第三章 不完全信息静态博弈

二、例子
1、抓钱博弈 这个博弈有两个非对 称纯战略均衡：一个 参与人抓，另一个参 与人不抓；一个对称 混合战略均衡：每个 参与人以0.5的概率 选择抓。 （1）完全信息
参与人2 抓 参与人1 不抓 抓 -1，-1 1，0
不抓 0，1
0，0
（2）不完全信息 每个参与人有相同 参与人2 的支付结构，但若 抓 不抓 他赢了，其利润是 抓 -1，-1 1+θ1，0 （1+θi）。 θi是参 参与人1 与人的类型，参与 不抓 0 ， 1+θ 0，0 人i自己知道θi，但 另一参与人不知道。 假定θ 在[-ε,+ε]区间上均匀分 i 布。
博弈方的类型 原来的静态博弈，即各 中选择行动方案 a1 , , a n 个实际博弈方
u i u i ( a 1 , , a n , i ), i 1, , n
根据海萨尼公理，假定分布函数P（θ1,…,θn）是所有 参与人的共同知识，用θ-i =（θ1,…, θi-1 ,θi+1,…,θn）表示 除i之外的所有参与人的类型组合。这样， θ= （θ1,…, θn)= （θi,θ- i）。称pi(θ-i | θi)为参与人i的条 件概率，即给定参与人i属于类型θi的条件下，他有 关其他参与人属于θ- i的概率。根据条件概率规则， p i , i p i , i p i i | i p i p i , i 这里， p (θi)是边缘概率。如果类型的分布是独立的， pi(θ-i | θi)＝ p (θ-i)。
2

均衡意味着两个反应函数同时成立。解两个反应函数 得贝叶斯均衡为：
q1
*
1 3
; q2
L*

11 24
; q2
H*

5 24
比较不完全信息下的贝叶斯均衡与完全信息下的纳 什均衡：
如果企业2的成本是 c2L＝0.75，企业1知道企业2的 成本，那么，反应函数为：
q1
*
1 2
1
q 2 ; q 2
*
注意：与纯战略纳什均衡不同的是，在贝叶斯均衡中， 参与人i只知道具有类型θ j参与人j将选择aj (θ j)但 并不知道θ j，因此，即使纯战略选择也必须取支付 函数的期望值。
贝叶斯均衡在本质上也是一个一致性预测，即每个参 与人i都能正确预测到具有类型θ j的参与人j将选择
aj *(θ j)。
3.2贝叶斯均衡的应用举例
p 1 ,..., p n ；
1 1
类型依存战略空间 A ,..., 类型依存支付函数 u a ,..., a
1 1
A n n
n
； 。
, 1 ,..., u n a1 ,..., a n , n
参与人i知道自己的类型 ，条件概率 pi(θ-i | θi)描 述给定自己属于θi的情况下，参与人i有关其他人类型 的不确定性。
*
1 5 q1 2 4
纳什均衡产量为q1* =0.25, q2* =0.5。同样地，若 企业2的成本是c2H＝1.25，企业1知道企业2的成本， 纳什均衡产量为 q 5 1 。 , q
* * 1
12
2
6
即：
q1 L
NE

1 4 5 12
q1
* *
1 3
; q2L
NE
1 2 1 6
q2
L*

11 24 5 24
q1 H
NE
q1
1 3
; q2H
NE
q2
H *

就是说，与完全信息情况相比，在不完全信息情况 下，低成本企业的产量相对较低，高成本企业的产 量相对较高。
二、不完全信息情况下公共产品的提供
三、一级密封价格拍卖
四、双方叫价拍卖
* j

j
| i ) (1 i )

* j


)( 1) 1 p i (

j
) (1 i )

因为θj在[-ε,+ε]区间上均匀分布，有 上均匀分布。所以，上式整理得：
u i 抓 ＝ 1 p i ( j j ) ( 1) p i ( j j ) (1 i )
一、不完全信息的古诺模型： 假定参与人的类型是成本函数，逆需求函数是P=aq1-q2。令ci是企业i的单位成本，企业i的利润函数为：
i q i a q1 q 2 c i , i 1, 2
假定企业1的单位成本c1是共同知识，企业2的单位 成本可能是c2L也可能是c2H， c2L< c2H；企业2知道 自己的成本是c2H还是c2L，但企业1只知道c2＝ c2L的 可能性为μ， c2＝ c2H的可能性为1- μ； μ为共同知 识。
i
i
三、不完全信息静态博弈的战略式表述 和贝叶斯纳什均衡
贝叶斯纳什均衡是完全信息静态博弈纳什均衡概 念在不完全信息静态博弈上的扩展。不完全信息静 态博弈又称为静态贝叶斯博弈。
1、贝叶斯博弈的战略式表述
n人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括：
参与人的类型空间
条件概率
n
,..., 1 ；
2
考虑下列纯战略： 1）参与人1：如果θ1≥ θ1*，抓；如果θ1 ＜ θ1*，不抓；
2）参与人2：如果θ2≥ θ2*，抓；如果θ2 ＜ θ2*，不抓。
所以，给定参与人j的战略，参与人i选择抓的期望利 润为： 即
u i 抓 ＝ p i (
u i 抓 ＝ p i (
j
j
| i )( 1) 1 p i (
企业1不知道企业2的真实成本，从而不知道企业2 的最优反应是q2L 还是q2H，因此企业1将选择q1最大 化其期望利润函数：
E1 1 2 q1 1 q1 q 2
L


1 2
q1 1 q1 q 2

H

解最优化的一阶条件得企业1的反应函数为：
q1
*
1 1 L 1 H 1 1 Eq q2 q2 1 2 2 2 2

1 2
t
q1
企业2的最优产量不仅依赖于企业1的产量，而且依赖于 自己的成本。
令q2L为t= 1.25时企业2的最优产量， q2H 为t＝0.75 时企业2的最优产量。有：
q2
L

1 5 H q1 ; q 2 2 4

1 3 q1 2 4
* * * j j 1 p i ( ) ( 1) 2 2

j
2
在[0,1]





* j j ) (1 i ) pi ( 2 2
* * 1 j ( 1) j (1 i ) 2 2
i i
i i
我们 G 博弈。
{ A1 , , A n ; 1 , , n ; p1 , , p n ; u 1 , , u n }
用代表该
2、静态贝叶斯博弈的时间顺序 （1）自然选择类型向量θ =（θ 1,…, θ n)，参与人 i观测到θ i,但其他参与人j只知道pj (θ-j | θj)，观测不 到θ i； （2）n个参与人同时选择行动a=（a1,…, an), 其中 A
3.3贝叶斯均衡与混合战略均衡
完全信息情况下的混合战略均衡可以解释为不 完全信息情况下纯战略均衡的极限。----海萨尼
3.3贝叶斯均衡与混合战略均衡
一、混合战略纳什均衡的本质特征
不在于参与人j随机地选择行动，而在于参与人i不能 确定参与人j将选择什么纯战略，这种不确定性可能 来自参与人i不知道参与人j的类型。 贝叶斯博弈中，因为参与人的战略是类型依存的， 每个参与人在选择自己的行动时他面对的似乎是选 择混合战略的对手。自然便是通过选择参与人的类 型制造了不确定性。
a
*
i
的情况下
*
a ,..., a 换言之，战略组合 是一个贝叶斯纳什均衡，如果对于所有的i， A a ，

* 1 1 n n
i
i
i
ai
*
i a rg m a x
ai

p ( i | i ) u i ( a i , a i i ; i , i )
i i i
a
；
u i a 1 ,..., a n , i
（3）参与人i得到
。
讨论： 1）若所有参与人的类型空间只包含一个元素，不 完全信息静态博弈就退化为完全信息静态博弈； 2）若参与人的类型是完全相关的，当参与人i观测 到自己的类型时也就知道了其他参与人的类型，博 弈是完全信息的。
3、贝叶斯纳什均衡
第三章 不完全信息静态博弈
第三章 不完全信Βιβλιοθήκη 静态博弈不完全信息博弈和贝叶斯纳什均衡 贝叶斯均衡的应用 贝叶斯均衡与混合战略均衡 *机制设计问题和显示原理
3.1不完全信息博弈和贝叶斯纳什均衡
一、不完全信息博弈
1、定义
不满足完全信息假设的博弈称为不完全信息博弈。
完全信息假设：支付函数是共同知识。
即是说，在不完全信息博弈中，至少有一个参与人 不知道其他参与人的支付函数。
参与人i不抓的利润是ui(0)=0。给定j的战略，i在抓 与不抓之间无差异，所以， θi*满足下列条件：
* * j 2j 1 ( 1) (1 i ) 0 2 2
二、海萨尼（Harsanyi）转换
引入虚拟参与人“自然”； 自然首先行动决定参与人的特征，参与人知道 自己的特征，其他参与人不知道； 特征的分布函数是共同知识； “不完全信息”转换为“完全但不完美信息”， 可使用标准的分析技术来分析。