博弈论与信息经济学 第三章 不完全信息静态博弈

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不完全信息静态博弈

不完全信息静态博弈

由于θi在[-ε,+ε]上是均匀分布的,因而θi ≥ 0和θi < 0的概率各为1/2。可认 为每个参与人认为对方选择抓与不抓的概率各为1/2。 当ε 0时,该纯策略贝叶斯均衡就收敛为一个完全信息博弈的混合策 略纳什均衡。
因而,海萨尼说,完全信息博弈的混合策略均衡可以解释为不完全信息 情况下纯策略均衡的极限。
策略贝叶斯均衡是一个类型依存战略组合
{ai* (i )}in,满足: 1
* ai* (i ) arg max pi (i | i )ui (ai , ai (i );i ,i ) ai
1、不完全信息古诺模型(板书)
• 在这个模型中,参与人的类型是成本函数。逆需求函数为
荷兰式拍卖:从一个非常高的初始标价逐步降低到有一个买者接受报价。 一级密封价格拍卖:出价最高的投标者获得拍卖品,并支付自己的出价 给卖者; 二级密封价格拍卖:出价最高的投标者获得拍卖品,并支付次最高出价。
1)
2)
英式拍卖:投标者按照递增的顺序宣布他们的出价,直到没有人愿意出更
高的价格,出价最高的投标者获得拍卖品; 荷兰式拍卖:从一个非常高的初始标价逐步降低到有一个买者接受报价。
看,一开始应采取“不合作”的策略。究竟是直觉正确,还是逻辑正
确? 博弈论专家Ken Binmore实验发现,不会出现一开始选择“不合作”
策略而使双方收益为1的情况。双方会主动选择“合作”策略,从而 走向合作。但逆向归纳法在某一步肯定会起作用。只要逆向归纳法在 起作用,“合作”便不能进行下去。
这个悖论在现实中的对应情况是,参与人不会在开始时确定他的策略
现在考虑同样的博弈但具有不完全信息:每个参与人有相同的支付结
构,但如果他赢了的话,他的利润为(1+θi),这里θi是每个参与人的 类型,是私人信息。但θi在[-ε,+ε]上均匀分布,这是公共知识。

不完全信息静态博弈

不完全信息静态博弈
不完全信息博弈
不完全信息静态博弈
海萨尼转换 现实中的贝叶斯博弈和均衡 机制设计
不完全信息静态博弈概述
在不完全信息静态博弈中,博弈参与者同时进行决策,但
博弈一方或多方并不了解博弈的全部信息。
只要在博弈中包含不完全信息,那么这样的博弈通常也被
称为贝叶斯博弈(Bayesian Game)。
不完全信息静态博弈的均衡通常被称为贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium)
A cH q1 H q2 2 A cL q1 L q 2 2 H L A * q2 (1 ) * q2 c q1 2
不完全信息条件下的古诺寡头博弈均衡为:
A 2c ( * cH (1 ) * cL ) q1 3 H 2 A 2c (3 ) * cH (1 ) * cL q2 6 2 A 2c * cH (4 ) * cL L q2 6
贝叶斯对概率论和数理统计理论的早期发展做出了杰出的奠
基性贡献
贝叶斯对统计理论的主要贡献的“贝叶斯公式
(Bayesian Law)” 全概公式 设试验 E 的样本空间为
,事件
A1 , A2 ,..., An 构成样本空间的一
一、不完全信息与“市场争夺战”博弈
假设市场中有一个在位者和一个潜在进入者。 潜在进入者有两个策略可以选择:“进入”或者“不进入”。 在位者有两个策略可以选择:“斗争”或者“默许”。 在位者可能是“高效型”企业,也可能是“低效型”企业。 在位者不同类型对应不同博弈情况。
别。
厂商 2 将厂商 1 的产量看作给定。
当厂商 2 的成本函数为 C(q2) = cHq2 ,厂商 2 的产量为:

不完全信息静态博弈

不完全信息静态博弈

• (3)、信念不同出现的均衡的答案也会不同。 )、信念不同出现的均衡的答案也会不同 )、信念不同出现的均衡的答案也会不同。 • • • • (4)、由于参与者的收益函数具有不确定性,因而不可能通过 )、由于参与者的收益函数具有不确定性, )、由于参与者的收益函数具有不确定性 求解最大化的方式找到最优策略,换句话说, 求解最大化的方式找到最优策略,换句话说,就是什么策略都可 能成为最优策略,任何结果都有可能是博弈的均衡解。 能成为最优策略,任何结果都有可能是博弈的均衡解。这样得不 出结果。 出结果。
囚徒因境2 囚徒因境2的扩展式表达
2、囚徒因境2的扩展式的理解 、囚徒因境2
)、该博弈有两个开始点 行动的时候, • (1)、该博弈有两个开始点 )、该博弈有两个开始点(X1和X2),在囚徒 行动的时候, 和 ,在囚徒1行动的时候 囚 • 徒1分不清他到底位于哪一个节点,是X3、X4、X5,还是 。 分不清他到底位于哪一个节点, 分不清他到底位于哪一个节点 、 、 ,还是X6。 • (2)、博弈的扩展式有三个信息集,它们分别 )、博弈的扩展式有三个信息集 )、博弈的扩展式有三个信息集,它们分别{X1},{X2}和 , 和 • {X3,X4,X5,X6}。 , , , 。 • • • • )、由于该博弈有两个开始点 (3)、由于该博弈有两个开始点、可以理解为两个不同的博 )、由于该博弈有两个开始点、 但关键是,这两个博弈被一条虚线连接起来, 弈,但关键是,这两个博弈被一条虚线连接起来,因而它又是一 个博弈。它既是两个博弈又是一个博弈, 个博弈。它既是两个博弈又是一个博弈,从逻辑上来说这是矛盾 因而我们不可能直接分析它。 的,因而我们不可能直接分析它。
• 豪尔绍尼转换的主要思路 • 以类型概念构造对不完全信息的招述, 在此基础上构造统一的模型来描述局中人 在博弈中对不完全信息的处理,从而将不 完全信息博弈转化为不完美信息的完全信 息博弈。

经济博弈论 谢识予 3不完全信息静态博弈

经济博弈论 谢识予 3不完全信息静态博弈

进入者似乎在与两个在位者博弈:高成本和低成本的在位 者;如果在位者有T种不同的成本函数在位者就相当于与T个 不同的在位者博弈。
3 海萨尼转换
Harsanyi(1967)

N

不完全信息博弈转化 为不完美信息博弈; 而完全信息和完美信 息之间的区别显得不 再重要 [1-P]
进入
[ -50,0 0,0
不求爱 0,0
2 不完全信息
信息与收益
博弈中研究的信息是指能够影响局中人收益的信息 影响局中人收益的信息 完全或对称信息意味着局中人的收益(效用)函数是共同知 识 不完全信息则意味着不知道对方的效用函数 不完全信息博弈:至少有一个参与人不知道其他参与人的 支付函数。 不完全静态博弈=静态贝叶斯博弈:至少有一个参与人不 知道其他参与人支付的静态博弈
一个参与人拥有的所有的私有信息(即所有不是共同 知识的信息)称为他的类型。
2 不完全信息
不完全信息博弈与不完美信息博弈 私人信息:在博弈中(开始博弈前或博弈中),参与者i 知道,但不是所有参与者的共同知识。 不完全信息博弈:在参与人开始计划自己的策略行动前, 部分参与人具有其他人不知道的与博弈相关的私人信息 (初始私人信息) 完美(perfect)信息:在博弈中,每个参与人行动时, 都能够观察到在她(他)之前其他参与者的行动。 不完美信息博弈:在博弈中,至少有一个参与人行动时 不能观察到在她(他)之前某些参与人的行动。
孔明 冒险 司 马 懿 进攻 后退 守城 获胜,被擒 不胜不败,逃 脱 弃城 获胜,被擒 不胜不败,逃 脱 守城 被伏击,逃脱 不胜不败,逃 脱 谨慎 弃城 获胜,被擒 不胜不败,逃 脱
2 不完全信息
空城计
孔明可以选择的策略是“弃城”或“守城”,如果司 马懿判断孔明是“冒险”的,无论是“弃”还是“守”, 那么孔明均要被其所擒。 所以孔明就用空城计“于城上敌楼前凭栏而坐,焚香操 琴”,增大了司马懿判断自己是“谨慎”类型的主观概率。 正如孔明所料,司马懿认为孔明是“谨慎”的,在“理 性的”司马懿看来,进攻失败的可能性较大,而退兵的期 望效用大于进攻的期望效用。故最终司马懿选择了退兵, 孔明则得以逃脱。

博弈论——不完全信息静态博弈.讲义

博弈论——不完全信息静态博弈.讲义

3 不完全信息静态博弈3。

1 简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系,主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。

不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的。

如在拍卖商品或工程招投标中.信息不完全又称为信息不对称,即其他局中人没有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。

不完全信息静态博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。

但对于局中人本身来说,他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的,因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息"(private information)。

在博弈论中,习惯地将局中人的“私人信息”集中表现为局中人的支付函数特征,也就是说,局中人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来,而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中人的支付函数,当然,每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。

3。

2 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下,其他局中人对特定局中人的支付函数类型并不清楚,局中人不知道他在与谁博弈,在1967年前,博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的,无法进行分析。

Harsanyi (1967、1968)提出了一种处理不完全信息博弈的方法,即引入一个虚拟的局中人--“自然N "。

N 首先行动,决定每个局中人的特征.每个局中人知道自己的特征,但不知道其他局中人特征.这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈,第一个阶段是自然N 的行动选择,第二阶段是除N 外的局中人的静态博弈.这种转换被称为“Harsanyi 转换”,它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。

局中人拥有的私人信息为他的“类型”,由其支付函数决定,故常将支付函数等同于类型。

用i θ表示局中人i 的一个特定类型,i H 表示局中人i 所有可能类型的集合,即i i H ∈θ,称i H 为局中人i 的类型空间,n i ,,1 =。

博弈论——不完全信息静态博弈

博弈论——不完全信息静态博弈

3 不完全信息静态博弈3.1 简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系,主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。

不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的。

如在拍卖商品或工程招投标中。

信息不完全又称为信息不对称,即其他局中人没有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。

不完全信息静态博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。

但对于局中人本身来说,他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的,因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息”(private information)。

在博弈论中,习惯地将局中人的“私人信息”集中表现为局中人的支付函数特征,也就是说,局中人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来,而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中人的支付函数,当然,每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。

3.2 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下,其他局中人对特定局中人的支付函数类型并不清楚,局中人不知道他在与谁博弈,在1967年前,博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的,无法进行分析。

Harsanyi (1967、1968)提出了一种处理不完全信息博弈的方法,即引入一个虚拟的局中人——“自然N ”。

N 首先行动,决定每个局中人的特征。

每个局中人知道自己的特征,但不知道其他局中人特征。

这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈,第一个阶段是自然N 的行动选择,第二阶段是除N 外的局中人的静态博弈。

这种转换被称为“Harsanyi 转换”,它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。

局中人拥有的私人信息为他的“类型”,由其支付函数决定,故常将支付函数等同于类型。

用i θ表示局中人i 的一个特定类型,i H 表示局中人i 所有可能类型的集合,即i i H ∈θ,称i H 为局中人i 的类型空间,n i ,,1 =。

第3章不完全信息静态博弈详解

第3章不完全信息静态博弈详解
共产品供给区域。
博弈论与信息经济学 江西财经大学 陶长琪
3.2.3 一级密封价格拍卖(招标)

拍卖或招标(auction)有两个基本功能,一是揭示信息,二是减少代理 成本。

一级密封价格拍卖(the first-price sealed auction)是许多 拍卖方式
中的一种。在这种拍卖中,投标人(bidders)同时将自己的出价写下来 装入一个信封,密封后交给拍卖人,拍卖人打开信封,出价最高者是 赢者,按他的出价支付价格,拿走被拍卖的物品。
定义:n人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括:参与人的类型空 间 , 1 n 条件概率 p1 ,, pn ,类型依存战略空间 A 和类型依存支 1 (1 ), An ( n ), 付函数 u1 (a1 ,an ;1 ),, un (a1 ,an ;n ) 。 参与人i知道自己的类型i i 条件概率 pi pi (i | i ) 描述给定自己属于 i 的情况下,人i有关其他 参与人类型 i i 的不确定性。我们用 G {A1, An ;1,n ; p1,, pn ; u1,, un } 代表这个博弈。
k [0,1], Pr ob( k ) k
)
maxui (v b) P r ob(b j b) (v b)(b)
b
最优化的一阶条件是: 如果
(b) (v b)' (b) 0
b* (.) 是投标人i的最优战略, (b) v 。
(b) ((b) b)' (b)
给定参与人i只知道自己的类型 i 而不知道其他参与人的类型 i ,参与人 ai (i ) 最大化自己的期望效用。参与人i期望效用函数定义如下: i将选择
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第3章 不完全信息静态博弈

第3章  不完全信息静态博弈

贝叶斯纳什均衡


有了上述概念,贝叶斯纳什均衡可以定义为, n人不完全信息静态博弈G={A1,…,An;1,…,n; P;u1,…,un}的纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类 型依存战略组合{ai*( i )},i=1,…,n,其中每 个参与人i在给定自己的类型i和其他参与人类 型依存战略{a-i*( -i )}的情况下,选择行动 ai*(i)最大化自己的期望效用函i。 贝叶斯纳什均衡是完全信息静态博弈纳什均衡 概念在不完全信息静态博弈上的扩展。
3.1-3不完全信息静态博弈的战略 式表述和贝叶斯纳什均衡


不完全信息静态博弈又称为静态贝叶斯博弈。 不完全信息静态博弈的参与人也称为贝叶斯参 与人。如同在完全信息静态博弈中一样,在不 完全信息静态博弈中,所有参与人同时行动, 参与人i的战略空间Si等同于他的行动空间Ai。 但是,与完全信息静态博弈不同的是,在不完 全信息静态博弈中,参与人i的行动空间Ai可能 依赖于他的类型i ,换句话说,行动空间是类 型依存的(type contingent)。
不完全信息与参与人的类型



不完全信息意味着,至少有一个参与人有多个 类型(否则,就成为完全信息博弈)。 我们用 i 表示参与人i的一个特定类型, i 表 示参与人i所有可能类型的集合,i i。 我们假定,={i},i=1,…,n,取自某个客观的 分布函数P(1,…,n)。 为了简单起见,我们假定只有参与人i观测到 自己的类型i,除i之外的其他参与人都不能观 测到i。
N
高成本 低成本
[p]
在位者 默许 进入者 进入 不进入 进入 不进入 进入 斗争
[1-p]
默许
斗争
不进入 进入
不进入
(50,40) (300,0) (0,-10) (300,0) (80,30) (400,0) (100,-10) (400,0)
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海萨尼转换
海萨尼提出的处理不完全信息博弈的方法是,引入一个虚 拟的参与人——“自然”;自然首先行动决定参与人的特 征,参与人知道自己的特征,其他参与人不知道。 N
[p] 不进入 (0,300) 高 进入者 进入 合作 (40,50) 不进入

[1-p] 进入 在位者 合作 (30,80) 斗争 (-10,100)
i i的不确定性。我们用 G {A1 ,, An ; 1 ,, n ; p1 ,, pn ; u1 ,, un }
代表这个博弈。
不完全信息和贝叶斯纳什均衡
n 人不完全信息静态博弈的时间顺序为:
⑴自然给定类型向量 θ (1 ,, n ) ,其中, i i ,参与人 i 观 察到 i ,但参与人 j( i )只知道 p j (θ j | j ) ,观察不 到 i; ⑵参与人同时选择行动,参与人 i 从可行集 Ai ( i )中选择行 动 a i ,n 人的行动组合为 a (a1 ,, an ); ⑶参与人 i 的支付函数为 ui (ai , a i ; i ) 。 注意,在上面的定义中,虽然参与人 i 的类型是私人信息, 但是,行动空间和效用函数的结构是共同知识。换句话 说,尽管其他参与人并不知道参与人 i 的类型 i ,但是, 他们知道参与人 的行动空间和支付函数是如何依赖于 i i 参与人 的类型的。
ai (ci ) 是从 [c, c] 到{0,1}的一个函数,其中0表示不提供, i 1表示提供。参与人 的支付函数为:
ui (ai , a j , ci ) max(a1 , a2 ) ai ci
贝叶斯均衡是一组战略组合 ,使得对于每一 个 i 和每一个可能的 c i ,战略 ai (.)最大化参与人 i 的期望 效用函数 Ec j ui (ai , a ci , ci )。令 z j Pa j c j 1 为均衡状 j 态下参与人 j 提供的概率。最大化行为意味着,只有当参与 人 i 预期参与人 j 不提供时,参与人 i 才会考虑自己是否提 供。因为参与人 j 不提供的概率是 (1 z j ) ,参与人 i 提供的 i 预期收益是 1 (1 z j ) ,因此只有当 ci 1 z j 时,参与人 才会提供,即如果 ci 1 z j , ai (ci ) 1 ; 如果 ci 1 z j ,ai (ci ) 0 。
贝叶斯均衡的应用举例
企业1:
L 低成本:q1{1 (q1 q 2 )} 1 H 高成本:q 2 {1 (q1 q 2 )} 1 1 L H E 1 q1{1 (q1 q 2 )} q1{1 (q1 q 2 )} 2 2 1 1 L 1 H 求导得:q1 (1 q 2 q 2 ) 2 2 2 1 L 11 H 5 代入,联合解得: 1 , q 2 q , q2 3 24 24
动有一致的信念,即都知道所有参与人类型的概率分布函 数 p1 ,..., n
。此即“海萨尼公理”。
海萨尼转换
用 θ i (1 ,, i 1 , i 1 ,, n ) 表示除 i 之外的所有参与人的类型组合。这 样, ( ,..., ) ( , ) 。 1 n i i 我们称 pi ( i i ) 为参与人 i 的条件概率,即给定参与人i 属于类型 的条件下,他有关其他参与人属于 θ i 的概率。根据条件概率规则,
1.不完全信息库诺特模型
已知:市场总供给 1 q 2,p a (q1 q 2 ) q 企业1:q1 0 1 q1 , q 2 q1 a (q1 q 2 ) c1 。其中c1 1 企业2:q 2 0 2 q1 , q 2 q 2 a (q1 q 2 ) c 2 。 3 L 低成本 c 2 4 1 有两个类型 概率 5 H 2 高成本 c 2 4 当a为2时,两个企业将如何决 策?
博弈论与信息经济学
——第三章 不完全信息静态博弈
不完全信息博弈
例:市场进入阻挠博弈:不完全信息
高成本情况 默许 进入者 进入 不进入 斗争 在位者 默许 低成本情况 斗争
40,50 0,300
-10,0 0,300
30,80 0,400
-10,100 0,400
如果在位者是高成本,给定进入者进入,在位者的最优选择是默许;如果 在位者是低成本,给定进去者进入,在位者的最优选择是斗争。由于进入者并 不知道在位者究竟是高成本还是低成本,进入者的最优依赖于它在多大程度上 认为在位者是高成本的或低成本的。 假定进入者认为在位者是高成本的概率是p,低成本的概率是(1-p)。进入者 选择进入的期望利润是40×p+(-10) ×(1-p) ≥0 p≥1/5.
在位者(0,400) 斗争 (-10,0)
上例市场进入阻挠博弈就可以转换为如图的完全但不完美信息博弈。 *完美信息博弈:如果博弈树的所有信息集都是为处理不完全信息博弈的标准方法。 将一个参与人所拥有的所有私人信息(即所有不是共同知识 的信息)被称为该参与人的类型。一般地,用 i 表示参 与人 i 的类型,它属于一个可能的类型集 i 。 类型依赖:每一个人的行动都依赖于它的类型。 通过海萨尼转换,博弈开始时,所有参与人对“自然”的行
贝叶斯均衡的应用举例
2.一阶招标拍卖 一级密封价格拍卖(the first-price sealed auction)是许 多拍卖方式中的一种。在这种拍卖中,投标人(bidders) 同时将自己的出价写下来装入一个信封,密封后交给拍卖 人,拍卖人打开信封,出价最高者是赢家(获得拍卖品), 并按他的出价支付。这里,每个投标人的策略是根据自己 对物品的评价和对其他投标人评价的判断来选择自己的出 价,赢者的支付是他对物品的评价减去他的出价,其他投 标人的支付为零。
贝叶斯均衡的应用举例
首先考虑两个投标人的情况,i 1,2 。令 bi 0 是投标人i 的出价, v i 为拍卖品对投标人 i 的价值。假定 v i 只有 i 自己知道,因而 v i 是投标人 i 的类型,但两个投标人都 知道 v i 独立地取自定义在区间 [0, 1] 上的均匀分布函数。 投标人 i 的支付为

(a1 ., a2 .)
贝叶斯均衡的应用举例
ci 使得只有当 ci [c, ci ] 这就意味着,存在一个分割点 i 才会提供。类似的,存在一个 c j 使得只有当 时,参与人
c j [c, c ] 时,参与人 j 才会提供。 j
c
ci

c

ai (ci ) 1
不完全信息和贝叶斯纳什均衡
定义:在静态贝叶斯G {A1 ,, An ; 1 ,, n ; p1 ,, pn ; u1 ,, un } 博弈中, 纯策略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存策略组 合a (θ) (a1 (1 ),, an ( n )),其中,每个参与人 i 在给定自己的类 型 i 和其他参与人依存策略 a i (θ i ) 的情况下最大化自己的预期效用 函数 E θi ui 。换句话说,策略组合 a (θ) (a1 (1 ),, an ( n ))是一个 贝叶斯纳什均衡,如果对每一参与人i 及 i 的类型集 i 中的每一 i 个 i ,ai ( i ) 满足
i
p( i , i ) pi ( i i ) p( i )
i i
p( i , i ) p( i , i )
p( i )
p 这里, ( i ) 是边缘概率。如果类型的分布是独立的,pi ( i i )
不完全信息和贝叶斯纳什均衡
贝叶斯纳什均衡是完全信息静态博弈纳什均衡概念在不完 全信息静态博弈上的扩展。不完全信息静态博弈又称为静 态贝叶斯博弈。 ◆定义:n人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括:参与人的类 型空间 1 ,, n,条件概率 p1 ,..., pn ,类型依存战略空间 A1 1 ,..., An n ,和类型依存支付函数u1 (a1 ,, an ;1 ),...,un (a1 ,, an ; n ) 参与人i知道自己的类型 i i ,条件概率 pi pi ( i i ) 描述 给定自己属于 i 的情况下,参与人i有关其他参与人类型
贝叶斯均衡的应用举例
假设:
1 ci [0,2], F (ci ) ci 2 1 1 2 c i 1 1 c i c i 2 2 3 2 1,ci 3 ai ci 2 0,ci 3
vi bi , 如果bi b j 1 u i (bi , b j ; vi ) 2 (vi bi ) , 如果bi b j 0, 如果bi b j
贝叶斯均衡的应用举例
现假设:bi vi ai ci vi 则:bi b j v j a j c j v j 又 vi [0,1] bi a j bi a j P i b j v j P v j b cj cj bi a j 1 u i (vi bi ) P i b j v j (vi bi ) P i b j v j (vi bi ) b b 2 cj 1 1 求导得:bi vi vi a j 2 2
ai (ci ) 0
ci 1 z j 1 P c j c j 1 F c j
同理:



c
a j (c j ) 1
c j
c j 1 F ci



c
a j (c j ) 0
由上两式可得:
ci 1 F 1 F ci


参与人2 提供 参与人1 提供 不提供 不提供
1-c1,1-c2 1,1-c2
1-c1,1 0,0
假定公共产品的好处(每人1单位)是共同知识,但每人的提供成本只有自己 知道(成本 c i 是参与人 i 的类型)。 c1和 c2 具有相同的、独立的定义在 [c, c] 上的分布函数,且是共同知识。
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