3 不完全信息静态博弈

3 不完全信息静态博弈3.1 简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出独特的优势。

不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的。

如在拍卖商品或工程招投标中。

信息不完全又称为信息不对称，即其他参与人没有特定参与人清楚特定参与人自身的特征。

不完全信息静态博弈就是假定某些参与人具有其他参与人不清楚的某些特征的静态博弈。

但对于参与人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的，因而称这些特征为参与人自己拥有的“私人信息”（private information）。

在博弈论中，习惯地将参与人的“私人信息”集中表现为参与人的支付函数特征，也就是说，参与人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些参与人不清楚另一参与人的支付函数，当然，每个参与人是完全清楚自己的支付函数的。

3.2 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定参与人拥有私人信息的情况下，其他参与人对特定参与人的支付函数类型并不清楚，参与人不知道他在与谁博弈，在1967年前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行分析。

Harsanyi （1967、1968）提出了一种处理不完全信息博弈的方法，即引入一个虚拟的参与人——“自然N ”。

N 首先行动，决定每个参与人的特征。

每个参与人知道自己的特征，但不知道其他参与人特征。

这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然N 的行动选择，第二阶段是除N 外的参与人的静态博弈。

这种转换被称为“Harsanyi 转换”，它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。

参与人拥有的私人信息为他的“类型”，由其支付函数决定，故常将支付函数等同于类型。

用i θ表示参与人i 的一个特定类型，i H 表示参与人i 所有可能类型的集合，即i i H ∈θ，称i H 为参与人i 的类型空间，n i ,,1 =。

不完全信息静态博弈中，参与人的类型存在多种可能，因而与参与人相关的各种概念都随其类型的不同而不同。

参与人的行动空间i A 将随类型i θ而变化，即)(i i i A A θ=。

支付函数也是类型依存的，可将其记为：),,,,,(1i n i i i a a a u u θ = n i ,,1 =。

该式给出的是在其他参与人已选定行动j a ，n j ,,1 =，i j ≠时，参与人选行动)(i i i A a θ∈获得的支付。

显然给定j a 时最大化i u 的i a 与i θ有关，即)(**i i i a a θ=，其中*i a 是给定j a 时最大化i u 的i a 。

用“类型依存”来描述包括最优战略在内的相关概念与类型的对应关系。

对参与人i ，他不知道其他参与人的类型。

当他选择行动)(i i i A a θ∈时，如果给定其他参与人类型与其最优战略j a 的一个对应组合)(*j j a θ，i j ≠，n j ,,1 =，其支付为：)),()(,),()((*1*11*11*1i n n i i i i i i a a a a a u θθθθθ ++--。

假定参与人i 认为其他参与人的类型组合恰好为i -θ的概率为()i i i P θθ-。

记事前的分布密度为),,,(1n i i P θθθ ，称为“先验概率”，即参与人在博弈之前掌握的知识使其对n i θθθ 1的取值可能性判断。

显然，()i i i P θθ-就是一种条件概率的概念，即当参与人i 的类型为i θ时，他认为i -θ取值i θ的概率为()∑--∈----==ii H i i i i i i i i i i P P P P P θθθθθθθθθθ),(),( )(),(这是概率论中著名的贝叶斯公式（Bayes equition ）。

因为i 不知道i -θ，我们这里用von ·Neumann ——Morganstern 效用函数刻画这种不确定下的支付函数，即i 的期望支付为()*((),,)iiii i i i i P u a a θθθθθ----∑显然，最大化上式的i a 就是i 的最优战略*i a ，它与i θ有关，故)(**i i i a a θ=。

当存在一组“类型依存”的最优战略),,,,(***1*n i a a a a =，满足 ),),(()|{maxarg *)(*i i i i i iiA a i a a u P a ii i i θθθθθθ---∈∑-∈ n i ,,1= 则称*a 是一个（纯战略）纳什均衡，也称为贝叶斯纳什均衡（Bayes Nash equilibrium ）。

*a 是类型依存的，即)(**θi i a a =。

为了减少复杂性，假定博弈开始之前各个参与人掌握的关于),,(1n θθ 的分布密度知识是相同的，即概率分布密度),,(1n P θθ 是所有参与人的共同知识。

这被称为Harsanyi 公理。

这一公理表明所有参与人有关自然行动的信念（belief ）是相同的。

贝叶斯纳什均衡（也简称贝叶斯均衡）是完全信息静态博弈纳什均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展。

有时也称不完全信息静态博弈为静态贝叶斯博弈或贝叶斯静态博弈。

n 人静态贝叶斯博弈的战略式表述：参与人类型空间n H H ,,1 ；条件概率n P P ,,1 ；战略空间)(,),(11n n A A θθ ；支付函数),,,(,),,,,(1111n n n n a a u a a u θθ 。

i 知道i θ。

用{}n n n n u u P P A A G ,,,,,,,,,,,1111 θθ=表示该博弈。

博弈顺序为：①自然N 选),,(1n θθθ =，i i H ∈θ，参与人i 观察到i θ，但参与人i j ≠仅知道)|(j j j P θθ-，不能观察到i θ。

②n 个参与人同时选行动（战略）),,(1n a a a =，)(i i i A a θ∈。

③i 得到支付),,,(1i n i a a u θ ，n i ,,1 =。

该定义不排除参与人j 可能拥有关于参与人i 类型的某种信息，而当所有参与人类型空间只有一个元素时，不完全信息静态博弈就退化为完全信息静态博弈。

同时，这里假定)(i i A θ和),,(i i i i a a u θ-本身是共同知识，即尽管其他参与人不知道i 的类型i θ，但他们知道i 的战略空间和支付函数是如何依赖于他的类型的，即当他们知道i θ时，就必然知道)(⋅i A 和)(⋅i u 。

n 人不完全信息静态博弈{}n n n n u u P P A A G ,,,,,,,,,,,1111 θθ=的纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存战略组合{}ni i i a 1*)(=θ，满足：),),(()|{maxarg )(*)(*i i i i i i iiA a i i a a u P a i i i θθθθθθ---∈∑∈ n i ,,1=有限博弈的不完全信息静态博弈至少存在一个贝叶斯纳什均衡。

纯战略只是一个行动i a 如何依类型i θ而变的规则，不是指一个具体的结果。

例 市场进入博弈一个完全垄断企业B 正垄断着一个行业的市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A ，称A 为进入者，B 为在位者。

A 不知道B 的成本特征，设B 有两种可能的成本，即高成本和低成本。

两种成本情况下的博弈矩阵见下表。

市场进入博弈 B高成本 低成本 默许 斗争 默许斗争A 进入 不进入假定B 知道进入者A 的成本为高成本，且与B 为高成本时的成本相同。

假若信息是完全的，则当B 为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为（进入，默许），另一纳什均衡（不进入，斗争）是含有不可置信的威胁。

当B 为低成本时，唯一的纳什均衡为（不进入，斗争），即若A 进入行业，具有低成本优势的B 将通过降低价格将A 逐出市场。

由于存在行业进入成本，所以A 被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。

当A 不知道B 的成本情况时，他的选择将依赖于他对B 的成本类型的主观概率或先验概率密度。

设A 对B 是高成本的先验概率判断为P ，则A 认为B 为低成本的概率为P -1。

如果A 进入，其期望支付为 )10)(1()40(--+P P 如果1不进入，其期望支付为0。

当且仅当0)10)(1()40(≥--+P P 或51≥P 时，A 选择进入；反之，当51<P 时，A 不进入。

于是，贝叶斯均衡为：（进入，默许），高成本，51≥P ； （进入，斗争），低成本，51≥P ； （不进入，*），51<P 其中*表示可以是斗争，也可以是默许。

例 不对称信息(asymmetric information)下的古诺竞争市场中有两个企业。

市场需求: P (Q ) = a – Q , Q = q 1 + q 2.企业 1 成本: C 1(q 1) = cq 1.企业 2 成本: 以概率 θ取C 2(q 2) = c H q 2，以概率 1– θ取 C 2(q 2) = c L q 2。

企业 2的产量依赖于成本:max [(a - q 1* - q 2) - c H ]q 2和max [(a - q 1* - q 2) - c L ]q 2企业 1 选择 q 1max θ[(a - q 1 - q 2*(c H )) - c ]q 1 + (1–θ)[(a - q 1 - q 2*(c L )) - c ]q 1 一阶条件(a - q 1* - c H ) – 2q 2*(c H ) = 0 (a - q 1* - c L ) – 2q 2*(c L ) =0{θ[(a - q 2*(c H )) - c ] +(1-θ)[(a - q 2*(c L )) - c ]} - 2q 1*=0 解出q 2*(c H ) = 32c c a H +- + 61θ-(c H - c L )q 2*(c L ) = 32c c a L +- – 6θ(c H - c L )q 1*= 3)1(2L H c c c a θθ-++-3.3 应用例1 信息不完全的性别战帕特 歌剧 拳击歌剧 2+ t c ，1 0， 0 克丽斯拳击 0， 0 1， 2+ t p类型空间: T c = T p = [0, x ] t p 和t c 为[0, x ]上的均匀分布.推断（密度函数）: p c (t p ) = p p (t c ) = 1/x直觉: 分别存在临界值c 与p ：当 t c > c 时，克丽斯选择歌剧, 否则选择拳击. 当 t p > p 时，帕特选择拳击, 否则选择歌剧.克丽斯的期望收益看歌剧： x p (2 + t c ) + (1 –x p )× 0 = x p(2 + t c ) 看拳击：x p × 0 + (1 –x p ) = 1 –xp 选择歌剧最优x p (2 + t c ) ≥ 1 –xp 即 t c ≥ p x– 3 因此临界值 c =px– 3帕特的期望收益看拳击：(1 –x c )×0 +x c (2 + t p ) = xc(2 + t p ) 看歌剧： (1 –xc ) +x c ×0 = 1 –xc 由选择拳击最优t p ≥cx- 3 临界值 p =cx - 3 解得 p = c和 p 2 + 3p – x = 0.克丽斯选择歌剧的概率1 -x c = x c x - = 1 –xx2493++- 帕特选择拳击的概率1 -x p = x p x - = 1 –xx 2493++- 当x → 0时，1 –xx2493++- → 1 –31这正是完全信息下性别战博弈的混合战略纳什均衡。