概率论公共课A试题

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2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2(含答案)

2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2适用专业：考试日期：试卷所需时间：2小时闭卷试卷总分 100分考试所需数据： 0.05(19)1,7291t = 0.05(20)1,7247t = 一、填空题：（4小题,每空2分，共10分）1、袋中有20个球，其中12只红球，8只黑球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回。

则第2人取得红球的概率为。

2、若1，2，3，4，5号运动员随机的排成一排，则1号运动员站在中间的概率为 .3、设随机变量X 与Y 互相独立，且()()2~,2/1~Exp Y Exp X 则随机变量Y 的概率密度函数为()f x = ；(232)E X Y --= .4、设随机变量()()22~,~m n Y X χχ，且X ，Y 相互独立，则随机变量mY nX F //=服从分布.二、单项选择题：（5小题，每题2分，共10分）1、同时抛掷2枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率( ). A 0.5 B 0.25 C 0.125 D 0.3752、任何一个连续型的随机变量的概率密度()x ϕ一定满足 ( ). A 0()1x ϕ≤≤ B 在定义域内单调不减 C ()0x dx ϕ+∞-∞=⎰ D ()0x ϕ≥3、已知~()X x ϕ,21x x ϕπ-（）=[(1+)],则2Y X = 概率密度为( ). A 21(1)y π+ B 22(4)y π+ C 21(1/4)y π+ D 21(14)y π+ 4、随机变量X 与Y 满足()()()D X Y D X D Y +=-,则必有( ) .A X 与Y 独立B X 与Y 不相关C DX=0D DX DY 0⋅=5、在假设检验问题中，检验水平α的意义是（）. A 原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 原假设0H 成立，经检验不能被拒绝的概率C 原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率D 原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率.三、（14分）20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为多少？四、（14分）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 与Y 的分布律为试求：（1）二维随机变量(,)X Y 的分布律；（2）随机变量Y X Z +=的分布律.专业班级：姓名：学号：装订线五、（14分）设二维随机向量(,)X Y 的概率密度为21,01,0(,)20ye x yf x y -⎧≤≤>⎪=⎨⎪⎩，其它（1）求(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘概率密度；（2）问X 是Y 否相互独立，为什么？六、（14分）设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它试求：（1）E(X)，D(2X-3) ；（3）P{0<X<1.5}七、（14分）设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得样本值1231,2,1x x x ===，试求θ的矩估计值和最大似然估计值.八、（10分）下面列出的是某工厂随便选取的20只部件的装配时间（min ）：9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7设装配时间的总体服从正态分布2(,)N μσ，2,μσ均未知，是否可以认为装配时间的均值显著大于10（取0.05α=）？0.5099s =2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2答案一、填空题1)3/5; 2)1/5; 3)()()21,020,xe xf xelse-⎧≥⎪=⎨⎪⎩;-7; 4)自由度为m,n的F分布.二、选择题1)B; 2)C; 3)D; 4)B; 5)A.三解、18171829142019201910p=⨯+⨯=分五、解()()1211,01,0;720,0,xX Yxe xf x f yelseelse-⎧<<⎧≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩分独立,因为()()(),14X Yf x f y f x y=分六、解()()()4294;2310;0 1.5143916E X D X P x=-=<<=分分分七解、22122131322E X分；所以()332分，E Xθ-=又()^453分；E X X==所以的矩估计为566＝分θ.由521L，则ln5ln ln2ln17L分；令lnd Ld，得596分θ=，所以的最大似然估计为5106＝分θ八解、由题可得0010:10;:102H H分；0.05,20,119,10.24n n x分；；原假设的拒绝域为016/xt nn分；0 1.7541/0.5099/20n0.05(19)1,7291t=，所以在显著性水平为0.05的情况下拒绝原假设10分.。

《概率论与数理统计》考试题(含答案)

《概率论与数理统计》考试题一、填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ;b ）若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ;c ）、若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 .4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。

5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。

其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有则=a _0.1_，X的数学期望=)(X E ___0.4___，Y X 与的相关系数=xy ρ___-0.25______。

7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差。

则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0,1.5) ，{}5.12>-Y X p = 0.0456 ，~161521S )15(2χ，~2221S S F(15,7) 。

《概率论与数理统计》期末考试试题(A)及解答

X
0 1
1 4
0
1 2
1 4
1 2 1 2
0
1 4
0
1 4
1 2
………….4 分 (2) 因为所以
P X 0 , Y 0 0 P X 0 P Y 0 1 2 1 2 1 4
X
与 Y 不相互独立 …………8 分
七、 8 （
分）
1 2
解：（1） P ( 0 X 1, 0 Y 2 ) dx 12 e ( 3 x 4 y ) dy
）
（B） P ( A ) P ( A1 ) P ( A 2 ) 1 （D） P ( A ) P ( A1 ) P ( A 2 ) 1
(C ) N ( 0 , 4 6 );
（5）设 X 1, X 2 , , X n 为正态总体 N ( , 2 ) 的一个简单随机样本，其中 2 ,
0 . 7 0 . 7 0 . 6 0 . 28
…………6 分
四、 6 分）（
解：用 X 表示时刻 T 运行的电梯数，则 X ~ b ( 4 , 0 . 7 ) 所求概率
P X 1 1 P X 0
1 C 4 ( 0 . 7 ) (1 0 . 7 )
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级：题号得分一、单项选择题(每题 3 分共 18 分)
（1）
若事件 A 、B 适合 P ( A B ) 0 , 则以下说法正确的是 ( (A ) (B ) (C ) (D ) A 与 B 互斥 ( 互不相容 ); P ( A) 0 或 P (B ) 0 ; A 与 B 同时出现是不可能事件 ; P ( A) 0 , 则 P ( B A ) 0. ).

09-10-1概率统计试题公共课A答案

2009-2010-1《概率论与数理统计》试题（A ）参考答案和评分标准一、填空题（每题3分，共24分）1、52；2、12；3、6；4、3ln ；5、 22122()()2212x x e μμσπσ-+--；6、21λn ；7、121-∑=ni i x n 或21x -；8、(1,)F n 二、选择题（每题3分，共24分）1、A ；；2、A ；3、C ；4、C ；5、A ；6、B ；7、D ；8、D三、计算应用题（共52分）1、(6分) 解：设 A ={肝病患者}，B ={被诊断为患有肝病}，由贝叶斯公式，)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=3 分 .0187.002.0)0004.01(95.00004.095.00004.0≈⨯-+⨯⨯= 3 分 2、（6分）解：(,)X X 的联合分布为 4 分12120,0,0EX EX EX X ===，所以12cov(,)0X X =，于是 12(,)0R X X =. 2分3.（14分）解：（1）1|)]([10210==--=⎰x dx x x S所以⎩⎨⎧=01)(x f 其他D y x ∈),( 4 分（2）x dy dy y x f x f x x X 21),()(===⎰⎰-+∞∞- ⎩⎨⎧=02)(x x f X 其他10≤≤x 3 分 dx y x f y f Y ⎰+∞∞-=),()(当01<≤-y 时，y dx y f y Y +==⎰-11)(1当10≤≤y 时，y dx y f y Y -==⎰11)(1故⎪⎩⎪⎨⎧-+=011)(y y y f Y 其它1001≤≤<≤-y y 3 分由于),()()(y x f y f x f Y X ≠⋅，所以不独立。

2 分（3）00),()(110====⎰⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-dx xydy dx dy y x xyf dx XY E x x 2 分 4. （6分）解：设⎩⎨⎧=01iX 个车站没有乘客下车公共汽车在第个车站有乘客下车公共汽车在第i i （1,2,,9i = ）则 91i i X X ==∑ 2 分}0{0}1{1=⋅+=⋅=i i i X P X P EX 2581()9=- 2 分 92518()()9[1()]9i i E X E X ===⨯-∑ 2 分 5、（8分）解：由题意得，),(~2σμN XH 0：720==μμ H 1：720=≠μμ 2 分 )1(~/0-μ-=n t nS X T 2 分其中 929.5,4.67,10===S X n 代入 2622.2)9(453.210/929.5724.67025.0=>=-=t t 2 分所以，拒绝H 0 ，认为有显著差异。

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抛硬币反面朝上C. 抛硬币出现正面或反面D. 抛硬币出现正面和反面2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，以下哪个选项是正确的？A. μ是X的期望值B. σ²是X的方差C. μ是X的中位数D. σ²是X的期望值3. 假设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) + P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. X的期望值是npB. X的方差是np(1-p)C. X的期望值是nD. X的方差是p(1-p)二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) =________，其中λ > 0，k = 0, 1, 2, ...2. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为f(x) = ________，其中a < x < b。

3. 假设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ, σ²)，Y 服从正态分布N(ν, τ²)，则Z = X + Y服从正态分布N(μ+ν,________)。

4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望值E(X) = np，方差Var(X) = ________。

三、解答题（每题30分，共40分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 2)。

2. 假设随机变量X服从二项分布B(10, 0.3)，求P(X ≥ 5)。

答案：一、选择题1. C2. A3. A4. A二、填空题1. λ^k * e^(-λ) / k!2. 1/(b-a)3. σ² + τ²4. np(1-p)三、解答题1. 根据标准正态分布表，P(-1 < X < 2) = Φ(2) - Φ(-1) =0.9772 - 0.1587 = 0.8185。

2021年大学公共课概率论与数理统计期末考试题及答案(精选版)

2021年大学公共课概率论与数理统计期末考试题及答案（精选版）一、单选题1、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是(A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭(B){}(1),k k n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅(C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅(D ）{}(1),1k k n k i n P X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B2、设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|}C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是【答案】C3、设()(P Poission λX 分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=A ）1，B ）2，C ）3，D ）0【答案】A4、若X ～()t n 那么2χ～(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2()n χ (D ）()t n【答案】A5、对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间 (A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值【答案】D6、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H2~(,)X N μσμμ（C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H【答案】A7、设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；C ）不相关的充分必要条件；D ）独立的充分必要条件【答案】C8、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是(A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭(B){}(1),k k n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅(C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅(D ）{}(1),1k k n k i n P X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B9、对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间 (A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值【答案】D10、若X ～211(,)μσ，Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为A ）二维正态，且0=ρB ）二维正态，且ρ不定C ）未必是二维正态D ）以上都不对【答案】C二、填空题1、设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, …，xn ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

《概率论与数理统计A》综合练习答案

综合练习一一、单项选择题1．设A 与B 为两个随机事件，则表示A 与B 不都发生是【】. （A ）A B （B ）AB （C ）AB （D ）AB2．设A 、B 、C 为三个随机事件，则表示A 与B 都不发生，但C 发生的是【】. （A ）A BC （B ）()A B C + （C ）ABC （D ）A B C +3．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为【】. （A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销（B ）甲、乙两种产品均畅销（C ）甲种产品滞销（D ）甲种产品滞销或乙种产品畅销4．对于任意两个事件A 与B ，均有=-)(B A P 【】. (A) )()(B P A P - (B) )()()(AB P B P A P +- (C) )()(AB P A P - (D) )()()(AB P B P A P -+5．已知事件A 与B 互斥，8.0)(=+B A P ，5.0)(=B P ，则=)(A P 【】. (A) 0.3 (B) 0.7 (C) 0.5 (D) 0.6 6．若21)(=A P ，31)(=B P ，61)(=AB P ，则A 与B 的关系为【】. (A) 互斥事件 (B) 对立事件 (C) 独立事件 (D) A B ⊃7．已知事件A 与B 相互独立，8.0)(=+B A P ，5.0)(=B P ，则()P A =【】. (A) 0.3 (B) 0.2 (C) 0.5 (D) 0.6 8．若事件A 与B 相互独立，0)(>A P ，0)(>B P ，则错误的是【】. (A) A 与B 独立 (B) A 与B 独立 (C) )()()(B P A P B A P = (D) A 与B 一定互斥 9. 设事件A 与事件B 互不相容，则【】.（A ）()0P AB = （B ）()()()P AB P A P B = （C ）()1()P A P B =- （D ）()1P A B =U10. 设A 、B 为任意两个事件，且,()0A B P B ⊂>，则下列选项必然成立的是【】.C AD C B C D D D B（A ）()()P A P A B < （B ） ()()P A P A B ≤ （C ）()()P A P A B > （D ）()()P A P A B ≥二、填空题11.设C B A ,,为三个事件，试用C B A ,,表示下列事件：（1）C B A ,,中至少有一个发生；（2）C B A ,,中恰好有一个发生；（3）C B A ,,三个事件都发生；（4）C B A ,,三个事件都不发生；（5）B A ,都发生而C 不发生；（6）A 发生而C B ,都不发生；12. 某人向目标射击三次，事件=i A {第i 次击中}，3,2,1=i ，用事件的运算关系表示下列各事件，（1）只击中第一枪；（2）只击中一枪 ___________；（3）三枪都未击中；（4）至少击中一枪；（5）目标被击中；（6）三次都击中；（7）至少有两次击中 _______________________________；（8）三次恰有两次击中 _____________． 13. 已知事件A 与B 相互对立，则AB = ，A B += ， ()P AB =，()P A B += ． 14. 已知3.0) (=B A P ，则=+)(B A P ．15. 已知事件B A ⊂，9.0)(=+B A P ，3.0)(=AB P ，则=-)(A B P ． 16. 设A 与B 为两个事件，且7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ． 17. 已知事件A 与B 相互独立，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，则=+)(B A P． 18. 设,,A B C 是三个相互独立事件，且5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，7.0)(=C P ，则()P A B C ++=． 19. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的.某学生靠猜测能答对4道题的概率是 . 20. 已知在3次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为2726，则事件A 在一次试验中A B C ++ABC ABC ABC ++ABC ABC ABC ABC 123A A A 123123123A A A A A A A A A ++123A A A 123A A A ++123A A A ++123A A A 123123123123A A A A A A A A A A A A +++123123123A A A A A A A A A ++∅U 01.07.06.06.058.094()()44151344C21. 设A 与B 相互独立，()0.5,()0.8P A P A B =+=，则()P B = ，()P AB = . 22. 若112(),(),(),233P A P B P B A === 则()P A B = . 23.投掷两个均匀骰子，出现点数之和为6*24. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则)(A P 三、计算题24. 设4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=+B A P ，求（1）)(AB P ；（2）) (B A P ；（3）) (B A P ；（4）)(B A P +．25. 已知7.0)(=A P ，()0.9P B =，()0.7P A B =，求()P A B +．四、解答题26. 某城市中发行2种报纸A 与B , 经调查, 在全市人中, 订阅A 报的有45%,订阅B 报的有35%, 同时订阅2种报纸A , B 的有10%. 求只订一种报纸的概率..06.021解：（）由()()()()1P A B P A P B P AB +=+-得()()()()P AB P A P B P A B =+-+....；04030601=+-=（）()()2P AB P A B =-()()P A P AB =-...；040103=-=（）()()31P AB P A B =-+..；10604=-=（）()()4P A B P AB +=()1P AB =-...10109=-=解：()()(|)P AB P B P A B =...,0907063=⨯=()()()()P A B P A P B P AB +=+-...0709063=+-..097=解：由题意得().，().,().,04503501P A P B P AB ===()()()P AB AB P AB P AB ∴+=+()()P A B P B A =-+-()()()()P A P AB P B P AB =-+-....0450103501=-+-..06=答：只订一种报纸的概率为..0627. 袋中有10个球，其中7个白球，3个红球，从中任取三个，求（1）全是白球的概率；（2）恰有两个白球的概率；（3）至少一个白球的概率.28. 一副扑克牌52张，每次抽一张，共抽取2次，分两种方式抽取，求两张都是A 的概率. （1）取后不放回；（2）取后放回．*29．（配对问题）三个学生证混放在一起，现将其随意发给三名学生，试求事件A ={学生都没有拿到自己的学生证}的概率.解：（）(全是白球)373101C P C =；724=（）(恰有个白球)217331022C C P C =；2140=（）(至少有个白球)(全是红球)311P P =-333101C C =-11120=-.119120=解：（）(张都是)43125251P A =⨯；1221=（）(张都是)44225252P A =⨯.1169=解：()2111323P A =⨯⨯=综合练习二一、单项选择题1. 已知离散型随机变量X 的概率分布表为：则下列计算结果中正确是【】． (A) {3}0P X == (B) {0}0P X == (C) {1}1P X >-= (D) {4}1P X <= 2. 设随机变量X 的分布列如下，则c =【】.(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 1 (D) 2*3. 设随机变量X 的分布函数()F x ，在下列概率中可表示为}{)(a X P a F <-的是【】．（A ）}{a X P ≤ （B ）}{a X P > （C ）}{a X P ≥ （D ）}{a X P =4. 设随机变量X 的概率密度为：(),020,cx x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它，则c =【】．(A) 1 (B) 2 (C)12 (D) 145. 设随机变量X 的概率密度为：()1,080,x x cf x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，则c =【】． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46. 设随机变量~(3,4)X N -，则随机变量=Y 【】~(0,1)N ． (A)43-X (B) 43+X (C) 23-X (D) 23+X 7. 设随机变量2~(10,)X N σ，且3.0}2010{=<<X P ，则=<<}100{X P 【】.(A) 0.3 (B) 0.2 (C) 0.1 (D) 0.58. 设随机变量X 服从泊松分布，且已知{}{}02P X P X ===，则参数λ=【】.(A)12 (B) 2 A A C D D A D D9. 设随机变量X 的概率分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1.03.06.021，则E X =()【】． (A) 1 (B)13(C) 0 (D) 05. 10. 有一批钢球，重量为10克、15克、20克的钢球分别占55%、20%、25%，现从中任取一个钢球，重量X 的期望为【】．（A ）12.1克（B ）13.5克（C ）14.8克（D ）17.6克11. 设随机变量~(,)X B n p ，则下列等式中【】恒成立．（A ）12(-X E np 2)=（B ）14)12(-=-np X E （C ）1)1(4)12(--=-p np X D（D ）)1(4)12(p np X D -=-12. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ，且0E X =()，则【】． (A) 6,4a b =-= (B) 1,1a b =-= (C) 6,1a b == (D) 1,5a b ==13. 设随机变量~(2,16)X N ，则下列等式中不成立的是【】．（A ）()2E X =（B ）()4D X =（C ）{16}0P X == （D ） {2}0.5P X ≤= 14. 设随机变量X ，且10)10(=X D ，则=)(X D 【】．（A ）101（B ） 1 （C ） 10 （D ）100 二、填空题15. 某射手射击目标的命中率为8.0=p ，他向目标射击3枪，用X 表示命中的枪数，则随机变量2=X 的概率为___________．16. 设随机变量~(2,)X B p ，若9{1}25P X ≥=，则p{2}P X = 17. 设随机变量X 服从泊松分布，且{1}{2}P X P X ===，则参数λ= ，{0}P X == ；{2}P X == ；{4}P X == ． 18. 设X 服从()0,5上的均匀分布，则==}5{X P ____，=≤≤}42{X P ______，=≤≤}64{X P． D B D A B A .038422e -223e -0.02.0422e -19. 设每次试验失败的概率为(01)p p <<, 则在3次重复独立试验中成功2次的概率为________________.20. 设随机变量X ，4)13(=+-X E ，则=)(X E ．21. 设随机变量)21,100(~B X ，则=)(X E _________； =+)32(X E _________． 22. 已知随机变量X ，且9)3(=X E ，4)2(=X D ，则=)(2X E ．23. 设X 和Y 相互独立，4)(=X D ，2)(=Y D ，则(32)D X Y -= ．24. 设X 服从参数为λ的泊松分布，4)(=X D ，则=)(X E ，=λ ． 25. 设),(~b a U X ，3)(=X E ，3)(=X D ，则=a ，=b ．26. 设X 服从指数分布，4)4(=X D ，则=)(X E ．27. 设)4,2(~N X ，则=)(X E ，()D X = ，=)(2X E ．三、计算题28. 6个零件中有4个正品2个次品，从中任取 3个零件，用X 表示所取出的 3 个零件中正品的个数, 求随机变量X 的概率分布.29.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测。

2020年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案(精华版)

2020年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案（精华版）一、单选题1、设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

【答案】C2、服从正态分布，，，是来自总体的一个样本，则服从的分布为___ 。

(A)N (,5/n) (B)N (,4/n) (C)N (/n,5/n) (D)N (/n,4/n) 【答案】B3、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D 4、设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当___ __时，一般采用统计量(A) (B)(C)(D)【答案】D5、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本，则2()E X 的矩估计是（A ）22111()1n i i S X X n ==--∑（B ）22211()n i i S X X n ==-∑（C ）221S X + （D ）222S X + 【答案】D6、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为X 1-=EX 25EX =),,(1n X X X ∑==ni inX X 111-1-1-1-nX X X ,,,21 2(,)N μσX U =220μσσ未知，检验＝220μσσ已知，检验＝20σμμ未知，检验＝20σμμ已知，检验＝（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A7、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是____ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 8、设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当__ __时，一般采用统计量(A) (B)(C)(D)【答案】C9、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D10、设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D)(1,1)F m n -- 【答案】C 二、填空题im 211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()rA i i i S m y y ==-∑nX X X ,,,21 2(,)N μσX t =220μσσ未知，检验＝220μσσ已知，检验＝20σμμ未知，检验＝20σμμ已知，检验＝1、设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量是。

概率论与数理统计问题及答案AB卷

概率论与数理统计问题及答案AB卷一、选择题1. 事件A和事件B是互斥事件，它们的概率分别为P(A) = 0.3和P(B) = 0.4，求事件“A或B”的概率P(A∪B)。

答案：根据概率的加法公式，事件"A或B"的概率等于事件A的概率加上事件B的概率减去它们的交集的概率。

因为事件A和事件B是互斥事件，所以它们的交集概率为0。

因此，P(A∪B) =P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.4 = 0.7。

2. 一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取3个进行检测，求恰好有1个次品的概率。

答案：这是一个二项分布问题。

设p为单个产品为次品的概率，则单个产品为良品的概率为1-p。

根据二项分布的公式，恰好有1个次品的概率为C(3, 1) * p * (1-p)^2。

代入p=0.1，可计算得出恰好有1个次品的概率。

3. 某城市一年的降水量服从正态分布，平均降水量为800毫米，标准差为50毫米。

则该城市一年降水量在700毫米到900毫米之间的概率是多少？答案：根据正态分布的性质，平均降水量加减1个标准差的范围内约有68%的概率，加减2个标准差的范围内约有95%的概率，加减3个标准差的范围内约有99.7%的概率。

所以，一年降水量在700毫米到900毫米之间的概率为95%。

二、计算题1. 设A、B、C为三个事件，已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.5，P(C) = 0.4，且P(A∩B∩C) = 0.1，求以下概率：a) P(A∪B)b) P(A'∩B)c) P(A∪B∪C')答案：a) 根据概率的加法公式，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

代入已知概率可计算得出P(A∪B)。

b) 求A的补集A'，即事件A不发生的概率。

然后求A'∩B的概率，即事件A不发生且事件B发生的概率。

根据事件的互斥性，可推出P(A'∩B) = P(B) - P(A∩B)。

概率论部分习题及答案

7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(．另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布：（1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=．解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π．８二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布．解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率．解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(636271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ．解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ．当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1）任一时刻有70至86台车床在工作的概率；（2）任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：（1）保险公司亏本的可能性是多大？（2）保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈．即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。

概率论与数理统计AB卷和答案

概率论与数理统计A 卷一、单项选择题(每小题2分，共20分)1．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (A ⋃B )=32，若事件A ，B 相互独立，则P (A )=( )A ．91B ．61C ．31D ．21 2．对于事件A ，B ，下列命题正确的是( ) A ．如果A ，B 互不相容，则A ，B 也互不相容 B ．如果A ⊂B ，则B A ⊂ C ．如果A ⊃B ，则B A ⊃D ．如果A ，B 对立，则A ，B 也对立3．每次试验成功率为p (0<p <1)，则在3次重复试验中至少失败一次的概率为( ) A ．(1-p )3 B ．1-p 3C ．3(1-p )D ．(1-p )3+p (1-p )2+p 2(1-p )4．已知离散型随机变量X则下列概率计算结果正确的是( ) A ．P (X =3)=0 B ．P (X =0)=0 C ．P (X >-1)=1D ．P (X <4)=15．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X ( )A ．0B ．31C ．32 D ．1A ．(51，151)B ．(151，51)C ．(101，152) D ．(152，101) 7．设(X ,Y )的联合概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤≤≤+,,0,10,20),(其他y x y x k 则k =( )A ．31B ．21 C ．1D ．38．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X +10的方差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．149．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P (|X -2|≥3)≤( )A ．91B ．92C ．31D ．94 10．由来自正态总体X ～N (μ，22)、容量为400的简单随机样本，样本均值为45，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是(u 0.025=1.96，u 0.05=1.645)( ) A ．(44，46)B ．(44.804，45.196)C ．(44.8355，45.1645)D ．(44.9，45.1)二、填空题(每小题2分，共30分)11．对任意两事件A 和B ，P (A -B )=______．12．袋中有4个红球和4个蓝球，从中任取3个，则取出的3个中恰有2个红球的概率为______.13．10个考签中有4个难签，有甲、乙2人参加抽签(不放回)，现甲先抽，乙次之，设A ={甲抽到难签}，B={乙抽到难签}．则P (B )=______．14．某地一年内发生旱灾的概率为31，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为______.15．在时间[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知P (X =4)=3P (X =3)，则在时间[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为______．16．设随机变量X ～N (10，σ2)，已知P (10<X <20)=0.3，则P (0<X <10)=______．则P {X =Y }的概率为______．18．设随机变量(X ，Y )的联合分布函数为F (x ，y )=⎩⎨⎧>>----.,00,0),1)(1(43其他y x e e y x ，则(X ，Y )关于X 的边缘概率密度f X (x )=______．19．设随机变量X ～B (8，0.5)，Y=2X -5，则E (Y )=______．20．设随机变量X ，Y 的期望方差为E (X )=0.5，E (Y )=-0.5，D (X )=D (Y )=0.75，E (XY )=0，则X ，Y 的相关系数ρXY =______．21．设X 1，X 2，…，X n 是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E (X i )=0，D (X i )=1，则当n 充分大的时候，随机变量Z n =∑=ni iXn11的概率分布近似服从______(标明参数)．22．设X 1，X 2，…X n 为独立同分布随机变量，X i ～N (0，1)，则χ2=∑=ni iX12服从自由度为______的χ2分布．23．设X l ，X 2，X 3为总体X 的样本，3214141ˆCX X X ++=μ，则C =______时，μˆ是E (X )的无偏估计． 24．设总体X 服从指数分布E (λ)，设样本为x 1，x 2，…，x n ，则λ的极大似然估计λˆ=______. 25．设某个假设检验的拒绝域为W ，当原假设H 0成立时，样本(x l ，x 2，…，x n )落入W 的概率是0.1，则犯第一类错误的概率为______．三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)26．100张彩票中有7张有奖，现有甲先乙后各买了一张彩票，试用计算说明甲、乙两人中奖的概率是否相同． 27．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x f 试求E (X )及D (X )．四、综合题(每小题12分，共24分)28．已知某种类型的电子元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,6001)(600x x ex f x某仪器装有3只此种类型的电子元件，假设3只电子元件损坏与否相互独立，试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率．29．设随机变量X ，Y 相互独立，X ～N (0，1)，Y ～N (0，4)，U=X +Y ，V=X -Y ，求(1)E (XY )；(2)D (U )，D (V )；(3)Cov(U ，V )．五、应用题(10分)30．某食品厂对产品重量进行检测。

2012-2013公共基础《概率论》期末考试试卷参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第 1 学期考试科目：概率论考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、设A 与B 互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D )。

(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 必相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布如下，则有( C )成立。

010.20.8X P 010.20.8Y P(A) ()0P X Y == (B) ()0.4P X Y ==(C) ()0.68P X Y == (D) ()1P X Y ==3、设随机变量ξ的概率密度为()x ϕ，η=12ξ，则η的分布密度为( A )。

(A)1122y ϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 112y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (C) 12y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (D)2(12)y ϕ- 4、设随机变量ξ服从2λ=的泊松分布,则随机变量2ηξ=的方差为( A )。

(A) 8； (B) 4； (C) 2； (D) 16.5、设2~(0,1),~(,)N N a ξησ,则η与ξ之间的关系是( B )。

(A) a ξησ-=; (B) a ησξ=+; (C)2a ξησ-= ; (D)2a ησξ=+.二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1、设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件()A B C =__{1,2,5,6,7,8,9,10} ________。

2、抛一枚硬币三次，ξ和η分别表示出现正面的次数和出现反面的次数，则{}P ξη>=__12_______。

3、3、设随机变量X 的分布函数0,0.2,()0.9,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111122x x x x <--≤<≤<≥，则{03}P X ≤≤=_0.8_。

广东工业大学大一公共课概率统计考试试卷及参考答案1

广东工业大学概率统计考试试卷及参考答案1一、单项选择题（5’）1．设事件A 和B 为两个随机事件，且已知5.0)(,7.0)(=-=B A P A P ，则()P AB 可能为（）。

A ．0B.1C ．0.2D.1/4 答案：C2．袋中有10个大小完全相同的球，其中6个黑色球，4个白色球，现从盒子中随机抽取两个球，则取出的两个球都是黑色球的概率是（）。

A.0B.1C.1/3D.1/4 答案：C3．设某种动物从出生起活二十岁以上的概率为54，活二十五岁以上的概率为52，如果现在有一个二十岁的动物，则它活到二十五岁以上的概率为（）。

A.0B.1C.1/3D.0 答案：D4．若0)(,0)(>>B P A P ，且)()(A P B A P =，则（）成立。

A.)()(AB P A B P =B.)()(B A P B A P ⋃=C.A,B 互容D.A,B 互不相容答案：D5. 如图所示：答案：D 6．如图所示：答案：C 7．如图所示：答案：A 8．如图所示：答案：B 9．如图所示：答案：D 10．如图所示：答案：B 11．如图所示：答案：C12．袋中有5个球（3个新球，2个旧球）。

现每次取一个，无放回的抽取两次，则第二次取到新球的概率是（）。

A、3／5B、3／4C、1／2D、3／10答案：A13．如图所示：答案：A14．已知在10个电子元件中有2只是次品，从其中取两次，每次随机的取一只，做不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（）。

A、1／45B、1／５C、16／45D、8／45答案：B15.如图所示：答案：B16．如图所示：答案：A17．已知P（A）＝P（B）＝P（C）＝1／4，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝3／16，则事件A，B，C全不发生的概率等于（）。

A、7／16B、3／4C、1／4D、9／16答案：A18．设P（AB）＝0，则（）。

A、A和B不相容B、A和B独立C、P（A）＝0或P（B）＝0D、P（A－B）＝P（A）答案：D19．如图所示：答案：B填空题（5’）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P(A)=0.1，P(B)=0.5，则)(AB P =＿＿＿＿。

大学专业试卷-大学一年级公共基础课高等数学概率论期末考试卷A卷含答案

《概率论》课程试卷（A ）适用专业：考试日期：考试时间：120分钟考试方式：闭卷总分100分一、填空题. （每空2分，共20分）1、设C B A ,,为三个事件，用它们表示下列事件（1）B A ,发生而C 不发生可表示为（2）三个事件中至少有一个发生可表示为（3）三个事件中最多有两个发生可表示为2、()()()7.0,6.0,4.0=⋃==B A p B p A p ，则()=AB p3、随机变量X 与Y 相互独立， D （X ）=2，D （Y ）=3，则方差D （2X+3Y ）= .4、设随机变量X 服从参数为0.25的指数分布，则()=+12X E ；()=+12X D 5、设随机变量X ～)1,0(N ，则其概率密度=)(x f .6、5.0)(,5.0)(==B p A p ，且事件A 与B 独立，则=⋃)(B A p7、设()5,1~U X ，则()12+X E =二、选择题（7小题，每小题3分，共21分）1、袋子中有3个白球，1个黑球，从中不放回的取球，则第3次取到黑球的概率为（）A 、43B 、54C 、41D 、109 2、P （A ）=0.5 , P(B)=0.6 , P(B/A)=0.8 则P （A ∪B ）的值是（）A 、 0.6B 、 0.7C 、 0.8D 、0.93、设()x F 和()x f 分别为某随机变量的分布函数和密度函数，则有（）A 、()x f 单调不减B 、()1=⎰+∞∞-dx x F C 、()0=∞-F D 、()()dx x f x F ⎰+∞∞-=4、若 X~B （ n , p ）且Ex=8 ,Dx=4.8 , 则 n= ( )A 、 10B 、15C 、20D 、 255、若x 的数学期望Ex 存在，则E[E(Ex)]= ( )A 、ExB 、xC 、0D 、()3x E 6、下列函数是某随机变量的分布函数的是（）A 、()211x x F +=B 、()x x F sin =C 、()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,00,112x x x x F D 、()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,10,112x x x x F7、ξ等可能在区间()3,1上取值，则方程012=++x x ξ有实根的概率（）A 、0.25B 、0.5C 、2D 、4三、解答题（第1，6题12分，2，4，5题8分，第3题11分）1、设随机变量的分布列为：已知()1.0=X E ，()9.02=X E 试求（1）1p ，2p ，3p （2）()12+-X D2、甲乙二人同时射击，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，求：（1）两人同时击中目标的概率；（2）至少有一人击中目标的概率.3、x 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x X F ,11,ln 1,0求x 的概率密度()x f 及P （x<2）,P(0<x≤3).4、()ηξ,的密度函数为()⎩⎨⎧<<<<=其他,00,10,6,x y x y x f 求 ()()y f x f y x , 5、若 X~()2,1U ，求X Y 2=的密度函数6、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤-=其他，，022)(2x cx X f ，求（1）常数C ；（2）()()X D X E ,《概率论》试卷答案（A ）适用专业：考试日期：考试时间：120分钟考试方式：闭卷总分100分一、填空题. （每空2分，共20分）1 （1）C AB （2）C B A ⋃⋃（3）ABC U -2 0.3 3、 35 4、 9 645、 ()2221x e x f -=π 6、0.25 7、7二、选择题（7小题，每小题3分，共21分）1、C2、 B3、 C4、 C5、A6、D7、B三、解答题1 解： 1）1p +2p +3p =1-1p + 3p =0.11p + 3p =0.9 解得1.0,4.0,5.0213===p p p ……6分2）()89.0)(22=-=Ex Ex x D ，56.389.04)12(=⨯=+-X D ……12分 2 解：（1）42.07.06.0=⨯ ………4分（2）88.03.04.01=⨯-………8分3、解：()()110x x e x F x ϕ⎧⎪≤<'==⎨⎪⎩其它………………4分 ()()()()()22ln 203301p x F p x F F <==<≤=-=……………………11分 4 解：()()⎰⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧<<===其他01066,0x X x x dy dy y x f x f …4分 ()()⎰⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧<<-===其他010)1(66,1Y yy y dx dx y x f y f …8分 5、解：()⎩⎨⎧≤≤=else x x f ,,0211…………2分 ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤=≤=22y F y X P y Y P y F X Y ………4分对y 求导()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=else y y f y f X Y ,,022121221………8分 6、解⑴ ⎰-=2221dx cx ，得到163=c （6分）（2）()0163322==⎰-dx x X E ………(8分) ()5121634222==⎰-dx x X E ，所以()()()51222=-=)(X E X E X D （12分）。

公共课必考概率论单项知识点精讲及习题解析

公共课必考概率论单项知识点精讲及习题解析随着社会科技的飞速发展，人们对于数字化技术所带来的便利逐渐熟悉并接受，然而，这一便利的背后是大量的数学理论支撑，而概率论则是其中一个重要的分支。

在2023年的公共课考试中，概率论将成为必考内容之一。

本文将对概率论的单项知识点进行深入解析，同时提供相应的习题解析，以期对广大考生有所帮助。

一、概率基本概念概率是指某个事件发生的可能性。

在日常生活中，人们经常会涉及到概率的概念，比如抽奖、投资等。

而在概率论中，我们通常将一个问题转化成一个数学模型，通过数学方法进行分析和求解。

1、样本空间和事件样本空间是指一个试验中所有可能出现的结果的集合。

例如，一次掷骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

事件是指样本空间中的一个或多个元素所组成的集合。

例如，掷骰子出现的点数为偶数，这个事件可以表示为{2, 4, 6}。

2、事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小。

通常用P(A)表示事件A的概率，计算公式为：P(A) = 事件A发生的次数 / 总试验次数即，事件A发生的次数除以总试验次数，其中总试验次数指的是在相同的条件下，试验重复进行的次数。

二、概率的性质1、非负性对于任何事件A来说，其概率P(A)都是非负数，即P(A)≥0。

2、规范性对于样本空间Ω中的所有事件A，有0≤P(A)≤1。

3、完备性对于样本空间Ω来说，必有P(Ω)=1。

4、可减性对于任何事件A、B来说，有P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中，A∪B表示事件A和事件B的并集，即事件A或B发生的情况；A∩B表示事件A和事件B的交集，即事件A和B同时发生的情况。

三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

通常用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B 发生的概率。

江西师范大学大一公共课专业概率统计考试试卷及参考答案4

江西师范大学概率统计考试试卷及参考答案4一、单项选择题（5’）1.如图所示：答案：D2.如图所示：答案：A3.如图所示：答案：B4.如图所示：答案：A5.如图所示：答案：B6．设事件A和B为两个随机事件，且已知AP=BAP，则()⋃PB=()(=,7.08.0)),5.0(P AB可能为（）。

A．0B．0.4C．0.2D．1/4答案：B7．从0、1、2···9这10个数字中，任意选出三个不同的数字，则3个数字中不含0和5的概率为（）。

A．0B ．1C ．157D ． 158答案：C8．在1-9的整数中可重复地随机取6个数字组成一个六位数，则六个数中不含奇数的概率为（）。

A ．0B ．6694C ．1D ．94答案：B9．设A ，B 为任意两个事件，且0)(,>⊂B P B A ，则下列选项必然成立的是（）。

A ．)()(B A P A P <B ．)()(B A P A P ≤C ． )()(B A P A P >D ． )()(B A P A P ≥ 答案：B 10. 如图所示：答案：B11. 如图所示：答案：A12. 如图所示：答案：B13. 在假设检验中，一般情况下（）错误。

A、只犯第一类B、只犯第二类C、既可能犯第一类也可能犯第二类D、不犯第一类也不犯第二类答案：C14. 下列说法正确的是（）。

A、如果被择假设是正确的，但作出的决策是拒绝被择假设，则犯了弃真错误B、如果被择假设是错误的，但作出的决策是接受被择假设，则犯了采伪错误C、如果零假设是正确的，但作出的决策是接受被择假设，则犯了弃真错误D、如果零假设是错误的，但作出的决策是接受被择假设，则犯了采伪错误答案：C15. 检验的显著性水平是（）。

A、第一类错误概率B、第一类错误概率的上界C、第二类错误概率D、第二类错误概率的上界答案：B16. 如图所示：答案：C17.如图所示：答案：B18. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（）。

113 烟台大学概率论与数理统计试题061220A与答案及评分标准

学生姓名______________ 学号______________ 所在院系________________ 班级________________113 烟台大学2006～2007学年第一学期概率论与数理统计试卷A考试时间为120分钟提示：需要用到的数据包含在下面的表格中.一、(本题15分)甲、乙两个盒子,甲盒中有3个白球、2个红球,乙盒中有4个白球、4个红球.从甲盒任取一个球放入乙盒,再从乙盒取出一球.(1)求乙盒中取出的是白球的概率; (2)若乙盒中取出的是白球，求甲盒中取出的球是白球的概率.二、(本题15分)设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-+=x x x f X ,)1(1)(2π.求随机变量X Y arctan =的概率密度)(y f Y .三、(本题15分)设X 、Y 是正值随机变量,且对任意的0,>y x ,x x X P -=>2)(, y y Y P -=>2)(, y x y Y x X P --=>>2),(. 求X 、Y 的联合分布函数.四、(本题15分)设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,020,sin )(其它，πx x x f试求X sin 的数学期望和方差.五、(本题15分)一种大型客车的安全载重量为4吨,设每个成年人的体重是随机变量,它们相互独立,服从相同的分布,每个成年人的平均体重为65公斤,标准差为10公斤.问搭乘60名成年人不超过安全载重量的的概率是多少？六、(本题10分)设电子元件的寿命X 服从正态分布,从中任意抽取10个元件测定其寿命,算得样本均值1500=X (小时),样本标准差为14=s (小时),试求总体X 的均值μ的置信度为0.99的置信区间. (1485.6,1514.4).七、(本题15分)设n X X X ,,,21 是总体X 的简单随机样本,X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=+,0,0,0,)1(),(1x x x x f θθα其中未知参数0>α. 求参数α的极大似然估计量.。

2021年大学必修课概率论复习题及答案

2021年大学必修课概率论复习题及答案一、单选题1、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

【答案】D2、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ）{}(1),k k n k n P X kC p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅D ）{}(1),1k k n k i n P X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B3、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5【答案】B4、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立，则 A ） 9/1,9/2==βα B ） 9/2,9/1==βαC ） 6/1,6/1==βαD ） 18/1,15/8==βα【答案】A5、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立，则A ） 9/1,9/2==βαB ） 9/2,9/1==βαC ） 6/1,6/1==βαD ） 18/1,15/8==βα【答案】A6、设()(P Poission λX 分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=A ）1，B ）2，C ）3，D ）0【答案】A7、对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则A ）()()()D XY D X D Y =⋅B ）()()()D X Y D X D Y +=+C ）X 和Y 独立D ）X 和Y 不独立【答案】B8、设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

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山东建筑大学试卷共 3 页第 1 页
2009-2010-2《概率论与数理统计》试题（A）参考答案和评分标准
一、填空题（每题3分，共18分）
1、11；
2、 0.2 ；
3、2；
4、3/7；
5、()23χ分布；
6、1/12 二、选择题（每题3分，共18分） 1．C; 2、C ；3、B ；4、B ；5、D ；6、B 三、计算应用题（共64分）
1、（10分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1,0.1。

一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看四只：若无残次品则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求顾客买下该箱玻璃杯的概率。

解：设事件i B 表示顾客查看的那一箱玻璃杯中含有i 只残次品(i=0,1,2),事件A 表示顾客买下该箱玻璃杯，则 ()012()0.8,
()0.1,p B p B p B ===
0(|)1p A B =，4
1911420
4(|)5
C C p A B C =
=
40
18224
20
12(|)19
C C p A B C =
=
……… 6分
由全概率公式得。

2
()()(|)i i i p A p B p A B ==
∑
……… 8分
4120.810.10.10.9435
19
=⨯+⨯+⨯≈ ………10分
2、（10分）设二维随机变量（,X Y ）在由2,y x y x ==所围成的区域上服从均匀分布，求关于x 和关于y 的边缘密度函数。

解：、(10分) 2
10
1
6
x x
S dydx =
=⎰⎰
， ……… 2分
2
6
01
(,)0
x y x x f x y ⎧<<<<=⎨
⎩，其它
……… 4分
2
22
6()01
()(,)66(),()0x X X x
x x x f x f x y dy dy x x
f x +∞-∞
⎧-<<=
=
=-=⎨
⎩
⎰
⎰
其它… 8分
6(01()(,)6(()0Y Y y
y y f y f x y dy dy y f y +∞-∞
⎧-
<<⎪==
=-
=⎨
⎪⎩
⎰
其它
… 10分
3、（12分）箱中有6个球，其中红白黑球的个数分别为1、2、3个，现从箱中随机的取出2个球，设X 为取出的红球的个数，Y 为取出的白球数，求： (1)随机变量(X,Y)的概率分布； (2)求cov(X,Y ）
解：（1）X 的所有可能取值为：0,1；Y 的所有可能取值为：0,1,2;
(,)232
6
C 1p X 0Y 0C 5
===
=
(,)11
3226
C C 2p X 0Y 1C 5
===
=
(,)222
6
C 1p X 0Y 2C 15
====
(,)11
1326
C C 1p X 1Y 0C
5===
=
(,)11
112
6
C C 2
p X 1Y 1C 15
===
=
(,)p X 1Y 20===
得联合概率分布。

……………… 6分（2）cov(,)()X Y E XY EXEY =- ……………… 8分
()22
E X Y 1115
15=⨯⨯=
,
1812
E X E Y 12315153
=
=⨯+⨯= ……………… 10分
所以，cov(,)2124X Y 15
3345
=-⨯=-
……………… 12分
4．（12分）设随机变量X 与Y 独立，其分布密度分别为：
⎩⎨⎧≤≤=其它,01
0,1)(x x f X ；⎩⎨⎧>=-其它,
00,)(y e y f y Y
（1）求X T 2=的分布；（2）求Y X Z +=2的分布密度。

解：．1)2
t x =
()=⋅⎪⎭⎫
⎝⎛=∴2
1
2t f t f x T 1/2 0≤t ≤2 其它: ()0=t f T ……………4分 2)Y T Y X z +=+=2
()()()dy y f y z f z f Y T z -=
⎰
+∞
∞
- 当0≤z-y ≤2 ()2
1=
-y z f T , 其它()0=-y z f T
……………6分 ∴2.1) 当z ≤0时 ()0=z f z ……………8分
2.2) 当0≤z ≤2时 ()()z
y
z
z e dy e
z f ---=
=
⎰12
12
1
……………10分
2.3) 当z>2时 ()()
12
12
1
2
-=
=
--⎰e
e
dy e
z f z
y
z
z ……………12分
5、(10分)设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，⎩⎨
⎧<≥--θ
θθx x e X x 0
~)
(，
试求θ的矩估计和极大似然估计。

解、（1）1)()
(+==
⎰
+∞
--θθ
θdx xe
X E x ……… 3分
X =+1θ ， θ的矩估计为：.1-X ……… 5分（2）∑-=⋅=n
i i
x n n e
e x x x L 1),,,(21θθ ……… 7分
0ln >θ
d L d ， L 为θ的单调增函数，故 }{min 1i n
i x ≤≤=θ … 10分
6、某工厂生产一种零件，其口径服从正态分布，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（毫米）如下：
14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.7.
（1）计算样本均值
（2）已知零件直径标准差为0.15毫米，求直径的均值对应于置信水平为0.95的置信区间.
解：（1）9
1
14.99
i
i x
x m m ==
=∑ ……… 3分
(2) 直径的均值对应于置信水平为0.95
的置信区间为0.025
0.025
[x U x U -+… 7分
已知0.0250.15,9,
1.96n U σ===，代入得置信区间为【14.802,14.998】… 10分。