高考数学 4.6数列、不等式限时智能检测 新人教版

2011届高考限时智能检测第四部分：数列、不等式（6）
(限时：时间45分钟，满分100分)
一、选择题
1．(2009年银川模拟)已知a 、b 满足0＜a ＜b ＜1，下列不等式中成立的是( ) A ．a a
＜b b
B ．a a
＜b a
C ．b b
＜a b
D ．b b
＞b a
【解析】 取特殊值法．
令a ＝14，b ＝12，则a a
＝(14)14＝(12)12，
b b
＝(12)12
，∴A 错．
a b ＝(14)12＜(12)12＝b b
，∴C 错．
b b ＝(12)12＜(12)14＝b a
，∴D 错．
∴b a ＝(12)14＞(12)12＝a a
，∴B 正确
【答案】 B
2．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2
，c －b ＝4－4a ＋a 2
，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．c≥b＞a
B ．a ＞c≥b
C ．c ＞b ＞a
D ．a ＞c ＞b
【解析】 c －b ＝4－4a ＋a 2
＝(2－a)2
≥0， ∴c≥b，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2
，即b ＝1＋a 2
， ∵1＋a 2－a ＝(a －12)2＋34＞0，∴1＋a 2
＞a ，
∴b＝1＋a 2
＞a ，∴c≥b＞a. 【答案】 A
3．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的 是( )
A ．ab ＜b 2
＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0
C ．2b
＜2a
＜2 D ．a 2
＜ab ＜1
1【解析】 ∵y＝2x
是单调递增函数，且0＜b ＜a ＜1， ∴2b
＜2a
＜21
，即2b
＜2a ＜2，故选C. 【答案】 C.
4．(2009年长沙模拟)已知a 、b 、c∈R ，则下列推理： ①a c 2＞b
c 2⇒a ＞b ； ②a 3＞b 3
，ab ＞0⇒1a ＜1b ；
③a 2＞b 2
，ab ＞0⇒1a ＜1b ；
④0＜a ＜b ＜1⇒log a (1＋a)＞log b 11－a
. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解析】 由a c 2＞b c 2可知c 2
＞0，
∴a c 2×c 2＞b c 2×c 2
， 即a ＞b ，∴①正确．
由a 3
＞b 3
，ab ＞0，可得a ＞b ，ab ＞0， 即a ＞b ＞0或b ＜a ＜0， ∴1a ＜1
b
，∴②正确． 由a 2
＞b 2
，ab ＞0可得a ＞b ＞0或a ＜b ＜0， a ＞b ＞0时1a ＜1
b ，但a ＜b ＜0时，
1a ＞1
b
，故③不正确． ∵0＜a ＜b ＜1，∴log a (1＋a)＞log b (1＋a) 又∵log b (1＋a)－log b 11－a ＝log b (1－a 2
)＞0，
∴log b (1＋a)＞log b 1
1－a
，
∴log a (1＋a)＞log b 1
1－a ，故④正确．
【答案】 C
5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A ．甲先到教室
B ．乙先到教室
C ．两人同时到教室
D ．谁先到教室不确定
【解析】 设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2，显然v 1＜v 2，总路程为2s ， 则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s
v 1＋v 2，
而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s(v 1＋v 2)2
－4sv 1v 2
v 1v 2(v 1＋v 2) ＝s(v 1－v 2)2
v 1v 2(v 1＋v 2)
＞0 故s v 1＋s v 2＞4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 【答案】 B 二、填空题
6．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________． 【解析】 设2a ＋3b ＝m(a ＋b)＋n(a －b)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n ＝2m －n ＝3
，∴m＝52，n ＝－1
2
.
∴2a＋3b ＝52(a ＋b)－1
2(a －b)．
∵－1＜a ＋b ＜3,2＜a －b ＜4，
∴－52＜52(a ＋b)＜152，－2＜－1
2(a －b)＜－1，
∴－92＜52(a ＋b)－12(a －b)＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.
【答案】 (－92，132
)
7．设A ＝1＋2x 4
，B ＝2x 3
＋x 2
，x∈R ，则A ，B 的大小关系是______． 【解析】 ∵A－B ＝1＋2x 4
－2x 3
－x 2
＝2x 3
(x －1)－(x 2
－1) ＝(x －1)(2x 3
－x －1) ＝(x －1)2
(2x 2＋2x ＋1)， ∵(x－1)2
≥0,2x 2
＋2x ＋1＞0， ∴A－B≥0，即A≥B. 【答案】 A≥B
8．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k∈N *
)．已知一个铁钉受击3次后全部进入
木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的4
7
，请从这件实事中提炼出一个不等
式组是________．
【解析】 依题意47＋4
7k ＜1，且三次后全部进入，
即47＋47k ＋4
7k
2≥1， 故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋4
7k
＜147＋4
7k ＋47k 2
≥1k∈N
*
.
【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧
47＋4
7k
＜147＋4
7k ＋47k 2
≥1k∈N
*
三、解答题
9．有一批钢管，长度都是4 000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于1
3
配套，请列出不等关系．
【解析】 设截500 mm 的x 根，600 mm 的y 根，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
500x ＋600y≤4 000y ＜3x
x ，y ＞0
x ，y∈N
*
，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋6y≤40y ＜3x x ，y∈N *
.
10．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛的门票：
比赛项目 票价(元/场) 男篮 1 000 足球 800 乒乓球
500
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比
赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．
【解析】 设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n(n∈N *
)张，则男篮比赛门票预订(15－2n)张，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
800n ＋500n ＋1 000(15－2n)≤12 000800n≤1 000(15－2n)，
解得427≤n≤5514
.
由n∈N *
，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订男篮比赛门票5张．。