广东省佛山市三水区实验中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

广东省佛山市三水区实验中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共计50分）1．已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a7的值等于（）A．1B．14 C．15 D．162．已知等比数列{a n}，若a1+a2=20，a3+a4=80，则a5+a6等于（）A．480 B．120 C．240 D．3203．若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（）A．4B．6C．8D．94．若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）①a+b＜ab②|a|＞|b|③a＜b④+＞2．A．1个B．2个C．3个D．4个5．直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式y＞x，则这个动点的运动区域（用阴影表示）是（）A．B．C．D．6．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．15km B．30km C．15 km D．15km7．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（acosC+ccosA）sinB=，则角B的值为（）A．B．C．或D．或9．数列{a n}的通项公式为，则{a n}的前10项之和为（）A．B．C．D．10．已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．若等差数列{a n}满足a n+a n+1=4n+2，则公差是．12．已知m＞1，设A=，B=，则A，B之间的大小关系是．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共计80分）15．已知．（1）求的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，a=3，，求△ABC的面积．16．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和为T n．17．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b（万吨）c（百万元）A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用．18．已知数列{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（1）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（2）若b n=a n a n+1（n∈N+），试求数列{b n}的前n项和S n的公式．19．某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．（Ⅰ）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？20．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？广东省佛山市三水区实验中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共计50分）1．已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a7的值等于（）A．1B．14 C．15 D．16考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由等差数列的首项和公差写出通项公式，取n=7即可求解a7的值．解答：解：由等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，∴a7=2×7+1=15．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的会考题型．2．已知等比数列{a n}，若a1+a2=20，a3+a4=80，则a5+a6等于（）A．480 B．120 C．240 D．320考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a3+a4=（a1+a2）•q2，可得q2，=4，而a5+a6=（a3+a4）•q2，代入可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则a3+a4=（a1+a2）•q2，即80=20q2，解得q2=4，故a5+a6=（a3+a4）•q2=80×4=320．故选：D．点评：本题考查等比数列的通项公式和公比的定义，属基础题．3．若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（）A．4B．6C．8D．9考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：由已知中正实数a，b满足a+b=1，根据基本不等式“1的活用”，我们将分子式中的“1”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案．解答：解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴+==5+（）≥9故+的最小值是9故选D点评：本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，其中对于已知两数之和为定值，求两分式之和的最值时，“1的活用”是最常用的办法．4．若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）①a+b＜ab②|a|＞|b|③a＜b④+＞2．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：基本不等式．分析：由已知条件可得b＜a＜0，利用不等式的性质，逐一分析各选项，从而确定正确答案．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0．∴a+b＜0，ab＞0，|b|＞|a|，故①正确，②③错误．∵a、b同号且a≠b，∴、均为正．∴+＞2=2．故④正确．∴正确的不等式有2个．故选B．点评：依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式或有关的结论是否成立，是2015届高考考查的重点内容，需熟练掌握．5．直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式y＞x，则这个动点的运动区域（用阴影表示）是（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：根据二元一次不等式表示平面区域进行判断即可．解答：解：若点坐标满足不等式y＞x，则点都在直线y=x的上方，故选：A．点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，比较基础．6．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．15km B．30km C．15 km D．15km考点：正弦定理的应用；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：如图所示，设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，根据题意算出∠BAC和∠BAC的大小，在△ABC中利用正弦定理计算出AC长，可得该时刻船与灯塔的距离．解答：解：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45km后处C处，如图所示∠DBC=60°，∠ABD=30°，BC=45∴∠ABC=60°﹣30°=30°，∠BAC=180°﹣60°=120°．△ABC中，由正弦定理，可得AC===15（km）．即船与灯塔的距离是15（km）．故选：A点评：本题给出实际应用问题，求某个时刻船与灯塔之间的距离．着重考查了利用正弦定理解三角形及其应用的知识，属于基础题．7．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．解答：解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选B点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（acosC+ccosA）sinB=，则角B的值为（）A．B．C．或D．或考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简求出sinB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．解答：解：已知等式利用正弦定理化简得：（sinAcosC+sinCcosA）sinB=sin（A+C）sinB=sinB，∵sinB≠0，∴sin（A+C）=sinB=，∵B为三角形的内角，∴B=或．故选D点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．9．数列{a n}的通项公式为，则{a n}的前10项之和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先对其通项裂项，再代入前10项和S10，通过各项相消即可求出S10．解答：解：∵=﹣∴S10=a1+a2+…+a10=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=故选B点评：本题主要考查数列求和的裂项法，裂项法求和适用与数列的通项为分式形式，分子为常数，分母一般为某个等差数列相邻两项的乘积，属于基础题．10．已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）考点：等比数列的前n项和．分析：首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围．解答：解：∵等比数列{a n}中，a2=1∴∴当公比q＞0时，；当公比q＜0时，．∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故选D．点评：本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．若等差数列{a n}满足a n+a n+1=4n+2，则公差是2．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差是d，求出a n=a1+（n﹣1）d，代入a n+a n+1=4n+2化简即可求出公差d的值．解答：解：设等差数列{a n}的公差是d，则a n=a1+（n﹣1）d，∵a n+a n+1=4n+2，∴2a1+（2n﹣1）d=4n+2，则2dn+2a1﹣d=4n+2，2d=4，解得d=2，故答案为：2．点评：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．12．已知m＞1，设A=，B=，则A，B之间的大小关系是A＜B．考点：不等式比较大小．专题：作差法．分析：作差，利用分子有理化，判断差的符号，从而得出正确的结论．解答：解：∵A﹣B=（﹣）﹣（﹣）=﹣=﹣，且m＞1，∴+＞+＞0，∴＜；∴A﹣B＜0，即A＜B．故答案为：A＜B．点评：本题考查了利用作差法比较两个数的大小的问题，是基础题目．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z 最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．解答：解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．三、解答题（共计80分）15．已知．（1）求的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，a=3，，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）把x=代入，利用两角差的正弦公式化简即可；（2）由和角A的范围求出角A的值，由条件和余弦定理列出方程利用整体代换求出bc的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．解答：解：（1）由题意得，，则===…（2）有可得：，…因为角A为△ABC的内角，所以，…由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，…∵a=3，（b+c）2=12，∴b2+c2=12﹣2bc，代入上式解得：bc=1…所以△ABC的面积…点评：本题考查余弦定理，两角和与差的正弦公式，注意内角的范围，以及整体代换求值，属于中档题．16．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）∵{a n}为等差数列，∴a3+a4=a2+a5=22．∵a3•a4=117，∴的两实根，∵公差d＞0，∴a3＜a4．∴a3=9，a4=13．∵，解得，∴a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3．（2），T n=b1+b2+…+b n=++…+=．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b（万吨）c（百万元）A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设铁矿石A购买了x万吨，铁矿石B购买了y万吨，利用线性规划的知识进行求解．解答：解：设铁矿石A购买了x万吨，铁矿石B购买了y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，…则由题设知，本题即求实数x，y满足约束条件：，即（*）…目标函数为：z=3x+6y．…作不等式组（*）对应的平面区域，如图阴影部分所示．…现让直线z=3x+6y，即平移分析即知，当直线经过点P时，z取得最小值．…又解方程组得点P坐标为（1，2）．…故z min=3×1+6×2=15．…点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束关系，利用数形结合是解决本题的关键．18．已知数列{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（1）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（2）若b n=a n a n+1（n∈N+），试求数列{b n}的前n项和S n的公式．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过S1，S3，S4成等差数列，利用2S3=S1+S4可得q（q2﹣q﹣1）=0，计算即可；（2）通过（1）计算可得{b n}是首项为，公比为q2的等比数列，进而可得结论．解答：解：（1）由题意可得：，当S1，S3，S4成等差数列时，2S3=S1+S4，∵S1=a1=a，∴，，∴2a（1+q+q2）=a+a（1+q+q2+q3）（a≠0），即：q（q2﹣q﹣1）=0，解得：q=0（舍去）或或；（2），，∴{b n}是首项为，公比为q2的等比数列，∴S n=．点评：本题考查等差数列的相关知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．（Ⅰ）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共n+=n2，付出投资81万元，由此可知利润y=30n﹣（81+n2），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．（Ⅱ）①纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案②利用基本不等式进行求解，当两种方案获利一样多，就看时间哪个方案短就选择哪个．解答：解：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+=n2，因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0，解得：3＜n＜27，所以从第4年开始获取纯利润．（Ⅱ）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144，所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．年平均利润W==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）．两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．点评：本题考查数列的性质和应用，同时考查了利基本不等式求函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答．20．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β）=，再根据均值不等式可知当d===55时，tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．解答：解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．AD﹣AB=DB，故得﹣=，得：H===124．因此，算出的电视塔的高度H是124m．（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，tan（α﹣β）====d+≥2，（当且仅当d===55时，取等号）故当d=55时，tan（α﹣β）最大．因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d=55时，α﹣β最大．故所求的d是55m．点评：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．。