例1

而rzs t 在t 0处是连续的．
以上分析可用下面的数学过程描述
d
2 2
dt
rzs t a t but ,
d dt
rzs t aut
X
第 12 页
代入（5）式 a t but 3aut 2r t 2 t 6ut 根据在t=0时刻，微分方程两端的 t 及其各阶导数应 该平衡相等，得
, r 0 先来求完全响应，再求零输入

响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。
方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量
rzs 0 , rzs 0

来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完 全响应。 本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。
X
方法一
1. 完全响应 该完全响应是方程
所以，系统的零输入响应为
rzi t 4e
t
2e
2 t
t0
下面求零状态响应
X
第
3.求零状态响应
零状态响应=完全响应—零输入响应，即
rzs t 4e
t
10 页
e
2 t
3
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4e t
e
2 t
X
方法二
零状态响应 zs t 是方程 r
X
分析
在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：
r
(k )
第 2 页
0 ：起始状态，它决定零输入响应；

rzs
(k )
0 ：跳变量，它决定零状态响应；

r
(k )
0 ：初始条件，它决定完全响应；

这三个量之间的关系是
r
(k )
0 r 0 r 0
(k ) (k )
a2
X
第 7 页
所以
r 0 r 0 a 0 2 2
r 0 r 0 2
把r 0 2, r 0 2代入
r t A1 e
t
A2 e
2 t
3
得A1 0, A2 1 ，所以系统的完全响应为

zs

分别利用
rzs
(k )
0 ，r 0
(k )

求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。
X
解：
将et ut 代入原方程有
d r t
2
第 3 页
方法一：利用 r 0
dt
2
3

d r t dt
2r t 2 t 6ut
d r t
2
第 4 页
dt
2
3
d r t dt
2r t 2 t 6ut
（1）
且满足r 0 2, r 0 0的解
方程（1）的特征方程为
3 2 0
2
特征根为
1 1， 2 2
X
第 5 页
方程（1）的齐次解为 t 2 t r t A1 e A2 e 因为方程（1）在t>0时，可写为
d r t
2
第 6 页
dt
2
a t but
aut
d r t dt
r t 无跳变
代入方程（1），得
a t but 3aut 2r t 2 t 6ut
匹配方程两端的 t ，及其各阶导数项，得
d r t
2
dt
2
3
d r t dt
2r t 6ut
（2）
显然，方程（1）的特解可设为常数D，把D代入方程 （2）求得
D3
所以方程（1）的解为
r t A1 e
t
A2 e
2 t
3
X
下面由冲激函数匹配法定初始条件
由冲激函数匹配法定初始条件
据方程（1）可设
例2-1
描述某LTI 系统的微分方程为 d r t d r t d e t 2 3 2r t 2 6e t dt dt dt
2
第 1 页
已知r 0 2, r 0 0, e t ut ，求系统的全响应， 并指出零输入响应，零 状态响应，自由响应， 强迫响应。
t
rzi t D1 e
D2 e
2 t
3
由初始条件 zs 0 2, rzs 0 0得 r
D1 4, D2 1
所以，系统的零状态响应为 t 2 t rzs t 4e e
rzi t 4e
t
3
( t 0)
方法一求出系统的零输入响应为
r t e 再求零输入响应 zi t r
X
2 t
3
t0
第
2.求零输入响应
因为激励为零，零输入 响应rzi t 是方程
d r t
2
8 页
dt
2
3
d r t dt
2r t 0
（3）
且满足rzi 0 rzi 0 r 0 2， rzi 0 rzi 0 r 0 0 （4） 的解．
d r tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
第 11 页
且满足rzs 0 rzs 0 0的解
dt
2
3
d r t dt
2r t 2 t 6ut
（5）

由于上式等号右边有 t 项 ，故rzs t 应含有冲激函数， t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0 从而rzs
2e
2 t
t0
完全响应=零状态响应+零输入响应，即 t e 2t 3 r ( t 0)
X
a2
于是
rzs 0 rzs 0 a 2 rzs 0 rzs 0 0
t>0时，方程为
d r t
2
dt
2
3
d r t dt
2r t 6ut
X
第 13 页
齐次解为 D1 e t
D2 e
2 t
，特解为3，于是有
（3）式的特征根为
1 1， 2 2
方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为
rzi t B1 e
t
B2 e
2 t
X
第 9 页
rzi t B1 e

t
B2 e
2 t
由rzi 0 2，rzi 0 0，代入(4)式解得
B1 4, B2 2