+ 202— 2X 10X 20cos 120 °=700.■I ----AC = 10 . 7 . 2. B解析：由a =b =c 及正弦定理，得 sin A = sin B = sinC ，由2倍角 A cos — B cos—C cos — A B C 2 2 2cos — 2 cos 2 cos — 2的正弦公式得 sin A = sin — = sin —，/ A =Z B =Z C . 2 2 23. C解析：由(a + b + c)( a + b — c) = 3ab , 得 a ? + b ?— c ?= ab .2ab故 C = 60°. 4. D解析：由正弦定理可得 a : b : c = sin A : sin B : sin C = 1 : . 3 : 2. 5. D解析：△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于 0,则厶A 1B 1C 1是锐角三角形.nsin A 2= cosA = sin( — — A|)」sin B 2= cos B = sir(——比), sin C 2= cosC = sin( — — C 1)2那么，A 2+ —2+ C 2 = ―― — ( A 1 + —1 + G)=—，与 A 2 + —2 + C 2= n 矛盾.2 2 所以△ A 2B 2C 2是钝角三角形. 6. C2®： 3 ；•参考答案cos C = 2 2b 「c . n .A 2 = --- A|2得」B Q =」一B 1 ,2 C 2=- — C 12若厶A 2B 2C 2不是钝角三角形，由解析：由L，得sin A=asinB = ____________ 2 = 3,sin A sin B b 2/2 2 而b v a,•••有两解，即/ A = 60°或/ A = 120°.7. A解析：由方程可得(sin A —sin C) x2+ 2xsin B+ sin A + sin C= 0.•/方程有两个不等的实根，2 2 2•4sin B —4( sin A—sin C) > 0.由正弦定理一「= 一匚=—J，代入不等式中得b2—a2+ c2> 0, sin A sin B sinC再由余弦定理，有2ac cos A= b2+ c2—a2> 0.•0vZ A v90°.& B解析：■—r—由余弦定理得cos A= 1，从而sin A = 3，则AC边上的高BD = 3"2 2 29. A解析：3丄 3 3由 a + b c= c2二a3+ b3—c3= (a + b —c) c2= a3+ b3—c2(a + b) = 0= a + b—c(a+ b)( a2+ b2—ab —c2) = 0.a +b > 0,2 2 2二a2+ b2—c2—ab= 0. (1)由余弦定理(1)式可化为2 2 2 2a +b —(a + b —2abcos C) —ab = 0,1得cos C = —, Z C= 60°.2a b c asi n60 bsin60由正弦疋理= = ，得sin A= , sin B =si nA sinB sin 60” c c •sin A・sin B=西呼上=3,c2 4•卑=1, ab= c2. 将ab= c2代入(1)式得，a2+ b2—2ab= 0,即(a —b) 2= 0, a = b. c △ ABC是等边三角形.10. D解析：由正弦定理得sin A=asir|B，①中sin A= 1,②中sin A =葺.分析后可知① b 9有一解，/ A = 90°②有两解，/ A可为锐角或钝角.二、填空题11. 60 或120 °解析：由正弦定理=—计算可得sin A = _3，/ A = 60°或120°sin A sin B 212. 等腰.解析：由已知得2sin Bsin C = 1 + cos A = 1—cos(B+ C),即2sin Bsin C= 1 —( cos Bcos C —sin Bsin C),••• cos(B —C) = 1,得/ B =Z C,•••此三角形是等腰三角形.13. i 21 或.61 .1 J3解：T S= — absin C ,• sin C= —，于是/ C= 60°或/ C = 120°.2 2又c2= a2+ b2—2abcos C,当/C = 60°时，c2= a2+ b2—ab, c = .21 ;当/C = 120°时，c2= a2+ b2+ ab, c= V61 .• c的长度为,21或61 .14. 10+ 5 3 .解析：由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,然后运用函数思想加以处理.•/ 2X2—3x—2 = 0,--X1 2, x? —.2又cos C是方程2x2—3x— 2 = 0的一个根，cos C =—1.2由余弦定理可得c = a + b? —2ab • ( —) = (a + b) —ab,2a + c = 2b ,则 c 2= 100-a(10 — a) = (a -5)2+ 75, 当a = 5时，c 最小，且c = 175 = 5, 此时 a + b + c = 5+ 5 + 5 /3 = 10+ 5 “.； 3 , △ ABC 周长的最小值为 10+ 5 3 .15. 13. 解析：由正弦定理及 sin A : sin B : sin C = 2 : 5 : 6,可得 a : b : c = 2 : 5 设a = 2k , b = 5k , c = 6k (k > 0)，由余弦定理可得 ma 2+b 2-c 24k 2+36k 2 —25k 2 5cos B ===-, 2ab2[2k)( 6k)8sin B = , 1— cos 2 B = —39 .8 1由面积公式S AABC = ac sin B ,得2-• (2k ) • (6k ) •』=,284.k = 1,A ABC 的周长为 2k + 5k + 6k = 13k = 13.:6,于是可 本题也可由三角形面积I(海伦公式)得13k (13k— 2k)(13k— 5k)(13k— 6k)2 2 2 23 .、39 4f - f -3,3923 \ 39即k =—4 4k = 1.a +b +c = 13k = 13.16. 6 : 5 : 4.解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用.由正弦定理得 ？= 泄=色岛 =2cos C ,即cos C = 2 , c si nC sinC 2c由余弦定理 cos C =a 2 +b 2 —c 22ab (a + c)( a — c)+ b 22abcos C =a2c2b( a — c)+ ba + c 2a + c2 a — c)+ -2 2ab2a2 a — c)+2a整理得 2a 2— 5ac + 3c 2 = 0. 解得a = c 或a = 3 c .23 A = 2/C ,「. a = c 不成立，a = c 23 c c a c 2 5^ 2 243 5a :b :c = c : c : c = 6 : 5 : 4.2 4 故此三角形三边之比为 6 : 5 : 4. 三、解答题17. b = 4^3 , c = 8,/ C = 90 ° / B = 60。
高中数学必修五习题第一章解三角形有答案解析
必修五第一章 解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A>B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2 ＋3a 2－2a 22a ·3a ＝＝2a 2＋3a 2－2·2a ·3a °，∴C ＝60°. 因此三角之比为答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．在△ABC 中，已知sin A ＋sin B －sinAsinB ＝sin C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 39．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π311．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 213．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.16．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．19.a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．。
高中数学必修5第一章 解三角形检测题及答案
解三角形第一章一、选择题，＝120°A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC1．已知．则A，C两地的距离为()735kmkm C．1010km A．10 kmB．D10．bac )＝．＝，则△ABC是(2．在△ABC中，若BCAcoscoscos222 B．等边三角形A．等腰三角形D C．直角三角形．等腰直角三角形边的对角c＋b－c)＝3ab，则，3．三角形三边长为a，bc，且满足关系式(a＋b＋c)(a ．等于()D．120°60°A．15°B．45°C．∶＝1∶b∶c，∠ABC中，三个内角∠A，∠BC所对的边分别为a，b，c，且a4．在△3 )．2，则sin A∶sin B∶sin C＝(∶33332D．1∶C．1∶2∶∶A ．∶2∶1 B．2 ∶1 ∶的三个内角的正弦值，则BCABC的三个内角的余弦值分别等于△A5．如果△211212．)(都是锐角三角形和△ABCA．△ABC221211 BAC都是钝角三角形B．△ABC和△221121 C是锐角三角形AABC是钝角三角形，△B．△C212121是钝角三角形是锐角三角形，△CABCD．△AB21212132，∠B＝45°，则∠A为( a＝2＝，b )．中，．在△6ABC2 30°．D120°或60°．C60°．B 150°或30°．A．22有两个不等的实＝0)sin Cxsin )A＋2xsin B＋(1－x7．在△ABC中，关于x的方程(1＋)．根，则A为(D．不存在．锐角A B．直角C．钝角13 )．＝4，AC＝，则边AC上的高为(8．在△ABC中，AB＝3，BC332333 ．． B ． C D．A3222333cba－＋32．)＝·sin B，则△ABC一定是(c9．在△ABC中，＝，sin A c＋ab－4 ．等腰三角形BA．等边三角形．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D那b＝9．B＝60°，a＝10，b10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，＝7；②∠)．么，下面判断正确的是(B．①有两解，②也有两解．A．①只有一解，②也只有一解．D ．①只有一解，②有两解．．①有两解，②只有一解．C二、填空题3，则＝30°1a所对的边，若，∠＝B，b＝a11．在△ABC中，，b分别是∠A和∠B ．∠A的值是A2 C＝cos__________三角形．，则此三角形是．在△12ABC中，已知sin Bsin 2 ，aABC的面积．若＝4中∠A，∠B，∠C的对边，S是△b13．已知a，，c是△ABC3 ．，求cb ＝5，S＝的长度52周长的ABC＝0的一个根，求△－3x－2C中，14．△ABCa＋b＝10，而cos 是方程2x ．最小值C∶sin A∶sin Bb，∠C的对边分别为a，，c，且满足sin A15．在△ABC中，∠，∠B339，则△ABC的周长为．若△ABC ________________的面积为．∶＝2∶56416．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．三、解答题3b＝a＝4，解，，ab分别为∠A，∠B的对边，且＝．在△17ABC中，已知∠A30°3此三角形．对于山坡的18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C为CD，建筑物的高，又从点，向山顶前进斜度为15°100米后到达点BB测得斜度为45°? 50．米．求此山对于地平面的倾斜角)(第题18，cos Bc(2a－)bCB，∠的对边分别为a，b，c，若cos C＝A19．在△ABC中，∠，∠的大小；求∠B(Ⅰ)7，a＋c＝4若Ⅱ)b，求△＝ABC的面积．(22)?B(sinAba?20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝．2csinC参考答案一、选择题D．1222ABCBCcosBC∠－2AB解析：ACAB＝·＋22 10×＋2020cos 120°－2＝10×＝700．7 10．AC＝B ．2bacCsinsinABsin＝及正弦定理，得解析：由，由＝2倍角＝＝CBACABcoscoscoscoscoscos222222CBA ＝∠B＝∠C．的正弦公式得＝＝，∠Asinsinsin222C3．ab，c)＝3)(解析：由(a＋b＋ca＋b－222．＝c得a＋bab－222c?b?a1 ＝．cos C＝∴ab22 60°．故C＝D4．3∶2∶．sin B∶C＝1 解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin5．D解析：△ABC的三个内角的余弦值均大于0，则△ABC是锐角三角形．111111ππ??sinA＝cosA ＝sin(－A)A＝－A??1211222??ππ??sinB＝cosB＝sin(－B)B＝－B，，得BAC 不是钝角三角形，由若△??2221121222??ππ??－＝C－C)C＝sinCcosC＝sin(11212??22??π3π－(A ＋B＋C)＝，与A＋B＋C＝π矛盾．＝C＋＋A那么，B22121222122所以△ABC是钝角三角形．222C．6．2?23Babasin3 2 ＝＝＝解析：由，A＝，得sin 2bsinsinBA22 ，b＜a而．A＝120°∴有两解，即∠A＝60°或∠A．72＝0．sin B＋sin A＋(sin A－sin C)xC＋2xsin 解析：由方程可得∵方程有两个不等的实根，222＞0－sin．∴4sinC B－4(sin) Acab222＞a由正弦定理0＋c＝＝，代入不等式中得b，－CBsinsinAsin2220－a．cos 再由余弦定理，有2acA＝b＞＋c 90°．∴0＜∠A＜B8．3331＝．ACA＝边上的高BD，从而sin A＝，则解析：由余弦定理得cos 222A 9．333cba－＋23232333(a＋b解析：由＝ca)＋bc－c＝(a＋b－c)0a＝＋b－c???c－＋ba222)＝0c．＋b －aba(＋b)(a－∵a＋b＞0，222－ab＝0．a＋b －c (1) ∴由余弦定理(1)式可化为2222－2abcos C)－(－aab＋b＝0a，＋b1，∠C＝60°．得cos C＝2?60bbasin60?sinac BA＝，sin ＝，由正弦定理＝＝，得sinAsincBsinc?sin602)?sin60ab(3∴sin A·sin B＝＝，24cab22222＝0，a＝b)－(0abb式得，1cab＝，＝∴1abc．将＝代入()a＋－2＝，即ab．2c 是等边三角形．ABC△．D10．35Basin．分析后可知①，①中sin A＝1，②中解析：由正弦定理得sin A＝sin A＝9b ；②有两解，∠有一解，∠A＝90°A可为锐角或钝角．二、填空题11．60°或120°．ba3 ＝，∠A60°或120°＝解析：由正弦定理计算可得sin A．＝BAsinsin2 ．等腰．12 C)，(1解析：由已知得2sin Bsin C＝＋cos A＝1－cosB＋Ccos 2sin 即Bsin C＝1－(BcosC－sin Bsin )，∴cos(B，C1＝，得∠B＝∠－C)此三角形是等腰三角形．∴61 13．．或2131 ＝120°．，于是∠＝C＝60°或∠C解：∵S＝Csin abC，∴sin 22222 2abcos 又ca＝C＋b，－222＝c，＝ac＋b；－ab时，当∠C＝60°2122261 ．a＝＋bab＋，c当∠C＝120°时，c＝61 的长度为．或∴c213．510＋14．222－2abcos a＝C＋b，然后运用函数思想加以处理．解析：由余弦定理可得c2－3x－2x＝0，∵21．＝－，x＝2x∴2122－3x－2＝C是方程2x0的一个根，又cos 1．C＝－∴cos 212222－2abbc由余弦定理可得，)＋()＝ab－ab ＝a＋·(－2．22－5)a，＋75a(10－a)＝则c(＝100－375 ＝c，＝5当a＝5时，c最小，且33 ＋c＝5＋5＋5510＝＋，此时a＋b3 5．∴△ABC周长的最小值为10＋．15．13，于是可5∶65∶6，可得a∶b∶c＝2∶C解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin ＝2∶kkkk＝5＝，c6)(，由余弦定理可得＞设a＝20，b222222k－4k25＋36k c＋ab－5 ，cos B＝＝＝)k2(2k)(6ab28392B1cos－＝B＝．∴sin 81 BS＝，得ac sin 由面积公式ABC△2393391kk，2·)·(6)＝·(842kkkkk．＋6＝＝13∴，△＝1ABC的周长为213＋5393k13kk1313k13＝得，(海伦公式)本题也可由三角形面积－－－))(k2k)(6(5k422223933932kk即1．＝，∴＝44k＝13．b＋c＝13a ∴＋16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用．sin2CaAasin＝＝＝2cos C，即cos C＝，由正弦定理得csinC2csinC2222b ＋－c)＋(ac)(a＋ba－c由余弦定理cos C＝＝．2ab2ab∵a＋c＝2b，a＋ca＋c2?(a－c)＋)a2b(－c＋b22＝cos C＝∴，2ab2aa＋c＋)ca2(－a 2 ．＝∴a2c2．22 0c．＝整理得2aac－5＋33 ca＝．解得a＝c或23＝a＝c不成立，，∴c ∵∠A＝2∠C a23c?c5a?c2＝，∴b＝＝c24253 ∶4．c∶∶c＝6∶∴a∶b∶c＝5c24 4．∶故此三角形三边之比为65∶三、解答题33 ．＝120°＝4，∠C＝30°，∠＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝B4，17．b＝c4c，3344ba3 ＝．4解：由正弦定理知sin B＝＝＝，b??Asin2Bsin?sinsin30B30°＝120°或∠CB＝60°或∠B ＝c∠C＝90°c＝8或＝4．∠???中利用正弦定理求出＝ABC，这样可在△18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD????角．；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出BC100米，＝15°，AB＝解：在△ABC中，∠BAC 30°．45°－15°＝ACB∠＝BC100 根据正弦定理有，＝?15sin30?sin?sin15100)题(第18．∴BC＝?sin30?15100sin??＋，＝＝45°＝中，∵CD50，BC＝，∠CDB90°，∠CBDBCD又在△?30sin?15100sin50?sin30 ．根据正弦定理有＝?)＋(90?sin?45sin????3≈42.94°．＝－1?解得cos，∴∴山对于地平面的倾斜角约为42.94°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，)．(＝sinB＋C＝sin Bcos C＋cos Bsin C2sin ∴Acos B 0，)＝sin A≠又在三角形ABC中，sin(B ＋Cπ1．，B＝，即Acos B＝sin Acos B＝∴2sin 3222222，＋c－－2accos B，∴7＝a＋cac)(Ⅱ∵ba＝7＝1222＋2ac，∴ac＝3，∴S＝，ac又 (a＋c)16＝＝asin ＋cB ABC△21333·＝3．S即＝·ABC△24220．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理．222222－2accos ＋cB；－2bccos Ab得＝解：由余弦定理aa＝b＋c2222－2bccos A＋2＝bac－acos Ba，－b22)＝－2bccos A＋b2accos B，∴2(a －22b－a－bcosA＋acosB＝．2cc由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，22b－a－bcosA＋acosB∴＝2ccsinAcosB－sinBcosA＝sinCsin(A－B)．＝sinC故命题成立．。
数学5(必修)第一章：解三角形练习题B
（数学5必修）第一章：解三角形练习题B[综合训练B 组] 一、选择题1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =， 则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 24．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ， 则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++ 则A = ( )A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01506．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ， 则最大角的余弦是（ ）A ．51-B ．61-C ．71- D ．81-7．在△ABC 中，若tan2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。
2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。
3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。
4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。
必修五解三角形整理+例题+练习+答案
第一章 解三角形一、知识点总结 1．正弦定理:()2,sin sin sin a b cC R R A B ===为三角形外接圆的半径变形：例（1）(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322.余弦定理：例（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值_（3）2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．3.面积公式例（4）△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 4.射影定理（了解）：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA5.三角形中的常用结论：2sin ,2sin ,2sin sin =,sin ,sin 222::sin :sin :sin ++=2sin sin sin sin +sin +sin sin sin sin A B C a b a R A b R B c R C a b cA B C R R R a b c A B Ca b c a b cR A B A B C C C A B c >===⎫⎪⎬==>⇔>>⇔>>⎪⎭====边角互化（大角对大边：）①②③④2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2⎧+-=⎪⎪+-⎪⇒=⎨⎪⎪+-=⎪⎩b c a A bc a c b B ac b a c C ab 111222∆===ABC a b c S ah bh ch 111sin sin sin =2224ABC abc S ab C bc A ac B R ∆===或(1),(+>-<a b c a b c 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）二、常见题型 1、解三角形利用正弦定理：①已知两角和任意一边(AAS 、ASA )，求其他的两边及一角（只有一解） ②已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 利用余弦定理：①已知三边(SSS )求三角（只有一解）②已知两边及夹角(SAS )，求第三边和其他两角（只有一解）③已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 已知“SSA ”利用正弦定理与余弦定理求解的区别：(2)sin sin cos cos ∆>⇔>⇔>⇔<ABC A B a b A B A B在中，(3)222sin()sin ,cos()cos tan()tan ,sin cos ,cos sin ,2222A B CA B C A B C A B C A B C A B C A B A B C C πππ+++=⇒⇒=-+=+=-+=-+=-++==三角形中的诱导公式：，A.32或 3B.32或34C.3或34D. 32、判断三角形形状或求值方法一：确定最大角（只要知道三边的关系，就可以利用余弦定理的推论求出角） 方法二：边化角（统一化成角）方法三：角化边（统一化成边）❖常见的形式：例（6）ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状例 (7) 在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．3、构成三角形三边的问题2222222sin ,2sin ,2sin ,2cos sin sin sin 2sin sin cos a R A b R B c R C a b c bc A A B C B C A====+-⇒=+-⋅①常用公式：222222222sin ,sin ,sin ,222cos ,cos ,cos ,222a b cA B C R R R b c a a c b a b c A B C bc ac ab ===+-+-+-===①常用公式：sin =sin ()(sin sin +22)sin 2=sin 2()()2A B A B k k A B A B A B αβαβπαπβππ⇒=⎫⎪=⇔==-+⎬⇒=+=⎪⎭②常见结论：等腰三角形原理：或等腰三角形或直角三角形2222222222222229090a b c A a b c A a b c b a c c a b>+⇒>=+⇒=⎧<+⎪<+⇒⎨⎪<+⎩②常见结论：(钝角三角形)(直角三角形)锐角三角形cos cos ()()cos cos cos cos ()sin 2sin cos ())()3,sin 2sin cos ()a Ab B a bc A B C b a C A B C a b c b c a bc A B C =====+++-==①等腰三角形或直角三角形②等边三角形③直角三角形④等腰三角形⑤（且等边三角形21,,1()2.a a a a +-【例8】设为钝角三角形的三边，求实数考虑最大角为钝角和两边之和大于取值范围第三边的4、周长面积问题（记得同时利用两个公式：余弦定理和完全平方公式）5、正、余弦定理的综合应用【例11】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tan tan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
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必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
16、（本小题14分）在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。
17、（本小题12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，22sin 3cos ,C C c ==，又△ABC 的面积为2.求： （1）角C 大小（2）a b +的值18．（本小题12分）在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值。
19．（本小题14分）在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+.(1)判断△ABC 的形状；(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。
20．如图所示，平面上有四点A 、B 、Q 、P ，其中A 、B 为定点，且AB =P 、Q PQB 的面积分别为,m n .(1)设30A ∠=,求Q ∠ (2)求22mn+的最大值必修五第一章测试答案二、填空题（每小题5分，共20分）11. 12. 2 13. 1三、解答题（本大题共小题6小题，共80分） 15、（本小题14分）解：由正弦定理得BCBC A AB C 10sin sin == （1）当BC ＝20时，sinC ＝21；AB BC > C A >∴ 30=∴C °（2）当BC ＝3320时， sinC ＝23； AB BC AB <<︒∙45sin C ∴ 有两解 ︒=∴60C 或120°（3）当BC ＝5时，sinC ＝2>1； C ∴不存在16、（本小题14分）解：（1）()[]()21cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120° （2）由题设：⎩⎨⎧=+=322b a ab︒-+=∙-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a10=∴AB 17、（本小题12分） (1)60C= (2)5a b +=18．（本小题12分）解：02322=--x x 21,221-==∴x x 又C cos 是方程02322=--x x 的一个根 21c o s -=∴C 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙-+=2222212 则：()()7551010022+-=--=a a a c当5=a 时，c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a∴△ABC 周长的最小值为3510+19．（本小题14分）解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+ 可得12sin22=C0c o s =∴C 即C ＝90° ∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径 ()c b a r -+=21()1sin sin 21-+=B A212214sin 22-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA ∴内切圆半径的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212,0 20．(1)60Q ∠=(2)7820 本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力 满分14分（Ｉ）解：由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥， ························································1分 即12n n c c -=+（2n ≥） ···············································································································2分 易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列， ···························································3分 通项公式为21n c n =+ ················································································································4分2(321)22n n nS n n ++==+ ··········································································································6分（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则 11(2)2n n d d n -=≥ 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列， ···························································7分 通项公式为112n n d -=··················································································································8分 由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ··························································································································9分 解得1122n na n =++，·················································································································· 10分 3298a ∴=········································································································································· 11分 3332927788b c a ∴=-=-=······································································································· 12分 12n n T a a a =++⋅⋅⋅22111122222nn =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+（）（） ················································································ 13分 21122n n n =-+++ ··················································································································· 14分。